R1.PM5

Spis treci

Wstêp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Cz³on (ogniwo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. £añcuch kinematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Ruchliwoæ ³añcucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Wzory srtukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. Ruchliwoæ lokalna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Ruchliwoæ zupe³na i niezupe³na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8. Wiêzy bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Klasyfikacja mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Kinematyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Metody graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Podzia³ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Po³o¿enia i trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Po³o¿enia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2. Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Prêdkoci i przyspieszenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1. rodki obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3. Metoda toru ocechowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.4. Metoda planów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.5. Metoda wykresów kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Metoda zapisu wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Metoda klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. Metoda macierzowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. Metoda przyrostów skoñczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1. Mechanizmy dwigniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1. P³aski czworobok przgubowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2. Sprzêg³o Cardana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3. Manipulatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1. Mechanizmy krzywkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2. Mechanizmy zêbate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Analiza dok³adnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1. Okrelanie b³êdu i tolerancji wynikowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Okrelanie wspó³czynników wp³ywu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Si³y i ich przegl¹d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1. Si³y bezw³adnoci i ich redukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1.1. Metoda mas zastêpczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Kinetostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1. Grupy statycznie wyznaczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1.1. Analiza si³ w grupach ststycznie wyznaczalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2. Równowaga cz³onu czynnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych metod¹ energetyczn¹ . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Tarcie w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1. Tarcie w parach postêpowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2. Tarcie w parach obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3. Tarcie w parach wy¿szych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Bilans energetyczny maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.1. Równanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2. Sprawnoæ mechaniczna maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3. Okrelanie sprawnoci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Badanie ruchu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.1. Redukcja si³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2. Redukcja mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.3. Modele maszyn i równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.4. Nierównomiernoæ biegu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.5. Ko³a zamachowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.5.1. Przybli¿ona metoda okrelania momentu bezw³adnoci ko³a zamachowego . . . . .

13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Wywa¿anie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.1. Okrelanie rodka ciê¿koci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.2. Wywa¿anie mechanizmów dwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3. Wywa¿anie mas obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego z podatnym popychaczem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatura

Wstêp

Wiêkszoæ urz¹dzeñ technicznych, stosowanych we wszelkich procesach produk-

cyjnych, jak równie¿ wykorzystywanych do obs³ugi podstawowych sfer ¿ycia wspó³-

czesnego cz³owieka, stanowi¹ najogólniej tzw. systemy mechaniczne. Wszystkie te

systemy, z³o¿one z cia³ materialnych (sta³ych, p³ynnych,...), mo¿na podzieliæ na dwie

ró¿ne grupy.

Do pierwszej z nich zaliczamy systemy mechaniczne charakteryzuj¹ce siê tym, ¿e

ich funkcja nie wi¹¿e siê ze wzajemnym ruchem elementów sk³adowych, czyli inaczej

systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ nieruchowo. Przyk³adami

takich urz¹dzeñ s¹ wszelkie konstrukcje sztywne, jak np. obudowy, ramy, zbiorniki

itp.

Drug¹ grupê tworz¹ systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹

ruchowo i w procesie wype³niania swojej funkcji wystêpuje wzajemne ich przemiesz-

czanie. Do nich nale¿¹ przede wszystkim maszyny, oraz ró¿ne aparaty i narzêdzia,

których budowê i dzia³anie okrelaj¹ uk³ady kinematyczne (mechanizmy). Z t¹ grup¹

urz¹dzeñ, stanowi¹cych przedmiot rozwa¿añ, jest zwi¹zany szeroki kr¹g zagadnieñ

dotycz¹cych ich analizy i syntezy. Wiêkszoæ problemów, niezale¿nie od specyfiki

i przeznaczenia urz¹dzeñ, jest wspólna. Nale¿¹ do nich miêdzy innymi: zagadnienia

torów zakrelanych przez pewne punkty zwi¹zane z elementami ruchomymi, zaga-

dnienia wzajemnych po³o¿eñ elementów w kolejnych fazach ruchu, prêdkoci i przy-

spieszeñ k¹towych poszczególnych cz³onów.

Wspólne w zasadzie dla wszystkich urz¹dzeñ tego typu jest zagadnienie si³ prze-

noszonych przez elementy ruchome i ich po³¹czenia, ruch okrelonych uk³adów pod

dzia³aniem si³, zjawisko tarcia i jego efekty, moc potrzebna do utrzymania urz¹dzenia

w ruchu itd. Ogólne problemy i metody ich rozwi¹zywania, interesuj¹ce zarówno

konstruktorów, technologów, jak i eksploatatorów systemów mechanicznych, s¹

przedmiotem nauki teoria maszyn i mechanizmów, który dzieli siê na trzy dzia³y:

struktura, kinematyka, dynamika.

W pierwszym dziale, powiêconym strukturze, omawia siê ogólne w³aciwoci

ruchowe uk³adów mechanicznych wi¹¿¹ce siê z pewnymi cechami ich budowy, a wiêc

liczb¹ i rodzajem elementów sk³adowych oraz sposobem ich po³¹czeñ.

Dzia³ kinematyki jest powiêcony metodom badania wzajemnych ruchów cz³o-

nów i punktów zwi¹zanych z cz³onami uk³adów mechanicznych. Nale¿y podkreliæ,

¿e punktem wyjcia w kinematyce jest tylko ruch elementów napêdzaj¹cych i geome-

tria uk³adu, bez uwzglêdniania wp³ywu mas tych elementów i dzia³aj¹cych na nie si³.

Jeden z cz³onów uk³adu, wzglêdem którego badamy ruchy pozosta³ych cz³onów,

bêdziemy nazywaæ podstaw¹ lub ostoj¹. Jest to zwykle cz³on nieruchomy i nietrudno

go odró¿niæ. Podstaw¹ jest obudowa (1) pompy z rys. 1, rama (1) ³adowarki z rys. 2, a

tak¿e korpus m³ota i prasy przedstawiony na rys. 4 i 5. Wród pozosta³ych (poza

podstaw¹) ruchomych cz³onów uk³adu bêdziemy wyró¿niaæ cz³ony czynne, do których

jest przy³o¿ony napêd uk³adu, cz³ony bierne, czyli napêdzane, oraz grupê cz³onów

porednicz¹cych w przekazywaniu ruchu i si³. Uwzglêdniaj¹c charakter ruchu, bê-

dziemy cz³onom ruchomym przypisywaæ bli¿sze okrelenia. I tak, korb¹ bêdziemy

nazywaæ cz³ony wykonuj¹ce pe³ny ruch obrotowy, wahaczem cz³on o nawrotnym

ruchu obrotowym w granicach k¹ta niepe³nego, suwakiem cz³on o ruchu postêpo-

wym itp.

W naszych rozwa¿aniach nie bêdziemy siê interesowaæ tymi cechami cz³onów,

które nie maj¹ wp³ywu na ruch i jego przenoszenie. Traktuj¹c cz³ony jako cia³a sztywne,

zaakcentujemy tylko te ich wymiary, które okrelaj¹ wzajemne po³o¿enie miejsc przy-

stosowanych do wejcia w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Wed³ug liczby

tych miejsc, zwanych dalej pó³parami lub pó³wêz³ami, mo¿na dzieliæ wszystkie cz³o-

ny na 2-, 3- i n-wêz³owe. Cecha ta jest widoczna wyranie przy schematycznym

sposobie rysowania uk³adów i cz³onów (rys. 2b, 3c), z którego bêdziemy powszechnie

korzystaæ.

Wêz³owoæ cz³onów bêdziemy oznaczaæ symbolami N

, N

, ..., N

, natomiast licz-

by takich cz³onów w uk³adzie odpowiednio przez n

, n

, ..., n

. Istotê podzia³u cz³o-

nów p³askich wed³ug wêz³owoci wyjaniono na rys. 6, na którym wyró¿niono dodat-

kowo cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach p³askich i przestrzennych. Czêsto jest u¿yteczne

przypisywanie okrelonym typom cz³onów charakterystycznych dla nich liczb b wszys-

tkich krawêdzi, czyli odcinków, jakimi mo¿na po³¹czyæ poszczególne pó³wêz³y miê-

dzy sob¹ oraz liczb b

tych odcinków schodz¹cych siê w jednym pó³wêle.

Rys. 5. Mechanizm napêdu prasy hydraulicznej: 3 ciecz spe³niaj¹ca rolê cz³onu

Rys. 8. Stopnie swobody i ich oznaczenia

niami swobody. Najbardziej obrazowo i do-

godnie z punktu widzenia technicznego

mo¿na je przedstawiæ jako trzy niezale¿ne

od siebie ruchy postêpowe T

, T

(trans-

lacje) wzd³u¿ trzech prostopad³ych osi uk³a-

du x, y, z oraz trzy ruchy obrotowe R

, R

(rotacje) wokó³ tych osi (rys. 8). W ka¿-

dej parze tworz¹ce j¹ cz³ony nak³adaj¹ na

siebie pewne ograniczenia ruchu lub inaczej

wiêzy. Ka¿dy cz³on pary rozporz¹dza wzglê-

dem drugiego odpowiednio mniejsz¹ liczb¹

stopni swobody. Kieruj¹c siê tak¹ liczb¹

posiadanych stopni swobody [1], [7], [13]

dzieli siê wszystkie pary na 5 klas, oznaczanych dalej cyframi rzymskimi I, II, III, IV

i V*

)

W tej konwencji na przyk³ad parê przedstawion¹ na rys. 7a, w której cz³on (2)

mo¿e wykonywaæ wzglêdem cz³onu (1) trzy ruchy obrotowe, zaliczymy do kl. III,

parê wy¿sz¹ z rys. 7c za do klasy V. Przyk³ady par wszystkich klas zestawiono w

tabeli 1.

Ka¿da z klas obejmuje ca³y zbiór par ró¿ni¹cych siê jednak miêdzy sob¹ nie tylko

cechami konstrukcyjnymi, ale nawet kinematycznymi. Ró¿nice te mo¿na przeledziæ

na przyk³adzie, zestawionych na rys. 9 i 10, par II klasy.

W parach a i b z rysunku 9, cz³on (2) dysponuje wzglêdem cz³onu (1) mo¿liwo-

ci¹ obrotu i przesuniêcia, lecz osie tych ruchów s¹ do siebie b¹d równoleg³e (rys.

Rys. 9. Przyk³ady par II klasy: a) o ruchu obrotowego równoleg³a do kierunku ruchu postêpowego, b)

o ruchu obrotowego prostopad³a do kierunku ruchu postêpowego

)

Mo¿na siê spotkaæ równie¿ z innym podzia³em na klasy [2], [9], [12], w którym o klasie decyduje

liczba odebranych stopni swobody.

9a), b¹d prostopad³e (rys. 9b). W parach przedstawionych na rys. 10a i 10b cz³on (2)

mo¿e wykonywaæ 2 obroty, przy czym w przypadku a) osie tych obrotów przecinaj¹

siê pod k¹tem prostym, w przypadku b) za s¹ do siebie równie¿ prostopad³e, lecz

wzajemnie zwichrowane. Nie zawsze te¿ stopnie swobody odnosz¹ siê do prostych

ruchów postêpowych lub obrotowych. W pewnych rozwi¹zaniach jeden prosty ruch

wzglêdny dwóch rozpatrywanych cz³onów wywo³uje cile okrelony jeden lub kilka

innych ruchów prostych. Znanym przyk³adem takiego zjawiska jest para rubowa przed-

stawiona na rys. 11a. Ruchowi obrotowemu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) towzrzy-

szy cile okrelony ruch postêpowy. Te ruchy T

i R

, dla odró¿nienia od odpowie-

dnich ruchów niezale¿nych, bêdziemy sygnalizowaæ przez zapis ich symboli w jed-

nym nawiasie okr¹g³ym (T

). Kolejny przyk³ad tego typu funkcyjnych powi¹zañ

ruchów dwóch cz³onów pary przedstawiono na rys. 11b. Ruch postêpowy T

cz³onu

(2) wzglêdem cz³onu (1) wywo³uje jednoczenie przesuniêcie wzd³u¿ osi y, a wiêc T

Rys. 10. Przyk³ady par kinematycznych II klasy: a) przecinaj¹ce siê osie obrotów,

b) zwichrowane osie obrotów

Rys. 11. Przyk³ady par kinematycznych I klasy o funkcyjnym powi¹zaniu ruchów elementarnych:

a) T

= f(R

), b) T

= f(T

)

Tabela 2

Zgodnie z wprowadzon¹ umow¹, tej parze przypiszemy symbol (T

). W obydwu

przypadkach (rys. 11) ruch cz³onu (2) wzglêdem (1) jest cile okrelony przez jeden

ruch prosty, mo¿na wiêc mówiæ o jednym stopniu swobody i parze I klasy.

Ju¿ z tych kilku przyk³adów widaæ, ¿e poszczególne klasy par obejmuj¹ liczne

zbiory par ró¿ni¹cych siê liczbami mo¿liwych ruchów postêpowych i obrotowych,

wzajemnym usytuowaniem osi tych ruchów oraz ró¿nymi powi¹zaniami funkcyjnymi

miêdzy tymi ruchami. W tej sytuacji celowy jest dalszy podzia³ par nale¿¹cych do

jednej klasy na rzêdy i odmiany, wed³ug wymienionych cech kinematycznych. Istotê

tego podzia³u ilustruje tabela 2, w której wszystkie mo¿liwe odmiany par I kl. zesta-

wiono w rzêdy 16 wed³ug liczby ruchów funkcyjnych ze sob¹ zwi¹zanych.

Pary p³askie

W zdecydowanej wiêkszoci uk³adów kinematycznych ruchy wzglêdne cz³onów

odbywaj¹ siê w p³aszczyznach wzajemnie równoleg³ych. Mówimy wtedy o uk³adach

p³askich.

W takich uk³adach wystêpuj¹ niektóre tylko sporód omawianych par, zwane krót-

ko parami p³askimi. Ruch cz³onu mo¿na opisaæ dwoma ruchami postêpowymi wzd³u¿

osi do siebie prostopad³ych (np. x i y), ruchem obrotowym wokó³ osi prostopad³ej do

poprzednich (np. z) lub ich kombinacj¹. W tej sytuacji pary p³askie mog¹ zapewniaæ

wzajemny ruch tworz¹cych je cz³onów w zakresie jednego lub dwóch stopni swobody,

co oznacza, ¿e mog¹ wystêpowaæ tylko jako pary I i II klasy, i to tylko wybranych

odmian. Przyk³ady najprostszych i najczêciej spotykanych par kinematycznych ze-

stawiono w tabeli 3.

1.3. £añcuch kinematyczny

£añcuchem kinematycznym nazywamy szereg cz³onów po³¹czonych ze sob¹ ru-

chowo. Kilka przyk³adów ³añcuchów przedstawiono na rys. 12.

Wed³ug przyjêtego kryterium podzia³u wyró¿niamy trzy grupy ³añcuchów:

Do ³añcuchów otwartych zaliczymy te, które zawieraj¹ cz³ony tworz¹ce pary tyl-

ko z jednym cz³onem. Na rys. 12a przedstawiono ³añcuch otwarty, na rysunku 12 b, c,

d natomiast ³añcuchy zamkniête.

Zwróæmy uwagê na pewne zjawiska kinematyczne. Niech bêdzie dany p³aski ³añ-

cuch kinematyczny z³o¿ony z czterech cz³onów, po³¹czonych jak na rys. 13a. Nie trze-

ba wykazywaæ, ¿e w uk³adzie tym ka¿demu po³o¿eniu cz³onu (2) w p³aszczynie zwi¹-

zanej z cz³onem (1) odpowiadaj¹ okrelone po³o¿enia pozosta³ych cz³onów (3) i (4).

Oznacza to, ¿e zadanemu ruchowi cz³onu (2) wzglêdem dowolnego innego cz³onu

odpowiadaj¹ okrelone ruchy pozosta³ych cz³onów wzglêdem siebie. £añcuch o ta-

kich w³aciwociach nazywamy jednobie¿nym.

W uk³adzie piêciocz³onowym, przedstawionym na rys. 13b, ruch wzglêdny cz³onu

(2) wzglêdem cz³onu (1) nie warunkuje jednoznacznych ruchów wzglêdnych pozosta-

³ych cz³onów. Jest to przyk³ad ³añcucha niejednobie¿nego. Oczywicie i w tym ³añ-

cuchu mo¿na otrzymaæ ruchy cile okrelone, je¿eli jednoczenie bêdziemy napê-

dzaæ jakikolwiek inny cz³on, np. obracaj¹c korb¹ (2) przesuwaæ wzd³u¿ prowadnicy su-

wak (5).

Ju¿ z tych przyk³adów widaæ, ¿e jednobie¿noæ wi¹¿e siê z jednej strony z liczb¹

cz³onów czynnych (napêdzaj¹cych), z drugiej za z pewnymi cechami budowy uk³adu

lub jak powiedzmy inaczej ze struktur¹ uk³adu.

1.3.1. Ruchliwoæ ³añcucha

Ruchliwoæ ³añcucha lub stopieñ ruchliwoci w sensie fizycznym okrela, przy

istnieniu pewnych zastrze¿eñ, liczbê stopni swobody, jakimi dysponuj¹ cz³ony uk³adu

wzglêdem jednego z nich. Ruchliwoæ mo¿na inaczej okreliæ liczb¹ ograniczeñ ru-

chów prostych (wiêzów), które na³o¿one na ruchome cz³ony uk³adu powoduj¹, ¿e

uk³ad staje siê sztywny. W p³askim ³añcuchu przegubowym ABCD (rys. 14a) cz³ony

dysponuj¹ wzglêdem siebie jednym stopniem swobody (W = 1), o czym mo¿na siê

przekonaæ choæby po zbudowaniu jego fizycznego modelu. Je¿eli jednak w tym mo-

delu wyeliminujemy jedn¹ mo¿liwoæ ruchu wzglêdnego cz³onów, np. w parze C (rys.

14b), bêdziemy mieli do czynienia z uk³adem sztywnym (W = 0). Takiemu uk³adowi

przypiszemy wiêc ruchliwoæ W = 1. W ten sam sposób mo¿na siê przekonaæ, ¿e

Rys. 13. Przyk³adowe ³añcuchy kinematyczne: a) jednobie¿ny, b) niejednobie¿ny

wia zamianê wzglêdnego ruchu postêpowego w si³owniku hydraulicznym AB na

ruch obrotowy ko³a (5).

2. Istnieje wiele urz¹dzeñ o budowie opartej na ³añcuchu kinematycznym, które

nie spe³niaj¹c wszystkich w/w kryteriów nie zas³uguj¹ na miano mechanizmu. S¹

wiêc urz¹dzenia, które s³u¿¹ do przekazywania si³, jednak bez udzia³u ruchu, a wiêc

jako ³añcuchy sztywne, przynajmniej w pewnych fazach pracy. S¹ ³añcuchy kinema-

tyczne niejednobie¿ne, wystêpuj¹ wreszcie ³añcuchy kinematyczne bez wyranie ak-

centowanej podstawy itp. Wszystkie takie urz¹dzenia, wraz z ca³¹ grup¹ zdefiniowa-

nych mechanizmów, bêdziemy obejmowaæ szerokim pojêciem uk³adów mechanicz-

nych lub uk³adów kinematycznych.

Przyk³adem uk³adu mechanicznego mo¿e byæ urz¹dzenie zaczepowe (rys. 17a)

umo¿liwiaj¹ce przeniesienie si³y uci¹gu ci¹gnika na ramê maszyny. Uk³ad ten wyko-

nuje swoje zadanie w zasadzie bez udzia³u ruchu wzglêdnego tworz¹cych go cz³o-

nów. Ruch wzglêdny cz³onów, potrzebny w fazie jego ustawiania, wystêpuje w tym

przypadku przed jego obci¹¿eniem.

Na rysunku 17b przedstawiono schematycznie uk³ad pewnego zawiesia do przeno-

szenia ³adunków paletowych. Uk³ad ten, dziêki odpowiednio dobranym przeciwciê¿a-

rom, wisi swobodnie i umo¿liwia przeniesienie elementów, zachowuj¹c potrzebne po-

ziome ich po³o¿enie. Istotny jest tu wiêc nie ruch wzglêdny czy wzajemne po³o¿enie

cz³onów, lecz po³o¿enie jednego cz³onu (2) wzglêdem ziemi.

3. W jêzyku potocznym pojêcie maszyny odnosi siê do wielu ró¿norakich urz¹-

dzeñ i podk³ada siê pod nie ró¿ne znaczenia. Tu maszyn¹ bêdziemy nazywaæ urz¹dze-

nie, w którym z udzia³em ruchu mechaniczengo zachodzi proces energetyczny pole-

gaj¹cy na wykonywaniu pracy u¿ytecznej lub przekszta³ceniu energii. Stosownie do

tego, maszyny dzielimy na:

1. Maszyny robocze, w których w³aciwy efekt uzyskuje siê przez zamianê do-

starczonej energii w pracê (tokarka, prasa, koparka).

Rys. 16. Przyk³ady mechanizmów: a) jarzmowy, b) krzywkowy, c) zêbaty z cz³onem czynnym

w postaci si³ownika hydraulicznego

zêbaty (z³o¿ony z cz³onów 0, 4, 5),

cierny (0, 2, 1, 3),

maltañski (0, 7, 6),

krzywkowy (0, 9, 10, 13),

dwigniowe korbowo-wodzikowe: (0, 8, 11, 12) i (0, 13, 14, 15).

Podobnie, w ka¿dym silniku spalinowym mo¿na wyró¿niæ: uk³ad korbowo-t³oko-

wy, mechanizm krzywkowy rozrz¹du, mechanizmy przek³adni itd.

Na inny aspekt pojêcia maszyny zwrócimy uwagê w rozdz. 12.

1.5. Wzory strukturalne

Wszystkie cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych podzielono, ze wzglê-

du na liczbê pó³par, na typy N

(rys. 6). Je¿eli przez n

oznaczyæ liczbê cz³onów N

przez n za ogóln¹ liczbê cz³onów w uk³adzie, to oczywicie

n = n

+ n

+...+ n

(1)

Na ka¿d¹ parê sk³adaj¹ siê dwie pó³pary. Je¿eli przez p oznaczyæ ogóln¹ liczbê par

w uk³adzie, przez m natomiast liczbê pó³par, to

m = 2 p,

(2)

albo inaczej

m = 2n

+ 3n

+ 4n

+...+ n

(3)

Po uwzglêdnieniu wzorów (2) i (3) otrzymamy

2p = 2n

+ 3n

+ 4n

+...+ n

(4)

Zarówno ze wzglêdu na analizê, jak i syntezê uk³adów kinematycznych istotny jest

zwi¹zek, jaki zachodzi miêdzy budow¹ uk³adu a jego ruchliwoci¹. W celu wyprowa-

dzenia tego zwi¹zku rozwa¿my dowolny ³añcuch kinematyczny (rys. 19) zbudowany

z n cz³onów. Jeden z cz³onów uk³adu spe³nia rolê podstawy, a zatem liczba rucho-

mych (wzglêdem podstawy) cz³onów wynosi n 1.

Rys. 19. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzorów strukturalnych: a) n cz³onów przygotowa-

nych do po³¹czenia w ³añcuch, b) ³añcuch z³o¿ony z n cz³onów

Wszystkie cz³ony ruchome przed wejciem w pary kinematyczne (rys. 19a) dyspo-

nowa³y ³¹cznie

x = 6 (n 1)

stopniami swobody. Wskutek po³¹czenia tycz cz³onów ze sob¹ i z podstaw¹ (rys. 19b)

liczba ich stopni swobody zosta³a pomniejszona. Je¿eli w rozpatrywanym ³añcuchu

przez p

oznaczyæ liczbê par i-tej klasy, przy czym w ka¿dej parze jeden cz³on odbiera

drugiemu (6 i) stopni swobody, to ³¹cznie wszystkie ruchome cz³ony trac¹

y =

(

)

−

∑

i p

stopni swobody.

W tej sytuacji ruchliwoæ W, rozumiana jako liczb¹ pozosta³ych stopni swobody

ruchomych cz³onów uk³adu, wyrazi siê wzorem

W = x y,

czyli

W = 6 (n 1)

(

)

−

∑

i p

(5)

Odpowiednio dla ³añcuchów p³askich

W = 3 (n 1)

(

)

−

∑

i p

(6)

Po rozpisaniu wzorów (5) i (6) otrzymamy dla ³añcuchów przestrzennych

W = 6 (n 1) 5p

...,

(7)

dla ³añcuchów p³askich

W = 3 (n 1) 2p

(8)

Na przyk³ad dla mechanizmu krzywkowego z rys. 20 otrzymamy

W = 3 (5 1) 2 · 5 1· 1 = 1.

Oznacza to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym (krzywka 2) uk³ad jest jednobie¿ny.

Tym razem wynik by³ oczywisty równie¿ intuicyjnie. Trudniej by³oby ju¿ jednak do-

konaæ tego w przypadku nawet tak prostego uk³adu przestrzennego, jak przedstawio-

ny na rys. 21. Stosuj¹c rodki formalne ustalimy: n = 4, p

= 2, p

= 1, p

= 1

i po podstawieniu do wzoru (7) otrzymamy

W = 6 (4 1) 5· 2 4 · 1 3· 1 2 · 0 1· 1 = 0.

Wynik W = 0 oznacza tu, ¿e uk³ad jest sztywny. Mimo ruchliwych po³¹czeñ nie

wystêpuj¹ w tym uk³adzie ruchy wzglêdne cz³onów.

1.7. Ruchliwoæ zupe³na i niezupe³na

Rozpatruj¹c ruchliwoæ uk³adów nale¿y pamiêtaæ, ¿e uzyskanego za pomoc¹ wzo-

rów strukturalnych wyniku nie mo¿na interpretowaæ jednoznacznie. W pewnych przy-

padkach wynik okrela liczbê stopni swobody wszystkich cz³onów wzglêdem podsta-

wy. Takie zjawisko wystêpuje w prostych uk³adach charakteryzuj¹cych siê ruchliwoci¹

W = 1, np. w uk³adzie przedstawionym na rys. 14a. Ka¿dy z cz³onów (2, 3 i 4) ma

wzglêdem podstawy jeden stopieñ swobody. Innym razem ruchliwoæ W okrela licz-

bê stopni swobody cz³onu najbardziej ruchliwego. Z takim przypadkiem spotykamy

siê w uk³adzie przedstawionym na rys. 24. Ruchliwoæ W = 3 odpowiada tu trzem

stopniom swobody (f = 3) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Z pozosta³ych cz³onów,

(3) i (5) maj¹ po dwa (f = 2), (2) i (6) za po jednym stopniu swobody (f = 1)

wzglêdem podstawy.

Kolejny przypadek zilustrowano na rys. 25. Obliczona wed³ug wzoru (8) ruchlio-

woæ daje W = 0. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e na ten wynik z³o¿y³y siê: ruchliwoæ

= 1 (lewej strony) i W

= 1 (prawej strony uk³adu). W tym przypadku wynik

W = 0 nie odpowiada sytuacji ruchowej ¿adnego cz³onu.

Jest jeszcze inny aspekt pojêcia ruchliwoæ [7]. Na rysunku 26 przedstawiono dwa

uk³ady zbudowanej z tej samej liczby takich samych cz³onów i par. Oczywicie, rów-

nie¿ ruchliwoæ obydwu uk³adów, obliczona za pomoc¹ wzoru (8), jest identyczna i

wynosi W = 1. Jak nietrudno zauwa¿yæ, w uk³adzie z rys. 26a cz³ony 1, 4, 5, 6 i 7

tworz¹ sztywn¹ figurê, ruchliwoæ W = 1 za dotyczy tylko cz³onów (2) i (3), nato-

miast w uk³adzie z rys. 26b mo¿liwoci¹ ruchu dysponuj¹ jednoczenie wszystkie

cz³ony wzglêdem podstawy.

Przytoczone przyk³ady sugeruj¹ potrzebê wprowadzenia nowych okreleñ umo¿li-

wiaj¹cych bli¿szy opis omawianych tu cech uk³adów ruchomych. Gdy ruchliwoæ

W = 1, tzn. wszystkie cz³ony uk³adu wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie, wówczas mówi-

my o tzw. ruchliwoci zupe³nej, gdy za dodatkowo wszysktie ruchome cz³ony dys-

ponuj¹ wzglêdem podstawy tak¹ sam¹ liczb¹ stopni swobody f, mówimy o ruchli-

Rys. 24. Schemat uk³adu kinematycznego

z podanymi stopniami

swobody poszczególnych cz³onów

Rys. 25. Przyk³ad uk³adu kinematycznego o

ruchliwoci niezupe³nej

woci jednorodnej. Stosownie do tego, ruchliwoæ uk³adu z rys. 24 okrelilibymy

jako zupe³n¹, lecz niejednorodn¹, ruchliwoæ uk³adu z rys. 25 jako niezupe³n¹, uk³a-

dowi z rys. 26b za przypisywalibymy ruchliwoæ zupe³n¹ i jednorodn¹.

1.8. Wiêzy bierne

W uk³adzie przedstawionym na rysunku 27a zachodz¹ nastêpuj¹ce zwi¹zki: AB =

CD = EF oraz AC = BD i CE = DF. Przy takim wykonaniu uk³adu mo¿e byæ

wykorzystany do jednoznacznego przekazywania ruchu obrotowego (w okrelonych

granicach) z cz³onu AB na EF. Sugerowa³oby to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym

nale¿y siê spodziewaæ ruchliwoæi uk³adu W = 1. Tak¹ ruchliwoæ mo¿na stwierdziæ

w praktyce, np. na wykonanym modelu. Jednoczenie, po zastosowaniu wzoru (8)

otrzymamy

W = 3 (5 1) 2· 6 = 0.

Wynik obliczeñ wskazuje na to, ¿e mamy do czynienia z uk³adem sztywnym. Tak

te¿ jest w istocie w przypadku ogólnym (rys. 27b). Fizyczn¹ ruchliwoæ W = 1 mo¿-

na przypisaæ omawianemu uk³adowi tylko wtedy, gdy bêd¹ spe³nione podane równo-

ci. Wtedy bowiem pewne wiêzy, jako powtórzenia ju¿ istniej¹cych, nie daj¹ o sobie

znaæ. Takie dodatkowe i zbêdne kinematycznie ograniczenia bêdziemy nazywaæ wiê-

zami biernymi. Liczbê wiêzów biernych R

w ³añcuchu mo¿na okreliæ, je¿eli s¹

znane ruchliwoæ rzeczywista W

(realizowana) oraz ruchliwoæ teoretyczna W (obli-

czona ze wzoru (6):

= W

(10)

W przyk³adowym uk³adzie (rys. 27a) W

= 1, W = 0, czyli R

= 1. Do uk³adów

kinematycznych z liczb¹ wiêzów biernych R

¹ 0 stosuje siê, nie bez racji, okrelenie

nieracjonalne. Okrelenie to wydaje siê trafne, zw³aszcza je¿eli uzmys³owiæ sobie, jak

Rys. 26. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych o W = 1: a) ruchliwoæ niezupe³na,

b) ruchliwoæ zupe³na i jednorodna

2. Klasyfikacja mechanizmów

Bogactwo i ró¿norodnoæ mechanizmów spotykanych w budowie maszyn stwarza

potrzebê okrelonego ich uporz¹dkowania i systematycznego uszeregowania lub wrêcz

pewnego podzia³u wed³ug okrelonych zasad i kryteriów. W³aciwie opracowana kla-

syfikacja mog³aby z jednej strony u³atwiæ i inspirowaæ dobór mechanizmów do okre-

lonych zastosowañ, z drugiej za umo¿liwiæ opracowanie w miarê ogólnych metod

analizy kinematycznej i dynamicznej oraz ogólnych podstaw i metod syntezy nowych

mechanizmów. Niestety, nie istnieje dotychczas taka w pe³ni zadowalaj¹ca klasyfika-

cja, która by³aby jednoczenie naukowo uzasadniona,metodologicznie racjonalna

i u¿yteczna w praktyce in¿ynierskiej. Licznie podejmowane od wielu lat prace w tym

zakresie posz³y w zasadzie w dwu odmiennych kierunkach, a ich wynikiem s¹ ró¿ne

wersje tzw. klasyfikacji funkcjonalnych i kolejne propozycje klasyfikacji strukturalnej.

1. Klasyfikacja funkcjonalna otwiera historyczny ju¿ (rok 1875) podzia³ mecha-

nizmów zasugerowany przez Reuleaux. Istotê tego podzia³u, przewijaj¹c¹ siê zreszt¹

przez kolejne propozycje, mo¿na przedstawiæ na przyk³adzie jednej z ostatnich klasy-

fikacji [2] (rys. 30). Klasyfikacja ta, jak zreszt¹ inne tego typu, nie spe³nia podstawo-

wych kryteriów ka¿dej klasyfikacji naukowej, a mianowicie:

a) kryterium podzia³u wed³ug jednej zasady,

b) kryterium wy³¹cznoci,

c) kryterium zupe³noci.

Nie rozwijaj¹c bli¿ej tych kryteriów, zwrócimy tylko uwagê, ¿e pozostaj¹c przy tej

klasyfikacji, mielibymy sporo k³opotu z zakwalifikowaniem ogromnej liczby mecha-

nizmów bardziej z³o¿onej. Taki podzia³ mechanizmów nie sugeruje równie¿ odpowe-

idniego podzia³u metod ich analizy.

2. Klasyfikacja strukturalna. Niedoskona³ym próbom klasyfikacji funkcjonalnych

mo¿na przciwstawiæ klasyfikacjê, sugeruj¹c¹ mo¿liwoæ podzia³u wszystkich mecha-

nizmów wed³ug cech strukturalnych. Klasyfikacja ta zosta³a zapocz¹tkowana przez

Assura (rok 1914), i by³a kolejno uzupe³niana. Podstawowe jej zasady przeledzimy

pobie¿nie na przyk³adzie opracowania Artobolewskiego. Wszystkie mechanizmy dzieli

siê na rodziny (rys. 31), przy czym kryterium takiego podzia³u jest liczba ogólnych

wiêzów na³o¿onych na cz³ony mechanizmu. Istotê tego podzia³u wyjaniaj¹ przyk³a-

dy mechanizmów reprezentuj¹cych poszczególne rodziny (rys. 32). Do rodziny 0.

nale¿¹ wiêc wszystkie mechanizmy przestrzenne, na które nie na³o¿ono ¿adnych ogra-

niczeñ (rys. 32a). Rodzinê 1. tworz¹ mechanizmy, których cz³ony nie mog¹ korzystaæ

z jednego (tego samego) stopnia swobody. Na przyk³ad w mechanizmie z rys. 32b

Kolejne liczby k = 4, p

= 6, spe³niaj¹ce warunek (13), odnosz¹ siê do grupy III

klasy (rys. 35a). Rzeczywiste postacie tej grupy (rys. 35b) otrzymamy rozpatruj¹c

wszystkie mo¿liwe kombinacje par obrotowych i postêpowych. Omówione najprost-

sze grupy II i III klasy (rys. 34 i 35) mo¿na wyró¿niæ i wydzieliæ z ogromnej wiêkszo-

ci spotykanych w praktyce mechanizmów dwigniowych.

Na rysunku 36a przedstawiono schemat opartego na czworoboku mechanizmu kru-

szarki do ska³. Po wydzieleniu cz³onu czynnego (2), stanowi¹cego tzw. mechanizm

I klasy, pozosta³y dwucz³on (34) jest typow¹ grup¹ II klasy pierwszej postaci (rys.

34b). Z tego powodu mechanizm ten zaliczymy do II klasy.

Mechanizm no¿yc do ciêcia blachy, przedstawiony na rysunku 37a, jest mechaniz-

mem III klasy. Decyduje o tym grupa III klasy (cz³ony (4), (3), (5), (6)) (rys. 37c),

jaka pozostaje po wydzieleniu cz³onu czynnego (2) (rys. 37b).

Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e taka mo¿liwoæ dokonania podzia³u ka¿dego mecha-

nizmu dwigniowego na cz³on lub cz³ony czynne (napêdzaj¹ce) oraz grupy Assura

okrelonych klas ma istotne znaczenie. Stwarza szansê uogólnienia metod analizy i

syntezy strukturalnej, kinematycznej i dynamicznej. Jednoczenie jednak trzeba uprze-

dziæ Czytelnika, ¿e problem ten nie jest do koñca rozwi¹zany. Zaproponowana klasy-

fikacja strukturalna dotyczy tylko mechanizmów dwigniowych, a jej zasady budz¹

wci¹¿ wiele w¹tpliwoci merytorycznych.

3. Mechanizmy w pewnych przypadkach mo¿na równie¿ podzieliæ na dwie grupy:

a) z parami ni¿szymi,

b) z parami wy¿szymi.

Do grupy pierwszej (a) nale¿¹ popularne mechanizmy dwigniowe, typowymi za

przedstawicielami drugiej grupy (b) s¹ mechanizmy krzywkowe i zêbate. Do takiego

podzia³u odwo³amy siê przy omawianiu metod analizy kinematycznej.

Rys. 37. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat no¿yc do blachy,

b) cz³on czynny, c) grupa czterocz³onowa

3. Metody graficzne

Metody graficzne, dzi ju¿ klasyczne, umo¿liwiaj¹ w pewnych przypadkach okre-

lenie parametrów ruchu mechanizmów w sposób prosty i bardzo pogl¹dowy. Maj¹

niezaprzeczalny aspekt dydaktyczny, ³atwiej te¿ z ich pomoc¹ wyjaniæ pewne pojê-

cia kinematyczne. Znajomoæ metod graficznych u³atwia zwykle dokonanie zapisu

analitycznego. Stanowi¹ one cenne uzupe³nienie pozosta³ych metod przez to równie¿,

¿e umo¿liwiaj¹ sprawdzenie poprawnoci wyników uzyskanych na innej drodze. Pod-

stawow¹ wad¹ metod graficznych jest to, ¿e uzyskane wyniki dotycz¹ zwykle jednego

po³o¿enia mechanizmu i charakteryzuj¹ siê okrelon¹ dok³adnoci¹.

3.1. Podzia³ki

Stosuj¹c graficzne metody analizy kinematycznej przedstawiamy wystêpuj¹ce wiel-

koci, np. przemieszczenie, czas, prêdkoæ, przyspieszenie, w postaci odcinka linii

prostej. Aby to przedstawienie by³o jednoznaczne, wprowadza siê pojêcie podzia³ki.

Podzia³k¹ bêdziemy nazywaæ stosunek wartoci wielkoci rzeczywistej do warto-

ci wielkoci rysunkowej

Podzia³ka = wielkoæ wartoci rzeczywistej

wielkoæ wartoci rysunkowej

Okrelenie to zapiszemy w postaci

x
x

( )

(14)

Podzia³kom nale¿y przypisaæ wymiar zale¿ny zarówno od wymiaru wielkoci rze-

czywistej, jak i wymiaru wielkoci rysunkowej. Zazwyczaj wymiarami czasu t, prze-

mieszczenia l, prêdkoci v,..., bêd¹ odpowiednio sekunda, metr, metr na sekundê, ...

Wielkoæ rysunkowa jest przedstawiana najczêsciej w milimetrach. Przy takich za³o-

¿eniach bêdzie

t
t







( )

l
l







( )

v
v

⋅







( )

s mm

Podzia³ki mo¿na przyjmowaæ dowolnie, nale¿y tylko pamiêtaæ o tym, ¿e wartoæ

podzia³ki ma istotny wp³yw na dok³adnoæ uzyskanego wyniku. Oczywicie im mniejsza

wartoæ podzia³ki k, tym wiêksza dok³adnoæ odczytu.

3.2. Po³o¿enia i trajektorie

Okrelanie po³o¿eñ cz³onów w poszczególnych fazach ruchu mechanizmu oraz

trajektorii (torów), jakie zakrelaj¹ pewne charakterystyczne punkty zwi¹zane z cz³o-

nami ruchomymi, nale¿y do najprostszych zadañ analizy kinematycznej. Czynnoci

takie, niezbêdne np. w fazie projektowania uk³adów ruchliwych, przy korzystaniu z

metod graficznych s¹ zwykle elementarne.

3.2.1. Po³o¿enia

Jak zaznaczono w podrozdziale 2.2, ka¿dy mechanizm mo¿na roz³o¿yæ na grupy

cz³onów, z których ka¿da po przy³¹czeniu wolnymi pó³parami do podstawy tworzy

uk³ad sztywny. Taki podzia³ mechanizmu umo¿liwia badanie jego paramterów po-

przez analizê poszczególnych grup. Jest to pewne udogodnienie, gdy¿ pozwala zarów-

no na uogólnienie metod badania, jak równie¿ ograniczenie rodzajów omawianych

mechanizmów. Jednymi z prostszych (wed³ug klasyfikacji strukturalnej) s¹ mechaniz-

my II klasy, najelementarniejszymi za grupami s¹ grupy II klasy, tzn. grupy sk³adaj¹-

ce siê z dwóch cz³onów typu N

oraz trzech par I klasy postaci obrotowej lub postê-

powej.

Rozwa¿my na pocz¹tek przypadek dwucz³onu ABC (rys. 38a). Za³ó¿my, ¿e po

pewnym czasie Dt punkty A i C przyjm¹ po³o¿enia A

i C

(rys. 38b). Wtedy punkt

B -- przejdzie w po³o¿enie B

, które znajdziemy na przeciêciu ³uków k'

i k"

zakrelonych z A

i C

promieniami równymi d³ugoci AB i CB.

Rys. 38. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z parami obrotowymi

n n









 =

−

⋅

1 2

(

) .

(15)

W liczbie tej mog¹ wyst¹piæ tzw. rodki obrotu sta³e, trwa³e i chwilowe. Pojêcia

te wyjanimy na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 50). W uk³adzie tym

cz³ony (1), (2), (3) wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie oraz wzglêdem podstawy (4).

Liczba i mo¿liwych rodków obrotu wynosi tu

i =









 =

⋅

3 4

1 2

Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany:

Wród nich rodki obrotu S

i S

nale¿¹ do sta³ych, S

i S

za do trwa³ych

rodków obrotu. Chwilowymi rodkami obrotu s¹ S

oraz S

W uk³adach kinematycznych po³o¿enie sta³ych i trwa³ych rodków obrotu jest za-

dane przez po³o¿enie odpowiednich par kinematycznych. Chwilowe rodki obrotu mo¿-

na wyznaczyæ korzystaj¹c z tego, ¿e le¿¹ na liniach prostopad³ych do prêdkoci wzglêd-

nych punktów jednego wzglêdem drugiego rozpatrywanego cz³onu, lub z twierdzenia

o trzech rodkach obrotu. Mówi ono, ¿e

przy 3 cz³onach k, l, m, bêd¹cych wzglêdem siebie w ruchu p³askim, rodki

obrotu S

, S

le¿¹ na jednej prostej.

Przydatnoæ tego twierdzenia mo¿na przeledziæ na przyk³adzie rozpatrywanego

czworoboku z rys. 50. Na jednej linii prostej le¿¹ tu odpowiednie rodki obrotu S

i S

cz³onów (1), (2), (3), a tak¿e nastêpne kombinacje. Zauwa¿my przy tym, ¿e

istnieje pewna regularnoæ dotycz¹ca samych indeksów. Przejawia siê ona w tym, ¿e

Rys. 50. rodki obrotu cz³onów czworoboku przegubowego

indeks dowolnego rodka obrotu mo¿na zestawiæ z nie powtarzaj¹cych siê znaków

pozosta³ych rodków. Fakt, ¿e w ka¿dym rodku obrotu przecina siê ze sob¹ kilka

linii (co najmniej 2) mo¿na wykorzystaæ do ich znalezienia. W rodku S

przecinaj¹

siê linie b (S

, S

) oraz d (S

, S

), co mo¿na odnotowaæ skrótowo

Podobnie, w poszukiwanym rodku S

, przecinaj¹ siê proste a i c, czyli

W przypadku okrelania chwilowych rodków obrotu w mechanizmach wielocz³o-

nowych, pewne k³opoty mo¿e sprawiaæ ustalenie w³aciwej kolejnoci okrelania rod-

ków. Mo¿na wtedy skorzystaæ z metody opartej na przedstawieniu mechanizmu

w postaci grafu struktury [14]. Metodê tê wyjanimy na przyk³adzie. W mechanizmie

szeciocz³onowym (rys. 51a) nale¿y okreliæ po³o¿enia wszystkich rodków obrotu.

Ze wzoru (15) wynika, ¿e jest ich 15. Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany, obwo-

dz¹c kó³kiem te, które s¹ wyznaczone przez pary I klasy

Rys. 51. Ilustracja metody wyznaczania rodków obrotu cz³onów uk³adu w mechanizmach z³o¿onych

Po³o¿enie pozosta³ych nie oznaczonych (chwilowych) rodków obrotu nale¿y okre-

liæ. W tym celu narysujmy pomocniczo graf struktury tego mechanizmu (rys. 51b), na

którym punkty zaczernione oznaczaj¹ cz³ony, ³¹cz¹ce za je linie pary kinematyczne,

rozumiane równie¿ jako rodki obrotu. Jak siê wykazuje [14], mo¿na bez trudu zna-

leæ te rodki obrotu, których symbol graficzny (odcinek) dzieli ju¿ istniej¹cy czwo-

robok, wyznaczony przez znane rodki obrotu, na dwa trójk¹ty. W naszym przypadku

znane ju¿ rodki obrotu wyznaczaj¹ dwa czworoboki 1 2 3 4 1 i 1 4 5 6 1 (rys. 51b).

Ka¿dy z nich mo¿na podzieliæ na dwa trójk¹ty, ³¹cz¹c w nich punkty 13, 24, 15

i 46. Okrelmy dla przyk³adu S

Sposób najprostszy podpowiadaj¹ dwa trójk¹ty 1 2 4 oraz 2 3 4, czyli

Inaczej rodek chwilowy S

znajdziemy na przeciêciu linii a, przechodz¹cej

prze rodki S

i S

, oraz linii b, przechodz¹cej przez S

i S

. Podobnie mo¿na

wyznaczyæ pozosta³e chwilowe rodki obrotu.

Nale¿y tu przypomnieæ, ¿e znajomoæ po³o¿eñ chwilowych rodków obrotu u³a-

twia okre¿lanie kierunków prêdkoci, prze³o¿eñ itd.

3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej

Cz³ony mechanizmów p³askich realizuj¹ ruchy: postêpowe, obrotowe i p³askie z³o-

¿one. Przypomnijmy podstawowe zwi¹zki i zale¿noci dotycz¹ce prêdkoci i przy-

spieszeñ liniowych i k¹towych dla tych wymienionych ruchów.

Ruch postêpowy

Cz³on jest w ruchu postêpowym wtedy, gdy dowolny odcinek BC, zwi¹zany

z tym cz³onem, zachowuje we wszystkich fazach ruchu po³o¿enie równoleg³e. Ruch

taki realizuje suwak po prowadnicy prosto-

liniowej, ale te¿ np. ³¹cznik 3 równoleg³o-

boku przegubowego (rys. 52).

Tory wszystkich punktów zwi¹zanych z

cz³onem bêd¹cym w ruchu postêpowym s¹

jednakowe (rys. 53a), prêdkoci v

za i

przyspieszenia a

w tym samym po³o¿e-

niu identyczne (rys. 53b i c). Kierunki prêd-

koci s¹ styczne do torów, kierunki przy-

spieszeñ zale¿¹ natomiast od kszta³tu toru i

parametrów ruchu. Jest wiêc

Rys. 52. Przyk³ad mechanizmu z cz³onem (3)

w ruchu postêpowym

= v

, w = 0,

(16)

= a

, e = 0.

(17)

Wektory v

prêdkoci liniowej punktów cz³onu s¹ styczne do torów tych punktów,

czyli prostopad³e do promieni obrotu. Wektory te s¹ widziane ze rodka obrotu O

pod tym samym k¹tem

= a

Na przyspieszenie a

punktów I w ruchu obrotowym sk³adaj¹ siê:

przyspieszenie normalne

⋅

lub

(

)

ω ω

oraz przyspieszenie styczne

= ⋅

lub

= ×

Jak wynika z zapisu wektorowego, sk³adowa a

ma kierunek promienia obrotu i

zwrot do rodka obrotu O, sk³adowa a

natomiast kierunek prostopad³y do promie-

nia obrotu i zwrot zgodny z przyspieszeniem k¹towym e (rys. 54b).

Ca³kowite przyspieszenie a

wyra¿a siê sum¹ wektorow¹

(19)

lub algebraicznie

(

)

(

)

(19a)

Przy sta³ej prêdkoci k¹towej cz³onu (w = const, e = 0) przyspieszenie ca³kowite

jest równe przyspieszeniu normalnemu.

Ruch z³o¿ony p³aski

1. Je¿eli dowolny odcinek BC (rys. 55) zwi¹zany na sztywno z cz³onem zajmuje

w kolejnych fazach ruchu w stosunku do siebie po³o¿enie nierównoleg³e, to mówimy

o ruchu p³askim z³o¿onym.

Rys. 55. Cz³on BC w ruchu p³askim z³o¿onym

Rys. 56. Interpretacja ruchu z³o¿onego

cz³onu BC za pomoc¹ chwilowego rodka obrotu

Rys. 57. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu BC jako

suma ruchu postêpowego i obrotowego

Rys. 58. Cz³on BC w ruchu z³o¿onym p³askim

i jego chwilowy rodek przyspieszeñ

Ruch ten mo¿na interpretowaæ jako ruch obrotowy wokó³ chwilowego rodka obrotu

S le¿¹cego na przeciêciu prostopad³ych do prêdkoci liniowych punktów zwi¹zanych

z cz³onem (rys. 56). Wynika z tego, ¿e prêdkoci dowolnych punktów cz³onu bêd¹ce-

go w tym ruchu widaæ z bieguna S pod tym samym k¹tem a, natomiast

ω =

v
SB

v
SI

(20)

jest prêdkoci¹ k¹tow¹ tego cz³onu. Spostrze¿enie to mo¿na zastosowaæ do wyznacze-

nia prêdkoci dowolnego punktu I cz³onu przy danych prêdkociach dwóch innych

punktów lub prêdkoci jednego punktu i danym po³o¿eniu chwilowego rodka obrotu S.

Ruch z³o¿ony cz³onu interpretuje siê równie¿ jako wynik ruchu postêpowego

i obrotowego jednoczenie (rys. 57). W interpretacji tej relacjê miêdzy prêdkociami

dwóch punktów, np. B i C zapiszemy w postaci

lub

(21)

Wektor

= −

reprezentuje tu prêdkoæ wzglêdn¹ punktu C wzglêdem

B. Prêdkoæ wzglêdna v

ma kierunek prostopad³y do promienia BC i pozostaje

z prêdkoci¹ k¹tow¹ tego cz³onu w relacji

= w

Przez analogiê do chwilowego rodka obrotu S mo¿na operowaæ pojêciem chwi-

lowego rodka przyspieszeñ P, tj. takiego punktu zwi¹zanego z rozpatrywanym cz³o-

nem, którego przyspieszenie jest równe zeru (a

= 0), rys. 58.

Po³o¿enie punktu P jest zazwyczaj ró¿ne od po³o¿enia rodka obrotu S. Wektory

przyspieszeñ np.

(rys. 58), tworz¹c z odcinakmi PB i PC jednakowe k¹ty

j, s¹ widoczne z punktu P pod tym samym k¹tem y.

W niektórych wypadkach dogodniej jest, rozpatruj¹c przyspieszenie poszczegól-

nych punktów cz³onu w ruchu z³o¿onym, interpretowaæ ten ruch jako sumê ruchu

postêpowego i obrotowego (rys. 59). Miêdzy przyspieszeniami dowolnych dwóch punk-

tów, np. B i C, tego cz³onu zachodzi zwi¹zek

(22)

w którym

Sk³adowa normalna przyspieszenia wzglêdnego

⋅

ma kierunek CB i zwrot od C do B, sk³adowa za styczna przyspieszenia wzglêd-

nego

jest wektorem o kierunku prostopad³ym do CB i zwrocie zgodnym z przyspiesze-

niem k¹towym.

Jest wiêc

(23)

Rys. 60. Graficzny obraz zwi¹zków miêdzy

prêdkociami wybranych punktów B i C

nale¿¹cych do ró¿nych cz³onów

Rys. 59. Interpretacja przyspieszenia wzglêdnego

cz³onu BC w ruchu z³o¿onym p³askim

Zwi¹zek ten pozwala na graficzne lub grafoanalityczne okrelenie przyspieszenia

dowolnego punktu, je¿eli znane jest np. przyspieszenie innego punktu oraz w, e

i odleg³oæ tych punktów.

Rozwa¿my z kolei przypadek ruchu suwaka (2) (rys. 60) wspó³pracuj¹cego z ru-

chom¹ prowadnic¹ (1). Przez B oznaczono punkt zwi¹zany z cz³onem (1), przez C

natomiast punkt pokrywaj¹cy sie z punktem B, lecz nale¿¹cy do cz³onu (2). w wyni-

ku ruchu cz³onu (1) zwi¹zany z nim punkt B ma prêdkoæ v

, punkt C natomiast

przemieszca siê dodatkowo wzglêdem cz³onu (1) z prêdkoci¹ v

. Wynikow¹ prêd-

koæ punktu C rozpatrywan¹ w uk³adzie odniesienia mo¿na wyraziæ

gdzie

prêdkoæ wzglêdna punktu C wzglêdem B.

Kierunek tej prêdkoci okrela oczywicie aktualne po³o¿enie prowadnicy.

Przyspieszenie punktu C (rys. 61) mo¿na wyraziæ równaniem wektorowym

(24)

w którym

jest wzglêdnym przyspieszeniem sk³adaj¹cym siê z przyspieszeñ:

normalnego, stycznego i Coriolisa,

(25)

Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego s¹ okreslone nastêpuj¹co

gdzie r promieñ krzywizny prowadnicy dla miejsca wspó³pracy z suwakiem (w

punkcie B).

Przyspieszenie to wystêpuje tylko przy

prowadnicach krzywoliniowych. w przy-

padku stosowania prowadnicy prostolinio-

wej (r = ¥) jest wiêc

= ∞

= 0.

Kierunek tego wektora pokrywa siê z

kierunkiem promienia r, skierowany za

jest do rodka krzywizny. Sk³adowa stycz-

na przyspieszenia ma kierunek równoleg³y

do prêdkoci wzglêdnej v

, modu³ za

okrela zale¿noæ

Rys. 61. Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego

wybranych punktów B i C nale¿¹cych

do cz³onów (1) i (2)

= d

Kierunek i zwrot przyspieszenia Coriolisa wynikaj¹ z zapisu wektorowego

mo¿na je ustaliæ równie¿ obracaj¹c wektor prêdkoci wzglêdnej v

o 90°, zgodnie

z prêdkoci¹ k¹tow¹ unoszenia. Ostatecznie wiêc

(26)

Podstawowe zwi¹zki, które przytoczono, mog¹ byæ stosowane w ró¿nych meto-

dach okrelania parametrów ruchu cz³onów mechanizmów i zwi¹zanych z nimi punk-

tów.

3.3.3. Metoda toru ocechowanego

Niech bêdzie dana trajektoria k

punktu I (rys. 62a), nale¿¹cego do cz³onu mecha-

nizmu. Trajektoriê tê ocechowano tak, ¿e przemieszczenia po jej fragmentach p i q,

pomiêdzy punktami K 1, K oraz K, K + 1, odpowiadaj¹ równym przedzia³om

czasowym Dt. Po zast¹pieniu rzeczywistych przemieszczeñ p i q odpowiednio we-

ktorami a i b (rys. 62b), redni¹ prêdkoæ punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ

zale¿noci¹

≅

+
2

Rys. 62. Wyznaczanie prêdkoci i przyspieszeñ metod¹ toru ocechowanego

czyli

a b

≅

∆

(27)

lub

≅

∆

(27a)

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ k

uzyskano

(c)

≅

∆

(28)

rednie przyspieszenie punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ wzorem

≅

−

∆

co prowadzi do

b a

≅

−

∆

(29)

lub

≅

∆

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ

(d)

≅

∆

(30)

Jak wiadomo, mechanizmy charakteryzuj¹ siê cyklicznoci¹ ruchu, to znaczy po

pewnym okresie T powtarza siê po³o¿enie, prêdkoæ oraz przyspieszenie. Za³ó¿my, ¿e

liczba okresów T wynosi n w czasie jednej minuty. Cechowanie toru przeprowadzono

w ten sposób, ¿e okres T podzielono na m równych przedzia³ów Dt. Jest wiêc

T = mDt oraz

Ostatecznie wiêc, ze wzoru (28) i (30)

(c)

m n

≅

⋅ ⋅

120

(31)

(d)

m n

≅

⋅

3600

(32)

Rys. 63. Plan prêdkoci: a) cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim, b) plan prêdkoci cz³onu BCM

Dla porz¹dku nale¿y odnotowaæ, ¿e wraz ze wzrostem m przedzia³ów wzrasta do-

k³adnoæ uzyskanych wyników. Jednak wraz ze wzrostem liczby przedzia³ów m ro-

nie wp³yw b³êdów rysunkowych. Zalecane jest [11] nastêpuj¹ce przyjêcie liczby

przedzia³ów:

m = 18 je¿eli wyznaczona trajektoria mieci siê w formacie A6,

m = 24 je¿eli wyznaczona trajektoria mieci siê w formacie A4.

Orientacyjne b³êdy w wyznaczeniu prêdkoci wynosz¹ wtedy 64%, a w wypadku

przyspieszeñ 128%. W liczbach tych nie jest zawarty b³¹d zwi¹zany z dok³adnoci¹

wyznaczenia punktów toru ocechowanego.

3.3.4. Metoda planów

Niech bêdzie dany cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim (rys. 63a) i niech v

, v

bêd¹ prêdkociami punktów B, C i M tego cz³onu. Je¿eli wektory prêdkoci

narysowaæ w dowolnej podzia³ce k

, rozpoczynaj¹c z dowolnego punktu p

, to koñce

ich, oznaczone odpowiednimi symbolami b, c i m, wyznacz¹ pewn¹ figurê bcm

(rys. 63b). Figura taka, jako miejsce geometryczne koñców wektorów prêdkoci punk-

tów tego samego cz³onu, nosi nazwê planu prêdkoci cz³onu, a punkt p

bieguna

planu prêdkoci. Pos³uguj¹c siê odpowiednimi zwi¹zkami miêdzy prêdkociami punk-

tów B, C i M, np.

(rys. 64a) od³o¿ione w tej samej podzia³ce z jednego bieguna p

tworz¹ koñcami b, c

i m figurê bcm (rys. 64b). Przez analogiê do planu prêdkoci, figurê tak¹ bêdziemy

nazywaæ planem przyspieszeñ cz³onu. Plan bcm jest podobny do cz³onu BCM

i obrócony wzglêdem niego o k¹t (180 j), zgodnie z przyspieszeniem k¹towym e,

przy czym

= arctg

Odcinki ³¹cz¹ce odpowiednie koñce wektorów okrelaj¹ przyspieszenie wzglêdne

poszczególnych punktów, np.

= κ ,

gdzie k

[m/s

·mm] jest podzia³k¹ planu przyspieszeñ.

Na ogó³ przyspieszenie wzglêdne ca³kowite jest sum¹ wektorow¹ sk³adowej nor-

malnej i stycznej, co przyk³adowo pokazano dla przyspieszenia a

lub

Wektor

ma kierunek MC, zwrot od M do C, a modu³

Przyspieszenie wzglêdne styczne

ma kierunek prostopad³y do MC.

Plany przyspieszeñ kolejnych cz³onów mechanizmu wykrelone z jednego bieguna p

tworz¹ plan przyspieszeñ mechanizmu, za którego pomoc¹ mo¿na okrelaæ dowolne

przyspieszenia liniowe i k¹towe.

W dalszym ci¹gu przedstawiono sposoby wyznaczania prêdkoci i przyspieszeñ

dla wybranych grup Assura.

Grupa dwucz³onowa drugiej klasy z trzema parami obrotowymi

Grupê tê pokazano schematycznie na rysunku 65a. Za³ó¿my, ¿e w wyniku wstêp-

nych obliczeñ kinematycznych okrelono:

prêdkoæ v

oraz przyspieszenie a

punktu A,

prêdkoæ v

oraz przyspieszenie a

punktu C.

Analizuj¹c ruch punktu B napiszemy:

dla cz³onu AB

dla cz³onu BC

tak wiêc

(33)

W zale¿noci (33) znane s¹ wektory prêdkoci punktów A oraz C, co zaznaczono

przez ich trzykrotne podkrelenie. Kierunki prêdkoci wzglêdnych s¹ prostopad³e do

odpowiednich cz³onów (rys. 65a), co zaznaczono przez jednokrotne podkrelenie v

i v

w rozpatrywanej zale¿noci. Równanie to rozwi¹¿emy graficznie. Wykrelaj¹c

z bieguna p

wektory

oraz

, a nastêpnie odpowiednio kierunki prêdkoci

wzglêdnych, wyznaczymy prêdkoæ v

punktu B (rys. 65b).

Rys. 65. Plan prêdkoci i przyspieszeñ grupy II klasy

Podobnie, aby wyznaczyæ przyspieszenie

punktu B napiszemy

dla cz³onu AB

dla cz³onu BC

tak wiêc

(34)

W równaniu (34) znane s¹ wektory a

oraz a

, modu³y sk³adowych normalnych

wektorów za przyspieszeñ wzglêdnych obliczymy odpowiednio

;

(35)

Wektory te maj¹ kierunki odpowiednich cz³onów, zwroty za odpowiednio od punk-

tu B do punktów A i C. Kierunki sk³adowych stycznych wektorów przyspieszeñ

wzglêdnych s¹ prostopad³e do odpowiednich cz³onów (rys. 65a). Tak wiêc znane co

do modu³u, kierunku i zwrotu wektory przyspieszeñ podkrelono w zale¿noci (34)

trzema kreskami, wektory za znane co do kierunku jedn¹ kresk¹. Zale¿noæ (34)

rozwi¹¿emy graficznie nastêpuj¹co:

Z dowolnie przyjêtego bieguna p

wykrelimy wektory a

oraz a

. Dodaj¹c

odpowiednio wektory przyspieszeñ normalnych wzglêdnych, a nastêpnie wykrelaj¹c

kierunki przyspieszeñ stycznych wyznaczymy punkt b, stanowi¹cy koniec wektora a

przyspieszenia punktu B (rys. 65c).

Grupa czterocz³onowa trzeciej klasy z parami obrotowymi

Analizê kinematyczn¹ grup tego typu (rys. 66) prowadzi siê korzystajac z tzw.

punktów Assura. Punktem Assura bêdziemy nazywaæ punkty R, S lub T cz³onu

trójwêz³owego ABC pokrywaj¹ce siê z punktem przeciêcia odpowiednich kierunków

jego dwóch cz³onów dwuwêz³owych (rys. 66a). Je¿eli znane s¹ prêdkoci i przyspie-

szenia punktów D, E i F, to kolejnoc operacji zmierzaj¹cych do okrelenia

prêdkoci i przyspieszenia punktów A, B i C mo¿e byæ nastêpuj¹ca:

dla punktu R napiszemy

(

oraz

(36)

(

Wektory prêdkoci ruchu wzglêdnego v

i v

oraz v

i v

maj¹ jednakowe

kierunki, mo¿na je wiêc zast¹piæ odpoweidnio jednym wektorem, a zatem zale¿noci

(36) mo¿na zast¹piæ przez równania:

oraz

(37)

w równaniach tych prêdkoci v

i v

s¹ zadane, natomiast v

oraz v

znane co

do kierunku. Odk³adaj¹c od przyjêtego bieguna p

wektory v

i v

oraz przeprowa-

dzaj¹c przez ich koñce d i e, prostopad³e do RD oraz RE, wyznaczymy w ich

punkcie przeciêcia r koniec wektora

(rys. 66b). Prêdkoæ punktu C wyznaczy-

my z zale¿noci

oraz

(38)

Graficzne wyznaczenie prêdkoci punktu C pokazano równie¿ na rys. 66b. Ko-

rzystaj¹c np. z zasady podobieñstwa planu prêdkoci cz³onu do cz³onu mo¿na nastêp-

nie wyznaczyæ prêdkoc punktów A oraz B.

Tym samym punktem R mo¿na okreliæ przyspieszenie punktów A, B i C

cz³onu trójwêz³owego (rys. 67a). Najpierw wyznaczymy przyspieszenie a

korzystaj¹c z

równañ

oraz

(39)

w których przyspieszenie normalne

;

obliczamy korzystaj¹c z planu prêdkoci.

Rówanie (39) mo¿na przedstawiæ w postaci

lub, po wprowadzeniu, dla uproszczenia, odpowiednich symboli sum wektorów rów-

noleg³ych,

(40)

Graficzne rozwi¹zanie równañ (40) przedstawiono na rysunku 67b. Przyspieszenie

punktu C wyznaczymy z równañ

oraz

(41)

w których

;

Rozwi¹zuj¹c równanie (41) graficznie, a nastêpnie korzystaj¹c np. z podobieñstwa

planu przyspieszeñ cz³onu do cz³onu, mo¿emy wyznaczyæ przyspieszenie punktów A

i B.

Dysponuj¹c ogóln¹ metod¹ rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na przy ich

zastosowaniu analizowaæ praktycznie wszystkie mechanizmy dwigniowe. Nale¿y

w tym celu dokonaæ w badanym mechanizmie analizy strukturalnej i wydzielenia

odpowiednich grup. Idee tê zilustrowano przyk³adem.

Niech bêdzie dany mechanizm DABCMN (rys. 68a), w którym nale¿y okreliæ

prêdkoæ v

przy zadanej prêdkoci k¹towej w

korby DA. Zauwa¿my, ¿e przy

tych za³o¿eniach jest to mechanizm II klasy i mo¿na w nim wyró¿niæ dwie grupy II

klasy, tzn. grupê 34 (ABC) i grupê 56 (MNP) (rys. 68b). Grupy te nale¿y rozwi¹zy-

waæ w tej kolejnoci, stosuj¹c omówiony wzór dla grupy II klasy (rys. 65).

Za³ó¿my z kolei, ¿e dla tego samego uk³adu nale¿y okreliæ w

przy zadanej prêd-

koci v

cz³onu (6) (rys. 69a). Tym razem, wychodz¹c od cz³onu czynnego (6),

Rys. 68. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu II klasy,

b) sk³adowe grupy Assura

mo¿na wyró¿niæ tylko jedn¹ grupê III klasy (rys. 69b). Rozwi¹zuj¹c tê grupê wed³ug

omówionego wzoru (rys. 66) znajdziemy v

, a wiêc równie¿ w

3.5.5. Metoda wykresów kinematycznych

Wykresy kinematyczne s¹ graficznym przedstawieniem zale¿noci funkcyjnej dro-

gi, prêdkoci liniowej i przyspieszenia liniowego lub k¹ta obrotu, prêdkoci k¹towej i

przyspieszenia k¹towego cz³onu od okrelonego parametru. W takim przedstawieniu

ruchu punktu lub cz³onu mechanizmu parametrem mo¿e byæ czas lub dowolna inna

wspó³rzêdna uogólniona, np. droga wybranego punktu lub k¹t obrotu cz³onu czynnego.

Podczas sporz¹dzania wykresów kinematycznych pewne przebiegi (np. s = s(t))

nale¿y poddaæ operacji ró¿niczkowania (np. v = ds/dt) lub ca³kowania (np.

a t

= ∫ d

Czasem dogodnie jest operacje te przeprowadzaæ graficznie, korzystaj¹c z odpowie-

dnich metod, które przedstawiono dalej.

Ró¿niczkowanie graficzne metod¹ stycznych

Dla zadanej krzywej przemieszczeñ s(t) (rys. 70a) nale¿y znaleæ przebieg zmian

prêdkoci v(t) w funkcji czasu. Za³ó¿my na pocz¹tku, ¿e zadany wykres s(t) i szuka-

ny v(t) bêd¹ mia³y wspóln¹ podzia³kê czasu k

[s/mm], co umo¿liwi usytuowanie

uk³adów wspó³rzêdnych jak na rys. 70.

Na krzywej s(t) przyjmijmy dowolne punkty 1s, 2s, ..., np. odpowiadaj¹ce jedna-

kowym odcinkom czasu Dt i do krzywej w tych punktach poprowadmy styczne.

Przez punkt H

, przyjêty dowolnie na ujemnej osi czasu uk³adu (v, t), poprowadmy

proste równoleg³e do stycznych, które na osi v odetn¹ odcinki proporcjonalne do

prêdkoci w chwilach odpowiadaj¹cych punktom 1s, 2s, ... Konstrukcja przedstawio-

na na rys. 70b prowadzi do punktów 1v, 2v, ..., a tym samym do szukanej krzywej v(t).

Aby ustaliæ podzia³kê k

wykresu v(t) przypomnijmy, ¿e dla dowolnego punktu I

s
t

κ
κ

( )

tg .

Poniewa¿ z drugiej strony

= ( ) ,

otrzymamy wiêc

s
t

= κ

( ) .

Rys. 69. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu III klasy,

b) sk³adowe grupy Assura

Pierwszy z nich, okrelaj¹cy jednoczenie sta³¹ ca³kowania, ustala siê na podsta-

wie warunków brzegowych. W celu okrelenia pozosta³ych L

, L

, ... korzystamy

z nastêpuj¹cych konstrukcji. Poszczególne przedzia³y czasowe 12, 23, ... dzielimy

liniami l

, l

, ... tak, aby utworzone figury, na rysunku jednakowo zakreskowane,

mia³y takie same pola. Linia l

na przeciêciu ze styczn¹ wyprowadzon¹ z 1s daje

pocz¹tek nastêpnej stycznej L

. Okrelanie po³o¿eñ kolejnych punktów

2s, 3s, ... na stycznych oraz sposób wykrelania samej krzywej s(t) nie wymaga bli¿-

szych wyjanieñ.

Podzia³kê k

otrzymanego wykresu s(t), korzystaj¹c ze wspomnianej ju¿ od-

wrotnoci operacji ca³kowania do ró¿niczkowania, zapiszemy na podstawie (42)

= k

· k

· e

(43)

Omówione metody graficznego ró¿niczkowania i ca³kowania umo¿liwiaj¹ otrzy-

mywanie ró¿nych, w zale¿noci od potrzeby, charakterystyk ruchu punktów lub cz³o-

nów mechanizmów. Charakterystyki takie s¹ przedstawiane zwykle w funkcji czasu

Rys. 72. Analiza ruchu punktu M metod¹ wykresów kinematycznych

Rys. 73. Tor ocechowany, hodograf prêdkoci i przyspieszeñ punktu M

lub parametru zale¿nego od czasu w sposób liniowy, np. k¹ta obrotu korby o sta³ej

prêdkoci k¹towej.

Za³ó¿my, ¿e interesuje nas pe³na charakterystyka ruchu punktu M (rys. 72), nalê-

¿¹cego do cz³onu pewnego mechanizmu. Za³ó¿my dalej, ¿e pos³uguj¹c siê metod¹

przedstawion¹ w podrozdz. 3.2. otrzymano tor ocechowany k

punktu M. Nastêp-

nie, po przyjêciu uk³adu wspó³rzêdnych xy, zrzutowano na jego osie tor ocechowany i

otrzymano wykresy przemieszczeñ s

(t) oraz s

(t). Po zró¿niczkowaniu oddzielnie

obu wykresów, otrzymano odpowiednio v

(t) i v

(t) oraz a

(t) i a

(t). Rzeczywiste

wartoci prêdkoci i przyspieszeñ w poszczególnych punktach drogi otrzymujemy su-

muj¹c geometrycznie odpowiednie sk³adowe. Na rysunku 72 przedstawiono sumowa-

nie dla:

Nale¿y pamiêtaæ, ¿e dogodnie jest wektorowe rezultaty ana-

lizy zestawiæ w tzw. hodografy prêdkoci i przyspieszeñ (rys. 73), otrzymane przez

wykrelenie wektorów ze wspólnych biegunów p

i p

. Interesuj¹ce w³aciwoci

tych hodografów (wektor przyspieszenia a

ma kierunek stycznej do krzywej k

punkcie i, modu³ jego równa siê chwilowej prêdkoci poruszania siê po k

koñca

wektora v

) pozwalaj¹ nie tylko na sprawdzenie poprawnoci wyników, ale równie¿

umo¿liwiaj¹ okrelenie interesuj¹cych nas parametrów inn¹ metod¹.

4. Metody analityczne

W metodach analitycznych d¹¿y siê do uzyskania algebraicznych zwi¹zków okre-

laj¹cych po³o¿enia cz³onów mechanizmu i torów punktów zwi¹zanych z cz³onami

w funkcji czasu lub parametru po³o¿enia cz³onu czynnego. Odpowiednie zwi¹zki na

okrelenie prêdkoci i przyspieszenia uzyskuje siê zwykle na drodze odpowiedniej

obróbki (ró¿niczkowanie) funkcji po³o¿enia. Te niezbêdne funkcje po³o¿enia mo¿na

uzyskaæ ró¿nymi metodami, dobieranymi stosownie do analizowanego obiektu. Naj-

czêciej stosuje siê wtedy tzw. metodê zapisu wektorowego.

4.1. Metoda zapisu wektorowego

Metoda zapisu wektorowego polega na zastêpowaniu ³añcucha kinematycznego

cz³onów mechanizmu odpowiednim ³añcuchem wektorowym. Przyk³ady takich zabie-

gów przedstawiono na rys. 74. Warunek zamykania siê takich wieloboków wektoro-

wych mo¿na zapisaæ w postaci

∑

(44)

lub

∑

(45)

W równaniach (45) l

i l

oznaczaj¹ rzuty wektorów na osie x i y uk³adu

wspó³rzêdnych. Je¿eli wprowadziæ jednolit¹ umowê co do oznaczeñ i odk³adania k¹-

tów kierunkowych kolejnych wektorów, to rzuty l

i l

mo¿na wyraziæ ogólnie:

= l

cos a

= l

sin a

(46)

Zwi¹zki okrelaj¹ce prêdkoæ i przyspieszenie mo¿na otrzymaæ z równañ (45)

w wyniku ich ró¿niczkowania wzglêdem czasu

4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego

Niech bêdzie dany czworobok ABCD (rys. 75) o znanych d³ugociach cz³onów

, l

i l

oraz prêdkoci k¹towej w

cz³onu czynnego. Nale¿y okreliæ po³o¿enia,

prêdkoci i przyspieszenia wszystkich cz³onów.

Przyjmijmy uk³ad wspó³rzêdnych x0y, a cz³ony mechanizmu zast¹pmy przez od-

powiednie wektory l

, l

i l

. Równanie (44) wektorowe wieloboku w tym kon-

kretnym przypadku ma postaæ

l l

+ + +

= ,

(49)

natomiast równania (45) przy wprowadzonych oznaczeniach k¹tów j

+ l

cos j

+ l

cos j

+ l

cos j

= 0,

sin j

+ l

sin j

+ l

sin j

= 0.

(50)

Podstawiamy

a = l

+ l

cos j

b = l

sin j

Po podniesieniu do kwadratu i dodaniu stronami otrzymamy wtedy

+ b

+ 2al

cos j

+ 2bl

sin j

+ l

= 0.

(51)

Po podzieleniu zale¿noci (51) przez 2al

i oznaczeniu

Rys. 75. Rysunek pomocniczy do analitycznego badania parametrów ruchu

czworoboku przegubowego

oraz

b
a

otrzymano

A + cos j

+ B sin j

= 0,

a nastêpnie

(1 + B

) + cos

+ 2A cos j

+ (A

+ B

) = 0.

(52)

Po podstawieniu danych liczbowych mo¿na z zale¿noci (52) wyznaczyæ k¹ty j

Dla oznaczonych wartoci j

i za³o¿onej wartoci j

wartoæ k¹ta j

wyznaczy-

my z zale¿noci (50)

cos j

l l

−

cos

(53)

Znaj¹c po³o¿enie cz³onów rozpatrywanego czworoboku przegubowego mo¿na przys-

t¹piæ do wyznaczenia prêdkoci i przyspieszeñ. Po zró¿niczkowaniu równañ po³o¿eñ

(50) otrzymano

sin j

+ w

sin j

+ w

sin j

= 0,

cos j

+ w

cos j

+ w

cos j

= 0,

(54)

gdzie

Obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j

otrzymamy dla pierwszego z równañ (54)

sin (j

) + w

sin (j

)

+ w

sin (j

)

= 0.

Sk³adnik w

sin (j

) jest oczywicie równy zeru, wiêc

= −

−

sin(

)

sin(

)

(55)

Analogicznie, obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j

, dla drugiego z równañ

(54) otrzymamy

= −

−

sin(

)

sin(

)

(56)

W celu uzyskania przyspieszeñ k¹towych cz³onów zró¿niczkowano zale¿noci (55)

oraz (56) i uzyskano

Rys. 76. Rysunek pomocniczy do analizy mechanizmu jarzmowego

−

cos(

)

cos(

)

sin(

)

−

cos(

)

cos(

)

sin(

)

(57)

Przedstawiona metoda zapisu funkcji po³o¿enia i jej obróbki nadaje siê do stoso-

wania w ca³ej grupie mechanizmów dwigniowych.

4.2. Metoda klasyczna

Czasem potrzebn¹ funkcjê po³o¿enia mo¿na otrzymaæ zapisuj¹c okrelone zwi¹zki

wprost z rysunku. Niech np. bêdzie dany mechanizm jarzmowy (rys. 76). Zak³adaj¹c,

¿e cz³onem czynnym jest tu korba AB, nale¿y okreliæ prêdkoæ k¹tow¹ w

i przyspie-

szenie e

jarzma (3).

Rzutuj¹c d³ugoæ r korby AB i zmienn¹ d³ugoæ jarzma BC na liniê AC ustalimy

zale¿noæ miêdzy znanym w dowolnej chwili k¹tem a obrotu korby i k¹tem j

sin

cos

e r

(58)

Po wprowadzeniu

λ = e

przepiszemy (58) w postaci

sin

cos

(59)

st¹d

arctg sin

cos

(60)

Zale¿nie od wartoci l otrzymujemy mechanizm z jarzmem obrotowym lub waha-

d³owym. Dla jarzma wahad³owego j < 90°, (tg j < ¥) mianownik zale¿noci (59)

l + cos a ¹ 0,

wiêc

l > 1.

Podobnie dla jarzma obrotowego

l < 1 , tzn. e < r.

Po zró¿niczkowaniu zale¿noci (58) przy za³o¿eniu, ¿e (da/dt) = w

i (dj/dt) = w

otrzymano

r e r

e r

(

cos )cos

sin

(

cos )

cos

lub po przekszta³ceniu

r r e

(

cos )

cos

oraz

α λ

1 2

cos

(61)

Ró¿niczkuj¹c powtórnie zale¿noæ (61), znajdujemy wzór okrelaj¹cy przyspie-

szenie k¹towe jarzma

α λ

2 2

1 2

−

(

)sin

(

cos

)

cos

(62)

Je¿eli w

= const, e

= 0, to otrzymamy oczywicie

Rys. 77. Za³o¿enia do macierzowego zapisu po³o¿enia punktu E w uk³adzie 0 x

α λ

2 2

1 2

−

(

)sin

(

cos

)

(63)

4.3. Metoda macierzowa

Metodê macierzow¹, stosowan¹ zw³aszcza przy wykorzystywaniu wspó³czesnych

rodków obliczeniowych, zilustrujemy na przyk³adzie analizy ³añcuchów kinematycz-

nych otwartych. Problemy analizy ³añcuchów otwartych pojawiaj¹ siê najczêciej przy

badaniach manipulatorów. Przedstawion¹ ni¿ej metodê mo¿na jednak zastosowaæ

w równym stopniu do badania ³añcuchów zamkniêtych.

Niech bêdzie wiêc dany p³aski ³añcuch kinematyczny otwarty z³o¿ony z czterech

cz³onów tworz¹cych kolejno ze sob¹ tylko pary obrotowe (rys. 77). Stwierdzaj¹c, ¿e

ruchliwoæ tego ³añcucha wynosi W = 3, przyjmijmy, ¿e jego jednobie¿noæ uzyskuje

siê w wyniku zadanych ruchów wzglêdnych w

, w

i w

. Przyjmijmy innymi s³o-

wy, ¿e k¹ty j

, j

i j

s¹ okrelonymi funkcjami czasu. Za³ó¿my dalej, ¿e znane s¹

parametry geometryczne ³añcucha (d³ugoæ cz³onów l

i l

oraz wspó³rzêdne x

i y

punktu E, zwi¹zanego na sztywno z cz³onem (3). Przy takich za³o¿eniach nale¿y okre-

liæ trajektoriê punktu E

w uk³adzie podstawy O. Zadanie to mo¿na sprowadziæ do

okrelenia wspó³rzêdnych punktu E

w uk³adzie podstawy, czyli x

i y

Wprowadmy uk³ady pomocnicze x

, x

i x

zwi¹zane z kolejnymi

cz³onami i wyramy po³o¿enie punktu E w tych uk³adach. Na podstawie rysunku 77

otrzymamy [4]

= x

cos j

sin j

+ l

= x

sin j

+ y

cos j

(64)

= x

cos j

sin j

+ l

= x

sin j

+ y

cos j

(65)

= x

cos j

sin j

= x

sin j

+ y

cos j

(66)

Mamy w ten sposób szeæ równañ z szecioma niewiadomymi. Po rozwi¹zaniu

tych równañ mo¿na miêdzy innymi otrzymaæ szukane x

i y

. Dla u³atwienia tego

zadania oraz uproszczenia zapisów dogodnie jest przejæ na zapis macierzowy.

W tym celu przepiszmy jeszcze raz uk³ad równañ (64) uzupe³niony to¿samoci¹ 1 = 1

= x

cos j

sin j

+ l

= x

sin j

+ y

cos j

+ 0,

(66a)

1 =

1 · 0

+ 1.

Uk³ad równañ (66a) mo¿na zapisaæ w postaci

x
y













−

























cos

sin

cos

(67)

£atwo to sprawdziæ dokonuj¹c mno¿enia. Na tej zasadzie, po wprowadzeniu oznaczeñ:

cos

sin

cos

−













cos

sin

cos

−













cos

sin

cos

−













oraz

; r

x
y

















































mo¿na zapisaæ równania (64), (65), (66) w postaci

= T

(68)

= T

(69)

= T

(70)

lub po podstawieniu

= T

(71)

Po wykonaniu mno¿enia z zapisu (71) otrzymamy

= x

cos j

sin j

+ l

cos j

+ l

cos j

= y

sin j

cos j

+ l

sin j

+ l

sin j

(72)

gdzie: j

= j

+ j

= j

+ j

Dok³adnie ten sam wynik (72) otrzymalibymy w wyniku rozwi¹zania uk³adu rów-

nañ (64), (65) i (66) przy znacznie wiêkszym nak³adzie pracy. Ró¿nice na korzyæ

metod macierzowych ujawniaj¹ siê ze szególn¹ si³¹, zw³aszcza podczas badania ³añ-

cuchów przestrzennych.

Trzeba podkreliæ, ¿e na podstawie zapisów (71) lub (72) mo¿na okreliæ po³o¿e-

nia dowolnych dwóch punktów zwi¹zanych z cz³onem (3), a wiêc mo¿na okreliæ

Rys. 78. Ilustracja do macierzowego zapisu ³añcucha zamkniêtego: a) schemat mechanizmu,

b) podzia³ na ³añcuchy otwarte

po³o¿enie cz³onu (3). Podobnie mo¿na okreliæ po³o¿enia pozosta³ych cz³onów ³añcu-

cha, a wiêc równie¿ ich po³o¿enia wzajemne.

Omówiona metoda nadaje siê równie¿ do rozwi¹zywania uk³adów kinematycz-

nych zamkniêtych. Droga wiedzie przez podzia³ ³añcucha zamkniêtego na ³añcuchy

otwarte w wyniku roz³¹czania okrelonych par kinematycznych. Na przyk³ad badaj¹c

czworobok przegubowy ABCD (rys. 78a) mo¿na wyró¿niæ dwa ³añcuchy kinematycz-

ne otwarte ABC

i ADC

powsta³e po roz³¹czeniu pary C (rys. 78b). Dla ka¿dego

sk³adowego ³añcucha otwartego nale¿y okreliæ odpowiednie wspó³rzêdne po³o¿enia

elementów odpowiednich cz³onów i zapisaæ warunki zamykania. Na przyk³ad dla przy-

toczonego czworoboku przegubowego, przy jego podziale jak na rys.78, warunki za-

mykania przyjê³yby postaæ

= x

= y

(73)

Otrzymane w ten sposób uk³ady równañ umo¿liwiaja okrelenie interesuj¹cych

nas parametrów po³o¿enia badanego mechanizmu. Jest to jedna z wielu proponowa-

nych metod.

Bardzo skuteczn¹ i godn¹ polecenia jest metoda polegaj¹ca na podziale badanego

mechanizmu na grupy cz³onów (grupy Assura) i cz³ony czynne. Opracowane dla po-

szczególnych grup zapisy macierzowe [10] umozliwiaja równie¿ (w sposób niemal

schematyczny) zapis funkcji po³o¿enia dla dowolnego p³askiego mechanizmu dwi-

gniowego.

Dysponuj¹c zapisem funkcji po³o¿enia mo¿na otrzymaæ nastêpnie poszukiwane

funkcje prêdkoci i przyspieszeñ poprzez odpowiedni¹ ich obróbkê (ró¿niczkowanie

po czasie).

5. Metody numeryczne

Na ogó³ poznane metody graficzne i analityczne s¹ przydatne do analizy stosunko-

wo prostych mechanizmów. Ograniczeniem stosowania metod graficznych jest ich

dok³adnoæ, a czêsto i przejrzystoæ konstrukcji geometrycznych. W przypadku me-

tod analitycznych uzyskanie rozwi¹zañ w zamkniêtej postaci jest czêsto ¿mudne i

pracoch³onne. w takich przypadkach mo¿na siêgaæ po zwykle niezawodne (zw³aszca

przy korzystaniu z techniki komputerowej) metody numeryczne.

W praktyce stosuje siê metody numeryczne najczêciej do korygowania wyników

otrzymanych innym sposobem i traktowanych jako pierwsze przybli¿enia, albo do

zastêpowania wybranych fragmentów obliczeñ. Metod numerycznych jest bardzo wiele,

tu ograniczymy siê jedynie do przytoczenia jednej z nich: metody przyrostów skoñ-

czonych.

5.1. Metoda przyrostów skoñczonych

Metodê przyrostów skoñczonych przedstawimy na przyk³adzie badania ruchu punktu

M po torze k

(rys. 79). Interesuje nas prêdkoæ v

i przyspieszenie a

ruchu tego

punktu. Do dyspozycji mamy kolejne po³o¿enia tego punktu oznaczone indeksami ...

i 2, i 1, i , i + 1, i + 2, ... zajmowane przez niego w równych odstêpach czasu ,t.

Przybli¿one wartoci sk³adowych prêdkoci wzd³u¿ osi x i y w po³o¿eniu i mo¿na

wyznaczyæ z zale¿noci [12]

−

∆

(74)

−

∆

przy czym oczywicie

v
v

arctg

Podobnie przyspieszenie w po³o¿eniu i okrelaj¹ wzory

x x
t

−

∆

−

∆

(75)

przy czym

β = arc tg

a
a

Nale¿y podkreliæ, ¿e wyniki uzyskane t¹ metod¹ s¹ z za³o¿enia przybli¿one, przy

czym przybli¿enie to zale¿y dodatkowo od dok³adnoci okrelenia przyrostów ,x

oraz wartoci przedzia³u czasu ,t. Metoda ta mo¿e byæ z powodzeniem stosowana

do okreslania prêdkoci i przyspieszenia w przypadku, gdy przyrosty po³o¿eñ s¹ okre-

lone dok³adnie, np. z zale¿noci anlitycznej funkcji po³o¿enia. Mo¿na w ten sposób

okrelaæ równie¿ parametry ruchu w przypadku danych o po³o¿eniu, uzyskanych z

pomiaru. Koniecznoæ taka wystêpuje np. przy ocenie parametrów ruchu popychacza

w rzeczywistym mechanizmie krzywkowym, gdzie geometria profilu krzywki nie jest

bli¿ej znana. Nale¿y pamiêtaæ, ¿e w takich przypadkach, w wyniku nieodzownych

b³êdów pomiarowych, nale¿y liczyæ siê równie¿ z du¿¹ niedok³adnoci¹ wyników

obliczeñ, zw³aszcza przy okrelaniu przyspieszeñ. Zachodzi wtedy potrzeba stosowa-

nia odpowiednich metod statystycznych, które do okrelania przyspieszeñ w danym

po³o¿eniu mechanizmu stosuj¹ dane z pomiaru w kilku s¹siednich po³o¿eniach. Od-

powiednia metoda numeryczna nazywa siê rachunkiem wyrównawczym [12].

Rys. 79. Ilustracja do metody przyrostów skoñczonych

8 1

6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów

Omówione w rozdzia³ach 3, 4 i 5 ogólne metody analizy kinematycznej umo¿li-

wiaj¹ badanie praktycznie dowolnego uk³adu kinematycznego. Nale¿y jednak podkre-

liæ, ¿e podczas analizy pewnych grup mechanizmów preferuje siê czêsto równie¿

inne metody specjalnie dla danej grupy opracowane. Zwróæmy na to uwagê przy oka-

zji dokonywania przegl¹du najbardziej znanych i powszechnie we wspó³czesnej tech-

nice stosowanych grup mechanizmów. Do nich nale¿y zaliczyæ: mechanizmy dwi-

gniowe oraz niektóre grupy mechanizmów z parami wy¿szymi.

6.1. Mechanizmy dwigniowe

Mechanizmy dwigniowe s¹ to mechanizmy, w których wystêpuj¹ tylko pary ni¿-

sze, tj . pary o styku powierzchniowym (rys. 80). Liczne walory tego typu ruchowych

po³¹czeñ sprawi³y, ¿e mechanizmy dwigniowe odgrywaj¹ w budowie maszyn zasad-

nicz¹ rolê. Spotkaæ je mo¿na w podstawowych podzespo³ach maszyn i urz¹dzeñ. Wy-

stêpuj¹ w uk³adach przenoszenia i transformacji ruchu, w uk³adach napêdowych i

regulacyjnych, w uk³adach wykonawczych i sterowania. Kilka przyk³adów mechani-

zmów dwigniowych zestawiono na rys. 81.

Jako pierwszy (nie bez powodu) przytoczono czterocz³onowy mechanizm p³aski,

zwany czworobokiem przegubowym (rys. 81a), oraz jego odmianê powszechnie

stosowany uk³ad korbowo-wodzikowy (rys. 81b). Przyk³adami bardziej z³o¿onych me-

chanizmów dwigniowych s¹ uk³ad wytrz¹sacza do s³omy (rys. 81c) oraz uk³ad wy-

siêgnika ³adowarki hydraulicznej (rys. 81d). By³y to tzw. mechanizmy p³askie, w

których wszystkie punkty nale¿¹ce do cz³onów ruchomych wykrelaj¹ trajektorie w

p³aszczyznach równoleg³ych. Jako przyk³ady mechanizmów dwigniowych przestrzen-

Rys. 80. Przyk³ady par kinematycznych ni¿szych

8 3

nych za³¹czono tu powszechnie stosowany uk³ad kinematyczny sprzêg³a Cardana (rys.

81c) oraz manipulator robota (rys. 81f).

6.1.1. P³aski czworobok przegubowy

P³aski czworobok przegubowy tworz¹ cztery cz³ony obrotowe wchodz¹ce z sob¹

w cztery pary obrotowe. Nale¿y do najprostszych, a jednoczenie do najczêciej w

praktyce spotykanych mechanizmów (rys. 82). Wystêpuje w trzech odmianach ró¿-

ni¹cych siê stosunkami wymiarów poszczególnych cz³onów oraz wynikaj¹cymi st¹d

ruchami. Bêdziemy wiêc mówiæ o odmianie korbowo-wahaczowej wtedy, gdy ru-

chowi obrotowemu cz³onu (2), zwanego korb¹, towarzyszy ruch wahad³owy napêdza-

nego cz³onu (4) (rys. 82a). Przy innej proporcji wymiarów obydwa ramiona (2) i (4)

mog¹ wykonywaæ wzglêdem podstawy (1) tylko ruchy obrotowo-zwrotne (rys. 82c).

tak¹ odmianê nazywa sie dwuwahaczow¹. Jest mo¿liwa odmiana, w której ruch obro-

towy cz³onu (2) wywo³uje ruch obrotowy cz³onu (4) (rys. 82b). Mówimy wtedy o

czworoboku dwukorbowym. Przynale¿noæ badanego uk³adu do jednej z wymienio-

nych odmian mo¿na ustaliæ opieraj¹c siê na tzw. nierównociach Grashofa, które mo¿na

bez trudu wyprowadziæ na podstawie rys. 83. Naniesione tu dwa po³o¿enia szczegól-

ne, jakie musz¹ zaj¹æ wzglêdem siebie cz³ony czworoboku przy pe³nym obrocie korby

(2), prowadz¹ wprost do nierównoci:

+ l

< l

+ l

< l

+ l

< l

+ l

z których po przekszta³ceniu otrzymamy:

+ l

< l

+ l

< l

+ l

(76)

+ l

< l

+ l

Rys. 82. Podstawowe rodzaje czworoboku przegubowego: a) korbowo-wahaczowy,

b) dwuwahaczowy, c) dwukorbowy

Z nierównoci tych, zwanych czêsto postulatem Grashofa, wynika, ¿e w czworo-

boku korbowo-wahaczowym suma d³ugoci korby (2) i ka¿dego innego cz³onu jest

mniejsza od sumy d³ugoci dwóch cz³onów pozosta³ych. Innymi s³owy, w czworobo-

ku korbowo-wahaczowym najkrótszym cz³onem jest korba cz³on tworz¹cy parê obro-

tow¹ z podstaw¹. Jeszcze inaczej:

je¿eli s¹ spe³nione zwi¹zki (76) oraz cz³on najkrótszy jest przy podstawie, czwo-

robok jest korbowo-wahaczowy;

je¿eli przy spe³nionych nierównociach (76) cz³on najkrótszy jest ³¹cznikiem,

mamy do czynienia z uk³adem dwuwahaczowym;

je¿eli postulat Grashofa jest spe³niony i cz³on najkrótszy jest podstaw¹, wystê-

puje czworobok dwukorbowy.

Je¿eli zwi¹zki (76) nie s¹ spe³nione, to czworobok jest dwuwahaczowy.

Z czworoboku, w wyniku zmiany wymiarów geometrycznych cz³onów i par kine-

matycznych, mo¿na otrzymaæ wiele ró¿nych modyfikacji mechanizmów pochodnych,

jak np. mechanizm korbowo-wodzikowy, jarzmowy itd. (rys. 84).

Z czworoboku przegubowego mo¿na wywieæ wiele prostych i powszechnie stoso-

wanych mechanizmów czterocz³onowych, w wielu za bardziej z³o¿onych mechaniz-

mach daje siê ten charakterystyczny uk³ad czêsto wydzieliæ i wyró¿niæ jako czêæ istotn¹.

W analizie czworoboku przegubowego mo¿na stosowaæ skutecznie ka¿d¹ z metod

omówionych w rozdzia³ach 3, 4 i 5. Czworobok przegubowy wykorzystano zreszt¹

jako przyk³ad przy omawianiu metody analitycznej (p. 4.1.1). Jak wynika z wyprowa-

dzonych tam zale¿noci (53), (55) i (57), wartoci k¹ta obrotu y

cz³onu napêdzane-

go (4) (rys. 85) wzglêdem podstawy (1) jego prêdkoci k¹towej w

i przyspieszenia

k¹towego e

s¹ wyra¿one z³o¿onymi funkcjami czterech d³ugoci cz³onów mechani-

zmu i k¹ta obrotu j

cz³onu napêdzaj¹cego (2).Przyk³adowe przebiegi tych funkcji

dla czworoboku korbowo-wahaczowego o za³o¿onej geometrii (l

= 0,325, l

1,125, l

= 1,025) przedstawiono na rys. 86. Przez dobór odpowiednich wartoci l

mo¿na za pomoc¹ tego mechanizmu realizowaæ nawet bardzo z³o¿one wymagania

dotycz¹ce ruchu wzglêdnego ró¿nych jego cz³onów.

Rys. 83. Po³o¿enie zwrotne czworoboku przegubowego

Nie przytaczaj¹c ju¿ dalszych przyk³adów mo¿na stwierdziæ, ¿e ró¿norakie mo¿li-

woci czworoboku przegubowego (zarówno w zakresie realizacji prawa ruchu, jak

i krelenia trajektorii) zdecydowa³y o niezwykle powszechnym jego stosowaniu we

wspó³czesnej technice.

6.1.2. Sprzêg³o Cardana

Do przenoszenia ruchu miêdzy wa³ami o osiach przecinaj¹cych siê pod zmiennym

w czasie pracy k¹tem d stosuje siê wiele rozwi¹zañ sprzêgie³ wychylnych synchro-

nicznych (homokinetycznych).

Jednoczenie wystêpuje powszechnie w budowie maszyn znane niesynchroniczne

sprzêg³o Cardana. Jest to zdwojony czworobok przestrzenny ABCD (rys. 90), który

w klasycznym rozwi¹zaniu sk³ada siê z dwóch osadzonych na wa³ach (1) i (2) wide³ek

po³¹czonych ze sob¹ za pomoc¹ czteroramiennego krzy¿ulca. Jak ju¿ zasugerowano,

to niesynchroniczne sprzêg³o przenosi obroty z wa³u czynnego na bierny, z pewnym

prze³o¿eniem w

¹ 1. Przystêpuj¹c do jego okrelenia zauwa¿ymy, ¿e w czasie

ruchu mechanizmu punkt B opisuje okr¹g ko³a w p³aszczynie prostopad³ej do osi

wa³u (1), punkt C za w p³aszczynie prostopad³ej do osi wa³u (2). K¹t miêdzy tymi

p³aszczyznami jest oczywicie równy k¹towi d zawartemu miêdzy osiami wa³ów (1)

i (2).

Zrzutujmy drugi z tych okrêgów na p³aszczyznê okrêgu pierwszego (rys. 90b):

Wychodz¹c z po³o¿enia pocz¹tkowego ramion OB

i OC

dokonajmy korb¹ OB

wa³u (1) obrotu o k¹t j

. Wtedy ramiê OC jako prostopad³e do OB zajmie po³o¿e-

nie OC

, przy czym <)C

= j

. Rzeczywist¹ wartoæ k¹ta obrotu j

tego ra-

mienia otrzymamy wykonuj¹c k³ad ko³a g na p³aszczyznê ko³a b, przez obrót ko³a

g, wokó³ osi C

O. Punkt C

przechodzi wtedy w C

' i otrzymujemy <)C

' = j

Napiszemy teraz

Rys. 89. Przyk³ad wykorzystania kszta³tu krzywej ³¹cznikowej do zamiany

ci¹g³ego ruchu obrotowego korby AB na ruch przerywany cz³onu (6)

8 9

= OE tg j

, EC'

= OE tg j

oraz

′

cos

i po podstawieniu

tg j

cos d = tg j

(77)

Jest to zwiazek miêdzy k¹tami obrotu obu wa³ów.

Po zró¿niczkowaniu równania (77) stronami wzglêdem czasu otrzymujemy po prze-

kszta³ceniach zale¿noæ okrelaj¹c¹ prze³o¿enie

cos

sin

cos

(78)

Jak widaæ, prze³o¿enie to zale¿y od k¹ta nachylenia osi d i k¹ta obrotu j

, przy

czym:

Rys. 90. Sprzêg³o Cardana: a) schemat kinematyczny, b) rzuty torów b i g punktów B i C,

c) k¹t d pomiêdzy p³aszczyznami ruchu punktów B i C

dla

, ,...,

cos

dla

,...,

cos .

Innymi s³owy

cos

≤

(79)

Przyspieszenie k¹towe e

wa³u biernego otrzymamy po zró¿niczkowaniu równa-

nia (78). Po wykonaniu ró¿niczkowania i uporz¹dkowaniu otrzymamy, zak³adaj¹c ¿e

= const

= −

sin

cos

(sin

cos

cos )

(80)

Charakter zmian w

i e

w funkcji k¹ta obrotu j

i k¹ta wychylania d mo¿na

przeledziæ z wykresów (rys. 91a i b). Jak wynika z ich analizy, zmiany prêdkoci

k¹towej cz³onu biernego dwukrotnie powtarzaj¹ce siê w ramach jednego obrotu s¹

bardzo wyrane, zw³aszcza przy wiêkszych k¹tach. Szczególnie niekorzystnie przed-

stawiaj¹ siê zmiany przyspieszeñ k¹towych, które s¹ przyczyn¹ k³opotliwych zjawisk

dynamicznych. W celu ich unikniêcia, przy wiêkszych k¹tach nachylenia d korzyst-

ne jest stosowanie zestawu podwójnych sprzêgie³ (rys. 92). Je¿eli osie wa³ów (1), (2)

i (3) le¿¹ w jednej p³aszczynie oraz wide³ki wa³u porednicz¹cego (2) s¹ ustawione

w jednej p³aszczynie, to zachodz¹ wtedy, zgodnie z (77), zale¿noci:

tg j

= tg j

cos d

tg j

= tg j

cos d

czyli

cos
cos

δ
δ

(81)

Jak nietrudno zauwa¿yæ, gdy d

= ±d

, mamy

= j

= w

9 9

Rys. 99. Przyk³ady struktur chwytaków: a) z palcami o ruchu postêpowym, b) o ruchu obrotowym,

c) o ruchu z³o¿onym, d) wieloprzegubowymi

(rys. 99c) zapewniaj¹ce równoleg³e prowadzenie palców przy zamykaniu. Do chwyta-

nia elementów o nieokrelonych bli¿ej kszta³tach s¹ stosowane czasem uchwyty juz

bardzo wyszukane, np. przedstawione na rys. 99d. Dalsze ró¿nice w budowie chwyta-

ków wynikaj¹ ze sposobu wymuszania ruchu palców. Zwykle ruchem wymuszaj¹cym

(czynnym) w tym uk³adzie jest ruch postêpowy T

(ruch t³oka wzglêdem cylindra w

si³owniku hydraulicznym czy pneumatycznym, ruch rdzenia wzglêdem cewki elektro-

magnesu). Zamianê takiego ruchu T na ruch obrotowy R lub ogólny RT palców

realizuje siê w praktycznych wykonaniach w sposób przedstawony np. na rys. 100.

Odmiennie te¿ kszta³towane s¹ same zakoñczenia palców, stosownie do potrzeb mog¹

byæ p³askie i uprofilowane, sta³e i wychylne, sztywne i elastyczne itd.

Podstawowe cechy eksploatacyjne manipulatorów

U¿ytkownika manipulatora mog¹ interesowaæ takie cechy eksploatacyjne, jak:

manewrowoæ,

strefa robocza,

wspó³czynnik serwisu.

Manewrowoæ. Pojêcie to okrela siê liczb¹ m stopni swobody cz³onów manipu-

latora przy unieruchomionym uchwycie. Aby wyjaniæ istotê rzeczy, przeanalizujemy

przyk³adowy manipulator przedstawiony na rys. 101a. Przy takim wykonaniu uchwyt

(5) ma szeæ stopni swobody (W

= 6). Je¿eli uchwyt (5) w tym manipulatorze

unieruchomiæ, to pozosta³e cz³ony ruchome (2), (3), (4) maj¹ zero stopni swobody

wzglêdem podstawy (W

234

= 0). Manipulator ten charakteryzuje siê manewrowoci¹

równa zeru (m = 0). Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e kolejny przyk³adowy manipulator, przed-

stawiony na rys. 101b, charakteryzuje manewrowoæ m = 1. Cz³ony (2) i (3) mog¹

realizowaæ ruch obrotowy wokó³ osi ³¹cz¹cej obydwa przeguby kuliste. Ta cecha ma-

nipulatora jest istotna, gdy¿ umo¿liwia doprowadzenie chwytaka (4) w okrelone po-

110

Aby unikn¹æ przy wykrelaniu nowego po³o¿enia popychacza przerysowywania

z³o¿onego zwykle zarysu krzywki, rozpatrzmy interesuj¹cy nas ruch wzglêdny popy-

chacza i krzywki w uk³adzie krzywki. W tym celu przy unieruchomionej krzywce

obrócimy osi¹ popychacza o k¹t j w kierunku przeciwnym do ruchu krzywki. Oczy-

wicie, nowe po³o¿enie osi popychacza wzglêdem krzywki mo¿na znaleæ prowadz¹c

pod k¹tem j w stosunku do po³o¿enia pierwotnego, styczn¹ do okrêgu k wykrelone-

go ze rodka O promieniem mimorodu e. Po znalezieniu w ten sposób punktu B

(rzeczywistego punktu styku popychacza z bie¿ni¹ krzywki) znajdziemy punkt B

przez

obrót B

* wokó³ rodka obrotu O. Odcinek B

= S jest drog¹ przebyt¹ przez

punkt B przy za³o¿onym obrocie krzywki o k¹t j.

Powtarzaj¹c tak¹ operacjê wielokrotnie dla kolejnych równych k¹tów obrotu krzywki

otrzymamy, przy sta³ej prêdkoci k¹towej krzywki (w = const), tor ocechowany punk-

tu B popychacza oraz ca³kowit¹ drogê tego punktu, czyli skok H popychacza (rys.

113a).

Tor ten mo¿e byæ wykorzystany wprost do okrelenia chwilowych prêdkoci i przy-

spieszeñ (metoda toru ocechowanego) lub te¿ do wyznaczenia pe³nej charakterystyki

ruchu popychacza w postaci wykresu S(j) (rys. 113b). Nale¿y w tym celu przyj¹æ na

osi j odcinek reprezentuj¹cy w okrelonej podzia³ce pe³ny k¹t obrotu krzywki i podzie-

liæ go na tyle równych odcinków, na ile dzielono k¹t obrotu krzywki podczas wykre-

lania toru ocechowanego. Punkt szukanej krzywej S(j) znajdziemy w sposób przed-

stawiony na rys. 113b na przyk³adzie punktu drugiego.

Z krzywej tej, poprzez ró¿niczkowanie graficzne, mo¿na z kolei otrzymaæ przebieg

zmian prêdkoci v(j) oraz przyspieszeñ a(j) popychacza (rys. 113c). Jest to typo-

wa i powszechnie stosowana metoda badania ruchu popychacza w mechanizmach

krzywkowych.

Charakterystykê ruchu popychacza w postaci v(j) czy a(j) mo¿na sporz¹dziæ rów-

nie¿ na podstawie metody planów prêdkoci i przyspieszeñ. Dogodnie jest wtedy za-

st¹piæ mechanizm krzywkowy (rys. 114a) równowa¿nym mu mechanizmem zastêp-

czym (rys. 114b i c).

Przyk³adowo stosuj¹c jarzmowy schemat zastêpczy i korzystaj¹c ze zwi¹zków:

otrzymamy plan prêdkoci (rys. 115a) oraz przyspieszeñ (rys. 115b).

Metoda planów zapewnia wyniki dok³adniejsze, lecz jest bardziej pracoch³onna i

dlatego jest preferowana raczej do badania chwilowych parametrów ruchu w jed-

nym lub kilku po³o¿eniach mechanizmu.Oczywicie, przy okrelonym zarysie krzyw-

ki, do okrelenia prêdkoci i przyspieszeñ w sposób analityczny lub numeryczny, mo¿na

zastosowaæ inne metody analizy [12].

113

Poniewa¿ si³a T = P sin a zale¿y od wartoci k¹ta a, który, zwany dalej k¹tem

nacisku, bêdzie przedmiotem naszego zainteresowania. Na podstawie rys. 116b

α =

−

OD e

gdzie

AC S

+ =

−

Po uwzglêdnieniu, ¿e (z rys. 116b)

= OD/OA

oraz

= w OA; v

;

gdzie j k¹t obrotu krzywki

OD =

Ostatecznie

−

d
d

S e

(84)

Jak wynika z tej zale¿noci, wartoæ k¹ta a (a wiêc i wartoæ sk³adowej T) zale¿y

nie tylko od realizowanej przez mechanizm charakterystyki ruchu

S S

, d











, ale rów-

nie¿ od wartoci parametrów konstrukcyjnych r

i e. Te ciekawe spostrze¿enia bêd¹

wykorzystywane w procesie projektowania mechanizmów krzywkowych. Dla odpo-

wiednich wartoci parametrów konstrukcyjnych mo¿na uzyskaæ zak³adane watroci

k¹ta nacisku, a wiêc i dopuszczalny rozk³ad si³ oddzia³ywania w ca³ym mechanizmie

krzywkowym.

6.2.2. Mechanizmy zêbate

Do zamiany i przeniesienia ruchu z jednego wa³u na drugi stosuje siê najczêciej, i

to ju¿ od bardzo odleg³ych czasów, mechanizmy z³o¿one z kó³ zêbatych. Nosz¹ one

zwyle nazwê przek³adni.

Ze wzglêdu na wzajemne usytuowanie osi wa³ów, na których s¹ osadzone zazêbia-

j¹ce siê ze sob¹ ko³a, rozró¿niamy przek³adnie:

115

nego cyklu (rys. 119a) oraz o tzw. ko³ach niepe³nych stosowanych do uzyskiwania

ruchu przerywanego (rys. 119b).

Przek³adnie bêdziemy dzieliæ dalej na:

sta³e, w których osie kó³ s¹ nieruchome,

obiegowe, w których osie pewnych kó³ wykonuj¹ ruch obrotowy wokó³ osi in-

nych kó³.

Przek³adnie sta³e

Przek³adnie sta³e nale¿¹ do mechanizmów powszechnie stosowanych w budowie

maszyn i wystêpuj¹ w licznych i ró¿nych odmianach. Najprostszym ich przyk³adem

jest przek³adnia jednostopniowa z³o¿ona z dwóch wspó³pracuj¹cych ze sob¹ kó³ zêba-

tych (rys. 118).

Istotnym parametrem opisuj¹cym pracê ka¿dej przek³adni jest tzw. prze³o¿enie,

rozumiane jeko stosunek predkoci k¹towych rozpatrywanych dwóch kó³ zêbatych

= w

Dla przek³adni jednostopniowej z rys. 118, przedstawionej jeszcze raz na rys. 120,

prze³o¿enie mo¿na wyraziæ w postaci

S O

12 1

= ±

(85)

gdzie: S

chwilowy rodek obrotu ko³a (1) wzglêdem (2) okrelony jako punkt

styku kó³ toczonych,

i R

promienie kó³ podzia³owych kó³ (1) i (2).

Proste przekszta³cenia prowadz¹ do wyra¿enia

= ±

(86)

w którym Z

, Z

liczby zêbów kó³ zêbatych (1) i (2).

Rys. 118. Przyk³ady prostych przek³adni zêbatych: a) o zazêbieniu zewnêtrznym,

b) o zazêbieniu wewnêtrznym

116

Znak () w wyra¿eniach (85) i (86) dotyczy przek³adni o zazêbieniu zewnêtrznym

(rys. 120a) i oznacza niezgodnoæ zwrotów prêdkoci k¹towych, znak (+) odnosimy

natomiast do zazêbienia wewnêtrznego (rys. 120), gdzie prêdkoci k¹towe maj¹ zwro-

ty zgodne. Analogicznym stosunkiem liczby zêbów mo¿na wyraziæ prze³o¿enie w przek-

³adniach jednostopniowych, z³o¿onych z kó³ sto¿kowych, rubowych czy slimako-

wych. W tych ostatnich przypadkach znaki (+) lub () maj¹ sens tylko w wietle

oddzielnej umowy, dotycz¹cej sposobu ich inetrpretacji. W przek³adniach limako-

wych zagadnienie to wi¹¿e siê dodatkowo z kierunkiem uzwojenia wystêpuj¹ prze-

k³adnie prawo i lewozwojne.

Prze³o¿enie przek³adni mo¿na okreliæ równie¿ graficznie. Jak wiadomo, prêdkoæ

k¹tow¹ mo¿na wyraziæ

κ
κ

ϕ κ

v
r

( )
( )

a wiêc tak¿e

Sposób okrelania odcinków 01 i 02 wyjaniaj¹ konstrukcje przedstawione na rys. 120.

Oprócz najprostszych przek³adni jednostopniowych wystêpuj¹ powszechnie przek-

³adnie bardziej z³o¿one, wród których rozró¿niamy równoleg³e, szeregowe i mieszane.

Przek³adni¹ równoleg³¹ nazywamy tak¹ przek³adniê, w której ko³a porednicz¹-

ce miêdzy ko³em czynnym i biernym s¹ osadzone po 2 na wspólnych wa³kach. Prze-

k³adnie takie mog¹ byæ zestawione z kó³ ró¿nego typu, jak to pokazano na przyk³a-

dach przedstawionych na rys. 121. Ca³kowite prze³o¿enie jest iloczynem prze³o¿eñ

kolejnych par kó³ zêbatych, czyli

Rys. 119. Przyk³ady nietypowych przek³adni zêbatych: a) przek³adnia z tarcz¹ zêbat¹,

b) przek³adnia z jednym ko³em niepe³nym

118

Rys. 122. Przyk³ady przek³adni zêbatych szeregowych

Przek³adni¹ szeregow¹ bêdziemy nazywaæ przek³adniê, w której ko³a poredni-

cz¹ce miêdzy ko³em czynnym i biernym s¹ osadzone na oddzielnych wa³kach. Przy-

k³ady takich przek³adni przedstawiono na rys. 122. Ka¿de z kó³ porednicz¹cych za-

zêbia sie tu jednoczenie z dwoma s¹siednimi ko³ami. Oznacza to, ¿e modu³y takich

kó³ okrelaj¹ce geometriê zebów musz¹ byæ identyczne. Ca³kowite prze³o¿enie prze-

k³adni szeregowej wynosi

i i

12 23

−

...

(

)

(89)

co po podstawieniu i uproszczeniu prowadzi do zale¿noci

(90)

Dla przek³adni z rysunku 122a

−

( ) .

Oprócz przek³adni równoleg³ych i szeregowych wystêpuj¹ w praktyce ró¿ne odmia-

ny przek³adni mieszanych. Zak³ada siê, ¿e po tych wyjanieniach z okrelaniem

prze³o¿eñ w tych przek³adniach nie bêdzie problemów.

Przek³adnie obiegowe

Tak nazywamy (jak ju¿ wiadomo) przek³adnie, w których osie niektórych kó³,

zwanych obiegowymi (satelitami), wykonuj¹ ruch obrotowy wokó³ osi kó³ central-

nych (s³onecznych). Najprostsz¹ przek³adniê tego typu przedstawiono na rys. 123.

119

nawet bardzo du¿ych prze³o¿eñ. Dziêki mo¿liwoci zwielokrotnienia liczby kó³ obie-

gowych i uzyskania przez to roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych nadaj¹ siê do prze-

noszenia du¿ych mocy przy stosunkowo wysokiej sprawnoci, wymagaj¹ jednak du-

¿ej dok³adnoci wykonania i monta¿u.

Mechanizmy obiegowe znalaz³y równie¿ zastosowanie w urz¹dzeniach specjal-

nych, jak np. w maszynie do skrêcania lin (rys. 124) czy do uzyskania odpowiedniego

ruch t³oka w komorze silnika Wankla (rys. 125). Nale¿y zwróciæ uwagê na du¿¹ ró¿-

norodnoæ odmian tych mechanizmów i form ich budowy. Na rysunku 126 zestawio-

no przyk³adowo mo¿liwe odmiany przek³adni dwurzêdowych z³o¿onych tylko z czte-

rech kó³ zêbatych.

Przek³adnie obiegowe ró¿nicowe umo¿liwiaja sk³adanie kilku ruchów obrotowych

cz³onów czynnych w jeden ruch obrotowy cz³onu biernego lub na odwrót przekazy-

wanie ruchu obrotowego z jednego ród³a napêdu na kilka odbiorników. Pierwsz¹ z

tych mo¿liwoci wykorzystano w uk³adzie napêdu bêbna mechanizmu podnoszenia

wózka suwnicy (rys. 127). Zainstalowanie dwóch ró¿nej mocy silników S

i S

zapew-

nia bardziej racjonalne ich wykorzystanie. Stosownie do obci¹¿enia uruchamia siê

przy takim rozwiazaniu napêdu odpowiednio silnik jeden lub drugi, albo obydwa ra-

Ko³o (2), na skutek osadzenie jego osi w

obrotowym jarzmie J, jest satelit¹ ko³a cen-

tralnego (1). Ko³a centralne mog¹ byæ nie-

ruchome, jak w naszym przyk³adzie, lub ru-

chome. Przek³adniê, w której co najmniej

jedno ko³o centralne jest nieruchome, na-

zywa siê przek³adni¹ planetarn¹, przek³a-

dniê za, w której wszystkie ko³a centralne

s¹ ruchome ró¿nicow¹. Pierwsze z nich,

przy stosunkowo ma³ej liczbie kó³ zêbatych

i zwartej budowie, umo¿liwiaj¹ realizacjê

Rys. 123. Przyk³ad prostej przek³adni

obiegowej

Rys. 124. Przyk³ad zastosowania przek³adni obiegowej do skrêcania lin

121

zem. Odwrotn¹ w³aciwoæ przek³adni ró¿nicowej, przekazywania mocy od jednego

silnika na dwa niezale¿ne ko³a jezdne, zastosowano w powszechnie znanym dyferen-

cjale samochodowym (rys. 128).

Okrelanie prze³o¿eñ przek³adni obiegowych

Okrelanie prze³o¿eñ nale¿y do podstawowych zagadnieñ przek³adni obiegowych .

W fazie doboru i projektowania takich przek³adni interesujemy siê stosunkiem prêd-

koci k¹towych cz³onu czynnego i biernego. Zwykle s¹ nimi jarzmo i ko³a centralne,

choæ w szczególnych przypadkach zarówno cz³onem czynnym, jak i biernym mog¹

byæ ko³a obiegowe. Wszelkie prze³o¿enia w przek³adniach obiegowych mo¿na okre-

laæ ró¿nymi metodami, z których do bardziej znanych nale¿¹:

metoda analityczna (Willisa),

tablicowa (Swampa)

graficzna Kutzbacha.

Wymienione metody omówimy na przyk³adzie przek³adni przedstawionej na rys.

129. Znamy tu liczbê zêbów Z

, Z

i Z

oraz prêdkoæ obrotow¹ jarzma n

. Nale¿y

okreliæ prêdkoæ obrotow¹ n

ko³a biernego (1). Przede wszystkim celowe jest usta-

lenie, czy prêdkoci obrotowe n

, n

przy jednym cz³onie czynnym J s¹ jednoznaczne,

tzn. czy uk³ad jest jednobie¿ny. Obliczona ruchliwoæ tej przek³adni jako mechani-

zmu p³askiego, a wiêc wed³ug wzoru (8)

W = 3(4 1) 2· 3 1· 2 = 1

daje odpowied twierdz¹c¹. Mamy tu do czynienia z przek³adni¹ planetarn¹ (ko³o 3

nieruchome).

Metoda analityczna

Ruchy wszystkich kó³ (1, 2 i 3) oraz jarzma J rozpatrywanej przek³adni wzglêdem

podstawy mo¿na opisaæ jednoznacznie, podaj¹c ich tzw. prêdkoci obrotowe bezwzglêdne

, n

Opisuj¹c te same ruchy wzglêdem jarzma, otrzymamy odpowiednio prêdkoci obro-

towe wzglêdne

Rys. 127. Mechanizm ró¿nicowy zastosowany do wci¹garki dwignicowej

122

= n

; n

= n

; n

= n

Zwróæmy uwagê na to, ¿e rozpatruj¹c ruchy wszystkich kó³ przek³adni wzglêdem

jarzma, sprowadzamy jak gdyby przek³adniê obiegow¹ do przek³adni zwyk³ej o nieru-

chomych osiach kó³ (1), (2), (3). Oczywicie, w takiej przek³adni zwyk³ej (u nas sze-

regowej) zachodzi, na podstawie (89),

Z
Z

−

( ),

lub po podstawieniu

n n

−

= −

Ostatnie równanie umo¿liwia (przy za³o¿eniu n

= 0, danych n

oraz Z

i Z

)

obliczenie szukanego n

. Otrzymamy po przekszta³ceniu









,

lub inaczej

= +

Istota tej prostej metody polega, podkrelamy to jeszcze raz, na sprowadzeniu prze-

k³adni obiegowej do przek³adni zwyk³ej przez rozpatrywanie ruchów wszystkich kó³

wzglêdem jarzma.

Metoda tablicowa

Szukan¹ prêdkoæ k¹tow¹ ko³a (1) lub prze³o¿enie badanej przek³adni obiegowej

(rys. 129) mo¿na okreliæ równie¿, rozumuj¹c nastêpuj¹co: Obróæmy ca³y mecha-

Rys. 128. Przek³adnia ró¿nicowa zastosowana do napêdu pojazdów

123

Rys. 129. Jednorzêdowa przek³adnia obiegowa

nizm, traktuj¹c go jako bry³ê sztywn¹, wokó³ osi centralnej n

razy. W wyniku tego

zabiegu wszystkie cz³ony przek³adni wykonaj¹ n

obrotów. Zapiszemy to w pierw-

szym wierszu tabeli 7. Zauwa¿my teraz, ¿e w ten sposób jarzmo J wykona³o ju¿ swoj¹

okrelon¹ liczbê n

obrotów (dalej obracaæ nim nie ma potrzeby), natomiast ko³o (3) z

za³o¿enia nieruchome, wykona³o wraz z ca³ym mechanizmem, zamiast zero, n

obro-

tów. Aby rozbie¿noæ tê usun¹æ, nale¿y obróciæ (ju¿ w nastêpnym, drugim etapie)

ko³em (3) tak, by w sumie n

= 0. Oczywicie, w tym przypadku obrócimy ko³em (3) o

) obrotów, ale ju¿ przy nieruchomym jarzmie. Konsekwencj¹ tego bêd¹ obroty

ko³a (2) oraz ko³a (1). £atwo je okreliæ, gdy¿ w tej fazie ruchu, przy nieruchomym

jarzmie, mamy do czynienia z przek³adni¹ zwyk³¹ szeregow¹. Obroty te, obliczone

wed³ug zale¿noci n

= n

, n

= n

, gdzie n

= n

, wpisujemy w odpowie-

dnich rubrykach wiersza 2 tabeli 7, a nastêpnie sumujemy obroty poszczególnych

cz³onów w wierszu 3. Oczywicie, n

= n

; n

= 0, natomiast interesuj¹ce nas

obroty ko³a (1)

Tabela 7

124









.

Jak z tego widaæ, istot¹ metody tablicowej jest równie¿ sprowadzenie przek³adni

obiegowej do przek³adni zwyk³ej w wyniku wstêpnego obrotu ca³ego mechanizmu o n

Metoda graficzna (Kutzbacha)

Metodê graficzn¹ Kutzbacha analizy kinematycznej przek³adni obiegowej przed-

stawiamy na przyk³adzie tej samej przek³adni (rys. 129). Korzystaj¹c z tej metody,

mo¿na narysowaæ tê przek³adniê w rzucie na p³aszczyznê ruchu cz³onów przek³¹dni

(rys. 130a) i oznaczyæ przez O, A, B i C szczególne jej punkty pary kinematycz-

ne. Przy danych obrotach n

jarzma J mo¿na obliczyæ i w dowolnej podzia³ce k

narysowaæ v

= w

. Oczywicie, v

= v

, za w punkcie C, przy nierucho-

mym kole (3), v

= v

= 0 (rys. 130b). W tej sytuacji, przy znanych prêdkociach

dwóch punktów B i C ko³a (2), jest zdeterminowany ruch ca³ego ko³a (2), (punkt C

chwilowym rodkiem obrotu tego ko³a wzglêdem podstawy), w szczególnoci za jest

okrelony rozk³ad prêdkoci punktów le¿¹cych na rednicy CA, a tym samym prêd-

koæ punktu zazêbienia A. Poniewa¿ w punkcie A v

= v

, mo¿na wiêc równie¿

opisaæ ruch ko³a (1)

tg .

To proste rozumowanie doprowadzi³o do uzyskania wyniku w postaci graficznej.

Z rysunku 130 mo¿na odczytaæ oczywicie i zwrot prêdkoci k¹towej w

, a tak¿e

zwrot i modu³ prêdkoci k¹towej w

ko³a (2)

= −

Rys. 130. Przyk³ad graficznej metody (okrelania) prze³o¿enia przek³adni obiegowej

125

Odczytane w ten sposób wyniki by³yby jednak obarczone b³êdem nie do przyjêcia,

zw³aszcza przy bardzo du¿ych lub bardzo ma³ych prze³o¿eniach. W takim przypadku

postaæ graficzn¹ rozwi¹zania mo¿na wykorzystaæ do otrzymania zapisu analityczne-

go. Z rysunku 130 mamy bowiem R

= R

+ R

lub R

= R

oraz

−



















v
R

(

)

Ostatni wynik mo¿na zapisaæ inaczej











Przyk³adem przek³adni, dla której wynik rozwi¹zania w postaci graficznej by³by

nie do odczytania, jest przek³adnia, przedstawiona na rys. 131, z nastêpuj¹cymi licz-

bami zêbów

= 101; Z

= 51; Z

= 99; Z

= 50.

Prze³o¿enie wynosi tu

Z Z

1 4

3 2

−











po podstawieniu za

101 50

99 51

5049

−

⋅









= −

Rys. 131. Przyk³ad przek³adni

obiegowej o du¿ym prze³o¿eniu

Przyk³ad ten, potwierdzaj¹c nieprzydatnoæ

metod graficznych w pewnych przypadkach okre-

lenia prze³o¿eñ w przek³adniach obiegowych,

wskazuje jednoczenie na ogromne mo¿liwoci

tych przek³adni w realizacji bardzo ma³ych (bar-

dzo du¿ych) prze³o¿eñ.

Metoda graficzna (Beyera)

Metoda Beyera s³u¿y do analizy przek³adni

obiegowych k¹towych. U podstaw tej metody

le¿y spostrze¿enie, ¿e prêdkoæ k¹tow¹ ka¿dego

cz³onu k przek³adni mo¿na rozpatrywaæ jako

sumê wektorow¹ prêdkoci k¹towej innego cz³o-

nu l i prêdkoci unoszenia cz³onu k wraz z cz³o-

nem l; czyli

127

Bezwzglêdnym ruchem ko³a (2) jest w ka¿dej chwili obrót doko³a linii a

. Obrót

ko³a (2) wraz z jarzmem J jest ruchem unoszenia i odbywa siê doko³a osi ko³a (1),

natomiast wzglêdny obrót ko³a (2) nastêpuje wzglêdem w³asnej osi. Dla tego przyk³a-

du zapiszemy

Za³ó¿my, ¿e dana jest w

. Rysuj¹c ten wektor (oczywicie w okrelonej podzia³-

ce) mo¿emy, po wykorzystaniu znanych kierunków, znaleæ w

i w

(rys. 132b).

Przyk³ad

Dana jest przek³adnia przedstawiona na rys. 133a. Dla tej przek³adni mo¿emy zapisaæ

Ostatnie równania mo¿na przedstawiæ graficznie, bo znane s¹ kierunkiem wszyst-

kich wektorów (rys. 133a). Po wykonaniu tych sumowañ otrzymamy rozwi¹zania przed-

stawione na rys. 133b.

128

7. Analiza dok³adnoci

Przy okrelaniu parametrów kinematycznych zak³adano dotychczas, ¿e cz³ony roz-

patrywanego uk³adu s¹ sztywne, a ich geometria znana. W rzeczywistoci, podatnoæ

obci¹¿onych si³ami cz³onów, a tak¿e niedok³adne ich wykonanie, sprawia, ¿e geome-

tria cz³onów tylko w przybli¿eniu odpowiada za³o¿eniom projektanta. Oznacza to, ¿e

rzeczywiste po³o¿enie cz³onów i zwi¹zanych z nimi punktów odbiegaj¹ od po³o¿eñ

nominalnych. Fakt ten prowadzi w dalszym ci¹gu do wniosku, ¿e równie¿ rozpatrwa-

ne tory, prêdkoci i przyspieszenia, okrelone przy za³o¿eniu wymiarów nominal-

nych, nale¿y traktowaæ jako wielkoci przybli¿one. Oczywicie, rozpatrywane zmia-

ny mog¹ dotyczyæ modu³ów tych wielkoci, kierunków, a nawet ich zwrotów. Nale¿y

zasygnalizowaæ ju¿ w tym miejscu, ¿e to samo dotyczy równie¿ obci¹¿eñ statycznych

i dynamicznych.

W wietle podanych spostrze¿eñ pojawia siê potrzeba ilociowego opisu rozpatry-

wanych zmian. Najistotniejsz¹, bo decyduj¹c¹ o zmianie pozosta³ych parametrów,

jest zmiana po³o¿enia uk³adu. Przeanalizujemy j¹ bli¿ej, uwzglêdniaj¹c tylko niedo-

k³adnoci wykonania. Przede wszystkim wprowadzimy kilka podstawowych pojêæ:

B³êdem bêdziemy nazywaæ ró¿nice wartoci wielkoci rzeczywistej i nominalnej.

B³êdy mog¹ dotyczyæ wymiarów liniowych i k¹towych, a ponadto ustawienia, zwich-

rowania, owalu, mimorodu itp. W dalszym ci¹gu bêdziemy siê zajmowaæ przede

wszystkim b³êdami wymiarów liniowych i k¹towych.

Je¿eli przez x

oznaczymy wymiar rzeczywisty, przez x

za wymiar nominalny,

to b³¹d Dx wymiaru x wyrazimy

Dx = x

B³êdy nazywa siê równie¿ odchy³kami. Przy ca³ej serii mierzonych elementów, np.

cz³onów AB (rys. 134), wykonanych na ten sam wymiar nominalny x, b³êdy (odchy³-

ki) roz³o¿¹ siê w okrelonym pasmie. Szerokoæ tego pasma, czyli tzw. tolerancjê T

okrela maksymalny b³¹d dodatni odchy³ka górna G oraz maksymalny b³¹d ujemny

odchy³ka dolna F. Zachodzi relacja

T = G F.

(91)

B³êdy lub tolerancje wymiarów opisuj¹cych geometriê cz³onów bêdziemy nazy-

waæ dalej b³êdami lub tolerancjami wymiarowymi. B³êdy te powoduj¹, jak ju¿ po-

wiedziano, zmianê kszta³tu cz³onu rzeczywistego w stosunku do kszta³tu nominalne-

go. Fakt ten mo¿na przeledziæ na przyk³adzie trójwêz³owego cz³onu ABC (rys. 135).

129

Za³ó¿my, ¿e wykonano ca³¹ seriê tych elementów, opisanych wymiarami x

, x

przy okrelonych tolerancjach T

, T

(rys. 135a). W normalnych warunkach

ka¿dy element ABC bêdzie inny. Ka¿dy bêdzie charakteryzowa³ siê innymi b³êdami

, Dx

. Zestawmy w myli wszystkie te elementy rzeczywiste tak, by punkty

pokry³y siê ze sob¹ w punkcie O i kierunki A

pokrywa³y siê z kierunkiem l.

Wtedy wszystkie punkty B bêd¹ le¿a³y na odcinku L (o d³ugoci T

), punkty C

natomiast w polu P opisanym tolerancjami T

i T

(rys. 135b).

Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e rzeczywiste kszta³ty takiego cz³onu ABC, wykonanego

przy tych samych tolerancjach wykonawczych, bêd¹ ró¿ne dla ró¿nych sposobów jego

zwymiarowania. Mo¿na to przeledziæ na kolejnych przyk³adach przedstawionych na

rys. 136. W tym wietle dobór odpowiedniego sposobu zwymiarowania nabiera szcze-

gólnego znaczenia.

Wracaj¹c do uk³adów kinematycznych, z³o¿onych z takich rzeczywistych cz³o-

nów, zwrócimy jeszcze raz uwagê na to, ¿e zmiany ich kszta³tów powoduj¹ zmianê

po³o¿eñ tych cz³onów (w uk³adzie) w stosunku do po³o¿eñ nominalnych. Je¿eli po³o-

Rys. 134. Ilustracja pojêcia b³êdu, odchy³ki i tolerancji

Rys. 135. Cz³on trójwêz³owy: a) sposób zwymiarowania, b) rozrzut po³o¿eñ punktów wêz³owych

130

¿enie jakiego rozpatrywanego cz³onu lub punktu jest opisane wymiarami bêd¹cymi

funkcj¹ innych wymiarów wykonawczych, to wymiarowi temu, zwanemu dalej wy-

miarem wynikowym, mo¿na przypisaæ b³¹d lub tolerancjê wynikow¹.

Rozpatrzmy przyk³adowo popularny uk³ad napêdowy ABC (rys. 137a). Je¿eli x

i x

przyj¹æ za wymiary wykonawcze, to interesuj¹cy nas k¹t y, okrelaj¹cy

po³o¿enie ramienia BC, jako funkcja wymiarów x

, x

i x

bêdzie wymiarem

wynikowym, b³¹d Dy i Ty za odpowiednio b³êdem i tolerancj¹ wynikow¹.

W projektowaniu uk³adów kinematycznych wy³aniaj¹ siê dwa zagadnienia in¿y-

nierskie dotycz¹ce:

a) okrelenia przewidywanych tolerancji wynikowych przy zadanych tolerancjach

wykonawczych,

b) doboru tolerancji wykonawczych, zapewniaj¹cych za³o¿on¹ z góry tolerancjê

wynikow¹.

7.1. Okrelanie b³êdu i tolerancji wynikowej

Rozpatrywany w analizie dok³adnoci uk³ad kinematyczny dogodnie jest zast¹piæ

ci¹giem jego wymiarów wykonawczych oraz zamykaj¹cym wymiarem wynikowym.

Taki ci¹g wymiarów bêdziemy nazywaæ ³añcuchem wymiarowym. Przyk³adowy ³añ-

cuch wymiarowy, dla uk³adu z rys. 137a, przedstawiono na rys. 137b.

W naszych rozwa¿aniach ogólnych oznaczamy dalej wymiary wykonawcze przez

, wymiar wynikowy za przez b. Przy takich oznaczeniach napiszemy

b = f(x

(92)

Znalezienie b³êdu Db wymiaru wynikowego b przy zadanych wymiarach x

b³êdach wykonawczych Dx

oraz znanej postaci funkcji f jest formalnie proste

Rys. 136. Przyk³ady kolejnych sposobów zwymmiarowania i rozrzuty po³o¿eñ punktów wêz³owych

cz³onów trójwêz³owych

131

Rys. 137. Uk³ad napêdowy ABC: a) schemat kinematyczny zwymiarowany, b) ³añcuch wymiarowy

b = f(x

) + f(x

+ Dx

(93)

W praktyce, korzystanie z wzoru (93) prowadzi jednak do bardzo pracoch³onnych

i k³opotliwych rachunków. Z tych wzglêdów w teorii dok³adnoci rozwija siê funkcjê

(92) w szereg Taylora i przyjmuje do obliczeñ tylko wyraz liniowy szeregu. Godz¹c

siê z pewnym przybli¿eniem, otrzymujemy

∆

w x

i n

∑

(94)

gdzie

= ∂

∂

(95)

Wielkoæ w

nosi nazwê wspó³czynnika wp³ywu i bêdzie przedmiotem rozwa¿añ

w kolejnym rozdziale.

Z zale¿noci (94) mo¿na korzystaæ wówczas, gdy znane s¹ b³êdy Dx

, a wiêc gdy

rozpatrujemy uk³ad rzeczywisty. W fazie projektowania nale¿y za³o¿yæ losowy roz-

k³ad tych b³êdów zarówno co do modu³u, jak i znaku. Rachunek prawdopodobieñstwa

i statystyka prowadz¹ wtedy do zwi¹zku

(

)

∆

i n

⋅

∑

(96)

Czêsto dogodniej jest rozpatrywaæ nie b³êdy, lecz tolerancje. W tym celu mo¿na

stosowaæ analogiczne zwi¹zki

w T

i xi

i n

∑

;

(97)

132

oraz

(

)

w T

i n

⋅

∑

(98)

Zale¿noæ (94) bêdziemy stosowaæ we wszystkich przypadkach, w których nale¿y

oczekiwaæ losowych rozk³adów b³êdów, zale¿noæ (97) za przy ich najbardziej nie-

korzystnym rozk³adzie. Inaczej wyst¹pienie tolerancji wiêkszej od T

jest praktycz-

nie niemo¿liwe, a wiêkszej od T

zupe³nie niemo¿liwe. Zale¿noci¹ (97) nale¿y siê

pos³ugiwaæ wyj¹tkowo, gdy¿ skrajna ostro¿noæ jest uzasadniona ze wzglêdów tech-

nicznych i ekonomicznych.

7.2. Okrelanie wspó³czynników wp³ywu

Wspó³czynnik wp³ywu mo¿na okreliæ przez bezporednie ró¿niczkowanie funkcji

wymiarowej (92), co na ogó³ prowadzi do bardzo pracoch³onnych rachunków. Z tego

wzglêdu, w praktyce przyjê³y siê dogodniejsze graficzne metody okrelania wspó³-

czynników wp³ywu.

Sporód wielu metod okrelenia wspó³czynników w

, dotychczas najszersze zasto-

sowanie znalaz³a metoda opracowana przez N.G. Brujewicza. Polega ona na prostej

interpretacji kinematycznej. Dziel¹c licznik i mianownik zale¿noci (95) przez ¶t

otrzymamy

= ∂ ∂τ

∂

∂τ

Je¿eli przedzia³ czasu ¶t bêdzie d¹¿y³ do zera, to w granicy otrzymamy

(99)

Ze wzoru tego wynika, ¿e wspó³czynnik wp³ywu w

mo¿na interpretowaæ jako

stosunek prêdkoci zmiany wymiaru wynikowego do odpowiedniej prêdkoci zmiany

i-tego wymiaru wykonawczego, przy za³o¿eniu niezmiennoci pozosta³ych wymia-

rów. Wprowadzaj¹c, zgodnie z wzorem (99), zmienne wymiary wykonawcze, otrzy-

mamy pewne uk³ady kinematyczne tzw. mechanizmy pomocnicze o ruchliwoci

jeden. Otrzyma siê wiêc tyle mechanizmów pomocniczych, ile uwzglêdniono w anali-

zie b³êdów wykonawczych.

W po³o¿eniu uk³adu kinematycznego, w którym ma byæ przeprowadzona analiza

dok³adnoci, nale¿y najpierw uk³ad unieruchomiæ (na³o¿yæ liczbê wiêzów odpowia-

daj¹c¹ ruchliwoci teoretycznej), a dopiero potem wprowadzaæ mechanizmy pomoc-

nicze wed³ug N.G. Brujewicza. Sposób korzystania z metody omówiono na przyk³a-

dzie.

133

Niech bêdzie dany uk³ad kinematyczny przedstawiony na rys. 138. Wymiar b,

okrelaj¹cy po³o¿enie punktu E, jest funkcj¹ wymiarów wykonawczych x

, x

oraz wartoci k¹ta j. Jest wiêc wymiarem wynikowym. Okrelmy wspó³czynniki

wp³ywu wymiarów x

, x

. W tym celu sporz¹dzamy schematy mechanizmów za-

stêpczych (rys. 139a) oraz krelimy plany prêdkoci dla tych mechanizmów zastêp-

czych (rys. 139b). Zauwa¿my, ¿e we wszystkich przypadkach mechanizmy pomocni-

cze zapewniaj¹ mo¿liwoæ zmiany tylko wymiaru badanego przy niezmiennych war-

tociach wymiarów pozsta³ych. Zak³adaj¹c np. jednostkow¹ wartoæ prêdkoci tych

zmian, mo¿na w ten sposób okreliæ wp³yw zmiany poszczególnych wymiarów na

zmianê wymiaru wynikowego b. Otrzymujemy wiêc

;

Gdy znane s¹ wartoci wspó³czynników wp³ywu, mo¿na okreliæ spodziewan¹ to-

lerancjê T

wymiaru wynikowego przy zadanych tolerancjach T

wymiarów x

Zgodnie z wzorem (98), otrzymamy

(

) (

)

w T

Rys. 138. Schemat kinematyczny mechanizmu z naniesionymi wymiarami wykonawczymi (x

)

oraz wymiarem wynikowym (b)

136

9. Si³y i ich przegl¹d

Si³y dzia³aj¹ce na cz³ony uk³adów mechanicznych mo¿na podziêliæ na si³y czynne

(napêdowe) i si³y bierne (oporu).

Pierwsze z nich charakteryzuj¹ siê tym, ¿e ich wektory tworz¹ z wektorami prêd-

koci punktów przy³o¿enia si³ k¹ty ostre. Si³y te podtrzymuj¹ ruch uk³adu mechanicz-

nego. Opory, którymi nazywamy si³y tworz¹ce z odpowiednimi wektorami prêdkoci

k¹ty rozwarte, przeciwstawiaj¹ siê ruchom. Wród nich nale¿y rozró¿niæ tzw. opory

u¿yteczne, czyli te, których pokonanie jest zwi¹zane z wykonywaniem pracy celowej

i u¿ytecznej oraz opory szkodliwe, do których nale¿y zaliczyæ przede wszystkim si³y

tarcia w parach kinematycznych, opory orodka itp. Si³y obci¹¿aj¹ce poszczególne

cz³ony dzieli siê dalej na zewnêtrzne i wewnêtrzne. Do si³ zewnêtrznych zaliczamy

te, których ród³o le¿y poza rozpatrywanym cz³onem, np. si³y ciê¿koci, si³y techno-

logiczne itp. Do si³ wewnêtrznych zaliczamy si³y wystêpuj¹ce miêdzy cz³onami me-

chanizmu lub w rozpatrywanej czêci mechanizmu, np. w przekroju poprzecznym

cz³onu.

Odmienna naturê maj¹ si³y bezw³adnoci, bêd¹ce ród³em tzw. obci¹¿eñ dyna-

micznych. Ze wzglêdu na szczególne znaczenie, jakie odgrywaj¹ te si³y we wspó³cze-

snej technice, omówiono je bardziej szczegó³owo.

9.1. Si³y bezw³adnoci i ich redukcja

Na elementarn¹ masê dm

(rys. 140a) w ruchu, scharakteryzowanym przyspiesze-

niem a

, dzia³a si³a bezw³adnoci

m a

= −

⋅

Na cz³on o masie roz³o¿onej w sposób ci¹g³y dzia³a wiêc pewnego rodzaju ci¹g³e

pole si³ elementarnych. Taki rzeczywisty stan obci¹¿enia nale¿y uwzglêdniæ przy okre-

leniu wynikaj¹cych st¹d naprê¿eñ wewnêtrznych. Do pewnych jednak celów, np. do

wyznaczania si³ roboczych i oddzia³ywania w parach kinematycznych, mo¿na i dogo-

dnie jest zast¹piæ takie obci¹¿enie ci¹g³e umownymi si³ami skupionymi. W ogólnym

przypadku efekt dzia³ania wszystkich elementarnych si³ bezw³adnoci dla cz³onu bê-

d¹cego w ruchu z³o¿onym mo¿na przedstawiæ w postaci jednej si³y P

przy³o¿onej

w rodku masy S cz³onu oraz pary si³ M

(rys. 140b). Si³a

m a

= − ⋅ .

(100)

137

gdzie: m masa cz³onu,

przyspieszenie rodka masy cz³onu.

Jak wynika z zapisu wektorowego, si³a P

ma kierunek przyspieszenia a

i zwrot

przeciwny do zwrotu przyspieszenia, modu³ za równy m a

Moment si³ bezw³adnoci M

wzglêdem rodka masy

= −

⋅

ε.

(101)

gdzie: J

masowy moment bezw³adnoci cz³onu wzglêdem osi prostopad³ej do p³a-

szczyzny ruchu i przechodz¹cej przez rodek masy,

A przyspieszenie k¹towe cz³onu.

Ogólnie

∫

(102)

lub

gdzie i

promieñ bezw³adnoci.

Je¿eli moment M

zast¹piæ par¹ si³ P

tak¹, by jej ramiê h by³o równe

M
P

si³y za tworz¹ce tê parê (rys. 141a) bêd¹ spe³niaæ warunek

m a

= − ⋅

Rys. 140. Redukcja si³ bezw³adnoci: a) pole elementarnych si³ bezw³adnoci,

b) uk³ad zastêpczy pola si³

138

to si³y P

i P

jako równe sobie i przeciwnie skierowane, wzajemnie siê równowa-

¿¹. Wtedy druga si³a P

pary, jako jedyna si³a reprezentuje efekt dzia³ania wszyst-

kich elementarnych si³ bezw³adnoci (rys. 141b).

Szczególnymi przypadkami ruchów p³askich s¹ ruchy postêpowe i obrotowe.

Upraszcza siê wtedy zagadnienie si³ bezw³adnoci towarzysz¹cych takim ruchom.

1. Cz³on w ruchu postêpowym (rys. 142). Z za³o¿enia A = 0, a wiêc M

= 0, co

oznacza, ¿e si³y bezw³adnoci dzia³aj¹ce na taki cz³on redukuj¹ siê do jednej si³y

m a

= − ⋅ .

przechodz¹cej przez rodek masy.

2. Cz³on w ruchu obrotowym niejednostajnym wokó³ rodka ciê¿koci S (rys. 143).

W zwi¹zku z tym

Rys. 142. Cz³on w ruchu postêpowym.

wypadkowa si³ bezw³adnoci

Rys. 143. Cz³on B

w ruchu obrotowym wokó³

rodka ciê¿koci. Efektem dzia³ania

si³ bezw³adnoci moment si³ M

Rys. 141. Uk³ad zastêpczy reprezentuj¹cy si³y bezw³adnoci: a) si³a wypadkowa P

i para si³ P

b) si³a wypadkowa P

przesuniêta wzglêdem S na odleg³oæ h

139

= 0, a wiêc P

= 0.

Wynikiem dzia³ania elementarnych si³ bezw³adnoci jest tylko moment bezw³ad-

noci

= −

⋅

ε.

3. Cz³on w ruchu obrotowym niejednostajnym wokó³ osi nie przechodz¹cej prze

rodek ciê¿koci (rys. 144a). W tym przypadku

m a

= − ⋅

Zastêpuj¹c moment odpowiednio dobran¹ par¹ si³ P

, równ¹ P

, mo¿na moment

i si³ê zredukowaæ do jednej si³y P

, której linia dzia³ania przechodzi prze punkt W,

zwany punktem wahnieñ lub uderzeñ (rys. 144b). Punkt ten mo¿na traktowaæ tak,

jak gdyby w nim by³a skupiona masa ca³ego cz³onu, odleg³oæ za BW jako d³ugoæ

zredukowan¹ wahad³a fizycznego otrzymanego przez podwieszenie cz³onu BC w

punkcie B. Odleg³oæ BW, zawsze wiêksz¹ od BS, mo¿na okreliæ

BW = BS + SW = H + e,

(103)

przy czym

m a

m i

m a

⋅

⋅ ⋅

⋅

sin

ρ ε

czyli

(104)

Rys. 144. Cz³on BC w ruchu obrotowym. Redukcja si³ bezw³adnoci

141

Gdy znamy przyspieszenia a

poszczególnych punktów masowych, nietrudno przy-

porz¹dkowaæ im si³y bezw³adnoci P

(rys. 146b), a redukuj¹c je przez kolejne

sumowanie (np. za pomoc¹ wieloboku sznurowego) otrzymujemy wypadkow¹ P

tych si³ oraz jej liniê dzia³ania.

Model cz³onu zastosowany do okrelania wypadkowej si³ bezw³adnoci musi byæ

dynamicznie równowa¿ny cz³onowi, tzn. mieæ:

tê sam¹ masê ca³kowit¹,

tak samo po³o¿ony rodek ciê¿koci,

identyczny moment bezw³adnoæi wzglêdem rodka ciê¿koci.

Warunki te mo¿na zapisaæ za pomoc¹ nastêpuj¹cych równañ:

∑

m x

i i

⋅

∑

m y

i i

⋅

∑

(105)

m x

(

)

(

∑

w których: m

masa zastêpcza umieszczona w i-tym punkcie,

, y

wspó³rzêdne i-tych mas zastêpczych w uk³adzie wspó³rzêdnych

prostok¹tnych xOy (rys. 146),

, y

wspó³rzêdne rodka ciê¿koci,

masa cz³onu rzeczywistego,

masowy moment bezw³adnoci cz³onu rzeczywistego wzglêdem

rodka masy cz³onu.

Ka¿d¹ masê zastêpcz¹ mo¿na opisaæ trzema parametrami m

, x

i y

. Mamy wiêc

³¹czn¹ liczbê 3n parametrów, z których 4 (liczba równañ) mo¿na obliczyæ. Mo¿na

wiêc za³o¿yæ p parametrów, przy czym musi byæ spe³niony warunek

p = 3n 4,

z którego wynika, ¿e n ³ 2.

Zwróæmy uwagê, ¿e ju¿ przy n = 4 mo¿na narzuciæ po³o¿enia wszystkich czterech

mas zastêpczych, np. w tych punktach, których przyspieszenia znamy lub dogodnie

mo¿na je okreliæ.

Stosunkowo ³atwo rozwi¹zuje siê uk³ad równañ (105), je¿eli jedna z mas zastep-

czych przyj¹c w rodku masy S, a tam z kolei umieciæ pocz¹tek uk³adu wspó³rzêd-

nych. W takim przypadku, np. dla ³¹cznika BC (rys. 147), mamy

+ m

= m,

· b + m

· c = 0,

· b

+ m

· c

= J

142

Rys. 148. Redukcja mas: a) uk³ad rzeczywisty, b) model dynamiczny z³o¿ony

z cz³onów niewa¿kich i mas skupionych

Po rozwi¹zaniu

b l

c l

m J

b c

⋅

−

⋅

Masy skupione dogodnie jest umieciæ w rodkach par obrotowych, co znacznie

upraszcza okrelanie przyspieszeñ.

W ten sposób mo¿na zast¹piæ przyk³adowy mechanizm korbowodzikowy (rys. 148a)

dogodnym uk³adem mas skupionych (rys. 148b). Cz³ony (2) i (3) zast¹piono uk³adami

trzech mas skupionych (w przegubach i rodkach ciê¿koci) co oznacza, ¿e

= m

+ m

i m

= m

+ m

Taki uk³ad modelowy (rys. 148b) jest równowa¿ny dynamicznie uk³adowi fizycz-

nemu (rys. 148a).

Rys. 147. Cz³on dwuwêz³owy BC i jego trójmasowy model dynamiczny

Rys. 149. Si³y odzia³ywania w parach kinematycznych: a) w parze obrotowej,

b) w parze postêpowej, c) w parze wy¿szej

10. Kinetostatyka

W ka¿dym uk³adzie kinematycznym w jego ruchomych po³¹czeniach zachodzi od-

dzia³ywanie cz³onów na siebie. Si³ê oddzia³ywania tworz¹cych parê cz³onów k i l

oznaczaæ bêdziemy przez P

(oddzia³ywanie cz³onu k na l) lub przez P

(oddzia³y-

wanie cz³onu l na k), przy czym (rys. 149)

= −

Wyznaczanie tych si³ nale¿y do podstawowych zadañ w procesie projektowania.

Niezbêdna jest te¿ znajomoæ tzw. si³y równowa¿¹cej F

lub momentów równowa-

¿¹cych M

. Przez pojêcia te rozumiemy si³y (lub momenty si³) przy³o¿one do wybra-

nych cz³onów uk³adu kinematycznego, utrzymuj¹ce uk³ad w równowadze. Je¿eli np.

na cz³ony uk³adu dzia³aj¹ obci¹¿enia zewnêtrzne M

, P

, G

(rys. 150) i efekt ich

dzia³ania udaje siê zrównowa¿yæ jedn¹ si³¹ F

, to tak¹ si³ê nazywamy w³anie si³¹

równowa¿¹c¹. Wyznaczanie zarówno si³ oddzia³ywania, jak i si³ równowa¿¹cych mo¿na

dokonywaæ w uk³adach pozostaj¹cych w spoczynku znanymi z mechaniki metodami

statyki.

Mechanizmy (uk³ady cz³onów ruchomych) odró¿nia od uk³adów nieruchmych to,

¿e na ich cz³ony dzia³aj¹ dodatkowo si³y bezw³adnoci. Je¿eli jednak wypadkowe

tych si³, które potrafimy okreliæ (p. 9.1) potraktowaæ jako si³y zewnêtrzne dzia³aj¹ce

na cz³ony obok innych si³ zewnêtrznych, nie zmieni to obci¹¿enia samych par kine-

145

W celu wyjanienia struktury grup statycznie wyznaczalnych, daj¹cych mozliwoæ

okrelenia za pomoc¹ metod statycznych niewiadomych si³ oddzia³ywania w parach

kinematycznych, konieczne jest ustalenie zale¿noci miêdzy liczb¹ cz³onów i par ki-

nematycznych, przy której si³y niewiadome mog¹ byæ okrelone za pomoc¹ równañ

statycznych.

Zale¿noæ tê mo¿na ustaliæ przez dok³adn¹ analizê si³ oddzia³ywania w parach

kinematycznych. Je¿eli pomin¹æ zjawisko tarcia, to w parze obrotowej (I kl.) linia

dzia³ania wypadkowej oddzia³ywania wzajemnego dwóch cz³onów l i k przechodzi

przez rodek pary oraz

= −

(rys. 149a). Nie s¹ znane modu³ i kierunek si³y.

Mo¿na powiedzieæ inaczej, ¿e para obrotowa I klasy dostarcza dwie niewiadome. W

parze I klasy postêpowj (rys. 149b) wypadkowa (

= −

) oddzia³ywania wza-

jemnego ma kierunek prostopad³y do prowadnicy, nie s¹ znane natomiast punkt przy-

³o¿enia i modu³. A wiêc dostarcza ona tak¿e dwie niewiadome. W parze wy¿szej II

klasy (rys. 149c) si³a oddzia³ywania jest okrelona co do kierunku (normalny do wspól-

nej stycznej) i punktu przy³o¿enia (punkt styku), niewiadom¹ jest za tylko modu³.

Je¿eli w uk³adzie mechanicznym p³askim wystêpuje p

par I klasy i p

par II

klasy, to ³¹czna liczba parametrów, jak¹ nale¿y okreliæ przy wyznaczaniu si³ oddzia-

³ywania, wyniesie 2p

+ p

. Z drugiej strony, dla ka¿dego cz³onu w ³añcuchu p³askim

mo¿na napisaæ 3 równania równowagi suma rzutów na dwie osie prostopad³e oraz

suma momentów wzglêdem dowolnego punktu równa siê zeru. Oznacza to, ¿e dla n

cz³onów liczba równañ, a wiêc liczba parametrów, które mo¿na obliczyæ, wynosi 3n.

Mo¿na wiêc napisaæ

3n = 2p

+ p

(106)

Wed³ug zale¿noci (106) mo¿na sprawdziæ, czy wydzielona z mechanizmu grupa

cz³onów jest statycznie wyznaczalna. Nale¿y przy tym nadmieniæ, ¿e w wydzielonej

z mechanizmu grupie statycznie wyznaczalnej musz¹ byæ znane wszystkie obci¹¿enia

zewnêtrzne.

Je¿eli z uk³adu mechanicznego wydzielimy mo¿liwe grupy statycznie wyznaczal-

ne, spe³niaj¹ce warunek (106), to pozostan¹ tylko cz³ony czynne. Oznacza to, ¿e ana-

lizê kinetostatyczn¹ mechanizmów mo¿na sprowadziæ do analizy grup statycznie wyz-

naczalnych i cz³onu czynnego, co sugeruje z kolei mo¿liwoæ opracowania ogólnych

metod rozwi¹zywania wszystkich mechanizmów p³askich.

10.1.1 Analiza si³ w grupach statycznie wyznaczalnych

Wychodz¹c z zale¿noci (106), mo¿na kolejnym liczbom n cz³onów przyporz¹d-

kowaæ liczby p

i p

par wystêpuj¹cych w grupie. Zestawione w tabeli 8 przyk³ado-

we wyniki takich operacji wskazuj¹ na du¿¹ ró¿norodnoæ grup nawet przy ma³ych

liczbach n. Najprostsz¹ odmianê grupy stanowi pojedynczy cz³on dwuwêz³owy (we-

rsja 1.1.1) lub trójwêz³owy (wersja 1.0.3). Stosunkowo proste grupy tworz¹ tak¿e

tzw. dwucz³ony, z których do najczêciej spotykanych nale¿y wersja 2.3.0. Po wpro-

wadzeniu w miejsce par kinetycznych I kl i II kl. ró¿nych postaci, otrzymamy ró¿ne

146

Tabela 8

Rys. 152. Postacie najprostszej grupy statycznie wyznaczalnej

Rys. 153. Postacie dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej

postacie wersji grup statycznie wyznaczalnych. Postacie grup wersji 1.1.1 przedsta-

wiono na rys. 152, natomiast wersji 2.3.0 na rys. 153.

Ka¿da z postaci, nawet tej samej wersji, wymaga nieco odmiennego toku postêpo-

wania, co mo¿na przeledziæ na kilku przyk³adach rozwi¹zanych metodami grafoana-

litycznymi.

Wersja 1.1.1 postaæ C

Niech w badanym mechanizmie bêdzie grupa jednocz³onowa (rys. 154a) obci¹¿o-

na zredukowan¹ si³¹ zewnêtrzn¹ P

i momentem zredukowanym M

. Nale¿y okre-

liæ si³y oddzia³ywania P

cz³onu x na 1 w parze A i P

cz³onu y na 1 w parze B.

Wiadomo, ¿e w parze obrotowej A wypadkowa si³a oddzia³ywania przechodzi przez

rodek pary. W parze wy¿szej B si³a oddzia³ywania przechodzi przez punkt styku i

jest prostopad³a do stycznej w punkcie styku. Znany jest wiec kierunek i punkt przy-

³o¿enia si³y oddzia³ywania P

. Zapisuj¹c równania momentów wzglêdem punktu A

mo¿na obliczyæ si³ê P

. Bêdzie

· h

+ M

= 0,

147

a wiêc

P h

⋅ −

Si³ê oddzia³ywania P

znajdziemy na podstawie np. warunku, ¿e suma wszyst-

kich si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on 1 w równowadze równa siê zeru, czyli

P P

+ +

= .

Ostatnie równanie mo¿na rozpisaæ w postaci dwóch równañ analitycznych lub roz-

wi¹zaæ graficznie (rys. 154b).

Wersja 1.1.1 postaæ B

W ogólnym przypadku, gdy cz³on (1), stanowi¹cy grupê tej wersji, jest obci¹¿ony

wypadkow¹ si³¹ P

i wypadkowym momentem M

(rys. 155), si³y oddzia³ywania

w parze postêpowej A i P

w parze wy¿szej B mo¿na okreliæ np. na

podstawie nastêpuj¹cych równañ:

P P

+ +

= .

· h

+ M

= 0.

Pierwsze z równañ, przy znanych kierunkach szukanych si³ P

i P

, mo¿na

rozwi¹zaæ graficznie (rys. 155b), z drugiego za, wyra¿aj¹cego sumê momentów si³

zewnêtrznych wzglêdem specjalnie dobranego punktu S, mozna obliczyæ h

. Nale¿y

zwróciæ uwagê, ¿e linia dzia³ania si³y P

mo¿e przebiegaæ poza miejscem styku

wchodz¹cych w po³¹czenie cz³onów. Jest to mo¿liwe dlatego, poniewa¿ P

jest

wypadkow¹ dwóch si³ dzia³aj¹cych w rzeczywistych lub umownych punktach A' i A"

(rys. 156).

Rys. 154. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 1.1.1.C):

a) cz³on 1 obci¹¿ony si³ami zewnêtrznymi, b) wielobok si³

148

Wersja 2.3.0 postaæ A

Wydzielaj¹c z badanego mechanizmu grupê tego typu (rys. 157a) zast¹pimy, jak w

poprzednich przypadkach, wiêzy nak³adane przez cz³ony x i y si³ami oddzia³ywania

i P

. Te nie znane si³y roz³o¿ymy na dwie ich sk³adowe: normalne (wzd³u¿ osi

cz³onów) i styczne (prostopad³e do pierwszych).

Tak dobrane kierunki sk³adowych pozwalaj¹ okreliæ sk³adowe styczne P

i P

wystarczy w tym celu u³o¿yæ dla ka¿dego cz³onu oddzielnie równanie momentów si³

wzglêdem wspólnego przegubu B. Mamy wtedy dla cz³onu (1)

· AB + P

· h

+ M

= 0,

a wiêc

−

⋅ +

P h

Rys. 155. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 1.1.1 B):

a) cz³on (1) z obci¹¿enien zewnêtrznym, b) wielobok si³

Rys. 156. Wypadkowa si³ oddzia³ywania w parze postêpowej: a) para postêpowa z cz³onem (1)

obci¹¿onym momentem M, b) wielobok si³

149

dla cz³onu (2)

· BC + P

· h

+ M

= 0,

a wiêc

P h

⋅ +

W równaniach momentów nie wyst¹pi³y si³y sk³adowe P

i P

, gdy¿ ich ramio-

na dzia³ania s¹ równe zeru. Sk³adowe te mo¿na okreliæ, rozpatruj¹c z kolei równowa-

gê si³ ca³ej grupy

P P

+ +

= .

Równanie to, w którym wystêpuj¹ tylko dwie niewiadome P

, P

i to znane co

do kierunku, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 157b). W tym celu prowadzimy znany

kierunek n

// AB i z dowolnego punktu N

rozpoczynamy sumowanie kolejnych si³

P P i P

. Z koñca N

ostatniego wektora poprowadzony kierunek n

// CB

przetnie siê z n

w punkcie N, wyznaczaj¹c szukane

N N

. W

ten sposób okrelone

, tworz¹ wraz z si³ami

wielobok si³ wyznaczaj¹cy równie¿

(rys. 157c). Jest bowiem

+ +

Rys. 157. Rozwi¹zania dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej z parametrami obrotowymi

(wersja 2.3.0.A): a) dwucz³on ABC z obci¹¿eniem zewnêtrznym, b i c) wieloboki si³

150

Wersja 2.3.0 postaæ B

Tak jak w poprzednim przypadku i tu przy obci¹¿eniu dwucz³onu ABC jak na

rys. 158a, nale¿y okreliæ P

, P

i P

. Jak ju¿ wiadomo, kierunek wypadkowej

si³y oddzia³ywania w parze postêpowej jest znany. Si³ê oddzia³ywania P

roz³o-

¿ymy na normaln¹ P

wzd³u¿ prostej CB i styczn¹ P

do niej prostopad³¹,

Korzystaj¹c z równania momentów wzglêdem punktu B obliczymy sk³adow¹ P

Bêdzie

· CB M

· h

= 0,

czyli

P h

⋅ +

Z warunku równowagi si³

P P

+ +

mo¿na okreliæ graficznie si³y P

i P

(rys. 158b).

Ramiê h

si³y P

mo¿na znaleæ z równania momentów si³ przy³o¿onych do

cz³onu (1) wzglêdem np. punktu B

· h

= 0,

sk¹d

P h

⋅ +

Rys. 158. Rozwi¹zanie dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 2.3.0.C):

a) dwucz³on ABC z obci¹¿eniem zewnêtrznym, b) wielobok si³

153

Wydzielaj¹c grupê tego typu (rys. 159a) z badanego mechanizmu zast¹pimy, jak

w poprzednich przypadkach, wiêzy nak³adane przez cz³ony x, y, z, si³ami oddzia³y-

wania P

, P

i P

. Te nie znane si³y roz³o¿ymy na dwie sk³adowe normalne (wzd³u¿

osi cz³onów) i styczne (prostopad³e do pierwszych).

Tak dobrane kierunki sk³adowych pozwalaj¹ okreliæ sk³adowe styczne

Wystarczy w tym celu u³o¿yæ dla ka¿dego cz³onu oddzielnie równanie momentów

wzglêdem przegubów C, D i F. Mamy wtedy dla cz³onu (3)

· BC P

· h

= 0,

a wiêc

P h

⋅

dla cz³onu (5)

· ED P

· h

= 0,

a wiêc

P h

⋅

dla cz³onu (6)

· GF P

· h

= 0,

a wiêc

P h

⋅

Jedn¹ z trzech si³ normalnych wyznaczymy, korzystaj¹c powtórnie z sumy mo-

mentów. W tym celu nale¿y poszukaæ takiego punktu, dla którego ramiona dwóch si³

normalnych bêd¹ równe zeru. Takim punktem jest jeden z trzech punktów Assura dla

grupy III klasy, np. punkt R. Dla równania sumy momentów wzglêdem punktu R

otrzymamy

BR P h

P h

ER P h

⋅

− ⋅

− ⋅ + ⋅

−

⋅

− ⋅

⋅ +

⋅

= ,

a wiêc

BR P h

P h

ER P h

= −

⋅

+ ⋅

+ ⋅ − ⋅

−

⋅

+ ⋅

−

⋅

Sk³adowe

mo¿na okreliæ rozpatruj¹c równowagê si³ ca³ej grupy, a wiêc

= .

154

Równanie to, w którym wystêpuj¹ tylko dwie niewiadome P

i P

, i to znane co

do kierunku, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 159b). Pozosta³e si³y oddzia³ywannia

mo¿na obliczyæ z równowagi cz³onów:

dla cz³onu (3)

P P

= ,

dla cz³onu (5)

P P

+ +

= ,

dla cz³onu (6)

= .

Oczywicie, dla cz³onu (4) musi byæ

= .

Poprzestaj¹c na omówieniu tych przypadków wyra¿amy przekonanie, ¿e przyk³a-

dy te powinny u³atwiæ stworzenie stosownej metody rozwi¹zywania kolejnych wersji

i postaci grup statycznie wyznaczalnych.

10.2. Równowaga cz³onu czynnego

Jak to wykazano w podrozdziale 10.1, grupy statycznie wyznaczalne charakteryzu-

j¹ siê tym, ¿e przy³¹czone parami wolnymi do podstawy tworz¹ uk³ad sztywny. Ru-

chliwoæ ich W = 0, a zatem wydzielone z mechanizmu nie zmieniaj¹ ruchliwoci

pozosta³ej czêci uk³adu mechanicznego. Wydzielaj¹c takie grupy z uk³adu a¿ do skutku,

otrzymamy pozosta³oæ w postaci jednego cz³onu lub grupy cz³onów napêdzaj¹cych.

Najczêciej cz³onem napêdzaj¹cym jest cz³on osadzony obrotowo w podstawie z przy-

³o¿onym napêdem w postaci momentu czynnego M

(rzadziej si³y P

) lub wchodz¹cy

z podstaw¹ w parê postêpow¹ z napêdem w postaci si³y czynnej P

. Poza tym cz³on

napêdzaj¹cy mo¿e byæ obci¹¿ony jak ka¿dy inny si³ami zewnêtrznymi, bezw³adnoci,

ciê¿koci i si³ami oddzia³ywania innych cz³onów. Najczêciej wystêpuj¹ce rodzaje

cz³onów czynnych omówiono w kolejnoci.

A. Cz³on obrotowo osadzony w podstawie z napêdem przy³o¿onym w postaci mo-

mentu M

(rys. 160). Oznaczmy tradycyjnie podstawê przez (1), cz³on czynny przez

(2), przez (3) natomiast cz³on mechanizmu, który tworzy po³¹czenie ruchowe z cz³o-

nem czynnym. Cz³on czynny (2) obci¹¿ony jest znan¹ si³¹ P

w punkcie B, nie znan¹

si³¹ P

w punkcie A oraz nie znanym momentem M

. Dla okrelenia tego momentu

dogodnie jest M

zast¹piæ par¹ si³. Je¿eli cz³on (2) jest w równowadze, to jedna z si³

tej pary musi w punkcie B równowa¿yæ zewnêtrzn¹ si³ê P

, czyli

= −

W ten sposób okrelona jest równie¿ i druga si³a pary w punkcie A

(

)

= −

oraz

ramiê h pary.

156

Rys. 162. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym w ruchu postêpowym a) cz³on czynny, b) plan si³

P P

= .

Korzystaj¹c ze znajomoci kierunków pozosta³ych si³ (linie tych trzech si³ w rów-

nowadze przecinaj¹ siê w jednym punkcie) znajdziemy ich modu³y z wieloboku si³

(rys. 161b).

C. Cz³on w ruchu postêpowym wzglêdem podstawy z przy³o¿onym napêdem w

postaci si³y P

(rys. 162). Tu równie¿ nie znane dotychczas si³y P

i P

znajdzie-

my z równowagi cz³onu (2) (rys. 162b)

P P

+ +

ramiê h

dzia³ania si³y P

natomiast z równania momentów

· h

= 0

lub graficznie korzystaj¹c z tego, ¿e linie trzech si³ w równowadze przecinaj¹ siê w

jednym punkcie.

Potrafimy wiêc ju¿ analizowaæ wydzielone z mechanizmu grupy statycznie wyzna-

czalne oraz pozosta³y w wyniku podzia³u cz³on czynny przy podstawie. Zalecaj¹c taki

tok postêpowania przeledmy go na prostym przyk³adzie (rys. 163).

10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych

metod¹ energetyczn¹

Stosuj¹c poznan¹ metodê kinetostatyki mo¿na, przez wyznaczenie si³ oddzia³ywa-

nia we wszystkich parach kinematycznych, okreliæ równie¿ si³y i momenty równo-

wa¿¹ce. W celu okrelenia tylko si³ i momentów równowa¿¹cych, wielkoci niezbêd-

158

nych np. do ustalenia mocy napêdu, mo¿na skutecznie pos³u¿yæ siê prost¹ metod¹

opart¹ na zasadzie prac przygotowanych.

W myl tej zasady, suma prac przygotowanych si³ i momentów dzia³aj¹cych na

cz³ony uk³adu mechanicznego w równowadze równa siê zeru. Mo¿na to zapisaæ na-

stêpuj¹co

(

cos

)

⋅

∑

∆

(107)

gdzie: P

, M

si³y i momenty si³,

, Dj

przesuniêcia przygotowane wyra¿one drog¹ liniow¹ S punktów przy-

³o¿enia si³ lub drog¹ k¹tow¹ j obci¹¿onych momentami cz³onów.

Po podzieleniu wyra¿enia (107) przez Dt i przejciu do granicy otrzymamy

(

cos

)

P v

⋅

∑

(108)

gdzie v

, w

prêdkoæ punktu przy³o¿enia si³y, prêdkoæ k¹towa cz³onu obci¹¿one-

go momentem si³.

Z zale¿noci (108) mo¿na okreliæ jedn¹ z si³, np. nie znan¹ si³ê równowa¿¹c¹ lub

jeden z momentów, przy czym mo¿na tego dokonaæ analitycznie lub graficznie. Pozos-

taj¹c przy drugim sposobie, rozpatrzmy dowolny cz³on BC (rys. 164a) obci¹¿ony si³¹

P w punkcie D o znanej prêdkoci v

. Obierzmy dowolny punkt jako biegun p

(rys. 164b), od³ó¿my z niego obrócon¹ o p/2 prêdkoæ v

i do koñca tego wektora

przeniemy rozwijan¹ przez si³ê P (N

= P· v

· cos a

) mo¿na wyraziæ iloczynem

P·h, w którym h = v

cos a

jest ramieniem si³y wzglêdem bieguna p

. Chwilow¹

moc si³y P mo¿na wiêc przedstawiæ w postaci pewnego momentu"

P·v

cos a

= P·h.

To samo mo¿na powiedzieæ o mocach si³ dzia³aj¹cych na wszystkie inne cz³ony

rozpatrywanego uk³adu mechanicznego, a zatem

Rys. 164. Ilustracja zasady dwigni ¯ukowskiego: a) cz³on BC obci¹¿ony si³¹ P,

b) obrócony plan prêdkoci obci¹¿ony si³¹ P

159

Rys. 165. Ilustracja zasady dwigni ¯ukowskiego: a) cz³on obci¹¿ony moentem M,

b) obrócony plan prêdkoci obci¹¿ony momentem M

(

cos )

(

P v

P h

⋅

∑

(109)

Moment" obci¹¿aj¹cy cz³on mo¿na, jak pokazano na rys. 165a, zast¹piæ par¹ si³

i traktowaæ je jako si³y zewnêtrzne. Si³y takie przy³o¿one w odpowiednich punktach

na planie predkoci daj¹ moment zastêpczy M

= F· bc, ale poniewa¿

wiêc

M bc

= ±

⋅

(110)

Mo¿na wiêc obci¹¿enie cz³onu momentem M zast¹piæ odpowiednio dobran¹ par¹

si³ lub momentem" zastêpczym M

. Znak (+) jest aktualny, gdy zwroty wektorów bc

i BC s¹ zgodne, znak (), gdy zwroty s¹ przeciwne.

Spostrze¿enia te wykorzystujemy do okrelenia w prosty sposób si³ i momentów

równowa¿¹cych w uk³adach mechanicznych. W tym celu nale¿y badanemu mechaniz-

mowi przyporz¹dkowaæ odpowiedni obrócony w dowolnym kierunku i dowolnej

podzia³ce wykrelony plan prêdkoci i w odpowiednich punktach obci¹¿yæ go si³ami

zewnêtrznymi. Warunek równowagi uk³adu mechanicznego obci¹¿onego uk³adem si³

sprawdza siê, jak to wynika z równania (109), do równowagi momentów tych si³

liczonych wzglêdem bieguna p

, czyli równowagi obci¹¿onego planu prêdkoci trak-

160

towanego jako dwignia sztywna obrotowa osadzona w biegunie. Dwignia ta nosi

nazwê dwigni ¯ukowskiego. Sposób korzystania z niej zilustrowano na nastêpuj¹-

cych przyk³adach:

1. Dany jest mechanizm ABC (rys. 166a) obci¹¿ony w punkcie D ³¹cznika znan¹

si³¹ F

. Nale¿y okreliæ si³ê S, która przy³o¿ona do t³oka utrzyma mechanizm w

równowadze.

Zgodnie z opisan¹ metod¹ wykrelono, po za³o¿eniu dowolnej prêdkoci dowolne-

go punktu (np. B) w dowolnym kierunku, obrócony plan prêdkoci (rys. 166b). W

odpowiednich punktach (u nas w d i c) przy³o¿ono znan¹ si³ê F

i szukan¹ si³ê S.

Równowaga dwigni zachodzi, gdy:

S· h

+ F

· h

= 0,

a zatem szukan¹ si³ê równowa¿¹c¹ mo¿na obliczyæ z zale¿noæi

F h

⋅

Wartoæ stosunku h

mo¿na okreliæ analitycznie lub, na podstawie rysunku

166b, graficznie.

2. W mechanizmie ABCD (rys. 167a) dana si³a S si³ownika równowa¿y moment

bierny M

. Nale¿y okreliæ ten moment. Sporz¹dzamy obrócony plan prêdkoci (rys.

167b) i traktuj¹c go jako dwignie sztywn¹ obrotowo osadzon¹ w biegunie p

, obci¹-

¿amy si³ami S w punktach e i f oraz momentem" zastêpczym M

. Z równowagi

takiej dwgini wynika, ¿e

+ S· h

S· h

= 0,

Rys. 166. Okrelanie si³y równowa¿¹cej S metod¹ prac przygotowanych: a) schemat kinematyczny

mechanizmu, b) dwignia ¯ukowskiego

163

rzystuje siê z po¿ytkiem (np. hamulce, sprzêg³a i przek³adnie cierne). Podjêty temat

tarcia rozpatrzymy w aspekcie jego wp³ywu na si³y w parach kinematycznych. Rozpo-

czynaj¹c od krótkiego przypomnienia wiadomoci elementarnych, w tabeli 10 zesta-

wiono podstawowe pojêcia i podzia³y. W tabeli tej zaakcentowano, za pomoc¹ dodat-

kowych ramek (linia przerywana) przedmiot i kierunek naszych zainteresowañ. Pozo-

staj¹c dalej przy tarciu suchym technicznym, zwróæmy uwagê na z³o¿onoæ zjawiska.

Objawia siê ono oporem notowanym przy ruchu wzglêdem dwóch cia³ pozostaj¹cych

ze sob¹ w kontakcie (rys. 168). Opór ten jest pochodzenia fizykomechanicznego i

zale¿y od wielu czynników. Aby nawi¹zaæ do podstawowych pojêæ z tego zakresu,

rozpatrzmy punktowy styk dwóch cia³ (1) i (2) (rys. 169a). Niech bêdzie cz³on (2)

dociskany do cz³onu (1) z si³¹ Q i poddany dzia³aniu si³y F. W wyniku takiego obci¹-

¿enia w punkcie styku pojawiaja siê dwie si³y tarcia T

i T

, przy czym

= − .

Ogólnie 0 < T

< T

, przy czym, zgodnie z przyjêtym i wykorzystywanym w

technice prawem Coulomba-Amontosa,

= m· Q.

(111)

Wartoæ wspó³czynnika tarcia m zale¿y od rodzaju stykaj¹cych siê cia³, stanu ich

powierzchni, temperatury, ale równie¿, co siê czêsto pomija, od nacisków jednostko-

wych p, prêdkoci ruchu wzglêdnego v, czasu styku itd. Przyk³ady charakterów prze-

biegów niektórych zale¿noci uzyskanych podczas badania wybranych par tr¹cych

przedstawiono na rys. 170.

Wróæmy ponownie do rysunku 169. W wyniku pojawienia siê podczas ruchu si³y

tarcia T

, ca³kowita si³a oddzia³ywania

tworzy z normaln¹ nn w

punkcie styku k¹t tarcia r (tg r = m). Zak³adaj¹c, ¿e mo¿na rozpatrywaæ dowolny

kierunek ruchu wzglêdnego v

, w celu opisania kierunku si³y oddzia³ywania P

oraz

ruchu cz³onu przy danym obci¹¿eniu i wspó³czynniku tarcia, stosuje siê pojêcie tzw.

sto¿ka tarcia o k¹cie wierzcho³kowym 2r (rys. 169b). Je¿eli linia dzia³ania si³ ze-

wnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (2) (

= +

) bêdzie przebiegaæ przez wierz-

cho³ek i wewn¹trz tego sto¿ka (a < r), to wystêpuje tarcie nierozwiniête, charaktery-

Rys. 168. Ilustracja zjawiska si³y tarcia

164

Rys. 169. Ilustracja pojêæ z dziedziny tarcia: a) si³a tarcia i k¹t tarcia, b) strefa tarcia i sto¿ek tarcia

Rys. 170. Przebiegi zmian wspó³czynnika tarcia m:

a) m(v), b) m(p), c) m(R

)

zuj¹ce siê brakiem ruchu wzglêdnego; gdy

linia dzia³ania si³y zewnêtrznej P pokrywa

siê z jedn¹ z tworza¹cych pobocznicy sto¿-

ka (a = r), wówczas zachodzi równowaga

(brak ruchu lub ruch jednostajny) i wreszcie,

gdy linia ta przebiega poza sto¿kiem tarcia

(a > r), si³a P wywo³uje ruch przyspie-

szony. W obu ostatnich przypadkach mówi

siê o tarciu rozwiniêtym. Mówi siê rów-

nie¿ o tarciu izotropowym, gdy sto¿ek tar-

cia ma podstawê ko³ow¹ oraz o tarciu ani-

zotropowym, gdy podstawa sto¿ka tarcia

nie jest ko³owa. Ten ostatni przypadek za-

chodzi wtedy, gdy wspó³czynnik tarcia m

zale¿y od kierunku ruchu. Odpowiednikiem

sto¿ka tarcia jest podczas ruchu p³askiego

tzw. strefa tarcia pokrywaj¹ca siê z osio-

wym przekrojem tego sto¿ka.

Omówiony styk punktowy" dwóch

wspó³pracuj¹cych cz³onów wystêpuje teo-

retycznie tylko w parach wy¿szych. W przy-

padku styku dwóch cia³ w dwóch punktach,

np. A i B (rys. 171), strefy U

i U

nak³adaj¹c siê na siebie, tworz¹ tzw. wspól-

n¹ strefê tarcia U

. Pojêcie to mo¿na

165

stosowaæ do interpretacji skutków dzia³ania si³ zewnêtrznych. Na przyk³ad podczas

obci¹¿enia cz³onu (2) si³¹ wypadkow¹ P

mog¹ zachodziæ trzy przypadki:

gdy linia dzia³ania si³y P

przechodzi przez wspóln¹ strefê tarcia (jak P

" na

rys. 171), wtedy nie ma ruchu (samohamownoæ),

gdy linia P

nie przecina U

(jak P

''' na rys. 171), cz³on (2) pod jej dzia³aniem

jest w ruchu przyspieszonym,

gdy linia P

jest styczna do U

, wtedy jest równowaga (spoczynek lub ruch

jednostajny).

11.1. Tarcie w parach postêpowych

W parach postêpowych tworz¹ce je cz³ony maj¹ na ogó³ styk powierzchniowy.

Luzy i niesymetryczne obci¹¿enie powoduj¹, ¿e styk ten koncentruje siê w okrelo-

nych rejonach zwykla naro¿ach (rys. 172a). Stan naprê¿eñ w tych rejonach, zale¿y

ogólnie od sposobu obci¹¿enia, cech geometrycznych i materia³owych pary, jest trud-

ny do ujêcia ilociowego. Z tego te¿ powodu, rozpatruj¹c w dalszym ci¹gu problemy

si³ tarcia, pos³ugiwaæ siê bêdziemy rozwi¹zaniami modelowymi (rys. 172b), gdzie w

wyniku odpowiedniego ukszta³towania prowadnicy lub suwaka s¹ jednoznacznie okre-

lone miejsca styku. W miejscach tych (w czasie obci¹¿enia si³¹ P jak na rysunku)

pojawiaj¹ siê ju¿ z za³o¿enia skupione si³y oddzia³ywania P

12A

i P

12C

, podczas

tarcia rozwiniêtego odchylone od normalnej o k¹t tarcia r. Gdy znane s¹ geometria

pary, obci¹¿enie (np. wypadkowa P) oraz wartoci k¹tów tarcia r, wówczas mo¿na

ju¿ bez trudu okreliæ omawiane si³y oddzia³ywania oraz efekty dzia³ania si³ zewnê-

trznych, np. si³ê S

. W szczególnym przypadku punkty styku cz³onów (1) i (2) mog¹

Rys. 171. Ilustracja wspólnej strefy tarcia U

168

= .

Przy znanej sile

oraz znanych kierunkach pozosta³ych si³ (normalne do po-

wierzchni styku) mo¿na znaleæ wszystkie trzy si³y (rys. 175b). Nale¿y w tym celu

dodatkowo wykorzystaæ równanie momentów si³, np. wzglêdem punktu E.

Po uwzglêdnieniu tarcia post¹pimy podobnie: równanie równowagi cz³onu (3) przyj-

mie postaæ

Tu równie¿ kierunki dzia³ania si³ s¹ znane: s¹ odchylone od normalnych o k¹t

tarcia r. (W ogólnym przypadku wartoci k¹tów tarcia mog¹ byæ ró¿ne tu za³o¿ymy

wartoci jednakowe: r

= r

= r.) Po uwzglêdnieniu otrzymamy rozwi¹zanie

przedstawione na rys. 175c. Wykorzystano tym razem kierunek linii Culmana Z

Znajduj¹c miêdzy innymi si³ê P

, mamy jednoczenie si³ê P

w punkcie F

(

)

= −

oraz szukany moment M

= P

· h

). Jak widaæ z tego

przyk³adu, ca³a istota uwzglêdniania si³ tarcia w parach postêpowych sprowadza siê

do ustalania nowych kierunków (odchylone o k¹ty tarcia r

). W tym przyk³adzie usta-

laj¹c kierunek si³y oddzia³ywania P

rozumowano nastêpuj¹co. Gdy k¹t w

jak na

Rys. 175. Analiza si³owa mechanizmu z uwzglêdnieniem tarcia: a) schemat mechanizmu,

b) plan si³ bez uwzglêdnienia si³ tarcia, c) plan si³ z uwzglêdnieniem si³ tarcia

169

rysunku, nietrudno siê domyleæ zwrotu prêdkoci wzglêdnej v

w punkcie E (rys.

175a), a wiêc i zwrotu si³y tarcia T

. Oznacza to, ¿e P

odchyla sie w prawo

wzglêdem nn.

Interpretacjê odchylenia si³ P

13A

i P

13C

(rys. 175a) pozostawia siê Czytelnikowi.

2. Czêsto rzeczywiste punkty styku cz³onów w parze postêpowej znajduj¹ siê po

jednej stronie. W takim przypadku zagadnienie uwzglêdniania tarcia upraszcza siê

jeszcze bardziej. Z tak¹ sytuacj¹ spotykamy siê przyk³adowo w uk³adzie korbowo-

-wodzikowym (rys. 176a). Za³ó¿my, ¿e nale¿y okreliæ moment czynny M

, niezbêd-

ny do pokonania zadanej si³y biernej S z uwzglêdnieniem tarcia tylko w parze postê-

powej (14). Tym razem z ³atwego do przewidzenia kierunku si³y P

(cz³on (3) jest

tylko ciskany) wynika, ¿e cz³on (4) wspó³pracuje (w tym po³o¿eniu) z cz³onem (1)

po powierzchni dolnej. Wypadkowa P

si³ oddzia³ywania cz³onów (1) i (4) przecho-

dzi przez punkt C i jest odchylona od P

o k¹t r. Po takich ustaleniach otrzymamy

rozwi¹zanie, rozpatruj¹c w równowadze cz³on (4) bez tarcia (rys. 176b) i z tarciem

(rys. 176c).

11.2. Tarcie w parach obrotowych

Linia dzia³ania wypadkowej nacisków w parze obrotowej w warunkach teoretycz-

nych przebiega bez tarcia przez punkt styku i wzd³u¿ normalnej, czyli przez rodek

czopa. W rzeczywistoci w miejscu styku (rys.177) wystêpuje si³a tarcia

= −

która dzia³aj¹c na ramieniu r daje moment tarcia

= −

Je¿eli przez P

Rys. 176. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych: a) schemat mechanizmu z naniesionymi

si³ami, b) plan si³ (bez tarcia), c) plan si³ (z tarciem)

170

oznaczyæ wypadkow¹ sk³adowej si³y normalnej N

i si³y tarcia T

(

)

= +

to wystêpuj¹cy moment tarcia mo¿na ogólnie wyraziæ

= T· r = N· m· r = P· h,

(112)

gdzie: r promieñ czopa,

m wspó³czynnik tarcia lizgowego w parze obrotowej,

h promieñ ko³a tarcia.

Jak wiadomo z mechaniki

m' = 1, 57m dla czopa niedotartego,

m' = 1,27m dla czopa dotartego.

Po uwzglêdnieniu, ¿e

µ' ,

otrzymamy po podstawieniu do (112)

P h

⋅

st¹d

≅

(113)

Jak z tego wynika, linia dzia³ania si³y oddzia³ywania P

wskutek tarcia nie prze-

chodzi przez rodek czopa, lecz w odleg³oci h, która zale¿y od promienia czopa r

oraz wspó³czynnika m' tarcia lizgowego w parze obrotowej. Poniewa¿ kierunek si³y

P mo¿e byæ dowolny, dogodnie jest operowaæ pojêciem tzw. ko³a tarcia zakrelone-

Rys. 177. Si³y oddzia³ywania w parze obrotowej z uwzglêdnieniem tarcia. Ko³o tarcia

171

go wspó³rodkowo promieniem h. Pos³uguj¹c siê tym pojciem mo¿na powiedzieæ, ¿e

podczas tarcia rozwiniêtego si³a oddzia³ywania P w parze obrotowej przebiega stycznie

do ko³a tarcia. Ostatnie spostrze¿enie jest prawdziwe, lecz ma³o precyzyjne, gdy¿ nie

okrela w ogóle punktu stycznoci. Ten ostatni ustalaj¹ jednoznacznie kierunek i zwrot

si³y oddzia³ywania oraz k¹tow¹ prêdkoæ wzglêdn¹ rozpatrywanych cz³onów tworz¹-

cych omawian¹ parê.

Zagadnienie to, bardzo istotne w analizie si³, zostanie wyjanione na przyk³adzie.

Nale¿y okreliæ si³ê S równowa¿¹c¹ si³ê ciê¿koci Q dwigni (2) obrotowo osadzo-

nej na nieruchomym sworzniu (1) rys. 178.

Bez uwzglêdniania tarcia szukan¹ si³ê S okrelono by jak na rys. 178a. Wypadko-

wa P

przechodzi wtedy przez punkt H i rodek czopa O.

W rzeczywistych warunkach tarcia w parze obrotowej si³a S

¹ S, o czym mo¿na

wnosiæ, na tej podstawie, ¿e w stosunku do pierwotnego bêdzie inny kierunek wypad-

kowej P

. Linia jej dzia³ania, przechodz¹c przez ten sam punkt H, bedzie jednocze-

nie styczn¹ do ko³a tarcia (rys. 178b), zakrelonego wyznaczonym promieniem h ze

rodka czopa O. W tym przypadku jednak dwa kierunku, a mianowicie kierunki a i b,

spe³niaj¹ ten sam warunek. W³aciwy z nich mo¿na okreliæ po ustaleniu kierunku

ruchu wzglêdnego. Je¿eli za³o¿yæ, ze u nas k¹t w

ma zwrot zgodny z ruchem

wskazówek zegara, to nietrudno ustaliæ, ¿e w³aciwym kierunkiem jest kierunek b,

gdy¿ wtedy tylko wypadkowa si³ zewnêtrznych P

, dzia³aj¹c na ramieniu h, daje

moment M

zgodny z ruchem.

Do tego samego wyniku mo¿na dojæ równie¿ na podstawie tzw. zasady naj-

mniejszego skutku u¿ytecznego, która podaje, ¿e sporód wszystkich mo¿liwych

Rys. 178. Przyk³ad okrelania si³y równowa¿¹cej S dzia³aj¹cej na dwigniê obrotow¹:

a) bez uwzglêdnienia tarcia, b) z uwzglêdnieniem tarcia w parze obrotowej

172

uk³adów kierunków stycznych do kó³ tarcia realizuje siê ten, przy którym skutek u¿y-

teczny jest najmniejszy. W naszym przypadku oczywicie zachodzi to dla b, gdy¿

wtedy skutek u¿yteczny si³a S

T''

jest najmniejsza (S

T''

< S

). Zasada najmniejszego

skutku u¿ytecznego mo¿e okazaæ siê czasem k³opotliwa w stosowaniu, zw³aszcza dla

wiêkszej liczby mo¿liwych kombinacji kierunków, dlatego zaleca siê przede wszyst-

kim, omówion¹ ju¿ na przyk³adzie, zasadê zgodnoci momentu od si³y oddzia³ywania

z prêdkoci¹ k¹tow¹ ruchu wzglêdnego.

Stosuj¹c omówione zasady rozwi¹¿emy dwa przyk³ady.
1. W mechanizmie ABCD (rys. 179a) obci¹¿onym znanym momentem czynnym

okreliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment bierny M

uwzglêdniaj¹c tarcie w parach obrotowych. W pierwszej kolejnoci rozwi¹¿emy za-

danie bez uwzglêdnienia tarcia. W naszym przypadku, przy ciskanym tylko cz³onie

(3), znane s¹ kierunki si³ P

i P

(wzd³u¿ cz³onu BC), a wiêc z równowagi cz³onu

(2) i (4) równie¿ ich modu³y

= P

· h

= P

· h

Oczywicie

= −

Po uwzglêdnieniu tarcia w parach obrotowych, obliczamy wed³ug zale¿noci (113)

promienie kó³ tarcia (zak³adamy znajomoæ promieni czopów i wystêpuj¹cych w pa-

rach wspó³czynników tarcia m) i wrysowujemy ko³a tarcia (rys. 179b). W wyniku

analizy kinematycznej okrelamy przy za³o¿eniu zwrotu k¹ta w

, zwroty wzglêd-

nych prêdkoci k¹towych. Zwroty tych prêdkoci, wraz ze znanymi ju¿ zwrotami si³

oddzia³ywania (bez tarcia), umo¿liwi¹ okrelenie w³aciwych kierunków linii dzia³a-

nia si³ w warunkach rzeczywistych. Zastosujemy w tym celu omówion¹ zasadê zgod-

noci momentów si³ czynnych w parze ze zwrotem wzglêdnej prêdkoci k¹towej. Zi-

lustrujemy tê zasadê na przyk³adzie pary C. Otó¿ ruch cz³onu (3) wzglêdem cz³onu

(4) pokazany na rysunku strza³k¹ w

, powstaje na skutek dzia³ania si³y P

. Ozna-

cza to, ¿e linia dzia³ania tej si³y musi przebiegaæ stycznie do ko³a tarcia. Okrelone w

podobny sposób miejsca stycznoci nna pozosta³ych ko³ach tarcia umo¿liwi¹ osta-

tecznie dok³¹dne ju¿ przeprowadzenie poszukiwanych linii dzia³ania si³. Po znalezie-

niu w ten sposób nowych ramion h

i h

znajdziemy bez trudu modu³y si³. Oczywi-

cie

= P

· h

to samo zadanie mo¿na rozwi¹zaæ równie¿ metod¹ najmniejszego skutku u¿yteczne-

go. Wrysowujemy okrelone poprzednio ko³o tarcia i kieruj¹c sie rozwi¹zaniem zada-

nia bez uwzglêdnienia tarcia (rys. 179a) wykrelamy wszystkie formalnie mo¿liwe

174

Rys. 180. Czworobok przegubowy ABCD obci¹¿ony znanymi si³ami P

i P

oraz momentem

równowa¿¹cym M

kierunki (a, b, c i d) si³y P

(rys. 179c) oraz odpowiadaj¹ce im mo¿liwe linie dzia³a-

nia si³ P

i P

Rzeczywicie realizujace siê w uk³adzie kierunki rozpatrywanych si³ ustalimy pa-

miêtaj¹c, ¿e skutek M

dzia³ania momentu M

musi byæ najmniejszy sporód wszy-

stkich teoretycznie mo¿liwych. Oznacza to w naszym przypadku, ¿e ramiê h

momen-

tu czynnego M

musi byæ najwiêksze (wtedy

minimum), ramiê h

najmniejsze. Prowadzi to do rozwiazania przedstawionego na rys. 179c.

2. W zadanym mechanizmie (rys. 180) o znanych si³ach zewnêtrznych P

i P

okreliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment czynny M

uwzglêdniaj¹c tarcie w parach kinematycznych obrotowych.

Jak w zadaniach poprzednich, rozpoczniemy i tym razem od rozwiazania zaga-

dniennia bez uwzglednienia tarcia. Wydzielaj¹c z uk³adu dwucz³on (3) i (4), o zna-

nych obci¹¿eniach zewnêtrznych, stwierdzamy, ¿e jest to grupa statycznie wyznaczal-

na (spe³niony warunek (113)).P odobnie jak w punkcie 10.1.1 wersja 2.3.0, postaæ A,

okrelamy si³y oddzia³ywania P

, P

i P

w parach kinematycznych B, C i D. Na

rysunku 181a przedstawiono wydzielon¹ grupê statycznie wyznaczaln¹, na rys. 181b

plan si³.

Równowagê cz³onu czynnego (2) (rys. 181c i d) mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co

= ,

= P

· h

Zak³adajac kierunek ruchu cz³onu (2), zgodny z momentem czynnym M

, mo¿na

okreliæ zwroty k¹towych prêdkoci wzglêdnych, pokazanych na rys. 182a.

175

Obecnie mo¿na ju¿ przyst¹piæ do rozwi¹zania zadania z uwzglêdnieniem tarcia.

Przede wszystkim obliczamy promienie kó³ tarcia wed³ug zale¿noci (113) oraz po

uwzglêdnieniu podzia³ki rysunku wykrelamy ko³a tarcia w poszczególnych parach.

Linie si³ oddzia³ywania, przechodz¹ce dotychczas przez rodki przegubów, bêd¹ teraz

przebiegaæ stycznie do wrysowanych kó³ tarcia. Aby ustaliæ w³aciwy kierunek, wy-

korzystamy zwroty si³ (z planu si³ bez tarcia) oraz zwroty wzglêdnych prêdkoci k¹to-

wych. Pogrubione na rysunku 182a odcinki kó³ tarcia pokazuj¹ mo¿liwe miejsca stycz-

noci linii dzia³ania si³ oddzia³ywania po uwzglêdnieniu tarcia w parach kinematycz-

nych.

Opieraj¹c siê dalej na grupie statycznie wyznaczalnej, z³o¿onej z cz³onów (3) i (4),

mo¿emy zapisaæ równowagê cz³onu (3)

= ,

(114)

oraz cz³onu (4)

= .

(115)

Rys. 181. Okrelenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180 bez tarcia: a) grupa

statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³, c) cz³on czynny, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

176

Si³y P

i P

nie mo¿na, jak poprzednio, roz³o¿yæ na sk³adowe styczne i normal-

ne, poniewa¿ nie s¹ znane ich punkty przy³o¿enia. W tej sytuacji zastosujemy pewien

specjalny graficzny sposób postêpowania.

Na cz³on (3) w równowadze dzia³aj¹ trzy si³y zewnêtrzne, których linie dzia³ania

przecinaj¹ siê w jednym punkcie. Za³ó¿my, ¿e dla cz³onu (3) bêdzie to punkt K'.

Z kierunku si³y P

wynika punkt L' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³a-

j¹cych na cz³on (4). Na rysunku 182b wykrelono plan si³. Jak wynika z planu si³,

grupa nie jest w równowadze, poniewa¿

≠

. Sile P

odpowiada

w podzia³ce odcinek OM

, sile P

za odcinek M

O. W tej sytuacji za³o¿ymy

nowy punkt K'' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (3).

Dla cz³onu (4) otrzymamy wtedy odpowiedni punkt L'' i kolejne rozwi¹zanie (nie

pokazane na rysunku). Je¿eli zabiegi te powtórzymy wielokrotnie, to koñce M

si³y

wyznacz¹ krzyw¹ b, natomiast pocz¹tki M

si³y P

krzyw¹ a. Punkt M przeciêcia

obydwu krzywych spe³nia warunek

. £¹cz¹c punkt M z punktem O

otrzymamy kierunek, modu³ i zwrot si³y oddzia³ywania P

, natomiast z poczatkiem

si³y P

kierunek, modu³ i zwrot si³y P

. Po³¹czenie punktu M z koñcem si³y P

Rys. 182. Okrelenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180

z uwzglêdnieniem tarcia: a) grupa statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³,

c) cz³on czynny AB, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

177

wyznacza kierunek, modu³ i zwrot si³y P

. Tym samym wyznaczono wszystkie si³y

oddzia³ywania w parach kinematycznych grupy z uwzglêdnieniem tarcia.

Równowagê cz³onu czynnego zapiszemy nastêpuj¹co (rys. 182d)

= ,

= P

· h

Wartoæ h

mo¿na odczytaæ z rysunku 182c.

Omawiaj¹c metodê uwzglêdnienia tarcia w parach obrotowych za pomoc¹ kó³ tar-

cia nale¿y zaznaczyæ, ¿e zjawisko tarcia w analizie dynamicznej mo¿na w niektórych

przypadkach pomin¹æ po dokonaniu wstêpnej oceny jego wp³ywu na wynik poszuki-

wañ.

W wielu przypadkach, zw³aszcza w mechanizmach o zwartej budowie pracuj¹cych

w pobli¿u po³o¿eñ zwrotnych, wp³yw tarcia w parach kinematycznych obrotowych na

wartoæ wystêpuj¹cych si³ mo¿e byæ znaczny. W szczególnoci tarcie w parach obro-

towych mo¿e byæ powodem pojawienia siê niedopuszczalnych przeci¹¿eñ, a nawet

mo¿e doprowadziæ do unieruchomienia uk³adu (po³o¿enie martwe).

11.3. Tarcie w parach wy¿szych

W rzeczywistych mechanizmach ruch wzglêdny cz³onów tworz¹cych parê kinema-

tyczn¹ wy¿sz¹ przejawia siê w formie polizgu, toczenia z polizgiem lub toczenia.

Przeanalizujemy ostatnie zjawisko.
Tarcie toczne

Podczas przetaczania siê cia³a sprê¿ystego po pod³o¿u sprê¿ystym wystêpuje z³o-

¿one zjawisko odkszta³cenia siê tych cia³ w miejscu styku (rys. 183). W wyniku tego

zjawiska miêdzy innymi pojawia siê opór toczenia. Do jego pokonania nale¿y przy³o-

¿yæ pewna si³ê F równoleg³¹ do kierunku ruchu. Si³a ta, dzia³aj¹c ogólnie na ramieniu

h, daje moment

Rys. 183. Tarcie toczne

178

= F· h,

(116)

który równowa¿y moment oporu M

pochodz¹cy od si³y docisku Q.

Moment bierny wyra¿a siê

= Q · f

(117)

gdzie f odleg³oæ linii dzia³ania si³y Q od linii dzia³ania wypadkowej si³ oddzia³y-

wania P

Wielkoæ f, mierzona w centymetrach, nosi nazwê wspó³czynnika tarcia toczne-

go. Z porównania prawych stron równoci (116) i (117) otrzymujemy

F · h = Q · f,

czyli

Q f

(118)

Z otrzymanego wzoru (118) wynika, ¿e modu³ si³y F zale¿y zarówno od warunków

toczenia reprezentowanych przez wspó³czynnik f, jak równie¿ od punktu przy³o¿enia

si³y czynnej. W czasie polizgu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) w miejscu ich styku

pojawi³aby siê poznana ju¿ si³a tarcia lizgowego

= Q· m

(119)

Po uwzglêdnieniu (118) i (119) mietrudno zauwa¿yæ, ¿e czyste toczenie bêdzie

zachodziæ, gdy

F < T

czyli tzn., gdy

µ.

(120)

Zwykle interesujemy siê ko³owymi elementami tocznymi z przy³o¿on¹ si³¹ czynn¹

w rodku ko³a h = r. Wtedy warunek toczeniia (114) przyjmie postaæ

µ.

(121)

W niektórych parach, np. w punkcie styku elementów ciernych przek³adni cier-

nych, mo¿e wyst¹piæ jednoczenie tarcie toczne z polizgiem. Wtedy wypadkowa si³a

oddzia³ywania przesunie siê o wartoæ wspó³czynnika tarcia f i odchyli o k¹t tarcia r.

180

Zmiany te mog¹ byæ nieznaczne, np. w maszynach wirnikowych lub du¿e, np. w jed-

nocylindrowym czterosuwowym silniku spalinowym. W ruchu ustalonym nastêpuj¹

wahania prêdkoci wokó³ wartoci redniej odpowiadaj¹cej danym warunkom ruchu

ustalonego. Ruch maszyny powtarza siê przy tym identycznie w ka¿dym cyklu.

3. W okresie wybiegu (hamowania)

E E

< 0

mamy do czynienia ze zmniejszaj¹c¹ siê prêdkoci¹ a¿ do osi¹gniêcia spoczynku.

Maszyna zatrzyma siê, gdy ca³a energia ruchu ustalonego zostanie zu¿yta na pokona-

nie oporów u¿ytecznych i szkodliwych. W celu skrócenia czasu zatrzymania powiêk-

sza siê dodatkowo opory, np. przez zastosowanie hamulca.

12.1. Równanie energii

Ogólnym przeznaczeniem maszyny jest wykonywanie pewnych operacji technolo-

gicznych, jak w maszynach roboczych, lub przekszta³canie energii w silnikach i gene-

ratorach. Te procesy energetyczne odbywaj¹ siê w maszynie z uddzia³em mechani-

zmu lub zespo³u po³¹czonych ze sob¹ mechanizmów. Cz³ony w tych uk³adach uczest-

nicz¹ w transformowaniu i przekazywaniu si³ z cz³onów napêdzaj¹cych na cz³ony

bierne, czyli obci¹¿one si³ami oporu. Nie ca³a jednak praca si³ czynnych zostaje wy-

korzystana do zamierzonych celów u¿ytecznych. Czêæ energii zostaje zu¿yta na po-

konanie towarzysz¹cych ruchom oporów tarcia (oporów orodka, si³ tarcia w parach

kinematycznych) i rozprasza siê w otoczeniu w postaci ciep³a, czêæ za gromadzi siê

w samym mechanizmie jako energia kinematyczna, a czasem tak¿e potencjalna. W

tym wietle bilans energetyczny maszyny przyjmie ogóln¹ postaæ:

= E

+ E

± E

lub

= L

+ L

± L

(122)

gdzie: L

dodatnia praca si³ dzia³aj¹cych na cz³ony mechanizmu (praca dostar-

czona),

praca oporów technologicznych (praca u¿yteczna),

praca si³ tarcia i innych oporów szkodliwych,

praca dostarczona na koszt zwiêkszenia lub zmniejszenia energii kine-

tycznej lub, ujmuj¹c rzecz inaczej, praca dostarczona na pokonanie si³

bezw³adnoci,

praca dostarczona na zwiêkszenie lub zmniejszennie energii potencjal-

nej (energii grawitacyjnej, sprê¿ystoci itp.).

Z bilansu prac mo¿na przejæ równie¿ do bilansu mocy

= N

+ N

± N

(123)

Znaczenie poszczególnych indeksów jak we wzorze (122).

181

W ramach jednego cyklu ruchu ustalonego ca³kowita praca L

wykorzystana na

zmianê energii kinetycznej równa siê zeru (L

= 0). Równie¿ praca L

wykorzystana

na zmianê energii potencjalnej odniesionej tylko do enregii si³ grawitacyjnych równa

sie w takim czasie zeru. Oznacza to, ¿e dla jednego cyklu lub ca³kowitej liczby cykli

ruchu ustalonego mo¿na równanie (122) i (123) zapisaæ w postaci

= L

+ L

(124)

oraz

= N

+ N

(125)

12.2. Sprawnoæ mechaniczna maszyny

Efektywnoæ wykorzystania pracy si³ czynnych w postaci pracy u¿ytecznej mo¿e

byæ w praktyce bardzo ró¿na. Zwykle okrela siê j¹ tzw. sprawnoci¹, przy czym

ilociow¹ stronê tego zagadnienia ujmuje bezwymiarowy wspó³czynnik sprawnoci

wyra¿ony stosunkiem pracy u¿ytecznej do pracy dostarczonej. W dostatecznie d³ugim

czasie ruchu ustalonego lub w czasie równym wielokrotnoci okresu T mo¿na wspó³-

czynnik sprawnoci h wyraziæ w postaci

E
E

L
L

(126)

lub jego wspó³czynnik sprawnoci chwilowej h

N
N

(127)

Korzystaj¹c z równania (124) wspó³czynnik sprawnoci h mo¿na wyraziæ równie¿

w postaci

−

= −

(128)

Zwróæmy bli¿sz¹ uwagê na sk³adniki L

i L

. Jak ju¿ powiedziano, L

reprezen-

tuje pracê oporów orodka i si³ tarcia w parach kinematycznych. Te ostatnie si³y s¹

uwarunkowane obci¹¿eniem wêz³ów wywo³anym si³ami czynnymi F

, si³ami opo-

rów u¿ytecznych F

, si³ami bezw³adnoci P

, si³ami ciê¿koci G i inymi si³ami

szczególnymi, jak wciski czy opory wstêpne.

Ju¿ z tego wyliczenia widaæ, ¿e zawsze L

> 0. Z kolei praca u¿yteczna L

jest

zwykle zmienna co do wielkoci, a w szczególnoci mo¿e osi¹gaæ nawet wartoæ zero

(bieg luzem).

182

Dla wyra¿enia skali zaistnia³ych strat pracy na tarcie (L

) stosuje sie czasem rów-

nie¿ pojêcie tzw. wspó³czynnika strat (j) okrelonego stosunkiem pracy si³ tarcia do

pracy dostarczonej

ϕ = L

(129)

Po podzieleniu równania (124) przez L

otrzymamy

= +

L
L

lub

η ϕ

Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e

0 < h < 1 i 0 < j < 1.

Ruch maszyny jest mo¿liwy tylko wtedy, gdy h > 0. Przypadek h < 0 oznacza

samohamownoæ, czyli brak ruchu.

Je¿eli mo¿liwy jest ruch maszyny, to jej sprawnoæ zale¿y od bardzo wielu czynni-

ków, miêdzy innymi co trzeba podkreliæ równie¿ od prêdkoci jej ruchu i obci¹-

¿enia. Wzrost prêdkoci przy tym samym obci¹¿eniu powoduje, ze wzglêdu na wzrost

si³ bezw³adnoci, spadek sprawnoci, wzrost za obci¹¿enia (praca u¿yteczna L

) przy

tej samej prêdkoci zrozumia³y wzrost sprawnoci.

Wspó³czynnik sprawnoci maszyny mo¿na okreliæ wzglêdnie dok³adnie jedynie

w wyniku bezporedniego pomiaru dwóch sporód trzech sk³adników pracy L

, L

lub mocy N

, N

. Pomiary tych elementów to oddzielne i z³o¿one zagadnie-

nie, wymagajace oprzyrz¹dowania, a czêsto i pomys³owoci. Wspó³czynnikiem spraw-

noci maszyny interesujemy siê jednak ju¿ w fazie jej projektowania, d¹¿¹c do utrzy-

mania tego wskanika w mo¿liwie maksymalnych granicach wartoci. Nale¿y pamiê-

taæ, ¿e o ca³kowitej sprawnoci maszyny decyduj¹ sprawnoci poszczególnych me-

chanizmów sk³adowych, przy czym, wp³yw sprawnoci mechanizmów sk³adowych na

wynik koñcowy zale¿y od struktury samej maszyny, czyli po prostu od sposobu po³¹-

czenia tych mechanizmów.

Sprawnoæ maszyny o szeregowym po³¹czeniu mechanizmów

Niech rozpatrywana maszyna sk³ada siê z n mechanizmów po³¹czonych ze sob¹

szeregowo (rys. 185). W takim przypadku praca u¿yteczna (L

) ka¿dego poprzednie-

go mechanizmu jest prac¹ si³ napêdowych (L

) ka¿dego nastêpnego. Sprawnoci

poszczególnych mechanizmów mo¿na wiêc przedstawiæ w postaci:

−

, ,

(130)

Poniewa¿ ca³kowita sprawnoæ maszyny wynosi u nas

183

Rys. 185. Rysunek pomocniczy do wyznaczania sprawnoci maszyny

przy po³¹czeniu szeregowym podzespo³ów

η =

otrzymamy po wykorzystaniu (130) i przekszta³ceniach

h = h

· h

...h

lub krótko

= ∏

(131)

Sprawnoæ maszyny o równoleg³ym po³¹czeniu mechanizmów

Czysty przypadek równoleg³ego po³¹czenia mechanizmów w maszynie przedsta-

wiono obrazowo na rysunku 186.

Je¿eli przez k

oznaczyæ wspó³czynniki rozp³ywu mocy, przy czym

∑

to L

= L

· k

oraz L

= L

· k

· D

Z rysunku wynika, ¿e

L k

⋅ ⋅

∑

η .

a wiêc ca³kowit¹ sprawnoæ h mo¿na wyraziæ

⋅

∑

L
L

185

Rys. 187. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej z uwzglêdnieniem tarcia

lub mocy doprowadzonej do maszyny oraz pracy lub mocy traconej na pokonanie

oporów nieu¿ytecznych. Najbardziej uci¹¿liwe jest w³anie ustalenie tych ostatnich

elementów. Okrelenie mocy traconej ju¿ tylko w parach kinematycznych wymaga,

nawet przy za³o¿eniu licznych uproszczeñ, przeprowadzenia gruntownej analizy kine-

matycznej i kinetostatycznej. Ilustruj¹ to nastêpuj¹ce proste przyk³ady.

Moc tracon¹ na pokonanie oporów tarcia w ni¿szej parze postêpowej z³o¿onej

z cz³onów k i l (rys. 187) mo¿na wyraziæ wzorem

= T

· v

= P

sin r· v

dla pary obrotowej za (rys. 188)

= M

· w

= P

· h· w

= P

· m'·r· w

Wystêpuj¹ce w tych wzorach si³y nale¿y wyznaczyæ, zak³adaj¹c przewidywany

stan obci¹¿eñ uk³adu, prêdkoci wzglêdne za przyjmuj¹c przewidywany ruch ogni-

wa g³ównego. Czyni¹c odpowiednie za³o¿enia, mo¿na te parametry wyznaczyæ korzy-

staj¹c ze stosownych metod. Nale¿y przy tym pamiêtaæ, ¿e operacje takie nale¿y pro-

wadziæ dla ró¿nych po³o¿eñ rozpatrywanego mechanizmu.

W praktyce, w niektórych przypadkach stosowania rozwi¹zañ typowych, np. ³o¿y-

ska, zazêbienia, mo¿na stosowaæ katalogowe sprawnoci odpowiednich wêz³ów, sam

za proces okrelenia wspó³czynnika sprawnoci mechanizmu przeprowadzaæ prociej

metodami opracowanymi specjalnie dla danego typu mechanizmów.

Dalej omówiono przyk³ady takich nietypowych metod.
Przyk³adowa metoda okrelania wspó³czynnika sprawnoci mechanizmu dwi-

gniowego

Nale¿y wyznaczyæ chwilow¹ sprawnoc popularnego mechanizmu korbowo-wo-

dzikowego (rys. 189) po za³o¿eniu, ¿e jest obci¹¿ony tylko momentem czynnym M

i si³¹ biern¹ S.

186

Rys. 188. Si³y oddzia³ywania w parze obrotowej z uwzglêdnieniem tarcia

Zauwa¿my tu, ¿e moc dostarczon¹ do mechanizmu mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co

= M

· w

W warunkach idealnych ta sama moc by³aby odebrana w postaci mocy u¿ytecznej

, a wiêc

= N

przy czym

= S· v

W rzeczywistoci moc u¿yteczna N

bêdzie, jak wiadomo, pomniejszona o straty spo-

wodowane tarciem i mo¿na j¹ wyraziæ w postaci

= S

· v

Uwzglêdniaj¹c te spostrze¿enia, szukan¹ sprawnoæ uk³adu mo¿na przedstawiæ w

nastêpuj¹cej formie

N
N

S v

⋅

W ten sposób sprawnoæ badanego mechanizmu uda³o siê wyraziæ stosunkiem si³,

z których jedna S jest si³¹ równowa¿¹c¹ dany moment M

wyznaczon¹ bez uwzglêd-

nienia tarcia w parach kinematycznych (rys. 189b), druga za S

tak¹ sam¹ si³¹

wyznaczon¹ z uwzglêdnieniem tarcia (rys. 189c).

188

Przyk³ady okrelania sprawnoci mechanizmu krzywkowego

Rozpatrzmy mechanizm krzywkowy (rys. 191), w którym popychacz (3) jest napê-

dzany si³a oddzia³ywania P

oraz obci¹¿ony zadan¹ si³¹ biern¹ S. Zauwa¿my, ¿e

gdyby za³o¿yæ brak tarcia w parach kinematycznych dla pokonania zadanej si³y S

nale¿y w punkcie E obci¹¿yæ popychacz (3) si³¹ P

(rys. 191b). W warunkach

rzeczywistych (przy znanych k¹tach tarcia r

, r

i r

) w punkcie E dzia³aæ bêdzie

si³a P

(rys. 191c). Jak wiadomo

η = N

przy czym

= S· v

Moc dostarczon¹ N

mo¿na okreliæ wzorem

= M

· w

lub pomijaj¹c tarcie w parze obrotowej O

= P

· v

cos (a + r

Rys. 191. Okrelenie sprawnoi mechanicznej mechanizmu krzywkowego: a) schemat mechanizmu

z naniesionymi kierunkami si³, b) plan si³ bez tarcia, c) plan si³ z tarciem

190

13. Badanie ruchu maszyn

Stawiamy tu problem oceny zachowania siê maszyny, jej ruchu w rzeczywistych

warunkach wykonania i eksploatacji. Ju¿ na wstêpie nale¿y zaznaczyæ, ¿e rzeczywisty

stan ruchu maszyny mo¿na wzglêdnie dok³adnie okreliæ na ogól tylko w wyniku

bezporedniego pomiaru. Jednoczenie nie trzeba wykazywaæ, ¿e znajomoæ parame-

trów ruchu maszyny, jej reagowania na wszelkie zmiany warunków eksploatacji jest

niezbêdna ju¿ w fazie projektowania obiektu. Oznacza to potrzebê dokonywania ta-

kiej oceny na drodze teoretycznej. Problem jest niezwykle z³o¿ony, bo o ruchu ka¿de-

go podzespo³u maszyny i ka¿dego cz³onu w podzespole decyduje zarówno obci¹¿enie

wszystkich po³¹czonych ze sob¹ w maszynie podzespo³ów i cz³onów, jak i rozk³ad

mas cz³onów i ich udzia³ w ruchu.

Podejmuj¹c ten problem ogólnie robimy trzy za³o¿enia;

1. Stwierdzamy, ¿e w uk³adach jednobie¿nych (a takimi s¹ zwykle badane obiekty)

ruch dowolnego cz³onu jest okrelony ruchem ka¿dego innego cz³onu, wówczas zaj-

mujemy siê badaniem jednego tylko cz³onu, np. g³ównego wa³u maszyny.

2. Z³o¿ony stan obci¹¿eñ przy³o¿onych do poszczególnych cz³onów uk³adu zastê-

pujemy jedn¹ tylko si³¹ lub par¹ si³ (równowa¿n¹ wszystkim dzia³aj¹cym obci¹¿e-

niom) przy³o¿on¹ do jednego wybranego cz³onu.

3. Z³o¿ony uk³ad mas bior¹cych udzia³ w ruchu zastêpujemy jedn¹ mas¹ (repre-

zentuj¹c¹ wszystkie masy ruchome) przy³o¿on¹ do jednego wybranego cz³onu.

Zabiegi wymienione w dwóch ostatnich punktach, zwane redukcj¹ si³ i mas, s¹

bardzo wskazane, bo znakomicie upraszczaj¹ problem oceny zachowania siê uk³adu.

13.1. Redukcja si³

Jak siê wykazuje, si³a (lub para si³) zredukowana do wybranego punktu lub cz³o-

nu redukcji, wywo³uj¹ca ten sam efekt, jaki wywo³uj¹ si³y dzia³aj¹ce na ró¿ne cz³ony

badanego uk³adu, rozwija tê sam¹ moc, jak¹ rozwijaj¹ redukowane obci¹¿enia. Ozna-

cza to, ¿e zasadê redukcji si³ mo¿na uj¹æ krótko

N = N*,

(133)

gdzie: N moc rozwijana przez wszystkie si³y (i pary si³) dzia³aj¹ce w uk³adzie roz-

patrywanym,

N* moc rozwijana przez si³ê (lub parê si³) zredukowan¹.

191

Zmierzaj¹c do wykorzystania równania (133) przypomnijmy, ¿e chwilow¹ moc

wszystkich si³ P

oraz par si³ M

dzia³aj¹cych na cz³ony p³askiego mechanizmu w

ruchu mo¿na wyraziæ wzorem

i i

∑

(

cos

(134)

w którym: v

prêdkoæ liniowa punktu przy³o¿enia si³y P

k¹t zawarty pomiêdzy kierunkiem P

i v

prêdkoæ k¹towa obci¹¿onego par¹ si³ M

We wzorze (134) iloczynowi M

· w

nale¿y przyporz¹dkowaæ znak (+), je¿eli zwroty

oraz w

s¹ zgodne, znak () za w przypadku przeciwnym.

Oczywicie, moc N

si³y zredukowanej P

, przy³o¿onej do okrelonego punktu

cz³onu redukcji x, wynosi

= P

· v

· cos a

(135)

moc za pary si³ zredukowanej do momentu zredukowanego M

, obci¹¿aj¹cego

cz³on redukcji x, odpowiednio

= M

· w

(136)

gdzie: v

prêdkoæ punktu przy³o¿enia si³y zredukowanej,

k¹t zawarty pomiêdzy kierunkiem P

i v

prêdkoæ k¹towa cz³onu redukcji.

Wykorzystuj¹c omówion¹ ju¿ równoæ mocy (133) otrzymamy na podstawie za-

le¿noci (135), (136) dla si³y zredukowanej

P v











∑

cos
cos

cos

α
α

(137)

dla pary si³ zredukowanych za

P v











∑

cos

(138)

Wystêpuj¹ce we wzorach (137) i (138) si³y i pary si³ nie s¹ sta³e. W ogólnym

przypadku parametry te, jak równie¿ prêdkoci i k¹ty, zale¿¹ od po³o¿enia okrelane-

go k¹tem j obrotu korby. Oznacza to tym samym, ¿e

= f(j), M

= f(j).

(139)

Zabieg redukcji przeledzimy na prostym przyk³adzie.

Niech bêdzie dany mechanizm ABC (rys. 192a) obci¹¿ony si³ami P

i P

oraz

momentem M

. Nale¿y okreliæ M

przy³o¿ony do cz³onu (2) (rys. 192b). Zauwa¿-

my, ¿e dzia³aj¹ce na cz³ony uk³adu obci¹¿enia rzeczywiste rozwijaj¹ moc

N = P

cos a

+ M

· w

+ P

192

Moc rozwijan¹ przez moment M

mo¿na wyraziæ

= M

· w

Z porównania prawych stron ostatnich dwóch zale¿noci otrzymamy

P v

cos

ω
ω

Wystêpuj¹ce w wyra¿eniu stosunki prêdkoci nale¿y okreliæ na drodze analizy

kinematycznej, k¹t a

okelamy graficznie lub analitycznie.

13.2. Redukcja mas

Jak ju¿ powiedziano, podczas badania ruchu z³o¿onego uk³adu kinematycznego

celowe jest zastêpowanie mechanizmu równowa¿nym mu dynamicznie prostym mo-

delem z³o¿onym z jednej masy zredukowanej lub jednego cz³onu obrotowego o zre-

dukowanym momencie bezw³adnoci. Model taki bêdzie równowa¿ny z badanym

uk³adem, je¿eli jego energia kinetyczna E

bêdzie równa energii kinetycznej ca³ego

uk³adu E

. Innymi s³owy, u podstaw procesu redukcji mas le¿y zasada równoci ener-

gii kinetycznej

= E

(140)

Rys. 192. Redukcja si³: a) schemat uk³adu obci¹¿onego si³ami, b) cz³on redukcji (2) obci¹¿ony

momentem zredukowanym (M

)

193

Energiê kinetyczn¹ wszystkich cz³onów mechanizmu mo¿na wyraziæ ogólnie

m v

⋅











∑

(141)

gdzie: m

, J

masa i-tego cz³onu, moment bezw³adnoci tego cz³onu wzglêdem jego

rodka ciê¿koci,

, w

prêdkoæ liniowa rodka ciê¿koci i-tego cz³onu, prêdkoæ k¹towa tego

cz³onu.

Energia kinetyczna skupionej masy zredukowanej m

wynosi oczywicie

m v

zr x

(142)

energia kinetyczna cz³onu o zredukowanym momencie bezw³adnoci J

zr x

= ω

(143)

gdzie: v

prêdkoæ masy zredukowanej,

prêdkoæ k¹towa cz³onu redukcji.

Korzystaj¹c ze zwi¹zków (140), (141), (142), (143) otrzymamy ogólny wzór okre-

laj¹cy masê zredukowan¹

m v









 +























∑

(144)

oraz zredukowany moment bezw³adnoci

m v









 +























∑

(145)

Jak wynika z zale¿noci (144) i (145), masa i moment bezw³adnoci zredukowany,

przy niezmiennych masach cz³onów rozpatrywanego mechanizmu, jest tylko funkcj¹

jego po³o¿enia. Aby obliczyæ m

i J

niezbêdna jest znajomoæ stosunków prêdko-

ci, które, jaki i przy redukcji si³, najdogodniej jest okreliæ np. za pomoc¹ wykrelo-

nego w dowolnej podzia³ce planu prêdkoci. Oczywicie, w celu okrelenia przebiegu

zmian m

(j) lub J

(j) operacje te nale¿y powtórzyæ wielokrotnie. Stosunkowo pro-

sto okrela siê m

i J

w mechanizmach wiruj¹cych, w których stosunki prêdkoci

prze³o¿enia wystêpuj¹ce we wzorach (144) i (145) s¹ sta³e. Wtedy oczywicie m

i J

s¹ niezale¿ne od po³o¿enia. Wracaj¹c do redukcji uk³adów dwigniowych, w których

wystêpuj¹ zmienne prze³o¿enia, przeledzimy prosty przyk³ad.

194

Dany jest mechanizm ABC w po³o¿eniu jak na rysunku 193a. Dane s¹ po³ozenia

rodków ciê¿koci S

oraz masy tych cz³onów i ich momenty bezw³adnoci wzglê-

dem rodków ciê¿koci J

. Nale¿y okreliæ moment bezw³adnoci J

zredukowany

do cz³onu (2) (rys. 193b).

Przede wszystkim obliczymy energiê kinetyczn¹ uk³adu przed redukcj¹

= E

+ E

czyli

m v

⋅

Z drugiej strony energia kinetyczna E

cz³onu (2) o zredukowanym momencie

bezw³adnoci (J

) wynosi

⋅

z porównania tych energii otrzymamy

m v









 +









 +









 +











ω
ω

Rys. 193. Redukcja mas: a) schemat uk³adu mas, b) cz³on redukcji (2) ze zredukowanym

momentem bezw³adnoci (J

)

195

Wystêpuj¹ce we wzorze stosunki prêdkoci mo¿na odczytaæ z narysowanego

w dowolnej podzia³ce planu prêdkoci.

W ten sposób, po podstawieniu dalszych danych dotycz¹cych mas, momentów

bezw³adnoci cz³onów oraz stosunków ich d³ugoci, mo¿na obliczyæ konkretn¹ war-

toæ m

dla danego po³o¿enia mechanizmu. Powtarzaj¹c tê operacjê wielokrotnie

mo¿na okreliæ przebieg zmian m

w funkcji k¹ta obrotu j cz³onu redukcji.

13.3. Modele maszyn i równania ruchu

W celu okrelenia ruchu maszyny, zastêpujemy z³o¿ony zwykle uk³ad maszyny

najprostszym równowa¿nym jej modelem. Mo¿e byæ nim np. pojedynczy cz³on o ru-

chu obrotowym (rys. 194a) lub postêpowym (rys. 194b), obci¹¿ony odpowiednio jed-

n¹ tylko par¹ si³ czynnych M

zrc

lub si³¹ czynn¹ P

zrc

oraz jedn¹ tylko par¹ si³

biernych M

zrb

lub si³¹ biern¹ P

zrb

Aby taki model by³ równowa¿ny z badanym uk³adem maszyny, cz³onowi takiemu,

którym jest zwykle cz³on g³ówny, nale¿y przypisaæ moment bezw³adnoci (je¿eli jest

to cz³on obrotowy) równy zredukowanemu momentowi bezw³adnoci maszyny lub

masê m

(je¿eli chodzi o cz³on o ruchu postêpowym), równ¹ masie zredukowanej

maszyny. Oczywicie, równie¿ obci¹¿aj¹ce taki cz³on pary si³ lub si³y nale¿y rozu-

mieæ jako pary si³ lub si³y zredukowane.

Dla takiego prostego modelu równanie ruchu mo¿na zapisaæ w postaci bilansu

energetycznego

⋅









(146)

dj = w· dt

dla modelu z rys. 194a

Rys. 194. Modele dynamiczne maszyny: a) cz³on w ruchu obrotowym o J

b) cz³on w ruchu postêpowym o m

196

oraz

P s

m v

⋅









(147)

ds = v· dt

dla modelu z rys. 194b.

W równaniach (146) i (147)

M = M

zrc

zrb

P = P

zrc

zrb

J = J

m = m

w prêdkoæ k¹towa,

v prêdkoæ liniowa,

j k¹t obrotu cz³onu obrotowego.

s droga cz³onu redukcji maszyny.

Poniewa¿ dogodniej jest zwykle korzystaæ z modeli cz³onu obrotowego, zagadnie-

nia ruchu maszyn omówimy wiêc dalej na przyk³adzie uk³adu równañ (146). Przede

wszystkim zwróæmy uwagê, ¿e uk³ad równañ (146) ujmuje zale¿noæ miêdzy parame-

trami kinematycznymi, jak: droga j, czas t, prêdkoæ w, a rozk³adem mas scharak-

teryzowanym momentem bezw³adnoci J oraz obci¹¿eniem momentem M. Sugeru-

je to, ¿e po odpowiednich zabiegach ca³kowania ró¿niczkowego uk³adu równañ (146)

mo¿na rozwi¹zaæ wiele interesuj¹cych zagadnieñ, zw³aszcza dwa podstawowe zada-

nia dynamiki, do których nale¿y:

okrelenie ruchu maszyny przy zadanym stanie jej obci¹¿enia,

okrelenie warunków, w których maszyna bêdzie realizowaæ z góry zadany ruch.

Trzeba podkreliæ, ¿e prostota równañ ruchu jest pozorna, gdy¿ zarówno M jak i J

s¹ zwykle wielkociami zmiennymi i zale¿nymi od czasu, drogi, prêdkoci itd. Kom-

plikuje to zagadnienie ca³kowania równania do tego stopnia, ¿e aby omin¹æ k³opoty

rachunkowe i formalne, musimy czêsto korzystaæ z ró¿nych metod numerycznych,

sposobów przybli¿onych lub specjalnych metod graficznych. Niektóre problemy ca³-

kowania równañ ruchu zostan¹ tu zilustrowane na przyk³adach.

1. Nale¿y zbadaæ ruch wirnika o sta³ym momencie bezw³adnoci J

= const.

W chwili pocz¹tkowej t = t

, jego prêdkoæ k¹towa w = w

. W tej w³anie chwili

wy³¹czono napêd (M

zrc

= 0), a do³¹czono moment hamowania (M

zrb

= M

). Prêd-

koæ wirnika w tej sytuacji bêdzie spadaæ, a¿ osi¹gnie wartoæ równ¹ zeru.

Mo¿na stawiaæ pytania:

z jakim przyspieszeniem bêdzie przebiega³ ruch,

po jakim czasie t wirnik siê zatrzyma (w = 0),

ile obrotów n wykona w tym czasie,

jaki moment hamowania M

nale¿y przy³o¿yæ, aby wirnik zatrzyma³ siê po wyko-

naniu okrelonej drogi, itp.

Aby odpowiedzieæ na te pytania napiszemy, opieraj¹c siê na równaniu (146)

−

⋅











dj = w dt.

197

Po wykonaniu ró¿niczkowania mamy

−

d ,

ω ω

dj = w dt.

po podzieleniu za stron przez dt i podstawieniu

−

⋅

ω ω

= −

Stanowi to odpowied na pierwsze pytanie.

Po sca³kowaniu ostatniego równania otrzymamy, po uwzglêdnieniu warunków brze-

gowych,

= −

Zale¿noæ ta umo¿liwia sformu³owanie odpowiedzi na pytanie drugie. Je¿eli jed-

nak sca³kujemy ostatnie równanie powtórnie, otrzymamy

= −

a wiêc odpowied na pytanie trzecie i czwarte.

By³ to najprostszy przypadek badania ruchu maszyny, gdy M = const i J = const.

Czêciej jednak, jak ju¿ powiedziano, wielkoci te s¹ zmienne. Rozpatrzmy taki przy-

padek.

2. Nale¿y okreliæ prêdkoæ ruchu maszyny i czas rozruchu przy nastêpuj¹cych

za³o¿eniach [14]: Zredukowany do g³ownego wa³u maszyny moment bezw³adnoci

jest sta³y (J

= 2,2, kg· m

), zredukowane za do g³ównego wa³u maszyny momenty

si³ czynnych i biernych s¹ funkcjami prêdkoci maszyny

= 0,01w

+ 0,5w + 376,

= + 0,01w

+ 1.

Dane i za³o¿enia przedstawiono na rysunku 195, z którego widaæ, ¿e przy J

const prêdkoæ maszyny ustali siê na poziomie w

, któr¹ ³atwo okreliæ z porównania

momentów

= M

0,01w

+ 0,5w + 376 = 0,01w

+ 1.

198

Po przekszta³ceniach otrzymamy

25w 18 750 = 0

i po rozwi¹zaniu

w' = w

= 150, (w'' = 125).

Drugie rozwi¹zanie oczywicie odrzucamy.

Aby poznaæ charakter zmian prêdkoci w fazie rozruchu oraz czas tego rozruchu

napiszemy równanie ruchu

(











Po podstawieniu i przekszta³ceniu otrzymamy

25w 18 750 = dw/dt.

Równanie to mo¿na sca³kowaæ po rozdzieleniu zmiennych

t = −

−

110

18750

Po dokonaniu kolejnych przekszta³ceñ i zastosowaniu zapisu

25w 18 750 = (w 150)(w + 125)

otrzymamy równanie w postaci

−







0 4

150

125

Rys. 195. Badanie ruchu maszyny: a) model dynamiczny maszyny,

b) charakterystyki mechanicznej maszyny

199

a po sca³kowaniu

t = 0,4[ ln (150 w) + ln (125 + w)] + C,

czyli inaczej

+
−

0 4

125

150

, l n

ω
ω

Wyznaczamy C z warunków brzegowych t = 0, w = 0

C = − ln

i otrzymujemy

(

)

t =

−

0 4

1 2 125

150

, l n

lub

ω =

−

150

1 2

2 5

Przebieg ostatniej funkcji przedstawiono na rysunku 196. Jest to krzywa asympto-

tycznie zbli¿aj¹ca siê do wartoci w =150. Bli¿sza analiza ostatnich dwóch wzorów

prowadzi do wniosku, ¿e praktycznie czas rozruchu mo¿na ustaliæ jako t @ 4s.

3. Za³ó¿my z kolei, ¿e zredukowane do g³ównego wa³u maszyny pary si³ czynnych

i biernych s¹ funkcjami po³o¿enia M

= f

(j), M

= f

(j) i dane s¹ w postaci tabeli

lub wykresów (rys. 197a). Zredukowany do tego cz³onu moment bezw³adnoci jest

sta³y. Maszyna jest w ruchu ustalonym. Nale¿y okreliæ zmianê prêdkoci k¹towej

cz³onu redukcji w ramach jednego cyklu. W ruchu ustalonym energia kinetyczna na

pocz¹tku i na koñcu rozpatrywanego cyklu jest taka sama, prace bowiem si³ czynnych

i biernych s¹ sobie równe. A wiêc

∫

lub

(

) d

−

∫

Je¿eli przez F

(rys. 197a) oznaczyæ pola miêdzy krzywami M

(j) i M

(j), przy

czym pola F

, F

i F

obrazuj¹ nadwy¿kê, F

i F

za niedobór pracy si³

czynnych, to

+ F

) k

kj = 0.

200

Rys. 196. Charakterystyka rozruchu badanej maszyny

Taka równowaga istnieje w ruchu ustalonym w granicach k¹ta obrotu j

odpowia-

daj¹cego okresowi T jednego cyklu.

Je¿eli jednak rozpatrzyæ zagadnienie w poszczególnych chwilach ruchu, równo-

wagi takiej nie ma. Na przyk³ad w przedziale 0 < j < j

istnieje nadwy¿ka pracy si³

czynnych i reprezentuje j¹ zakreskowany podwójnie fragment pola F

. Praca ta daje

przyrost energii DE

, przy czym

−

∫

(

)

(

) .

∆

Je¿eli tak obliczone przyrosty, reprezentowane w podzia³ce k

przez odcinki DE

(rys. 197b), odk³adaæ od pewnego poziomu pocz¹tkowego E

, to otrzymamy przebie-

gi zmiany energii kinetycznej E(j), np. w granicach ca³ego cyklu. Wartoæ energii

pocz¹tkowej E

mo¿na ustaliæ w wyniku badania okresu rozruchu maszyny lub korzy-

staj¹c z metody wykresów Wittenbauera [2]. Przyjmuj¹c na tym etapie rozwa¿añ, ¿e

znamy, zauwa¿my, ¿e krzywa E(j) ma ekstrema w stanach równowagi, czyli w

tych po³o¿eniach, w których M

= M

. £atwo siê o tym przekonaæ ledz¹c zmianê

energii , np. w pierwszym przedziale j

. Id¹c od j

do j

obserwujemy oma-

wiany ju¿ przyrost energii kinetycznej, który wystêpuje tak d³ugo, jak d³ugo istnieje

nadwy¿ka pracy si³ czynnych. Nadwy¿ka ta znika w po³o¿eniu okrelonym przez j

, a

pojawia siê niedobór pracy si³ czynnych, czyli spadek energii. W po³o¿eniu j

istnie-

je lokalne maksimum energii.

Z wykresu E

(j) mo¿na otrzymaæ wykres zmian prêdkoci k¹towej w(j). Sko-

rzystamy tu ze znanego wzoru okrelaj¹cego energiê kinetyczn¹ cz³onu obrotowego,

z którego po przekszta³ceniu otrzymamy

202

równie¿, gdy J ¹ const, je¿eli tylko zmiana ta jest uprzednio okrelona, np. w postaci

wykresu J(j).

Przedstawiono przyk³ady rozwi¹zywania problemów badania ruchu maszyn meto-

d¹ analityczn¹ oraz graficzn¹. Dzi mamy równie¿ do dyspozycji metody numerycz-

ne, przydatne zw³aszcza wtedy, gdy problem jest bardziej z³o¿ony lub gdy np. wielkoci

wejciowe (przebiegi zmian obci¹¿eñ) s¹ podane tabelarycznie.

13.4. Nierównomiernoæ biegu maszyn

Dla wiêkszoci maszyn zdecydowanie dominuj¹cym etapem ich pracy jest ruch

ustalony. Charakteryzuje siê on, jak wiadomo, przy sta³ej prêdkoci redniej g³ówne-

go wa³u maszyny, powtarzaj¹c¹ siê periodycznie zmian¹ prêdkoci w ramach jednego

cyklu. Przyczyn¹ tego zjawiska jest:

zmienna na ogó³ zredukowana do g³ównego wa³u maszyny para si³ czynnych,

zmienne obci¹¿enie maszyny od si³ technologicznych i innych oporów szkodli-

wych,

zmienny zredukowany do g³ównego wa³u maszyny jej moment bezw³adnoci.

Powtarzaj¹ce siê wahania prêdkoci bywaj¹ nieznaczne, jak np. w pewnych ma-

szynach wirnikowych, ale mog¹ byæ te¿ powa¿ne, np. w niektórych maszynach t³oko-

wych. Taka nierównomiernoæ biegu jest zwykle niekorzystna ze wzglêdu na sam

proces technologiczny, a zawsze szkodliwa ze wzglêdu na wystêpuj¹ce dodatkowe

obci¹¿enia dynamiczne, wywo³uj¹ce z kolei szkodliwe drgania maszyny. W wietle

tego zrozumia³e jest zainteresowanie tym zagadnieniem, zw³aszcza w aspekcie rozpat-

rywania mo¿liwoci wp³ywu na kszta³towanie si¹ zjawiska nierównomiernoci. Roz-

patrzmy jeszcze raz przyk³adowy przebieg prêdkoci k¹towej wa³u maszyny w ra-

mach jednego cyklu (rys. 198). Przebiegi takie mog¹ byæ w zasadzie dowolnie ró¿no-

rodne, zawsze jednak mo¿na tu wyró¿niæ dwie wartoci ekstremalne w

min

i w

max

oraz

wartoæ prêdkoci redniej w

, któr¹ mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co:

ω ω

∫

(148)

Te w³anie parametry wykorzystuje siê do okrelania ilociowej strony zjawiska

nierównomiernoci, wprowadzj¹c jako jego miarê tzw. wspó³czynnik lub stopieñ nie-

równomiernoci biegu d. Przyjêto, ¿e

−

max

min

(149)

Zwykle zak³ada siê w przybli¿eniu

max

min

(150)

203

Rys. 198. Przyk³adowy przebieg zmian prêdkoci k¹towej g³ównego wa³u maszyny

co prowadzi do wzoru

≅

−
+

max

min

max

min

(151)

Z zale¿noci (149) i (150) wynika równie¿, ¿e

max

≅









min

≅

−









(152)

Wyra¿enia (149) i (150) umo¿liwiaj¹ ³atwe okrelenie wspó³czynnika d, je¿eli,

dysponuj¹c maszyn¹, zmierzymy odpowiednie jej parametry lub sporz¹dzimy charak-

terystykê ruchu w postaci wykresu w(j). Ocena wspó³czynnika d jest niezbêdna jed-

nak ju¿ w fazie projektowania maszyny i wtedy potrzebne charakterystyki ruchu trze-

ba ustaliæ teoretycznie, np. metodami omówionymi w rozdz. 13.3. Zabiegi tego typu

w fazie projektowania maszyny wi¹¿¹ siê z wymaganiami, by rzeczywisty wspó³czyn-

nik d nie przekroczy³ dopuszczalnej praktycznie wartoci granicznej. Dla ró¿nych

maszyn wartoci te s¹ zawarte w okrelonych przedzia³ach, co obrazuj¹ nastêpuj¹ce

przyk³ady:

prasy, no¿yce

d = 1/51/10,

kruszarki

d = 1/101/20,

kompresory

d = 1/501/100

pr¹dnice pr¹du zmiennego d = 1/300.

204

W razie stwierdzenia, ¿e projektowany obiekt charakteryzuje siê niedopszczalnie

du¿¹ wartoci¹ wspó³czynnika d, nale¿y ten wspó³czynnik zmniejszyæ. Mo¿na tego

dokonaæ ró¿nymi sposobami. Praktycznie zmniejsza siê wartoæ wspó³czynnika d

najczêciej przez:

monta¿ dodatkowej masy np. w postaci ko³a zamchowego,

dodatkowe obci¹¿enie uk³adu,

odpowiednie ³¹czenie kilku maszyn w jeden agregat.

13.5. Ko³a zamachowe

W okrelonych warunkach pracy wspó³czynnik nierównomiernoci obiegu mozna

zmniejszyæ przez powiêkszenie jej ruchomych mas, daj¹cych dodatkowy moment bez-

w³adnoci zredukowany do g³ównego wa³u maszyny. Zwykle realizuje siê to przez

zainstalowanie tzw. ko³a zamachowego osadzonego na wale maszyny. Ko³o takie

akumuluje nadwy¿ki pracy si³ czynnych w postaci energii kinetycznej i oddaje j¹

maszynie w okresach niedoboru pracy tych si³, czyli w okresach przewagi pracy opo-

rów. Wyrównuje bieg maszyny, zmniejsza wspó³czynnik d, a ponadto co bardzo

istotne umo¿liwia zastosowanie ród³a napêdu (silnika) o mniejszej mocy do utrzy-

mania w ruchu takiej maszyny.

13.5.1. Przybli¿ona metoda okrelania momentu bezw³adnoci

ko³a zamachowego

Metoda ta opiera siê na wykorzystaniu tylko funkcji zredukowanych do g³ównego

wa³u maszyny par si³ czynnych M

(j) i biernych M

(j). Przebiegi zmian momen-

tów M

(j) i M

(j), dane zwykle w postaci wykresów (rys. 199a), umo¿liwiaj¹

poprzez ca³kowanie graficzne (rozdz. 3.4.5) wykrelenie przebiegu zmian energii ki-

netycznej E

w funkcji k¹ta obrotu j, a wiêc równie¿ przy za³o¿eniu, ¿e J

= const

przebiegu zmian prêdkoci k¹towej w(j). Taki wykres w(j) (rys. 199b), sporz¹dzo-

ny dla przyjêtej dowolnej wartoci pocz¹tkowej w

, umo¿liwi odczytanie k¹tów obro-

tu, dla których prêdkoæ k¹towa w osi¹ga wartoci ekstremalne, a mianowicie j

dla

w = w

min

i j

dla w = w

max

. Równanie pracy i energii dla przedzia³u okrelonego

tymi k¹tami i mo¿na zapisaæ w postaci

max

min

−

(153)

w której J

, J

s¹ zredukowanymi momentami bezw³adnoci maszyny (bez ko³a zama-

chowego) w po³o¿eniach j

i j

Korzystaj¹c z za³o¿enia, ¿e J

= J

= J, oraz zale¿noci (152) otrzymamy po pod-

stawieniu do (153)

= J w

· d.

(154)

205

Z drugiej za strony pracê L

, która powoduje zmianê prêdkoci k¹towej wa³u

maszyny od w

min

do w

max

mo¿na okreliæ

(

)

( )

−

⋅

∫

κϕ

(155)

a wiêc wyznaczyæ co do wartoci, np. mierz¹c odpowiednie pola (tutaj F

) i mno¿¹c

wynik przez podzia³ki rysunku. Po stwierdzeniu, ¿e dla tych za³o¿eñ mo¿na okreliæ

pracê L

, wróæmy jeszcze raz do wzoru (154). Ujmuje on zale¿noæ miêdzy prac¹ L

zredukowanym momentem bezw³adnoci J, redni¹ prêdkoci¹ k¹tow¹ w

oraz wspó³-

czynnikiem nierównomiernoci d.

Zale¿noæ ta umo¿liwia wiêc np. okrelenie wspó³czynnika d rozpatrywanej ma-

szyny

⋅

(156)

Gdyby siê okaza³o, ¿e obliczony wspó³czynnik d jest niedopuszczalnie du¿y i nale-

¿a³oby go zmniejszyæ do wartoci d', to jak widaæ teraz wyranie ze wzoru (156)

przy okrelonych warunkach pracy maszyny (dane w

i L

), mo¿na to osi¹gn¹æ tylko

przez powiêkszenie zredukowanego momentu bezw³adnoci J o jak¹ sta³¹ wartoæ J

Rys. 199. Okrelenie momentu bezw³adnoci ko³a zamachowego metod¹ przybli¿on¹

206

(

)

J J

(157)

czyli

⋅

−

(158)

Wzór (158) jest przybli¿onym rozwi¹zaniem naszego zagadnienia. Okrelono mo-

ment bezw³adnoci dok³adanego ko³a zamachowego. Przybli¿enie wynika st¹d, ¿e w

rozwa¿aniach, które doprowadzi³y do wzoru (158) za³o¿ono, ¿e J

= J

. Pamiêtaj¹c o

tym bêdziemy stosowaæ omawian¹ metodê wtedy, gdy zmiennoæ J

(j) jest niezbyt

du¿a lub zabezpieczymy siê przez przyjêcie J

= J

min

, co poci¹ga za sob¹ przewy-

miarowanie ko³a zamachowego, a wiêc zmniejszenie za³o¿onego wspó³czynnika d'.

13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego

Po wyznaczeniu momentu bezw³adnoci J

nale¿y dobraæ odpowiednie masy, które

dodane do ruchomych cz³onów maszyny powiêksz¹ jej zredukowany moment bez-

w³adnoci o tê sta³¹ wartoæ. Zwykle masy te instaluje siê na obrotowym wale maszy-

ny w postaci ko³a zamachowego, przy czym skupia siê wtedy masy przede wszystkim

na jego wieñcu. Oznaczaj¹c redni¹ rednicê tego wieñca przez D (rys. 200), ciê¿ar

za ko³a przez G, mo¿na wyraziæ jego moment bezw³adnoci w postaci

m R

= 







st¹d

g J

⋅

≅

Wyra¿enie GD

, które w ten sposób mo¿na obliczyæ, nosi w praktyce nazwê mo-

mentu zamachowego. Po jego wyznaczeniu mo¿na jeden z wystêpuj¹cych tu para-

metrów G i D za³o¿yæ, drugi obliczyæ. Zanim za³o¿ymy wartoæ jednego z tych

Rys. 200. Ko³o zamachowe

parametrów, przyjrzyjmy siê przebiegowi

funkcji GD

= const (rys. 201). Jak widaæ,

ten sam efekt mo¿na uzyskaæ bardzo ró¿-

nym kosztem. Na konkretne rozwi¹zanie

zdecydujemy siê dopiero po analizie kon-

strukcji samej maszyny i warunków jej pra-

cy. Nale¿y zwróciæ równie¿ uwagê na fakt,

¿e górny wymiar rednicy D jest, przy

okrelonej prêdkoci k¹towej ko³a, ograni-

czony w³asnociami materia³owymi. Ka¿-

207

Rys. 201. Problem doboru parametrów ko³a zamachowego

dy materia³ ma pewn¹ krytyczn¹ prêdkoæ obwodow¹ v

, której przekroczenie grozi

pêkniêciem wieñca. Przyk³adowo dla wieñca ¿eliwnego prêdkoæ taka v

= 36 m/s.

Oddzielnym zagadnieniem jest wybór miejsca monta¿u ko³a zamachowego decyduj¹-

cego o rozk³adzie obci¹¿eñ dynamicznych. W omówionej metodzie wyznaczono mo-

ment J

zredukowany do g³ównego wa³u maszyny. Decyduj¹c siê na umieszczenie

ko³a zamachowego na innym wale, o innej prêdkoci k¹towej, nale¿y dokonaæ odpo-

wiedniej redukcji. Nale¿y przy tym pamiêtaæ, ¿e ró¿nice wymiarów kó³ zamachowych

mog¹ byæ bardzo istotne ze wzglêdu na to, ¿e J

= f(w

). Problem ten zobrazownao

pogl¹dowo na rys. 202. Przedstawiono tu typow¹ maszynê robocz¹ z³o¿on¹ z silnika

S, przek³adni redukcyjnej R oraz organu wykonawczego W. Najogólniej mo¿na wy-

korzystaæ do monta¿u ko³a zamachowego wa³ek (1) o wysokiej prêdkoci obrotowej

silnika lub wa³ek (2) o prêdkoci roboczej n

zredukowanej przez przek³adniê

redukcyjn¹ (n

> n

). Przy obu rozwi¹zaniach uzyskuje siê ten sam efekt zmniejsze-

nia wspó³czynnika nierównomiernoci biegu, lecz przy zdecydowanie ró¿nych ma-

sach kó³ zamachowych











Oczywicie, ró¿ne s¹ równie¿ w obu przypadkach (rys. 202) skutki w sensie obci¹-

¿eñ dynamicznych poszczególnych podzespo³ów i ich elementów. Te ostatnie zale¿¹

przecie¿ od tego, co jest ród³em zak³óceñ ruchu S czy W. Maj¹c to na uwadze,

nale¿y kierowaæ siê zasad¹: ko³o zamachowe mo¿liwie najbli¿ej ród³a zak³óceñ ru-

chu.

208

Rys. 202. Problem wyboru miejsca monta¿u ko³a zamachowego

13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce

Idea omawianego zabiegu polega na dodatkowym obcia¿eniu rozpatrywanej ma-

szyny w taki sposób, by w sumie uzyskaæ oczekiwany efekt zmniejszenia wspó³czyn-

nika nierównomiernoci biegu d. Wyjanimy ten problem na prostym przyk³adzie.

Niech bêdzie dana maszyna, w której zredukowany do g³ównego wa³u moment bez-

w³adnoci jest sta³y (J

= const) zredukowany moment si³ czynnych jest sta³y (M

czr

= const), a zredukowany moment obci¹¿eñ biernych M

zmienia siê cyklicznie

(rys. 103a). Przyczyn¹ nierównomiernoci biegu jest DM = M

. Przyczynê tê

mo¿na zlikwidowaæ, przyk³adaj¹c do g³ównego wa³u maszyny moment koryguj¹cy

' = DM (rys. 203b). W wyniku takiego zabiegu otrzymamy obci¹¿enie g³ównego

wa³u maszyny momentem M

(rys. 203c), przy czym

= M

+ M

= M

(159)

Idea jest prosta i sugestywna nale¿y j¹ tylko próbowaæ rozwi¹zaæ praktycznie.

Na pocz¹tek nale¿y zauwa¿yæ, ¿e w ruchu ustalonym zawsze ca³kowita praca momen-

tu koryguj¹cego M

' w ramach jednego cyklu lub wielokrotnoci tych cykli równa siê

zeru

∫

Oznacza to, ¿e teoretycznie skorygowanie obci¹¿enia maszyny mo¿e odbyæ siê bez

dodatkowych nak³adów energetycznych. Potwierdzaj¹ to równie¿ przyk³ady praktycz-

14. Wywa¿anie

Podczas ruchu cz³onów ze zmienn¹ prêdkoci¹ dzia³aj¹ na nie si³y bezw³adnoci.

Si³y te, poza niektórymi specjalnymi urz¹dzeniami, jak wibratory, wstrz¹sarki, prze-

siewacze itp., s¹ zwykle niekorzystne dla pracy maszyny. Jako obci¹¿enia zmienne

okresowo, na skutek cyklicznego ruchu maszyny, stanowi¹ niepo¿¹dane dynamiczne

obci¹¿enia cz³onów i par kinematycznych uk³adu s¹ ród³em drgañ poszczególnych

podzespo³ów i ca³ych obiektów. Te niezrównowa¿one w mechanizmie si³y bezw³adno-

ci mog¹ przenosiæ siê poprzez fundament na inne maszyny oraz wp³ywaæ ujemnnie na

pracuj¹ce w s¹siedztwie urz¹dzenia. Jak wiadomo, zjawisko to jest szczególnie gro-

ne wtedy, gdy czestotliwoæ drgañ w³asnych maszyny jest bliska czêstotliwoci zmian

si³ wymuszj¹cych.

W celu usuniêcia szkodliwego wp³ywu si³ bezw³adnoci na pracê maszyny nale¿y

je wyrównowa¿yæ. Uzyskuje siê to przez odpowiedni dobór lub korekcjê rozk³adu

mas maszyny tak, by w czasie jej ruchu si³y bezw³adnoci wyrównowa¿y³y siê ca³ko-

wicie lub przynajmniej czêciowo. Najkorzystniej by³oby oczywicie, aby si³y bez-

w³adnoci ka¿dego z cz³onów stanowi³y samowyrównowa¿ony uk³ad si³. Ten sposób

usuniêcia nacisków dynamicznych na elementy par kinematycznych jest mo¿liwy tyl-

ko w przypadku cz³onów obrotowych o nieruchomej podstawie. W pozosta³ych przy-

padkach wystêpowanie nacisków dynamicznych jest nieuniknione, ze wzglêdu na cy-

klicznoæ ruchu. Wtedy d¹¿y siê do wyrównowa¿enia ca³kowitego lub przynajmniej

czêciowego uk³adu si³ bezw³adnoci ca³ego mechanizmu czy maszyny.

Mo¿na wiêc sformu³owaæ nastêpuj¹ce zadania wyrównowa¿enia si³ bezw³adnoci:

ca³kowite lub czêciowe wyrównowa¿enie si³y wypadkowej i momentu si³ bez-

w³adnoci mechanizmu,

wyrównowa¿enie si³ bezw³adnoci cz³onów obracaj¹cych siê wokó³ osi nieru-

chomych.

14.1. Okrelanie rodka ciê¿koci mechanizmów

Podczas wyrównowa¿ania si³ bezw³adnoci, zw³aszcza uk³adów dwigniowcyh,

bardzo przydatna jest znajomoæ ruchu rodka ciê¿koci mechanizmu w cyklu jego

pracy. Omówimy jeden z mniej znanych sposobów wyznaczania rodka ciê¿koci uk³a-

du mechanicznego. Niech bêdzie dany ³añcuch kinematyczny przedstawiony na rys. 205,

w którym znane s¹ d³ugoci cz³onów l

, odleg³oci s

okrelaj¹ce po³o¿enia rodków

212

ciê¿koci S

oraz masy m

. Dla przyjêtego uk³adu wspó³rzêdnych mo¿na napisaæ

równania momentów statycznych

m x

i n

⋅

∑

(160)

m y

i n

⋅

∑

(161)

gdzie:

i n

∑

, y

wspó³rzêdne rodka ciê¿koci uk³adu,

, y

wspó³rzêdne rodków ciê¿koci cz³onów uk³adu.

Po uwzglêdnieniu zale¿noci (160) i (161) mo¿na napisaæ inaczej

m r

i n

⋅ =

⋅

∑

(162)

gdzie: r

promieñwektor okrelaj¹cy po³o¿enie rodka cie¿koci mechanizmu,

promieñwektor okrelaj¹cy po³o¿enie rodka cie¿koci i-tego cz³onu me-

chanizmu.

Jak widaæ z rysunku 205, ka¿dy z wektorów r

mo¿na wyraziæ

Rys. 205. £añcuch kinematyczny i jego rodek ciê¿koci

213

l s

l l

= +
= + +

= + + +

−

L L L L L

(163)

po podstawieniu (163) do (162) i przekszta³ceniach otrzymano

[

] [

]

[

]

m r

m s

m l

m s

m m

m l

m s

⋅ =

⋅ +

+ + +

⋅ +

+ +

⋅

(

)

(

)

;

lub

i n

∑

(164)

gdzie

m s

m l

n i

⋅ +

+ +

(

) .

(165)

Jak wynika z zale¿noci (165), wektory

przyjmuj¹ kierunki równoleg³e do kie-

runków cz³onów oraz s¹ sta³e co do modu³ów w ka¿dym po³o¿eniu uk³adu mecha-

nicznego. Nosz¹ one nazwê wektorów g³ównych. Stosuj¹c wektory g³ówne mo¿na

dla ka¿dego uk³adu wyznaczyæ po³o¿enie rodka ciê¿koci w dowolnym po³o¿eniu

mechanizmu, a powtarzaj¹c ten prosty zabieg wykreliæ bez trudu ca³¹ trajektoriê t

rodka ciê¿koci uk³adu.

Poka¿emy to na przyk³adzie czworoboku przegubowego ABCD (rys. 206). Stosu-

j¹c oznaczenia jak na rysunku, po³o¿enie rodka ciê¿koci S opiszemy

h h

+ +

gdzie

m s

m l

⋅ +

(

) ,

m s

m l

⋅

⋅ ,

(165a)

m s

⋅ .

214

Kolejne po³o¿enie rodka ciê¿koci, a wiêc i jego trajektoriê t

znajdziemy rysuj¹c

wieloboki tych samych wektorów

h h h

, , ,

równoleg³e do odpowiednich cz³onów

we wszystkich po³o¿eniach uk³adu mechanicznego.

Przedstawiony sposób okrelania ruchu rodka ciê¿koci ca³ego uk³adu mo¿na zas-

tosowaæ skutecznie równie¿ do wywa¿ania mechanizmów.

14.1. Wywa¿anie mechanizmów dwigniowych

Jak ju¿ wspomniano, si³y bezw³adnoci dzia³aj¹ce na poszczególne cz³ony uk³adu

kinematycznego obci¹¿aj¹ w rezultacie jego podstawê. Przeanalizujemy dla przyk³a-

du czworobok przegubowy ABCD (rys. 207a), w ruchu podtrzymywanym momen-

tem czynnym M

. Pomiñmy si³y ciê¿koci, tarcia i inne obci¹¿enia zewnêtrzne. Przy

takich za³o¿eniach cz³on (1) obci¹¿ony jest momentem M

i M

oraz si³¹ bezw³ad-

noci P

, cz³ony (2) i (3) za tylko si³ami bezw³adnoci P

i P

i momentami M

i M

. W wyniku ich dzia³ania podstawa (4) tego uk³adu jest obci¹¿ona si³ami P

, czyli w efekcie si³¹ wypadkow¹ R (rys. 207b). Si³a ta jest cyklicznie zmienna i

wywo³uje omówione poprzednio skutki. Obci¹¿enie podstawy mo¿na wyznaczyæ rów-

nie¿ inaczej. W czasie ruchu mechanizmu wspólny rodek ciê¿koci S wszystkich

ruchomych cz³onów przemieszca siê po okrelonym torze t

(rys. 207c). Doznaje przy-

spieszenia a

, a wiêc mo¿na mu przypisaæ si³ê bezw³adnoci P

, przy czym

m a

= − ⋅ ,

(166)

gdzie: m masa uk³adu cz³onów ruchomych.

Rys. 206. Czworobok przegubowy ABCD wraz z ³añcuchem wektorów g³ównych h

okrelaj¹cym

po³o¿enie rodka ciê¿koci

216

Jak widaæ

∑

(167)

Tak wiêc podstawê (4) omawianego czworoboku obci¹¿a wypadkowa si³a bez-

w³adnoci P

(rys. 207d). Podstawê (4) obci¹¿a równie¿ wypadkowy moment M

re-

prezentuj¹cy wszystkie momenty dzia³aj¹ce na ruchome cz³ony mechanizmu

∑

(168)

Poprzez korekcjê rozk³adu mas poszczególnych cz³onów mo¿na wp³ywaæ na P

oraz M

. Taki zabieg nazywa siê wywa¿aniem, przy czym rozró¿nia siê dwa przy-

padki:

1. Wywa¿anie statyczne gdy prowadzi do wyniku P

= 0, ale M

¹ 0.

2. Wywa¿anie dynamiczne gdy otrzymuje siê P

= 0 i M

= 0.

Drugi przypadek jest praktycznie trudny do uzyskania i nie bêdziemy go tu oma-

wiaæ. Rozwa¿my przypadek 1.

14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dwigniowych

Mechanizm dwigniowy nazywamy wywa¿onym statycznie wtedy, gdy wypadko-

wa sii³ bezw³adnoci jego cz³onów dla dowolnego po³o¿enia mechanizmu równa siê

zeru, czyli

m a

= − ⋅

= 0.

(169)

W uk³adach rzeczywistych warunek (169) jest spe³niony tylko wtedy, gdy

= 0,

to za zachodzi, gdy

a) rodek cie¿koci mechanizmu porusza siê ruchem jednostajnym prostoliniowym,

b) rodek ciê¿koci mechanizmu jest nieruchomy.

W uk³adach dwigniowych charakteryzuj¹cych siê ruchem cyklicznym mo¿e byæ

spe³niony tylko warunek b. Rozwa¿my ten przypadek.

Jak mo¿na wykazaæ, rodek ciê¿koci ca³ego uk³adu bêdzie nieruchomy wtedy, gdy

= const.

(170)

Mo¿na to uzyskaæ przez korekcjê rozk³adu masy na poszczególnych czlonach.

Poka¿emy to na przyk³adach.
Czworobok przegubowy

Niech bêd¹ dane d³ugoci cz³onów l

, odleg³oci s

i masy m

tego uk³adu

(rys. 206). W wyniku wywa¿enia musimy doprowadziæ do tego, by rodek ciê¿koci

pozosta³ nieruchomy (rys. 208). Zajdzie to wtedy, gdy

' ,

217

gdzie

wektory g³ówne po korekcji mas cz³onów.

Aby wyznaczyæ wielkoæ niezbêdnych przeciwciê¿arów i okreliæ ich rozmieszcze-

nia, rozpiszemy ten uk³ad równañ w postaci

' ; '

lub po wyra¿eniu wektorów g³ównych w czworoboku

'· s

' + (m

' + m

')l

= m

'· s

'· l

(170a)

'· s

' + m

'· l

= m

'· s

'· l

W uk³adzie równañ (170a) wystêpuje 6 niewiadomych m

', m

', s

' i s

z których dwie mo¿na obliczyæ. W zale¿noci od tego, które wielkoci za³o¿ymy,

otrzymamy (przedstawione na rys. 209) podstawowe kombinacje wywa¿enia statycz-

nego czworoboku. Pozostañmy przy wersji a (rys. 210), przyjmuj¹c jako dane

Rys. 209. Przypadki wywa¿ania statycznego czworoboku ABCD

Rys. 208. Czworobok przegubowy ABCD wywa¿ony statycznie

(³añcuch wektorów g³ównych

podobny do mechanizmu)

218

Rys. 210. Wywa¿anie statyczne czworoboku przegubowego ABCD

' = m

+ m

' = m

+ m

' = s

Pozosta³e wymiary s

' i s

', okrelaj¹ce po³o¿enie mas zastêpczych m

' i m

obliczymy z równañ (170a)

m s

m m l l

m l

[ ' ' ( '

' ) ]

⋅ +

⋅

m s l

m l l

m l

' '

⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

⋅

Wielkoci te umo¿liwiaj¹ ostateczne okrelenie miejsca usytuowania przeciwciê-

¿arów E i F. Dla rozpatrywanych cz³onów (2) i (3) (rys. 210) napiszemy z warunku

równowagi

' s

) = m

· x

st¹d

m s s

−

( '

) ,

219

oraz

' s

) = m

· x

st¹d

m s s

−

( '

) .

Ostateczne po³o¿enie mas dodatkowych m

i m

wyznaczymy z równoci

= s

' l

+ x

= s

' l

+ x

Mechanizm korbowo-wodzikowy

W mechanizmie korbowo-wodzikowym niewywa¿onym (rys. 211) wspólny ro-

dek ciê¿koci S zakrela trajektoriê t

. Aby uzyskaæ wywa¿enie statyczne nale¿y

doprowadziæ do sytuacji, w której spe³niony jest warunek (170). W tym mechanizmie

zajdzie to wtedy, gdy

(171)

Warunek (171) mo¿na, korzystaj¹c z zale¿noci (165) i (165a), napisaæ w postaci

'· s

' + l

' + m

') = 0,

(172)

'· s

' + l

· m

' = 0.

Z uk³adu równañ (172) mo¿na obliczyæ dwie niewiadome; np. zak³adaj¹c wspó³-

rzêdne s

' mo¿na obliczyæ masê cz³onów m

m m

( '

' ),

= −

Rys. 211. Tor rodka cie¿koci uk³adu wyznaczony metod¹ wektorów g³ównych

220

Rys. 212. Wywa¿anie statyczne uk³adu korbowo-wodzikowego ABC

' .

= −

Wyniki te sugeruj¹, ¿e efekt wywa¿enia statycznego mo¿na uzyskaæ rozbudowuj¹c

cz³ony (1) i (2) o przeciwwagi E i F (rys. 212) o masach m

i m

, przy czym

= m

' m

= m

' m

Niestety, jak siê okazuje, masy przeciwwag zapewniaj¹cych wywa¿enie statyczne

wychodz¹ stosunkowo du¿e.

Dla ilustracji liczbowej przytoczmy konkretny przyk³ad. Do wywa¿enia przyjêto

uk³ad, w którym pierwotnie masy poszczególnych cz³onów wynosi³y:

= 2 kg,

= 3 kg,

= 1 kg,

= 80 mm,

= 200 mm,

= 30 mm,

= 100 mm.

Dla efektu wywa¿enia statycznego nale¿a³oby w tym przypadku zamocowaæ prze-

ciwwagê E na przyjêtej odleg³oci

BE = 71,5 mm o masie m

= 7 kg

oraz przeciwwagê F na za³o¿onej odleg³oci

AF = 85 mm o masie m

= 20 kg.

S¹ to wyniki rzeczywicie nie zachêcaj¹ce do stosowania. W tej sytuacji czêciej

stosuje siê wywa¿enie czêciowe.

Czêciowe wywa¿anie uk³adu korbowo-wodzikowego

W rozpatrywanym uk³adzie ABC (rys. 213a) czlony AB i BC o masie ci¹g³ej

zast¹pimy ich modelami z³o¿onymi z dwóch mas ulokowanych w parach kinematyc-

nych. Cz³on AB (rys. 213b), zast¹pimy wiêc masami m

, m

, cz³on BC masami

i m

. W rezultacie otrzymamy model badanego uk³adu z rys. 213a przedsta-

wiony na rys. 213c.

222

Na przed³u¿eniu korby (1) umiecimy przeciwwagê E o masie m

i za³o¿ymy

ruch korby ze sta³¹ prêdkoci¹ k¹tow¹ w

= const. Przy tych za³o¿eniach na ruchome

masy m

, m

dzia³aj¹ si³y bezw³adnoci

m a

= −

⋅ ,

m a

= −

⋅ ,

(174)

m a

= −

⋅

po podstawieniu odpowiednich wzorów na przyspieszenia:

m l

= −

⋅ ⋅

ω ,

m l

⋅ ⋅

α λ

(cos

cos

(175)

m e

= −

⋅ ⋅

Rzutuj¹c te si³y na osie uk³adu wspó³rzêdnych otrzymamy

m l

m e

⋅ ⋅

α λ

cos

(cos

cos

)

cos ,

m l

m e

⋅ ⋅

sin

sin .

(176)

Jak widaæ z uk³adu równañ (176), obydwa równania nie mog¹ byæ spe³nione jed-

noczenie (uwaga na sk³adniki podkrelone). Oznacza to, ¿e si³a bezw³adnoci jednej

przeciwwagi E nie mo¿e zrównowa¿yæ wy¿szych harmonicznych si³y bezw³adnoci

masy m

w ruchu posuwisto-zwrotnym. Przy zastosowaniu tylko jednej przeciwwagi

(na korbie) zawsze pozostaj¹ w czasie ruchu niezrównowa¿one si³y bezw³adnoci wy¿-

szego rzêdu mas wodzika o ruchu posuwisto-zwrotnym, maj¹ce kierunek osiowy

m l

⋅

λω

cos

Ze wzglêdu na ma³¹ wartoæ l = l

mo¿na na ogó³ takie niezrównowa¿enie

dopuciæ, zw³aszcza wtedy, gdy chodzi o si³y wy¿szego ni¿ drugiego rzêdu ich

wartoci s¹ proporcjonalne do potêg l.

Zachowuj¹c w równaniach (176) tylko si³y pierwszego rzêdu otrzymamy

+ m

cos a = m

· e w

cos a ,

(177)

· l

sin a = m

· e w

sin a .

Z równañ (177) widaæ, ¿e i przy tych uproszczeniach mo¿liwe jest tylko czêciowe

zrównowa¿enie si³ pierwszego rzêdu.

Przeanalizujemy trzy przypadki:

223

Rys. 214. Przyk³ady wyciszania dynamicznych oddzia³ywañ w parze A: a) ca³kowite, b) czêciowe

1. Masê przeciwwagi mo¿na przyj¹æ tak, by w ka¿dej chwili ruchu by³o spe³nione

drugie równanie uk³adu (177). Oznacza to wywa¿enie tylko mas obrotowych. Dla

tego przypadku

· l

= m

' · e,

czyli

(178)

m l

W czasie ruchu pozostaje wtedy niezrównowa¿ona zmienna si³a bezw³adnoci P

(rzêdu pierwszego) mas w ruchu posuwisto-zwrotnym maj¹ca kierunek osi cylindra

(osi x):

m l

cos .

⋅ ⋅

(179)

2. Masê m

przeciwwagi E mo¿na dobraæ tak, by w ka¿dej fazie ruchu by³o

spe³nione pierwsze równanie uk³adu (176). Oznacza to wtedy, ¿e

+ m

) l

= m

" e,

czyli

m l

(

) .

(180)

W czasie ruchu pozostanie jednak wtedy niezrównowa¿ona zmienna si³a bezw³ad-

noci o kierunku poprzecznym (osi y) i wartoci

m l

sin .

= −

3. Masê m

przeciwwagi E mo¿na dobraæ tak, by zrównowa¿yæ czêciowo masy

uczestnicz¹ce w ruchu obrotowym i czêciowo masy w ruchu posuwisto-zwrotnym.

Masê m

mo¿na wtedy wyznaczyæ, zak³adaj¹c po¿¹dany stosunek niewywa¿onych

si³ o kierunkach poprzecznym i pod³u¿nym.

224

Na zakoñczenie nale¿y równie¿ wspomnieæ o mo¿liwoci wyzerowania dynamicz-

nych si³ oddzia³ywania w g³ównym ³o¿ysku A (ca³kowicie lub czêciowo) w wyniku

osadzenia na jednym wale kilku identycznych uk³adów. Przyk³ady takich rozwi¹zañ

przedstawiono na rys. 214.

14.3. Wywa¿anie mas obrotowych

Cia³o wiruj¹ce doko³a jednej ze swych g³ównych osi bezw³adnoci obci¹¿a pod-

trzymuj¹ce go ³o¿yska tylko si³ami oddzia³ywania statycznego. Tak siê zwykle pro-

jektuje wszelkie elementy typu wirnikowego. Praktycznie jednak taki przypadek jest

nieosi¹galny (niejednorodnoæ materia³u, obróbka, monta¿) i zwykle w ³o¿yskach wir-

ników pojawiaj¹ siê (poza statycznymi) dodatkowe oddzia³ywania dynamiczne. Aby

oceniæ skalê zjawiska, podamy nastêpuj¹cy przyk³ad.

Wirnik o masie m = 10 kg obraca siê ze sta³¹ prêdkoci¹ w = 1000 s

(n = 9500 obr/min). W rzeczywistym wykonaniu rodek ciê¿koci S tego wirnika jest

przesuniêty wzglêdem osi obrotu o wartoæ x = 0,1 mm. Wirnik taki obcia¿a wtedy

si³a bezw³adnoci P

= x w

m = 0,0001· 1000

· 10 = 1000 N.

Zwróæmy uwagê na ten wynik. Przy tak ma³ej niedok³adnoci (0,1 mm) si³a bez-

w³adnoci jest dziesiêciokrotnie wiêksza od si³y ciê¿koci (P

/G = 10). Zauwa¿my

równie¿, ze si³a P

, a wiêc równie¿ i wywo³ywane t¹ si³¹ oddzia³ywania w ³o¿yskach

podtrzymuj¹cych wirnik s¹ si³ami wiruj¹cymi.

Rys. 215. Cz³on obrotowy niewywa¿ony

225

W ogólnym przypadku, oprócz si³y bezw³adnoci P

, przy³o¿onej w rodku ciê¿-

koci, element wiruj¹cy obci¹¿a równie¿ moment si³ bezw³adnoci M

. Obydwa te

obci¹¿enia wywo³uj¹ w ³o¿yskach wirnika oddzia³ywania dynamiczne.

Nasuwa siê pytanie: jakie warunki musz¹ byæ spe³nione by wartoci tych oddzia³y-

wañ by³y minimalne?

Chc¹c uj¹æ rzecz ogólnie, rozpatrzmy cz³on sztywny pozostaj¹cy w ruchu obroto-

wym wokó³ osi z uk³adu wspó³rzêdnych x, y, z (rys. 215) z prêdkocia k¹tow¹ w i

przyspieszeniem k¹towym e. Jak mo¿na wykazaæ [1], [2], [12], [13], sk³adowe P

oraz M

mo¿na wyraziæ

= m (w

· x

e · y

= m (w

· y

e · x

(181)

= 0.

oraz

= w

· J

e · J

= w

· J

e · J

(182)

= e,

gdzie: x

, y

wspó³rzêdne rodka S mas wiruj¹cych,

, J

momenty dewiacyjne wzglêdem odpowiednich osi,

moment bezw³adnoci cz³onu wzglêdem osi z.

Po uwzglêdnieniu (181) P

mozna wyraziæ w postaci wzoru

r m

ε .

Z ostatniego wzoru wynika, ¿e dla wszystkich w i e zachodzi

= 0

(183)

tylko wtedy, gdy

= 0.

(184)

Cz³on wiruj¹cy bêdzie wywa¿ony ca³kowicie, je¿eli ponadto sk³adowe M

i M

momentu si³ bezw³adnoci (M

) bed¹ równe zeru. (Sk³adowa M

jest równowa¿ona

momentami si³ zewnêtrznych napêdowych i nie wywo³uje oddzia³ywañ dynamicz-

nych w ³o¿yskach podporowych A i B). Tak wiêc dla unikniêcia oddzia³ywañ dyna-

micznych musi zaistnieæ równie¿ warunek

= 0,

(185)

= 0.

Warunek ten bêdzie spe³niony dla wszystkich w i e, gdy

227

Rys. 217. Wywa¿anie dynamiczne wirnika: a) interpretacja zjawiska niewywa¿enia,

b) rozk³ad mas niewywa¿enia m

oraz mas wywa¿aj¹cych m

Wirnik wywa¿ony statycznie pozostaje w równowadze w ka¿dym po³o¿eniu. Oczywi-

cie wynik taki uzyska siê wtedy, gdy przy³o¿ona masa korekcyjna spe³ni warunek

· r

= m · x.

(187)

Jak wynika z warunku (187), masa korekcyjna m

mo¿e byæ przyk³adana na do-

wolnie zak³adanym promieniu r

i w zasadzie w dowolnej p³aszczynie p . Ze

zrozumia³ych powodów zaleca siê jednak przyjmowaæ p³aszczyznê korekcji tak by

z = 0 (rys. 216b).

Wywa¿anie statyczne mo¿e byæ zalecane i wystarczaj¹ce tylko w przypadku tarcz

lub kó³, w których mo¿na przyj¹æ, ¿e praktycznie masa roz³o¿ona jest w jednej p³a-

szczynie. I w tych jednak przypadkach nale¿y siê liczyæ z mo¿liwoci¹ wyst¹pienia

okrelonego momentu si³ bezw³adnoci przy obrocie wirnika.

14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych

Rozwa¿my ogólny przypadek wirnika osadzonego obrotowo w ³o¿yskach A i B

(rys. 217a), w których obydwa warunki (183) i (185) nie s¹ spe³nione. Wystêpuje

wtedy, gdy rodek S masy tego wirnika nie le¿y na osi obrotu i g³ówna o bezw³ad-

noci a nie pokrywa siê z osi¹ obrotu. Do pogl¹dowego przedstawienia problemu

podzielmy wirnik p³aszczyzn¹ p na dwie czêci i przez S

i S

oznaczmy ich rodki

mas. Rozpatrzmy problem wywa¿enia tych mas. Jak wynika z analizy warunków (181)

228

Rys. 218. Przyk³ad zasady dzia³ania wywa¿arki dynamicznej

i (182), efekt wywa¿enia mo¿na uzyskaæ dok³adaj¹c (lub odejmuj¹c) co najmniej dwie

masy. Niech bêd¹ to masy korekcyjne m

i m

przy³o¿one w p³aszczyznach p

i p

prostopad³ych do osi obrotu, na promieniach r

i r

(rys. 217a). Je¿eli wprowadziæ

uk³ad wspó³rzêdnych jak na rys. 217b, to zgodnie z (184) i (186) poszukiwane masy

korekcyjne m

i m

powinny spe³niaæ równania:

+ m

cos a

+ m

cos a

+ m

cos a

= 0,

sin a

+ m

sin a

+ m

sin a

= 0,

+ z

cos a

+ z

cos a

+ z

cos a

= 0,

(188)

sin a

+ z

sin a

+ z

sin a

= 0.

Podany uk³ad równañ umo¿liwia obliczenie czterech niewiadomych. Zak³adaj¹c

np. promienie r

i r

, mo¿na wyznaczyæ pozosta³e parametry mas korekcyjnych, a

wiêc m

, m

, a

i a

. Przyk³adowo dla z

= z

, z

= z

z uk³adu równañ (188)

otrzymalibymy:

= p,

= a

–

= m

(189)

= m

Jak wynika z tego przyk³adu, problem wywa¿ania dynamicznego by³by wzglêdnie

³atwy, gdyby znany by³ stan niewywa¿enia, tzn. wartoci mas m

i m

oraz miejsce ich

po³o¿enia. W praktyce s¹ to wielkoci nie znane, bo zwykle niezamierzone. Problem

sprowadza siê wiêc do ich okrelenia. Dokonuje siê tego dowiadczalnie z zastosowa-

niem specjalnych urz¹dzeñ, zwanych wywa¿arkami dynamicznymi. Urz¹dzenia te

umo¿liwiaj¹ przede wszystkim wyznaczenie w przyjêtych p³aszczyznach tzw. p³a-

szczyznach niewywa¿enia

229

³o¿yskach A i B osadzony jest wywa¿any

wirnik tak, by jedna z wybranych p³a-

szczyzn wywa¿enia przechodzi³a przez o

O obrotu ramy. Je¿eli wirnik zostanie

wprawiony w ruch obrotowy si³y bezw³ad-

noci mas niewywa¿onych spowoduj¹ wy-

chylenie sie ramy R wokó³ przegubu O.

Wychylanie siê ramy z po³o¿enia równo-

wagi, przy ustawieniu wirnika jak na rys.

218, bêdzie wywo³ywane tylko przez si³y

bezw³adnoci niewywa¿enia przypadaj¹ce-

go na p³aszczyznê korekcji p

. O wartoci

tego niewywa¿enia mo¿na wnosiæ z ampli-

tudy drgañ mierzonej, np. czujnikiem M.

Amplituda A jest proporcjonalna do si³y

wynuszaj¹cej P

= P

= k · P

(191)

gdzie: k wspó³czynnik proporcjonalno-

ci, wartoæ charakterystyczna

(lecz nie znana) dla ca³ego ze-

spo³u ramawirnik,

si³a bezw³adnoci niewywa¿e-

nia odniesionego do p³aszczy-

zny p

W celu wyznaczenia wspó³czynnika k

przeprowadzamy nastêpuj¹ce rozumowanie

i zabiegi. Zmierzona maksymalna wartoæ

amplitudy A

(okrelona przy prêdkoci re-

zonansowej) pojawi³a siê w wyniku dzia-

³ania si³y P

(rys. 219a). Si³a P

nie jest

znana, bo nie jest znana masa niewywa¿e-

nia m

i parametry jej po³o¿enia r

i a.

Rys. 219. Si³y bezw³adnoci w kolejnych

fazach wywa¿ania dynamicznego

m r

⋅

(190)

bêd¹cego miar¹ przesuniêcia masy m

cz³onu odniesionego do rozpatrywanej p³a-

szczyzny. Jednoczenie urz¹dzenie to okrela miejsce, gdzie nale¿y masê korekcyjna

przy³o¿yæ lub odj¹æ.

Poni¿ej przeledzimy zasadê dzia³ania przyk³adowego rozwi¹zania wywa¿arki dy-

namicznej (rys. 218). Istotnym elementem wywa¿arki dynamicznej jest rama R osa-

dzona obrotowo w podstawie i podparta w drugim koñcu sprê¿ycie. Na ramie w

230

W tej sytuacji zamocujemy w dowolnym miejscu, np. w punkcie K (rys. 219b),

dowoln¹ (lecz znan¹) masê próbn¹ m

na promieniu r

. Po ponownym uruchomieniu

wirnika na czujniku M odczytamy maksymaln¹ amplitudê A

, która jest proporcjo-

nalna do wypadkowej si³y bezw³adnoci obu mas m

i m

= k· r

gdzie

P P

Ten sam pomiar powtórzymy mocuj¹c tê sam¹ masê próbn¹ m

po przeciwnej

stronie wirnika w punkcie L (rys. 219c). Otrzymamy wtedy

= k · r

gdzie

P P

Si³y

P P

R R

tworz¹ plan si³ przedstawiony na rys. 220a, amplitudy

, A

za i nie znana A

, przypadaj¹ca na masê próbn¹ m

, tworz¹ podobny plan

przedstawiony na rys. 220b.

Z planu tego mo¿na okreliæ nie znan¹ dotychczas A

, wykorzystuj¹c np. twier-

dzenie o przek¹tnych równoleg³oboku

czyli

−

(192)

jednoczenie:

= k · P

a wiêc

A
P

(193)

Korzystaj¹c teraz z wzorów (193) i (191) otrzymamy

231

Rys. 220. Rysunek pomocniczy do wyznaczania miejsca masy korekcyjnej na elemencie wywa¿anym

czyli

m r

p p

1 1

(194)

W ten sposób mo¿na wyznaczyæ nieznane dotychczas niewywa¿enie P

w p³asz-

czynie p

. Mo¿na równie¿ okreliæ miejsce masy niewywa¿onej. Z D x, y, z otrzyma-

α =

−

arccos

A A

(195)

Po wywa¿eniu wirnika w p³aszczynie (1) odwracamy wirnik osadzaj¹c go tak w

ramie wywa¿arki, by p³aszczyzny p

i p

zamieni³y siê miejscami i zabiegi te powta-

rzamy.

Na zakoñczenie nale¿y podkreliæ, ¿e opisan¹ tu wywa¿arkê trzeba traktowaæ jako

przyk³ad dydaktyczny. Wspó³czesne rozwi¹zania charakteryzuj¹ siê czêsto pe³n¹ elek-

tronizacj¹ i automatyzacj¹. Obs³uga tych urz¹dzeñ sprowadza siê zwykle do za³o¿enia

elementu wywa¿anego, uruchomienia, a nastêpnie odczytu wartoci i miejsca przy³o-

¿enia masy korekcyjnej. W produkcji seryjnej, np. podczas wywa¿ania wirników sil-

ników elektrycznych ma³ej mocy, w pe³ni zautomatyzowana maszyna dokonuje wszy-

stkich czynnoci zwi¹zanych z wywa¿aniem. Dokonuje równie¿ korekty rozk³adu masy,

zwykle nie poprzez dok³adanie, lecz usuwanie nadmiaru masy. Dzieje siê to za pomo-

c¹ nawiercania, frezowania lub szlifowania specjalnie w tym celu ju¿ konstrukcyjnie

przewidzianych miejsc.

Analizowane zagadnienia wywa¿ania dotyczy³y przede wszystkim elementów sztyw-

nych. Jak wiadomo, nie zawsze mo¿na takie upraszczaj¹ce za³o¿enia przyj¹æ. Uwzglêd-

nienie podatnoci wywa¿anych elementów ogromnie komplikuje jednak ca³y problem.

Nawi¹zano do tych spraw w rozdz. 15.4.

232

15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi

Niektóre problemy in¿ynierskie mo¿na rozwi¹zaæ traktuj¹c poszczególne podzes-

po³y maszyn jako uk³ady kinematyczne z³o¿one z cz³onów sztywnych. W wielu jed-

nak przypadkach za³o¿enie o nieodkszta³calnoci cz³onów jest zbyt du¿ym uproszcze-

niem. Podatnoæ cz³onów w rzeczywistoci wp³ywa, i to czêsto w sposób istotny, na

parametry ruchu uk³adu. Wp³ywa na kinematykê i dynamikê uk³adu, ale równie¿ zmie-

nia jego strukturê. Trzeba powiedzieæ ju¿ na pocz¹tku, ¿e uwzglêdnienie podatnoci

cz³onów w ruchomych uk³adach kinematycznych jest zwykle problemem trudnym

i z³o¿onym. Wymaga tworzenia specjalnych modeli dynamicznych i rozwi¹zywania

ich na gruncie teorii drgañ. Nie wchodz¹c w tê szerok¹ i oddzieln¹ dziedzinê wiedzy,

pragniemy tu jedynie zasygnalizowaæ niektóre problemy cz¹stkowe, by zachêciæ Czy-

telnika równie¿ do innej literatury przedmiotu [4], [9], [12].

Podczas rozpatrywania wielocz³onowych mechanizmów z uwzglêdnieniem podat-

noci, zapisywanie równañ ruchu, a zw³aszcza ich rozwi¹zywanie, ogromnie siê kom-

plikuje. Wynika to z tego, ¿e ka¿dy podatny cz³on wnosi do uk³adu dodatkow stopnie

swobody. Daltego te¿ do ro rozwi¹zywania problemów dynamiki z uwzglêdnieniem

podatnoci czêsto stosuje siê metody przybli¿one, wykorzystuj¹ce tzw. sztywnoci

uogólnione, okrelane np. wspó³czynnikiem sztywnoci zredukowanej (zastêpczej)

lub wspó³czynnikiem podatnoci zredukowanej (zastêpczej).

Na pocz¹tek przypomnijmy tu, znane z wytrzyma³oci materia³ów, pojêcie sztyw-

noci i podatnoci cz³onu. Rozwa¿my w tym celu cz³on podatny (1) obci¹¿ony si³¹

osiow¹ P (rys. 221a). Je¿eli pod dzia³aniem si³y P cz³on ulegnie odkszta³ceniu o

wartoæ Dl, to stosunek si³y P do odkszta³cenia Dl bêdziemy nazywaæ sztywnoci¹

wzd³u¿n¹ k







∆

N
m

(196)

Je¿eli pod dzia³aniem momentu M (rys. 221b) przekrój X cz³onu (1) dokona

obrotu o k¹t Dj, to stosunek momentu M do odkszta³cenia Dj bêdziemy nazywaæ

sztywnoci¹ poprzeczn¹ k

⋅







∆

N m

rad

(197)

233

Do okrelania rozpatrywanych w³aciwoci cz³onów podatnych stosuje siê rów-

nie¿ pojêcie podatnoci, oznaczane symbolami c

i c

. Jak wiadomo [4], sztywnoæ

k jest odwrotnoci¹ podatnoci c

1 .

(198)

Odnosi siê to równie¿ do wspomnianej sztywnoci zredukowanej (lub zastêpczej)

i podatnoci zredukowanej c

, czyli

1 .

(199)

Przy okrelaniu sztywnoci lub podatnoci zredukowanej rozró¿niamy dwa typo-

we przypadki po³¹czeñ cz³onów podatnych, tzn. szeregowych (rys. 222a) i równoleg-

³y (rys. 222b). Ilociowo wspó³czynnik k

lub c

okrela siê na podstawie zasady

równoci energii potencjalnej (przy równoleg³ym po³¹czeniu) oraz równoci si³y wy-

muszaj¹cej odkszta³cenie (przy szeregowym). Otrzymuje siê odpowienio dla po³a-

czeñ:

równoleg³ych

∑

(200)

szeregowych

∑

(201)

Rys. 221. Interpretacja pojêcia sztywnoci: a) sztywnoæ wzd³u¿na, b) sztywnoæ skrêtna

235

= const i daje moment si³ M

równowa¿¹cy moment si³ biernych M

obci¹¿aj¹cy

wirnik wentylatora W. Wirnik silnika i wentylatora po³¹czone s¹ ze sob¹ za pore-

dnictwem szeregu elementów podatnych. Dla uproszczenia potraktujemy tarcze kó³

zêbatych jako elementy sztywne i uwzglêdnijmy tylko podatnoæ wa³ków (1), (2) i

(3), okrelon¹ wspó³czynnikami c

, c

i c

. W wyniku odnotowanych trzech podat-

noci uk³ad ma cztery stopnie swobody, co ogromnie utrudnia zapis jego ruchu.

Dla uproszczenia problemu zast¹pimy uk³ad rzeczywisty (rys. 223a) modelem dy-

namicznym (rys. 223b), z³o¿onym z dwóch mas po³¹czonych jednym cz³onem. W

modelu tym masa m

o momencie bezw³adnoci J

reprezentuje masê wirnika silni-

ka, masa m

reprezentuje masê wirnika wentylatora oraz masy kó³ zêbatych (1), (2'),

(2'') i (3). Taka zredukowana masa scharakteryzowana jest zredukowanym momentem

bezw³adnoci J

. £¹cz¹cy te dwie masy umowny cz³on (rys. 223b) odznacza siê

podatnoci¹ zredukowan¹ e

lub sztywnoci¹ k

. Aby okreliæ wartoæ tego wspó³-

czynnika zauwa¿ymy, ¿e odkszta³cenie Dj

, Dj

i Dj

wa³ków (1), (2) i (3) w

wyniku obci¹¿enia uk³adu momentem czynnym M

mo¿na wyraziæ wzorami

= c

· i

(202)

= c

· i

w których: i

= M

prze³o¿enie pomiêdzy wa³kiem (1) i (2),

= M

prze³o¿enie pomiêdzy wa³kiem (1) i (3).

Obrót wirnika S w wyniku odkszta³cenia wa³ka (2) oraz wa³ka (3) mo¿na wyraziæ

1(2)

= Dj

·i

1(3)

= Dj

·i

(203)

Przy takich oznaczeniach, ³¹czne odkszta³cenie uk³adu mierzone k¹tem Dj obrotu

wirnika S wzglêdem W, w wyniku obci¹¿enia momentem M

, mo¿na wyraziæ wzorem

Dj = Dj

+ Dj

1(2)

+ Dj

1(3)

lub po podstawieniu (203) i (202)

Dj = M

+ c

· i

+ c

· i

(204)

Z drugiej strony, z za³o¿enia

Dj = c

· M

(205)

czyli po uwzglêdnieniu (204) i (205), otrzymamy

= c

+ c

· i

+ c

· i

lub

1 .

236

Mamy wiêc dwumasowy model dynamiczny rozpatrywanego uk³adu mo¿liwy do

przyjêcia jednak tylko wtedy, gdy momenty bezw³adnoci elementów (1), (2) i (3)

zredukowane do wirnika W s¹ odpowiednio ma³e w porównaniu z J

i J

. W

przeciwnym razie nale¿y przejæ na model bardziej rozbudowany. Pozostaj¹c przy

naszym modelu, nale¿y go poddaæ bli¿szej analizie. Nale¿y napisaæ uk³ad dwóch rów-

nañ ró¿niczkowych ruchu, np. w postaci

⋅

− ⋅

−

⋅

− ⋅

−

i przeprowadziæ ich szczegó³owe badania. Nie podejmuj¹c tu tych na ogó³ uci¹¿li-

wych zabiegów, powiemy tylko, ¿e rozpatrywany model ma dwa stopnie swobody,

mo¿na siê wiêc spodziewaæ ruchu z³o¿onego z pewnej sta³ej prêdkoci w i dodatko-

wego ruchu z prêdkoci¹ zmienn¹ cyklicznie (drgania).

15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dwigniowych

Rozpatrzmy dla przyk³adu czworobok przegubowy ABCD (rys. 224a). W me-

chanizmie tym moment napêdowy (czynny) przy³o¿ony jest do wa³u (2), na którym

jest osadzona korba AB, moment bierny za obci¹¿a wa³ (4) zakoñczony ramieniem

Rys. 224. Okrelanie odkszta³ceñ w czworoboku przegubowym: a) schemat uk³adu, b) dwumasowy

model dynamiczny uk³adu ze zredukowan¹ sztywnoci¹ k

237

DC. W wyniku obci¹¿enia uk³adu ulegnie odkszta³ceniu cz³on AB i jego wa³ (2) na

d³ugoci l

oraz ramiê DC i jego wa³ (4) na d³ugoci l

. Za³ó¿my, ¿e odkszta³cenia

te bêdziemy okrelaæ odpowiednio jednym wspó³czynnikiem skrêtnej podatnoci c

i jednym wspó³czynnikiem skrêtnej podatnoci c

. O cz³onie porednicz¹cym (³¹czni-

ku) (3) za³o¿ymy, ¿e jest on tylko rozci¹gany si³¹ osiow¹ P

= P

= M

i pomijamy jego masê. Odkszta³cenie cz³onu (3) w tych warunkach okrelimy wspó³-

czynnikiem wyd³u¿enia c

. Zak³adamy, ¿e wartoci wspó³czynników c

s¹ znane z

bezporednich pomiarów lub obliczone analitycznie wed³ug wzorów

G J

⋅

(206)

w których: l

d³ugoæ czêci skrêcanej wa³ka i-tego,

modu³ sprê¿ystoci poprzecznej,

biegunowy moment bezw³adnoci przekroju wa³ka i-tego

oraz

E X

⋅

(207)

gdzie: l

d³ugoæ ³¹cznika,

modu³ sprê¿ystoci pod³u¿nej,

przekrój poprzeczny ³¹cznika.

Znaj¹c wartoæ wspó³czynników c

oraz obci¹¿eñ zewnêtrznych, mo¿na okreliæ

deformacje rozpatrywanych cz³onów

= M

· c

(208)

= M

· c

= P

· c

(209)

Przeanalizujmy z kolei ³¹czny wp³yw deformacji poszczególnych cz³onów na de-

formacjê ca³ego uk³adu. W szczególnoci, je¿eli przez X

i X

oznaczyæ przekroje

wa³ów (2) i (4), w których przy³o¿one s¹ momenty M

i M

, to przedmiotem

zainteresowania bêdzie k¹t obrotu Dj, rozumiany jako miara obrotu przekroju X

wzglêdem przekroju X

. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e

Dj = Dj

+ Dl

· j

+ Dj

· i

(210)

gdzie j

wspó³czynnik wp³ywu zmiany d³ugoci ³¹cznika na obrót ramienia AB

przy unieruchomionym ramieniu DC,

czyli

= ∆

∆

ϕ ' ,

(211)

238

prze³o¿enie okrelone stosunkiem obrotu ramion DC i AB,

czyli

= ∆

∆

ϕ
ϕ

(212)

Po podstawieniu do (210) zale¿noci (208) i (209) otrzymamy

Dj = M

· c

+ P

· c

· j

+ M

· c

· i

(213)

Zauwa¿my z kolei, ¿e

= M

· j

(214)

= M

· i

(215)

i podstawmy te zwi¹zki do (213), Otrzymamy

Dj = M

+ c

· j

+ c

· i

(216)

Z drugiej strony mo¿na zapisaæ

Dj = M

· c

(217)

gdzie: c

zredukowana do cz³onu (2) podatnoæ ca³ego uk³adu.

Wartoæ tego wspó³czynnika mo¿na okreliæ z porównania (216) i (217). Otrzymamy

= c

+ c

· j

+ c

· i

(218)

Zajmiemy sie teraz wyznaczaniem wspó³czynników c

i i

. Jak wynika z defini-

cji (211), (212), s¹ to okrelone prze³o¿enia

v l
v l

B CD

C AB

⋅
⋅

∆
∆

ϕ
ϕ

ω
ω

(219)

v l

⋅

∆

ω '

(220)

gdzie v

' prêdkoæ zmiany d³ugoci ³¹cznika BC podczas jego odkszta³cenia wywo-

³uj¹ca prêdkoæ v

' punktu B.

Jak z tego widaæ, prze³o¿enie i

i j

mo¿na wyznaczyæ pos³uguj¹c siê np. odpo-

wiednimi, w dowolnej podzia³ce wykrelonymi, planami prêdkoci (rys. 225). I tak

pb l

pc l

⋅
⋅

ω
ω

(221)

lub wykorzystuj¹c twierdzenie sinusów dla trójk¹ta pbc (rys. 225b)

l
l

−
−

sin(

)

sin(

)

(222)

239

W celu okrelenia prze³o¿enia j

przeanalizujemy mechanizm zastêpczy (rys. 225c)

i jego plan prêdkoci (rys. 225d). Je¿eli z za³o¿enia j

= w

' , to z Dpb

otrzymamy

b b l

2 3

⋅

(223)

lub korzystaj¹c z twierdzenia sinusów dla prostok¹tnego trójk¹ta pb

(rys. 225d)

−

sin(

)

(224)

Ostatecznie, po uwzglêdnieniu wzorów (218), (222) i (224), otrzymamy

c l

−

sin (

)

sin (

)

sin (

)

(225)

lub

(226)

Rys. 225. Rysunek pomocniczy do wyznaczania prze³o¿eñ: a) c) schematy mechanizmów,

b) d) plany prêdkoci

240

Na podstawie otrzymanych wyników mo¿na ostatecznie zbudowaæ model dyna-

miczny rozpatrywanego uk³adu. Bêdzie to znów model dwumasowy (rys. 224b), ró¿-

ny od omawianego ju¿ modelu na rys. 223b tylko tym, ¿e sztywnoæ k

nie jest sta³a,

lecz zale¿y od po³o¿enia mechanizmu k

= f(j

). Oczywicie, nale¿y o tym pamiêtaæ

podczas analizowania ró¿niczkowych równañ ruchu, które dla tego przypadku przyjê-

³yby postaæ

s s

(

−

(

−

gdzie: j

k¹t obrotu silnika,

moment na wale silnika (M

= M

zredukowany moment bezw³adnoci ruchomych czêci silnika,

k¹t obrotu przekroju X

cz³onu (2),

zredukowany do cz³onu (2) moment M

= M

· i

zredukowany do cz³onu (2) moment bezw³adnoci czworoboku (cz³onów

(2), (3) i (4)),

zredukowana do cz³onu (2) sztywnoæ czworoboku (226).

Ze wzglêdu na to, ¿e k

= f(j

), ostatni uk³ad równañ mo¿na rozwi¹zaæ tylko

metodami numerycznymi.

15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego

z podatnym popychaczem

Na rysunku 226a przedstawiono mechanizm zamiany ruchu obrotwego krzywki

(2) na ruch postêpowo-zwrotny popychacza (3). Na popychacz dzia³a si³a zewnêtrzna

ze strony uruchamianego przezeñ cz³onu (4), si³a F

sprê¿yny zamykaj¹cej oraz

si³y tarcia T

. Z za³o¿enia uwzglêdniamy tylko podatnoæ poychacza (zak³adamy, ¿e

sztywnoæ pozosta³ych cz³onów i ich po³¹czeñ jest niewspó³miernie wiêksza). Przy

tych za³o¿eniach, w celu przeanalizowania ruchu popychacza, przejdziemy na model

dynamiczny (rys. 226b), w którym przez k

oznaczono sztywnoæ popychacza, przez

zredukowan¹ do koñca masê popychacza oraz pozosta³ych mas zwi¹zanych

z cz³onem (4), Przez F oznaczono tu wypadkow¹ obci¹¿eñ zewnêtrznych popycha-

cza

(227)

natomiast przez s i y oznaczono przemieszczenie koñca B popychacza wymuszane

przez krzywkê oraz masy zredukowanej m

na koñcu popychacza.

Dla takiego modelu jednomasowego mo¿na zapisaæ równanie ruchu w postaci

m y

F k s y

(

= − +

−

(228)

241

gdzie k

znana sztywnoæ popychacza (okrelona dowiadczalnie lub oceniona teo-

retycznie).

Modu³ si³y F obliczymy ze wzoru

F = P + k

· y,

(229)

(229a)

w którym k

znana sztywnoæ sprê¿yny zamykaj¹cej.

Po uwzglêdnieniu (228) i (229) otrzymamy po przekszta³ceniach

y k

F k s

= −

+ ⋅

(230)

Równanie (230) umo¿liwia ocenê ruchu koñca popychacza przy znanym ruchu

wymuszenia punktu B. Do oceny ró¿nicy ruchów obu koñców stosuje siê czêsto tzw.

wspó³czynnik dynamiczny y, okrelony umownie stosunkiem maksymalnych war-

toci przyspieszeñ masy m

z uwzglêdnieniem podatnoci popychacza (ÿ

max

) i bez

uwzglêdnienia podatnoci (s¨

max

)

ψ =

max

y
s

(231)

Rys. 226. Analiza dynamiczna mechanizmu krzywkowego z uwzglêdnieniem podatnoci popychacza:

a) schemat mechanizmu, b) jednomasowy model dynamiczny popychacza

242

Dla przyk³adu przeanalizujemy bli¿ej przypadek krzywki o charakterystyce sinu-

soidalnej z popychaczem obci¹¿onym tylko si³¹ bezw³adnoci. Zak³adamy wiêc, ¿e

droga i przyspieszenie punktu B podczas podnoszenia popychacza wyra¿a siê wzora-

−

( cos

'),

(232)

cos ',

= π

(233)

oraz przyjmujemy: P = 0, k

= 0. Przy takich za³o¿eniach otrzymamy w wyniku

przekszta³cenia równania (230) odpowiednie zale¿noci

n t

−











cos ' cos

' ,

(234)

(cos ' cos

n t h

−

1 2

(235)

W równaniach (232)(235) oznaczaj¹:

h skok popychacza (maksymalna droga),

t' = t/T (T czas podnoszenia popychacza na wysokoæ h),

n liczba drgañ masy popychacza podczas podnoszenia (n = 2T/T

, T

okres

drgañ w³asnych).

Przebiegi s¨(t) oraz y¨(t), gdy n = 2, 5 i 10 przedstawiono na rys. 227. Wartoci

wspó³czynników dynamicznych wed³ug wzoru (231) wynosz¹ odpowiednio

y = 2,67, 2,07, 2,002.

Mo¿na zauwa¿yæ, ¿e gdy n ® ¥, y ® y

= 2. Podobnie rzecz wygl¹da równie¿

przy innych przebiegach przyspieszeñ s¨(t) z tzw. nieci¹g³oci¹ funkcji. Gdy funkcja ta

charakteryzuje siê dodatkowo skokow¹ zmian¹ znaku (np. podczas prostok¹tnych prze-

biegach przyspieszeñ), wtedy y

= 3. Z kolei, przy ci¹g³ych funkcjach przyspiesze,

np. sinusoidalnych, dla n ® ¥, y

® 1.

Na zakoñczenie jeszcze raz podkrelmy, ¿e badalimy model mechanizmu bardzo

uproszczony, bo zbudowany przy wielu za³o¿eniach. Uzyskane w ten sposób wyniki

ró¿ni¹ siê wiêc jeszcze od wyników rzeczywistych, otrzymanych np. na drodze po-

miarów. Ró¿nice te w przypadkach nieadekwatnie przyjêtych do modeli mog¹ byæ

bardzo istotne. Aby je zminimalizowaæ, nale¿y siêgaæ po modele coraz bardziej roz-

budowane. Nale¿y przy tym podkreliæ, ¿e przyjmowanie modelu, ustalanie jego struk-

tury, liczby stopni swobody, t³umienia i wymuszeñ jest zagadnieniem nie³atwym i

wymaga od prowadz¹cego badania zarówno wiedzy, jak i dowiadczenia.

244

Rys. 228. Wywa¿anie elementów podatnych: a) wirnik w spoczynku, b) wirnik w ruchu

ró¿nic przeanalizujmy pionowo u³o¿yskowany wa³ AB (rys. 228a) z osadzon¹ tarcz¹

o rodku ciê¿koci S przesuniêtym, jak to zwykle bywa, o wartoæ e. Przy ruchu

wa³u z prêdkoci¹ k¹tow¹ w si³a bezw³adnoci masy niewywa¿onej tarczy (masê wa³u

na razie pominiemy) spowoduje odkszta³cenie wa³u (rys. 228b) okrelone strza³k¹

ugiêcia y. Si³ê tê mo¿na wyraziæ

= m (e + y) w

(236)

Z drugiej strony

y = P

· c

(237)

gdzie c

wspó³czynnik podatnoci okrelaj¹cy ugiêcie pod dzia³aniem si³y jednost-

kowej,

Na podstawie wzorów (236) i (237) otrzymamy po przekszta³ceniach

c m

⋅

−

(238)

Prêdkoæ k¹tow¹ wa³u, przy której y ® ¥, nazywamy prêdkoci¹ krytyczn¹ w

a jej wartoæ otrzymamy przyrównuj¹c do zera mianownik wyra¿enia (238)

c m

(239)

245

Na podstawie wzorów (238) i (239) przedstawmy jeszcze raz wzór okrelaj¹cy

strza³kê ugiêcia y w postaci









−

(240)

Z wyra¿enia (240) wynika, ¿e gdy w < w

, wówczas y > 0, gdy za w > w

wówczas y < 0. Nale¿y to rozumieæ tak, ¿e przy prêdkociach ponadkrytycznych

strza³ka ugiêcia y ma zwrot przeciwny do zwrotu si³y wymuszaj¹cej (jest przesuniêta

w fazie o k¹t p). W zakresie prêdkoci ponadkrytycznych, gdy w ® ¥, strza³ka y

maleje i zmierza do a, (y ® e). Si³a bezw³adnoci ma wtedy wartoæ

= m (e + y) w

Jak wynika z tych rozwa¿añ, wirniki podatne nale¿y wywa¿aæ przy prêdkociach

ich pracy i masy korekcyjne umieszczaæ w odpowiednio dobranych p³aszczyznach.

Wprowadzenie mas korekcyjnych w niew³aciwych miejscach, okrelonych przy prêd-

kociach wywa¿ania ró¿nych od prêdkoci roboczych, mo¿e (zamiast poprawiæ) po-

gorszyæ efekt wywa¿ania.

Wywa¿anie wirników podatnych jest zabiegiem trudnym i oczekiwany, a w³aci-

wie kompromisowy, efekt uzyskuje siê zwykle na drodze kolejnych prób.

Document Outline