makowski,podstawy przetwarzania sygnałów,Transformacje częstotliwościowe

background image

Transformacje częstotliwościowe

Transformacja Fouriera

Z rozkładu funkcji okresowej na nieskończony szereg Fouriera otrzymujemy:

X =

− ∞

x te

j t

dt

gdzie

=

2 f

tr. odwrotna

x t =

1

2 

−∞

X  e

j t

d

Przypadek dyskretny:

X k =

n=0

N −1

x ne

j 2 n k

N

gdzie

0≤k N −1

(dyskretne częstotliwości)

z zależności Eulera

e

j

=

cos− j sin 

otrzymujemy równanie równoważne:

X k =

n=0

N −1

x n

[

cos 2 n

k

N

−

j sin 2 n

k

N

]

Oba powyższe wzory stanowią definicję DFT

tr. odwrotna:

x n=

1

N

k =0

N −1

X k e

j 2 n k

N

gdzie

0≤nN −1

Funkcja X k =Ak

j  k

nazywana jest dyskretnym widmem lub dyskretną transformatą

Fouriera ( DFT ) sygnału x n gdzie:

X k ∣= Ak  widmo amplitudowe (moduł)

arg X k =k  widmo fazowe (argument)

- 1 -

background image

Własności tr. Fouriera

1) Okresowa

X k N = X k =

k=0

N− 1

x ne

j 2 

N

kN n

2) odwracalna

N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);

plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');

3) liniowa

dla x n=a y nb z n mamy

X k =a Y k b Z k

4) przesunięcie w czasie

dla

x n= y nn

0

mamy

X k =

n=0

N −1

y ne

j 2 nn

0

k

N

5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja częstotliwości)

dla

X k =Y k k

0

=

1

N

k=0

N −1

Y k k

0

e

j 2 n

kk

0

N

mamy

x n=e

j 2 n

k

0

N

y n

6) splot (w dziedzinie czasu)

dla x n= y n∗zn mamy

X k =Y k Z k

(operacja splotu pokazać wzór; dalsze wyjaśnienia przy okazji filtrów)

7) splot w częstotliwości

dla x n= y nz n mamy

X k =Y k ∗Z k

- 2 -

background image

Interpretacja geometryczna DFT

X k =

n=0

N −1

x ne

j 2 n k

N

wiemy, że F

s

=

2  oraz f =

2  k

N

stąd

f =

2  k

N

=

F

s

k

N

Kombinacja liniowa elementów bazy

w=

n



nv n

Zatem

=

x n=[ x 0 , x 1 , ... , x N −1] oraz

v n=e

j 2 n k

N

to w k =? ??

Pytania:

1) Czy wektory

v n=e

j 2 n k

N

tworzą bazę przestrzeni

N

?

2) Jaką bazę (ortonormalną czy ortogonalną) ?

N=512; n=(0:N-1);
v0=cos(2*pi*0/N*n);

v1=cos(2*pi*1/N*n);
v2=cos(2*pi*2/N*n);

v3=cos(2*pi*3/N*n);
plot(n,v0,';k=0;',n,v1,';k=1;',n,v2,';k=2;',n,v3,';k=3;');

v0*v0', v1*v1', v1*v2'

N=4;n=(0:N-1);k=(0:N-1)';

E = e^(-j*2*pi*k*n/N);
E*E'

- 3 -

background image

Przykłady

Impuls Kroneckera

x n= n

X k =

n=0

N −1

 

ne

j 2 n k

N

=

1 e

j 0

=

1

N=256; x = zeros(N,1); x(1) = 1;

X=fft(x);f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');

axis([0,1,-1,2]);

Funkcja grzebieniowa

T

n =

k=−∞

 

nkT

X k =

n=0

N −1

T

ne

j 2 n k

N

=

n=0

N −1

e

j 2 n k

N

=

{

N , k =0

0,

k ≠0

N=256; x = ones(N,1); x(1) = 1;

X = fft(x); f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');

axis([0,1,-1,2]);

(w obu przypadkach X(k) jest rzeczywiste !!!, ale to wyjątek)

Dla sygnałów rzeczywistych x R

N

(wszystkie próbki sygnału rzeczywiste) widmo

X k =Ak

j k

posiada dodatkowo własności:

=========================================================

Ak = A−k  - widmo amplitudowe jest parzyste



k =−  − k  - widmo fazowe nieparzyste

=========================================================

N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.01*randn(1,N); plot(x);

X=fft(x);
f=((0:N-1)./N)*Fs;plot(f,abs(X));plot(f,10*log10(abs(X)));

plot(f,unwrap(arg(X)));

Y=[X,X];

fy=((-N:N-1)./N)*Fs;
plot(fy,abs(Y));

plot(fy,unwrap(arg(Y)));

f=((-N/2:N/2-1)/N)*Fs;plot(f,10*log10(abs(fftshift(X))));

- 4 -

background image

Przekształcenie Hilberta

x

H

n=h n∗x n

gdzie

h n=

1

n

FT {hn}=

n=0

N −1

1

n

e

j 2 n k / N

=

n=0

N −1

1

n

e

j 2 n f

=

H f =

{

j , f 0

0, f =0

j , f 0

sygnał analityczny

x

a

n= x n jx

H

n

(wyjaśnić o sygnale kwadraturowym) IQ

FT {x

a

n}=?

N=200;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*1*n);plot(x);

y=hilbert(x);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';real(y);',n,imag(y),';imag(y);');

N=512; Fs=1000; n=(0:N-1)./Fs;
x=2*sin(2*pi*113*n)+sin(2*pi*218*n)+0.5*randn(1,N);

y=hilbert(x);
X=fftshift(fft(x));Y=fftshift(fft(y));

f=((-N/2+1:N/2)./N)*Fs;
plot(f,abs(X),';X;',f,abs(Y),';Y;');

x

a

n= Ane

j n

gdzie

An to amplituda chwilowa sygnału



n to faza chwilowa sygnału

Ponadto definiuje się częstotliwość (pulsację) chwilową sygnału (w przypadku ciągłym)



t=

d

dt



t=' t

1. przypadek sygnału szerokopasmowego

trudno zinterpretować amplitudę chwilową i fazę chwilową

2. przypadek sygnału wąskopasmowego

x

a

n=[ Ane

j n

e

j

0

n

]

e

j

0

n

=

ne

j

0

n

gdzie



n=Ane

j n−

0

n

nazywamy obwiednią zespoloną sygnału (ang. complex envelope)

problem wyboru

0

- 5 -


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
makowski,podstawy przetwarzania sygnałów,Sygnały i przestrzenie w CPS
makowski,podstawy przetwarzania sygnałów, przestrzenie wektorów, baza
makowski,podstawy przetwarzania sygnałów,przestrzenie sygnałów
makowski,podstawy przetwarzania sygnałów,Konwersja AC CA
biernacki, podstawy przetwarzania sygnałów L, Próbkowanie i Kwantowanie
cps tablica transformat, Edukacja, studia, Semestr IV, Podstawy i Algorytmy Przetwarzania Sygnałów
tariov,podstawy transmicji?nych,Przetwarzanie sygnałów mowy
Cw8LPCPS, Edukacja, studia, Semestr IV, Podstawy i Algorytmy Przetwarzania Sygnałów, Ćwiczenia, Cwic
Piapsy zagadnienia, Edukacja, studia, Semestr IV, Podstawy i Algorytmy Przetwarzania Sygnałów
tariov,podstawy transmicji?nych,Przetwarzanie sygnałów mowy
1f Cyfrowe przetwarzanie sygnal Nieznany
6 Podstawy przetwarzania zdjęć satelitarnych2012
Przetwarzanie sygnałów sprawko

więcej podobnych podstron