SIMR 2012/13, Analiza 1, wykład 3, 2012-10-19
Zależności między istnieniem granicy, monotonicznością i ograniczonością ciągu
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny to jest ograniczony.
Twierdzenie: Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną.
Uwaga 1: Istotnym założeniem w tym twierdzeniu jest to, że wyrazy ciągu i granica są
liczbami rzeczywistymi. Dla liczb wymiernych to twierdzenie nie zachodzi.
Uwaga 2: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony to ma granicę nieskończoną: ro-
snący +" , malejący -"
1
Ciąg an = (1 + )n
n
1
Ciąg an = (1 + )n jest rosnący i ograniczony, ma więc granicę.
n
Dowód


1 n 1 n 1 n 1 n 1 n(n - 1)
n
1
an = (1 + )n = 1 + + + + � � � + = 1 + � + �
n 1
n 2 n2 3 n3 n nn 1 n 2!

1 n(n - 1)(n - 2) 1 n(n - 1)(n - 2) . . . 1 1 1 1 1 1
+ � + � � � + � = 2 + 1 - + 1 - �
n2 3! n3 n! nn 2! n 3! n

2 1 1 2 n - 1
1 - + � � � + 1 - � 1 - � � � 1 -
n n! n n n
Widać, że każde wyrażenie w nawiasach jest dodatnie i mniejsze od 1. Stąd
1 1 1 1 1 1 1 1 1
an < 2 + + + � � � + = 2 + + + � � � + < 2 + + + � � � + <
2! 3! n! 2 2 � 3 2 � 3 � � � n 2 22 2n-1
1 1 1 1
2 + + + � � � = 2 + � = 3
1
2 22 2 1 -
2
Mamy więc dowód, ze ciąg (an) jest ograniczony od góry.
Widać, że ciąg jest rosnący. Jeśli zmienimy n na n + 1 to:

1
n+1
1. Dojdzie jeden wyraz dodatni:
n+1
(n + 1)n+1
2. Każdy składnik sumy zwiększy się, np:

1 1 2 1 1 2
1 - � 1 - > 1 - � 1 -
3! n + 1 n + 1 3! n n
Granicę tego ciągu oznaczamy e
1
lim (1 + )n = e
n
n"
Liczba e jest liczbą niewymierną. Nawywamy ją liczbą Eulera. Jej przybliżenie jest równe:
e = 2.71828182846 . . .
Uwaga 1: Liczba e często stosujemy jako podstawę funkcji wykładniczej ex oraz logarytmu
loge x . Logarytm przy podstawie e nazwyamy logarytmem naturalnym i oznaczamy:
ln x = loge x
Uwaga 2: Symbol log x oznacza zwykle logarytm przy podstawie 10 : log x = log10 x .
Czasami jednak, może oznaczać logarytm naturalny.
1
Można pokazać, że ciąg bn = (1 + )n+1 jest malejący. Jego granica jest równa:
n
1 1 1
lim (1 + )n+1 = lim (1 + )n � (1 + ) = e � 1 = e
n n n
n" n"
Wynikają stąd następujące ważne nierówności:
an < e < bn dla każdego n " N
1 1
(1 + )n < e < (1 + )n+1
n n
Logarytmując nierówności:

1 1
n ln 1 + < 1 < (n + 1) ln 1 +
n n
Czyli

1 1 1
< ln 1 + <
n + 1 n n
Twierdzenie: Dany jest ciąg (an) taki, że an > -1 , an = 0 oraz lim an = 0 Wtedy istnieje

n"
granica:
1

lim 1 + an an = e
n"
Uwaga: Z twierdzenia tego korzystamy często obliczając granice typu 1"
n2
-1
n2 + 4
Przykład: Obliczyć lim
n"
n2 + 2
Jest to granica typu 1". Przekształcamy wyraz ciągu taj, aby skorzystać z twierdzenia:
n2
2
-1 n -1
n2 + 4 2
= 1 +
n2 + 2 n2 + 2
2
Stosujemy twierdzenie biorąc an =
n2 + 2
2
Widać, że lim = 0
n"
n2 + 2
1 n2 + 2
Przekształcamy wykładnik, aby uzyskać w nim =
an 2
2
�ł łł � (n2 - 1)
n2 + 2 2 n2 + 2
n2 + 2
�ł �ł �ł
� � (n2 - 1)
2
n -1 �ł�ł śł
2 n2 + 2 2
�ł śł
2 2 2
�ł łł �ł łł śł
1 + = 1+ = 1 +
�ł�ł śł
n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2
�ł �ł
Obliczmy granice:
n2 + 2
�ł �ł
2
2
�ł łł
lim 1 + = e : korzystamy z twierdzenia
n"
n2 + 2
2
2 2n2 - 2 n2(2 - )
n2
lim � (n2 - 1) = lim = lim = 2
2
n" n" n"
n2 + 2 n2 + 2 n2(1 + )
n2
Stąd:
n2
-1
n2 + 4
lim = e2
n"
n2 + 2
Elementy topologii
Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z
otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.
Poniżej zakładamy, że zbiory A, B �" R
Definicja: Niech x " R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy
przedział O� = (x - � , x + �) dla � > 0
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O� punktu x zawarte w A : O� �" A
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O� punktu x rozłączne z A : O� )" A = "
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.
Uwaga: Punkt x " R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde
otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.
Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru
A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).
Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.
Brzeg A oznaczamy "A .
Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A *" "A .
Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , "A i zbiór punktów
zewnętrznych.
Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >
int A = (0, 1) , "A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 2: Dla A =< 0, 1)
int A = (0, 1) , "A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 3: Dla A =< 0, ")
int A = (0, ") , "A = {0} , A =< 0, " >
Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych
int A = " , "A = R , A = R
Przykład 4: Dla A = {2, 3}
int A = " , "A = {2, 3} , A = {2, 3}
Pewne własności: ( Oznaczamy: A = R \ A)
int A �" A �" A
(int A) = A
"A = A \ int A
"A = A )" A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A
Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:
A = (0, 1) , A = R , A = " , A = (1, 3) *" (5, 6) , A = (0, ")
Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:
A =< 0, 1 > , A = R , A = " , A =< 1, 3 > *" < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ")
Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:
A =< 0, 1) , A = (1, 3) *" < 5, 6 > , A = Q
Pewne własności:

Jeśli zbiory Oą są otwarte to zbiór Oą jest otwarty
ą

Jeśli zbiory Dą są domknięte to zbiór Dą jest domknięty
ą
Jeśli zbiory O1, O2 są otwarte to zbiór O1 )" O2 jest otwarty
Jeśli zbiory D1, D2 są domknięte to zbiór D1 *" D2 jest domknięty
Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar-
tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.
Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy
przykład:
1 1
Przykład: On = (- , ) - zbiory otwarte. Zbiór On = {0} nie jest otwarty
n n
n"N
Definicja: Liczbę x " R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x " A \ {x}
Definicja: Liczbę x " A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x " A \ {x}
/
Przykład 1: A = (0, 1)
Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - "
1
Przykład 2: A = { : n " N}
n
1
Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - { : n " N}
n
Przykład 3: A = Q
Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - "
Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:
Twierdzenie: x " R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg

xn , xn " A , xn = x taki, że lim xn = x

n"N n"
Granica funkcji
Definicja: Niech dana będzie funkcja f : D R , D �" R oraz punkt skupienia a zbioru D.
Mówimy, że b " R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: lim = b ) wtedy i tylko
xa
wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) spełniającego warunki:
("n)xn " D
("n)xn = a

lim xn = a
n"
zachodzi lim f(xn) = b
n"
Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.
Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej
jeden ciąg xn spełniający żądane warunki.
Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicę dla a = ą" oraz b = ą" . Dla a = +"
należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest
ograniczony od góry. Podobnie dla a = -".
Przykład: Obliczyć granicę funkcji lim(4x2 - 3x)
x2
Wez
my dowolny ciąg (xn) : xn " R , xn = 2 , oraz lim xn = 2

n"
Obliczmy granicę ciągu: lim (4x2 - 3xn) = 16 - 6 = 10
n
n"
Widzimy, że granica ta nie zależy od wyboru ciągu (xn) , a więc granica funkcji f istnieje i
jest równa: lim(4x2 - 3x) = 10
x2