SIMR 2012/13, Analiza 1, wykład 5, 2011-11-09
Pochodna funkcji
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D R oraz punkt x " intD. Wtedy pochodną funkcji f w
punkcie x nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona):
f(x + h) - f(x)
f (x) = lim
h0
h
f(x + h) - f(x)
Uwaga 1: Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym; iloraz ten oznacza
h
"f
się rózwnież - stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu. Pochodna
"x
jest to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Pochodną funkcji
oznaczamy też:
df
f =
dx
Uwaga 2: Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x to mówimy, że jest różniczkowalna
w punkcie x. Jeżeli ma pochodną w każdym punkcie x " D to mówimy, że funkcja jest
różniczkowalna. Obliczanie pochodnej nazywamy też różniczkowaniem funkcji.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej siecznej wykresu funkcji:
prostej przechodzącej przez punkty P (x, f(x)) i Q(x + h, f(x + h)) . Pochodna jest współ-
czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie P
Interpretacja fizyczna pochodnej
Niech x(t) będzie położenia ciała w chwili t. Prędkością średnią nazywamy iloraz różnicowy:
x(t + "t) - x(t)
vs(t, "t) =
"t
Prędkość średnia jest funkcją dwóch zmiennych: t i "t. Prędkością chwilową nazywamy
granicę prędkości średniej:
v(t) = lim vs(t, "t)
"t0
Prędkość chwilowa jest funkcją jednej zmiennej t. Widać, że:
v(t) = x (t)
Podobnie:
a(t) = v (t)
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f(x) = a (funkcja stała)
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x " R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicÄ™:
f(x + h) - f(x) a - a
f (x) = lim = lim = 0
h0 h0
h h
Granica ta istnieje dla każdego x " R a więc funkcja f(x) = a jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(a) = 0
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f(x) = x3
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x " R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicÄ™:
1
f(x + h) - f(x) (x + h)3 - x3 x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 - x3
f (x) = lim = lim = lim =
h0 h0 h0
h h h
3x2h + 3xh2 + h3
lim = lim(3x2 + 3xh + h2) = 3x2
h0 h0
h
Granica ta istnieje dla każdego x " R a więc funkcja f(x) = x3 jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(x3) = 3x2
Uwaga: Wzór ten jest prawdziwy dla x > 0.
p
Dla x < 0 wzór ten jest prawdziwy, jeśli ą = (liczba wymierna, ułamek nieskracalny),
q
p, q " Z , q jest liczbą nieparzystą. Jeżeli ponadto ą > 1 to zwór oboiązuja dla x = 0.
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f(x) = sin x
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x " R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicÄ™:
h 2x + h
2 sin cos
f(x + h) - f(x) sin(x + h) - sin x
2 2
f (x) = lim = lim = lim =
h0 h0 h0
h h h
h
sin
2x + h
2
lim cos = cos x
h0 h
2
2
Granica ta istnieje dla każdego x " R a więc funkcja f(x) = sin x jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(sin x) = cos x
Analogicznie pokazujemy, że:
(cos x) = - sin x
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f(x) = ln x
Dziedzina f D = (0, ") jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x " (0, ") jest punktem
wewnętrznym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicÄ™:
h h
ln(1 + ) ln(1 + )
f(x + h) - f(x) ln(x + h) - ln x 1
x x
f (x) = lim = lim = lim = lim · =
h0 h0 h0 h0 h
h h h x
x
1
x
Granica ta istnieje dla każdego x " (0, ") a więc funkcja f(x) = ln x jest różniczkowalna i
jej pochodna jest równa:
1
(ln x) =
x
Własności pochodnej:
Jeżeli istnieją pochodna funkcji f (x) i g (x) to istnieją też poniższe pochodne i są równe:
1. (af(x)) = af (x) , a " R
2. (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x)
3. (f(x) - g(x)) = f (x) - g (x)
4. (f(x) · g(x)) = f (x) · g(x) + f(x) · g (x)

f(x) f (x) · g(x) - f(x) · g (x)
5. = , jeśli g(x) = 0

g(x) g2(x)
2
6. Jeżeli y = g(x) i istnieje f (y) to (f(g(x))) = f (y) · g (x)
Uwaga 1: Własności pochodnej 1,2,3 są takie same jak własości granic funkcji, natomiast
własności 4,5,6 są inne!
Uwaga 2: Własność 6 jest to pochodna złożenia (superpozycji) funkcji. Funkcję f nazywamy
funkcją zewnętrzną, a funkcję g funkcją wewnętrzną. Pochodna złożenia jest więc równa
iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrzej i pochodnej funkcji wewnętrznej (w odpowiednich
punktach).
Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:
(6x4 - 4x2 + 7) = 6(x4) - 4(x2) + (7) = 6 · 4x3 - 4 · 2x1 + 0 = 24x3 - 8x

3 1 3
"
2x3 - 6x + 2 5 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
" = 2x - 6x + 2x- = 5x - 3x - x- = 5 x3 - 3 - "
"
x x
x3
1
(x3 ln x) = (x3) ln x + x3(ln x) = 3x2 ln x + x3 = 3x2 ln x + x2 = x2(3 ln x + 1)
x

x2 + 1 (x2 + 1) · (x2 - 1) - (x2 + 1) · (x2 - 1) 2x · (x2 - 1) - (x2 + 1) · 2x -4x
= = =
x2 - 1 (x2 - 1)2 (x2 - 1)2 (x2 - 1)2

sin x (sin x) cos x - sin x(cos x) cos x cos x - sin x(- sin x) 1
(tg x) = = = =
cos x cos2 x cos2 x cos2 x
1
(ctg x) = - (analogicznie)
sin2 x
(ln(cos x))
Wykorzystujemy wzór na pochodną złożenia funkcji: y = g(x) = cos x , f(y) = ln y . Wtedy:
1
f (y) = , g (x) = - sin x , a więc:
y
1 sin x
(ln(cos x)) = · (- sin x) = - = - tg x
y cos x

"
x2 + 1
"
Mamy: y = x2 + 1 , f(y) = y

"
1 2x
"
x2 + 1 = · 2x =
"
2 y
x2 + 1
(sin(ln x))
Mamy: y = ln x , f(y) = sin y
1 1
(sin(ln x)) = cos y · =
x x cos(ln x)
(ln(sin x2))
Jest to złożenie trzech funkcji. Mamy: y = ln x2 , z = sin y , f(z) = ln z
1 2x cos(x2)
(ln(sin x2) = · cos y · 2x =
z sin(x2)

3x2 + sin2 x + x · 2 sin x cos x
ln(x3 + x sin2 x)) =
x3 + x sin2 x
1 1
(xÄ…) = (eln xÄ…) = (eÄ… ln x) = eÄ… ln x · = xÄ… · = Ä…xÄ…-1 , Ä… " R , x > 0
x x
3
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie: Dana jest funkcja f : D1 D2 ciągła, odwracalna oraz punkt x " D1 taki, że
f (x) = 0 . Wtedy funkcja odwrotna do f ma pochodnÄ… w punkcie y = f(x) i jej pochodna

jest równa:
1
(f-1(y)) =
f (x)
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji ex
Funkcja f(x) = ln x spełnia założenia twierdzenia w każdym punkcie x " (0, ") . Funkcją
odwrotnÄ… jest ex :
y = ln x Ð!Ò! x = ey
StÄ…d
1 1
(ey) = = = x = ey
(ln x) 1
x
Lub zmieniajÄ…c oznaczenie argumentu:
(ex) = ex
Przykład zastosowania pochodnej
Dane jest położenie ciała w czasie t :
x(t) = t3 + 4 cos t. Obliczyć prędkość chwilową v(t) i przyśpieszenie chwilowe a(t) w czasie t
v(t) = (x(t)) = 3t2 - 4 sin t
a(t) = (v(t)) = 6t - 4 cos t
Funkcje hiperboliczne
Sinus hiperboliczny
ex - e-x
sinh x =
2
Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: sinh(D) = R
Funkcja nieparzysta, rosnÄ…ca
Cosinus hiperboliczny
ex + e-x
cosh x =
2
Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: cosh(D) =< 1, ")
Funkcja parzysta, rosnÄ…ca w przedziale < 0, ")
Tangens hiperboliczny
sinh x
tgh x =
cosh x
Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: tgh(D) = (-1, 1)
Funkcja nieparzysta, rosnÄ…ca
Cotangens hiperboliczny
cosh x
ctgh x =
sinh x
Dziedzina: D = (-", 0) *" (0, ")
Zbiór wartości: ctgh(D) = (-", -1) *" (1, ")
Funkcja nieparzysta, malejÄ…ca w przedziale (-", -1) oraz w przedziale (1, ")
Pewne własności funkcji hiperbolicznych:
cosh2 x - sinh2 x = 1
4
cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x
(sinh x) = cosh x
(cosh x) = sinh x
1
(tgh x) =
cosh2 x
1
(ctgh x) = -
sinh2 x
Funkcje cyklometryczne
Chcemy zdefiniować funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Aby funkcja odwrotna
istniała musimy ograniczyć dzidzinę i przeciwdziedzinę funkcji trygonometrycznych, aby uzy-
skać funkcją różnowartościową i  na .
Ä„ Ä„
Funkcja f :< - , >< -1, 1 > , f(x) = sin x ma funkcjÄ™ odwrotnÄ…. FunkcjÄ™ tÄ™ nazy-
2 2
wamy arcus sinus:
Ä„ Ä„
arc sin x :< -1, 1 >< - , >
2 2
Å„Å‚
òÅ‚
x = sin y
Ä„ Ä„
y = arc sin x Ð!Ò!
ół - , >
y "<
2 2
Funkcja f :< 0, Ä„ >< -1, 1 > , f(x) = cos x ma funkcjÄ™ odwrotnÄ…. FunkcjÄ™ tÄ™ nazywamy
arcus cosinus:
arc cos x :< -1, 1 >< 0, Ä„ >

x = cos y
y = arc cos x Ð!Ò!
y "< 0, Ä„ >
Ä„ Ä„
Funkcja f : (- , ) (-", ") , f(x) = tg x ma funkcjÄ™ odwrotnÄ…. FunkcjÄ™ tÄ™ nazywamy
2 2
arcus tangens:
Ä„ Ä„
arc tg x : (-", ") (- , )
2 2
Å„Å‚
òÅ‚
x = tg y
Ä„ Ä„
y = arc tg x Ð!Ò!
ół
y " (- , )
2 2
Funkcja f : (0, Ä„) (-", ") , f(x) = ctg x ma funkcjÄ™ odwrotnÄ…. FunkcjÄ™ tÄ™ nazywamy
arcus cotangens:
arc ctg x : (-", ") (0, Ä„)

x = ctg y
y = arc ctg x Ð!Ò!
y " (0, Ä„)
Uwaga Powyższe funkcje są funkjami odwrotnymi tylko do jednej gałęzi danej funkcji try-
gonometrycznej.
Przykład 1: Obliczyć y = sin(arc sin x)
Oznaczmy z = arc sin x
Ä„ Ä„
Wtedy x = sin z , z "< - , >
2 2
Oraz:
y = sin z
StÄ…d:
y = x "x "< -1, 1 >
Przykład 2: Obliczyć y = arc sin(sin x)
Oznaczmy z = sin x
Wtedy y = arc sin z , czyli
Ä„ Ä„
z = sin y , y "< - , >
2 2
5
Mamy:
sin y = sin x
więc
y = x + 2kĄ lub y = Ą - x + 2kĄ , k " Z i k jest takie aby otrzymać wartość y z przedziału
Ä„ Ä„
< - , >
2 2
Pochodne funkcji cyklometrycznych
Obliczmy (arc sin y) dla y " (-1, 1) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. Niech
x = arc sin y, wtedy
1 1 1 1
" "
(arc sin y) = = = =
(sin x) cos x 1 - y2
1 - sin2 x
ZmieniajÄ…c oznaczenie argumentu:
1
"
(arc sin x) =
1 - x2
Analogicznie:
1
(arc cos x) = -"
1 - x2
Obliczmy (arc tg y) dla y " (-", ") z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. NIech
x = arc tg y, wtedy
1 1 cos2 x 1 1
(arc tg y) = = = cos2 x = = =
(tg x) 1 cos2 x + sin2 x 1 + tg2 x 1 + y2
cos2 x
ZmieniajÄ…c oznaczenie argumentu:
1
(arc tg x) =
1 + x2
Analogicznie:
1
(arc ctg x) = -
1 + x2
Przykłady: Obliczyć pochodne:
1 2x
(arc tg(x2)) = · 2x =
1 + x4 1 + x4
(x cosh x) = cosh x + x sinh x
" 1 1 1
" " "
(arc sin x) = · =
1 - x 2 x
2 x - x2
6
Tabela pochodnych funkcji elementarnych:
f(x) f (x) Założenia f(x) f (x) Założenia
1
xÄ… Ä…xÄ…-1 x > 0 , Ä… " R tgh x
cosh2 x
1 1
ln x x > 0 ctgh x - x = 0

x sinh2 x
ex ex
1
"
sin x cos x arc sin x x " (-1, 1)
1 - x2
1
cos x - sin x arc cos x -"
x " (-1, 1)
1 - x2
1 1
2k+1
tg x x = Ä„ , k " Z arc tg x

2
cos2 x 1 + x2
1 1
ctg x - x = kĄ , k " Z arc ctg x -

sin2 x 1 + x2
sinh x cosh x
cosh x sinh x
7