Przestrzenie sygnałów
Dziedzina czasu, dziedzina częstotliwości
W dziedzinie ciągłej
W dziedzinie dyskretnej
x n=... X f ,
X , =2 f /F
s
Przestrzenie
–
Przestrzeń to jedno z pojęć pierwotnych w matematyce (takie jak punk, prosta płaszczyzna)
–
Przestrzeń R
2
, R
3,
R
N
(przestrzeń euklidesowa)
–
l
2
- ciągów sumowalnych z kwadratem
∑
k =−∞
∞
∣
f k ∣
2
∞
- 1 -
Ilustracja 1: Sygnał x(n)
Ilustracja 2: Widmo amplitudowe |X(f)|
–
L
2
−∞
, ∞
- funkcji całkowalnych z kwadratem
∫
−∞
∞
∣
f t ∣
2
dt∞
–
L
2
0,T
- funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale (0,T)
∫
0
T
∣
f n∣
2
dn∞
–
Nazwa przestrzenie wskazuje na to czym są elementy zbioru oraz jakie operacje matematyczne
są zdefiniowane. Np. przestrzenie wektorowe definiują:
–
iloczyn skalarny,
A=a
0,
a
1,
a
2,
... , a
N −1
, B=b
0,
b
1,
b
2,
... , b
N −1
wymagane własności:
1)
A ° B= B° A
2)
A B°C= A°CB °C
3)
x∗A° B= A° x∗B= x∗ A° B
4)
A ° A0 dla A≠0
A ° A=0 dla A=0
–
definicja iloczynu
A° B=
∑
n=0
N −1
a
n
b
n
=
∑
n=0
N −1
b
n
a
n
=
B ° A
A° B= A B
T
–
norma wektora (przestrzeń unormowana)
∥
A
∥
=
A° A=
A A
T
=
∑
n=0
N −1
∣
a
n
∣
2
–
metryka indukowana z normy
∥
A−B
∥
=
A−B A−B
T
=
∑
∣
a
n
−
b
n
∣
2
–
inne normy
∥
A
∥
=
∑
n=0
N −1
∣
a
n
∣
jaka metryka ?
∥
A−B
∥
=
? ??
∥
A
∥
=
max
0 nN
∣
a
n
∣
jaka metryka ?
∥
A−B
∥
=
? ??
–
inne metryki – taksówkowa
W CPS - przestrzeń Hilberta
zupełna, liniowa, unitarna/unormowana
Liniowa – tzn.:
–
dodawanie wektorów
–
mnożenie przez skalar
–
iloczyn skalarny
–
norma
Zupełna – wynik operacji liniowej należy do tej samej przestrzeni liniowej
Unitarna – norma wektorów bazowych =1
- 2 -