SIMR 2012/13, Analiza 1, wykład 7, 2012-11-23
ZwiÄ…zek funkcji i jej pochodnej
Poniższe twierdzenia są podstawą wielu bardzo ważnych zastosowań pochodnych. Twierdze-
nie te wyrażają związek pomiędzy funkcją a jej pochodną.
Twierdzenie Rolle a Niech dana będzie funkcja f :< a, b > R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b), oraz taka, że f(a) = f(b) . Wtedy istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f (c) = 0
Twierdzenie Lagrange a Niech dana będzie funkcja f :< a, b > R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b). Wtedy istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f(b) - f(a) = f (c) · (b - a)
Twierdzenie Cauchy ego Niech dane będą funkcje f, g :< a, b > R ciągłe na < a, b > i
różniczkowalne na (a, b). Niech ponadto g (x) = 0 "x " (a, b). Wtedy istnieje punkt c " (a, b)

taki, że
f(b) - f(a) f (c)
=
g(b) - g(a) g (c)
Reguła de L Hospitala
Twierdzenie: Niech f, g : D R , gdzie D = (x0 - , x0 + ) \ {x0} będą funkcjami róż-
niczkowalnymi oraz "x " D (g (x) = 0) . Niech istnieją i są równe zeru granice: lim f(x) =

xx0
f (x) f(x)
lim g(x) = 0. Jeśli istnieje granica lim = b to istnieje też granica lim = b
xx0 xx0 xx0
g (x) g(x)
0
Uwaga 1 Reguła de L Hospitala umożliwia liczenie granic typu poprzez obliczanie granic
0
ilorazu pochodnych.
Uwaga 2 Twierdzenie działa tylko w jedną stronę: jeżeli granica ilorazu pochodnych nie
istnieje to z tego nie wynika , że nie istnieje granica ilorazu funkcji.
"
Uwaga 3 Twierdzenie to można uogólnić na granice typu oraz x0 = ą" , b = ą"
"
Przykład: Obliczyć granicę:
1 - cos x
lim
x0
sin x2
0
Jest to granica typu . Obliczamy granicÄ™:
0
f (x) sin x
lim = lim
x0 x0
g (x) 2x cos x2
0
Jest to granica typu . Obliczamy granicÄ™:
0
f (x) cos x 1
lim = lim =
x0 x0
g (x) 2 cos x2 - 4x2 sin x2 2
Granica ta isnieje, a więc
1 - cos x 1
lim =
x0
sin x2 2
Jezeli chcemy stosować regułę de L Hospitala w przypadku innych symboli nieoznaczonych
0 "
musimy je najpierw przekształcić do symbolu lub
0 "
PrzykÅ‚ad: 0 · " Obliczyć granicÄ™: lim x ln x
x0
1
1
ln x
x
lim x ln x = lim =H lim = lim -x = 0
1 1
x0 x0 x0 x0
-
x x2

1 1
Przykład: " - " Obliczyć granicę: lim -
x0
x sinh x

1 1 sinh x - x cosh x - 1 sinh x
lim - = lim =H lim =H lim =
x0 x0 x0 x0
x sinh x x sinh x sinh x + x cosh x cosh x + cosh x + x sinh x
1
2
Uwaga: Granice 1" , "0 ,00 obliczamy przekształcając wyrażenie fg = eln fg = eg ln f , a
nastÄ™pnie obliczajÄ…c granicÄ™ g ln f typu 0 · "
x
2
Przykład: 1" Obliczyć granicę: lim arc tg x
x"
Ä„

2
x x ln arc tg x
2
Ä„
arc tg x = e
Ä„
2
Ä„(1 + x2)

2
2

ln arc tg x
arc tg x
2 -x2
Ä„
Ä„
lim x ln arc tg x = lim =H lim = lim =
1 1
x" x" x" x"
Ä„ - (1 + x2) arc tg x
x x2
-1 2
lim = -
x" 1
Ä„
( + 1) arc tg x
x2
stÄ…d:
x
2 2
Ä„
lim arc tg x = e-
x"
Ä„
Wzór Taylora
Twierdzenie: Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną (n + 1) razy. Wtedy dla
dowolnych x, x0 " (a, b) zachodzi:
f (x0) f (x0) f(n)(x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + · · · + (x - x0)n + Rn
1! 2! n!
gdzie:
f(n+1)(c)
Rn = (x - x0)n+1 dla pewnego c " (x0, x)
(n + 1)!
f(n+1)(c)
Uwaga 1: Reszta Rn = (x - x0)n+1 nazywa siÄ™ resztÄ… w postaci Lagrange a.
(n + 1)!
Uwaga 2: Wzór Taylora przybliża dowolną funkcję f za pomocą wielomianu stopnia n .
Reszta Rn jest błędem tego przybliżenia. Spośród wszystkich wielomianów stopnia n wielo-
mian Taylora przybliża najlepiej funkcję f w otoczeniu punktu x0.
Uwaga 3: O punkcie c wiemy tylko, że leży pomiędzy x0 a x. W przypadku, gdy x < x0
należy pisać c " (x, x0)
Przykład: Napisać wzór Taylora dla funkcji f = ex w punkcie x0 = 0 dla n = 3. Korzystając
z niego obliczyć przybliżoną wartość e0,1 i oszacować błąd przybliżenia.
f (0) f (0) f (0)
f(x) = f(0) + x + x2 + x3 + R3
1! 2! 3!
gdzie:
fIV )(c)
R3 = x4 dla pewnego c " (0, x)
4!
Obliczamy:
2
f(x) = ex , f(0) = 1
f (x) = ex , f (0) = 1
f (x) = ex , f (0) = 1
f (x) = ex , f (0) = 1
fIV (x) = ex
stÄ…d:
1 1 1 x2 x3
ex = 1 + x + x2 + x3 + R3 = 1 + x + + + R3
1! 2! 3! 2 6
gdzie
ec
R3 = x4 dla pewnego c " (0, x)
4!
Wielomian przybliżający ex :
x2 x3
ex H" 1 + x + +
2 6
0, 01 0, 001
e0,1 H" 1 + 0, 1 + + = 1, 10516666 . . .
2 6
Błędu przybliżenia nie możemy obliczyć dokładnie ponieważ nie znamy c , możemy go jednak
oszacować.


ec ec

|R3| = x4 = 0, 0001

4! 4!
c " (0, 0, 1) a więc |ec| = e0,1 < 3
3
|R3| < 0, 0001 = 0, 0000125
24
Oszacowanie błądu możemy zaokrąglić (zawsze w górę). Następnie zaokrąglamy wynik i błąd
zaokrąglenia dodajemy do oszacowania błędu:
e0,1 = 1, 105167 Ä… 0, 000014
Wartość dokładna e0,1 = 1.105170918076 . . . mieści się w granicach błędu
Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą w postaci Peano): Niech f : D R będzie
funkcjÄ… majÄ…cÄ… n-tÄ… pochodnÄ… w punkcie x0 " int D. Wtedy dla dowolnego x " D zachodzi:
f (x0) f (x0) f(n)(x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + · · · + (x - x0)n + Rn(x)
1! 2! n!
gdzie:
Rn(x) = µ(x)(x - x0)n oraz lim µ(x) = 0
xx0
x ln(1 + 2x) - 2x2 + 2x3
Przykład: Obliczyć granicę: lim
x0
cos(x2) - 1
Stosujemy wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln(1 + x) w x0 = 0 , dla n = 3:
f(x) = ln(1 + x) f(0) = 0
1
f (x) = f (0) = 1
1 + x
f (x) = -(1 + x)-2 f (0) = -1
f (x) = 2(1 + x)-3 f (0) = 2
StÄ…d:
1 1
ln(1 + x) = x - x2 + x3 + µ1(x)x3
2 3
A więc
8
ln(1 + 2x) = 2x - 2x2 + x3 + µ2(x)x3
3
Stosujemy wzór Taylora dla funkcji g(x) = cos(x) w x0 = 0 , dla n = 2:
g(x) = cos x g(0) = 1
g (x) = - sin x g (0) = 0
g (x) = - cos x g (0) = -1
StÄ…d:
3
1
cos x = 1 - x2 + µ3(x)x2
2
A więc
1
cos x2 = 1 - x4 + µ4(x)x4
2
Podstawiamy otrzymane wzory do granicy:

8
x 2x - 2x2 + x3 + µ2(x)x3 - 2x2 + 2x3
x ln(1 + 2x) - 2x2 + 2x3
3
lim = lim =
1
x0 x0
cos(x2) - 1
1 - x4 + µ4(x)x4 - 1
2

8
8
x4 + µ2(x)
+ µ2(x)
16
3
3
lim = lim = -
1 1
x0 x0
3
x4 - + 4(x) - + µ4(x)
2 2
Uwaga: Wybranie odpowiedniego stopnia wielomianu zastępującego funkcję wymaga pew-
nej wprawy. Jeśli stopień ten będzie za mały, wtedy przy obliczaniu granicy pojawi się symbol
nieznaczony z nieznanÄ… funkcjÄ… µ(x) i wtedy nie możemy obliczyć granicy. Należy wtedy po-
wtórzyć obliczenia z wyższym stopniem wielomianu. Jeśli stopień będzie za duży - wtedy
dostaniemy obliczymy granicę, ale potrzeba więcej obliczeń. W powyższym przykładzie są
zastosowane wielomiany o najniższych stopniach umożliwiające obliczenie granicy.
4