Wykład 7

Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że

f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) =
f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy:

f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x)

Przykład (2x + 1)|(6x

2

− x − 2).

Własności podzielności wielomianów
(1) Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x), a wielomian g(x) dzieli wie-
lomian h(x) to wielomian f (x) dzieli wielomian h(x), czyli:

f (x)|g(x) i g(x)|h(x) ⇒ f (x)|h(x)

(2) Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x) to st(f (x)) ¬ st(g(x))

Niech f (x) i g(x) będą wielomianami nad ciałem K. Wtedy wielomian

d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów
f (x) i g(x) jeśli:
(i) d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
(ii) jeśli c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to st(c(x)) ¬ st(d(x)),
(iii) wielomian d(x) jest unormowany.

Największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) i g(x) oznaczać będziemy

przez NWD(f (x), g(x)).

Podobnie jak w przypadku pierścienia liczb całkowitych, efektywną meto-

dą wyznaczania największego wspólnego dzielnika dwóch wielomianów jest
wielomianowa wersja algorytmu Euklidesa. To znaczy jeśli chcemy wyzna-
czyć największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) i g(x), przy założeniu,
że st(f (x)) ­ st(g(x)) to stosujemy algorytm:

f (x) = q(x)g(x) + r(x)

0 ¬ st(r(x)) < st(g(x))

g(x) = q

1

(x)r(x) + r

1

(x) 0 ¬ st(g(x)) < st(r

1

(x))

..

.

ostatnia niezerowa reszta jest (po unormowaniu) jest największym wspól-
nym dzielnikiem. To daje nam możliwość rozwiązywania równań postaci
f (x)u(x) + g(x)v(x) = NWD(f (x), g(x)) analogicznie do podobnych równań
o współczynnikach całkowitych.

Twierdzenie 1 Jeśli f (x), g(x) ∈ K[x] to istnieją wielomiany u(x), v(x) ∈
K[x], że

f (x)u(x) + g(x)v(x) = NWD(f (x), g(x))

1

Wniosek 1 Wielomian d(x) jest największym wspólnym dzielnikiem wielo-
mianów f (x) i g(x) wtedy i tylko wtedy gdy:
(i) d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
(ii) jeśli c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to c(x)|d(x),
(iii) d(x) jest unormowany.

Przykład Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów

x

4

− x

3

− x

2

+ 1, x

2

− 1 ∈ Q(x)

Jednym z zastosowań powyższego twierdzenia mogą być następujące przy-

kłady.
Przykład Wyznaczyć liczby x, y, z ∈ Q, tak aby liczba x + y

3

√

2 + y

3

√

4 była

odwrotna do 1 +

3

√

2 + 2

3

√

4.

Przykład Wyznaczyć macierz odwrotną do A

3

+ A

2

+ A + I gdzie

A =








0 0 0 −1
1 0 0 −1
0 1 0 −1
0 0 1 −1








.

Podobnie jak w teorii liczb możemy mówić o względnie pierwszych wie-
lomianach. Wielomiany f (x) i g(x) nazywamy względnie pierwszymi jeśli
NWD(f (x), g(x)) = 1.

Twierdzenie 2 Niech f (x), g(x), h(x) będą wielomianami nad ciałem K.
Wtedy jeśli f (x)|g(x)h(x) i f (x) i g(x) są względnie pierwsze to f (x)|h(x).

Twierdzenie 3 Niech K będzie ciałem. Wtedy wielomian f (x) jest odwra-
calny w pierścieniu K[x] wtedy i tylko wtedy gdy f (x) jest wielomianem sta-
łym różnym od zera.

Mówimy, że wielomian f (x) jest stowarzyszony z wielomianem g(x) jeśli

istnieje c ∈ K, że c 6= 0

K

i f (x) = cg(x).

Można zauważyć, że wielomian f (x) jest stowarzyszony g(x) wtedy i tylko

wtedy gdy wielomian g(x) jest stowarzyszony z f (x).

Mówimy, że wielomian f (x) jest rozkładalny (przywiedlny) w pierście-

niu K[x] jeśli istnieją wielomiany g(x), h(x) ∈ K[x], że f (x) = g(x)h(x) i
st(g(x)) > 0, st(h(x)) > 0. W przeciwnym przypadku mówimy, że wielomian
jest nierozkładalny.
Przykład Wialomian x

2

− 2 jest nierozkładalny w Q[x].

Wielomiany stopnia pierwszego są nierozkładalne.

Pojęcie wielomianu nierozkładalnego odpowiada pojęciu liczb pierwszych.

2

Twierdzenie 4 Niech K będzie ciałem i niech f (x) ∈ K[x]. Wtedy nastę-
pujące warunki są równoważne:
(i) wielomian f (x) jest nierozkładalny,
(ii) jeśli f (x)|g(x)h(x) to f (x)|g(x) lub f (x)|h(x).

Twierdzenie 5 Każdy wielomian g(x) nad ciałem K można zapisać jed-
niznacznie w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych nad ciałem K.
Jednoznaczność zapisu należy rozumieć w następującym sensie.
Jeśli f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

s

(x) i p

1

(x), p

2

(x), . . . , p

t

(x) są wielomianami nieroz-

kładalnymi nad K i:

f

1

(x)f

2

(x) . . . f

s

(x) = p

1

(x)p

2

(x) . . . p

t

(x)

to s = t i po ewentualnym przenumerowaniu wielomian f

i

(x) jest stowarzy-

szony z wielomianem p

i

(x).

Mówimy, że liczba a ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f (x) ∈ K[x]

jeśli (x − a)|f (x). W przypadku wielomianów można mówić o podstawianiu
elementu a za zmienną x, tzn: jeśli f (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

to

f (a) = a

n

a

n

+ a

n−1

a

n−1

+ . . . + a

1

a + a

0

∈ K. Podstawianie ma następujące

własności:
(i) jeśli f (x) = g(x) + h(x) to f (a) = g(a) + h(a),
(ii) jeśli f (x) = g(x)h(x) to f (a) = g(a)h(a).

Twierdzenie 6 (Twierdzenie Bezout) Element a ∈ K jest pierwiast-
kiem wielomianu f (x) wtedy i tylko wtedy gdy f (a) = 0

K

.

Wniosek 2 Jeśli f (x) jest wielomianem stopnia n nad ciałem K to f (x)
ma co najwyżej n różnych pierwiastków w ciele K.

Wniosek 3 Jeśli wielomian f (x) ma stopień większy bądź równy od 2 to:
(i) jeśli f (x) jest nierozkładalny to f (x) nie ma pierwiastków w K,
(ii) jeśli f (x) ma stopień równy 2 lub 3 i nie ma pierwiastków w K to f (x)
jest nierozkładalny w K.

Nierozkładalność w ciele Q

Jeśli wielomian f (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

ma współczynniki

wymierne to istnieje liczba całkowita c, że wielomian cf (x) ma współczyn-
niki całkowite (wystarczy za c przyjąć najmniejszą wspólną wielokrotność
mianowników współczynników a

n

, . . . , a

0

). Zatem zamiast badać wielomian

f (x) można badać wielomian cf (x), który należy do pierścienia Z[x].

3

Twierdzenie 7 Niech f (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

będzie wie-

lomianem z całkowitymi współrzędnymi. Wtedy jeśli liczba wymierna

p
q

jest

pierwiastkiem wielomianu f (x) to p|a

0

, a q|a

n

.

Przykład Znaleźć pierwiastki wymierne wielomianu

f (x) = 2x

4

+ x

3

− 21x

2

− 14x + 12.

Twierdzenie 8 (Kryterium Eisensteina) Niech f (x) = a

n

x

n

+a

n−1

x

n−1

+

. . .+a

1

x+a

0

będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, niezerowego

stopnia. Wtedy jeśli istnieje liczba pierwsza p taka, że p dzieli współczynniki
a

n−1

, . . . , a

0

, p nie dzieli a

n

i p

2

nie dzieli a

0

to f (x) jest nierozkładalny nad

ciałem Q.

Przykład Wielomian f (x) = x

4

− 7x

3

+ 49x

2

− 14x + 7 jest nierozkładalny

nad ciałem Q. Wystarczy wziąć liczbę 7 i zastosować kryterium Eisensteina.

Twierdzenie 9 Dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje wielomian stop-
nia n o współczynnikach wymiernych, który jest nierozkładalny nad Q.

Nierozkładalność w ciałach R i C

Twierdzenie 10 Zasadnicze Twierdzenie Algebry Każdy wielomian o współ-
czynnikach zespolonych stopnia większego od 0 ma pierwiastek zespolony.

Każde ciało, które spełnia powyższy warunek nazywamy ciałem alge-

braicznie domkniętym. Powyższe twierdzenie mówi, że ciało liczb zespolo-
nych jest algebraicznie domknięte. Ciała Q i R nie są algebraicznie domknięte.

Wniosek 4 Wielomian f (x) ∈ C[x] jest nierozkładalny na ciałem C wtedy
i tylko wtedy gdy jego stopień jest równy 1.

Wniosek 5 Każdy wielomian f (x) ∈ C[x] może być jednoznacznie zapisany
w postaci c(x − a

1

)(x − a

2

) . . . (x − a

s

), gdzie c, a

1

, . . . , a

s

∈ C.

Twierdzenie 11 Niech f (x) ∈ R[x]. Wtedy jeśli liczba zespolona a + bi jest
pierwiastkiem tego wielomianu to liczba do niej sprzężona a − bi również jest
pierwiastkiem tego wielomianu.

4

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli liczba zespolo-

na z jest pierwiastkiem wielomianu f (x) (o współczynnikach rzeczywistych)
to również liczba zespolona ¯

z jest pierwiastkiem tego wielomianu. Inaczej

mówiąc wielomian f (x) jest podzielny przez (x − z)(x − ¯

z). Obliczmy

(x − z)(x − ¯

z) = x

2

− 2(z + ¯

z)x + z ¯

z = x

2

− 2Re(z)x + |z|

Ponieważ Re(z) i |z| są liczbami rzeczywistymi to wielomian (x−z)(x− ¯

z) ma

współczynniki rzeczywiste. To oznacza, że dowolny wielomian o współczynni-
kach rzeczywistych albo ma pierwiastek rzeczywisty albo jest podzielny przez
wielomian o kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych. Inaczej mówiąc:

Twierdzenie 12 Jeżeli wielomian f (x) jest nierozkładalny nad ciałem R to
jego stopień jest równy 1 lub 2. Ponadto wielomian kwadratowy ax

2

+ bx + c

jest nierozkładalny nad R wtedy i tylko wtedy gdy ∆ = b

2

− 4ac < 0.

5