WSPÓŁZALEŻNOŚĆ
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ
ZMIENNYCH
ZMIENNYCH
MIERZALNYCH
MIERZALNYCH
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ
ZMIENNYCH
ZMIENNYCH
MIERZALNYCH
MIERZALNYCH
y = 0,0194x - 1,0467
R
2
= 0,729
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
60
70
80
90
100
110
x
y
y = 0,0194x - 1,0467
R
2
= 0,729
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
60
70
80
90
100
110
x
y
ZWIĄZKI MIĘDZY DWIEMA
ZWIĄZKI MIĘDZY DWIEMA
ZMIENNYMI MIERZALNYMI
ZMIENNYMI MIERZALNYMI
• Związek przyczynowy - istnieje zależność jednej
ze zmiennych od tej drugiej (masa ciała i
podnoszony ciężar maksymalny).
• Współzależność - bezpośrednia, przyczynowa
zależność obu rozpatrywanych zmiennych nie
zachodzi - obie warunkowane są przez inną
(inne) zmienne (odległość skoku w dal i czas w
biegu na 60 m).
• Źródło współzależności może być oczywiste lub
może pozostać niewyjaśnione.
PRZYKŁADY ZALEŻNOŚCI
PRZYKŁADY ZALEŻNOŚCI
• wysokość ciała
masa ciała ,
• masa ciała
siła mięśni,
• długość podudzia
długość ramienia,
• wysokość wyskoku
czas biegu na 60
m,
• maks. stężenie LA
(
(
)
)
czas biegu na
400 m.
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI -
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI -
ILOŚCIOWA MIARA
ILOŚCIOWA MIARA
ZALEŻNOŚCI
ZALEŻNOŚCI
• Współczynnik korelacji Pearsona:
r = 1/n x*y*.
• r
2
- współczynnik determinacji -
określa, jaka część zmienności
jednej cechy jest wyjaśniana przez
drugą zmienną.
ZAŁOŻENIA DOTYCZĄCE
ZAŁOŻENIA DOTYCZĄCE
ZMIENNYCH
ZMIENNYCH
• Obie zmienne są ilościowe, mierzalne
(wyrażone na skali interwałowej).
• Obie zmienne mają rozkłady normalne
(w szczególności nie są to rozkłady
skośne).
• W przypadku niespełnienia założeń
stosuje się inne miary korelacji (np.
współczynnik korelacji Spearmana)
WŁASNOŚCI
WŁASNOŚCI
WSPÓŁCZYNNIKA
WSPÓŁCZYNNIKA
KORELACJI
KORELACJI
• r <-1,1>,
• wartość bezwzględna r świadczy o sile
związku,
• ujemne wartości r oznaczają zależność
malejącą - „im więcej tym mniej”,
• dodatnie wartości r oznaczają zależność
rosnącą - „im więcej tym więcej”,
• liniowe przekształcenie zmiennych nie
zmienia korelacji między nimi.
RÓŻNE ZALEŻNOŚCI
RÓŻNE ZALEŻNOŚCI
KORELACYJNE (r<=0)
KORELACYJNE (r<=0)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = -1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = -1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = -0,8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = -0,8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = -0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = -0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0
RÓŻNE ZALEŻNOŚCI
RÓŻNE ZALEŻNOŚCI
KORELACYJNE (r>=0)
KORELACYJNE (r>=0)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0,8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 0,8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
60
70
80
90
100
110
x
y
r = 1
TESTOWANIE ISTOTNOŚCI
TESTOWANIE ISTOTNOŚCI
WSPÓŁCZYNNIKA
WSPÓŁCZYNNIKA
KORELACJI
KORELACJI
• W przypadku danych uzyskanych z
próbki szczególnie ważne jest
stwierdzenie, czy obserwowane
ułożenie punktów jest wyrazem
rzeczywistej tendencji właściwej
populacji, czy powstało w wyniku
przypadkowego charakteru próby.
H
H
0
0
: związek między dwiema
: związek między dwiema
zmiennymi mierzalnymi nie
zmiennymi mierzalnymi nie
zachodzi - rzeczywista
zachodzi - rzeczywista
wartość współczynnika
wartość współczynnika
korelacji dla populacji
korelacji dla populacji
wynosi r = 0.
wynosi r = 0.
Związek masy ciała z wysokością
50
60
70
80
90
100
160
170
180
190
200
Wysokość [cm]
M
a
sa
[
k
g
]
Związek masy ciała z wysokością
50
60
70
80
90
100
160
170
180
190
200
Wysokość [cm]
M
a
sa
[
k
g
]
Czy to może
Czy to może
być
być
przypadkow
przypadkow
e ułożenie?
e ułożenie?
• Formułujemy H
o
, dobieramy
,
• obliczamy t - Studenta:
n - liczebność, r - wsp. korelacji;
• odnajdujemy krytyczną wartość t
k
dla f = n-2 i
,
• jeżeli |t |>t
k
to p<
i odrzucamy H
0
,
w przeciwnym przypadku p>=
i nie odrzucamy H
0
.
TESTOWANIE ISTOTNOŚCI
TESTOWANIE ISTOTNOŚCI
WSPÓŁCZYNNIKA
WSPÓŁCZYNNIKA
KORELACJI - kolejność
KORELACJI - kolejność
czynności
czynności
2
1
2
n
r
r
t
ISTOTNOŚĆ WSP.
ISTOTNOŚĆ WSP.
KORELACJI
KORELACJI
A LICZEBNOŚĆ PRÓBY
A LICZEBNOŚĆ PRÓBY
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
liczebność [-]
w
sp
ó
łc
zy
n
n
ik
k
o
re
la
c
ji
[
-]
p<0,05
p<0,01
p<0,001
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
liczebność [-]
w
sp
ó
łc
zy
n
n
ik
k
o
re
la
c
ji
[
-]
p<0,05
p<0,01
p<0,001
SKOŚNOŚĆ ROZKŁADU
SKOŚNOŚĆ ROZKŁADU
A WSP. KORELACJI
A WSP. KORELACJI
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0
50
100
150
200
250
300
x
y
r = 0,57
r = 0,92
bez odstających punktów
z odstającymi punktami
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0
50
100
150
200
250
300
x
y
r = 0,57
r = 0,92
bez odstających punktów
z odstającymi punktami