Przestrzenie sygnałów

Dziedzina czasu, dziedzina częstotliwości

W dziedzinie ciągłej 

W dziedzinie dyskretnej

x  n=... X  f  ,

X  , =2  f /F

s

Przestrzenie

–

Przestrzeń to jedno z pojęć pierwotnych w matematyce (takie jak punk, prosta płaszczyzna)

–

Przestrzeń  R

2

, R

3,

R

N

(przestrzeń euklidesowa)

–

l

2

- ciągów sumowalnych z kwadratem

∑

k =−∞

∞

∣

f  k ∣

2

∞

- 1 -

Ilustracja 1: Sygnał x(n)

Ilustracja 2: Widmo amplitudowe |X(f)|

–

L

2

−∞

, ∞

- funkcji całkowalnych z kwadratem 

∫

−∞

∞

∣

f t ∣

2

dt∞

–

L

2



0,T 

- funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale (0,T) 

∫

0

T

∣

f n∣

2

dn∞

–

Nazwa przestrzenie wskazuje na to czym są elementy zbioru oraz jakie operacje matematyczne 
są zdefiniowane. Np. przestrzenie wektorowe definiują:

–

iloczyn skalarny,

A=a

0,

a

1,

a

2,

... , a

N −1



, B=b

0,

b

1,

b

2,

... , b

N −1



wymagane własności:

1)

A ° B= B° A

2)



A B°C= A°CB °C

3)



x∗A° B= A° x∗B= x∗ A° B

4)

A ° A0 dla A≠0
A ° A=0 dla A=0

–

definicja iloczynu

A° B=

∑

n=0

N −1

a

n

b

n

=

∑

n=0

N −1

b

n

a

n

=

B ° A

A° B= A B

T

–

norma wektora (przestrzeń unormowana)

∥

A

∥

=



A° A=



A A

T

=



∑

n=0

N −1

∣

a

n

∣

2

–

metryka indukowana z normy

∥

A−B

∥

=





A−B A−B

T

=



∑

∣

a

n

−

b

n

∣

2

–

inne normy

∥

A

∥

=

∑

n=0

N −1

∣

a

n

∣

jaka metryka ? 

∥

A−B

∥

=

? ??

∥

A

∥

=

max

0 nN

∣

a

n

∣

jaka metryka ? 

∥

A−B

∥

=

? ??

–

inne metryki – taksówkowa

W CPS - przestrzeń Hilberta

zupełna, liniowa, unitarna/unormowana

Liniowa – tzn.:

–

dodawanie wektorów

–

mnożenie przez skalar

–

iloczyn skalarny

–

norma

Zupełna – wynik operacji liniowej należy do tej samej przestrzeni liniowej
Unitarna – norma wektorów bazowych =1 

- 2 -