SIMR 2012/13, Analiza 1, wykład 4, 2012-10-26
1
x
Przykład: Obliczyć granicę funkcji lim 1 + x
x0
Wez
my dowolny ciÄ…g (xn) : xn " R , xn = 0 , oraz lim xn = 0

n"
1
xn
Obliczmy granicÄ™ ciÄ…gu: lim 1 + xn = e
n"
Widzimy, że granica ta nie zależy od wyboru ciągu (xn) , a więc granica funkcji f istnieje i
1
x
jest równa: lim 1 + x = e
x0
1
x
Przykład 3: Obliczyć granicę funkcji lim x
x"
1
x
Granica ta jest równa lim x = 1
x"
"
n
Wynik ten można uzyskać korzystając z tego, że lim n = 1 oraz z twierdzenia o 3 ciągach.
n"
xÄ…
Przykład 4: Obliczyć granicę funkcji lim dla a > 1
x"
ax
xÄ…
Granica ta jest równa lim = 0
x"
ax
nÄ…
Wynik ten można uzyskać korzystając z tego, że lim = 0 oraz z twierdzenia o 3 ciągach.
n"
an
Twierdzenie: Dane są funkcje f : Df R oraz g : Dg R . Niech a " R będzie
punktem skupienia zbiorów Df , Dg oraz Df )" Dg. Jeżeli istnieją granice lim f(x) = F oraz
xa
lim g(x) = G to:
xa
1. lim(f(x) + g(x)) = F + G
xa
2. lim(f(x) - g(x)) = F - G
xa
3. lim(f(x)g(x)) = F G
xa
f(x) F
4. lim = , jeśli G = 0

xa
g(x) G
G
5. lim f(x)g(x) = F , jeśli F > 0 lub F = 0 i G > 0
xa
Uwaga 1: a " R można zastąpić a = ą"
Uwaga 2: Widać, że przy obliczaniu granic funkcji można stosować podobne techniki co
przy obliczaniu granic ciągów. Zasady operowania na granicach niewłaściwych ą" są takie
same. Te same są też symbole nieoznaczone
x2 - 4
Przykład 1: Obliczyć lim
x2
x2 + 3x - 10
0
Jest to granica . W liczniku i mianowniku sÄ… wielomiany zerujÄ…ce siÄ™ dla x = 2 . MuszÄ…
0
więc dzielić się przez x - 2
x2 - 4 (x - 2)(x + 2) x + 2 4
lim = lim = lim =
x2 x2 x2
x2 + 3x - 10 (x - 2)(x + 5) x + 5 7
x2 - 4
Przykład 2: Obliczyć lim
x"
x2 + 3x - 10
"
Jest to granica
"
4 4
x2 - 4 x2(1 - ) 1 -
x2 x2
lim = lim = lim = 1
3 10 3 10
x" x" x"
x2 + 3x - 10 x2(1 + - ) 1 + -
x x2 x x2
"
x - 1
Przykład 3: Obliczyć lim
x1
x4 - 1
0
Jest to granica .
0
1
" " "
x - 1 ( x - 1)( x + 1) x - 1 x - 1
lim = lim " = lim " = lim " =
x1 x1 x1 x1
x4 - 1 (x4 - 1)( x + 1) (x4 - 1)( x + 1) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1)( x + 1)
1 1
lim " =
x1
(x3 + x2 + x + 1)( x + 1) 8
x+2

x2 + 3
x
Przykład 1: Obliczyć granicę funkcji lim
x0
2x + 3
Jest to granica 1"
-2x + x2 x + 2

x+2 x+2 2x+3
·
x2 + 3 -2x + x2 -2x + x2
x x
-2x+x2
2x + 3 x
lim = lim 1 + = lim 1 +
x0 x0 x0
2x + 3 2x + 3 2x + 3
2x+3

-2x + x2
-2x+x2
lim 1 + = e
x0
2x + 3
-2x + x2 x + 2 (-2 + x)(x + 2) 4
lim · = lim = -
x0 x0
2x + 3 x 2x + 3 3
StÄ…d
x+2

x2 + 3 4
x
3
lim = e-
x0
2x + 3
Twierdzenie o trzech funkcjach:
Niech f, g, h : D R będą funkcjami takimi, że g(x) f(x) h(x) , "x " D. Niech
ponadto x0 będzie punktem skupienia dziedziny D. Jeżeli istnieją i są sobie równe granice:
lim g(x) = lim h(x) = b to istnieje też granica lim f(x) = b
xx0 xx0 xx0
Uwaga 1 Twierdzenie to zachodzi też w przypadku x0 = ą" oraz b = ą" ( jeśli b = ą"
to wystarczÄ… dwie funkcje).
Uwaga 2 W twierdzeniu tym wystarczy założyć, ze nierówność ta jest spełniona dla x
dostatecznie bliskich x0 czyli: x " (x0 - , x0 + ). Uwaga ta dotyczy większości twierdzeń
dotycÄ…cych granic funkcji.
ln(1 + x)
Przykład: Obliczyć lim
x0
x
Korzystamy z nierówności:
x
ln(1 + x) x , dla x > -1
1 + x
1. Dla x > 0 dzielimy obie strony przez x
1 ln x
1
1 + x x
1
lim = 1 = lim 1 więc
x0 x0
1 + x
ln(1 + x)
lim = 1
x0+ x
2. Dla x < 0 dzielimy obie strony przez x
1 ln x
1
1 + x x
1
Ponieważ lim = 1 = lim 1 więc
x0 x0
1 + x
ln(1 + x)
lim = 1
x0- x
Ponieważ obie granice jednostronne są sobie równe, więc
ln(1 + x)
lim = 1
x0
x
ln(1 + x)
lim = 1
x0
x
Szkic dowodu nierówności
2
x 1
1. Nierówność: ln x x jest prawdziwa dla x = , n " N . Dla takich x ma postać:
1 + x n

1 1 1
< ln 1 + <
n + 1 n n
1
2. Dla x w postaci x = - , n " N , n 2 mamy:
n

1 n - 1 n 1 1
ln(1 + x) = ln 1 - = ln = - ln = - ln 1 + > - =
n n n - 1 n - 1 n - 1
1
-
x
n
=
1
1 + x
1 -
oraz:n

1 1
ln(1 + x) = - ln 1 + < - = x
n - 1 n
m
3. Dla x w postaci x = , m " N , n " Z , n = 0 , n > -m mamy:

n
m
1 m
1 + 1 + : nierówność Bernoulliego, stąd:
n n
m
m 1 1 m
ln(1 + x) = ln 1 + ln 1 + = m ln 1 + < = x
n n n n
4. Dla x " R , x > -1 istnieje ciąg qn " Q taki, że qn > x i lim qn = x . Mamy więc:
n"
ln(1 + x) < ln(1 + qn) < qn
PrzechodzÄ…c do granicy (n ")
ln(1 + x) x
5. Dla x " R , x > -1 mamy
1 -x x
ln(1 + x) = - ln = - ln(1 + )
1 + x 1 + x 1 + x
sin x
Przykład: Obliczyć lim
x0
x
Korzystamy z nierówności:
Ä„
sin x x tg x dla x " (0, )
2
1. Dla x > 0 dzielimy obie strony przez sin x
x 1
1
sin x cos x
Czyli
sin x
cos x 1
x
Ponieważ lim cos x = 1 = lim 1 więc
x0 x0
sin x
lim = 1
x0+ x
Granica lewostronna:
sin x sin -x sin t
lim = lim = lim = 1
x0- x x0- -x t0+ t
(podstawiamy t = -x , jeśli x < 0 to t > 0 oraz lim t = 0)
x0-
Twierdzenie: Granica złożenia funkcji:
Nieach dane będą funkcje: f : Df R , g : Dg Df .
Niech istnieją granice: lim g(x) = b , lim f(y) = c , a funkcja g spełnia warunek ("x "
xa
yb
Dg)x = a Ò! g(x) = b. Wtedy istnieje granica zÅ‚ożenia i jest równa:

lim f(g(x)) = c
xa
ex - 1
Przykład: Obliczyć lim
x0
x
3
ln(1 + y)
W granicy lim = 1 podstawiamy y = ex - 1 . Widać, że lim(ex - 1) = 0 . Stąd:
y0 x0
y
ln(1 + ex - 1) ln(ex) x
1 = lim = lim = lim
x0 x0 x0
ex - 1 ex - 1 ex - 1
StÄ…d:
ex - 1
lim = 1
x0
x
x sin 5x
Przykład: Obliczyć lim
x0
1 - cos x
ëÅ‚ öÅ‚
2
x
x sin 5x x sin 5x sin 5x 5x2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
lim = lim = lim · íÅ‚ Å‚Å‚ · = 20
x
x2
x0 x0
1 - cos x 2 sin2 x x0 5x sin
2 2
4
Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji
Jeżeli w definicji granicy funkcji zastąpimy warunek xn = a warunkiem xn < a to dostaniemy

definicjÄ™ granicy lewostronnej:
lim f(x)
xa-
Podobnie jeśli, xn > a dostaniemy definicję granicy prawostronnej:
lim f(x)
xa+
Uwaga 1: Należy tez odpowiednio zmodyfikować warunek a jest punktem skupienia D
warunkiem a jest lewostronnym(prawostronnym) punktem skupienia.
Uwaga 2: Stosujemy też oznaczenia:
f(a-) = lim f(x) ; f(a+) = lim f(x)
xa- xa+
Przykład
1
lim = +"
x0+ x
1
lim = -"
x0- x
Twierdzenie:
Niech dana będzie funkcja f : D R oraz niech a będzie obustronnym punktem skupienia
D. Wtedy granica lim f(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są równe granice:
xa
lim f(x) = lim f(x) . Oczywiście wtedy granica funkcji jest równa granicy lewostronnej i
xa- xa+
prawostronnej.
|x|
Przykład Obliczyć lim
x0+ x
Obliczamy granicÄ™ lewostronnÄ…:
|x| -x
lim = lim = -1
x0- x x0- x
Obliczamy granicÄ™ prawostronnÄ…:
|x| x
lim = lim = 1
x0+ x0+ x
x
|x|
Ponieważ granice te nie są równe, więc granica lim nie istnieje.
x0+ x
Uwaga: Może zdarzyć się, że dziedzina funkcji f zawiera się w przedziale < a, ") lub
(-", a > . Wtedy granica funkcji jest jednocześnie granicą jednostronną np.
lim ln x = lim ln x ponieważ D = (0, ")
x0
x0+
Ciągłość funkcji
Defninicja: Funkcja f : D R jest ciągła w punkcie x0 " D wtedy i tylko wtedy, gdy:
4
1. lim f(x) = f(x0) : granica funkcji w x0 istnieje i jest równa wartości funkcji w tym
xx0
punkcie
lub
2. x0 jest punktem izolowanym zbioru D.
Uwaga 1: O ciągłości możemy mówić tylko w punktach z dziedziny funkcji: x0 " D
Uwaga 2: Gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru D , wtedy nie ma sensu mówienie o
granicy lim f(x) . Wygodnie jest jednak zdefiniować funkcję w punkcie jako ciągłą.
xx0
Definicja: Funkcja f : D R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym
punkcie x0 " D. Funkcja jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze A ‚" D wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciÄ…gÅ‚a w
każdym punkcie x0 " A.
Uwaga: Jeżeli funkcja jest ciągła i podato jej dziedzina jest przedziałem, to wykres tej
funkcji możemy narysować bez odrywania ręki. Jeżeli dziedzina nie jest przedziałem, to ta
własność nie zachodzi. Wykres funkcji ciągłej określonej na przedziale jest krzywą.
Przykład Pokazać, że f(x) = x2 jest funkcją ciągłą
DziedzinÄ… funkcji jest D = (-", ")
Weżmy dowolne x0 " (-", ")
lim f(x) = lim x2 = x2 = f(x0)
9
xx0 xx0
Funkcja f jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, a więc jest ciągła.
Twierdzenie: Funkcje xą (ą > 0), sin x, cos x , ln x , ex są ciągłe
Twierdzenie: Niech dane będą funkcje f : Df R oraz g : Dg R. Wtedy poniższe
funkcje też są ciągłe:
f(x) + g(x) , x " Df )" Dg
f(x) - g(x) , x " Df )" Dg
f(x) · g(x) , x " Df )" Dg
f(x)
, x " Df )" Dg \ {x " Dg : g(x) = 0}

g(x)
f(x)g(x) , x " Df )" Dg (przy założeniu, że f(x) > 0)
f(g(x)) , x " g-1(Df)
Przykład: Funkcja
"
sin(ln(1 + x)) + e-x
f(x) =
tg x - x2
jest ciągła na całej dziedzinie
Uwaga: Znalezienie dziedziny tej funkcji jest trudne, możemy jednak stwierdzić, że na dzie-
dzinie tej funkcja f jest ciągła.
Przykład: Dla jakich wartości: a, b " R jest ciągła funkcja f : R R:
Å„Å‚
ôÅ‚
x4 + x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x > 1
ôÅ‚
òÅ‚
x3 - 1
f(x) =
ax + b dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
sin x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
dla x < 0
x
Rozwiązanie: Funkcja f jest ciągła na zbiorze (-", 0)*"(0, 1)*"(1") . Pozostaje sprawdzić
ciągłość dla x = 0 i dla x = 1
Dla x = 0: Aby funkcja była ciągła w tym punkcie musi zachodzić: f(0-) = f(0+) = f(0)
f(0) = b
f(0+) = lim f(x) = lim (ax + b) = b
x0+ x0+
sin x
f(0-) = lim f(x) = lim = 1
x0- x0- x
5
Mamy więc równanie: b = 1
Dla x = 1: Aby funkcja była ciągła w tym punkcie musi zachodzić: f(1-) = f(1+) = f(1)
f(1) = a + b
x4 + x - 2 (x - 1)(x3 + x2 + x + 2) x3 + x2 + x + 2
f(1+) = lim f(x) = lim = lim = lim =
x1+ x1+ - 1 x1+ - 1)(x2 + x + 1) x1+ x2 + x + 1
x3 (x
5
3
f(1-) = lim f(x) = lim (ax + b) = a + b
x1- x1-
5
Mamy więc równanie: a + b =
3
2
Rozwiązaniem układu równań jest: a = , b = 1. Dla tych wartości parametrów funkcja f
3
jest ciągła.
Rodzaje punktów nieciągłości
Przykłady funkcji f :< 0, ") R nieciągłej tylko w jednym punkcie x0 = 0
1. Funkcja ma granicę skończoną w x0, ale granica ta nie jest równa wartości funkcji w x0

1 dla x > 0
f(x) =
0 dla x = 0
W punkcie x0 = 0 funkcja ma skok skończony.
2. Funkcja ma granicę nieskończoną w x0
Å„Å‚
1
òÅ‚
dla x > 0
f(x) =
x
ół
0 dla x = 0
W punkcie x0 = 0 funkcja ma skok nieskończony.
3. Funkcja nie ma granicy w x0 (nieskończenie wiele oscylacji w otoczeniu x0)

1
sin dla x > 0
x
f(x) =
0 dla x = 0
Uwaga: W każdym punkcie nieciągłości funkcja zachowuje się podobnie jak w powyższych
przykładach. Zachowanie się funkcji nieciągłej może być bardziej złożone niż w powyższych
prostych przykładach:
1. Amplituda oscylacji może być nieskończona
2. Funkcja może być ciągła z np. lewej strony i nieciągła z prawej
3. Typy nieciągłości funkcji z lewej i prawej strony mogą być różne
4. Może być wiele (nieskończenie wiele) punktów nieciągłości np. funkcja Dirichleta nieciągła
w każdym punkcie:

1 dla x " Q
f(x) =
0 dla x " Q
/
Zastosowania funkcji ciągłej:
Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja f : D R jest ciągła, a zbiór D jest domknięty i ograniczony
to f jest ograniczona (tzn. zbiór f(D) jest ograniczony).
Twierdzenie 2 Jeżeli funkcja f : D R jest ciągła, a zbiór D jest domknięty i ograniczony

to f ma na D maksimum i minimum globalne (tzn. "x1 " D f(x1) = max (D) oraz

"x2 " D f(x2) = min (D) ).
Twierdzenie 3 Jeżeli funkcja f : D R jest ciągła, a zbiór D jest przedziałem to zbiór
f(D) jest też przedziałem.
Z tego twierdzenie wynika, że dla D =< a, b > jeżeli f(a) > 0 oraz f(b) < 0 to istnieje
x0 " (a, b) takie, że f(x0) = 0
Uwaga: Ważnym założeniem w powyższych twierdzeniach są założenia o zbiorze D.
6
Przykład: Pokazać, że równanie ex = 2 - x ma rozwiązanie.
Niech f(x) = ex + x - 2. Mamy f(0) = -1 < 0 , f(1) = e - 1 > 0. Funkcja f jest ciągła
na przedziale < 0, 1 >. Wynika stąd, że w przedziale (0, 1) ma przynajmniej jedno miejsce
zerowe: f(x0) = 0 , x0 " (0, 1) . c0 jest rozwiązaniem równania.
7