Teoria Grup
Wyklad 1, 09-11-2008 (4 godziny)
Przyklad 1. Ustalmy na poczatek dowolny niepusty zbiór X. Odwzorowaniem
wzajemnie jednoznacznym zbioru X na siebie nazywamy każde odwzorowanie
f : X X które jest:
" różnowartościowe:
"x,y"Xf(x) = f(y) Ò! x = y;
" na:
"x"X"y"Xf(y) = x.
Zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru X na siebie
bedziemy oznaczać przez S(X). Zlożenie odwzorowań oznaczamy symbolem ć%,
przy czym dla odwzorowań f, g oraz argumentu x przez (f ć% g)(x) rozumiemy
f(g(x)). Jak wiemy:
" zlożenie dwóch wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru X na siebie
jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (zbioru X na siebie):
f, g " S(X) Ò! f ć% g " S(X);
" skladanie odwzorowań (nie tylko wzajemnie jednoznacznych) jest dziala-
niem lacznym:
"f,g,h"S(X)(f ć% g) ć% h = f ć% (g ć% h);
" odwzorowanie identycznościowe idX jest odwzorowaniem wzajemnie jed-
noznacznym (zbioru X na siebie) oraz:
"f"S(X)idX ć% f = f ć% idX = f;
" każde wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na siebie posiada
odwzorowanie do niego odwrotne, które też jest odwzorowaniem wzajemnie
jednoznacznym (zbioru X na siebie):
"f"S(X)"g"S(X)f ć% g = g ć% f = idX;
" jeżeli zbiór X ma co najmniej trzy elementy, to skladanie odwzorowań
wzajemnie jednoznacznych nie jest dzialaniem przemiennym:
1
"f,g"S(X)f ć% g = g ć% f.

Przyklad 2. Niech n bedzie ustalona liczba naturalna. Przy oznaczeniach z Przy-
kladu 1, przyjmijmy X = {1, 2, . . . , n}. Permutacja zbioru X nazywamy każde
wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na siebie. Zbiór wszystkich per-
mutacji zbioru X bedziemy oznaczać przez Sn. Oczywiście zbiór Sn posiada
wszystkie wlasności zbioru S(X) podane w Przykladzie 1. Jak wiemy, moc zbioru
|Sn| = n!.
Przyklad 3. Izometria plaszczyzny R2 nazywamy każde przeksztalcenie tej
plaszczyzny na siebie zachowujace odleglości miedzy punktami. Zbiór wszystkich
izometrii plaszczyzny R2 bedziemy oznaczać przez I(R2). Do zbioru I(R2) należa
translacje, obroty, symetrie osiowe oraz zlożenia tych przeksztalceń. Jak wiemy:
" zlożenie dwóch izometrii plaszczyzny R2 jest izometria tej plaszczyzny:
f, g " I(R2) Ò! f ć% g " I(R2);
" skladanie izometrii plaszczyzny R2 jest oczywiście dzialaniem lacznym:
2
"f,g,h"I(R )(f ć% g) ć% h = f ć% (g ć% h);
2
" przeksztalcenie identycznościowe idR jest izometria plaszczyzny R2 oraz:
2 2 2
"f"I(R )idR ć% f = f ć% idR = f;
" każda izometria plaszczyzny R2 posiada przeksztalcenie do niej odwrotne,
które też jest izometria plaszczyzny R2:
2 2 2
"f"I(R )"g"I(R )f ć% g = g ć% f = idR ;
" skladanie izometrii plaszczyzny R2 nie jest dzialaniem przemiennym. Istot-
nie, wez
my dwie symetrie osiowe SK, SL plaszczyzny R2 wzgledem prostych
K i L, odpowiednio. Jeśli K L, to SK ć%SL jest translacja o wektor ą pro-
stopadly do obu prostych o zwrocie od prostej L do K i dlugości dwukrotnie
wiekszej niż wzajemna odleglość tych prostych. Jest jasne, że SL ć% SK jest
translacja o wektor -ą. Zatem dla K = L mamy SK ć% SL = SL ć% SK:

2
(SK ć% SL)(x)
SK(x)
x
SL(x)
K
(SL ć% SK)(x)
L
Przyklad 4. Wśród podzbiorów zbioru I(R2) na szczególna uwage zasluguje zbiór
wszystkich tych izometrii plaszczyzny R2, w których obrazem ustalonej figury
F Ä…" R2 jest ona sama:
I(F ) = {f " I(R2) | f(F ) = F }.
Nazywamy je izometriami wlasnymi figury F . Jak wiemy:
2
" identyczność idR " I(F ) - przeksztalca figure F na siebie, jest wiec izo-
metria wlasna figury F ;
" zlożenie dwóch izometrii wlasnych figury F jest izometria wlasna figury F :
2
"f,g"I(R )f, g " I(F ) Ò! f ć% g " I(F );
" każda izometria plaszczyzny R2 odwrotna do izometrii wlasnej figury F
przeksztalca figure F na siebie:
2
f " I(F ) Ò! f-1(F ) = (f-1 ć% f)(F ) = idR (F ) = F
jest wiec izometria wlasna figury F :
2
"f"I(R )f " I(F ) Ò! f-1 " I(F ).
Przyklad 5. Przy oznaczeniach z Przykladu 4, jeśli F = Fn jest n-katem fo-
remnym, to zbiór I(Fn) zawiera dokladnie n obrotów wzgledem środka cieżkości
2Ä„
o calkowite wielokrotności kata oraz n symetrii osiowych. Zatem moc zbioru
n
3
|I(Fn)| = 2n. Dla zbioru wszystkich izometrii wlasnych n-kata foremnego przyj-
mujemy oznaczenie Dn.
Definicja 6. Niepusty zbiór G wraz z określonym w nim dwuargumentowym
dzialaniem ć%: G × G G nazywamy grupa, jeÅ›li dzialanie ć% spelnia nastepujace
aksjomaty:
1. jest laczne:
"a,b,c"G(a ć% b) ć% c = a ć% (b ć% c);
2. ma element neutralny:
"e"G"a"Ge ć% a = a ć% e = a;
3. każdy element ma element odwrotny:
"a"G"b"Ga ć% b = b ć% a = e.
Jeżeli ponadto:
4. dzialanie ć% jest przemienne:
"a,b"Ga ć% b = b ć% a
to grupe G nazywamy abelowa lub przemienna.
Notacja 7. Najcześciej używanymi symbolami dla oznaczenia dzialania w grupach
sa: symbol · oraz symbol +, które tradycyjnie bedziemy nazywać, odpowiednio,
mnożeniem oraz dodawaniem. Zależnie od oznaczenia dzialania, grupe bedziemy
nazywać multiplikatywna lub addytywna.
W grupie multiplikatywnej element neutralny bedziemy oznaczać symbolem e lub
1. Element odwrotny do elementu a bedziemy oznaczać symbolem a-1. Iloczyn
n jednakowych czynników: a · a · . . . · a bedziemy oznaczać symbolem an. Wtedy:
am · an = am+n oraz (am)n = amn.
W grupie addytywnej przyjmujemy analogiczne oznaczenia: element neutralny
bedziemy oznaczać symbolem 0, element odwrotny do elementu a bedziemy ozna-
czać symbolem -a i bedziemy nazywać elementem przeciwnym, sume n jedna-
kowych skladników: a + a + . . . + a bedziemy oznaczać symbolem na. Wtedy:
ma + na = (m + n)a oraz m(na) = (mn)a.
4
Jeśli napiszemy: niech G bedzie grupa, to bedziemy mieli na myśli grupe multi-
plikatywna z dzialaniem oznaczonym kropka: ·, która czesto bedziemy pomijać.
Stwierdzenie 8. Niech G bedzie grupa.
1. W grupie G istnieje dokladnie jeden element neutralny.
2. Dla dowolnego elementu grupy G istnieje dokladnie jeden element do niego
odwrotny.
3. Dla dowolnych elementów a, b, c " G jeżeli ab = ac lub ba = ca, to b = c.
4. Dla dowolnego elementu a " G, elementem odwrotnym do elementu a-1 "
G jest element a, czyli:
(a-1)-1 = a.
5. Dla dowolnych elementów a, b " G elementem odwrotnym do elementu
ab " G jest element b-1a-1, czyli:
(ab)-1 = b-1a-1.
Dowód. Ad.1. Niech e, f " G beda elementami neutralnymi dzialania w grupie
G. Z aksjomatu 2 Definicji 6 wynika, że:
e = ef = f,
przy czym pierwsza równość wynika z tego, że f jest elementem neutralnym
dzialania w grupie G, a druga równość wynika z tego, że e jest elementem neu-
tralnym dzialania w grupie G.
Ad.2. Niech b, c " G beda elementami odwrotnymi do elementu a " G. Wtedy:
b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c.
Ad.3. Mnożac równość ab = ac z lewej strony przez element a-1 kolejno otrzy-
mujemy:
a-1(ab) = a-1(ac)
(a-1a)b = (a-1a)c
eb = ec
b = c.
5
Analogicznie, mnożac równość ba = ca z prawej strony przez element a-1 otrzy-
mujemy b = c.
Ad.4. Zgodnie z definicja, element odwrotny do elementu a-1 " G jest to taki
element grupy G, który w iloczynie z elementem a-1 daje element neutralny e.
Takim elementem jest a:
a-1a = aa-1 = e.
Ad.5. Zgodnie z definicja, element odwrotny do elementu ab " G jest to taki
element grupy G, który w iloczynie z elementem ab daje element neutralny e.
Takim elementem jest b-1a-1:
(ab)(b-1a-1) = a(bb-1)a-1 = aea-1 = aa-1 = e.
Definicja 9. Niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupa grupy G, jeśli:
1. dzialanie jest zamkniete w zbiorze H:
"a,b"Ga, b " H Ò! ab " H;
2. operacja brania elementu odwrotnego jest zamknieta w zbiorze H:
"a"Ga " H Ò! a-1 " H.
Oba powyższe warunki można zastapić jednym:
"a,b"Ga, b " H Ò! ab-1 " H.
Zapis H G oznaczać bedzie, że H jest podgrupa grupy G.
Stwierdzenie 10. Niech H bedzie niepustym podzbiorem grupy (G, ·, e). Wtedy
nastepujace warunki sa równoważne:
1. H jest podgrupa grupy G.
2. H tworzy grupe ze wzgledu na ograniczenie do H dzialania ·.
Dowód. 1.Ò!2. Wez
my na poczatek dowolny element a " H. Wtedy zgodnie
z aksjomatem 2 Definicji 9 podgrupy, również element odwrotny a-1 " H i z ak-
sjomatu 1 Definicji 9 podgrupy, e = aa-1 " H.
6
Z Definicji 9 podgrupy wynika teraz, że dzialanie · ograniczone do podgrupy H
jest dzialaniem w zbiorze H i że H wraz z tym dzialaniem jest grupa. Elementem
neutralnym grupy H jest element neutralny e grupy G. Elementem odwrotnym
do elementu a grupy H jest element odwrotny a-1 do elementu a grupy G.
2.Ò!1. Zauważmy na poczatek, że jeÅ›li f " H jest elementem neutralnym
dzialania · ograniczonego do H, to zgodnie z definicja elementu neutralnego:
"a"Hfa = af = a.
JednoczeÅ›nie, ponieważ e " G jest elementem neutralnym dzialania · w grupie
G, wiec w szczególności:
"a"HÄ…"Gea = ae = a.
Dla każdego elementu a " H mamy zatem:
fa = a = ea
z czego wynika, że:
f = e.
Pokazaliśmy tym samym, że elementem neutralnym grupy H jest element neu-
tralny e grupy G i wobec tego elementem odwrotnym do elementu a grupy H jest
element odwrotny a-1 do elementu a grupy G. Z Definicji 6 grupy zastosowanej
do grupy H wynika teraz, że H jest podgrupa grupy G.
Definicja 11. Rzedem grupy G nazywamy liczbe jej elementów jeśli jest ona grupa
skończona, lub " w przeciwnym przypadku. Rzad grupy G bedziemy oznaczać
symbolem |G|.
Przyklad 12.
1. Z Przykladu 1 wiemy, że dla dowolnego niepustego zbioru X, zbiór S(X)
wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru X na siebie wraz
z operacja skladania odwzorowań tworzy grupe. Nazywamy ja grupa prze-
ksztalceń.
7
2. Z Przykladu 2 wiemy, że dla dowolnej liczby naturalnej n, zbiór Sn wszyst-
kich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} wraz z operacja skladania odwzo-
rowań tworzy grupe rzedu |Sn| = n!. Nazywamy ja grupa permutacji albo
grupa symetryczna stopnia n. Dla n e" 3 grupa permutacji Sn jest nieabe-
lowa.
3. Z Przykladu 3 wiemy, że zbiór I(R2) wszystkich izometrii plaszczyzny R2
wraz z operacja skladania izometrii tworzy grupe nieskończona i nieabelowa.
4. Z Przykladu 4 wiemy, że dla dowolnej figury F ą" R2, zbiór I(F ) wszystkich
izometrii wlasnych figury F jest podgrupa grupy I(R2). Nazywamy ja grupa
izometrii wlasnych figury plaskiej F .
5. Z Przykladu 5 wiemy, że dla dowolnej liczby naturalnej n e" 3, zbiór Dn
wszystkich izometrii wlasnych n-kata foremnego tworzy nieabelowa grupe
rzedu |Dn| = 2n. Nazywamy ja grupa diedralna stopnia n.
Przyklad 13. Grupe w której elementami sa pewne liczby zespolone, a dzialaniem
- zwykle dodawanie liczb, nazywamy addytywna grupa liczbowa. Najbardziej ty-
powymi przykladami takich grup sa addytywne grupy liczb: calkowitych (Z, +, 0),
wymiernych (Q, +, 0), rzeczywistych (R, +, 0), zespolonych (C, +, 0). Oczywiste
sa zależności:
Z Q R C.
Przyklad 14. Grupe w której elementami sa pewne liczby zespolone, a dzialaniem
- zwykle mnożenie liczb, nazywamy multiplikatywna grupa liczbowa. Najbar-
dziej typowymi przykladami takich grup sa: ({1, -1}, ·, 1), (Q", ·, 1), (R", ·, 1),
(C", ·, 1), (Cn, ·, 1), gdzie K" = K \ {0} dla K = Q, R, C, natomiast Cn jest
zbiorem wszystkich zespolonych pierwistków stopnia n z jedynki, tzn.:
2kĄ 2kĄ
Cn = {cos + i · sin | k = 0, 1, . . . , n - 1}.
n n
Oczywiście rzad grupy |Cn| = n.
8
Przyklad 15. Zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia n nad ustalonym
K (gdzie K jest jednym spośród zbiorów: Q, R, C) bedziemy oznaczać symbolem
GLn(K). Wiadomo, że macierz A " Mn(K) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy,
gdy wyznacznik macierzy det(A) = 0, czyli:

GLn(K) = {A " Mn(K) | det(A) = 0}.

Ponadto Twierdzenie Cauchy ego mówi, że:
"A,B"M (K) det(AB) = det(A) · det(B).
n
Latwo widać teraz, że zbiór GLn(K) wraz z operacja mnożenia macierzy tworzy
grupe. Dla n e" 2, GLn(K) jest grupa nieabelowa. Podzbiór:
SLn(K) = {A " Mn(K) | det(A) = 1}
jest podgrupa grupy GLn(K).
Przyklad 16. W dowolnej grupie G, podzbiór jednoelementowy {e} oraz caly
zbiór G sa oczywiście podgrupami grupy G. Pierwsza z nich nazywamy podgrupa
trywialna, druga zaś podgrupa niewlaściwa.
9
Ćwiczenia 1, 09-11-2008 (3 godziny)
Twierdzenie 17. (o dzieleniu z reszta) Dla dowolnych liczb a " Z, m " N istnieje
dokladnie jedna para liczb q, r " Z takich, że:
a = qm + r i 0 d" r d" m - 1.
Zadanie 1. Ustalmy dowolna liczbe naturalna m e" 2 i rozważmy zbiór:
Zm = {0, 1, . . . , m - 1}.
W zbiorze Zm definiujemy dodawanie modulo m oraz mnożenie modulo m
w sposób nastepujacy: dla dowolnych a, b " Zm,
a •"m b = reszta z dzielenia liczby a + b " Z przez m
a b = reszta z dzielenia liczby ab " Z przez m.
m
Np. 5 •"7 4 = 2, 5 4 = 6. Udowodnić, że:
7
1. dzialania •"m, sa przemienne, laczne;
m
2. zachodzi rozdzielność mnożenia wzgledem dodawania:
"a,b,c"Z a (b •"m c) = (a b) •"m (a c);
m m m
m
3. 0 jest elementem neutralnym dzialania •"m;
4. każdy element zbioru Zm posiada w zbiorze Zm element do niego przeciwny:
"a"Z "b"Z a •"m b = 0;
m m
5. 1 jest elementem neutralnym dzialania ;
m
6. m jest liczba pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy każdy niezerowy element
zbioru Zm posiada w zbiorze Zm element do niego odwrotny:
"a"Z \{0}"b"Z \{0}a b = 1;
m
m m
7. dla dowolnej liczby pierwszej p, podzbiór:
Zp" = Zp \ {0} = {1, 2, . . . , p - 1} Ä…" Zp
jest zamkniety na dzialanie :
p
"a,b"Z a, b " Zp" Ò! a b " Zp".
m
p
10
Grupe abelowa (Zm, •"m, 0) nazywamy addytywna grupa klas reszt modulo m.
Natomiast grupe abelowa (Zp", , 1) nazywamy multiplikatywna grupa klas
p
reszt modulo liczba pierwsza p.
Rozwiazanie. Ad.1. Przemienność dzialaÅ„ •"m i :
m
"a,b"Z a •"m b = b •"m a
m
a b = b a
m m
wynika od razu z przemienności dodawania i mnożenia liczb calkowitych - skoro
liczby calkowite a + b i b + a (odpowiednio ab i ba) sa sobie równe, wiec zgodnie
z Twierdzeniem 17 o dzieleniu z reszta, również ich reszty z dzielenia przez m sa
sobie równe: a •"m b = b •"m a (odpowiednio a b = b a).
m m
Laczność dzialaÅ„ •"m i :
m
"a,b,c"Z (a •"m b) •"m c = a •"m (b •"m c)
m
(a b) c = a (b c).
m m m m
Z Twierdzenia 17 o dzieleniu z reszta wynika, że:
a + b = q1m + a •"m b
(a •"m b) + c = q2m + (a •"m b) •"m c
dla pewnych q1, q2 " Z. Stad:
(a •"m b) •"m c = (a •"m b) + c - q2m = (a + b) + c - (q1 + q2)m
(a + b) + c = (q1 + q2)m + (a •"m b) •"m c,
czyli (a •"m b) •"m c jest reszta z dzielenia liczby (a + b) + c " Z przez m.
Analogicznie,
b + c = q3m + b •"m c
a + (b •"m c) = q4m + a •"m (b •"m c)
dla pewnych q3, q4 " Z, czyli:
a •"m (b •"m c) = a + (b •"m c) - q4m = a + (b + c) - (q3 + q4)m
a + (b + c) = (q3 + q4)m + a •"m (b •"m c)
11
i a •"m (b •"m c) jest reszta z dzielenia liczby a + (b + c) " Z przez m. Z równoÅ›ci
liczb calkowitych: (a + b) + c = a + (b + c) wynika teraz równość reszt z dzielenia
przez m:
(a •"m b) •"m c = a •"m (b •"m c).
Analogicznie dowodzimy laczności dzialania . Niech q1, q2, q3, q4 " Z beda
m
takie, że:
Å„Å‚
ôÅ‚
ab = q1m + a b
m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(a b)c = q2m + (a b) c
m m m
ôÅ‚
bc = q3m + b c
ôÅ‚ m
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
a(b c) = q4m + a (b c).
m m m
Wtedy:
(a b) c = (a b)c - q2m = (ab)c - (q1c + q2)m
m m m
a (b c) = a(b c) - q4m = a(bc) - (aq3 + q4)m
m m m
czyli:
(ab)c = (q1c + q2)m + (a b) c
m m
i (a b) c jest reszta z dzielenia liczby (ab)c " Z przez m oraz:
m m
a(bc) = (aq3 + q4)m + a (b c)
m m
i a (b c) jest reszta z dzielenia liczby a(bc) " Z przez m. Z równości liczb
m m
calkowitych: (ab)c = a(bc) wynika równość reszt z dzielenia przez m:
(a b) c = a (b c).
m m m m
Ad.2. Niech q , q2, q3, q4, q5 " Z beda takie, że:
Å„Å‚1
ôÅ‚
b + c = q1m + b •"m c
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a(b •"m c) = q2m + a (b •"m c)
m
òÅ‚
ab = q3m + a b
m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ac = q4m + a c
m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
(a b) + (a c) = q5m + (a b) •"m (a c).
m m m m
Wtedy:
a (b •"m c) = a(b •"m c) - q2m = a(b + c) - (aq1 + q2)m
m
12
oraz:
(a b) •"m (a c) = (a b) + (a c) - q5m =
m m m m
= ab + ac - (q3 + q4 + q5)m
czyli:
a(b + c) = (aq1 + q2)m + a (b •"m c)
m
i a (b •"m c) jest reszta z dzielenia liczby a(b + c) " Z przez m oraz:
m
ab + ac = (q3 + q4 + q5)m + (a b) •"m (a c)
m m
i (a b)•"m(a c) jest reszta z dzielenia liczby ab+ac " Z przez m. Z równoÅ›ci
m m
liczb calkowitych: a(b + c) = ab + ac wynika teraz równość reszt z dzielenia przez
m:
a (b •"m c) = (a b) •"m (a c).
m m m
Ad.3.i 5. Wlasności:
"a"Z 0 •"m a = a
m
1 a = a
m
wynikaja stad, że 0 •"m a jest reszta z dzielenia przez m liczby 0 + a = a i analo-
gicznie 1 a jest reszta z dzielenia przez m liczby 1 · a = a.
m
Ad.4. OczywiÅ›cie 0 •"m 0 = 0. Wez
my teraz dowolna liczbe a " Zm \ {0}. Wtedy
m - a " Zm \ {0} oraz:
a •"m (m - a) = reszta z dzielenia liczby a + (m - a) = m przez m = 0.
Ad.6.,,Ò! Zalóżmy, że m jest liczba pierwsza i wez
my liczbe a " Zm \ {0}.
Pokażemy, że zachodzi równość zbiorów:
(1) {a 0, a 1, . . . , a (m - 1)} = Zm.
m m m
W tym celu wystarczy jeżeli pokażemy, że:
"b,c"Z a b = a c Ò! b = c.
m m
m
Niech q1, q2 " Z beda takie, że:
13
ab = q1m + a b
m
ac = q2m + a c.
m
Z równości a b = a c wynika teraz równość:
m m
ab - q1m = ac - q2m i dalej:
(q2 - q1)m = a(c - b)
m | a(c - b).
Ale m jest liczba pierwsza, zaÅ› 1 d" a d" m - 1, wiec:
m | c - b
i ponieważ -(m - 1) d" c - b d" m - 1, wiec c - b = 0, tak jak chcieliśmy.
Z równości zbiorów (1) wynika już teza: a b = 1 dla pewnego b " Zm \ {0}.
m
,,Ò! Gdyby m nie bylo liczba pierwsza, to istnialyby liczby naturalne 1 < a, b < m
takie, że m = ab. Wtedy:
a b = 0 i a, b " Zm \ {0}.
m
Z drugiej strony z zalożenia wiemy, że:
a c = 1 dla pewnego c " Zm \ {0}.
m
Zatem:
b = b 1 = b (a c) = (b a) c = 0 c = 0, sprzeczność.
m m m m m m
Ad.7. Musimy pokazać, że jeśli p jest liczba pierwsza i a, b " Zp \{0}, to a b "
p
Zp \ {0}. Zauważmy, że jesteÅ›my w sytuacji z podpunktu 6 ,,Ò! . Gdyby zatem
a b = 0 to ponieważ a 0 = 0, wiec otrzymalibyśmy sprzeczność: b = 0.
p p
Zadanie 2. Zbudować tabelke mnożenia: modulo 6 w zbiorze Z6 oraz 7
6
modulo 7 w zbiorze Z7. Dla każdego elementu grupy Z7" wyznaczyć element do
niego odwrotny. Wyznaczyć rzad każdego elementu grupy Z7".
Zadanie 3. Opisać za pomoca tabelki grupe diedralna D4 (izometrii wlasnych kwa-
dratu). Dla każdego elementu grupy D4 wyznaczyć element do niego odwrotny.
Wyznaczyć rzad każdego elementu grupy D4. Wyznaczyć wszystkie podgrupy
grupy D4.
14
Rozwiazanie. D4 = {id, O1, O2, O3, S1, S2, S3, S4}
obroty: symetrie:
A B C D A B C D
id = S1 =
A B C D A D C B
A B C D A B C D
O1 = S2 =
B C D A B A D C
A B C D A B C D
O2 = S3 =
C D A B C B A D
A B C D A B C D
O3 = S4 =
D A B C D C B A
C
D
S4
ć% id O1 O2 O3 S1 S2 S3 S4
id id O1 O2 O3 S1 S2 S3 S4
O1 O1 O2 O3 id S2 S3 S4 S1
B
O2 O2 O3 id O1 S3 S4 S1 S2
S1A S2 S3 O3 O3 id O1 O2 S4 S1 S2 S3
S1 S1 S4 S3 S2 id O3 O2 O1
S2 S2 S1 S4 S3 O1 id O3 O2
S3 S3 S2 S1 S4 O2 O1 id O3
S4 S4 S3 S2 S1 O3 O2 O1 id
Elementy odwrotne:
id-1 = id O1-1 = O3 O2-1 = O2 O3-1 = O1
S1-1 = S1 S2-1 = S2 S3-1 = S3 S4-1 = S4
Rzedy elementów:
o(id) = 1 o(O1) = o(O3) = 4
o(O2) = o(S1) = o(S2) = o(S3) = o(S4) = 2
15
Podgrupy grupy D4: Z Twierdzenia 20 Lagrange a wynika, że w grupie D4
możemy mieć podgrupy rzedu tylko 1, 2, 4 i 8. Podgrupa rzedu 8 jest cala grupa:
H1 = D4 = {id, O1, O2, O3, S1, S2, S3, S4}.
Zauważmy, że jeśli w podgrupie, powiedzmy H, grupy G znajda sie symetrie
osiowe Si = Sj o osiach nieprostopadlych, to ponieważ Si ć% Sj = Sj ć% Si, wiec

w H mamy co najmniej 5 elementów: id, Si, Sj, Si ć% Sj, Sj ć% Si i zgodnie
z Twierdzeniem 20 Lagrange a H = D4. Jeżeli natomiast w podgrupie wlaściwej
znajda sie symetrie osiowe o osiach prostopadlych, to ponieważ:
S1 ć% S3 = S3 ć% S1 = S2 ć% S4 = S4 ć% S2 = O2
S1 ć% O2 = O2 ć% S1 = S3
S3 ć% O2 = O2 ć% S3 = S1
S2 ć% O2 = O2 ć% S2 = S4
S4 ć% O2 = O2 ć% S4 = S2
wiec otrzymamy dwie podgrupy rzedu 4:
H2 = {id, O2, S1, S3} H3 = {id, O2, S2, S4}.
Pozostaja do rozważenia podgrupy w których mamy co najwyżej jedna syme-
trie. Jeżeli w takiej podgrupie, nadal bedziemy oznaczać ja przez H, znajdzie sie
dokladnie jedna symetria, to ponieważ w wyniku zlożenia którejkolwiek symetrii
z jakimkolwiek obrotem otrzymujemy inna symetrie, wiec w H nie może znalez
ć
sie żaden z obrotów. W ten sposób otrzymujemy podgrupy rzedu 2:
H4 = {id, S1} H5 = {id, S2}
H6 = {id, S3} H7 = {id, S4}
Wreszcie pozostaja nam podgrupy w których nie ma żadnej symetrii. Zauważmy,
że ponieważ:
O12 = O2 O13 = O3 O32 = O2 O32 = O1
wiec jeżeli w podgrupie znajduje sie jeden z obrotów: O1 lub O3, to otrzymamy
podgrupe rzedu 4:
H8 = {id, O1, O2, O3}.
16
Wreszcie, jeżeli w podgrupie nie ma żadnego z obrotów: O1 ani O3, to otrzymamy
podgrupy rzedu 2 i 1:
H9 = {id, O2} H10 = {id}.
Zadanie 4. Udowodnić, że jeśli dla dowolnego elementu g grupy G zachodzi g2 =
e, to grupa G jest abelowa.
17
Ćwiczenia 2, 22-11-2008 (2 godziny)
Notacja 18. Na wykladzie iloczyn n jednakowych czynników: a · a · . . . · a ozna-
czyliśmy symbolem an. Wiemy też, że dla dowolnych liczb m, n " N zachodzi:
(2) am · an = am+n.
Wprowadz
my też inne oznaczenia:
a0 = e
a-n = (a-1)n = (an)-1,
przy czym ostatnia równość wynika bezpośrednio ze Stwierdzenia 8.5. Naturalnie
wzór (2) zachodzi teraz dla wszystkich liczb m, n " Z.
Zadanie 5.
1. Dla dowolnego ustalonego elementu a grupy G udowodnić, że podzbiór:
a = {an | n " Z}
jest najmniejsza (w sensie inkluzji) podgrupa grupy G zawierajaca element
a. Nazywamy ja podgrupa cykliczna generowana przez element a (element
a nazywamy generatorem podgrupy a ).
2. Udowodnić, że gdy a jest elementem rzedu skończonego, to a jest pod-
grupa skończona rzedu równego rzedowi elementu a:
| a | = o(a).
3. Udowodnić, że gdy G jest grupa skończona, to każdy element a " G ma
rzad skończony bedacy dzielnikiem rzedu grupy G:
o(a) | |G|.
Rozwiazanie. Ad.1. Zgodnie z Definicja 9 podgrupy, dla dowodu, że niepusty
podzbiór a grupy G jest podgrupa grupy G wystarczy zauważyć, że:
" dzialanie jest zamkniete w zbiorze a . Istotnie, dla dowolnych liczb m, n "
Z mamy: am · an = am+n " a ;
18
" operacja brania elementu odwrotnego jest zamknieta w zbiorze a . Istot-
nie, dla dowolnej liczby n " Z elementem odwrotnym do elementu an jest
element a-n " a .
Niech teraz H bedzie dowolna podgrupa grupy G taka, że a " H. Wtedy zgodnie
z Definicja 9 podgrupy, również element odwrotny a-1 " H, element neutralny
e " H oraz każda naturalna potega an, (a-1)n " H. Zatem an " H dla każdego
n " Z i a ą" H. Pokazaliśmy tym samym, że podzbiór a jest najmniejsza
podgrupa grupy G zawierajaca element a.
A.2. Zalóżmy teraz, że a jest elementem skończonego rzedu, powiedzmy o(a) =
k " N. Wtedy dla każdej liczby n " N z Twierdzenia 17 o dzieleniu z reszta
wynika, że istnieje dokladnie jedna para liczb q, r " Z taka, że:
n = qk + r i 0 d" r d" k - 1. Stad:
an = aqk+r = (ak)q · ar = eq · ar = e · ar = ar. Zatem:
a = {ar | 0 d" r d" k - 1} = {a0 = e, a1 = a, a2, . . . , ak-1}.
Pokażemy teraz,że elementy e, a, a2, . . . , ak-1 sa parami różne. Przypuśćmy, że
istnieja liczby 0 d" r < s d" k - 1 dla których zachodzi równość:
as = ar.
Mnożac obie strony równości przez element odwrotny a-r otrzymujemy:
as-r = e
sprzeczność: 0 < s - r d" k - 1 z minimalnościa liczby k = o(a). Podsumowujac,
| a | = k = o(a).
Ad.3. Zalóżmy wreszcie, że G jest grupa skończona. Dla dowolnego ustalonego
elementu a " G wez
my podzbiór kolejnych poteg: {e, a, a2, a3, a4, . . .} ą" G. Ze
skończoności zbioru G wynika, że istnieja liczby m, n " N, m < n dla których
zachodzi:
an = am.
Mnożac obie strony równości przez element odwrotny a-m otrzymujemy:
an-m = e, n - m " N
19
co oznacza, że a jest rzedu skończonego. Z podpunktów 1 i 2 oraz Twierdzenia
20 Lagrange a wynika nasza teza:
o(a) = | a | | |G|.
Tym samym udowodniliśmy nastepujacy Wniosek 22 z Twierdzenia 20 Lagrange a:
rzad dowolnego elementu a skończonej grupy G jest dzielnikiem rzedu tej grupy:
o(a) | |G|.
Definicja 19. Powiemy, że grupa G jest cykliczna, jeżeli istnieje element a " G
(zwany generatorem tej grupy) taki, że G = a .
Z Zadania 5 wynika, że skończona grupa G jest cykliczna wtedy i tylko wtedy gdy
istnieje element a " G rzedu równego rzedowi grupy G: o(a) = |G|.
Zadanie 6. Udowodnić, że multiplikatywne grupy klas reszt: modulo 5 (Z5", , 1),
5
modulo 7 (Z7", , 1), modulo 11 (Z11", , 1), modulo 13 (Z13", , 1) sa
7 11 13
cykliczne. Wskazać przyklady skończonych grup niecyklicznych.
Rozwiazanie. Z Zadania 3 wiemy, że grupa diedralna D4 (izometrii wlasnych
kwadratu) nie jest cykliczna.
Przypomnijmy, że zgodnie z Przykladem 12 z Wykladu 1, żadna grupa diedralna
Dn (izometrii wlasnych n-kata foremnego) nie jest abelowa. A zauważmy, że każda
grupa cykliczna jest abelowa. Istotnie, w grupie abelowej a dla dowolnych liczb
m, n " Z mamy: am · an = am+n = an+m = an · am. Wynika stad, że żadna
z grup diedralnych Dn nie jest cykliczna.
Podobnie, dla n e" 3 żadna z grup symetrycznych Sn (permutacji zbioru
{1, 2, . . . , n}) nie jest abelowa i tym samym nie jest cykliczna.
Zadanie 7. Udowodnić, że jeżeli rzad grupy G jest liczba pierwsza, to grupa G
jest cykliczna.
Rozwiazanie. Niech liczba pierwsza p bedzie rzedem grupy G. Ponieważ p >
1, wiec istnieje element a " G, a = e i o(a) = 1. Jednocześnie z Wniosku

20
z Twierdzenia 20 Lagrange a wiemy, że o(a) | |G| = p, czyli o(a) = p = |G|
i wobec tego G = a jest grupa cykliczna.
Zadanie 8. Odpowiedzieć na nastepujace pytania i odpowiedzi zilustrować
przykladami:
1. Czy w grupie nieskończonej istnieja elementy rzedu skończonego ?
2. Czy w grupie skończonej istnieja elementy rzedu nieskończonego ?
3. Czy iloczyn elementów rzedu skończonego może być elementem rzedu nie-
skończonego ?
4. Czy iloczyn elementów rzedu nieskończonego może być elementem rzedu
skończonego ?
Rozwiazanie. Ad.1. W każdej grupie (także nieskończonej) element neutralny ma
rzad równy 1.
Innym przykladem jest grupa I(R2) izometrii plaszczyzny R2 (por. Przyklad 12.3).
Tam każda symetria osiowa ma rzad równy 2. Również obrót o kat bedacy wy-
mierna krotnościa Ą ma rzad skończony:
2
(O l )2m = O l l l = O2lĄ = idR .
Ä„ Ä„+ Ä„+...+m Ä„
m m m
Istnieja nieskończone grupy w których każdy element ma rzad skończony, np.
zbiór wszystkich obrotów plaszczyzny R2 wokól ustalonego punktu o kat bedacy
wymierna krotnościa Ą jest grupa nieskończona:
2
idR = O2Ä„
O l ć% Ok = O( l k = Oln+km
Ä„ Ä„ + )Ä„ Ä„
m n m n mn
(O l )-1 = O(2- l = O2m-l
Ä„ )Ä„ Ä„
m m m
w której każdy element ma rzad skończony.
Ad.2. Negatywna odpowiedz
wynika z Wniosku z Twierdzenia 20 Lagrange a.
Ad.3. Jak zauważyliśmy w Przykladzie 3, w grupie I(R2) zlożenie dwóch syme-
trii osiowych (a wiec elementów rzedu 2) o osiach równoleglych i różnych jest
translacja o wektor niezerowy, a takie izometrie maja rzad nieskończony.
21
Ad.4. Jeżeli a jest elementem rzedu nieskończonego, to również element odwrotny
a-1 jest elementem rzedu nieskoÅ„czonego. Ich iloczyn a · a-1 = e jest elementem
rzedu 1.
Inny przyklad, w multiplikatywnej grupie liczb rzeczywistych (R", ·, 1) liczby: 2
i -1 maja rzedy nieskończone. Ich iloczyn jest równy -1, a zatem jest elementem
2
rzedu 2.
Zadanie 9. Sprawdzić, że dla poniższych macierzy A, B " GL2(Q) mamy o(A) <
", o(B) < " oraz o(AB) = o(BA) = ":
1 2 1 1
A = B = .
-1 -1 -1 0
22
Wyklad 2, 22-11-2008 (4 godziny)
Twierdzenie 20. (Lagrange a) Jeżeli G jest grupa skończona i H jest jej podgrupa,
to |H| jest dzielnikiem |G|.
Dowód. Dla dowolnego ustalonego elementu a " G definiujemy odwzorowanie
a : G G wzorem:
a(x) = ax dla każdego x " G.
Twierdzimy na poczatek, że a jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym
zbioru G na siebie. Rzeczywiście, jeśli dla pewnych x, y " G zachodzi a(x) =
a(y), tzn. ax = ay, to mnożac te równość z lewej strony przez element odwrotny
a-1 otrzymujemy x = y. Odwzorowanie a jest wiec różnowartościowe. Ponieważ
dla dowolnego x " G mamy a(a-1x) = x, wiec a jest także odwzorowaniem
,,na .
Niech teraz H bedzie podgrupa grupy G. Obrazem podzbioru H Ä…" G przy od-
wzorowaniu a jest nastepujacy podzbiór zbioru G:
a(H) = {a(x) " G | x " H} = {ax " G | x " H} = aH.
Zatem moc zbioru:
|aH| = |H|
i równość zachodzi dla każdego elementu a " G.
Co można jeszcze powiedzieć o zbiorze aH ? Na pewno element a = ae " aH.
Zatem:
G = aH.
a"G
Pokażemy teraz, że dla dowolnych elementów a, b " G zbiory aH i bH sa albo
rozlaczne: aH )" bH = " albo równe: aH = bH. W tym celu przypuśćmy, że dla
pewnych elementów a, b " G zachodzi: aH )" bH = ". Wtedy istnieja elementy

x, y " H takie, że:
ax = by.
Pomnóżmy równość z lewej strony przez element odwrotny x-1:
a = byx-1
23
i dalej przez dowolny element z " H:
az = byx-1z.
Ponieważ yx-1z " H, wiec otrzymaliśmy inkluzje:
aH Ä…" bH.
Analogicznie możemy pokazać inkluzje w strone przeciwna: bH ą" aH. Wobec
tego rzeczywiście aH = bH. Z powyższych rozważań oraz ze skończoności grupy
G wynika teraz, że istnieja elementy a1, a2, . . . , ak " G dla których:
" zbiory a1H, a2H, ..., akH sa parami rozlaczne;
k
" G = aiH.
i=1
Zatem:
k k
|G| = |aiH| = |H| = k · |H|.
i=1 i=1
Definicja 21. Rzedem elementu a grupy G nazywamy najmniejsza liczba naturalna
r taka, że ar = e. Jeśli taka liczba nie istnieje, to mówimy, że rzad elementu a
jest nieskończony. Rzad elementu a bedziemy oznaczać symbolem o(a).
Na ćwiczeniach udowodniliśmy:
Wniosek 22. (z Twierdzenia 20 Lagrange a) Rzad dowolnego elementu a skoń-
czonej grupy G jest dzielnikiem rzedu tej grupy:
o(a) | |G|.
W szczególności: a|G| = e.
Twierdzenie 23. (Male Twierdzenie Fermata) Jeżeli p jest liczba pierwsza i n jest
liczba calkowita niepodzielna przez p, to reszta z dzielenia liczby np-1 przez p jest
równa 1.
Dowód. Niech n bedzie dowolna liczba calkowita niepodzielna przez p. Z Twier-
dzenia 17 o dzieleniu z reszta wynika, że istnieje dokladnie jedna para liczb
q, r " Z taka, że:
24
n = qp + r, 1 d" r d" p - 1.
Podnoszac obie strony równości do potegi p - 1:
p-1
p - 1
np-1 = (qp + r)p-1 = (qp)irp-1-i +rp-1
i
i=1
liczba podzielna przez p
otrzymujemy, że reszta z dzielenia liczby np-1 przez p jest taka sama jak reszta
z dzielenia liczby rp-1 przez p, przy czym 1 d" r d" p - 1.
Do rozwiazania zadania wystarczy zatem udowodnić, że dla każdej liczby natu-
ralnej r d" p - 1 reszta z dzielenia liczby rp-1 przez p jest równa 1. W tym celu
rozważmy multiplikatywna grupe klas reszt modulo p:
Zp" = {1, 2, . . . , p - 1}.
Oczywiście r " Zp" i zgodnie z Wnioskiem 22 z Twierdzenia Lagrange a
"
p
r r . . . r = rp-1 = r|Z | = 1 w grupie Zp",
p p p
co w jezyku liczb calkowitych oznacza, że reszta z dzielenia liczby rp-1 przez p
jest równa 1, tak jak chcieliśmy.
Istnieje kilka sposobów prezentacji grup. Jednym z nich jest podanie tabelki
dzialania grupy i teraz:
Przyklad 24. Wyznaczymy tabelki grup: diedralnej D3 (izometrii wlasnych trójkata
równobocznego) oraz symetrycznej S3 (permutacji zbioru {1, 2, 3}).
D3 = {id, O1, O2, SA, SB, SC}
obroty:
A B C A B C A B C
id = O1 = O2 =
A B C B C A C A B
symetrie:
A B C A B C A B C
SA = SB = SC =
A C B C B A B A C
25
C
SB SA
ć% id O1 O2 SA SB SC
id id O1 O2 SA SB SC
B
O1 O1 O2 id SC SA SB
A
SC
O2 O2 id O1 SB SC SA
SA SA SB SC id O1 O2
SB SB SC SA O2 id O1
SC SC SA SB O1 O2 id
S3 = {Id, Ã1, Ã2, Ä1, Ä2, Ä3}
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Id = Ã1 = Ã2 =
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ä1 = Ä2 = Ä3 =
1 3 2 3 2 1 2 1 3
ć% Id Ã1 Ã2 Ä1 Ä2 Ä3
Id Id Ã1 Ã2 Ä1 Ä2 Ä3
Ã1 Ã1 Ã2 id Ä3 Ä1 Ä2
Ã2 Ã2 Id Ã1 Ä2 Ä3 Ä1
Ä1 Ä1 Ä2 Ä3 Id Ã1 Ã2
Ä2 Ä2 Ä3 Ä1 Ã2 Id Ã1
Ä3 Ä3 Ä1 Ä2 Ã1 Ã2 Id
Zauważmy, że przyporzadkowujac:
id Id, O1 Ã1, O2 Ã2, SA Ä1, SB Ä2, SC Ä3
otrzymamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie Õ: D3 S3 zbioru D3 na
zbiór S3 zachowujace dzialanie:
"f,g"D Õ(f ć% g) = Õ(f) ć% Õ(g),
3
26
przy czym ostatnia wlasność wynika stad, że tabelki dzialań obu grup: D3 i S3 sa
identyczne, np.:
Õ(O1 ć% SB) = Õ(SA) = Ä1 = Ã1 ć% Ä2 = Õ(O1) ć% Õ(SB).
Rozważony przez nas przypadek jest szczególny. Zachodzi bowiem równość
rzedów obu grup: diedralnej D3 i symetrycznej S3:
|D3| = 2 · 3 = 3! = |S3|.
Ale już dla każdej kolejnej grupy diedralnej Dn, n e" 4, mamy nierówność ostra:
|Dn| = 2 · n < n! = |Sn|,
z której wynika, że nie istnieje odwzorowanie zbioru Dn na zbiór Sn. Tym niemniej
i w tym przypadku możemy coś powiedzieć.
Przyklad 25. Niech Dn bedzie grupa diedralna dowolnego ustalonego stopnia n e"
4 (grupa izometrii wlasnych n-kata foremnego). Oznaczmy przez A1, A2, . . . , An
wierzcholki n-kata w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara. Za-
uważmy, że każda izometrie ze zbioru Dn możemy zinterpretować jako permutacje
zbioru {A1, A2, . . . , An}. Tym samym każdej izometrii ze zbioru Dn możemy jed-
noznacznie przypisać odpowiednia permutacje zbioru {1, 2, . . . , n}. Np. obrotowi
2
o kat Ą ( przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara) przypisujemy permutacje:
n
A1 A2 A3 . . . An-1 An 1 2 3 . . . n - 1 n
.
A2 A3 A4 . . . An A1 2 3 4 . . . n 1
Otrzymujemy różnowartoÅ›ciowe odwzorowanie Õ: Dn Sn zbioru Dn w zbiór
Sn. Skladaniu izometrii odpowiada skladanie permutacji, czyli:
"f,g"D Õ(f ć% g) = Õ(f) ć% Õ(g).
n
Ponieważ zbiór Dn wraz z operacja skladania odwzorowań tworzy grupe, wiec
automatycznie również zbiór Õ(Dn) Ä…" Sn wraz z operacja skladania odwzorowaÅ„
tworzy grupe. Zgodnie ze Stwierdzeniem 10, Õ(Dn) jest podgrupa grupy Sn i po-
nieważ odwzorowanie Õ nie jest ,,na , wiec Õ(Dn) jest wlaÅ›ciwa podgrupa grupy
Sn.
Definicja 26.
27
1. Niech (G, ·) i (H, ) beda grupami. Odwzorowanie f : G H nazywamy
homomorfizmem grupy G w grupe H, jeśli:
"a, b " Gf(a · b) = f(a) f(b).
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem lub równo-
ważnie zanurzeniem, wlożeniem i symbolicznie zapisujemy G H. Ho-
momorfizm ,,na nazywamy epimorfizmem. Homomorfizm który jest jedno-
cześnie monomorfizmem i epimorfizmem nazywamy izomorfizmem. Homo-
morfizm grupy G w siebie nazywamy endomorfizmem grupy G. Izomorfizm
grupy G na siebie (równoważnie endomorfizm grupy G który jest jedno-
cześnie monomorfizmem i epimorfizmem) nazywamy automorfizmem.
2. Mówimy, że grupy G i H sa izomorficzne, co symbolicznie zapisujemy
<"
G H, jeżeli istnieje izomorfizm grupy G na grupe H.
=
Wszelkie algebraiczne wlasności dowolnej grupy sa identyczne z odpowiednimi
wlasnościami każdej grupy z nia izomorficznej. W zwiazku z tym, podajac opis
grupy, podajemy opis wszystkich grup z nia izomorficznych.
Stwierdzenie 27.
1. Jeżeli f : G H jest homomorfizmem (monomorfizmem, epimorfizmem,
izomorfizmem) grupy (G, ·) w grupe (H, ) i g : H K jest homo-
morfizmem (monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem) grupy (H, )
w grupe (K, ), to g ć%f : G K jest homomorfizmem (monomorfizmem,
epimorfizmem, izomorfizmem) grupy (G, ·) w grupe (K, ).
2. Jeżeli f : G H jest izomorfizmem grupy (G, ·) na grupe (H, ), to
odwzorowanie odwrotne f-1 : H G jest izomorfizmem grupy (H, ) na
grupe (G, ·).
Dowód. Ad.1. Dla dowolnych elementów a, b " G zachodzi:
(g ć% f)(a · b) = g(f(a · b)) = g(f(a) f(b)) = g(f(a)) g(f(b)) =
= (g ć% f)(a) (g ć% f)(b).
28
Ad.2. Jak wiemy, każde wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru G na zbiór
H posiada odwzorowanie do niego odwrotne, które jest odwzorowaniem wza-
jemnie jednoznacznym zbioru H na zbiór G. W szczególności, istnieje wzajem-
nie jednoznaczne odwzorowanie f-1 : H G odwrotne do izomorfizmu grup
f : G H. Dla dowodu naszego stwierdzenia wystarczy teraz udowodnić, że
odwzorowanie f-1 zachowuje dzialanie, tzn.:
"a, b " Hf-1(a b) = f-1(a) · f-1(b).
Niech a, b " H i wez
my jednoznacznie wyznaczone elementy x, y " G takie, że
f(x) = a, f(y) = b. Wtedy:
f-1(a b) = f-1(f(x) f(y)) = f-1(f(x · y)) = x · y = f-1(a) · f-1(b).
Przyklad 28. Z Przykladów 24 oraz 25 wynika, że dla każdej liczby naturalnej
n e" 3 istnieje naturalne zanurzenie grupy diedralnej Dn w grupe permutacji Sn,
co symbolicznie zapisujemy:
Dn Sn.
Ale tylko dla n = 3 grupy te sa izomorficzne:
D3 <" S3.
=
Dla n e" 4, grupa Dn jest izomorficzna z pewna wlaściwa podgrupa grupy Sn.
Definicja 29. Obrazem homomorfizmu f : G H grupy G w grupe H nazywamy
zbiór:
imf = f(G) Ä…" H.
Jadrem homomorfizmu f : G H nazywamy przeciwobraz podgrupy trywialnej
grupy H:
ker f = f-1({eH}) = {a " G | f(a) = eH} Ä…" G.
Stwierdzenie 30. Jeżeli f : G H jest homomorfizmem grupy (G, ·) w grupe
(H, ), to:
1. obrazem elementu neutralnego grupy G jest element neutralny grupy H:
29
f(eG) = eH;
2. dla dowolnego elementu a " G, obrazem elementu odwrotnego a-1 " G
jest element odwrotny do obrazu elementu a:
f(a-1) = f(a)-1;
3. obraz dowolnej podgrupy grupy G jest podgrupa grupy H:
A d" G Ò! f(A) d" H.
W szczególności, obraz homorfizmu f jest podgrupa grupy H:
imf = f(G) d" H;
4. przeciwobraz dowolnej podgrupy grupy H jest podgrupa grupy G:
B d" H Ò! f-1(B) d" G.
W szczególności, jadro homorfizmu f jest podgrupa grupy G:
ker f = f-1({eH}) d" G.
5. Jeżeli f : G H jest monomorfizmem grupy G w grupe H, to grupa G
jest izomorficzna ze swoim obrazem imf d" H:
<"
G imf.
=
Dowód. Ad.1. Zauważmy, że:
f(eG) f(eG) = f(eG · eG) = f(eG).
Mnożac teraz równość przez element odwrotny f(eG)-1 " H otrzymujemy teze:
f(eG) f(eG) f(eG)-1 = f(eG) f(eG)-1
f(eG) = eH.
Ad.2. Nakladajac na obie strony równoÅ›ci a-1 · a = eG odwzorowanie f kolejno
otrzymujemy:
f(a-1 · a) = f(eG)
f(a-1) f(a) = eH
f(a-1) = f(a)-1.
30
Ad.3. Zgodnie z Definicja 9 podgrupy, dla dowodu, że obraz f(A) podgrupy A
grupy G jest podgrupa grupy H wystarczy zauważyć, że:
" dzialanie jest zamkniete w zbiorze f(A). Istotnie, dla dowolnych ele-
mentów a, b " A mamy:
f(a) f(b) = f(a · b) " f(A).
" operacja brania elementu odwrotnego jest zamknieta w zbiorze f(A). Istot-
nie, dla dowolnego elementu a " A element odwrotny:
f(a)-1 = f(a-1) " f(a).
Ad.4. Zgodnie z Definicja 9 podgrupy, dla dowodu, że przeciwobraz f-1(B) pod-
grupy B grupy H jest podgrupa grupy G wystarczy zauważyć, że:
" dzialanie · jest zamkniete w zbiorze f-1(B). Istotnie, dla dowolnych ele-
mentów c, d " f-1(B) mamy f(c), f(d) " B i stad:
f(c · d) = f(c) f(d) " B,
czyli c · d " f-1(B).
" operacja brania elementu odwrotnego jest zamknieta w zbiorze f-1(B).
Istotnie, dla dowolnego elementu c " f-1(B) mamy f(c) " B i stad:
f(c-1) = f(c)-1 " B,
czyli element odwrotny c-1 " f-1(B).
Ad.5. Z podpunktu 3 oraz Stwierdzenia 10 wiemy, że imf, jako podgrupa grupy
H, jest grupa ze wzgledu na ograniczenie do imf dzialania . Zatem odwzoro-
wanie f : G f(G) = imf jest monomorfizmem grupy G na grupe imf, jest
wiec tym samym izomorfizmem grupy G na grupe imf.
Stwierdzenie 31. Homomorfizm f : G H grupy G w grupe H jest różno-
wartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jadro tego homomorfizmu jest trywialne:
ker f = {eG}.
Dowód. Dla dowodu implikacji ,,Ò! wez
my dowolny element a " ker f. Wówczas:
f(a) = eH = f(eG)
i z różnowartościowości odwzorowania f:
31
a = eG.
,,Ð! . Niech teraz ker f = {eG}. Jeżeli a, b " G sa takie, że:
f(a) = f(b)
to mnożac obie strony równości przez element odwrotny f(b)-1 = f(b-1) kolejno
otrzymujemy:
f(ab-1) = eH
ab-1 " ker f = {eG}
ab-1 = eG
a = b.
32
Ćwiczenia 3, 06-12-2008 (2 godziny)
Zadanie 10. Wyznaczyć monomorfizm grupy diedralnej D4 (izometrii wlasnych
kwadratu) w grupe symetryczna S4 (permutacji zbioru {1, 2, 3, 4}). Wskazać pod-
grupe grupy S4 izomorficzna z grupa D4.
Rozwiazanie. Pozostajemy przy oznaczeniach z Zadania 3. Rozważmy odwzoro-
wanie różnowartoÅ›ciowe Õ: D4 S4 zbioru D4 w zbiór S4 przyporzadkowujace:
1 2 3 4 1 2 3 4
id Id = S1 Ä1 =
1 2 3 4 1 4 3 2
1 2 3 4 1 2 3 4
O1 Ã1 = S2 Ä2 =
2 3 4 1 2 1 4 3
1 2 3 4 1 2 3 4
O2 Ã2 = S3 Ä3 =
3 4 1 2 3 2 1 4
1 2 3 4 1 2 3 4
O3 Ã3 = S4 Ä4 =
4 1 2 3 4 3 2 1
Wez
my podzbiór:
H = {Id, Ã1, Ã2, Ã3, Ä1, Ä2, Ä3, Ä4} Ä…" S4
i dla niego wyznaczmy tabelke dzialania (skladania permutacji):
ć% Id Ã1 Ã2 Ã3 Ä1 Ä2 Ä3 Ä4
Id Id Ã1 Ã2 Ã3 Ä1 Ä2 Ä3 Ä4
Ã1 Ã1 Ã2 Ã3 Id Ä2 Ä3 Ä4 Ä1
Ã2 Ã2 Ã3 Id Ã1 Ä3 Ä4 Ä1 Ä2
Ã3 Ã3 Id Ã1 Ã2 Ä4 Ä1 Ä2 Ä3
Ä1 Ä1 Ä4 Ä3 Ä2 Id Ã3 Ã2 Ã1
Ä2 Ä2 Ä1 Ä4 Ä3 Ã1 Id Ã3 Ã2
Ä3 Ä3 Ä2 Ä1 Ä4 Ã2 Ã1 Id Ã3
Ä4 Ä4 Ä3 Ä2 Ä1 Ã3 Ã2 Ã1 Id
Wynika z niej bezpośrednio, że:
" operacje: skladania permutacji oraz brania permutacji odwrotnej sa za-
mkniete w zbiorze H, H jest wiec podgrupa grupy S4.
33
" tabelki dzialań obu grup: D4 i H sa identyczne, co oznacza że odwzorowanie
Õ: D4 H d" S4 jest monomorfizmem grupy D4 w grupe S4 i H jest
podgrupa grupy S4 izomorficzna z grupa D4.
Zadanie 11.
1. Wyznaczyć monomorfizm grupy diedralnej D4 (izometrii wlasnych kwa-
dratu) w grupe diedralna D8 (izometrii wlasnych 8-kata foremnego). W gru-
pie D8 wskazać podgrupe izomorficzna z grupa D4.
2. Wyznaczyć monomorfizm grupy symetrycznej S3 (permutacji zbioru
{1, 2, 3}) w grupe diedralna D6 (izometrii wlasnych 6-kata foremnego).
W grupie D6 wskazać podgrupe izomorficzna z grupa S3.
Rozwiazanie. A.2. Z Przykladu 24 pamietamy, że grupy: diedralna D3 (izome-
trii wlasnych trójkata równobocznego) oraz symetryczna S3 (permutacji zbioru
{1, 2, 3}) sa symetryczne: D3 <" S3.
=
D6 = {id, O1, O2, O3, O4, O5, S1, S2, S3, S4, S5, S6}
obroty:
A B C D E F A B C D E F
id = O1 =
A B C D E F B C D E F A
A B C D E F A B C D E F
O2 = O3 =
C D E F A B D E F A B C
A B C D E F A B C D E F
O4 = O5 =
E F A B C D F A B C D E
symetrie:
A B C D E F A B C D E F
S1 = S2 =
A F E D C B B A F E D C
A B C D E F A B C D E F
S3 = S4 =
C B A F E D D C B A F E
A B C D E F A B C D E F
S5 = S6 =
E D C B A F F E D C B A
34
E
D
F
S6
C
S1 A S5
S 2 S4
B
S3
W sześciokat ABCDEF wpiszmy trójkat równoboczny ACE i rozważmy odwzo-
rowanie różnowartoÅ›ciowe Õ: S3 D6 zbioru S3 w zbiór D6 przyporzadkowujace:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Id = id, Ã1 = O2, Ã2 = O4
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ä1 = S1, Ä2 = S5, Ä3 = S3
1 3 2 3 2 1 2 1 3
Wez
my podzbiór:
H = {id, O2, O4, S1, S5, S3} Ä…" D6
i dla niego wyznaczmy tabelke dzialania (skladania izomorfizmów):
ć% id O2 O4 S1 S5 S3
id id O2 O4 S1 S5 S3
O2 O2 O4 id S3 S1 S5
O4 O4 id O2 S5 S3 S1
S1 S1 S5 S3 id O2 O4
S5 S5 S3 S1 O4 id O2
S3 S3 S1 S5 O2 O4 id
Wynika z niej bezpośrednio, że:
35
" operacje: skladania izomorfizmów oraz brania izomorfizmu odwrotnego sa
zamkniete w zbiorze H, H jest wiec podgrupa grupy D6.
" tabelki dzialań obu grup: S3 i H sa identyczne, co oznacza że odwzorowanie
Õ: S3 H d" D6 jest monomorfizmem grupy S3 w grupe D6 i H jest
podgrupa grupy D6 izomorficzna z grupa S3.
Zadanie 12. Wyznaczyć monomorfizm grupy symetrycznej Sn w grupe syme-
tryczna Sn+1.
Rozwiazanie. Zdefiniujmy odwzorowanie Õ: Sn Sn+1 przyporzadkowujace per-
mutacji f " Sn permutacje:
1 2 . . . n n + 1
Õ(f) = " Sn+1,
f(1) f(2) . . . f(n) n + 1
czyli:
f(i), gdy 1 d" i d" n
Õ(f)(i) =
n + 1, gdy i = n + 1.
Odwzorowanie Õ jest homomorfizmem grup. Istotnie, dla dowolnych permutacji
f, g " Sn oraz dowolnej liczby 1 d" i d" n zachodzi:
Õ(f ć% g)(i) = (f ć% g)(i) = f(g(i)) = Õ(f)(g(i)) = Õ(f)(Õ(g)(i)) =
"Sn
= (Õ(f) ć% Õ(g))(i).
Ponadto:
Õ(f ć% g)(n + 1) = n + 1 = Õ(f)(n + 1) = Õ(f)(Õ(g)(n + 1)) =
"Sn
= (Õ(f) ć% Õ(g))(n + 1).
Udowodniliśmy tym samym, że:
"f,g"S Õ(f ć% g) = Õ(f) ć% Õ(g)
n
i Õ: Sn Sn+1 jest homomorfizmem grup. Przypuśćmy teraz, że dla pewnych
permutacji f, g " Sn zachodzi:
36
Õ(f) = Õ(g).
Zgodnie z definicja odwzorowania Õ mamy:
1 2 . . . n n + 1 1 2 . . . n n + 1
= ,
f(1) f(2) . . . f(n) n + 1 g(1) g(2) . . . g(n) n + 1
czyli:
"1d"id"nf(i) = g(i),
zatem f = g i Õ jest odwzorowaniem różnowartoÅ›ciowym.
Zadanie 13. Udowodnić, że addytywna grupa (Z6, •"6, 0) klas reszt modulo 6 jest
izomorficzna z multiplikatywna grupa (Z7", •"7, 1) klas reszt modulo 7.
Rozwiazanie. Z Przykladu 33 wiemy, że addytywna grupa (Z6, •"6, 0) klas reszt
modulo 6 jest grupa cykliczna:
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = 1 6
rzedu 6. Z kolei, z Zadania 6 pamietamy, że również multiplikatywna grupa
(Z7", •"7, 1) klas reszt modulo 7 jest grupa cykliczna:
Z7" = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 3 7
rzedu 6. Rozważmy homomorfizm Õ: Z6 Z7" grupy Z6 w grupe Z7" który
generatorowi grupy Z6 przyporzadkowuje generator grupy Z7":
Z6 1 3 " Z7".
Ponieważ:
Õ(0) = 1 - obrazem elementu neutralnego grupy Z6 jest element neutralny grupy Z7"
Õ(1) = 3
Õ(2) = Õ(1 •"6 1) = Õ(1) Õ(1) = 3 3 = 2
7 7
Õ(3) = Õ(1 •"6 1 •"6 1) = Õ(1) Õ(1) Õ(1) = 2 3 = 6
7 7 7
Õ(4) = Õ(1 •"6 1 •"6 1 •"6 1) = Õ(1) Õ(1) Õ(1) Õ(1) = 6 3 = 4
7 7 7 7
Õ(5) = Õ(1 •"6 1 •"6 1 •"6 1 •"6 1) = Õ(1) Õ(1) Õ(1) Õ(1) Õ(1) =
7 7 7 7
= 4 3 = 5
7
37
wiec Õ jest izomorfizmem grupy Z6 na grupe Z7".
Zadanie 14.
1. Udowodnić, że zbiór Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G wraz
z operacja ich skladania jest grupa.
2. Niech a " G bedzie dowolnym ustalonym elementem. Udowodnić, że od-
wzorowanie Ãa : G G okreÅ›lone wzorem Ãa(x) = axa-1 jest automorfi-
zmem grupy G. Nazywamy go automorfizmem wewnetrznym grupy G.
3. Udowodnić, że zbiór Inn(G) automorfizmów wewnetrznych grupy G jest
podgrupa grupy Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G.
Rozwiazanie. Z Przykladu 12.1 wiemy, że zbiór S(G) wszystkich wzajemnie jed-
noznacznych odwzorowań zbioru G na siebie wraz z operacja skladania odwzo-
rowań tworzy grupe. Zatem, zgodnie ze Stwierdzeniem 10 aby udowodnić, że
zbiór Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G wraz z operacja ich skladania
jest grupa wystarczy udowodnić, że zbiór Aut(G) jest podgrupa grupy S(G).
Oczywiście idG " Aut(G), Aut(G) jest wiec niepustym podzbiorem grupy S(G).
Zauważmy, że:
" operacja skladania odwzorowań jest zamknieta w zbiorze Aut(G):
"Ã,""Aut(G)Ã ć% " " Aut(G),
wynika to ze Stwierdzenia 30.1, zgodnie z którym zlożenie dwóch homo-
morfizmów grup jest homomorfizmem grup.
" operacja brania odwzorowania odwrotnego jest zamknieta w zbiorze
Aut(G):
"Ã"S(G)Ã " Aut(G) Ò! Ã-1 " Aut(G),
wynika to ze Stwierdzenia 30.2, zgodnie z którym odwzorowanie odwrotne
do izomorfizmu grup jest izomorfizmem grup.
Ad.2. Zauważmy najpierw, że dla dowolnych elementów x, y " G zachodzi:
Ãa(xy) = a(xy)a-1 = (axa-1)(aya-1) = Ãa(x)Ãa(y),
38
odwzorowanie Ãa jest wiec endomorfizmem grupy G. Dla dowodu różnowarto-
Å›ciowoÅ›ci odwzorowania Ãa, zgodnie ze Stwierdzeniem 31 wystarczy udowodnić,
że jadro ker Ãa endomorfizmu Ãa jest trywialne:
ker Ãa = {x " G | axa-1 = Ãa(x) = e} = {x " G | ax = a} = {e}.
Wreszcie dla dowodu, że Ãa jest odwzorowaniem zbioru G na siebie wez
my do-
wolny element x " G i policzmy:
Ãa(a-1xa) = a(a-1xa)a-1 = x.
Ad.3. OczywiÅ›cie idG = Ãe " Inn(G), Inn(G) jest wiec niepustym podzbiorem
grupy Aut(G). Zauważmy ponadto, że:
" operacja skladania odwzorowań jest zamknieta w zbiorze Inn(G):
"a,b"GÃa ć% Ãb " Inn(G).
Istotnie, dla dowolnego elementu x " G zachodzi:
Ãa ć% Ãb)(x) = a(bxb-1)a-1 = (ab)x(ab-1) = Ãab(x)
i Ãa ć% Ãb " Inn(G).
" operacja brania odwzorowania odwrotnego jest zamknieta w zbiorze
Inn(G):
"a"GÃa-1 " Inn(G).
Istotnie, ponieważ Ãa ć% Ãa-1 = Ãaa-1 = Ãe = idG, wiec odwzorowanie
odwrotne Ãa-1 = Ãa-1 " Inn(G).
Pokazaliśmy tym samym, że Inn(G) d" Aut(G).
39
Wyklad 3, 06-12-2008 (4 godziny)
Na ćwiczeniach wprowadziliÅ›my pojecie grupy cyklicznej. Grupa (G, ·) jest grupa
cykliczna generowana przez element a " G, jeżeli:
G = a = {an | n " Z}.
W zapisie addytywnym, grupa (G, +) jest grupa cykliczna generowana przez ele-
ment a " G, jeżeli:
G = a = {na | n " Z}.
Przyklad 32. Addytywna grupa liczb calkowitych (Z, +, 0) jest nieskończona grupa
cykliczna generowana przez liczbe 1:
Z = 1 .
Pokażemy teraz, że każda podgrupa grupy Z jest cykliczna. Jasnym jest, że pod-
grupa trywialna jest cykliczna:
{0} = 0 .
Niech teraz H bedzie nietrywialna podgrupa grupy Z. Wez
my najmniejsza liczbe
naturalna a należaca do podgrupy H (liczba taka na pewno istnieje, bo H jest
podgrupa nietrywialna). Twierdzimy, że H = a . Ponieważ a " H, wiec na-
turalnie a Ä…" H. Wez
my teraz dowolna liczbe b " H i podzielmy ja przez a
z reszta:
b = qa + r, 0 d" r d" a - 1.
Ponieważ r = b - qa " H, wiec z minimalności wyboru liczby a " H mamy:
r = 0 i wobec tego:
b = qa " a .
Przyklad 33. Przykladem skończonej grupy cyklicznej jest addytywna grupa
(Zm, •"m, 0) klas reszt modulo m:
Zm = {0, 1, 2 = 1 •"m 1, . . . , m - 1 = 1 •"m 1 •"m 1 •"m . . . •"m 1}.
m-1 skladników
40
Twierdzenie 34.
1. Wszystkie nieskończone grupy cykliczne sa izomorficzne z addytywna grupa
liczb calkowitych (Z, +, 0).
2. Dla każdej liczby naturalnej m, wszystkie grupy cykliczne rzedu m sa izo-
morficzne z addytywna grupa (Zm, •"m, 0) klas reszt modulo m.
Dowód. Ad.1. Niech G = a bedzie nieskończona grupa cykliczna generowana
przez element a, tzn. zgodnie z Definicja 19 grupy cyklicznej oraz Zadaniem 5:
G = a = {an | n " Z}.
Rozważmy odwzorowanie f : Z G zbioru Z na zbiór G zadane wzorem:
f(n) = an dla n " Z.
Dla dowodu, że f jest izomorfizmem grupy Z na grupe G wystarczy zauważyć,
że:
" odwzorowanie f zachowuje dzialanie. Istotnie, dla dowolnych m, n " Z
zachodzi:
f(m + n) = am+n = am · an = f(m) · f(n)
przy czym środkowa równość zachodzi na mocy Notacji 18.
" odwzorowanie f jest różnowartościowe. Istotnie, dla dowolnych liczb
calkowitych m d" n z równości:
f(m) = f(n)
wynika, że:
am = an.
Mnożac obie strony równości przez element odwrotny (am)-1 = a-m otrzy-
mujemy (po zamianie równości stronami), że:
an-m = e
i oczywiście n - m e" 0. Gdyby n - m " N, to zgodnie z Definicja 21
rzedu, rzad elementu a bylby skończony:
o(a) d" n - m < "
co zgodnie z Zadaniem 5 oznaczaloby sprzeczność:
41
|G| = | a | = o(a) < ".
Zatem n - m = 0 i m = n.
Ad.2. Niech G = a bedzie grupa cykliczna rzedu m generowana przez element
m
a, tzn. zgodnie z Zadaniem 5:
G = a = {e, a, a2, . . . , am-1}
m
i o(a) = | a | = m. Analogicznie jak w podpunkcie 1, rozważmy odwzorowanie
f : Zm G zbioru Zm = {0, 1, 2, . . . , m - 1} na zbiór G zadane wzorem:
f(r) = ar dla r " Zm.
Dla dowodu, że f jest izomorfizmem grupy Zm na grupe G wystarczy zauważyć,
że:
" odwzorowanie f zachowuje dzialanie. Istotnie, dla dowolnych r, s " Zm
przypomnijmy, że przez r •"m s oznaczyliÅ›my reszte z dzielenia liczby
calkowitej r + s przez m, tzn.:
r + s = qm + r •"m s, 0 d" r •"m s d" m - 1
dla pewnego q " Z. Stad otrzymujemy już, że:
m
f(r •"m s) = ar•" s = ar+s-qm = ar · as · (am)-q =
= ar · as · e = ar · as = f(r) · f(s).
" odwzorowanie f jest różnowartościowe. Istotnie, dla dowolnych r, s " Zm
z równości:
f(r) = f(s)
wynika, że:
ar = as.
Bez zmniejszenia ogólności możemy zalożyć, że 0 d" r d" s d" m - 1.
Mnożac teraz obie strony naszej równości przez element odwrotny (ar)-1 =
a-r otrzymujemy (po zamianie równości stronami), że:
as-r = e
42
i oczywiście 0 d" s - r d" m - 1. Zgodnie z Definicja 21 rzedu, liczba
o(a) = m jest najmniejsza liczba naturalna dla której zachodzi am = e.
Wobec tego s - r = 0 i r = s.
Twierdzenie 35. (Cayley) Dla dowolnej liczby naturalnej n, każda grupa rzedu n
jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy symetrycznej Sn i wobec tego zanurza
sie w grupe Sn.
Dowód. Wypiszmy wszystkie elementy grupy G:
G = {a1, a2, . . . , an}.
Zgodnie z Przykladem 12.1, przez S(G) oznaczamy grupe wszystkich wzajemnie
jednoznacznych odwzorowań zbioru G na siebie.
W dowodzie Twierdzenia 20 Lagrange a pokazaliśmy, że dla każdego elementu
a " G odwzorowanie a : G G zadane wzorem:
a(x) = ax, gdzie x " G
jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym zbioru G na siebie. Wobec tego
a " S(G) dla każdego a " G i mamy dobrze zdefiniowane odwzorowanie:
Õ: G S(G)
zbioru G w zbiór S(G) zadane wzorem:
Õ(a) = a, gdzie a " G.
Twierdzimy, że Õ jest monomorfizmem grupy G w grupe S(G). Zauważmy, że:
" odwzorowanie Õ zachowuje dzialanie, tzn.:
"a,b"GÕ(ab) = Õ(a) ć% Õ(b).
Istotnie, dla dowolnych elementów a, b, x " G zachodzi:
Õ(ab)(x) = ab(x) = (ab)x = a(bx) = a(b(x)) =
= (a ć% b)(x) = (Õ(a) ć% Õ(b))(x)
i z dowolności wyboru elementu x " G wynika już, że:
Õ(ab) = Õ(a) ć% Õ(b).
43
" homomorfizm Õ: G S(G) jest różnowartoÅ›ciowy. Istotnie:
ker f = {a " G | Õ(a) = idG} =
= {a " G | ax = a(x) = Õ(a)(x) = idG(x) = x} = {eG}.
Zatem rzeczywiście odwzorowanie:
Õ: G S(G)
zanurza grupe G w grupe S(G) i każdy element a " G możemy utożsamić
z odwzorowaniem a " S(G) wzajemnie jednoznacznym zbioru G na siebie.
Ale każde wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru G = {a1, a2, . . . , an} na
siebie możemy zinterpretować jako permutacje zbioru {a1, a2, . . . , an}, np.:
a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an
a = = .
a(a1) a(a2) . . . a(an) aa1 aa2 . . . aan
Tym samym każdemu odwzorowaniu ze zbioru S(G) możemy jednoznacznie przy-
pisać odpowiednia permutacja zbioru {1, 2, . . . , n} (i na odwrót) zachowujac przy
tym operacje skladania odwzorowań. Otrzymujemy izomorfizm:
È : S(G) Sn
grupy S(G) na grupe Sn.
Podsumowujac, skonstruowaliśmy monomorfizm:
Õ ć% È : G S(G) Sn
i zgodnie ze Stwierdzeniem 30.5:
<"
G im(Õ ć% È) = (Õ ć% È)(G).
=
Powróćmy teraz do dowodu Twierdzenia 20 Lagrange a. Dla dowolnej ustalonej
podgrupy H dowolnej ustalonej grupy G (tym razem nie zakladamy skończoności
grupy G) oraz dowolnego elementu a " G zdefiniowaliśmy tam podzbiór:
aH = {ah | h " H} Ä…" G.
44
Nazywamy go warstwa lewostronna grupy G wzgledem podgrupy H wyznaczona
przez element a. Pewne wlasności warstw lewostronnych udowodniliśmy już w do-
wodzie Twierdzenia 20 Lagrange a. W szczególności udowodniliśmy tam pierwsze
trzy podpunkty nastepujacego twierdzenia:
Twierdzenie 36. Niech H bedzie podgrupa grupy G. Wtedy:
1. dla dowolnego elementu a " G zachodzi a " aH.
2. dla dowolnych elementów a, b " G, jeżeli aH )" bH = " to aH = bH.
3. dla dowolnych elementów a, b " G zachodzi |aH| = |bH|.
4. dla dowolnych elementów a, b " G zachodzi nastepujaca równoważność:
aH = bH Ô! a-1b " H.
Dowód. Ad.4.,,Ò! Zalóżmy, że zachodzi równość warstw:
aH = bH.
Wówczas dla dowolnego elementu h " H istnieje element k " H taki, że:
ah = bk
H hk-1 = a-1b.
,,Ð! Zalóżmy teraz, że a-1b " H. Wówczas istnieje element h " H taki, że:
a-1b = h
b = ah czyli bh-1 = a.
Wynika stad, że dla każdego elementu k " H zachodzi odpowiednio:
bk = a(hk) oraz b(h-1k) = ak
bH Ä…" aH oraz bH ‡" aH.
Definicja 37. Niech H bedzie podgrupa grupy G. Liczbe wszystkich warstw le-
wostronnych grupy G wzgledem podgrupy H nazywamy indeksem podgrupy H
w grupie G i oznaczamy symbolem (G: H).
45
Twierdzenie 20 Lagrange a mówi teraz dokladnie tyle, że dla skończonej grupy G
i jej podgrupy H zachodzi równość:
|G| = (G: H) · |H|.
Analogicznie definiujemy warstwe prawostronna grupy G wzgledem podgrupy H
wyznaczona przez element a " G:
Ha = {ha | h " H} Ä…" G.
Warstwy prawostronne grupy G wzgledem podgrupy H maja analogiczne
wlasności jak warstwy lewostronne grupy wzgledem podgrupy H. W szczególności
dla dowolnych elementów a, b " G zachodzi nastepujaca równoważność:
Ha = Hb Ô! ab-1 " H.
Twierdzenie 38. Niech H bedzie podgrupa grupy G. Wtedy liczba warstw lewo-
stronnych grupy G wzgledem podgrupy H jest równa liczbie warstw prawostron-
nych grupy G wzgledem podgrupy H.
Dowód. Oznaczmy przez LG(H) i RG(H) zbiór wszystkich warstw, odpowiednio
lewostronnych i prawostronnych, grupy G wzgledem podgrupy H. Aby pokazać,
że zbiory te sa równoliczne, rozważmy odwzorowanie:
f : LG(H) RG(H)
zadane wzorem:
f(aH) = Ha-1, gdzie a " G.
Na poczatek pokażemy, że poprawnie zdefiniowaliśmy odwzorowanie f, to znaczy
jeżeli aH = bH, to Ha-1 = Hb-1. Niech a, b " G beda takie, że:
aH = bH.
Zgodnie z Twierdzeniem 36.4,
a-1 · b " H
a-1 · (b-1)-1 " H
Ha-1 = Hb-1, tak jak chcieliśmy.
46
Pokażemy teraz, że f jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru
LG(H) na zbiór RG(H). Dla dowodu różnowartościowości zalóżmy, że:
f(aH) = f(bH). Wówczas:
Ha-1 = Hb-1
a-1(b-1)-1 " H
a-1b " H
aH = bH.
f jest odwzorowaniem ,,na , bowiem dla każdego elementu a " G:
Ha = H(a-1)-1 = f(a-1H).
Przyklad 39. Z Zadania 3 wiemy, że w grupie diedralnej:
D4 = {id, O1, O2, O3, S1, S2, S3, S4}
(izometrii wlasnych kwadratu) podzbiory:
H = {id, O2, S1, S3}, K = {id, S1}
tworza podgrupy. Wyznaczymy wszystkie warstwy prawostronne oraz lewostronne
grupy D4 wzgledem podgrup H i K.
warstwy lewostronne grupy D4 wzgledem podgrupy H:
idH = {id ć% id, id ć% O2, id ć% S1, id ć% S3} = {id, O2, S1, S3} = H
O1H = {O1 ć% id, O1 ć% O2, O1 ć% S1, O1 ć% S3} = {O1, O3, S2, S4} = G \ H
warstwy prawostronne grupy D4 wzgledem podgrupy H:
Hid = {id ć% id, O2 ć% id, S1 ć% id, S3 ć% id} = {id, O2, S1, S3} = H
HO1 = {id ć% O1, O2 ć% O1, S1 ć% O1, S3 ć% O1} = {O1, O3, S4, S2} = G \ H
47
warstwy lewostronne grupy D4 wzgledem podgrupy K:
idK = {id ć% id, id ć% S1} = {id, S1} = K
O1K = {O1 ć% id, O1 ć% S1} = {O1, S2}
O2K = {O2 ć% id, O2 ć% S1} = {O2, S3}
O3K = {O3 ć% id, O3 ć% S1} = {O3, S4}
warstwy prawostronne grupy D4 wzgledem podgrupy K:
Kid = {id ć% id, S1 ć% id} = {id, S1} = K
KO1 = {id ć% O1, S1 ć% O1} = {O1, S4} = O1K

KO2 = {id ć% O2, S1 ć% O2} = {O2, S3} = O2K
KO3 = {id ć% O3, S1 ć% O3} = {O3, S2} = O3K.

Definicja 40. Niech H bedzie podgrupa grupy G. Mówimy, że H jest podgrupa
normalna lub dzielnikiem normalnym i piszemy H G, jeżeli:
"g"GgH = Hg.
Zgodnie z Przykladem 39, w grupie diedralnej D4 podgrupa H = {id, O2, S1, S3}
jest podgrupa normalna, natomiast podgrupa K = {id, S1} nie jest podgrupa
normalna.
Twierdzenie 41. Niech H bedzie podgrupa grupy G. Wtedy nastepujace warunki
sa równoważne:
1. H jest podgrupa normalna grupy G.
2. dla dowolnych elementów g " G, h " H zachodzi g-1hg " H.
Dowód. ,,1.Ò!2. Zalóżmy, że H jest podgrupa normalna grupy G. Wez
my do-
wolne elementy g " G, h " H. Zgodnie z Definicja 40 podgrupy normalnej
zachodzi równość warstw: lewostronnej i prawostronnej:
gH = Hg,
48
istnieje zatem element k " H taki, że:
gk = hg
H k = g-1 = g-1hg.
,,2.Ò!1. Zalóżmy teraz, że dla dowolnych elementów g " G, h " H istnieje
element k " H taki, że:
g-1hg = k
hg = gk " gH.
Z dowolności wyboru elementu H otrzymujemy inkluzje:
Hg Ä…" gH.
Dla dowodu inkluzji w druga strone: gH ą" Hg zauważmy, że z podpunktu 2
wynika, że:
(g-1)-1hg-1 " H,
czyli dla dowolnych elementów g " G, h " H istnieje element t " H taki, że:
ghg-1 = t
gh = tg " Hg.
Z dowolności wyboru elementu H otrzymujemy inkluzje:
gH Ä…" Hg.
Przyklad 42.
1. Podgrupa {e} oraz sama grupa G sa podgrupami normalnymi grupy G.
2. W grupie abelowej każda podgrupa jest dzielnikiem normalnym.
3. W grupie G każda podgrupa H indeksu (G: H) = 2 jest dzielnikiem
normalnym. Rzeczywiście, ponieważ niezależnie od tego, jakie warstwy (le-
wostronne czy prawostronne) rozważamy, jedna z nich jest H, druga musi
być G \ H. Warstwy lewostronne grupy G wzgledem podgrupy H sa wiec
równe warstwom prawostronnym grupy G wzgledem podgrupy H i H G.
49
Wyklad 4, 20-12-2008 (4 godziny)
Twierdzenie 43. Niech H bedzie podgrupa normalna grupy G. Zbiór G/H wszyst-
kich warstw grupy G podgrupy H wraz z dwuargumentowym dzialaniem zdefi-
niowanym jak nastepuje:
(aH) · (bH) = (ab)H, gdzie a, b " G
tworzy grupe. Nazywamy ja grupa ilorazowa grupy G wzgledem podgrupy H.
Dowód. Na poczatek pokażemy, że poprawnie zdefiniowaliśmy dzialanie. To zna-
czy, że jeżeli a1H = a2H oraz b1H = b2H, to (a1b1)H = (a1b2)H. Niech
a1, a2, b1, b2 " G beda takie, że:
a1H = a2H oraz b1H = b2H.
Zgodnie z Twierdzeniem 36.4,
a1-1a2 " H oraz b1-1b2 " H.
Z Twierdzenia 41 wynika, że:
(a1b1)-1(a2b2) = b1-1a1-1a2b2 = (b1-1b2)[b2-1(a1-1a2)b2] " H
i ponownie z Twierdzenia 36.4, (a1b1)H = (a2b2)H.
Sprawdzimy teraz wszystkie aksjomaty Definicji 6 grupy.
" laczność mnożenia warstw jest bezpośrednia konsekwencja laczności
mnożenia w grupie:
[(aH) · (bH)] · (cH) = (ab)cH = a(bc)H = (aH) · [(bH) · (cH)].
" elementem neutralnym w G/H jest eH = H:
(aH) · (eH) = (ae)H = aH = (ea)H = (eH) · (aH).
" elementem odwrotnym do elementu aH jest element (aH)-1 = a-1H:
(aH) · (a-1H) = (aa-1)H = eH = (a-1a)H = (a-1H) · (aH).
Twierdzenie 44. (o izomorfizmie grup) Niech f : G H bedzie homomorfizmem
grupy (G, ·) w grupe (H, ). Wówczas:
1. jadro homomorfizmu f jest podgrupa normalna grupy G:
50
ker f G.
2. istnieje monomorfizm g : G/ ker f H grupy G/ ker f w grupe H.
W szczególności grupa ilorazowa G/ ker f jest izomorficzna z obrazem ho-
momorfizmu f:
<"
G/ ker f imf.
=
Dowód. Ad.1. Zgodnie ze Stwierdzeniem 30.4, jadro homomorfizmu f jest pod-
grupa grupy G: ker f d" G. Wystarczy teraz zauważyć, że dla dowolnych ele-
mentów a " G, b " ker f zachodzi:
f(a-1 · b · a) = f(a-1) f(b) f(a) = f(a)-1 eH f(a) =
= f(a)-1 f(a) = eH.
Stad a-1 · b · a " ker f i na mocy Twierdzenia 41, ker f G.
Ad.2. Definiujemy odwzorowanie g : G/ ker f H przyjmujac:
g(a ker f) = f(a)
dla dowolnego elementu a " G. Na poczatek pokażemy, że poprawnie zdefinio-
waliśmy odwzorowanie g, to znaczy jeżeli a ker f = b ker f, to f(a) = f(b). Niech
a, b " G beda takie, że:
a ker f = b ker f.
Zgodnie z Twierdzeniem 36.4,
a-1 · b " ker f, czyli:
f(a-1 · b) = eH i dalej:
f(a)-1 f(b) = eH
f(a) = f(b), tak jak chcieliśmy.
Sprawdz
my, że g jest homomorfizmem grupy ilorazowej G/ ker f w grupe H.
W tym celu wez
my dowolne elementy a, b " G i policzmy:
g((a ker f) · (b ker f)) = g((a · b) ker f) = f(a · b) = f(a) f(b) =
= g(a ker f) g(b ker f)
51
Wreszcie, sprawdz
my różnowartościowość homomorfizmu g. Zgodnie ze Stwier-
dzeniem 31 wystarczy, jeżeli w tym celu wykażemy, że jadro homomorfizmu g jest
trywialne:
ker g = {a ker f " G/ ker f |g(a ker f) = eH}
f(a) = eH
a " ker f
a ker f = eG ker f
ker g = {eG ker f} - podgrupa trywialna
g : G/ ker f H jest monomorfizmem grup.
Ze Stwierdzenia 30.5 wynika teraz izomorfizm grup:
<"
G/ ker f img = imf,
=
przy czym ostatnia równość wynika z definicji odwzorowania g: g(a ker f) = f(a),
dla każdego a " G.
Przyklad 45. Dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej m e" 2 oraz dowolnej liczby
calkowitej a przez am oznaczmy reszte z dzielenia liczby a przez m. Oczywiście
am " Zm = {0, 1, . . . , m - 1}, mamy wiec dobrze zdefiniowane odwzorowanie:
f : Z a am " Zm
zbioru Z liczb calkowitych na zbiór Zm klas reszt modulo m. Pokażemy, że f jest
homomorfizmem addytywnej grupy liczb calkowitych (Z, +) na addytywna grupe
(Zm, •"m) klas reszt modulo m. W tym celu wez
my dwie dowolne liczby calkowite
a, b i podzielmy je z reszta przez m:
a = qm + am
b = pm + bm, gdzie p, q " Z.
a + b = (q + p)m + (am + bm)
am + bm = rm + (am •"m bm)
a + b = (q + p + r)m + (am •"m bm).
52
Reszta (a + b)m = f(a + b) z dzielenia liczby a + b " Z przez m jest równa
am •"m bm = f(a) •"m f(b), tak jak chcieliÅ›my.
Odwzorowanie f : Z Zm zadane wzorem f(a) = am, dla każdego a " Z, jest
wiec w istocie epimorfizmem grupy (Z, +) na grupe (Zm, •"m). Z Twierdzenia 44
o izomorfizmie grup zachodzi izomorfizm grup:
<"
Z/ ker f imf = Zm.
=
Policzmy jeszcze jadro homomorfizmu f:
ker f = {a " Z |f(a) = 0}
am = 0
m | a
ker f = {nm | n " Z} = m ,
zgodnie z oznaczeniami przyjetymi na poczatku Wykladu 3.
<"
Z/ m Zm.
=
Twierdzenie 46. Każda podgrupa grupy cyklicznej jest grupa cykliczna.
Dowód. Z Twierdzenia 34.1 wiemy, że wszystkie nieskończone grupy cykliczne sa
izomorficzne z addytywna grupa liczb calkowitych (Z, +), a z Przykladu 32 wiemy,
że każda podgrupa grupy (Z, +) jest cykliczna. Jak zauważyliśmy po Definicji 26,
wszelkie algebraiczne wlasności danej grupy (u nas grupy (Z, +)) sa identyczne
z odpowiednimi wlasnościami każdej grupy z nia izomorficznej. Dla nas oznacza
to, że każda podgrupa nieskończonej grupy cyklicznej jest grupa cykliczna.
Przejdz
my teraz do skończonych grup cyklicznych. Ponownie z Twierdzenia 34.2
wiemy, że wszystkie grupy cykliczne rzedu m sa izomorficzne z addytywna grupa
(Zm, •"m) klas reszt modulo m. Wystarczy zatem udowodnić nasz wniosek dla
grupy (Zm, •"m).
Aby udowodnić, że każda podgrupa grupy (Zm, •"m) jest grupa cykliczna,
rozważmy zdefiniowany w Przykladzie 45 epimorfizm:
f : Z Zm
53
grupy (Z, +) na grupe (Zm, •"m). Wez
my teraz dowolna podgrupe H grupy
(Zm, •"m). Zgodnie ze Stwierdzeniem 30.4, przeciwobraz podgrupy H jest pod-
grupa grupy (Z, +):
f-1(H) d" Z
i zgodnie z Przykladem 32, f-1(H) jest cykliczna podgrupa grupy (Z, +):
f-1(H) = k
dla pewnego k " f-1(H) ą" Z. Na koniec pokażemy, że:
H = f(k) .
Ponieważ f(k) " H, jasnym jest wiec inkluzja f(k) ą" H. W druga strone,
wez
my dowolny element a " H. Wtedy istnieje r " Z taki, że:
a = f(kr) = f(k)r " f(k) .
Z dowolności wyboru elementu a " H otrzymujemy inkluzje H ą" f(k) .
54
Praca domowa 1, 20-12-2008
Zadanie 1.
1. Uzupelnić tabelke grupy diedralnej D6 przyjmujac oznaczenia zgodne z po-
niższym rysunkiem:
E
D
F
S6
C
S1 A S5
S 2 S4
B
S3
ć% id O1 O2 O3 O4 O5 S1 S2 S3 S4 S5 S6
id id O1 O2 O3 O4 O5 S1 S2 S3 S4 S5 S6
O1 O1 O2 O3 O4 O5 id S4 S5 S6 S1
O2 O2 O3 O4 O5 id O1 S5 S6 S1 S2
O3 O3 O4 O5 id O1 O2 S4 S5 S6 S1 S2 S3
O4 O4 O5 id O1 O2 O3 S5 S6 S1 S2 S3 S4
O5 O5 id O1 O2 O3 O4 S6 S1 S2 S3 S4 S5
S1 S1 S4 S3 S2 id O5 O4 O3 O2 O1
S2 S2 S5 S4 S3 O1 id O5 O4 O3 O2
S3 S3 S2 S1 S6 S5 S4 O2 O1 id O5 O4 O3
S4 S4 S3 S2 S1 S6 S5 O3 O2 O1 id O5 O4
S5 S5 S4 S3 S2 S1 S6 O4 O3 O2 O1 id O5
S6 S6 S5 S4 S3 S2 S1 O5 O4 O3 O2 O1 id
2. Wyznaczyć rzad każdego elementu grupy D6.
55
3. Powolujac sie na odpowiednie twierdzenia uzasadnić, że w grupie D6 nie
istnieje podgrupa rzedu 8.
4. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy D6 (lacznie jest ich szesnaście).
5. Wskazać monomorfizm grupy D6 w grupe symetryczna S6. W grupie S6
wskazać podgrupe izomorficzna z grupa D6.
6. Powolujac sie na odpowiednie wlasności grup: D6 oraz addytywnej grupy
Z12 klas reszt modulo 12 uzasadnić, że grupa D6 nie jest izomorficzna
z grupa Z12.
7. W grupie D6 wyznaczyć wszystkie warstwy lewostronne oraz prawostronne
wzgledem podgrupy H = {id, O2, O4}. Wyciagna ć stad wniosek, że H jest
podgrupa normalna grupy D6.
8. Dla grupy ilorazowej D6/H wyznaczyć tabelke dzialania. Czy D6/H jest
grupa abelowa? Odpowiedz
uzasadnić.
9. Wyznaczyć rzedy wszystkich elementów grupy D6/H.
56
Zadanie 2. Niech Q8 = {e, -e, i, -i, j, -j, k, -k}, gdzie:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0 0 0 0 -1 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 0 0 0 0 0 -1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
e = i =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 1 0 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 1 0 1 0 0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0 -1 0 0 0 0 0 -1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 0 0 0 0 0 1 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚.
j = k =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 1 0 -1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 -1 0 1 0 0 0
Zbiór Q8 wraz z naturalna operacja mnożenia macierzy tworzy grupe. Nazywamy
ja grupa kwaternionów.
1. Uzupelnić tabelke grupy kwaternionów Q8.
· e -e i -i j -j k -k
e e -e i -i j -j k -k
-e -e e -i i -j j -k k
i i -i -e e -j j
-i -i i e -e j -j
j j -j -e e i -i
-j -j j e -e -i i
k k -k j -j -i i -e e
-k -k k -j j i -i e -e
2. Wyznaczyć rzad każdego elementu grupy Q8.
3. Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy Q8 (lacznie jest ich sześć).
4. W oparciu o Twierdzenie Cayley a wskazać monomorfizm grupy Q8 w grupe
symetryczna S8. W grupie S8 wskazać podgrupe izomorficzna z grupa Q8.
57