RYSZARD GONCZAREK
TEORIA GRUP W FIZYCE
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
Wrocław 2003
Recenzent
Lucjan Jacak
Opracowanie redakcyjne i korekta
Alina Kaczak
Projekt okładki
Zofia i Dariusz Godlewscy
� Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2003
OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ
Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław
ISBN 83-7085-745-0
Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wrocławskiej. Zam. 782/2003.
SPIS TRER
CI
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Morfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Grupy permutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. WłasnoS
ci grup symetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Grupy klasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Ogólne własnoS
ci grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7. Podgrupy i ich własnoS
ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8. Grupy obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9. Grupy ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10. Całkowanie na grupie Liego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11. Grupy operatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12. Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13. Wyznaczanie reprezentacji grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
14. Reprezentacje unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
15. Relacje ortogonalnoS
ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
WSTĘP
Pojęcie grupy odgrywa fundamentalną rolę we współczesnej fizyce. Wynika to z faktu,
że własnoS
ci symetrii układów, w których rozpatrywane są poszczególne zjawiska fi-
zyczne, tworzą grupę, a odpowiadające im prawa fizyki stają się niezmiennicze wzglę-
dem tej grupy. Podstawowy aparat matematyczny stosowany do badania tych zagadnień
stanowią metody teorii grup. Sama teoria grup jest bardzo rozległą i abstrakcyjną dzie-
dziną matematyki, co powoduje wykorzystanie jej w zagadnieniach fizyki, narzuca po-
trzebę selektywnego wyboru materiału. Dlatego zdefiniowanie podstawowych pojęć,
wykazanie istniejących związków i ograniczeń oraz poznanie metod stosowanych w ba-
daniach grup i ich reprezentacji powinno dostarczyć istotnych elementów wiedzy dla
osób interesujących się zagadnieniami fizyki współczesnej.
Niniejszy podręcznik stanowi zebranie materiału wykładanego od wielu lat przez
autora podręcznika studentom kierunku fizyka Wydziału Podstawowych Problemów
Techniki Politechniki Wrocławskiej i powstał przy ich współudziale.
6
1. POJĘCIA PODSTAWOWE
Operacja zamknięta, definicja grupy i okreS
lenie jej własnoS
ci, grupy cykliczne
i abelowe, rząd grupy, tabele mnożenia grupowego, przykłady grup składających
się z kilku elementów, podgrupy
Definicja  Operacja zamknięta
Niech G oznacza zbiór elementów i niech a, b " G, wówczas dowolna operacja np.
"  kropka zdefiniowana na elementach zbioru G nazywa się operacją zamkniętą, jeżeli
dla każdej pary a, b " G zachodzi a " b " G.
Operacja " często jest okreS
lana jako  mnożenie i może ona oznaczać zwykłe mno-
żenie liczb, ale także np. mnożenie macierzowe, dodawanie, dodawanie modulo, skła-
danie (superpozycję) itp. Z tego powodu symbol " jest często zastępowany przez � lub
po prostu pomijany.
Definicja  Grupa
Grupą nazywamy parę {G, " }, tj. zbiór elementów G i operację zamkniętą " , która
spełnia następujące warunki:
1. ŁącznoS
ci, tzn. jeżeli a, b, c " G to (a " b) " c = a " (b " c).
2. Istnieje element jednostkowy e taki, że dla każdego a " G zachodzi a " e = e " a = a.
3. Dla każdego a " G istnieje element odwrotny a 1 taki, że a 1 " a = a " a 1 = e.
Stwierdzenie. Podaną definicję można ograniczyć, zastępując warunki 2 i 3 warunkami
lewostronnymi, prawostronnymi lub mieszanymi, można np. uwzględnić jedynie wa-
runki prawostronne, tj.:
2'. Istnieje element jednostkowy prawostronny e taki, że dla każdego a " G zachodzi
a " e = a.
3'. Dla każdego a " G istnieje element odwrotny prawostronny a 1 taki, że a " a 1 = e
zapewnia spełnienie warunków lewostronnych, a zatem ogółu warunków podanych
w definicji grupy.
1. Pojęcia podstawowe 7
Dowód. (Symbol " został pominięty)
Należy pokazać, że jeżeli ae = a i aa 1 = e, to ea = a i a 1a = e. Ponieważ a 1 " G,
zatem (a 1) 1 " G jest odwrotny do a 1, z czego wynikają następujące relacje:
( )-1 a-1e a-1 a-1 a a-1 a-1 a-1a a-1 a-1
e = a-1 a-1 = ( )( )-1 = [ ( )]( )-1 = [( ) ]( )-1
= ( )[ ( )-1] = ( ) = a-1 a e = a-1a
a-1a a-1 a-1 a-1a e ( )
czyli z warunku aa 1 = e wynika relacja a 1a = e, a ponadto jedynka prawostronna jest
równa jedynce lewostronnej, gdyż
a = ae = a(a-1a) = (aa-1)a = (a-1a)a = ea
Stwierdzenie. Udowodniona własnoS
ć jest słuszna dla grup, ale nie musi być słuszna
dla ogólnych operacji liniowych.
LEMAT. Dla każdego elementu grupy a " G zachodzi (a 1) 1 = a
Dowód.
[ ( )-1] a a-1 a-1 ( )-1 a-1
a = ae = a a-1 a-1 = ( )( )-1 = e a-1 = ( )-1
Definicja  Grupa abelowa lub przemienna
Grupa {G, " } jest grupą abelową zwaną także przemienną, jeżeli dla każdej pary
a, b " G spełniony jest związek a " b = b " a.
Definicja  Rząd grupy
Rząd grupy G  to liczba elementów grupy oznaczana jako n. Jeżeli n jest skończone
(n < "), to grupa jest skończonego rzędu, jeżeli n = " to grupa jest nieskończonego
rzędu.
OkreS
lanie własnoS
ci grup  przykłady
PRZYKŁAD 1
Grupa jednoelementowa jest najprostszą możliwą grupą, która także musi spełniać wszy-
stkie warunki grupy. Ponieważ grupa powinna mieć element neutralny, więc G = {e},
a dla dowolnej operacji " zachodzi e " e " G oraz e 1 = e i e 1 " G. Realizacją takiej
grupy jest para, której zbiór jednoelementowy zawiera liczbę 1, a " oznacza zwykłe mno-
żenie liczb.
8 1. Pojęcia podstawowe
Definicja  Tabela mnożenia dla grupy
Tabela mnożenia dla grupy podaje wszystkie operacje mnożenia elementów grupy.
PRZYKŁAD 2
Grupa dwuelementowa G = {e, a}, " oznacza mnożenie na grupie.
Ponieważ są słuszne relacje: e " e = e i a " a " G, więc a " a = e albo a " a = a.
Jeżeli a " a = a, to (a " a) " a 1 = a " a 1 = e, z czego wynik, że a " (a " a 1) = e, więc
a " e = e i a = e, co jest sprzeczne z założeniem o elementach grupy, gdyż a `" e, a
zatem a " a = e.
Elementem odwrotnym a 1 jest e albo a. Gdyby a 1 = e, to a 1 " a = e " a i e = a,
czyli sprzecznoS
ć, a zatem a 1 = a.
Tabela mnożenia dla grupy dwuelementowej
e a
e e a
a a e
Na przykład G = {1,  1} (e = 1 a =  1) i " oznacza mnożenie liczb.
1  1
1 1  1
 1  1 1
Na przykład G = {0, 1} oraz " oznacza dodawanie modulo 2, tj. a �"2 b a" (a + b)
(mod 2) jest resztą z dodawania po wyłączeniu liczby podzielnej przez 2, czyli parzy-
stej.
0 1
0 0 1
1 1 0
Na przykład G jest zbiorem permutacji w zbiorze dwuelementowym, wówczas per-
mutacja tożsamoS
ciowa jest jedynką grupy e, a permutacja przestawiająca elementy zbioru
jest drugim elementem grupy a
oraz
(a,b)�łe (a,b)�ła �ł(a,b)
�ł(a,b) �ł(b,a)�ła
1. Pojęcia podstawowe 9
Elementy e i a spełniają relacje okreS
lone w pierwszej tabeli. Operacja kropka " może
zarówno oznaczać np. mnożenie, dodawanie modulo, jak i składanie permutacji, co ozna-
cza, że ogólne własnoS
ci i relacje między poszczególnymi elementami są spełnione w
każdym przypadku realizacji danej grupy.
Definicja  Izomorfizm
Dwie grupy nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje jednoznaczna odpowiednioS
ć
między elementami tych grup zachowująca działanie grupowe. Dla grup izomorficznych
G z operacją " i G' z operacją �, gdzie elementom grupy G odpowiadają tak samo ozna-
czone, ale z primami elementy grupy G', dla dowolnej pary elementów grupy G zacho-
dzi relacja (a " b)' = a' � b'.
Stwierdzenie. Grupy izomorficzne są jednakowego rzędu. Grupy o tym samym rzędzie
nie muszą być izomorficzne.
Stwierdzenie. Wszystkie grupy dwuelementowe są izomorficzne.
Stwierdzenie. Ustalenie wartoS
ci tabeli mnożenia na grupie dokonuje się drogą elimina-
cji sprzecznych relacji. Dla wielu grup mogą istnieć różne, nie wykluczające się wzaje-
mnie możliwoS
ci, okreS
lenia mnożenia na grupie.
PRZYKŁAD 3
Grupa trzyelementowa G = {e, a, b}, " oznacza mnożenie na grupie.
Eliminacja sprzecznych relacji:
e
ńł
�ł
a " b " G, zatem a " b =
�ła
�łb
ół
Gdyby a " b = a, wówczas po pomnożeniu przez a 1 " , tj. (a 1 " a) " b = a 1 " a,
otrzymuje się e " b = e, czyli b = e, czyli sprzecznoS
ć. Podobnie w pozostałych przy-
padkach
e
ńł
�ł
�ł
b " a = �! b = e sprzeczność
�ła
�ł
�łb �! a = e sprzeczność
ół
e �! a " b = e �! a " a = a " b �! a = b sprzeczność
ńł
�ł
�ł
a " a = a2 = �! a " a = a �! a = e sprzeczność
�ła
�ł
�łb �! a " a = b
ół
10 1. Pojęcia podstawowe
e �! b " b = e �! b " b = a " b �! b = a sprzeczność
ńł
�ł
�ł
b " b = b2 = �! b " b = a
�ła
�ł
�łb �! b " b = b �! b = e sprzeczność
ół
Dla elementów grupy e, a, b zachodzą zatem relacje a2 = b oraz a3 = a " b = e, co
pozwala przedstawiać grupę trzyelementową w postaci G = {e, a, a2}, gdzie a3 = e.
Tabela mnożenia dla grupy ma postać:
e a b
e e a b
a a b e
b b e a
1 2Ąi
Przykład realizacji grupy  pierwiastki jednoS
ci. Ponieważ , więc 13 3 ,
1 = e
= e2Ąi
a więc
Ąi Ąi Ąi Ąi
2 2 4 6 2Ąi 4Ąi
ńł
�"
2
�ł1,e 3 3 �ł
�ł
3 3 3 3
oraz G = , e
a = e , a2 = b = e = e , a3 = e = e2Ąi =1
�ł żł.
�ł �ł
ół �ł
Stwierdzenie. Zawsze istnieją grupy postaci G = {e, a, a2, a3, an 1}, gdzie an = e. Są to
np. grupy n pierwiastków n-tego stopnia z jednoS
ci, gdzie
n
2Ąi 2Ąi
�ł �ł
n �łe �ł
n
a = e , an = = e2Ąi = 1, e =1
�ł �ł
�ł łł
Stwierdzenie. Zawsze istnieją grupy dowolnego skończonego rzędu n.
Stwierdzenie. Dla dowolnej grupy G i dowolnego elementu a " G można utworzyć ciąg
a0 = e, a1 = a, a2, a3, & , ai,& Jeżeli istnieje n < ", takie że an = e, to element a
jest skończonego rzędu n. W przeciwnym przypadku rząd elementu a jest nieskoń-
czony.
Stwierdzenie. Elementy e = a0, a1, a2, a3, ..., an 1 są różne, gdy a jest rzędu n (an = e).
1. Pojęcia podstawowe 11
Dowód. Nie wprost
Niech ai = aj, gdy 0 d" i < j d" n  1. Wówczas , a zatem e = aj i
( )-1 j ( )-1
ai ai = a ai
dla 0 < j  i < n.
LEMAT. (a " b) 1 = b 1 " a 1 dla dowolnych a, b " G .
Dowód. e = (a " b) 1 (a " b) = (b 1 " a 1) " (a " b) = b 1 " (a 1 " a) " b = e
-1
LEMAT.
(a-1) = a
-1
Dowód.
(a-1) " a-1 = a " a-1 = e
Definicja  Grupa cykliczna rzędu n
Gdy wszystkie elementy grupy G
można zapisać w postaci G = {e, a, a2,
= {e,a,b,...}


n
a3, ..., an 1} oraz an = e, wówczas grupa G nazywa się cykliczną i jest rzędu n.
Stwierdzenie. Wszystkie grupy 1-, 2-, lub 3-elementowe są wyłącznie cykliczne.
PRZYKŁAD 4
Grupa czteroelementowa G = {e, a, b, c}, " oznacza mnożenie na grupie.
Stwierdzenie. Dla grup 4-elementowych istnieją dwie nieizomorficzne formy ich reali-
zacji, gdyż
e
ńł
�ł
a �! a2 = a �! a = e �! sprzecznoS
ć
�ł
a2 =
�ł
�łb
�ł
ółc
Założenie 1. a2 = b, wówczas
a �! a " c = a �! c = e sprzeczność
ńł
�ł
�ł
�łb �! a " c = b = a2 �! a " c = a2 �! a = c sprzeczność
a " c =
�ł
�łc �! a " c = c �! a = e sprzeczność
�ł
�ł
ółe
12 1. Pojęcia podstawowe
oraz
ńłe �! a3 e �! a3 a " c �! a2 = c �! b = c sprzeczność
= =
�ł
�ła �! a3 a �! a2 e �! b = e sprzeczność
= =
�ł
a3 =
�ł
�łb �! a3 b = a3 a2 �! a = e sprzeczność
= =
�ł
�ł
ółc
zatem a4 = e oraz . W tym przypadku grupa
a3 = a2 " a = b " a = a " b = c
jest grupą cykliczną. Tabela mnożenia ma postać:
G = {e, a, b = a2, c = a3}
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Założenie 2. a2 = a prowadzi do sprzecznoS
ci: a = e.
Założenie 3. a2 = c jest równoważne założeniu 1, gdyż element c nie jest w żaden
sposób wyróżniony w stosunku do elementu b. W tym przypadku grupa
G jest także grupą cykliczną.
= {e, a, c = a2, b = a3}
Założenie 4. a2 = e prowadzi do następujących możliwoS
ci
ńłe �! a " b = e = a2 �! b = a �! sprzeczność
�ł
�ł
�ła �! a " b = a �! b = e �! sprzeczność
a " b =
�ł
�łb �! a " b = b �! a = e �! sprzeczność
�ł
�ł
ółc
oraz
ńłe �! a " c = e = a2 �! c = a �! sprzecznoS
ć
�ł
a �! a " c = a �! c = e �! sprzecznoS
ć
�ł
a " c =
�ł
�łb
�ł
ółc �! a " c = c �! a = e �! sprzecznoS
ć
1. Pojęcia podstawowe 13
Analogicznie można wykazać, gdyż nie ma innych możliwoS
ci, że b " a = c oraz
c " a = b. Uwzględniwszy, że c2 = (b " a) " (a " b) = (b " (a " a)) " b oraz a2 = e,
otrzymuje się relację b2 = c2, która prowadzi do następujących możliwoS
ci
ńłe �! b2 c2 e
= =
�ł
�ła �! b2 c2 a
= =
�ł
b2 =
�ł
b �! b2 = b �! b = e �! sprzecznoS
ć
�ł
�ł
�ł =
ółc �! b2 c = c2 �! c = e �! sprzecznoS
ć
Założenie 4a. b2 = c2 = a
Po pomnożeniu a = b2 przez a i wykorzystaniu podanych związków otrzymuje się
e = (a " b) " b = c " b oraz e = b " (b " a) = b " c. W tym przypadku tabela mnożenia
dla grupy ma postać:
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a
Po dokonaniu wzajemnie jednoznacznej zamiany elementów a i b ( ) powyższa
a "! b
tabela uzyskuje postać
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
która jest identyczna z tabelą mnożenia dla grupy otrzymaną przy założeniu, że a2 = b,
zatem przyjmując, że a2 = e oraz b2 = c2 = a otrzymuje się grupę cykliczną.
Założenie 4b. b2 = c2 = e
Po pomnożeniu a " b = c i b " a = c przez b i wykorzystaniu podanych związków
otrzymuje się kolejne relacje: a = c " b oraz a = b " c. W tym przypadku tabela mnoże-
nia dla grupy ma postać
14 1. Pojęcia podstawowe
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
w której na diagonali znajduje się zawsze element neutralny e. Tabeli tej nie można po-
przez zamianę zmiennych sprowadzić do postaci uzyskanych dla grupy cyklicznej.
Stwierdzenie. Grupa o relacjach podanych w powyższej tabeli nie jest grupą cykliczną.
To tzw. czterogrupa.
Stwierdzenie. Dla grupach czteroelementowych istnieją dwie różne, nieizomorficzne ich
formy. Są to grupa cykliczna i czterogrupa. Obie grupy są abelowe (przemienne).
Stwierdzenie. WS
ród możliwych grup dowolnego rzędu n zawsze istnieją grupy cykliczne.
Grupy cykliczne są abelowe. Jeżeli liczba elementów grupy jest liczbą pierwszą, to gru-
pa może być tylko grupą cykliczną.
PRZYKŁAD
Przykładem realizacji czterogrupy jest grupa symetrii prostokąta C2v, która zawiera
zbiór wszystkich przekształceń prostokąta zmieniających jego położenia w przestrzeni
R2. Grupę C2v = {e, a, b, c} tworzą następujące elementy symetrii:
1. e  przekształcenie tożsamoS
ciowe,
2. a  obrót o kąt 180� względem osi OZ,
3. b  odbicie względem osi OX,
4. c  odbicie względem osi OY.
Elementy a2 = b2 = c2 = e definiują przekształcenia tożsamoS
ciowe, natomiast złożenie
dwóch elementów odbicia dają obrót: b " c = a. Ponadto a " b = c i a " c = b.
Definicja  Podgrupa
Zbiór elementów H zawarty w w grupie G (H �" G ) nazywamy podgrupą grupy G, gdy
1. e " H,
2. a, b " H, to a " b " H,
3. a " H, to a 1 " H,
tzn. H jest grupą zawartą w grupie G.
PRZYKŁAD
W czterogrupie G = {e, a, b, c} zbiory H1, H2 i H3 tworzą podgrupy:
1. Pojęcia podstawowe 15
{ , }, ,
H1 = e a a2 = e a-1 = a
{ , }, ,
H2 = e b b2 = e b-1 = b
{ , }, ,
H3 = e c c2 = e c-1 = c
Stwierdzenie. W każdej skończonej grupie G, ciąg elementów {a, a2, a3,..., an = e}, gdzie
n jest rzędem elementu, a " G stanowi podgrupę cykliczną grupy G.
Stwierdzenie. Jeżeli grupa G jest rzędu n i składa się z elementów G = {a1,a2,...,an}, to
w ciągach a1 �" ai, a2 �" ai,..., an �" ai (ai " G) oraz a �" a1, a �" a2,..., a �" an (a " G) każ-
j j j j
dy element może występować tylko jeden raz.
Dowód. Nie wprost
( ) ( )
Niech ak `" al oraz ak �" ai = al �" ai �! ak �" ai �" ai-1 = al �" ai �" ai-1 �! ak = al , czyli
sprzecznoS
ć.
Wniosek. W tabelach mnożenia dla grupy w każdym rzędzie i w każdej kolumnie dany
element może występować tylko jeden raz.
Stwierdzenie. Przedstawione badania relacji grupowych  to badania indukcyjne. Mogą
być one prowadzone dla grup 5, 6,... rzędu, ale jest to mało pouczające, a same badania
szybko się komplikują. Wyjątek stanowią grupy, których rząd jest liczbą pierwszą. Gru-
pa rzędu n = 5 jest tylko cykliczna. Dla zbioru 6 elementów istnieje kilka możliwoS
ci
utworzenia grupy. W zbiorze tych grup istnieją grupy nieabelowe (nieprzemienne), ale
istnieje także grupa cykliczna.
Stwierdzenie. Grupy nieskończonego rzędu mogą być przemienne np. grupa liczb cał-
kowitych z operacją dodawania, gdyż dla dowolnych a i b, a + b = b + a, e = 0 oraz
a 1 =  a, lub nieprzemienne, jak np. grupa macierzy unitarnych (U " U 1 = E) z opera-
cją mnożenia macierzowego, gdyż w ogólnoS
ci U1 " U2 `" U2 " U1.
16
2. MORFIZMY GRUP
Odwzorowania grup  morfizmy. Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm, izo-
morfizm, endomorfizm, automorfizm. Jądro homomorfizmu
Odwzorowania zbioru X w zbiór Y za pomocą funkcji f wyraża się następująco f :
X Y. Wówczas X jest dziedziną, Y  przeciwdziedziną, a Im f = {f(x), x " X} = f(X)
 1
= Y0 �" Y tworzy tzw. obraz. Zbiór f (Y0) = {x " X, f(x) = Y0} to tzw. przeciwobraz.
Pojęcia te stają się istotne przy definiowaniu odwzorowań o szczególnych własnoS
ciach
i pozwalają okreS
lić następujące ich rodzaje:
f
f
obraz
X  dziedzina
f 1
f 1
Y  przeciwdziedzina
przeciwobraz
Rysunek. Elementy odwzorowania
" Odwzorowanie zbioru  na zbiór nazywa się surjekcją lub odwzorowaniem surjek-
tywnym.
" RóżnowartoS
ciowe odwzorowanie zbioru w zbiór  1�1 to injekcja lub odwzorowa-
nie injektywne.
" RóżnowartoS
ciowe odwzorowanie zbioru na zbiór (surjekcja i injekcja) to bijekcja
lub odwzorowanie bijektywne.
" Ponadto złożenie dwóch odwzorowań nazywa się superpozycją odwzorowań.
2. Morfizmy grup 17
Stwierdzenie. Formalne ujęcie własnoS
ci obiektów matematycznych okreS
la się termi-
nem kategorii, który mieS
ci w sobie pojęcia obiektów i morfizmów (przekształceń).
W kategorii zbiorów obiektami są zbiory, a morfizmami ich odwzorowania, w kategorii
grup natomiast obiektami są grupy, a morfizmami poniżej zdefiniowane przekształce-
nia.
Definicja  Homomorfizm
Odwzorowanie f : {G, " } {G', �}, które zachowuje działanie grupowe nazywa
się homomorfizmem, co oznacza, że jeżeli a, b " G oraz f : a a', f : b b' , to
zachodzi relacja: (a " b) ' = a ' � b '
.
Definicja  Endomorfizm
Endomorfizm to homomorfizm grupy w siebie.
Definicja  Epimorfizm
Epimorfizm to homomorfizm surjektywny, czyli  na tj. grupy na grupę.
Definicja  Monomorfizm
Monomorfizm to homomorfizm injektywny, czyli  1�1 tj. różnowartoS
ciowy.
Definicja  Izomorfizm (por. s. 9)
Izomorfizm to homomorfizm bijektywny, czyli różnowartoS
ciowy i  na , wówczas
każdemu elementowi jest przyporządkowany dokładnie jeden element, a rzędy obu grup
są jednakowe.
Definicja  Jądro homomorfizmu
Jądrem homomorfizmu f nazywamy zbiór Ker f = {a " G, że f(a) = e', gdzie e'
jest jedynką grupy G'}.
Stwierdzenie. Jeżeli jądro epimorfizmu Ker f = {e}, to epimorfizm jest izomorfizmem.
Dowód. Nie wprost
Niech dla jakichS
a, b " G oraz a `" b zachodzi równoS
ć f (a) = f (b). Wynika stąd,
-1
że f (b " a-1) = f (b) � f (a-1) = f (a) �[f (a)] = e' , ale jądro epimorfizmu jest jed-
nowartoS
ciowe, zatem b " a 1 = e, czyli b = a, a więc sprzecznoS
ć.
Stwierdzenie. Zbiór H = Ker f jest podgrupą grupy G.
Dowód.
1. Operacja zamknięta. Jeżeli a, b " H, to a " b " H, gdyż
f (a " b) = f (a)� f (b) = e'�e'= e' .
-1 -1
2. Element odwrotny. Jeżeli a " H, to a 1 " H, gdyż .
f (a-1) = [f (a)] = e' = e'
18 2. Morfizmy grup
3. Element jednostkowy e " H, gdyż
.
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2
f e = f a " a-1 = f a �[f a ]-1 = e � e = e
Definicja  Automorfizm
Izomorfizm grupy w siebie to automorfizm.
Stwierdzenie. Zbiór automorfizmów Aut(G) = {eG, �, �, �, ...} z operacją superpozycji
tworzy grupę. Jest to podgrupa grupy S(G) wszystkich bijekcji zbioru G w siebie.
19
3. GRUPY PERMUTACJI
Grupa symetryczna i alternująca, cykle przejS
cia, transpozycje, parzystoS
ć per-
mutacji, przykłady grup symetrycznych nieabelowych
Definicja  Grupa symetryczna
Grupa S(G)  grupa wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań n-elemen-
towego zbioru G w siebie tworzy tzw. n-tą grupę symetryczną Sn.
Stwierdzenie. Grupa symetryczna Sn to grupa permutacji n elementów w siebie i jest
rzędu n!.
Definicja  Elementy grupy S
n
Elementami grupy symetrycznej Sn są różnowartoS
ciowe odwzorowania (permuta-
cje), które oznacza się następująco:
�ł 1 2 3 ... n -1 n
�ł
�ł �ł
pi = = {m1, m2, m3, ... , mn},
�ł
m1 m2 m3 ... mn-1 mn �ł
�ł łł
gdzie {m1, m2, m3, ..., mn} to pewne ustawienie zbioru pierwszych n liczb naturalnych
w stosunku do porządku naturalnego.
Stwierdzenie. Elementy pi grupy symetrycznej S6 są np. postaci:
1 2 3 4 5 6
�ł �ł
�ł �ł
pi =
�ł6 5 4 3 2 1�ł
�ł łł
W grupie symetrycznej S6 znajduje się 6! = 720 różnych elementów pi.
Stwierdzenie. W każdej permutacji można wyróżnić cykle przejS
cia, które są np. postaci:
20 3. Grupy permutacji
1 2 3 4 5 6
�ł �ł
�ł �ł
pi =
�ł6 5 4 3 2 1�ł = (16) (25) (34)
2 2 2
�ł łł
lub
1 2 3 4 5 6
�ł �ł
�ł �ł
p =
j
�ł6 4 1 2 5 3�ł = (163)(24)(5)
3 2 1
�ł łł
Takie wyrażenie permutacji przez cykle, to rozbicie permutacji na cykle rozłączne.
Cykle te w zależnoS
ci od permutacji mogą być różnej długoS
ci. W podanych przykła-
dach ich długoS
ć wynosi 1, 2, lub 3.
Definicja  DługoS
ć cyklu
Cykl zawierający l elementów jest cyklem o długoS
ci l.
Stwierdzenie. Cykle jednoelementowe przekształcają element zbioru w siebie.
Stwierdzenie. Wyróżnione cykle są zamknięte i rozłączne.
Stwierdzenie. Działanie cyklu na zbiór uporządkowany naturalnie można przedstawić
następująco, np.:
,
(163){1, 2, 3, 4, 5, 6} = {6, 2,1, 4,5, 3}
lub odpowiednio w uproszczonej formie: (163){136} = {613}, co odpowiada rozłożeniu
permutacji na cykle rozłączne i pominięciu jednoelementowych (2), (4) i (5) cykli
tożsamoS
ciowych, tj.:
1 2 3 4 5 6
�ł �ł
�ł �ł
pk =
�ł6 2 1 4 5 3�ł = (163)
�ł łł
Stwierdzenie. Efekt permutacji nie zależy od kolejnoS
ci wykonywania przestawień
w cyklu, tzn. od tego, który element cyklu jest początkowy. Dlatego w cyklach zamknię-
tych, elementy tych cykli można przestawiać cyklicznie, np.: (163) = (316) = (631).
Definicja  Transpozycje
Cykle dwuelementowe to tzw. transpozycje.
Stwierdzenie. Dowolny cykl można przedstawić jako iloczyn transpozycji, które nie muszą
być rozłączne, np.:
(163) = (13)(16), wówczas (13)(16){136} = (13){631} = {613}
lub korzystając z równoważnoS
ci cykli rozłącznych (163) i (316) można otrzymać
3. Grupy permutacji 21
(316) = (36)(31), wówczas także (36)(31){136} = (36){316} = {613}.
Stwierdzenie. Dla cykli rozłącznych kolejnoS
ć wykonywania działań jest nieistotna,
natomiast dla cykli nierozłącznych kolejnoS
ć wykonywania działań jest istotna, np.:
(31)(36){136} = (31){163} = {361} `" {613}, zatem (31)(36) `" (36)(31).
Stwierdzenie. Rozkład cyklu na transpozycje nierozłączne nie jest jednoznaczny. Istnie-
ją zawsze różne możliwoS
ci rozłożenia, np.: (163) = (13)(16) lub (163) = (631) = (61)(63).
Stwierdzenie. Rozkład cyklu (1234...n) o długoS
ci n na transpozycje można zawsze wy-
razić w jednej z następujących form:
(1 2 3 4 ... n) = (1 n)(1 n 1)(1 n 2)...(1 3)(1 2),
(2 3 4 ... n 1) = (2 1)(2 n)(2 n 1)...(2 4)(2 3),
.
.
.
(n 1 2 ... n  1) = (n n  1)(n n  2)(n n 3)...(n 2)(n 1).
Definicja  ParzystoS
ć permutacji
ParzystoS
ć permutacji okreS
la się przez liczbę P = ( 1)N, gdzie N to liczba transpo-
zycji, na które można rozłożyć permutację. Gdy P = 1 permutacja jest parzysta, a gdy
P =  1 permutacja jest nieparzysta.
Definicja  Permutacja
Permutacja to dowolna bijekcja f n-elementowego zbioru w siebie. Zbiór ten nie
musi być w żaden sposób uporządkowany, a wzajemne przyporządkowanie elementów
zbioru dokonuje się jak pokazano na rysunku.
Rysunek. Odwzorowanie zbioru kilkuelementowego w siebie
22 3. Grupy permutacji
Stwierdzenie. Iloczyn dwóch permutacji zbioru n-elementowego, czyli złożenie albo
superpozycja dwóch permutacji, jest także permutacją. Operacja składania permutacji
zatem jest operacją zamkniętą.
Stwierdzenie. Zbiór permutacji zbioru n-elementowego z operacją superpozycji tworzy
grupę składającą się z n! elementowów (rzędu n!). Jest to grupa symetryczna Sn.
PRZYKŁADY
Grupy symetryczne
S1 = {e} jest rzędu 1! = 1 i zawiera jedną permutację parzystą e, gdyż P = ( 1)0 = 1,
S2 = {e, (12)} jest rzędu 2! = 2 i zawiera jedną permutację parzystą e oraz jedną
nieparzystą (12), gdyż P = ( 1)1 =  1. Grupy S1, S2 są abelowe.
S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} jest rzędu 3! = 6 i zawiera 3 permutacje parzyste
e, (123) i (321), gdyż P = ( 1)0 = ( 1)2 = 1, oraz 3 nieparzyste (12), (13) i (23), gdyż
P = ( 1)1 =  1. Grupa S3 jest nieabelowa, ponieważ składanie jej elementów nie jest
przemienne, np.: (12)(13) `" (13)(12), gdyż (12)(13) = (132) = (321), a (13)(12) = (123)
`" (321).
Stwierdzenie. Grupy symetryczne Sn dla n e" 3 nie są abelowe.
LEMAT. Dla dowolnych transpozycji zachodzą równoS
ci (i j) = (j i) oraz (i j)2 = e.
Tabela mnożenia dla grupy S3:
e (12) (13) (23) (123) (321)
e e (12) (13) (23) (123) (321)
(12) (12) e (321) (123) (23) (13)
(13) (13) (123) e (321) (12) (23)
(23) (23) (321) (123) e (13) (12)
(123) (123) (13) (23) (12) (321) e
(321) (321) (23) (12) (13) e (123)
Przykłady mnożenia elementów grupy
(13)(12) = (123)
(12)(13) = (132)(321)
(12)(23) = (21)(23) = (231) = (123)
(12)(123) = (12)(231) = (12)(21) (23) = (23)


e
(12)(321) = (12)(132) = (12)(12)(13) = (13)
(123)(123) = (13)(12)(231) = (13) (12)(21) (23) = (13)(23) = (31)(32) = (321)


e
3. Grupy permutacji 23
Definicja  Podgrupy trywialne
Podgrupy trywialne grupy G to cała grupa (H = G) oraz podgrupa składająca się wy-
łącznie z elementu jednostkowego, H = {e}.
Stwierdzenie. Grupa S3 ma 4 nietrywialne podgrupy: trzy dwuelementowe  {e, (12)},
{e, (13)}, {e, (23)} oraz jedną trójelementową  {e, (123), (321)}. Podgrupy te są cy-
kliczne.
Stwierdzenie. Każda grupa zawiera podgrupę lub podgrupy cykliczne, które można wy-
odrębnić w następujący sposób. Jeżeli a " G, to ciąg elementów {a = a1, a2, a3, ..., ak = e}
tworzy podgrupę cykliczną rzędu k. WartoS
ć k jest także rzędem elementu a.
24
4. WA
ASNOR
CI GRUP SYMETRYCZNYCH
Twierdzenie Cayleya, podgrupa regularna, rozkład na cykle rozłączne, grupy, dla
których rząd jest liczbą pierwszą
TWIERDZENIE CAYLEYA. Każda grupa rzędu n jest izomorficzna z jakąS
podgrupą
grupy symetrycznej Sn (rząd Sn = n!).
Dowód. Niech G = {a1, a2, ..., an} i niech ai " G, wówczas zbiór {aia1, aia2, ..., aian}
zawiera wszystkie elementy grupy G, a każdy element występuje tylko jeden raz, gdyż
aiak `" aial �! ak `" al. Należy zatem dokonać jednoznacznego przyporządkowania ele-
mentom grupy G elementów grupy Sn. Ustala się następujące przyporządkowania:
a1 a2 ... an �ł
�ł
�ł
�ł
ai Pai =
�ła a1 aia2 ... aian
�ł
�ł i
łł
a1 a2 ... an
�ł �ł
�ł �ł
aj Paj =
�ła ja1 a ja2 ... a jan �ł
�ł łł
oraz
a1 a2 ... an
�ł �ł
�ł �ł
aiaj P =
a a
i j
�łaia ja1 aia ja2 ... aia jan �ł
�ł łł
Aby udowodnić, że ustalone przyporządkowanie okreS
la izomorfizm grupy G we
wskazaną podgrupę grupy Sn, wystarczy wykazać, że spełniona jest relacja: PaiPaj = Paiaj.
Po dokonaniu przestawienia elementów można wyrazić Pai następująco
�ł ... �ł
a1 a2 ... an �ł a ja1 a ja2 a jan �ł
�ł �ł
�ł �ł
P = = .
a
i
�ła a1 aia2 ... aian �ł �łaia ja1 aia ja2 ... aia jan �ł
�ł i łł �ł łł
4. WłasnoS
ci grup symetrycznych 25
Wówczas
a a1 a a2 ... a an a1 a2 ... an
�ł �ł �ł �ł
j j j
�ł �ł �ł �ł
PaiPaj =
�łaia ja1 aia ja2 ... aia jan �ł �ła ja1 a ja2 ... a jan �ł
�ł łł �ł łł
a1 a2 ... an
�ł �ł
�ł �ł
= = P .
aj
a
i
�łaia ja1 aia ja2 ... aia jan �ł
�ł łł
Stwierdzenie. Grupa S3 szeS
cioelementowa ma podgrupę trzyelementową {e, (123),
(321)}, która jest izomorficzna z każdą grupą rzędu n = 3.
Stwierdzenie. Grupa S4 dwudziestoczteroelementowa ma podgrupy izomorficzne z czte-
rogrupą i z czteroelementową grupą cykliczną.
PRZYKŁAD 1.
Dla elementów czterogrupy G = {e, a, b, c} zachodzą relacje: a2 = b2 = c2 = e, ab = c,
bc = a, ca = b. Elementy grupy S4 należy wybrać w postaci
e a b c e a b c e a b c
e a b c �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
P = = =
e a c
�łe a b c�ł , P �ła e c b�ł , Pb = �łb c e a�ł , P �łc b a e�ł ,
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
wprowadzając cykle zamknięte wyraża się je następująco:
Pe = e, Pa = (e a)(b c), Pb = (e b)(a c), Pc = (e c)(a b),
zatem szukany podzbiór grupy S4 jest postaci {Pe, Pa, Pb, Pc} = {e, (e a)(b c), (e b)(a c),
(e c)(a b)}. Aby wykazać zachodzenie relacji grupowych Pab = PaPb = Pc, wykorzys-
tuje się własnoS
ci mnożenia cykli, np.: PaPb = (e a)(b c) (e b)(a c) = (otrzymując po
przekształceniach) = (e c)(a b) = Pc.
PRZYKŁAD 2.
Dla czteroelementowej grupy cyklicznej G = {e, a, b = a2, c = a3}, gdzie a4 = e, elemen-
ty grupy S4 należy wybrać w postaci
e a b c e a b c e a b c e a b c
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
Pe = �ł
�łe a b c�ł , Pa = �ł �łb c e a�ł , Pc = �ł
�ła b c e�ł , Pb = �ł �łc b a e�ł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
wówczas odpowiadają im następujące cykle:
Pe = e, Pa = (e a b c), Pb = (e b)(a c), Pc = (e c b a)
26 4. WłasnoS
ci grup symetrycznych
Aby wykazać zachodzenie relacji grupowych, ponownie wykorzystuje się własnoS
ci
mnożenia cykli.
Stwierdzenie. Permutacja na n-elementach daje się przedstawić w formie cykli o długo-
S
ciach 1, 2, 3, 4, ... lub n.
Stwierdzenie. Permutacje występujące w dowodzie twierdzenia Cayleya nie pozostawiają
żadnego elementu permutowanego zbioru na swoim miejscu z wyjątkiem permutacji
tożsamoS
ciowej Pe.
Podgrupy regularne i ich własnoS
ci
Definicja  Podgrupa regularna
Podgrupa grupy Sn nazywa się podgrupą regularną, jeżeli jej każdy element, z wyjąt-
kiem elementu Pe, przestawia wszystkie elementy permutowanego zbioru. Na przykład
1 2 3 4 1 2 3 4
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł
�ł2 3 4 1�ł jest permutacją regularną, a �ł
�ł1 2 4 3�ł nie jest permutacją regularną.
�ł łł �ł łł
Stwierdzenie. Podgrupa Sn izomorficzna z grupą n-elementową jest podgrupą regularną,
co wynika z konstrukcji dowodu twierdzenia Cayleya, gdyż gdyby permutacja
a1 a2 ... an
�ł �ł
�ł �ł
P =
pozostawiała jakiS
element na swoim miejscu, wówczas
a
i
�ła a1 aia2 ... aian �ł
�ł i łł
np. aj = aiaj, ale stąd wynika, że ai = e, więc sprzecznoS
ć.
LEMAT. W podgrupie regularnej permutacji żadne dwa elementy podgrupy nie prze-
kształcają danego elementu zbioru w inny, ale taki sam element.
1
1
2
2
4
3 5
3
4
5
Rysunek. Przykład przekształcania zbioru pięcioelementowego przez permutację regularną
4. WłasnoS
ci grup symetrycznych 27
Dowód. Nie wprost
Niech p1, p2 (p1 `" p2) są różnymi permutacjami pewnej podgrupy regularnej R. Przyj-
mując, że działają one tak na pewien element a, że p1a = b oraz p2a = b, z faktów, że
 1  1  1
p1, p2 " R oraz p1 " R, wynika, że p2p1 b = b, czyli że permutacja regularna p2 p1
 1
pozostawia element b na swoim miejscu, a zatem p2p1 = e, a stąd p2 = p1, co stanowi
sprzecznoS
ć.
(a1, a al l = e
LEMAT. Cykl (a1, a2, ..., al) o długoS
ci l musi spełniać tożsamoS
ć:
..., )
2,
l
oraz zachodzi relacja, że ( ,
a a al l' gdy l < l.
1 ..., ) `" e
2,
l
LEMAT. Jeżeli element podgrupy regularnej da się rozłożyć na cykle rozłączne, to cykle
te muszą mieć tę samą długoS
ć.
Dowód.
Niech cykl = ( ,..., )( ,..., ) , gdzie l = l1 + l2 l1 l2
p a1 al al +1 al +l2 oraz < wówczas
1 1 1
l1 l2
l1
�ł łł
pl1 = �ł( ,..., )( ,..., )śł = ( ,..., )l1 ( ,..., )l1 ( ,..., )l1
a1 al1 al1+1 al1+l2 a1 al1 al1+1 al1+l2 =e al1+1 al1+l2
�ł śł
l1 l2
l1 l2 l2
�ł �ł
,..., ,...,
a1 al1 al1+1 al1+l2
a zatem elementy
nie ulegają przestawieniu, podczas gdy elementy
ulegają przestawieniu, czyli zachodzi sprzecznoS
ć z podstawowymi własnoS
ciami ele-
mentów podgrupy regularnej R, gdyż p " R �! pl1 " R , a permutacja nie przesta-
pl1
,...,
wia żadnego z elementów a1 al .
1
Stwierdzenie. Cykl o długoS
ci l umożliwia utworzenie podgrupy cyklicznej rzędu l
j
p1 = (a1,...,al ) p = (a1,...,al )
o elementach , oraz pl = (a1,...,al )l = e
j
l l l
TWIERDZENIE. Każda grupa G rzędu n jest grupą cykliczną, jeżeli n jest liczbą
pierwszą.
Dowód
Grupa G jest izomorficzna z jakąS
podgrupą regularną R grupy Sn. Podgrupa R za-
wiera jedynie elementy, które stanowią jeden cykl długoS
ci n, gdyż n jest liczbą pierw-
szą, a elementy podgrupy R mogą być podzielne wyłącznie na cykle rozłączne o jedna-
kowej długoS
ci oraz element jednostkowy e, który jest iloczynem n cykli o długoS
ci 1.
Niech ponadto R = {p1 = e, p2, p3, ..., pn}. Dowolny element p " R, różny od e, odpo-
wiada pewnemu cyklowi o długoS
ci n, co pozwala wygenerować podgrupę cykliczną
R1 = {p, p2, p3, ..., pn} = e} zawierającą n elementów.
28 4. WłasnoS
ci grup symetrycznych
Ponieważ p" R , więc pi " R , czyli R1 �" R . Ale rząd grupy R1 wynosi n, zatem
podgrupy R1 i R mają jednakową liczbę elementów oraz wszystkie elementy podgrupy
R1 należą do R. Wynika stąd, że R1 = R oraz R jest grupą cykliczną.
PRZYKŁAD
Dowolna grupa trzeciego rzędu jest izomorficzna z jakąS
podgrupą R grupy S3, która
zawiera 6 elementów. Tą podgrupą jest R = {e, (123), (321)}, która jest cykliczna, gdyż
R = {(123), (123)2, (123)3} = {(123), (321), e}.
Stwierdzenie. Dla dużych n liczba różnych możliwych grup jest na ogół duża, ale gdy n
jest liczbą pierwszą, wóczas istnieje tylko jedna możliwoS
ć utworzenia grupy i jest to
grupa cykliczna.
Stwierdzenie. Gdy rząd grupy jest liczbą pierwszą, wówczas każdy element p grupy,
z wyjątkiem e, generuje całą grupę G = {p, p2, p3,..., pn = e} i jest rzędu n oraz pk `" e,
gdy k < n.
Definicja  Grupa alternująca
Wszystkie permutacje parzyste zbioru n-elementowego tworzą podgrupę An �" Sn ,
która jest rzędu n!/2. Jest to tzw. grupa alternująca.
PRZYKŁAD
Grupa S3 = {e,(12),(13),(23),(123),(321)}
i podgrupa permutacji parzystych  grupa
alternująca A3 = {e,(123),(321)}.
29
5. GRUPY KLASYCZNE
Grupy symetrii, grupy punktowe, grupy klasyczne, grupy ortogonalne, unitarne,
specjalne ortogonalne, specjalne unitarne (unimodularne), parametry grupy, grupy
nakrywające, przykłady
Definicja  Grupa symetrii
Grupa symetrii to zbiór przekształceń symetrii wraz z operacją superpozycji.
Definicja  Grupy punktowe
Grupy symetrii skończonego rzędu, w których przy przekształceniach symetrii za-
chowuje się jeden niezmieniony punkt, nazywamy grupami punktowymi.
Definicja  Grupy klasyczne
W grupach (nieskończonego rzędu) przekształceń przestrzeni afinicznych, euklide-
sowych, oraz unitarnych, podgrupy pozostawiające niezmieniony jeden ustalony punkt
(np. początek układu współrzędnych) nazywamy grupami klasycznymi.
Definicja  Macierz nieosobliwa
Macierz kwadratowa n�n nad ciałem liczb rzeczywistych R lub liczb zespolonych C,
mij " R
nieosobliwa jest oznaczana odpowiednio jako Mn(R), gdzie i det Mn(R) `" 0 lub
mij "C
Mn(C), gdzie i det Mn(C) `" 0.
Definicja  Ogólna grupa liniowa
Zbiór macierzy Mn(R) lub Mn(C) z operacją mnożenia macierzowego tworzy tzw.
ogólną grupę liniową GL(n,R) nad ciałem liczb rzeczywistych lub GL(n,C) nad ciałem
liczb zespolonych.
Stwierdzenie. Warunek det M (R) `" 0 lub det M (C) `" 0 zapewnia istnienie macierzy
n n
 1  1
odwrotnych M (R) lub M (C), które stanowią elementy odwrotne grupy. Element jed-
n n
nostkowy grupy przyjmuje postać:
30 5. Grupy klasyczne
1 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 1 0śł
E =
�ł śł
�ł śł
�ł0 0 1śł
�ł �ł
czyli E jest macierzą jednostkową n�n. Ponadto spełnione są relacje Mn(R)�Mn(R) 1 =
Mn(R) 1�Mn(R) = E lub Mn(C)�Mn(C) 1 = Mn(C) 1�Mn(C) = E.
Definicja  Specjalna grupa liniowa
Zbiór macierzy Mn(R) lub Mn(C) z operacją mnożenia macierzowego tworzy tzw.
specjalną grupę liniową SL(n,R) nad ciałem liczb rzeczywistych lub SL(n,C) nad cia-
łem liczb zespolonych, gdy macierze Mn(R) lub odpowiednio Mn(C) są unimodularne,
tj. det Mn(R) = 1 lub det Mn(C) = 1.
Stwierdzenie. Dla obu rozważanych grup, gdy ograniczyć ciało liczb, powstają podgru-
py, np.:
SL(n, R)
GL(n, R) SL(n,Q) SL(n,Z ) E(n)
GL(n,Q)
gdzie: Q  liczby wymierne, Z  liczby całkowite.
Definicja  Grupa ortogonalna
Grupa ortogonalna lub grupa macierzy ortogonalnych O(n) jest postaci:
O(n) = {A"{M (R)} oraz A�" AT = AT �" A = E}
n
Definicja  Grupa specjalna ortogonalna
Grupa specjalna ortogonalna lub grupa specjalna macierzy ortogonalnych SO(n) jest
postaci:
SO(n) = {A"O(n) oraz det A = 1}
Definicja  Grupa unitarna
Grupa unitarna lub grupa macierzy unitarnych U(n) jest postaci:
U (n) = {A"{M (C)} oraz A�" A+ = A+ �" A = E}, gdzie A+ = (A*)T
n
5. Grupy klasyczne 31
Definicja  Grupa specjalna unitarna
Grupa specjalna unitarna lub grupa specjalna macierzy unitarnych SU(n) jest posta-
ci:
{A"U
SU (n) = (n) oraz det A = 1}
Stwierdzenie. Dla dowolnych macierzy kwadratowych Mn i Mn' zachodzi relacja:
det (Mn� Mn') = det Mn� det Mn'. Wynika stąd, że dla macierzy ortogonalnych A " O(n)
det (A�AT) = det A � det AT = (det A)2 = 1, a więc det A = ą1.
Przykłady.
O(1) = {[+1], [ 1]}  grupa dwuelementowa,
SO(1) = {[+1]}  grupa jednoelementowa,
U(1) = {[ei�], 0 d" � < 2Ą}  grupa nieskończonego rzędu,
SU(1) = {[+1]}  grupa jednoelementowa, gdyż ei� = 1 dla � = 0,
ńł - sin� �ł
łł
�ł�łcos� �ł
SO(2) =
�ł�ł śł, 0 d" � < 2Ą żł  grupa nieskończonego rzędu
sin� cos�
�ł�ł �ł
�ł
ół �ł
Stwierdzenie. Jednoelementowe grupy SO(1) i SU(1) są izomorficzne. Elementem tych
grup jest macierz 1�1 postaci: [+1].
Stwierdzenie. Grupy SU(1) i SO(2) to jednoparametrowe grupy nieskończonego rzędu i
są izomorficzne.
� �
�łcos - sin
łł
izomorfizm
�!�ł�ł�ł
�ł[ei�]
�ł śł
� �
�łsin cos śł
�ł �ł
Stwierdzenie. Każdy element A grupy SO(3) przekształceń izometrycznych właS
ciwych
jest obrotem w przestrzeni trzywymiarowej dookoła pewnej nieruchomej osi i daje się
sparametryzować przez kąty Eulera �, � i Ń, gdzie 0 d" �,� < 2Ą oraz 0 d" Ń d" Ą , na-
stępująco: A = B� �" CŃ �" B� , gdzie macierze
cos�
�ł - sin � 0 1 0 0
łł �ł łł
�ł śł �ł śł
B� = � cos� 0śł i CŃ = cosŃ - sinŃśł
�łsin �ł0
�ł śł �ł śł
0 0 1śł
�ł �ł0 sinŃ cosŃ śł
�ł �ł �ł �ł
32 5. Grupy klasyczne
okreS
lają odpowiednio obrót wokół osi OZ i wokół osi OX.
Stwierdzenie. Każdy element G grupy SU(2) daje się wyrazić w następujący sposób:
�łą �
łł
G "SU (2), więc G = , gdzie ą, � ,ł ,� "C
�ł śł
�ł śł
�łł � �ł
�łą ł łł
G+ = oraz det G = 1,
�ł śł
�ł śł
�ł� � �ł
zatem
�
�ł - �
łł
G-1 =
�ł śł
�ł- ł ą śł
�ł �ł
ą = � ą = � �ł ą �
łł
Ponieważ G+ = G-1, więc , co powoduje, że G = oraz
�ł śł
� = -ł - � = ł �ł- � ą śł
�ł �ł
2 2
det G = ą + � =1 . Stąd wynika, że elementy macierzy ą = ą1 + ią2 i � = �1 + i�2
muszą spełniać równoS
ć:
2 2 2
.
ą1 + ą2 + �12 + �2 =1
Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest topologiczne równoważna, czyli homeomorficzna ze strefą
trójwymiarową S3 w czterowymiarowej przestrzeni R4.
Stwierdzenie. Każda macierz G " SU(2) daje się zapisać w postaci:
� +� � -�
�ł łł
i i
�
�ł łł
i
e i e śł
�ł cos�łŃ �ł 2 sin�łŃ �ł 2
�ł �ł �ł �ł
2
�ł 0 śł
e
2 2
�ł �ł łł �ł łł śł
b� =
, gdzie
( , , )
G � Ń � a" b� cŃb� = �
�ł śł
� -� � +�
-i
�ł śł
-i -i
�ł 2
�ł śł
0 e
�ł śł �ł �ł
sin�łŃ �ł 2 cos�łŃ �ł 2
i e e
�ł �ł �ł
2 2
�ł śł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
�ł Ń Ń
cos�ł �ł isin�ł �łłł
�ł �ł �ł �łśł
�ł
2 2
�ł łł �ł łłśł
Ń Ń
cŃ = �ł 1
ą = cos�ł �ł � = sin�ł �ł
�ł �ł argą = (� +� ) �ł �ł
, , ,
�łisin�łŃ �ł cos�łŃ �ł śł
2 2
�ł �ł �ł �ł �ł łł 2 �ł łł
�ł śł
2 2
�ł łł �ł łł
�ł �ł
5. Grupy klasyczne 33
1
arg � = (� +� + Ą ) oraz 0 d" � < 2Ą , 0 d" Ń d" Ą , - 2Ą d" � < 2Ą
2
Macierze G można wybrać także w postaci
�ł
2 2
cosŃ �" ei�2 isinŃ �"ei� 2 łł
G = �ł śł
2 śł
�ł �" e-i� 2 cosŃ �" e-i�2
�łisinŃ2 �ł
przyjmując, że 0 d" �', �', Ń' < 2Ą. W obu przypadkach det G = 1.
Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest grupą nakrywającą dla grupy SO(3). Grupa SU(2) to
grupa obrotów właS
ciwych i niewłaS
ciwych (obrót + inwersja) w przestrzeni trójwy-
miarowej R3.
Stwierdzenie. Grupa SO(3) jest obrazem homomorficznym grupy SU(2) przy homo-
morfizmie Ś: SU(2) SO(3) z jądrem homomorfizmu Ker Ś = {ą E}.
Stwierdzenie. Istnieje monomorfim grupy SO(3) w grupę SU(2), gdyż SO(3) jest pod-
grupą obrotów właS
ciwych w grupie SU(2) obrotów właS
ciwych i niewłaS
ciwych.
Stwierdzenie. Obroty niewłaS
ciwe, a w szczególnoS
ci inwersje, to przekształcenia orto-
gonalne, dla których wyznacznik macierzy przekształcenia A, det A =  1. W przestrze-
ni dwuwymiarowej inwersją jest np. zamiana współrzędnych x  x, y y, wówczas
�ł-1 0
�ł
�ł �ł oraz det A =  1.
A =
�ł �ł
0 1
�ł łł
y y
x  x
Rysunek. Inwersja w płaszczyx
nie, np. x  x oraz y y
34
6. OGÓLNE WA
ASNOR
CI GRUP
Warstwy lewostronne i prawostronne, twierdzenie Lagrange a, przykłady dla grup
symetrycznych, relacja sprzężenia i jej własnoS
ci, klasy równoważnoS
ci, wydzie-
lanie klas równoważnoS
ci, przykłady
Definicja  Warstwy
Niech A = {a1, a2, ..., am} będzie podgrupą grupy G. Rząd podgrupy A wynosi m,
a rząd grupy G odpowiednio n oraz m < n. Ponadto niech i , wówczas
b " G b " A
ciąg elementów {ba1, ba2, ..., bam} tworzy tzw. warstwę lewostronną podgrupy A ozna-
czaną bA, a ciąg elementów {a1b, a2b, ..., amb} tworzy warstwę prawostronną ozna-
czaną Ab.
Stwierdzenie. Warstwa nie jest podgrupą, gdyż nie zawiera elementu jednostkowego e.
Dowód. Nie wprost
Niech " �! = �! = ale ai " A �! ai-1 " A �! b " A
, a więc za-
e bA e bai b ai-1
chodzi sprzecznoS
ć, gdyż z założenia b " A.
Stwierdzenie. Warstwa nie zawiera żadnego elementu należącego do podgrupy A.
Dowód. Nie wprost
-1 -1
Niech ai " A i ai "bA �! ai = ba �! b = aia , ale aia " A, czyli b" A , a więc
j j j
sprzecznoS
ć.
LEMAT. Dwie warstwy lewostronne (prawostronne) podgrupy A albo mają wszystkie
elementy wspólne, albo nie zawierają żadnego wspólnego elementu.
Dowód
Niech xA i yA są warstwami podgrupy A = {a1, a2, ..., am}. Gdy warstwy
xA = {xa1, xa2,...,xam} i yA = {xy1, ya2,..., yam} mają wspólny element, wówczas
6. Ogólne własnoS
ci grup 35
ai , a " A ya " yA
xai = yaj, gdzie oraz xai " xA, . Ponieważ y-1x = a ai -1 " A , więc
j j
j
ciąg , ale wówczas
, ,...,
{y-1xa1 y-1xa2 y-1xam}= A
ńł �ł
�ł -1 -1
�ł
yA = xa1, yy-1 xa2 ,..., yy xa = {xa1, xa2,...,xa }= xA , czyli yA=xA
�łyy żł
m m
�ł �ł
ół e e e �ł
Jeżeli zatem dwie warstwy mają jeden wspólny element, to ich wszystkie elementy są
wspólne.
Stwierdzenie. Podgrupa A i jej warstwy są równoliczne.
Dowód. Nie wprost
A={a1, ..., am} oraz xA = {xa1, & , xam}. Gdyby warstwa zawierała mniej elemen-
tów niż podgrupa A, wówczas xai = xaj, ale to implikuje, że ai = aj, czyli powstaje sprzecz-
noS
ć.
TWIERDZENIE LAGRANGE A
Rząd grupy G jest całkowitą wielokrotnoS
cią rzędu jej dowolnej podgrupy.
Dowód
A �" G
Niech podgrupa i rząd podgrupy A wynosi m, a rząd grupy G  n oraz n < m.
Ponadto niech b1 " G i b1 " A, wówczas b1A jest warstwą i niech b2 " G i b2 " A i b2 "
b1A to b2A jest kolejną warstwą itd. Niech b1A, b2A, ..., b� 1A będą wszystkimi otrzyma-
nymi różnymi warstwami podgrupy A. Wówczas każdy dowolny element g " G musi
należeć do podgrupy A albo do którejS
z warstw biA. Ponieważ warstw jest �  1 i za-
wierają po m elementów, zatem n = m + m(�  1), czyli n = m�.
Definicja  Indeks podgrupy
Parametr m to indeks podgrupy A.
Stwierdzenie. Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy.
Dowód
Niech a " G i rząd elementu a wynosi m. Wówczas ciąg {a, a2, a3, ..., am = e} two-
rzy podgrupę cykliczną rzędu m, zatem m jest dzielnikiem rzędu grupy G.
Stwierdzenie. Grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, musi być cykliczna.
Dowód.
Niech rząd grupy G wynosi n i jest liczbą pierwszą. Ponieważ rząd dowolnego jej
elementu a `" e jest dzielnikiem rzędu grupy, więc jest on równy n. Ten element a gene-
ruje podgrupę cykliczną {a, a2, ..., an = e} równoliczną z G, zatem G = {a, a2, ..., an =
e} jest grupą cykliczną.
36 6. Ogólne własnoS
ci grup
PRZYKŁAD
Grupa symetryczna S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzędu 6 ma podgrupę
A = {e, (12)} rzędu 2, dla której można utworzyć dwie różne lewostronne lub prawo-
stronne warstwy. Warstwy lewostronne utworzone przez pomnożenie podgrupy A przez
wszystkie elementy grupy S3 nie należące do podgrupy A mają postać:
(13)A={(13),(123)}
(23)A={(23),(321)}
(123)A={(123),(13)}
(321)A={(321),(23)}
Ponieważ otrzymane warstwy 1 i 3 oraz 2 i 4 są identyczne tj. (13)A = (123)A oraz
(23)A = (321)A, zatem S3 = A + (13)A + (23)A lub S3 = A + (123)A + (321)A.
Stwierdzenie. Warstwy lewostronne mogą być różne od warstw prawostronnych, np.
{(13),(123)} = (13)A `" A(13) = {(13),(321)}, gdyż (13)(12) = (123) `" (321) = (12)(13).
PRZYKŁAD
Grupa symetryczna S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzędu 6 ma także podgru-
pę rzędu 3 B = {e, (123),(321)}, dla której można utworzyć tylko jedną warstwę
{(12),(13),(23)} zawierającą 3 pozostałe elementy grupy. Zatem warstwy lewostronna
i prawostronna są identyczne, tj. (12)B = (13)B = (23)B = B(12) = B(13) = B(23)
= {(12),(13),(23)} oraz S3 = B + (12)B.
Stwierdzenie. Podgrupa B = {e,(123),(321)}  to grupa alternująca A3 permutacji pa-
rzystych, S3  A3 = (12)B  to warstwa permutacji nieparzystych, zatem S3 = A3 + (12)A3.
Definicja  Sprzężenia
Niech a, b " G, wówczas element b jest sprzężony do elementu a, gdy istnieje takie
x " G, że a = xbx 1.
LEMAT. Jeżeli b jest sprzężone do a, to a jest sprzężone do b.
Dowód
a = xbx-1 �! x-1ax = b i niech y = x-1 "G �! b = yay-1
LEMAT. a jest sprzężone do a.
Dowód
a = aaa 1 lub a = eae 1
LEMAT. Jeżeli b jest sprzężone do a i c jest sprzężone do b, to c jest sprzężone do a.
6. Ogólne własnoS
ci grup 37
Dowód
( ) ( ) ( )-1
a = xbx-1 i b = ycy-1 , x, y "G , zatem a = x ycy-1 x-1 = xy c xy , a ponieważ
( ) ( )-1
xy " G , a = xy c xy .
Stwierdzenie. Relacja sprzężenia jest relacją równoważnoS
ci, gdyż jest ona:
" zwrotna b jest sprzężone do a a jest sprzężone do b,
�!
" symetryczna a jest sprzężone do a,
" tranzytywna (przechodnia) b jest sprzężone do a i c jest sprzężone do b c
�!
jest sprzężone do a.
Definicja  Klasy
Wszystkie elementy grupy G wzajemnie do siebie sprzężone tworzą klasę równo-
ważnoS
ci, zwaną klasą.
Stwierdzenie. Dwa elementy należące do jednej klasy C muszą być tego samego rzędu.
Dowód
Niech a, b " C, zatem b = xax 1. Niech rząd elementu a wynosi n, wówczas an = e
m
oraz am `" e, gdy m < n. Ponieważ , więc je-
bm = (xax-1) = xax-1xax-1... xax-1 = xam x


m
żeli m = n, to bn = xanx 1 = xex 1 = e, czyli bn = e, natomiast gdy m < n i bm = e,
wówczas e = xamx 1 i am = x 1ex = e, czyli am = e, a więc sprzecznoS
ć.
Stwierdzenie. Jeżeli rzędy dwóch elementów grupy są różne, to nie mogą one należeć
do tej samej klasy.
Stwierdzenie. Element jednostkowy e tworzy jednoelementową klasę C = {e} jedynego
elementu rzędu 1, gdyż jedynie e1 = e.
TWIERDZENIE (o tworzeniu klasy elementów sprzężonych względem elementu a)
Dla każdego elementu a " G, gdzie G = {a1 = e, a2, a3, ..., an}, wszystkie elementy
bi = aiaai 1 ciągu {b1, b2, ..., bn} są do siebie sprzężone, gdyż są sprzężone do a i tworzą
klasę (elementów sprzężonych względem a).
Dowód
Wszystkie bi są sprzężone do a, gdyż bi = aiaai 1 i ai " G, zatem bi są sprzężone do
siebie dla i = 1, ..., n, ale są to wszystkie możliwe elementy grupy G sprzężone do a,
więc ciąg {b1, b2, ..., bn} tworzy klasę, chociaż nie wszystkie elementy bi muszą być
różne.
Stwierdzenie. Każdą grupę można rozłożyć na klasy. Klasy są rozłączne.
Stwierdzenie. Dla grup abelowych każdy element tworzy własną klasę jednoelementową.
38 6. Ogólne własnoS
ci grup
Dowód
Niech dwa elementy a, b grupy abelowej są sprzężone. Wówczas b = xax 1, ale xax 1
= xx 1a = a, więc b = a.
PRZYKŁAD
Grupa cykliczna G = {e, a, a2, a3}, abelowa, czteroelementowa. Rzędy jej elemen-
tów wynoszą odpowiednio: e  1, a  4, b = a2  2, c = a3  4. Klasy {e}, {a}, {a2},
{a3} są jednoelementowe.
PRZYKŁAD
W grupie symetrycznej S3 = {e, (12),(13),(23),(123),(321)}, gdzie elementy odwrotne
tworzą ciąg {e,(12),(13),(23),(321),(123)}, istnieją klasy:
C1 = {e}  klasa elementu jednostkowego rzędu 1,
C2  klasa elementów sprzężonych do elementu (12)
e(12)e 1 = (12)
(12)(12)(12) 1 = (12)
(13)(12)(13) 1 = (123)(13) = (321)(13) = (32)(31)(13) = (32) = (23)
(23)(12)(23) 1 = (213)(23) = (321)(23) = (31)(32)(23) = (13)
(123)(12)(123) 1 = (13)(12)(12)(321) = (13)(31)(32) = (23)
(321)(12)(321) 1 = (213)(12)(123) = (23)(21)(12)(123) = (23)(32)(31) = (13)
zatem C2 = {(12),(13),(23)} zawiera 3 elementy rzędu 2.
C3  klasa elementów sprzężonych do elementu (123)
e(123)e 1 = (123)
(12)(123)(12) 1 = (321)
Pozostałe kombinacje muszą prowadzić do tego samego wyniku, gdyż klasy są roz-
łączne, zatem C3 = {(123),( 321)} zawiera 2 elementy rzędu 3.
Stwierdzenie. Dla grup permutacji Sn podział na klasy jest zgodny ze strukturą cykli.
6. Ogólne własnoS
ci grup 39
PRZYKŁAD
Klasy grupy S4 Liczba Rząd
 rząd grupy 4!=24 elementów elementu
C1 = {e} 1 1
C2 = {(12),(13),(14),(23),(24),(34)} 6 2
C3 = {123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432)} 8 3
C4 = {(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 3 2
C5 = {(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)} 6 4
razem 24
Uwaga. W rozważaniach jest stosowany także symbol Ck(n), który oznacza, że kla-
sa Ck zawiera n elementów.
40
7. PODGRUPY I ICH WA
ASNOR
CI
Podgrupy sprzężone, podgrupa inwariantna, grupa prosta, grupa ilorazowa, ją-
dro homomorfizmu jako podgrupa inwariantna, wyszukiwanie podgrup inwariant-
nych w grupach symetrycznych
Stwierdzenie. Jeżeli H jest podgrupą grupy G, to zbiór H' = aHa 1, gdzie a " G, jest
także podgrupą grupy G.
Dowód.
Niech x, y " H �! xy " H oraz axa-1, aya-1 " H ', należy zatem pokazać, że
a(xy)a 1 " H. Ponieważ (axa 1)(aya 1) = ax(a 1a)ya 1 = a(xy)a 1, więc a(xy)a 1 " H.
Pozwala to stwierdzić, że
 działanie grupowe jest operacją zamkniętą w H',
 element jednostkowy e " H �! aea-1 = e" H',
 dla każdego axa 1 " H' istnieje element odwrotny, którym jest ax 1a 1 " H', gdyż
(axa 1)(ax 1a 1) = ax(a 1a)x 1a 1 = a(xx 1)a 1 = aa 1 = e.
Stwierdzenie. Gdy a " H to H' = aHa 1 = H, wówczas jest to odwzorowanie podgrupy
H w siebie, czyli automorfizm.
Dowód
x " H i a " H �! axa-1 " H �! H '= aHa-1 = H
Definicja  Podgrupa sprzężona
Podgrupa H' = aHa 1, gdzie H �" G i a " G, nazywa się podgrupą sprzężoną do pod-
grupy H w grupie G.
Definicja  Podgrupa inwariantna
Jeżeli aHa 1 = H dla każdego a " G, to H nazywa się podgrupą inwariantną lub nie-
zmienniczą.
7. Podgrupy i ich własnoS
ci 41
Stwierdzenie. Dla podgrupy grupy inwariantnej z warunku H' = aHa 1, a " G wynika,
że Ha = aH, H zatem jest podgrupą inwariantną wtedy i tylko wtedy, gdy jej warstwy
lewostronne i prawostronne utworzone dla dowolnych a " G są identyczne.
Stwierdzenie. Jedynka {e} i cała grupa G są zawsze podgrupami inwariantnymi, try-
wialnymi.
Dowód
Dla każdego a " G jest spełniona relacja aea 1 = e, więc a{e}a 1 = {e}.
Dla każdego a, b " G aba 1 " G, więc aGa 1 = G.
PRZYKŁAD
Podgrupa A = {e, (12)} grupy S3 = A + (13)A + (23)A nie jest inwariantna, gdyż war-
stwy lewostronne i prawostronne są różne, np. (13)A `" A(13).
Podgrupa B = {e, (123), (321)} grupy S3 = B + (12)B jest inwariantna, gdyż warstwy
lewostronne i prawostronne są równe dla wszystkich elementów grupy S3.
Definicja  Grupa prosta
Grupa prosta  to grupa nie posiadająca nietrywialnych, tj. różnych od {e} i G, pod-
grup inwariantnych.
LEMAT. Podgrupa H grupy G jest inwariantna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera całe
klasy grupy G, tzn. jeżeli H zawiera 1 element jakiejS
klasy, to zawiera także wszystkie
pozostałe elementy tej klasy.
Dowód.
I. Jeżeli H jest inwariantna, H = aHa 1, a " G, to H zawiera całe klasy:
Dla każdego zatem x " H i a " G axa 1 " H, ale elementy axa 1 otrzymane dla wszy-
stkich a " G tworzą klasę C i C " H, czyli H zawiera zawsze pełne klasy.
II. Jeżeli H zawiera całe klasy, C " H, to H jest inwariantna:
Każde x " H należy do jakiejS
klasy C, więc , ale klasa C zawiera wszystkie
C �" H
elementy postaci axa 1 otrzymane dla wszystkich a " G, zatem jeżeli x " H, to także
dla wszystkich a " G wszystkie elementy postaci axa 1, które tworzą klasę C, należą do
H, czyli C �" H. Ale to jest słuszne dla dowolnego x " H, które musi należeć do jakiejS

x" H �! x "C
klasy. Stąd, jeżeli i wszystkie axa 1 " C �" H, co oznacza, że dla każ-
dego a " G aHa 1 = H, czyli H jest inwariantna.
Definicja  Mnożenie warstw
Mnożenie warstw wyraża się następująco:
aH �" bH = {z = x �" y, gdzie x " aH , y "bH}, natomiast gdy a " H i b " H, wów-
czas i H �" H = {z = x �" y, gdzie x " H , y " H}= H .
aH = bH = H
42 7. Podgrupy i ich własnoS
ci
TWIERDZENIE. Zbiór składający się z podgrupy inwariantnej H i wszystkich jej różnych
warstw sam stanowi grupę zwaną grupą ilorazową grupy G, którą oznaczamy G' = G/H.
Dowód
aH = Ha dla wszystkich a " G, ponieważ H jest inwariantne, ponadto:
 H jest elementem jednostkowym w grupie ilorazowej, gdyż
(aH )�" H = a �"(HH )= aH
oraz
H �" (aH)= (Ha)�" H = (aH )�" H = a �"(HH)= aH ,
 mnożenie warstw jest warstwą, czyli jest to działanie zamknięte, gdyż
(aH )(bH )= a(Hb)H = a(bH ) H = ab(HH )= abH ,
a abH jest warstwą, jako że ab " G,
 każda warstwa aH ma element odwrotny a 1H, gdyż
-1 -1
aHa H = aa HH = eH = H
,
zatem a 1H jest elementem odwrotnym do aH w grupie ilorazowej.
PRZYKŁAD
Grupa S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)}, jej podgrupa inwariantna B = {e, (123),
(321)} oraz warstwa (12)B={(12), (13), (23)} pozwalają utworzyć grupę ilorazową
S3/B = {E, A}, gdzie E = B oraz A = (12)B. Jest to grupa dwuelementowa, a zatem A2 = E.
Uwaga. Elementy grup ilorazowych oznaczamy dużymi literami tj. E, A, B, C,...
Stwierdzenie. Grupę ilorazową można traktować jako homomorfizm grupy G w G' = G/H.
TWIERDZENIE. Przy każdym homomorfizmie f grupy G w G , tj. f(G) = G', jądro ho-
momorfizmu Ker(f) = H tworzy podgrupę inwariantną w G.
Dowód
Dla każdego b " H , ponadto dla każdego b " H i a " G
= Ker(f )�! f (b) = e'"G'
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 ( ) ( )-1 2
element aba 1 " H, gdyż f aba-1 = f a f b f a-1 = f a e f a = f a f a = e ,
zatem H = aHa 1 i jest podgrupą inwariantną.
Stwierdzenie. Przy każdym homomorfizmie f : G G', jeżeli i a'`" e' to ist-
a'" G'
nieje warstwa np. aH, gdzie H = Ker(f), taka że f(aH) = a', tzn. całe warstwy są prze-
kształcane w jeden element.
7. Podgrupy i ich własnoS
ci 43
Dowód
Niech b "aH �! b = ax oraz f(a) = a' i f(x) = e', dla dowolnego zatem b " aH
f (b) = f (ax) = f (a) f (x) = f (a)e'= f (a) = a'.
Stwierdzenie. Przy dowolnym homomorfizmie f : G G' rząd grupy G' musi być dziel-
nikiem rzędu grupy G.
Dowód
Jądro homomorfizmu Ker(f) oraz utworzone względem niego warstwy są równolicz-
ne, a każda z nich jest przekształcana w jeden element grupy G'. Rząd grupy G jest za-
tem równy iloczynowi rzędu jądra homomorfizmu Ker(f) i rzędu grupy G'.
PRZYKŁAD
Wyznaczanie nietrywialnych podgrup inwariantnych grupy S4. Grupa S4 zawiera 4!=24
elementy, podgrupy inwariantne muszą spełniać warunki:
 podgrupa inwariantna musi zawierać całe klasy grupy S4 (por. s. 41), tj. C1(1), C2(6),
C3(8), C4(3), C5(6), które mają łącznie 1 + 6 + 8 + 3 + 6 = 24 elementy,
 rząd podgrupy musi być dzielnikiem rzędu grupy S4; dzielnikami liczby 24 są: 1, 2,
3, 4, 6, 8, 12, 24, przy czym 1 i 24 to dzielniki trywialne,
 podgrupa musi zawsze zawierać element e, czyli klasę C1(1).
Przypadek I
H = C1(1)+ C4(3), czyli H={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Jest to podgrupa czte-
roelementowa. Ponieważ elementy podgrupy H spełniają relacje:
((12)(34))2 = ((12)2(34))2 = e, ((13)(24))2 = ((13)2(24))2 = e,
((14)(23))2 = ((14)2(23))2 = e,
H jest czterogrupą. Grupa ilorazowa G' = S4/H zawiera 6 elementów.
Przypadek II
H ' = C1(1)+ C3(8)+ C4(3) zawiera 1 + 8 + 3 = 12 elementów. H' jest podgrupą per-
mutacji parzystych, czyli tzw. grupą alternującą
A4 = {e,(123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
Grupa ilorazowa S4/A4 = {E, A}, gdzie E = A4, natomiast A jest warstwą wszystkich per-
mutacji nieparzystych.
Stwierdzenie. Grupa ilorazowa Sn/An, gdzie Sn jest grupą symetryczną, a An jest grupą
alternującą, jest zawsze izomorficzna z grupą dwuelementową {E,A}.
Stwierdzenie. Grupa alternująca An jest podgrupą inwariantną grupy symetrycznej Sn.
Ponieważ An zawiera wszystkie permutacje parzyste, Sn  An stanowi warstwę permuta-
cji nieparzystych.
44
8. GRUPY OBROTÓW
Obroty w płaszczyx
nie i przestrzeni, kąty Eulera, składanie obrotów
Stwierdzenie. Istnieją dwie interpretacje obrotów: bierna i czynna. Bierna, gdy obraca-
my układ współrzędnych, a przestrzeń jest nieruchoma, czynna, gdy obracamy przestrzeń
a układ współrzędnych jest nieruchomy. W prezentowanych rozważaniach jest stoso-
wana interpretacja bierna.
Definicja  Operator obrotu Rk(ą)
Operator obrotu Rk(ą) wyznacza obrót w płaszczyx
nie wokół ustalonej, prostopa-
dłej do niej osi k o kąt ą. W szczególnoS
ci osią k może być jedna z osi układu współ-
rzędnych: x, y, z.
Definicja  Operator obrotu R(ą, �, ł)
Dowolny obrót w przestrzeni trójwymiarowej daje się wyrazić jak złożenie obrotów:
R(ą, �,ł ) = Rz (ą)Ry (� )Rz (ł )
gdzie ą, �, ł są kątami Eulera oraz 0 d" ą,ł < 2Ą , 0 d" � d" Ą.
Stwierdzenie. Obroty w przestrzeni trójwymiarowej R3 wokół osi układu współrzędnych
można wyrazić za pomocą macierzy 3�3:
cosą
�ł - siną 0 cos � 0 - sin �
łł �ł łł
�ł śł �ł śł
D(Rz (ą))= 0 1 0 .
�łsiną cosą 0śł , D(Ry (� ))= �ł śł
�ł śł �ł śł
0 0 1śł
�ł �łsin � 0 cos � śł
�ł �ł �ł �ł
Stwierdzenie. Kąty ą i � są standardowymi kątami sferycznymi � i Ń końcowej osi z'
względem układu pierwotnego (x, y, z). Kąt ł jest zawarty między osiami y i y' po obro-
cie Rz(ą).
8. Grupy obrotów 45
Stwierdzenie. Pola są elementami przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespo-
lonych. Pola mogą być skalarne, wektorowe, tensorowe itp.
Definicja  Działanie operatora obrotu na pole
Operator obrotu R działa w następujący sposób na pole
 skalarne: Rf (r) = f'(r) = f (R 1r) , np. Rz(ą) f(r, �) = f (r, �  ą),
 wektorowe: Rf (r) = Rfj(r)ej = fj'(r)ej', gdzie fj'(r) = fj(R 1r) oraz ej' = [D 1(R)e]j
= [DT(R)e]j = DjiT(R)ei = Dij(R)ej, więc Rfj(r)ej = eiDij(R) fj(R 1r).
Definicja  Składanie obrotów
Składanie obrotów, lub iloczyn obrotów, wyraża się następująco:
R1[R2 f(r)] = R1f'(r) = f' (R1 1r) = f (R2 1R1 1r) = f ((R1R2) 1r).
Stwierdzenie. Ponieważ (R1R2)f(r) = f((R1R2) 1r), więc R1[R2f(r)] = (R1R2)f(r).
Stwierdzenie. Zbiór macierzy kwadratowych n�n o wyznaczniku różnym od zera i o okre-
S
lonych własnoS
ciach (ortogonalne, unitarne, hermitowskie i inne) z operacją mnożenia
macierzowego tworzy grupę nieskończonego rzędu i stopnia n, gdyż
 spełniona jest relacja łącznoS
ci dla mnożenia macierzy, tj. (AB)C = A(BC),
 jedynką grupy jest macierz jednostkowa E,
 dla każdej macierzy kwadratowej A o wyznaczniku det A `" 0 istnieje macierz od-
wrotna A 1 taka, że AA 1 = A 1A = E.
Stwierdzenie: Zbiór Rk(ą) obrotów w płaszczyx
nie wokół prostopadłej do niej osi k
o kąt ą z operacją składania obrotów tworzy grupę. Elementem neutralnym grupy jest
Rk(0), tj. obrót o kąt ą = 0. Ponieważ Rk(ą)Rk(�) = Rk(ą + �), więc element odwrotny
ma postać Rk 1(ą) = Rk( ą), gdyż Rk(ą + �) = Rk(0), gdy � =  ą.
Stwierdzenie: Zbiór obrotów R = R(ą, �, ł) z operacją składania obrotów tworzy grupę
obrotów właS
ciwych w R3 nieskończonego rzędu trzeciego stopnia, która jest izomor-
ficzna z grupą SO(3). W grupie obrotów R = R(ą, �, ł)
 spełniona jest relacja łącznoS
ci: (R1R2)R3 = R1(R2R3),
 istnieje jedynka e = R(0, 0, 0), tj. ą = � = ł = 0,
 element odwrotny ma postać R 1(ą, �, ł) = R( ł, �,  ą), gdyż
R 1(ą, �, ł) = [Rz(ą)Ry(�)Rz(ł)] 1 = Rz 1(ł)Ry 1(�)Rz 1(ą)
= Rz( ł)Ry( �)Rz( ą) = R( ł,  �,  ą)
46
9. GRUPY CIĄGA
E
Homeomorfizm grupy ciągłej w przestrzeń euklidesową, mapy, atlasy i ich zgod-
noS
ć, stopień grupy. Topologia grupy, grupy Liego oraz elementy (operatory),
generatory i reprezentanci grupy. Komutatory, stałe struktury grupy, antysyme-
tria i tożsamoS
ć Jacobiego. Przestrzeń liniowa z bazą generatorów i algebra Lie-
go, obroty operatorów
Stwierdzenie. Jeżeli każdemu obrotowi R (ą), gdzie ą `" 0 zostanie przypisany punkt
z
z przedziału 0 < ą < 2Ą, to otrzymuje się tzw. mapę w przestrzeni euklidesowej R1, przy
czym termin mapa odnosi się zarówno do sposobu odwzorowania jak i do powstałego
odwzorowania, tj. zbioru punktów z przedziału (0, 2Ą). Mapa to także odwzorowanie
grupy obrotów R(ą, �, ł) w przestrzeń euklidesową R3, gdy 0 < ą, ł < 2Ą oraz 0 < � < Ą.
Uwaga. Mapy to odwzorowania w zbiory otwarte.
Definicja  Homeomorfizm
Homeomorfizm to ciągłe i wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru X w zbiór
 1
Y, f : XY takie, że przekształcenie odwrotne f : YX jest też ciągłe.
Stwierdzenie: Homeomorfizm to odwzorowanie różnowartoS
ciowe i obustronnie ciągłe.
Definicja  Stopień grupy
Stopień grupy n to liczba niezależnych i zmieniających się w sposób ciągły parame-
trów rzeczywistych potrzebnych do okreS
lenia poszczególnych elementów grupy.
Definicja  Mapa
Mapa to homeomorfizm dowolnie wybranego otwartego zbioru elementów grupy G
w zbiór otwarty przestrzeni euklidesowej Rn, przy czym wymiar przestrzeni n odpowia-
da stopniowi grupy.
9. Grupy ciągłe 47
Definicja  Mapy zgodne
Dwie mapy S1, S2 �" Rn nazywamy parami zgodnymi, jeżeli w obszarach, które nale-
żą do nich obu, odwzorowanie S2 1 G S1 jest dostatecznie regularne.
Stwierdzenie. Odwzorowanie dostatecznie regularne to np. ciągłe lub różniczkowalne,
lub analityczne.
Definicja  Atlas
Mapę pokrywającą całą grupę, lub układ map parami zgodnych i pokrywających całą
grupę nazywamy atlasem.
Stwierdzenie. Jeżeli wszystkie mapy atlasu danej grupy mają obrazy euklidesowe w tej
samej przestrzeni Rn, to grupa jest stopnia n.
Stwierdzenie. Jeżeli grupa jest spójna (jednospójna) to odpowiadające jej obrazy eukli-
desowe mają ten sam wymiar.
PRZYKŁAD. Rz(ą) [ą] " R1, R(ą, �, ł) [ą, �, ł] " R3
Topologia grupy
Stwierdzenie. Mając atlas grupy, można utworzyć topologię grupy z warunku, że bli-
skim punktom w obrazie euklidesowym grupy w Rn odpowiadają bliskie elementy gru-
py g(s) " G, gdzie s " Rn.
Stwierdzenie. Elementy grupy, dla których atlas zawiera więcej niż jedną mapę, można
oznaczać np. ga(s), ale wyróżnianie mapy jest nieistotne, gdyż mapy są parami zgodne,
więc na ogół się je pomija.
Stwierdzenie. Zwykle początek układu współrzędnych w przestrzeni Rn przypisuje się
jedynce grupy, tzn. g(0) = e lub g(0) = 1.
Grupy Liego
ZAŁOŻENIA
Rozważa się mapę obejmującą początek układu współrzędnych 0 = [0,...,0] " Rn, od-
powiadający jedynce grupy g(0) = 1, oraz punkty s, t " Rn leżące dostatecznie blisko
0 tak, żeby elementy grupy g(u) = g(s)�g(t) oraz g(w) = g(s) 1 były objęte mapą. Wzory
te definiują funkcje u = u(s, t) oraz w = w(s) i są dobrze okreS
lone dla s i t dostatecznie
bliskich początku układu współrzędnych.
48 9. Grupy ciągłe
PRZYKŁAD
Dla grupa obrotów w płaszczyx
nie XY g(s) a" Rz(ą), wówczas Rz(ł) = Rz(ą)Rz(�)
= Rz(ą + �), więc ł = ą + � oraz Rz(�) = Rz(ą) 1 = Rz( ą), więc � =  ą.
Definicja  Grupa Liego
Grupę G, dla której można zbudować atlas i wybrać parametry s, t, u, w tak, żeby
funkcje u = u(s, t) oraz w = w(s) były analityczne, nazywamy grupą Liego.
Stwierdzenie. Grupy, których elementy dadzą się opisać parametrami zmieniającymi się
w sposób ciągły, to na ogół grupy Liego.
Stwierdzenie. Grupy operatorów Rz(ą) i Rz(ą, �, ł) to grupy Liego.
Generatory
ZAŁOŻENIA
Niech g(s) " G i g(s) jest funkcją analityczną w pewnym obszarze wokół początku
układu współrzędnych oraz g(0) = 1. Wówczas
n
( )
"g s
J = i
g(s) = 1  i Jj, gdzie
"s j s=0
j
"s
j=1 j
są generatorami grupy Liego.
Stwierdzenie. Wiele własnoS
ci grup Liego można badać, rozpatrując skończoną liczbę
generatorów Jj zamiast nieskończonej liczby elementów grupy g(s).
PRZYKŁAD
Działanie operatora R (ą), gdy ą � 1, na pole skalarne f(r, �):
z
" "
Rz(ą)f(r, �) = f(r, �  ą) = f(r, �)  ą f(r, �) = [1  i( ią )] f(r, �)
"� "�
= [1  ią Jz] f(r, �)
zatem R (ą) = (1  iąJz), gdzie Jz jest generatorem grupy operatorów R (ą), którego
z z
"
reprezentantem w wybranym (biegunowym) układzie współrzędnych jest Kz = -i .
"�
Stwierdzenie. Reprezentant generatora grupy zależy od wyboru układu współrzędnych
i ma różną postać w różnych układach współrzędnych, np. reprezentantem generatora
�ł " " �ł
Kz = �ł
Jz w kartezjańskim układzie współrzędnych jest -i - y �ł
= (r�p)z, gdzie
�łx �ł
"y "x
�ł łł
"
p =  i", podczas gdy w biegunowym układzie współrzędnych jest Kz = -i .
"�
9. Grupy ciągłe 49
Stwierdzenie. Znając generatory grupy Jj można odtworzyć wszystkie elementy grupy
g(s).
Stwierdzenie. Znając generator Jz oraz traktując obrót o dowolny kąt ą jako złożenie N
obrotów o kąt ą /N � 1, postać operatora R (ą) wyznacza się następująco:
z
N
N
�ł ą �ł �ł1- i ą �ł
łł
�ł
(ą) lim = (- i
Rz = = lim J exp Jzą )
�ł �łśł �ł �ł
�łRz z
N " N "
N N
�ł łł �ł łł
�ł �ł
Stwierdzenie. Operator obrotu w R3 ma postać:
R(ą,�,ł ) = Rz (ą)Ry (� )Rz (ł ) = exp(-i Jzą)exp(-i J � ) exp(-i Jzł )
y
Stwierdzenie. Działanie operatora g(s), s " Rn, w grupach Liego można traktować jako
złożenie nieskończonego ciągu infinitezymalnie małych zmian. Wówczas wykorzystu-
n
J
jąc postać operatora g(s) wyznaczoną dla s 0: g(s) = 1  i
dla dowolnych rze-
"s j j
j =1
czywistych wartoS
ci sj, otrzymuje się:
N
n n
�ł łł
�ł �ł �ł �ł
�łśł = �ł
�ł�ł 1
( ) lim 1- i
g s = J exp�ł- i J
"s j j "s j j
�ł �ł
N"
N
�ł�ł j=1 �łśł
j=1
�ł łł �ł łł
�ł �ł
Stwierdzenie. Aby uzyskać jawną postać operatora grupy Liego g(s), należy generatory
grupy Jj zastąpić reprezentantami generatorów grupy Kj w wybranym układzie współ-
rzędnych.
Stwierdzenie. Generatory grupy Liego J1,..., Jn na ogół nie komutują ze sobą, [Jj, Jk] `" 0
dla j `" k, dlatego zgodnie z relacją Hausdorffa Bakera eA+B `" eAeB, gdy [A, B] `" 0, gdzie
A i B to np. generatory grupy lub ich kombinacje liniowe.
Komutatory
Definicja  Komutator
Komutatorem elementów grupy a,b " G jest wyrażenie postaci: [a, b] = aba 1b 1.
Stwierdzenie. Operatory postaci gl = exp(- isl Jl ) to elementy grupy G, gl " G, gdyż
gl a" g(s) dla s =[0,...,0, sl, 0,...,0].
gl-1 exp(isl Jl )
gl = exp(- isl Jl ) =
Elementem odwrotnym do jest , gdyż
50 9. Grupy ciągłe
gl gl 1 = exp(- islJl ) exp( islJl ) = 1, jako że [Jl, Jl] = 0 (relacja Hausdorffa Bakera).
Stwierdzenie. Komutator elementów gj, gk jest postaci:
(- )j j (isk )
[g gk ] = exp(- is J )exp isk Jk exp(is J )exp Jk = C (s , sk )
j, jl j jk j
Ponieważ [Jj, Jk] `" 0, rozwijając operatory gj, gk w szereg dla małych sj, sk, otrzymu-
C (s , sk ) = (1 - s J )(1 - skJk )(1 + s J ) (1 + skJk ) = 1 + s sk[J ,Jk ]
je się wyrażenie .
jk j j j j j j j
Stwierdzenie. Komutator dwóch elementów grupy jest elementem grupy, więc dla ma-
n
łych sj, sk można go przedstawić w postaci: C (s ,sk ) = 1- i Jl . Z porównania otrzy-
jk j "tl
l=1
n
manych wyrażeń wynika następująca relacja
C (s ,sk ) = 1+ s sk [J ,Jk ] =1- i Jl
jk j j j "tl
n l=1
tl
l
[J ,Jk ] = i Jl , gdzie .
Cl = lim
j "C jk
jk
s ,sk ,tl 0
s sk
j
l=1 j
Definicja  Stałe struktury grupy Liego
Cl
Współczynniki to tzw. stałe struktury grupy G i spełniają one
jk
l
Cl = , gdyż [Jj, Jk] =  [Jk, Jj] oraz
 warunek antysymetrii -Ckj
jk
m m l m l
 relację
wynikającą z tożsamoS
ci Jacobiego
Cl + Cij + Cki = 0
"Cli jk "Ckl "C jl
l l l
[J ,[Jk ,Jl ]] + [Jk ,[Jl ,J ]] + [Jl ,[J ,Jk ]] = 0
.
j j j
PRZYKŁAD.
Dla grupy obrotów generatorami są L , L , L  składowe operatora momentu pędu,
x y z
i� Ll Cl = �
wówczas [Lj, Lk] = oraz jest tensorem Levi Civity.
jkl jk jkl
Stwierdzenie. Zbiór generatorów J1,..., Jn stanowi bazę w przestrzeni liniowej (wektoro-
n
wej) wszystkich kombinacji liniowych postaci J , które odwzorowują się na ele-
"s j j
j=1
n
�ł �ł
�ł
( ) exp�ł- J grupy Liego.
menty g s = i
"s j j
�ł �ł
j=1
�ł łł
Definicja  Algebra Liego
Przestrzeń liniowa z bazą generatorów J1,..., Jn oraz komutatorem [ , ] jako iloczy-
nem tworzy tzw. algebrę Liego. Komutator nie jest iloczynem w zwykłym sensie, gdyż
nie spełnia relacji łącznoS
ci.
9. Grupy ciągłe 51
Definicja  Obroty operatorów
Niech � okreS
la dowolny operator oraz Rk(ą) jest operatorem obrotu wokół osi k
o kąt ą. Niech ponadto wektory x, y " V spełniają relacje �x = y " V, Rk(ą) x = x' " V,
Rk(ą)y = y' " V, wówczas
Rk(ą)[� x] = Rk(ą) [�Rk*(ą)Rk(ą)x] = [Rk(ą)�Rk*(ą)]Rk(ą)x = [Rk(ą)�Rk*(ą)]x' = y'
stąd obrót operatora � okreS
la wyrażenie
Rk(ą)(�) = Rk(ą)�Rk*(ą), gdzie Rk(ą) = exp( iąLk) oraz Rk*(ą) = Rk 1(ą)
Stwierdzenie. Dla małych kątów ą obrót operatora � okreS
la wyrażenie
Rk(ą)(�) = exp( iąLk)�exp(ią Lk) = �  ią[Lk, �]
PRZYKŁAD.
Obroty operatora Lj, j = x, y, z, wokół osi z dla małych kątów ą, gdzie [Lj, Lk]
i� Ll
= , wyrażają się następująco:
jkl
R (ą)(Lx) = Lx + ą Ly, Rz(ą)(Ly) = Ly  ąLx, R (ą)(L ) = L
z z z z
52
10. CAA
KOWANIE NA GRUPIE LIEGO
Całkowanie niezmiennicze, miara Haara, całka Hurwitza, objętoS
ć grupy, grupy
zwarte, przykłady
Definicja  Całkowanie na grupie Liego
Jeżeli funkcja f(s), gdzie s " Rn, jest całkowalna w Rn, to można mówić, że funkcja
jest całkowalna na grupie G, gdyż wówczas f(s) = f(s(g)) i całkowanie odbywa się po
elementach g " G.
Stwierdzenie. Całkowanie po całej grupie wymaga użycia atlasu.
PRZYKŁAD
Całkowanie na grupie obrotów Rz(ą), gdzie 0 < ą < 2Ą oraz f(ą) a" 1
2Ą
( )
f d = 2Ą
+"
0
Stwierdzenie. WartoS
ci całki zależą od wyboru parametrów grupy.
PRZYKŁAD
Całkowanie na grupie obrotów R (�), f(�) = f(ą) a" 1. Wybór parametru � może być
z
dokonany w sposób dowolny i w odniesieniu do parametru ą, 0 < ą < 2Ą, prowadzi do
różnych wartoS
ci całki:
� = ą� = ą /2 � = ą2 � = lną
2� �
4Ą2 ln 2�
,
+"1 d� = 2�, +"1 d� = �, +"1
+"1 d� = 4Ą2 d� = "
0 0 -"
0
10. Całkowanie na grupie Liego 53
Definicja  Całkowanie niezmiennicze
Całkowanie na grupie nazywamy lewostronnie niezmienniczym, jeżeli dla każdej
funkcji całkowalnej f i dla każdego elementu g1 " G zachodzi związek
f (g1g) (dg) = f (g) (dg )
+" +"
gdzie �(dg) oznacza miarę elementu objętoS
ci odpowiadającego elementowi dg w eu-
klidesowym obrazie grupy G, a całkowanie rozciąga się na całą grupę.
Stwierdzenie. Całkowanie na grupie jest niezmiennicze, gdy grupa jest jednorodna wzglę-
dem miary.
PRZYKŁAD
2Ą 2Ą
2 2
+"cos ( + � )dą = +"cos (ą)dą oraz d(ą + �) = dą.
0 0
Stwierdzenie. Gdy miara elementu objętoS
ci jest niezmiennicza względem  przesunięć
�(dg) = �(g1dg) spowodowanych przez lewostronne działania elementów grupy g1 " G,
wówczas powyższy związek jest spełniony tożsamoS
ciowo:
2
f (g1g) (dg) = f (g1g) (g1dg) = f (g1g) (dg1g) = f (g ) (dg')
+" +" +" +"
gdzie g' = g1g.
PRZYKŁAD
Grupa obrotów R (ą). Elementy g = R (ą), g1 = R (ą1), g1g = R (ą1)R (ą) = R (ą1 + ą)
z z z z z z
= R'(ą), gdzie ą' = ą + ą1 wówczas, gdy:
z
�(dg) = dą �! dą' = d(ą + ą1) = dą,
�(dg) = dą2 �! d(ą')2 = d(ą + ą1)2 `" dą,
�(dg) = dlną �! dlną' = dln(ą + ą1) `" dlną.
Stwierdzenie. Całkowania na grupie mogą być niezmiennicze lub nie. Zależy to od wy-
boru miary.
Stwierdzenie. Jeżeli �(dg) jest miarą niezmienniczą na grupie, to miara �'(dg) = c�(dg),
gdzie c jest stałą, jest też niezmiennicza i zmienia ona jedynie całkę po grupie o stały
czynnik.
Stwierdzenie. Całkę niezmienniczą można zmieniać o dowolny czynnik przez przeska-
lowanie parametrów lub miary.
54 10. Całkowanie na grupie Liego
Definicja  Miara Haara, całka Hurwitza
Całkowanie niezmiennicze na grupie to całkowanie według miary Haara, a wyzna-
czana całka nazywa się całką Hurwitza lub całką grupową.
Stwierdzenie. Miara lewostronnie niezmiennicza może być różna od miary prawostron-
nie niezmienniczej.
ZwartoS
ć
Definicja  ObjętoS
ć grupy
Całkę niezmienniczą po całej grupie z funkcją f a" 1 nazywamy objętoS
cią grupy.
Definicja  Grupy zwarte
Grupy o skończonej objętoS
ci nazywamy grupami zwartymi.
PRZYKŁAD
Grupa translacji wzdłuż osi z: T (a) f(z) = f(z  a),  " < a < "
z
Grupa obrotów względem osi z: R (ą) f(�) = f(�  ą), 0 < ą < 2Ą
z
Stwierdzenie. Grupy {Tz(ą)} i {Rz(ą)} są lokalnie identyczne, ale różne globalnie,
gdyż grupa obrotów Rz(ą) jest zwarta, a grupa translacji Tz(ą) ma nieskończoną obję-
toS
ć.
TWIERDZENIE. Dla grup zwartych miara lewostronnie (prawostronnie) niezmienni-
cza jest zawsze prawostronnie (lewostronnie) niezmiennicza (bez dowodu)
Stwierdzenie. Miarą niezmienniczą na grupie obrotów właS
ciwych w R3, SO(3), jest
�(dg) = dą dcos� dł, gdzie 0 = ą, ł < 2Ą, 0 < ą < Ą.
2Ą Ą 2Ą
Stwierdzenie. ObjętoS
ć grupy SO(3) wynosi: V = . Grupa SO(3)
+"dą+"d cos � +"dł = 8Ą2
0 0 0
jest zwarta, gdyż V = 8Ą2 < ". Miara �(dg) = dą dcos� dł jest dwustronnie niezmien-
nicza.
55
11. GRUPY OPERATOROWE
Grupy transformacji przestrzeni i grupy operatorowe. Transformacja operatora
względem operatorów grupy, operator niezmienniczy, kryterium niezmienniczo-
S
ci, operator Cassimira, zagadnienia własne dla operatora, homomorfizm ope-
ratorów grupy w zbiór macierzy
Definicja  Grupa transformacji przestrzeni
Niech elementy Ui grupy G działają w przestrzeni wektorowej V �" Rn tak, że gdy
x " V, wówczas Uix = y " V. Elementy Ui grupy G = {Ui, x " V �! Uix " V} transfor-
mują przestrzeń wektorową V w siebie.
Stwierdzenie. Operatory translacji Ta zdefiniowane następująco: Tar = r  a , gdzie a, r,
r  a " Rn, z operacją składania translacji tworzą grupę {Ta}, gdyż Ta(Tbr)
= Ta(r  b) = r  a  b = Ta+b r , a zatem złożenie translacji jest translacją, TaTb = Ta+b,
 1
elementem neutralnym jest translacja zerowa T0, a element odwrotny Ta = T .
 a
Definicja  Przestrzeń funkcyjna
Niech funkcje f(x), g(x), h(x), ..., gdzie x " V przypisują każdemu elementowi x " V
pewną liczbę rzeczywistą lub zespoloną, wówczas funkcje f, g, h, ... tworzą przestrzeń
funkcyjną H.
PRZYKŁAD
f(r) = x4 + 5y2 + 7z5 i f(r) " R lub g(r) = 2x3 + i(x2 + y + 4z3) i g(r) " C,
gdzie r "R3.
Definicja  Grupa operatorowa
Zbiór operatorów {7i} zdefiniowanych następująco:
7i f(x) = f(Ui 1x)
tworzy grupę transformacji funkcji zwaną grupą operatorową /.
56 11. Grupy operatorowe
Stwierdzenie. Zbiór operatorów {7i} jest grupą, gdyż zachowuje własnoS
ci grupy trans-
formacji G, ponieważ
7i7j f(x) = 7i(7j f(x)) = 7i f(Uj 1x) = 7i f'(x) = f'(Ui 1x)
= f(Uj 1Ui 1x) = f((UiUj) 1x),
czyli
(7i7j)f(x) = f((UiUj) 1x)
Istnieje zatem jednoznaczne przyporządkowanie Ui7i oraz Uj7j oraz zachowa-
na jest relacja grupowa (UiUj)(7i7j).
Stwierdzenie. Grupa operatorów / = {7i} jest izomorficzna z grupą G = {Ui}.
PRZYKŁAD
Translacja: Tax = x  a oraz 6a f(x) = f(Ta 1x) = f(T x) = f(x + a). Odwzorowanie
 a
{Ta}{6a} jest zatem izomorficzne. Niech funkcja f(x) jest analityczna, wówczas
" "
�ł łł
1 1
f (x + a) = ( a")n f (x) = (a ")n f (x) = ea " f (x)
�ł śł
" "
n!
�łn=0 n! śł
n=0
�ł �ł
czyli
6a f(x) = ea" f(x)
a stąd 6a = ea". W mechanice kwantowej wprowadza się operator p = -i " , wtedy
i
ap
6a = .
e
PRZYKŁAD
Obrót wokół osi kartezjańskiego układu współrzędnych:
" i
i
i
ą � L
� L
ą L y
x
z
"�
Ry (� ) = e ,
Rx (� ) = e ,
Rz (ą) = =
e e ,
gdzie L , L , L są kwantowo-mechanicznymi operatorami momentu pędu.
z y x
Stwierdzenie. Grupy {6a} i {Ri(ą)} to grupy operatorów transformacji przestrzeni funk-
cyjnej H.
Stwierdzenie. Jeżeli parametry elementów grupy np. / = {6a} zmieniają się w sposób
ciągły, to są to grupy ciągłe, w szczególnoS
ci grupy Liego.
Stwierdzenie. Niech działanie operatora Ax działającego w przestrzeni funkcyjnej
H = {f(x), g(x), ...} jest okreS
lone w punkcie x, tzn. Ax f(x) = g(x) i działanie operatora
Ax na f(x) zależy od punktu x. Niech 7 " / oraz 77 1 = I, gdzie I jest elementem neu-
57
11. Grupy operatorowe
 1  1
tralnym grupy /, oraz 7 f(x) = f(U x), gdzie U x = y " V. Ponieważ działanie opera-
tora 7 na Ax f(x) wyraża się następująco: 7(Ax f(x)) = 7g(x) = g(U 1x), a jednoczeS
nie
-1 -1
AU -1
f (U x) = g(U x) , więc wykorzystując związek 77 1 = I oraz wykonując prze-
x
kształcenia: 7(Ax f(x)) = 7Ax(7 17) f(x) = 7Ax7 1f(U 1x) = g(U 1x) otrzymuje się na-
stępującą relację AU -1
= 7Ax7 1.
x
Definicja  Transformacja operatora
Dla dowolnych funkcji f(x) " H transformacja operatora Ax względem operatorów
A
7 " / wyraża się wzorem: = 7Ax7 1.
K-1x
Stwierdzenie. Gdy operatory 7 są unitarne, wówczaso 7 1 = 7* i AU -1
= 7Ax7*.
x
Definicja  NiezmienniczoS
ć operatora
Jeżeli dla każdego 7 " / zachodzi 7Ax7 1 = Ax, to operator Ax jest niezmienniczy
ze względu na grupę /.
Definicja  NiezmienniczoS
ć funkcji
Jeżeli dla każdego 7 " / 7f(x) = f(x), to funkcja f(x) jest niezmiennicza ze wzglę-
du na grupę /.
PRZYKŁAD
Gdy f(r) a" f(r), wówczas Rk(ą)f(r) = f(r) i f(r) jest niezmiennicza ze względu na grupę
obrotów {Rk(ą)}.
Stwierdzenie. Z każdą jednoparametrową grupą niezmienniczoS
ci jest związana zasada
zachowania okreS
lonej wielkoS
ci fizycznej, np. grupa translacji {6a} i zasada zachowa-
nia pędu, grupa obrotów {Rk(ą)} i zasada zachowania momentu pędu.
Stwierdzenie. Każda grupa niezmienniczoS
ci dla danego równania stanu układu fizycz-
nego prowadzi do powstania prawa zachowania wielkoS
ci fizycznej dla tego równania.
Stwierdzenie. Jeżeli operator jest niezmienniczy ze względu na grupę /, to dla każdego
7 " / 7Ax = Ax7 lub [7, Ax] = 0, czyli operator Ax komutuje ze wszystkimi operato-
rami grupy /, co stanowi tzw. kryterium niezmienniczoS
ci.
Stwierdzenie. Gdy [7i, 7j] = 0 dla wszystkich elementów grupy /, wówczas grupa jest
abelowa i każdy operator 7i jest niezmienniczy ze względu na grupę /.
Stwierdzenie. Ponieważ [7, 7] = 0, więc [f(7), g(7)] = 0, gdzie f, g dowolne funkcje
analityczne.
PRZYKŁAD
Operator Laplace a " = "2 jest niezmienniczy ze względu na grupę translacji 6a = ea",
gdyż [", ea"] = 0.
58 11. Grupy operatorowe
Definicja  Operator Cassimira
Cl
Niech operatory J1, ..., Jn tworzące grupę spełniają relację [Jj, Jk] = Jl, gdzie Cl
jk jk
glm j k
jest stałą struktury i niech = ClkCmj , wówczas operator J = glmJlJm zwany operato-
rem Cassimira jest operatorem niezmienniczym grupy i komutuje ze wszystkimi opera-
torami grupy, tzn. [J, Jj] = 0.
PRZYKŁAD
glm
Operatory momentu pędu spełniają relację [Lj, Lk] = i�jklLl, więc = �ljk�mkj = -2�lm ,
a stąd operator J =  2�lmLlLm =  2[ L2 + L2 + L2 ] =  2L2, gdzie L2  kwadrat całko-
x y z
witego momentu pędu odpowiada częS
ci kątowej operatora Laplace a, zatem L2 jest ope-
ratorem Cassimira oraz [L2, Lj] = 0.
Stwierdzenie. Nie wszystkie operatory są niezmiennicze na grupie.
PRZYKŁAD
Niech operator Xx działa w natępujący sposób: Xx f(x) = xf(x). Transformacja opera-
tora Xx względem operatorów grupy translacji {6a} ma postać:
(6a Xx 6a 1) f(x) = 6aXx f (6ax) = 6aXx f(x  a) = 6ax f(x  a)
= (x + a) f(x  a + a) = x f (x) + a f(x) = (Xx + a)f(x),
a zatem 6aXx 6a 1 = Xx + a `" Xx.
Definicja  Zagadnienie własne operatorów
Jeżeli Ax f(x) =  f(x), to f(x) jest funkcją własną operatora Ax, a   odpowiadającą
jej wartoS
cią własną.
Definicja  Operator hermitowski
+
Jeżeli Ax = Ax , to operator Ax jest operatorem samosprzężonym zwanym także her-
mitowskim.
Stwierdzenie. Jeżeli f(x) jest funkcją własną operatora Ax oraz 7Ax = Ax7, to 7f(x) jest
także funkcją własną operatora Ax o tej samej wartoS
ci własnej .
Dowód
Ax f(x) =  f(x)
oraz
Ax[7f(x)] = Ax7f(x) = 7Ax f(x) = 7 f(x) = [7f(x)],
czyli
Ax[7f(x)] = [7f(x)]
11. Grupy operatorowe 59
Stwierdzenie. Jeżeli  jest własnoS
cią niezdegenerowaną, tzn. odpowiada tylko do jed-
nej funkcji własnej f(x), to funkcje 7 f(x) różnią się jedynie o stałą multiplatywną, tzn.
7 f(x) = D(7)f(x), gdzie D(7) jest stałą zależną od 7 oraz f(x)~D(7)f(x).
Stwierdzenie. Jeżeli D(7) = 1 dla wszystkich 7 " /, to 7f(x) = f(x) i funkcja f(x) jest
niezmiennicza ze względu na grupę /.
Stwierdzenie. Jeżeli  jest wartoS
cią własną �-krotnie zdegenerowaną tzn. Ax fi(x) = fi(x)
dla i = 1,..., �, gdzie {fi(x)} jest zbiorem liniowo niezależnych funkcji własnych opera-
tora Ax odpowiadających wartoS
ci własnej , to 7fi(x) jest także funkcją własną opera-
tora Ax odpowiadającą tej samej wartoS
ci własnej , tzn. Ax7fi(x) = 7fi(x) oraz
�
7fi(x) = (7) fj(x) jest kombinacją liniową funkcji fi(x). Gdy 7 = I, to Dij(I) = �ij.
"D ji
j=1
Wyrazy Dij(7) są elementami macierzy kwadratowych D(7) stopnia �.
Stwierdzenie. Zbiór macierzy {D(7)}, 7 " /, z operacją mnożenia macierzowego tworzą
grupę będącą homomorficznym odwzorowaniem grupy / w {D(7)}.
Dowód
Wystarczy wykazać, że odwzorowanie zachowuje działanie grupowe, niech zatem
71, 72 " /, wówczas
� �
=
(7172)fi(x) = 71[72 fi (x)] 71 ji (72) f (x) = (72) 71 f (x)
j ji j
"D "D
j =1 j =1
� �
=
kj ji
""D (71)D (72) fk ( x)
k =1 j =1
oraz
�
( ) ( )
7172 fi x = 7172 fk x
ki .
"D ( ) ( )
k =1
Ponieważ funkcje fi(x) są liniowo niezależne, więc z porównania otrzymanych rela-
�
cji wynika, że (71)Dji (72) = Dki (7172) , a zatem mnożenie powstałych macie-
"Dkj
j=
1
rzy zachowuje działanie grupowe. W ujęciu macierzowym otrzymana relacja ma po-
stać: D(71)D(72) = D(7172), a stąd D(I) = E oraz D(7 1) = D(7) 1.
60
12. REPREZENTACJE GRUP
Reprezentacja grupy  definicja i przykłady. Reprezentacje regularne, wierne,
równoważne, przykłady, iloczyn prosty Kr�neckera jako odwzorowanie zachowu-
jące iloczyn grupowy
Definicja  Reprezentacja grupy
Reprezentacja grupy G lub / to homomorficzne odwzorowanie grupy G lub / w zbiór
skończenie wymiarowych macierzy kwadratowych.
Definicja  Stopień macierzy
Wymiar macierzy kwadratowych (n�n) jest okreS
lany jako stopień n macierzy kwa-
dratowych lub czasami jako ich rząd n.
Stwierdzenie. Grupa macierzy {D(U)}, U " G, będąca homomorfizmem grupy G
w {D(U)}, jest reprezentacją grupy G.
Stwierdzenie. Istnieje S
cisły związek pomiędzy symetriami a degeneracją fizycznych
zagadnień własnych. Gdy funkcje własne odpowiadają pewnej �-krotnie zdegenerowa-
nej wartoS
ci własnej  (np. poziom energetyczny), to pod działaniem operatorów grupy
symetrii transformują się między sobą tworząc w ten sposób macierze przejS
cia, czyli
jedną z reprezentacji grupy.
Stwierdzenie. Zawsze jest możliwe odwzorowanie wszystkich elementów U grupy G
w macierz pierwszego stopnia [1], tzn. D(U) = [1] dla wszystkich U " G, lub w macierz
jednostkową stopnia n i wówczas
12. Reprezentacje grup 61
1 0 . 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 1 . 0 0śł
�ł śł
D(U ) = . . . . .
�ł śł
�ł0 0 . 1 0śł
�ł śł
�ł0 0 . 0 1śł
�ł �ł
Jednak są to mało użyteczne reprezentacje, chociaż istnieją zawsze.
Stwierdzenie. Gdy znana jest reprezentacja A grupy G, tj. homomorfizm U D(U),
gdzie U " G, D(U) " A, wówczas wyrażenia det D(U) także tworzą reprezentację ma-
cierzy pierwszego stopnia, gdyż równoS
ć det [D(U1)D(U2)] = det D(U1)detD(U2) zapew-
nia zachowanie działania grupowego. Odwzorowanie D(U) det D(U) to homomor-
fizm.
Stwierdzenie. Jeżeli istnieje homomorfizm G G' oraz znana jest reprezentacja A gru-
hom . hom .
'
py G', to odwzorowanie G G A jest homomorfizmem i A jest reprezentacją
grupy G.
PRZYKŁAD
Niech H jest podgrupą inwariantną grupy G oraz grupa ilorazowa grupy G' = G/H
ma reprezentację A. Wówczas reprezentacja A jest także reprezentacją grupy G.
Reprezentacje regularne
Stwierdzenie. Jeżeli każdy element grupy G = {U1, U2, ..., Ug} zostanie pomnożony przez
jakiS
wybrany element Uv " G, to ciąg elementów {UvU1, UvU2, ..., UvUg} zawiera wszy-
stkie elementy grupy tylko inaczej uporządkowane.
Definicja  Reprezentacja regularna
Reprezentacja regularna to odwzorowanie elementów Uv " G w zbiór macierze g�g
postaci Dkl(Uv) = �ik�jl, gdzie Ui = UvUj.
Stwierdzenie. W każdym wierszu i w każdej kolumnie macierz Dkl(Un) występują same
zera i jedna jedynka. Macierze D(Uv) są nieosobliwe, det D(Uv) `" 0 oraz det D(Uv) = ą1,
gdyż mogą być one otrzymane z macierzy jednostkowej przez odpowiednie przestawia-
nie kolumn lub wierszy.
Stwierdzenie. Zbiór macierzy {D(Uv)} tworzy grupę, a zatem stanowi reprezentację
grupy G.
62 12. Reprezentacje grup
Dowód
Odwzorowaniem elementu jednostkowego I " G jest Dkl (I ) = �ik�il = �kl  macierz
jednostkowa, gdyż Ui = IUi. Wszystkie pozostałe macierze D(Uv) maja na diagonali same
zera. Ponieważ dla Uv `" I warunek Ui = UvUj może być spełniony jedynie, gdy i `" j,
elementy Dkl (U ) = �ik�il mogą zatem przyjmować niezerowe wartoS
ci, gdy k `" l.
v
Zdefiniowane odwzorowanie zachowuje działanie grupowe:
(Uv )Dkj (U� ) = �kn�kr� = �im� �nr = �im� = Dij (UrU� ) ,
"Dik "�im js js js
k k
Dkj (U� ) = � � gdy Ur = U�U
gdzie Dik (Uv ) = �im� gdy Um = UvUn oraz . Po-
kr js s
kn
nieważ �nr implikuje warunek n = r, więc Un = U�Us , a stąd powstały związek
Dij (UvU� )
U = Uv (U�U ) = (UvU� )U pozwala następująco zdefiniować elementy
m s s
= �im�
, zatem D(U�)D(U�) = D(U�U�) (por. s. 59)
js
PRZYKŁAD
Grupa cykliczna 4-elementowa G ={a1 = e, a2 = a, a3 = a2, a4 = a3} oraz a4 = e. Wa-
= �"
runek ai av a prowadzi do następujących relacji:
j
I. v = 1, zatem av = e �! a1 = ea1, a2 = ea2, a3 = ea3, a4 = ea4 oraz
1 0 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 1 0 0śł
D(e) =
�ł śł
�ł0 0 1 0śł
�ł0 0 0 1śł
�ł �ł
II. v = 2, zatem av = a �! a2 = aa1, a3 = aa2, a4 = aa3, a1 = aa4 oraz
0 0 0 1
�ł łł
�ł śł
�ł1 0 0 0śł
D(a) =
�ł śł
�ł0 1 0 0śł
�ł0 0 1 0śł
�ł �ł
III. v = 3, zatem av = a2 �! a3 = a2a1, a4 = a2a2, a1 = a2a3, a2 = a2a4 oraz
12. Reprezentacje grup 63
0 0 1 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 0 0 1śł
D(a2 ) =
�ł śł
�ł1 0 0 0śł
�ł0 1 0 0śł
�ł �ł
IV. v = 4, zatem av = a3 �! a4 = a3a1, a1 = a3a2, a2 = a3a3, a3 = a3a4 oraz
0 1 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 0 1 0śł
D(a3) =
�ł śł
�ł0 0 0 1śł
�ł1 0 0 0śł
�ł �ł
Stwierdzenie. Istnieją reprezentacje różne od reprezentacji jednowymiarowych.
Definicja  Reprezentacje wierne
Reprezentacje nazywamy wiernymi, jeżeli odwzorowanie grupy w reprezentację:
G {D(Uv)}, gdzie Uv " G, jest izomorfizmem.
Stwierdzenie. Dla reprezentacji regularnych, dla których rząd grupy G jest równy g,
odwzorowanie grupy w zbiór macierzy (g�g) jest izomorfizmem.
Stwierdzenie. Reprezentacja regularna jest reprezentacją wierną.
Stwierdzenie. Jeżeli D(Uv) jest reprezentacją grupy G (Uv " G) oraz S jest dowolną nie-
osobliwą macierzą kwadratową tego samego stopnia co macierze D(Uv), to macierze
D'(Uv) = S 1D(Uv)S także tworzą reprezentację grupy G.
Dowód
Wystarczy wykazać, że macierze D'(Uv) zachowują działanie grupowe. Ponieważ
macierze D(Uv) tworzą grupę, więc D(Uv)D(U�) = D(UvU�), a to pozwala wykazać, że
D'(Uv)D'(U�) = S 1D(Uv)SS 1D(U�)S = S 1D(Uv)D(U�)S = S 1D(UvU�)S = D'(UvU�).
Definicja  Reprezentacje równoważne
Reprezentacje {D(U)} i {D'(U)}, których elementy są związane relacją D'(Uv)
= S 1D(Uv)S, przy czym det S `" 0, nazywają się reprezentacjami równoważnymi.
64 12. Reprezentacje grup
Definicja  Iloczyn prosty Kr�neckera
Iloczyn prosty Kr�neckera dwóch macierzy A, B to operator A " B działający w prze-
L
strzeni L macierzy C, którego działanie wyraża się następująco (A " B)C = ACBT " L,
przy czym jeżeli A jest macierzą (n�n), B  macierzą (m�m), to C  (n�m).
Stwierdzenie. Iloczyn prosty Kr�neckera ma następujące własnoS
ci:
 niech E jest macierzą jednostkową (n�n) lub (m�m), wówczas operator E "E = E
jest operatorem jednostkowym, gdyż E " EC = ECE = C oraz C = EC = CE,
 addytywnoS
ć lewo- i prawostronna, tj.
( ) oraz ( )
A1 + A2 " B = A1 " B + A2 " B A " B1 + B2 = A " B1 + A " B2
 założenie dwóch operatorów iloczynu prostego jest operatorem iloczynu prostego,
gdyż
T T T
(A1 " B1)(A2 " B2)C = (A1 " B2)A2CB2 = A1(A2CB2 )B1 = (A1A2)C(B1B2)T
= (A1A2) " (B1B2)C
zatem (A1 " B1)(A2 " B2 ) = (A1A2 ) " (B1B2 ) ,
 element odwrotny ma postać , gdyż
( )-1
A " B = A-1 " B-1
(A " B)(A-1 " B-1) = (AA-1) " (BB-1) = E " E = E
Stwierdzenie. Iloczyn prosty A " B jest reprezentowany przez macierz czterowskax
ni-
A " B a" Aik B
kową postaci ( )ij,kl jl , gdyż
T
[( " B C = AikCklBlj = Aik B Ckl = " B Ckl
A ) ]ij
" " jl "(A )ij,kl
kl kl kl
Stwierdzenie. Iloczyn prosty macierzy to zestawienie dwóch niezależnych macierzy, tj.
A" B = A B, przy czym macierze A i B nie łączy żadna operacja, przez co tworzą wyra-
żenie czterowskax
nikowe.
Stwierdzenie. R
lad iloczynu prostego Tr(A " B) to S
lad po indeksach podwójnych, czyli
( )
Tr A " B = " B = B = Tr A �"Tr B
"(A )ij,ij ""Aii jj
,
ij i j
a zatem Tr(A" B) = Tr A �Tr B.
Stwierdzenie. Jeżeli D(U) i D'(U) są dwiema reprezentacjami grupy G, to ich iloczyn
prosty D(U)"D'(U) jest także reprezentacją tej grupy.
12. Reprezentacje grup 65
Dowód
Iloczyn prosty zachowuje działanie grupowe
(D(Ui ) " D'(Ui )) D(U ) " D'(U ) = D(Ui )D(U ) " D'(Ui )D'(U )
( ) ( ) ( )
j j j j
= D(UiU ) " D'(UiU )
j j
Stwierdzenie. Jeżeli przynajmniej jedna z reprezentacji D(U) i D'(U) jest wierna, to nowa
reprezentacja okreS
lona przez iloczyn prosty D(U)"D (U) jest też wierna.
66
13. WYZNACZANIE REPREZENTACJI GRUP
Metody wyznaczania reprezentacji grup, przykłady dla grup obrotów, reprezen-
tacje nieprzywiedlne, reprezentacja jako suma prosta reprezentacji nieprzywie-
dlnych, charaktery i ich własnoS
ci
Stwierdzenie. W celu znalezienia reprezentacji grupy zazwyczaj wykorzystywane są
następujące sposoby:
Sposób 1
Należy znalex
ć zbiór liniowo niezależnych funkcji {fi(x)}, które pod działaniem wszy-
stkich elementów grupy U " G transformują się między sobą, tzn.
Ufi (x) = (U ) f (x)
"D ji j
j
Zbiór macierzy {D(U)} tworzy wówczas reprezentacje grupy G. Sposób ten jest bardzo
użyteczny w odniesieniu do grup nieskończonych, np. grupy Liego.
Sposób 2
Dotyczy grup skończonych. Dla dowolnej funkcji f(x) zbiór funkcji {fi(x)} otrzyma-
nych następująco: fi(x) = Ui f(x) jest zamknięty na transformacje grupowe, gdyż
U fi (x) = U Ui f (x) = Uk f (x) = fk (x)
j j
gdzie UjUi = Uk. Nie wszystkie, tak otrzymane, funkcje fi(x) muszą być liniowo nieza-
leżne.
Stwierdzenie. Jeżeli wszystkie funkcje fi(x) są liniowo niezależne oraz Ui = UvUj, wów-
czas Uv fj(x) = fi(x) oraz Uv f (x) = (U� ) fk ( x) = fk (x) = fi (x) . Zatem
j "Dkj "�ki
kk
Dkj (Uv ) = �ki� = �
, gdyż Ui = U� Uj, a powstała reprezentacja jest reprezentacją re-
jj ki
gularną.
13. Wyznaczanie reprezentacji grup 67
Stwierdzenie. Jeżeli w zbiorze {fi(x)} nie wszystkie funkcje fi(x) są liniowo niezależne,
to elementami otrzymanej reprezentacji są macierze niższego stopnia niż w reprezenta-
cji regularnej, w której stopień macierzy g tworzących reprezentację jest równy rzędo-
wi grupy.
PRZYKŁAD
Reprezentacja grupy obrotów. Reprezentację grupy obrotów Rz(ą) ustala się według
pierwszego sposobu.
I. Zbiór liniowo niezależnych funkcji wybiera się w postaci: f1(�) = cos �, f2(�)
= sin �, (dwie funkcje). Działanie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:
Rz(ą)f1(�) = f1(�  ą) = cos(�  ą) = cos� cosą + sin� siną = cosąf1(�) + sin ąf2(�),
Rz(ą)f2(�) = f2(�  ą) = sin(�  ą) = sin� cosą  cos� siną =  siną f1(�) + cosą f2(�),
które w notacji macierzowej można zapisać:
f1
�ł łł
(ą) , (ą))
Rz [f1 f2]= DT (Rz �ł śł
f2
�ł śł
�ł �ł
z czego wynika, że macierze reprezentacji operatora Rz(ą) mają postać:
cosą
�ł - sinąłł
D(1)(Rz (ą))=
�ł śł
�ł
�łsiną cosą śł
�ł
oraz że otrzymana reprezentacja  to grupa SO(2). Górny indeks macie-
{D(1)(Rz (ą))}
rzy, tu (1), numeruje różne reprezentacje.
Stwierdzenie. Ponieważ na mocy relacji grupowych zachodzi związek:
Rz (ą )Rz (� ) = (ą + � ) , więc
Rz
( (ą)) ( (� ))= ( (ą + � ))
D(1) Rz D(1) Rz D(1) Rz
z czego wynikają poniższe związki dla funkcji trygonometrycznych:
cosą cos �
�ł - sinąłł �ł - sin �
łł
�ł śł �ł śł
�ł
�łsiną cosą śł �ł � cos � śł
�ł �łsin �ł
cosą cos � - siną sin � - cosą sin � - siną cos �
�ł łł
=
�ł śł
�ł
�łsiną cos � + cosą sin � - siną sin � + cosą cos � śł
�ł
cos(ą + � ) - sin(ą + � )
�ł łł
a" .
�ł śł
(ą )
�ł
�łsin + � cos(ą + �) śł
�ł
68 13. Wyznaczanie reprezentacji grup
II. Zbiór liniowo niezależnych funkcji wybiera się w postaci: , (tylko jedna
f1(�) = ei�
funkcja). Działanie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:
Rz (ą) f1(�) = f1(� - ą) = ei(� -ą ) = e-iąei� = e-ią f1(�)
a zatem macierze reprezentacji tworzą grupę U(1).
D(2)(Rz (ą))= [e-ią ]
III. Zbiór liniowo niezależnych funkcji wybiera się w postaci: , (tylko
f2(�) = e-i�
jedna funkcja). Działanie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:
Rz (ą) f2 (�) = f2 (� -ą) = e-i(�-ą ) = eią e-i� = eią f2 (�)
a zatem macierze reprezentacji D(3)(Rz (ą)) = [eią ] tworzą grupę U(1).
IV. Zbiór liniowo niezależnych funkcji wybiera się w postaci: ,
f1(�) = ei�
, (dwie funkcje). Macierze reprezentacji mają wówczas postać:
f2(�) = e-i�
�łe-ią 0 łł
D(4)(Rz (ą ))= �ł śł
�ł
0 eią śł
�ł �ł
i tworzą grupę SU(2), gdyż det D(4) (Rz (ą)) = 1
.
V. Zbiór liniowo niezależnych funkcji wybiera się w postaci: , (tylko
fm(�) = eim�
jedna funkcja). Działanie operatora obrotu prowadzi do relacji:
Rz (ą) fm (�) = fm (� -ą) = eim(�-ą ) = e-imą fm (�)
a zatem macierze reprezentacji tworzą grupę U(1).
D(m) (Rz (ą)) = [e-imą ]
Stwierdzenie. Ponieważ grupa Rz(ą) jest zwarta o objętoS
ci 2Ą i obroty o kąty  zerowy
i 2Ą są równoważne R (0) = R (2Ą), więc D(m)(R (0)) = D(m)(R (2Ą)), czyli e i2Ąm = 1,
z z z z
z czego wynika, że m musi być liczbą całkowitą.
Stwierdzenie. Reprezentacje D(1)(R (ą)) i D(4)(R (ą)) są sobie równoważne, gdyż istnie-
z z
1 i
�ł łł
1
je transformacja podobieństwa S = , która przekształca jedną reprezentację
�ł śł
2 1�ł
�ł śł
�łi
w drugą.
1 i
1
�ł - i
łł
1
-1
2 2
Macierz odwrotna S = , gdyż det S = =1, zatem
�ł śł
i 1
2 i 1
�ł- śł
�ł �ł
2 2
13. Wyznaczanie reprezentacji grup 69
1 łł �ł 1 i
�ł - i cosą - siną łł �ł łł
1
-1
S D(1)(Rz (ą))S =
�ł śł �ł śł �ł śł
2
�ł- i 1 śł �ł
�ł �ł �łsiną cosą śł �ł 1�ł
�ł �łi śł
1 łł �ł
�ł - i cosą - isiną i cosą - siną łł
1
=
�ł śł �ł śł
2
�ł- i 1
śł �ł
�ł �ł �łsiną + i cosą cosą + isiną śł
�ł
�ł
1 łł
�ł - i
e-ią ieią łł 1 �ł e-ią + e-ią ieią - ieią łł
1
= �ł śł = �ł śł
�ł śł
-ią
2
�ł- i 1 śł �ł
�ł �ł
�łie eią śł 2 �ł- ie-ią + ie-ią eią + eią śł
�ł �ł �ł
�łe-ią 0 łł
= �ł śł = D(4)(Rz (ą))
�ł
0 eią śł
�ł �ł
Stwierdzenie. Jeżeli reprezentację D(U) można sprowadzić, jednoczeS
nie dla wszystkich
~
-1
, za pomocą jakiejS
transformacji podobieństwa S, tj. , do
U "G D(U ) = S D(U )S
postaci klatkowej:
�ł�ł łł 0 0 0 0 0 0 łł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł�ł śł śł
�ł �ł
�ł śł
0 0 0 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
~
0 0 0 0 0
�ł śł
D(U ) =
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł śł

�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł
0 0 0 0 0 0 0 śł
�ł �ł
~
w której reprezentacja jest sumą prostą reprezentacji o mniejszych wymiarach
D(U )
(tj. reprezentacji podstawowych), to w zbiorze funkcji {fi(x)} istnieją podzbiory funk-
cji, których elementy pod działaniem rozpatrywanej grupy G przekształcają się wzaje-
mnie na siebie.
Definicja  Reprezentacje nieprzywiedlne
Reprezentacje, których nie można za pomocą transformacji podobieństwa sprowa-
dzić do prostszych postaci klatkowych (o mniejszych klatkach) nazywają się reprezen-
70 13. Wyznaczanie reprezentacji grup
tacjami nieprzywiedlnymi lub nieredukowalnymi. Pozostałe reprezentacje to reprezen-
tacje przywiedlne lub redukowalne.
~
Stwierdzenie. Reprezentacje powiązane ze sobą transformacją podobieństwa
D(U ) =
-1
, gdzie det S `" 0, są reprezentacjami równoważnymi. (por. s. 63).
S D(U )S
Stwierdzenie. Reprezentacja przywiedlna jest sumą prostą reprezentacji nieprzywiedl-
nych
n
�
( )
D(U ) = a(1)D(1) (U ) �" a(2)D(2) (U ) �" ...�" a(n)D(n) (U ) = D(�) (U )
,
�"a
�=
1
a(� )
gdzie  to reprezentacje nieprzywiedlne, a jest liczbą równoważnych re-
D(�)(U )
prezentacji nieprzywiedlnych danej reprezentacji, a zatem
�ł 0 0 0 0 0 0 łł
�ł łł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł�ł śł śł
�ł �ł
�ł śł
0 0 0 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0
�ł śł
D(U ) =
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0
�ł śł
�ł �ł
�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł śł

�ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł
0 0 0 0 0 0 0 śł
�ł �ł
�ł łł
�ł łł �ł śł �ł łł
= a(1) �ł śł �" a(2)[ ] a(3) �ł śł �"...�" a(n) �ł śł
�"
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł śł �ł �ł
�ł śł
�ł �ł
Stwierdzenie. Wszystkie równoważne reprezentacje nieprzywiedlne można jednoczeS
nie
sprowadzić do tej samej postaci za pomocą transformacji podobieństwa
~
-1
.
S D(�)(U )S = D(�)(U )
Dowód
Jeżeli w reprezentacji przywiedlnej D(U) istnieją dwie równoważne reprezentacje
~
{D(�)(U )}
i
{D(�)(U )}
13. Wyznaczanie reprezentacji grup 71
�ł 0 0 0 0 0 0 0 0 łł
�ł łł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0
�ł�ł śł śł
�ł �ł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł śł
~
�ł śł
0 0 D(�)(U ) 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł �ł
D(U )=
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł

�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0
�ł łłśł
�ł
�ł śłśł
�ł
(�)
0 0 0 0 0 0 0 D (U )
�ł śłśł
�ł
�ł śłśł
�ł
0 0 0 0 0 0 0
�ł śł�ł
�ł �ł
�ł
to wykorzystując macierz postaci
�ł 1 0 0 0 0 0 0 0 0 łł
�ł łł
�ł śł
�ł śł
1�ł 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł�ł śł śł
�ł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 0 S 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
~ �ł śł
0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł �ł
S =
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł

�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 1
�ł łłśł
�ł
�ł śłśł
�ł
0 0 0 0 0 0 0 1
�ł śłśł
�ł
�ł śł
�ł
0 0 0 0 0 0 0 1śłśł
�ł
�ł �ł
�ł �ł
-1
i transformację podobieństwa, gdzie S jest macierzą spełniającą relację
S D(�)(U )S
~
, można równoważne nieprzywiedlne reprezentacje sprowadzić do jednolitej
= D(�)(U )
postaci.
Definicja  Charaktery
R
lad macierzy reprezentacji TrD(U) jest oznaczany �(U) i nazywany charakterem
elementu U " G w danej reprezentacji.
72 13. Wyznaczanie reprezentacji grup
Stwierdzenie. Charakter elementu U jest taki sam we wszystkich równoważnych repre-
zentacjach.
Dowód
~
-1
Ponieważ oraz )= TrD(U) , więc
�(U
D(U )= S D(U )S
~(U ~
� ) = TrD(U ) = Tr[S-1D(U )S] = Tr[SS-1D(U )] = TrD(U ) = �(U )
gdyż wyrażenia występujące pod znakiem S
ladu wolno przestawiać cyklicznie.
Definicja  Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych
R
lad elementu U w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej oznacza się:
(v) (v)
i
� (U ) � (U )= TrD(v)(U )
Stwierdzenie. Wszystkie elementy grupy należące do jednej klasy mają ten sam cha-
rakter.
Dowód
Niech elementy grupy Uv, U� " Ci, wtedy istnieje U� " G takie, że U� U�U� 1 = U�.
Ponieważ macierze reprezentacji spełniają relacje grupowe, więc
- -
D(U� ) = D(U�UvU�1) = D(U� )D(Uv)D(U�1) = D(U� )D(Uv)D(U� )-1
a zatem
-1
�(U� ) = TrD(U�UvU ) = Tr[D(U )D(Uv )D(U )-1]
� � �
= Tr[D(U� )-1D(U )D(Uv )] = TrD(Uv) = �(Uv )
�
Stwierdzenie. Charaktery to funkcje całych klas, a nie poszczególnych elementów grupy.
�i(v)
Definicja  Charakter
�i(v)
Symbol oznacza charakter i-tej klasy w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej.
�i(v)
Stwierdzenie. Jeżeli grupa ma k klas, to wyznaczenie charakterów dla i = 1, ....., k
w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej dostarcza istotnych informacji o reprezentacji.
73
14. REPREZENTACJE UNITARNE
RównoważnoS
ć reprezentacji, lematy Schura, reprezentacje grup abelowych, wła-
snoS
ci reprezentacji wynikające z lematów Schura
Definicja  Macierze unitarne
Macierze A " {Mn(C)} takie, że dla dowolnych x, y " V jest spełniona równoS
ć
(x, y) = (Ax, Ay), gdzie ( , ) oznacza iloczyn skalarny, nazywają się macierzami unitar-
nymi.
Stwierdzenie. Macierze unitarne A spełniają relacje: AA+ =A+A = E �! A+ = A 1 oraz two-
rzą grupę unitarną U(n).
Definicja  Reprezentacje unitarne
Reprezentacje unitarne to reprezantacje utworzone z macierzy unitarnych.
TWIERDZENIE. Każda reprezentacja grupy skończonej jest równoważna reprezenta-
cji unitarnej. Oznacza to, że dla każdej reprezentacji {D(U)} istnieje nieosobliwa ma-
cierz S taka, że dla każdego U " G i dla każdej pary x, y " V spełniona jest równoS
ć:
~ ~ ~
-1
gdzie:
(D(U )x, D(U ) y) = (x, y) D(U ) = S D(U )S
Dowód
Dowód przeprowadzany jest w kilku etapach. W pierwszym etapie pokazuje się, że
każda reprezentacja jest unitarna względem pewnego szczególnego iloczynu skalarne-
go, nazwanym iloczynem wewnętrznym.
Definicja iloczynu wewnętrznego:
Iloczyn postaci {x, y} =
"(D(U )x, D(U ) y) spełnia aksjomaty iloczynu skalarne-
U"G
go, gdyż
74 14. Reprezentacje unitarne
{x, y}"C , {x, y} = {y, x}*
oraz
{x, ąy + �z) = ą{x, y} + �{x, z} i {ąx + � y, z) = ą*{x, z} + �*{y, z}
n
*
gdzie (x, y) = .
yi
"xi
i=1
Dowolna macierz spełnia relację {D(U )x, D(U )y} = {x, y}, gdyż
{D(U 2 D(U2
)x, ) y} =
"(D(U )D(U2 )x, D(U )D(U 2 ) y)= "(D(UU 2 )x, D(UU 2 ) y)
U"G U"G
=
"(D(U 2 2 )x, D(U 2 2 ) y)= {x, y}
2 2
U "G
gdzie zostało uwzględnione, że U" = UU' " G.
Stwierdzenie. Dowolna reprezentacja {D(U)} wypełnia warunek unitarnoS
ci względem
pewnego szczególnego iloczynu wewnętrznego. Należy zatem znalex
ć transformację
podobieństwa S, która pozwoli uczynić {D(U)} reprezentacją unitarną względem ilo-
czynu skalarnego.
W drugim etapie okreS
la się transformację podobieństwa S.
�
Niech wektory {�i} stanowią zupełną, ortogonalną i unormowaną bazę w V wzglę-
�
�
�
� � �
dem iloczynu skalarnego, zatem (�i, �j) = �ij, a wektory {�i} stanowią zupełną, ortogo-
� � �
� � �
� � �
nalną i unormowaną bazę w V względem zdefiniowanego iloczynu wewnętrznego, za-
� � �
tem {�i, �j} = �ij. Operator S okreS
lony w V, który transformuje wektory �i w wektory
� � �
� � �
� � �
�i, tj. �i = S�i, spełnia własnoS
ci:
� � �
� � �
� � �
� � �
-1 -1
(x, y) = {Sx, Sy} lub
(S x, S y) = {x, y}
gdzie
n n
n
*
x = � y = � ( , )
, więc x y = b
,
j j j j
"a , "b "a j j
j =1 j =1
j=1
gdyż
n n n n
* * *
{Sx, Sy} = �i, Sbj� }= bj{S�i, S� }= bj{�i ,� }= bj =(x, y)
i j i i j
"{Sa "a j "a "a j
i j = i j = i j = j =
, 1 , 1 , 1 1
~
-1
W trzecim etapie wykazuje się, że D(U ) = S D(U )S jest reprezentacją unitarną,
~ ~
czyli że dla dowolnego U " G jest spełniona równoS
ć: (D(U )x, D(U ) y) = (x, y) .
14. Reprezentacje unitarne 75
Z powyżej otrzymanych relacji wynika, że
~ ~
-1 -1
(D(U )x, D(U ) y) = (S D(U )Sx, S D(U )Sy) = {D(U )Sx, D(U )Sy}
a ponieważ {D(U)} jest reprezentacją unitarną względem iloczynu wewnętrznego { , },
więc
{D(U )Sx, D(U )Sy} = {Sx,Sy} = (x, y) ,
~ ~ ~
zatem (D(U )x, D(U ) y) = (x, y) i {D(U )} jest reprezentacją unitarną.
Stwierdzenie. Dowolną reprezentację grupy skończonej zawsze można przetransformo-
wać w reprezentację unitarną, ale na ogół jest to także możliwe dla wielu nieskończo-
nych i ciągłych grup np. grup Liego.
LEMAT. Jeżeli macierz M komutuje z macierzą unitarną A, MA = AM, to macierze M+
i M zdefiniowane następująco:

1 1
M+ = (M + M+) oraz M = (M  M+) także komutują z A, przy czym M+ i M są
 
2 2i
macierzami samosprzężonymi.
Dowód
+ +
AM = MA �! M A+ = A+M oraz
AA+ = A+ A = E
zatem
+ + + + + +
AM A+ = AA+ M = M �! M A = AM A+ A = AM
czyli
+ +
M A = AM
Ponieważ
+ +
, więc
AM + AM = MA + M A AM = M A
+ +
oraz
+ +
, więc AM = M A
AM - AM = MA - M A
- -
Macierze M+ i M są samosprzężone, gdyż

+
1 1 1
�ł
+ + + +
M = (M + M )łł = (M + M ) = (M + M ) = M
+ +
�ł2 śł
2 2
�ł �ł
76 14. Reprezentacje unitarne
oraz
+
1 1 1
�ł
+ + + +
M = (M - M )łł = - (M - M ) = (M - M ) = M
- -
�ł2i śł
2i 2i
�ł �ł
LEMAT SCHURA I. Jeżeli D(U) jest elementem nieprzywiedlnej reprezentacji grupy
G (U " G) i jeżeli D(U)M = MD(U) dla wszystkich U " G, to M musi być postaci:
M = cE, gdzie E jest macierzą jednostkową, a c pewną stałą.
Dowód
Zakłada się, że reprezentacja {D(U)} jest unitarna, więc D(U) są macierzami unitar-
nymi. Ponieważ D(U )M = MD(U ) �! D(U )M = M D(U ) oraz M = M + iM ,
ą ą + -
gdzie macierze M+ i M są macierzami hermitowskimi. Dlatego rozważania można

przeprowadzić w odniesieniu do macierzy M+ i M . Niech n, n = 1, 2,..., k, są różny-

mi wartoS
ciami własnymi oraz xn(i), i = 1, 2,..., mn różnymi, odpowiadającymi warto-
S
ci własnej n wektorami własnymi operatora (macierzy) M+, które spełniają relację
k
M+xn(i) = n xn(i). Wektory xn(i) rozpinają N wymiarową przestrzeń, więc
n
"m = N .
n=1
Stwierdzenie. Wszystkie wartoS
ci własne n macierzy hermitowskiej są rzeczywiste a
wektory własne xn(i) są ortonormalne tj. (xn(i), xk(j)) = �nk�ij, gdyż dla różnych wartoS
ci
n, xn(i) muszą być ortogonalne, a dla tej samej wartoS
ci n mogą zostać wybrane jako
ortogonalne i w obu przypadkach można je unormować.
Wektor D(U)xn(i) jest wektorem własnym macierzy M+, gdyż
( ( ( (
M [D(U )xni)] = D(U )M xni) = D(U )n xni) = n[D(U )xni)]
+ +
zatem
mn
j
( (n) ( )
D(U )
xni) =
ij
"d (U )xn
j
=1
gdzie i = 1, 2,..., mn dla wszystkich U " G.
(
Elementy dijn) (U ) macierzy D(U) w reprezentacji wektorów własnych xn(i) okreS
la
relacja
mn mn
n n
( ( ( ) ( ) ( ( ) (
( , D(U ) ) (U )( , ) (U ) dijn) (U )
xk j) xni) = xk j xnl) = � � = �
kn jl kn
"dil "dil
l l
=1 =1
a zatem elementy macierzy D(U), dla których k `" n są zawsze równe zero i macierz
D(U) w bazie xn(i) ma dla wszystkich U " G postać:
14. Reprezentacje unitarne 77
�ł łł
�ł ( śł
dij1)(U ) 0
�ł śł
(m1 � m1)
�ł śł
D(U ) =
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 (N - m1) � (N - m1)
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
w której elementy różne od zera są zawarte w blokach rozłożonych wzdłuż diagonali.
(
Dla n = 1 elementy dij1) (U ) tworzą macierz (m1�m1) itd. Ponieważ z założenia repre-
zentacja jest nieprzywiedlna, więc sprzecznoS
ć, gdyż {D(U)} ma strukturę blokową wła-
S
ciwą dla reprezentacji przywiedlnych. Jedyną możliwoS
cią uniknięcia sprzecznoS
ci jest
przyjęcie, że m1 = N, ale wówczas 1 staje się N-krotnie zdegenerowane.
Stwierdzenie. Macierz hermitowska w bazie ortonormalnych wektorów własnych ma
postać
1 0 . . . 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 1 . . . 0 0 śł
�ł śł
. . . . . . .
�ł śł
M =
+
�ł śł
. . . . . . .
�ł śł
�ł0 0 . . . n 0śł
�ł śł
�ł0 0 . . . 0 n śł
�ł �ł
gdzie niezerowe wartoS
ci równe odpowiednio n, n = 1, 2,..., k występują wyłącznie na
diagonali.
Gdy zatem n = 1 dla n = 1, 2,..., k, macierz M+ przyjmuje postać
1 0 . . . 0 0
�ł łł
�ł śł
�ł0 1 . . . 0 0śł
�ł śł
. . . . . . .
�ł śł
M = = 1E
+
�ł śł
. . . . . . .
�ł śł
�ł0 0 . . . 1 0śł
�ł śł
�ł0 0 . . . 0 1 śł
�ł �ł
i analogicznie macierz M = �1E, a stąd M = (1 + �1)E = cE.

78 14. Reprezentacje unitarne
Stwierdzenie. Jeżeli macierz M, która nie jest macierzą jednostkową, komutuje ze wszy-
stkimi elementami reprezentacji {D(U)}, tj. MD(U) = D(U)M dla wszystkich U " G, to
reprezentacja ta jest przewidywalna.
Stwierdzenie: Grupa abelowa ma tylko jednowymiarowe reprezentacje nieprzewidywalne.
Dowód
Ponieważ wszystkie elementy grupy abelowej komutują ze sobą, więc [D(U), D(U')]
= 0 dla wszystkich U' " G. Macierz D(U) komutuje zatem ze wszystkimi elementami
nieprzywiedlnej reprezentacji {D(U')}, czyli D(U) = cE. Ale żeby reprezentacja ma-
cierzy jednostkowych była nieprzywiedlna musi być jednowymiarowa.
LEMAT SCHURA II. Niech {D(U)} i {D (U)} będą dwiema nieprzewidywalnymi re-
prezentacjami grupy G. Jeżeli dla wszystkich U " G jest spełniona relacja D(U)M
= MD'(U), to D(U) i D'(U) są reprezentacjami równoważnymi albo M = 0.
Dowód
Macierz D(U) i D'(U) są unitarne i mogą mieć różne wymiary i niech D(U)  macierz
n�n, D'(U)  macierz m�m, wówczas M jest macierzą n�m. Ponieważ dla wszystkich U " G
D(U)M = MD'(U), więc M+D+(U) = D'+(U)M+. Ale D+(U) = D(U) 1 = D(U 1) dla dowol-
nego U " G, a zatem także dla U' = U 1 " G. Dlatego
+ -1 + + +
2 + + + -1 2 2
M D+ (U ) = D (U )M �! M D(U ) = D (U )M �! M D(U ) = D (U )M
+ +
a stąd 2 . Podobnie z warunku D(U)M = MD'(U) wynika, że
MM D(U ) = MD (U )M
+ +
D(U)MM+ = MD'(U)M+, a zatem
dla wszystkich U " G.
MM D(U ) = D(U )MM
Otrzymana relacja na podstawie pierwszego lematu Schura prowadzi do wniosków, że
MM+ = cE, gdzie MM+ jest macierzą kwadratową n�n oraz M+M = c'E, gdzie M+M jest
macierzą kwadratową m�m.
W dowodzie lematu rozpatruje się trzy przypadki.
I. Niech n = m, wówczas M jest macierzą kwadratową. Jeżeli c = 0, to MM+ = 0, co
oznacza, że wszystkie wyrazy macierzy MM+ są równe 0, a więc także (MM+)ii = 0. Stąd
wynika, że
n n n
2
+ + *
( )ii 0
MM = M = M = M =
"M ij ji "M ij ij " ij
j=1 j=1 j=1
+
czyli każdy wyraz Mij = 0, a zatem macierz M = 0. Jeżeli c `" 0, to
det(MM )
2
+
, a więc det M `" 0 i istnieje macierz odwrotna M 1,
= det M �" det M = det M = cn `" 0
a stąd D(U) = MD'(U)M 1 dla wszystkich U " G, czyli reprezentacje {D(U)} i {D (U)}
są równoważne.
14. Reprezentacje unitarne 79
II. Jeżeli n > m, to macierz M (n�m) należy uzupełnić do macierzy kwadratowej n�n
dopisując n m kolumn zer. Wówczas macierz N i N+ (n�n) mają postać:
�ł łł
�ł
0 ... 0łł
�ł śł
�ł śł
+
�ł śł
�ł śł
0 ... 0 M
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł 0 ... 0śł
+
�ł śł
N =
N = M
�ł śł ,
�ł0 0 0 0 0 0 śł
0 ... 0śł
�ł
�ł śł
�ł śł
0 ... 0śł �ł śł
�ł
. . . . . .
�ł śł
�ł śł
0 ... 0śł
�ł0 0 0 0 0 0 śł
�ł
�ł �ł
�ł �ł
Łatwo można zauważyć, że NN+ = MM+, a skoro MM+ = cE, więc NN+ = cE. Podob-
2
+ +
nie jak poprzednio , ale teraz det N = 0, gdyż
det(NN ) = det N �" det N = det N = cn
macierz N ma co najmniej jedną kolumnę zer, zatem c = 0, a stąd wynika, że N = 0,
a więc i M = 0.
III. Jeżeli m > n, to macierz M (n�m) należy uzupełnić do macierzy kwadratowej
m�m dopisując m  n wierszy zer i dalej postępować jak w przypadku II.
Stwierdzenie. Lematy Schura obowiązują dla dowolnych skończenie wymiarowych re-
prezentacji unitarnych. Są one zatem także słuszne dla grup nieskończonych (np. Lie-
go) posiadających skończenie wymiarowe reprezentacje.
(� ) (� )
Stwierdzenie. Macierz postaci M
=
i "D (U ) , gdzie Ci oznacza i-tą klasę, a v nu-
U Ci
"
meruje reprezentacje nieprzywiedlne {D(v)(U)}, jest wielokrotnoS
cią macierzy jednost-
kowej.
Dowód
Należy zauważyć, że
-1
(� ) (� ) (� ) (� ) ) (� )
D(� ) (U ')M [D (U ')] =
i "D (U ')D (U )D(� (U '-1 ) = "D (U 'UU '-1 )
U"Ci U"Ci
ale U " Ci, więc U" = U'UU' 1 " Ci i sumowanie po U " Ci można zastąpić sumowa-
niem po U" " Ci. Zatem
-1
(� ) (� ) (� ) (� ) (� )
( ') ( ')
D U M [D U ] =
i "D (U") = M i
U ""Ci
80 14. Reprezentacje unitarne
(� ) ( )
dla wszystkich U' " G, a stąd na mocy pierwszego lematu Schura . Gdy
ci�
M = E
i
(� ) )
wymiar reprezentacji o indeksie v wynosi nv, wówczas c(� . Ale
Tr M = n�
i i
(� ) (� ) (� ) )
Tr M = D U =
i "Tr ( ) "� (U ) = gi �i(�
U"Ci U"Ci
gdyż S
lady wszystkich macierzy reprezentujących elementy jednej klasy są sobie rów-
ne, stąd
(� )
gi
(
"D (U ) gi
ci� ) = �i(� ) oraz = �i(� )E
n� U Ci n�
"
-1
(� ) (�)
Stwierdzenie. Macierz postaci M =
"D (U )X[D (U )] , gdzie D(v)(U) i D(�)(U)
U"G
są macierzami nieprzywiedlnych reprezentacji o wymiarach odpowiednio nv i n�, a X
jest dowolną macierzą nv�n�, jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej.
Dowód
Należy zauważyć, że dla wszystkich U' " G spełniona jest relacja
-1
(� ) ) -1 )
D(� )(U ')M[D(�)(U ')] =
"D (U 2 )D(� (U )X D(�)(U )D(� (U2 -1)
U"G
(� ) (� )
=
"D (U2 U )XD(�)((U 2 U )-1)= "D (U 2 2 )XD(�)(U 2 2 -1) = M ,
2 2
U"G U "G
�
( )
gdzie U" =U'U " G, z której wynika, że . Na mocy zatem obu
D(� ) (U )M = MD (U )
lematów Schura M = c(X )E��� i M = 0, gdy v `" �, oraz M = c(X)E, gdy v = �, czyli
-1
(� )
.
"D (U )X[D(�) (U )] = c(X )E���
U"G
81
15. RELACJE ORTOGONALNOR
CI
Relacje ortogonalnoS
ci dla elementów macierzowych i charakterów dowolnych
reprezentacji oraz reprezentacji regularnych i otrzymywane warunki
( (
Stwierdzenie. Elementy macierzy Dij� ) (U ), Dlk�) (U ) dwóch nieprzywiedlnych reprezen-
tacji unitarnych {D(v)(U)} i {D(�)(U)} spełniają związek ortogonalnoS
ci ze względu na
posiadane trzy wskax
niki v, i, j oraz �, l, k.
Dowód
Macierze unitarne D(v)(U) i D(�)(U) oraz dowolna macierz X spełniają związek:
(� )
=
"D (U )XD(�) (U )+ c(X )E���
U"G
gdyż D(v)(U) 1 = D(v)(U)+, który rozpisany po elementach macierzowych wyraża się na-
stępująco:
� �
( ) ( )
[D (U )+ ]l'l = c( X )� ���
"D (U )X i l il
ii ' '
'
U"G
[ ( )+ ]l'l
Ponieważ D(� ) U
jest elementem macierzy sprzężonej po hermitowsku, więc
[D(� )(U )+ ]l'l = Dl(�)"(U )
. Niech X jest taką macierzą, która ma tylko jeden element różny
'l
X = � �
od zera Xjk = 1, zatem . Wówczas po przyjęciu, że c(X) = cjk, rozważany
i'l' i' j l'k
związek uzyskuje postać:
� "
( ) ( )
� ���
"D (U )Dij� (U ) = c jk il
lk
U"G
Aby wyznaczyć współczynnik cjk, stosuje się następującą procedurę. Niech � = v
oraz l = i, wówczas po zsumowaniu po i otrzymuje się
n� n�
� "
( ) ( )
= c n�
""D (U )Dij� (U ) = c jk "� ii jk
ik
U"G i= i=
1 1
82 15. Relacje ortogonalnoS
ci
Ale D(v)(U) jest macierzą unitarną, więc
n�
� "
( ) ( )
"D (U )Dij� (U ) = � kj
ik
i=
1
a stąd
g
c n� = = g�
jk "� kj kj c = �
jk kj
, czyli
n�
U"G
( (
gdzie g jest rzędem grupy G. Elementy macierzy Dij� ) (U ), Dlk�) (U ) nieprzywiedlnych
reprezentacji unitarnych spełniają zatem następujący związek ortogonalnoS
ci:
(�)" ( )
�
"D (U )Dij� (U ) = g �li� kj ��
lk
n�
U"G
który jest zgodny z posiadanymi wskax
nikami.
2
Stwierdzenie. Macierz D(v)(U) o wymiarze nv ma n� elementów Dij(v)(U). Można więc
2 2 2
utworzyć co najwyżej
ortogonalnych wektorów w g-wymiarowej prze-
...
n1 + n2 + + nN
strzeni, gdzie N jest liczbą nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych, zatem
N
2
d" g
"n�
� =1
Stwierdzenie. Grupa skończonego rzędu g może mieć tylko skończoną liczbę nierówno-
ważnych reprezentacji nieprzywiedlnych N d" g , przy czym wymiar każdej z nich musi
spełniać warunki .
1 d" n� d" g
Stwierdzenie. Ponieważ w grupach abelowych wszystkie reprezentacje nieprzywiedlne
N N
2
są jednowymiarowe, więc 1
oraz k = g, gdyż każdy element two-
= = N d" g
"n� "
� =1 � =1
rzy osobną klasę.
Stwierdzenie. Charaktery �i(� ) i �i(� ) , gdzie i = 1, 2,..., k dwóch nieprzywiedlnych re-
prezentacji unitarnych {D(v)} i {D(�)(U)} spełniają związek ortogonalnoS
ci ze względu
na równoważnoS
ć reprezentacji.
Dowód
( (
Elementy macierzy Dij� ) (U ), Dlk�) (U ) spełniają następujący związek ortogonalnoS
ci:
15. Relacje ortogonalnoS
ci 83
� "
( ) ( )
� �
"D (U )Dij� (U ) = g � li kj ��
lk
n�
U"G
Kładąc k = l i sumując po l, otrzymuje się
n� n�
g
(�)" ( )
� = � �
""D (U )Dij� (U ) = g � �� "� li lj �� ij
ll
n� l=1 n�
U"G l=1
ale
n�
� "
( ) (�)"
"D (U ) = Tr D(�)" (U ) = � (U )
ll
l=
1
więc
(� )" ( )
�
"� (U )Dij� (U ) = g � �� ij
n�
U"G
Z kolei kładąc i = j i sumując po i otrzymuje się
n�
� " � � " �
( ) ( ) ( ) ( )
(U ) =
"� (U )"Dii "� (U )� (U ) = g� ��
U"G i= U"G
1
gdyż prawa strona jest różna od zera, jedynie gdy � = v, a wtedy n� = nv. Ponieważ
wszystkie elementy należące do tej samej klasy Ci mają równe charaktery, otrzymana
równoS
ć redukuje się do postaci
k
gi �i(�)"�i(� ) = g�
" ��
i=1
gdzie k jest liczbą klas Ci w grupie G, gi  liczbą elementów w klasie Ci, a N  liczbą
nierównoważnych, nieprzywiedlnych reprezentacji grupy G. Istnieje zatem N ortogo-
�ł
g1 ( ) g2 (� ) gk ( ) łł
, , ..., �k� śł
nalnych k-wymiarowych wektorów �ł �1� � 2 , a ponieważ ich
g g g
�ł śł
�ł �ł
liczba nie może przewyższać wymiaru przestrzeni, więc .
N d" k d" g
Stwierdzenie. W przypadku nieskończonych grup ciągłych, np. Liego, sumowanie po
elementach grupy należy zastąpić całkowaniem po parametrach grupy. Dla grup zwar-
tych podane relacje i własnoS
ci zachowują ważnoS
ć, a przedstawione dowody mogą być
łatwo rozszerzone.
84 15. Relacje ortogonalnoS
ci
PRZYKŁAD
Grupa obrotów w płaszczyx
nie XY o kąt ą, 0 d" ą < 2Ą,  {Rz(ą)}. Grupa ta jest abe-
m
( )
lowa, a jej jednowymiarowe reprezentacje tworzą grupę U(1) i są postaci
D (Rz (ą))
, gdzie m są liczbami całkowitymi. Ponieważ macierze reprezentacji są jedno-
= [eimą ]
wymiarowe, więc mają wyłącznie jeden element
m
(
D11 ) (Rz (ą)) a" D(m) (Rz (ą)) = eimą
Sumowanie po elementach grupy U " G zostaje zastąpione całkowaniem po para-
2Ą
metrze ą: �" �" , wówczas rząd grupy G równy
" "1 = g odpowiada objęto-
+"dą
2Ą U"G
U"G
0
S
ci grupy {Rz(ą )} równej , gdyż grupa jest zwarta. Ponadto związek
+"dą 1 = 2Ą < "
0
ortogonalnoS
ci
� "
( ) ( )
�
"D (U )Dij� (U ) = g �li� kj ��
lk
n�
U"G
po uwzględnieniu, że g 2Ą, nv = 1 oraz l = k = i = j = 1, przyjmuje postać
Ą
2
2Ą
m " n
( ) ( )
mn
+"dą D (Rz (ą))D (Rz (ą)) = �
1
0
W celu sprawdzenia słusznoS
ci otrzymanej relacji należy uwzględnić jawną postać
elementów
( (ą))=
D(m) Rz eimą
wówczas
Ą Ą
2 2
2Ą gdy n `" m�ł
ńł �ł
1
�ł0
= = ei(n-m)ą = = 2Ą�mn
�ł żł
+"dą e-imąeiną +"dą ei(n-m)ą
i(n - m)
�ł �ł
0
ół2Ą gdy n = m�ł
0 0
(
Stwierdzenie. Charaktery grupy {R (ą)} mają postać
�ąm) = Tr D(m) (Rz (ą)) = eimą i są
z
równe macierzom reprezentacji nieprzywiedlnej, tj. jedynemu elementowi macierzowemu
macierzy jednowymiarowych. Dlatego relacja ortogonalnoS
ci dla charakterów jest rów-
noważna relacji otrzymanej dla macierzy i ma postać
2Ą
( (
mn
+"dą �ąm)"�ąn) = 2Ą�
0
15. Relacje ortogonalnoS
ci 85
Stwierdzenie. Proste rozszerzenia teorii grup skończonych nie zawsze są możliwe w przy-
padku grup nieskończonych, np. grupy Lorentza.
�i(�) �i
Stwierdzenie. ZnajomoS
ć charakterów reprezentacji ( i ) umożliwia okreS
lenie
krotnoS
ci a(�) dla � = 1, 2,..., N równoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych.
Dowód
Niech , gdzie U " G, a(v) jest
D(U )= a(1)D(1)(U )�" a(2)D(2)(U )�"& �" a(N )D(N )(U )
krotnoS
cią równoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych, a D(v)(U) jest elementem
v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej grupy G, wówczas charakter wszystkich elementów
U danej klasy Ci jest równy
N
(v)
�i = a(1)�i(1) + a(2)�i(2) +& + a(N )�i(N ) = �i(v)
"a
v =1
gi
Po wymnożeniu obu stron powyższej równoS
ci przez �i(�)" , gdzie gi jest liczbą
elementów w klasie Ci, i zsumowaniu po i otrzymuje się wyrażenie
k N k
(v) )"
�i(�)"�i =
"gi ""a gi�i(� �i(v)
i =1 � =1 i =1
k
�i(v)�i(� )" = g��v redukuje się do
które po zastosowaniu relacji ortogonalnoS
ci
"gi
i =1
postaci
k N
(v)
�i(� )"�i = g��� = ga(�)
"gi "a
i =1 v=1
a stąd
k
1
a(�) = �i(�)"�i
"gi
g
i=1
Stwierdzenie. Jeżeli dwie reprezentacje danej grupy mają te same charaktery, to muszą
być one równoważne, gdyż są scharakteryzowane tymi samymi a(�).
Stwierdzenie. W reprezentacji regularnej krotnoS
ć występowania równoważnych repre-
zentacji nieprzywiedlnych jest równa wymiarowi tych reprezentacji, tj. a(�) = n�.
Dowód
Niech Ui " G i rząd grupy G wynosi g. Wówczas wymiar reprezentacji regularnej
wynosi także g, a elementami reprezentacji są macierze g�g. Elementy macierzy repre-
86 15. Relacje ortogonalnoS
ci
Dkl (Uv ) Ui = UvU
= � �
zentacji regularnej są okreS
lone następująco , gdzie . Ele-
ik jl j
ment jednostkowy I grupy G tworzy jednoelementową klasę C1 = {I}. Ponieważ Ui = IUi,
więc Dkl(I) = �kl, a zatem macierz reprezentacji odpowiadająca elementowi jednostko-
wemu I jest macierzą jednostkową E, podczas gdy pozostałe macierze  elementy re-
prezentacji regularnej odpowiadające innym elementom grupy G  mają na diagonali
same zera. Dla reprezentacji regularnych zatem �1 = TrD(� ) = g oraz �i = 0 , gdy i `"
1. Ponieważ macierz jednostkowa w wyniku transformacji podobieństwa przechodzi
zawsze w macierz jednostkową, więc charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych otrzy-
(
mane dla klasy C1 = {I} są równe wymiarowi tych reprezentacji, tj. �1�) = n� . Zatem
N N
(v) (v)
�i = �i(v) g = nv , gdzie nv jest wymiarem v-tej re-
z relacji
wynika, że
"a "a
v=1 v=1
prezentacji nieprzywiedlnej, a z relacji
k
1
a(�) = �i(�)"�i
"gi
g
i=1
(
�1� ) = n�
po uwzględnieniu, że , �i = 0 dla i `" 1 oraz otrzymuje się
�1 = g
1
a(�) = �"1�" gn�
g
N
2
g =
a stąd a(�) = n� , co prowadzi do wyrażenia .
"nv
v=1
Stwierdzenie. Dla dowolnych reprezentacji nieprzywiedlnych grup skończonych speł-
n
2
niona jest nierównoS
ć d" g
. W przypadku reprezentacji regularnych nierównoS
ć
"nv
v=1
N
2
g =
ta przechodzi w równoS
ć , która oznacza, że liczba elementów macierzowych
"nv
v=1
we wszystkich nierównoważnych reprezentacjach nieprzywiedlnych odpowiadających
danemu elementowi grupy jest równa rzędowi grupy.
(
Stwierdzenie. Elementy Dijv)(U ) macierzy nieprzywiedlnych reprezentacji, gdzie
1 d" i,j d" nv oraz v = 1, 2,..., N, w reprezentacji regularnej tworzą zupełny ortonormalny
układ g wektorów w g-wymiarowej przestrzeni. Wektory te, które unormowane są po-
staci
�ł łł
n1 (1 nN
D11)(U ), . . . , D(N ) (U )śł
�ł
nN nN
g g
�ł śł
�ł �ł
15. Relacje ortogonalnoS
ci 87
muszą spełniać następującą (drugą) relację ortogonalnoS
ci:
N nv nv
( ) ( )
Dijv) U Dijv)" U = �UU 2
"""nv ( ( 2
g
v=1 i=1 j =1
(
Dijv)(U)
Poprzednio zostało wykazane (por. s. 82), że elementy spełniają relację orto-
gonalnoS
ci postaci:
nv ( (
Dijv)(U )Dkl�)"(U )
= ��v�ik�
" jl
g
U"G
Stwierdzenie. Z otrzymanej relacji ortogonalnoS
ci wynika drugi związek ortogonalno-
S
ci dla charakterów.
Dowód
Należy zsumować obie strony otrzymanej (drugiej) relacji ortogonalnoS
ci po wszy-
stkich elementach U " Cl oraz U' " Cm, wówczas
N nv nv
(v) (v)"
,
v ij ij UU '
"""n "D (U) "D (U2 )=g " "� = ggl�lm
2 2
v=1 i=1 j =1 U"Cl U "Cm U "Cl U "Cm
z której po uwzględnieniu, że (por. s. 80)
gm (v)
(
Dijv) U
( )= �m �ij
"
nv
U Cm
"
otrzymuje się wyrażenie
N nv nv
gl
(v)
v
"""n gm �m �ij nv �l(v)"�ij = ggl�im
,
nv
v=1 i=1 j =1
nv nv
2 2
z którego z kolei po uwzględnieniu, że oraz
�ij = �ij
ij
""� = nv wynika następu-
i j
=1 =1
jący (drugi) związek ortogonalnoS
ci dla charakterów:
N
g
(v)
�l(v)" = �lm
"�m
gl
v=1
88 15. Relacje ortogonalnoS
ci
N
g
(v)
Stwierdzenie. Otrzymany związek dowodzi, że wektory postaci
�l(v)" = �lm
"�m
gl
v=1
�ł
gl ( g2 ( gk ( łł
�1v) , �2v) , & , �kv)śł
�ł
g g g
�ł śł
�ł �ł
tworzą zupełny, ortonormalny układ w k-wymiarowej przestrzeni.
Stwierdzenie. Liczba nieprzywiedlnych reprezentacji w reprezentacji regularnej jest równa
liczbie klas, N = k.
Dowód
Z relacji ortogonalnoS
ci dla charakterów wynika odpowiednio, że
k N
(v) (
oraz
�i(v)�i(� )" = g��v �! N d" k =
"gi "� �mv)" g �lm �! k d" N , zatem k = N.
l
gl
i =1 v=1
Stwierdzenie. Ponieważ odwzorowanie grupy G w reprezentację regularną jest izomor-
fizmem, a odwzorowanie reprezentacji w charaktery jest homomorfizmem, więc relacje
działań grupowych przenoszą się na reprezentacje i charaktery.
Stwierdzenie. Elementy macierzy i charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych wyzna-
czonych dla reprezentacji regularnej spełniają po dwa związki ortogonalnoS
ci:
N nv nv
( (
(v) (v)"
� � i
v
"""n Dijv)(U)Dijv)"(U 2 )=g�UU '
ij
"D (U)Dkl (U)= g � �v ik jl
nv
v=1 i=1 j =1
U"G
oraz
N
k
g
(v) (v)"
�i(v)�i(�)" = g�v� i �m = �lm .
"gi "�l
gl
v=1
i =1
Stwierdzenie. Zawsze istnieje trywialna reprezentacja jednowymiarowa taka, że dla wszy-
stkich U " G, U [1] " SO(1).
Stwierdzenie. Dla reprezentacji jednowymiarowych charaktery �i = TrD(U ) są iden-
tyczne z macierzami reprezentacji oraz ( ) = �i dla wszystkich U " Ci.
D U
Stwierdzenie. Charaktery klasy identycznoS
ci są równe wymiarowi reprezentacji.
89
16. PRZYKA
ADY WYZNACZANIA REPREZENTACJI
Wyznaczania charakterów i reprezentacji nieprzywiedlnych reprezentacji regular-
nej dla kilku grup skończonych
Oznaczenia:
g  rząd grupy G, liczba elementów w grupie,
k  liczba klas w grupie G,
gi  liczba elementów w klasie Ci,
N  liczba nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych, N=k.
Wskax
niki: i = 1, 2,..., k oraz v = 1, 2,..., N
Stwierdzenie. Tabele charakterów wyznacza się wykorzystując związki ortogonalnoS
ci
oraz relacje grupowe.
PRZYKŁAD
Grupa jednoelementowa G = {e} zawiera jedną klasę C1 = {e} oraz g = 1, k = 1, N = 1.
Ponieważ
1
2
1
=
"nv
v=1
więc , a zatem istnieje tylko jedna jednowymiarowa reprezentacja grupy
n1 = a(1) = 1
jednoelementowej  D(1)(e) = [1].
PRZYKŁAD
Grupa dwuelementowa G = {e, a} zawiera dwie klasy C1 = {e} i C2 = {a} oraz g = 2,
2
2 2 2
k = 2, N = 2. Ponieważ , więc oraz g1 = g2 = 1.
2 n1 + n2 = 2 �! n1 = n2 = 1
=
"nv
v=1
Istnieją zatem dwie reprezentacje jednowymiarowe. Charaktery klasy elementu jedno-
90
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
(
stkowego są równe wymiarowi reprezentacji, �1� ) = n� , a charaktery reprezentacji try-
wialnej . Tabela charakterów zawiera elementy:
�i(1) = 1
Tabela charakterów �i(� )
v i 12
111
21 ą =  1
co wynika z relacji
a2 = e
2
2 ( 2
ą =(�22)) = �1(2) =1 �! ą =1 �! ą = ą1
Macierze reprezentacji mają zatem postać:
D(1)(e) = D(1)(a) = [1] oraz D(2)(e) = [1], D(2)(a) = [ 1]
PRZYKŁAD
Grupa 3-elementowa G = {e, a, a2} zawiera trzy klasy C1 = {e} i C2 = {a}, C3 = {a2}
3
2
oraz g = 3, k = 3, N = 3. Ponieważ 3, więc n1 = n2 = n3 = 1 oraz g1 = g2 = g3 = 1.
=
"nv
v=1
Istnieją zatem 3 reprezentacje jednowymiarowe. Charaktery klasy elementu jednostko-
(
�1� ) =
wego są równe wymiarowi reprezentacji, n� , a charaktery reprezentacji trywial-
nej �i(1) = 1. Tabela charakterów zawiera elementy:
Tabela charakterów �i(� )
v i 123
1111
21
� � 2
31
ł ł 2
3 3
co wynika z relacji , ale
� = ł = 1 gdyż a3 = e
Ąi
2
1 3
3
3
� = 1 �! � = e = - + i
2 2
czyli
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji 91
2 2 2
i
� = ł = � � = ł = �
a stąd
Tabela charakterów �i(� )
v i 123
1111
21 �22
� �
31 �2
�2 �
( (� ) (
�1� ) � �3� )
oraz D(v)(e) = = 1, D(v)(a) = , D(v)(a2) =
2
PRZYKŁAD
Grupa symetryczna S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (321)} ma g = 6 elementów za-
wartych w trzech klasach: C1 = {e}, C2 = {(12), (13), (23)}, C3 = {(123), (321)}, za-
tem g1 = 1, g2 = 3, g3 = 2 oraz N = k = 3. Ponieważ
3
2 2 2 2
= 6 �! n1 + n2 + n3 = 6 �! 12 +12 + 22 = 6
"nv
v=
1
więc
n1 = n2 = 1, n3 = 2 oraz a(1) = a(2) = 1, a(3) = 2
(
Jako że �1� ) = n� , a charaktery reprezentacji trywialnej �i(1) = 1, w tabeli charakte-
rów pojawiają się tylko 4 nieznane elementy a, b, c, d.
Tabela charakterów �i(� )
Liczba elementów gi
123
w klasie
Wymiar
v i 123
n� �!
11111
121 ab
232 cd
W celu wyznaczenia elementów nieznanych w tabeli charakterów wykorzystuje się
związki ortogonalnoS
ci
92
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
k N
g
(v)"
gi �i(v)�i(�)" = g� , �l(v)� = �
" �v " m
gl lm
i=1 v=1
które prowadzą do równań
1 + 3a + 2b = 0
2 + 3c + 2d = 0
1 + a + 2c = 0
1 + b + 2d = 0,
z których tylko 3 są liniowo niezależne. Dlatego pozwalają one wyznaczyć jedynie a, b,
d w zależnoS
ci od c i wówczas
a = -1- 2c
b = 1+ 3c
3
d = -1- c
2
Aby ustalić c, należy zauważyć, że elementy (123) i (321) zawarte w klasie C3 speł-
(
�32)
niają relację (123)2 = (321). Ponieważ tym elementom odpowiada jeden charakter ,
więc
2
( (
oraz a = d =  1
(�32)) = �32) = 1 �! b = 1+ 3c = 1 �! c = 0
a stąd
Tabela charakterów �i(� )
Liczba elementów gi
132
w klasie
Wymiar
v i 123
n� �!
11111
1 2 1  1 1
2320  1
Reprezentacje grupy
Grupa symetryczna S3 ma dwie reprezentacje jednowymiarowe i jedną dwuwymia-
rową. W reprezentacjach jednowymiarowych charaktery są równe elementom macie-
rzowym.
93
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
Reprezentacja I (jednowymiarowa  trywialna)
D(1)(e)= D(1)((12))= D(1)((13))= D(1)((23))= D(1)((123))= D(1)((321))= 1
Reprezentacja II (jednowymiarowa  antysymetryczna)
D(2)(e)= D(2)((123))= D(2)((321))= 1  permutacje parzyste,
D(2)((12))= D(2)((13))= D(2)((23))= -1  permutacje nieparzyste.
Reprezentacja III (dwuwymiarowa)
Macierz elementu jednostkowego e jest macierzą jednostkową:
1 0
�ł łł
D(3) (e) =
�ł śł
�ł śł
�ł0 1�ł
Pozostałe macierze są unitarne, można zatem przyjąć, że pierwsza z nich ma postać
diagonalną
a 0
�ł łł
D(3)((12))=
�ł śł
�ł śł
�ł0 b�ł
Ale TrD(3)((12))( . Ponieważ (12)2 = e, więc
= �23) = 0 �! a + b = 0 �! b = -a
a 0 a 0 �ła2 0 łł 1 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�" = �ł śł =
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł - a�ł �ł0 - a�ł �ł a2 �ł �ł0 1�ł
�ł0 śł �ł śł �ł 0 śł �ł śł
a stąd a = ą1 i można przyjąć, że
1 0
�ł łł
D(3)((12))=
�ł śł
�ł -1�ł
�ł0 śł
Macierze reprezentacji elementów (13) i (23) spełniają relacje
[D(3)((13))]2 = [D(3)((23))]2 = D(3)(e)
gdyż (13)2 = (23)2 = e.
Wynika stąd, że
-1
((13)) [ ((13))]-1 oraz
D(3) = D(3) D(3)( )= [D(3)( )]
(23) (23)
94
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
Ponieważ macierze reprezentacji są unitarne, więc
oraz
[ ((13))]+ [ ((13))]-1 [ ((23))]+ [ ((23))]-1
D(3) = D(3) D(3) = D(3)
a stąd
+
oraz
D(3)((13)) = [D(3)((13))]+
D(3)((23))= [D(3)((23))]
(
Uwzględniwszy, że TrD(3)((13)) = TrD(3)((23)) = �23) = 0 można przyjąć je w for-
mie
a b c d
�ł łł �ł łł
D(3) ((13)) = oraz D(3) ((23)) =
�ł śł �ł śł
" "
�ł - a�ł �ł - c�ł
�łb śł �łd śł
gdzie a, c  rzeczywiste, a b, d  zespolone. Wykorzystując relację
(� ) )
"D (U ) = gi �i(� E
n�
U Ci
"
(
oraz kładąc , otrzymuje się wyrażenie
�23) = 0
(3) (3)
D(3) ((12)) + D ((13)) + D ((23)) = 0
z którego wynika, że
1 + a + c b + d 0 0
�ł łł �ł łł
=
�ł śł �ł śł
-1 - śł
�ł
�łb * +d * a - c�ł �ł 0�ł
�ł0 śł
a stąd 1 + a + c = 0 oraz b + d = 0, czyli
a b łł
�ł łł �ł- (a + 1) - b
D(3) ((13)) = oraz D(3) ((23)) =
�ł śł �ł śł
"
śł
�ł - a�ł �ł - b" a + 1�ł
�ł
�łb śł
Dla macierzy tych z warunku unitarnoS
ci
D(3)((13))[D(3)((13))]+ = D(3)((23))[D(3)((23))]+ = E
otrzymuje się
�ła2 + | b |2 0 łł �ł(a +1)2 + | b |2 łł 1 0
0 �ł łł
=
�ł śł �ł śł =
�ł śł
�ł 0 a2 + | b |2 �ł �ł 0 (a + 1)2 + | b |2 �ł �ł śł
śł �ł śł
�ł1 0�ł
�ł
95
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
a stąd równania
a2 + |b|2 = 1 i (1+a)2 + |b|2 = 1
z których wynika, że
1 3
a = - i b = eiĆ
2 2
zatem
�ł łł �ł łł
1 3 1 3
- eiĆ śł - - eiĆ śł
�ł �ł
2 2 2 2
D(3)((13))= �ł śł D(3)((23))= �ł śł
oraz
3 1 3 1
�ł śł �ł śł
e-iĆ
�ł śł �ł- e-iĆ śł
�ł 2 2 �ł �ł 2 2 �ł
Aby wyznaczyć D(3)((123)) oraz D(3)((321)), należy uwzględnić, że reprezentacja za-
chowuje działania grupowe, oraz że (123) = (13)(12) i (321) = (123) 1, zatem
D(3)((123))= D(3)((13))D(3)((12))
�ł łł �ł łł
1 3 1 3
- eiĆ śł �ł1 0 łł �ł - - eiĆ śł
�ł
2 2 2 2
= �ł śł �" = �ł śł
�ł śł
3 1 3 1
�ł śł -1�ł �ł śł
�ł śł
�ł0
e-iĆ e-iĆ -
�ł śł �ł śł
�ł 2 2 �ł �ł 2 2 �ł
oraz
�ł łł
1 3
- eiĆ śł
�ł
-1 +
2 2
D(3)((321))= [D(3)((123))] = [D(3) ((123))] = �ł śł
3 1
�ł śł
�ł- e-iĆ - śł
�ł 2 2 �ł
Stwierdzenie. Stała Ć jest zupełnie dowolna i można przyjąć, że Ć = 0.
Dowód
Macierze reprezentacji są postaci
�ł �łeiĆ 0łł
a beiĆ łł
i niech
D(3)(( �" ))= �ł śł S = �ł śł
iĆ
�ł �ł śł
0 1�ł
�łce d śł �ł
�ł
96
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
jest macierzą transformacji podobieństwa. Wówczas wykonując transformację podobień-
stwa otrzymuje się równoważną reprezentację
�łe-iĆ 0łł �ł
a beiĆ łł �łeiĆ 0łł
-1
S D(3) (( �" ))S = �ł śł �" �ł śł �" �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
0 1�ł �łce-iĆ d 0 1�ł
�ł �ł �ł
�łe-iĆ 0łł �łaeiĆ beiĆ łł a b
�ł łł
= �ł śł �" �ł śł =
�ł śł
�ł śł �ł śł
0 1�ł �ł c d �ł śł
�łc d �ł
�ł �ł
która odpowiada położeniu Ć = 0.
PRZYKŁAD
Grupa symetrii kwadratu w przestrzeni R2 oznaczana jako C4v ma jedną oS
symetrii
(oS
obrotu) czterokrotną, gdzie r okreS
la obrót o kąt Ą/2, oraz cztery płaszczyzny syme-
trii a, b, c, d przecinające się w tej osi. Grupa C4v = {e, r, r2, r3, a, b, c, d} ma 8 elemen-
tów symetrii, rząd jej zatem wynosi 8. Składanie operacji symetrii zostało przedstawio-
ne w tabeli mnożenia.
cb
r
a
d
Rysunek. Elementy symetrii kwadratu: 4 płaszczyzny symetrii a, b, c , d i oS
czterokrotna r
97
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
Tabela mnożenia
e r r2 r3 a b c d
e e r r2 r3 a b c d
r r r2 r3 e c d b a
r2 r2 r3 e r b a d c
r3 r3 e r r2 d c a b
a a d b c e r2 r3 r
b b c a d r2 e r r3
c c a d b r r3 e r2
d d b c a r3 r r2 e
Grupa C4v nie jest abelowa, gdyż np. ac = r3 `" ca = r, bc = r `" ba= r3, cr = a `" b = rc
itp.
Grupa C4v ma nietrywialne podgrupy rzędu 2 i 4 (2 i 4 są podzielnikami 8), tj.
" podgrupy dwuelementowe: {e, r2}, {e, a}, {e, b}, {e, c}, {e, d}, gdyż
a2 = b2 = c2 = d2 = r4 =e,
" podgrupy czteroelementowe:
cykliczna {e, r, r2, r3}  podgrupa obrotów,
czterogrupa C2v = {e, r2, a, b}  grupa symetrii prostokąta,
czterogrupa { e, r2, c, d}.
Podgrupa {e, r2} jest inwariantna i ma warstwy {r, r3}, {a, b}, {c, d}, co pozwala
utworzyć grupę ilorazową izomorficzną z czterogrupą. Pozostałe trzy podgrupy cztero-
elementowe są także inwariantne i mają odpowiednio warstwy:
{e, r, r2, r3}  {a, b, c, d},
{ e, r2, a, b} { r, r3, c, d},
{ e, r2, c, d}  { r, r3, a, b}.
Odpowiadająca im grupa ilorazowa jest izomorficzna z grupą dwuelementową {E, A}.
Grupa C4v ma k = 5 klas:
" dwie jednoelementowe: C1 = {e}, C2 = {r2},
" trzy dwuelementowe: C3 = {r, r3}, C4 = {a, b}, C5 = {c, d},
zatem g1 = g2 = 1, g3 = g4 = g5 = 2 oraz N = k = 5, ponieważ
5
2 2 2 2 2 2
=
v
"n = 8 �! n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 8 �! 12 + 12 +12 + 12 + 22 8 ,
v=1
więc
n1 = n2 = n3 = n4 = 1, n5 = 2 oraz a(1) = a(2) = a(3) = a(4) = 1, a(5) = 2.
W celu wyznaczenia tabeli charakterów reprezentacji należy uwzględnić, że:
98
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
(
 charaktery klasy C1 = {e} są równe wymiarowi reprezentacji, więc �1� ) = n� ,
 charaktery reprezentacji trywialnej �i(1) = 1,
 charaktery reprezentacji jednowymiarowych są tożsame z macierzami reprezentacji, więc
( ( ( ( ( (
spełniają relacje grupowe: (�2� ))2 = (�4� ))2 = (�5� ))2 = �1� ) = 1 (�3� ))4 = �1� ) = 1
i
dla v = 2, 3, 4 (oraz, co zostało już uwzględnione, v = 1),
 dla i = 2, 4, 5 oraz v = 2, 3, 4 charaktery �i(� ) przyjmują wartoS
ci +1 albo  1,
( ( (
 ponieważ (�3� ))2 = �2� ) = ą1, zatem �3� ) może być równe +1,  1, +i albo  i.
Jednak wszystkie pozostałe wartoS
ci charakterów są rzeczywiste, więc na mocy związ-
( ( (
ków ortogonalnoS
ci musi być też rzeczywiste, = ą1, a zatem �2� ) = +1
�3� ) �3� ) .
Wskazane własnoS
ci pozwalają okreS
lić charaktery dla reprezentacji jednowymia-
rowych, wówczas charaktery reprezentacji dwuwymiarowej można wyznaczyć bezpo-
S
rednio ze związków ortogonalnoS
ci
k N
(v)"
�i(v)�i(�)" = g� ,
"gi �v "� (v)�m = g �lm
l
gl
i=1 v=1
Uwzględniwszy powyższe otrzymuje się:
Tabela charakterów �i(� )
Liczba elementów gi
11222
w klasie
Wymiar
v i 12345
n� �!
1111111
12111  1  1
1311  1 1  1
1 4 1 1  1  1 1
252  2 000
Łatwo można sprawdzić, że wyznaczone charaktery spełniają związki ortogonalnoS
ci.
Reprezentacje grupy
Grupa symetrii C4v ma cztery reprezentacje jednowymiarowe i jedną dwuwymiaro-
wą. W reprezentacjach jednowymiarowych charaktery są równe elementom macierzo-
wym. Jej elementy symetrii odpowiadają pewnym szczególnym obrotom właS
ciwym
i niewłaS
ciwym w płaszczyx
nie. Wszystkie obroty w płaszczyx
nie tworzą grupę klasyczną
O(2), która jest izomorficzna z U(1). Elementy reprezentacji dwuwymiarowej stanowią
99
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
zatem podgrupę grupy O(2), podczas gdy elementy reprezentacji jednowymiarowych
tworzą grupę O(1) = {[1], [ 1]}"U(1), a reprezentacji trywialnej SO(1) = {[1]}.
Reprezentacja I (jednowymiarowa  trywialna)
D(1)(e)= D(1)(r) = D(1)(r2) = D(1)(r3) = D(1)(a) = D(1)(b) = D(1)(c) = D(1)(d) = [1]
Reprezentacja II (jednowymiarowa)
,
D(2)(e) = D(2)(r) = D(2)(r2) = D(2)(r3) = [1]
D(2)(a) = D(2)(b) = D(2)(c) = D(2)(d) = [-1]  reprezentacja podgrupy cyklicznej
obrotów
Reprezentacja III (jednowymiarowa)
D(3)(e) = D(3)(r2) = D(3)(a) = D(3)(b) =[1]
 reprezentacja podgrupy czterogrupy
D(3)(r) = D(3)(r3) = D(3)(c) = D(3)(d) = [-1]
symetrii prostokąta
Reprezentacja IV (jednowymiarowa)
D(4)(e) = D(4)(r2) = D(4)(c) = D(4)(d) =[1]  reprezentacja podgrupy drugiej
czterogrupy
D(4)(r) = D(4)(r3) = D(4)(a) = D(4)(b) = [-1]
Reprezentacja V (dwuwymiarowa  ortogonalna)
Macierz elementu jednostkowego e jest macierzą jednostkową:
1 0
�ł łł
D(5) (e) =
�ł śł
�ł śł
�ł0 1�ł
Pozostałe macierze są unitarne i spełniają relację:
(� ) )
"D (U ) = gi �i(� E
n�
U Ci
"
(
Ponieważ klasa C2 = {r2} jest jednoelementowa oraz �25) = -2 , więc
�ł-1 0
łł
D(5)(r2) =
�ł śł
0
�ł -1�ł
śł
�ł
R
lady wszystkich pozostałych elementów reprezentacji są równe 0, tj.
100
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
.
TrD(5)(r) = TrD(5)(r3) = TrD(5)(a) = TrD(5)(b) = TrD(5)(c) = TrD(5)(d) = 0
Wszystkie pozostałe elementy reprezentacji to macierze ortogonalne, których S
lad
wynosi 0. Niech zatem
u v
�ł łł
(5)
D (r) =
�ł śł
�ł - u�ł
�łw śł
Ponieważ [D(5)(r)]2 = D(5)(r2), więc
�łu 2 + vw 0 łł
�ł-1 0
łł
�ł śł =
�ł śł
2
0
�ł 0 u + vw�ł �ł -1�ł
śł śł
�ł
�ł
a stąd u2 + vw =  1 oraz det D(5) (r) = -u2 - vw = 1
. Wówczas z warunku [D(5)(r)] 1
= [D(5)(r)]T otrzymuje się
�ł- u - v u w
łł �ł łł
=
�ł śł �ł śł
�ł- w u
śł �ł - u�ł
�ł �ł �łv śł
a zatem u = 0, v =  w i v = ą1, a stąd
0
�ł -1 0 1
łł �ł łł
D(5) (r) = oraz D(5) (r3 ) =
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł-1 0�ł
śł
�ł1 0 �ł �ł
co wynika zarówno z relacji dla sumy macierzy reprezentacji elementów grupy należą-
cych do jednej klasy, tj. D(5)(r) + D(5)(r3) = 0, jak i z izomorfizmu grupy i reprezentacji,
tj. D(5)(r)D(5)(r2) = D(5)(r3), gdyż rr2 = r3. Otrzymane macierze D(5)(rk) dla k = 0, 1, 2, 3
odpowiadają macierzom reprezentacji grupy obrotów właS
ciwych SO(2)
cosą
�ł - sin ąłł
D(1)(Rz (ą)) =
�ł śł
�ł
�łsiną cosą śł
�ł
odpowiednio o kąt ą = 0, Ą/2, Ą, 3Ą/2 (por. s. 67).
Pozostałe elementy grupy to szczególne obroty niewłaS
ciwe, które mają własnoS
ć
�2 = e, czyli � 1 = �, gdzie � " {a, b, c, d}, więc reprezentujące je macierze ortogonal-
ne spełniają równoS
ci D(5)(�) = [D(5)(�)] 1 = [D(5)(�)]T oraz TrD(5)(�) = 0. Można za-
tem przyjąć, że
x y
�ł łł
D(5) (a) =
�ł śł
�ł - x�ł
�ły śł
101
16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
Ponieważ [D(5)(a)]2 = D(5)(e) = E, więc
x y x y �łx2 + y2 0 łł 1 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�" = �ł śł =
�ł śł �ł śł �ł śł
śł �ł śł
�ł - x�ł �ły - x�ł �ł 0 x2 + y2 �ł �ł0 1�ł
�ły śł �ł śł �ł
z czego wynika, że x2 + y2 = 1 czyli , a zatem x i y mogą
det D(5) (a) = -x2 - y2 = -1
być wzięte w postaci x = cos �, y = sin �. Wówczas
cos� sin �
�ł łł �ł- cos� - sin �
łł
D(5) (a) = oraz D(5) (b) =
�ł śł �ł śł
�ł - cos��ł
śł �ł- sin� cos�
śł
�łsin � �ł �ł
gdyż C4 = {a, b}, więc D(5)(a) + D(5)(b) = 0. Aby wyznaczyć D(5)(c) i D(5)(d) wystarczy
wykorzystać relacje grupowe np. r�a = c i a�r = d, z czego wynika, że D(5)(c) =
D(5)(r)�D(5)(a) i D(5)(d) = D(5)(a)�D(5)(r), a zatem
�ł- sin � cos� sin � - cos�
łł �ł łł
D(5) (c) = oraz
D(5) (d) =
�ł śł �ł śł
cos� sin �
�ł śł �ł- cos� - sin �
śł
�ł �ł �ł �ł
Wybór parametru � uzależniony jest od wyboru osi układu współrzędnych w sto-
sunku do boków kwadratu i gdy wybrane osie leżą w płaszczyznach a i b, wówczas � = 0.
102
LITERATURA
1. BIR G.L., PIKUS G.E., Symetria i odkształcenia w półprzewodnikach, PWN, Warszawa 1977.
2. BYRON F.W., FULLER R.W., Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, t. 2, PWN, Warsza-
wa 1975.
3. MOZRZYMAS J., Zastosowanie teorii grup w fizyce, PWN, Warszawa 1976.
4. ZALEWSKI K., Wykłady o grupie obrotów, PWN, Warszawa 1987.
5. KOSTYRKIN A.I., Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 1984.