Stefan Miller

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW

Analiza uk³adów kinematycznych

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ

3

Spis treœci

Wstêp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Cz³on (ogniwo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. £añcuch kinematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Wzory srtukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. RuchliwoϾ lokalna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8. Wiêzy bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Klasyfikacja mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Kinematyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Metody graficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Podzia³ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Po³o¿enia i trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Po³o¿enia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2. Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1. Œrodki obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3. Metoda toru ocechowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.4. Metoda planów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.5. Metoda wykresów kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Metoda zapisu wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Metoda klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. Metoda macierzowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. Metoda przyrostów skoñczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1. Mechanizmy dŸwigniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1. P³aski czworobok przgubowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2. Sprzêg³o Cardana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3. Manipulatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1. Mechanizmy krzywkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2. Mechanizmy zêbate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Analiza dok³adnoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1. Okreœlanie b³êdu i tolerancji wynikowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Okreœlanie wspó³czynników wp³ywu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Si³y i ich przegl¹d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1. Si³y bezw³adnoœci i ich redukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1.1. Metoda mas zastêpczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

10. Kinetostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1. Grupy statycznie wyznaczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1.1. Analiza si³ w grupach ststycznie wyznaczalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2. Równowaga cz³onu czynnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych metod¹ energetyczn¹ . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Tarcie w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1. Tarcie w parach postêpowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2. Tarcie w parach obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3. Tarcie w parach wy¿szych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Bilans energetyczny maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.1. Równanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2. SprawnoϾ mechaniczna maszyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3. Okreœlanie sprawnoœci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Badanie ruchu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.1. Redukcja si³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2. Redukcja mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.3. Modele maszyn i równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.4. Nierównomiernoœæ biegu maszyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.5. Ko³a zamachowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.5.1. Przybli¿ona metoda okreœlania momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego . . . . .

13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Wywa¿anie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.1. Okreœlanie œrodka ciê¿koœci mechanizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.2. Wywa¿anie mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3. Wywa¿anie mas obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dŸwigniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego z podatnym popychaczem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatura

5

Wstêp

Wiêkszoœæ urz¹dzeñ technicznych, stosowanych we wszelkich procesach produk-

cyjnych, jak równie¿ wykorzystywanych do obs³ugi podstawowych sfer ¿ycia wspó³-

czesnego cz³owieka, stanowi¹ najogólniej tzw. systemy mechaniczne. Wszystkie te

systemy, z³o¿one z cia³ materialnych (sta³ych, p³ynnych,...), mo¿na podzieliæ na dwie

ró¿ne grupy.

Do pierwszej z nich zaliczamy systemy mechaniczne charakteryzuj¹ce siê tym, ¿e

ich funkcja nie wi¹¿e siê ze wzajemnym ruchem elementów sk³adowych, czyli inaczej

systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹ nieruchowo. Przyk³adami

takich urz¹dzeñ s¹ wszelkie konstrukcje sztywne, jak np. obudowy, ramy, zbiorniki

itp.

Drug¹ grupê tworz¹ systemy, w których elementy sk³adowe s¹ po³¹czone ze sob¹

ruchowo i w procesie wype³niania swojej funkcji wystêpuje wzajemne ich przemiesz-

czanie. Do nich nale¿¹ przede wszystkim maszyny, oraz ró¿ne aparaty i narzêdzia,

których budowê i dzia³anie okreœlaj¹ uk³ady kinematyczne (mechanizmy). Z t¹ grup¹

urz¹dzeñ, stanowi¹cych przedmiot rozwa¿añ, jest zwi¹zany szeroki kr¹g zagadnieñ

dotycz¹cych ich analizy i syntezy. Wiêkszoœæ problemów, niezale¿nie od specyfiki

i przeznaczenia urz¹dzeñ, jest wspólna. Nale¿¹ do nich miêdzy innymi: zagadnienia

torów zakreœlanych przez pewne punkty zwi¹zane z elementami ruchomymi, zaga-

dnienia wzajemnych po³o¿eñ elementów w kolejnych fazach ruchu, prêdkoœci i przy-

spieszeñ k¹towych poszczególnych cz³onów.

Wspólne w zasadzie dla wszystkich urz¹dzeñ tego typu jest zagadnienie si³ prze-

noszonych przez elementy ruchome i ich po³¹czenia, ruch okreœlonych uk³adów pod

dzia³aniem si³, zjawisko tarcia i jego efekty, moc potrzebna do utrzymania urz¹dzenia

w ruchu itd. Ogólne problemy i metody ich rozwi¹zywania, interesuj¹ce zarówno

konstruktorów, technologów, jak i eksploatatorów systemów mechanicznych, s¹

przedmiotem nauki teoria maszyn i mechanizmów, który dzieli siê na trzy dzia³y:

struktura, kinematyka, dynamika.

W pierwszym dziale, poœwiêconym strukturze, omawia siê ogólne w³aœciwoœci

ruchowe uk³adów mechanicznych wi¹¿¹ce siê z pewnymi cechami ich budowy, a wiêc

liczb¹ i rodzajem elementów sk³adowych oraz sposobem ich po³¹czeñ.

Dzia³ kinematyki jest poœwiêcony metodom badania wzajemnych ruchów cz³o-

nów i punktów zwi¹zanych z cz³onami uk³adów mechanicznych. Nale¿y podkreœliæ,

¿e punktem wyjœcia w kinematyce jest tylko ruch elementów napêdzaj¹cych i geome-

tria uk³adu, bez uwzglêdniania wp³ywu mas tych elementów i dzia³aj¹cych na nie si³.

6

W dziale poœwiêconym dynamice bada siê zwi¹zki zachodz¹ce w uk³adzie miêdzy

parametrami kinematycznymi elementów sk³adowych a ich masami i dzia³aj¹cymi na

nie si³ami.

Teoria maszyn i mechanizmów stanowi w du¿ej mierze ukierunkowane rozwiniê-

cie mechaniki, jest wiêc na pograniczu nauk podstawowych i stosowanych. Wyjaœnia

wa¿niejsze zjawiska zachodz¹ce w uk³adach kinematycznych, zarazem umo¿liwia zro-

zumienia istotnych problemów budowy i dzia³ania maszyn oraz urz¹dzeñ mechanicz-

nych. W tym sensie znajomoœæ tego przedmiotu powinna stanowiæ skuteczn¹ pomoc

dla wszystkich, którzy zajmuj¹ siê twórcz¹ prac¹ in¿yniersk¹.

7

I. STRUKTURA

1. Pojêcia podstawowe

1.1. Cz³on (ogniwo)

W uk³adach kinematycznych mo¿na wyró¿niæ elementy sk³adowe wykonuj¹ce w

stosunku do siebie ruchy wzglêdne. Elementy te bêdziemy nazywaæ ogólnie cz³onami

lub ogniwami. Przyk³adami cz³onów s¹ elementy sk³adowe (1–3) uk³adu pompy przed-

stawionej na rys.1 oraz (1–9) uk³adu wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej z rys. 2.

Cz³ony mog¹ wystêpowaæ w postaci jednoczêœciowej (rys.3a) lub, jak to czêsto bywa,

mog¹ byæ zbudowane z wielu czêœci (rys. 3b). Mówimy o jednym cz³onie wówczas,

gdy poszczególne czêœci (jak na rys. 3b) s¹ po³¹czone ze sob¹ sztywno. Najczêœciej

mamy do czynienia z cz³onami sztywnymi, tzn. takimi, których odkszta³calnoœæ nie

ma istotnego wp³ywu na przenoszony ruch; cz³onami jednak bêdziemy nazywaæ rów-

nie¿ elementy podatne, jak ciêgna i sprê¿yny, a tak¿e uczestnicz¹ce w przekazywaniu

ruchu okreœlone objêtoœci gazów lub cieczy. Przyk³adami tego typu cz³onów mog¹

byæ: sprê¿ysty element (4) uk³adu napêdowego m³ota (rys. 4) lub zamkniêta ciecz (3)

w hydraulicznej prasie (rys. 5). W dalszym ci¹gu zajmiemy siê przede wszystkim

uk³adami cz³onów sztywnych.

Rys. 1. Mechanizm pompy rotacyjnej: 1 – podstawa, 2 i 3 – wirniki

8

Rys. 3. Przyk³ady cz³onów dwuwêz³owych:

a) cz³on prosty, b) cz³on z³o¿ony, c) schemat

Rys. 2. Uk³ad wysiêgnika ³adowarki hydraulicznej: a) widok ogólny uk³adu,

b) schemat kinematyczny uk³adu

Rys. 4. Mechanizm napêdu m³ota:

4 – cz³on sprê¿ysty

9

Jeden z cz³onów uk³adu, wzglêdem którego badamy ruchy pozosta³ych cz³onów,

bêdziemy nazywaæ podstaw¹ lub ostoj¹. Jest to zwykle cz³on nieruchomy i nietrudno

go odró¿niæ. Podstaw¹ jest obudowa (1) pompy z rys. 1, rama (1) ³adowarki z rys. 2, a

tak¿e korpus m³ota i prasy przedstawiony na rys. 4 i 5. Wœród pozosta³ych (poza

podstaw¹) ruchomych cz³onów uk³adu bêdziemy wyró¿niaæ cz³ony czynne, do których

jest przy³o¿ony napêd uk³adu, cz³ony bierne, czyli napêdzane, oraz grupê cz³onów

poœrednicz¹cych w przekazywaniu ruchu i si³. Uwzglêdniaj¹c charakter ruchu, bê-

dziemy cz³onom ruchomym przypisywaæ bli¿sze okreœlenia. I tak, korb¹ bêdziemy

nazywaæ cz³ony wykonuj¹ce pe³ny ruch obrotowy, wahaczem – cz³on o nawrotnym

ruchu obrotowym w granicach k¹ta niepe³nego, suwakiem – cz³on o ruchu postêpo-

wym itp.

W naszych rozwa¿aniach nie bêdziemy siê interesowaæ tymi cechami cz³onów,

które nie maj¹ wp³ywu na ruch i jego przenoszenie. Traktuj¹c cz³ony jako cia³a sztywne,

zaakcentujemy tylko te ich wymiary, które okreœlaj¹ wzajemne po³o¿enie miejsc przy-

stosowanych do wejœcia w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Wed³ug liczby

tych miejsc, zwanych dalej pó³parami lub pó³wêz³ami, mo¿na dzieliæ wszystkie cz³o-

ny na 2-, 3- i n-wêz³owe. Cecha ta jest widoczna wyraŸnie przy schematycznym

sposobie rysowania uk³adów i cz³onów (rys. 2b, 3c), z którego bêdziemy powszechnie

korzystaæ.

Wêz³owoœæ cz³onów bêdziemy oznaczaæ symbolami N

2

, N

3

, ..., N

n

, natomiast licz-

by takich cz³onów w uk³adzie odpowiednio przez n

2

, n

3

, ..., n

n

. Istotê podzia³u cz³o-

nów p³askich wed³ug wêz³owoœci wyjaœniono na rys. 6, na którym wyró¿niono dodat-

kowo cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach p³askich i przestrzennych. Czêsto jest u¿yteczne

przypisywanie okreœlonym typom cz³onów charakterystycznych dla nich liczb b wszys-

tkich krawêdzi, czyli odcinków, jakimi mo¿na po³¹czyæ poszczególne pó³wêz³y miê-

dzy sob¹ oraz liczb b

w

tych odcinków schodz¹cych siê w jednym pó³wêŸle.

Rys. 5. Mechanizm napêdu prasy hydraulicznej: 3 – ciecz spe³niaj¹ca rolê cz³onu

10

Rys. 6. Oznaczenia p³askich i przestrzennych cz³onów wielowêz³owych

1.2. Para kinematyczna (wêze³ kinematyczny)

Istotn¹ cech¹ ka¿dego uk³adu kinematycznego s¹ ruchowe po³¹czenia cz³onów.

Po³¹czenia takie, umo¿liwiaj¹ce wzajemny ruch wzglêdny dwóch cz³onów, nazywa

siê powszechnie par¹ kinematyczn¹ lub wêz³em kinematycznym. Kilka przyk³adów

par kinematycznych mo¿na wskazaæ ju¿ w uk³adach przedstawionych na rys. 1 i 2.

Du¿a ró¿norodnoœæ wystêpuj¹cych w praktyce par sugeruje potrzebê dokonania

pewnego podzia³u i systematyki. Stosuje siê wiêc nie wymagaj¹cy wyjaœnienia podzia³

par na przestrzenne i p³askie. Powszechnie stosowanym kryterium podzia³u par jest

rodzaj miejsca styku dwóch tworz¹cych parê cz³onów. Parami ni¿szymi nazywa siê

pary, w których styk cz³onów jest powierzchniowny, jak np. w parze przedstawionej

na rys. 7a (powierzchnia kulista), parami wy¿szymi zaœ, w których miejscem styku

cz³onów pary jest linia lub punkt (rys. 7b i c).

Wœród wielu stosowanych podzia³ów tych ró¿norodnych po³¹czeñ powszechnie

stosuje siê podzia³ par na klasy wed³ug liczby stopni swobody jednego cz³onu wzglê-

dem drugiego cz³onu pary. Cz³on swobodny dysponuje, jak wiadomo, szeœcioma stop-

Rys. 7. Przyk³ady podzia³u par ze wzglêdu na rodzaj styku: a) styk powierzchniowy (para ni¿sza),

b) styk liniowy (para wy¿sza), c) styk punktowy (para wy¿sza)

11

Rys. 8. Stopnie swobody i ich oznaczenia

niami swobody. Najbardziej obrazowo i do-

godnie – z punktu widzenia technicznego –

mo¿na je przedstawiæ jako trzy niezale¿ne

od siebie ruchy postêpowe T

x

, T

y

, T

z

(trans-

lacje) wzd³u¿ trzech prostopad³ych osi uk³a-

du x, y, z oraz trzy ruchy obrotowe R

x

, R

y

,

R

z

(rotacje) wokó³ tych osi (rys. 8). W ka¿-

dej parze tworz¹ce j¹ cz³ony nak³adaj¹ na

siebie pewne ograniczenia ruchu lub inaczej

– wiêzy. Ka¿dy cz³on pary rozporz¹dza wzglê-

dem drugiego odpowiednio mniejsz¹ liczb¹

stopni swobody. Kieruj¹c siê tak¹ liczb¹

posiadanych stopni swobody [1], [7], [13]

dzieli siê wszystkie pary na 5 klas, oznaczanych dalej cyframi rzymskimi I, II, III, IV

i V*

)

.

W tej konwencji na przyk³ad parê przedstawion¹ na rys. 7a, w której cz³on (2)

mo¿e wykonywaæ wzglêdem cz³onu (1) trzy ruchy obrotowe, zaliczymy do kl. III,

parê wy¿sz¹ z rys. 7c zaœ do klasy V. Przyk³ady par wszystkich klas zestawiono w

tabeli 1.

Ka¿da z klas obejmuje ca³y zbiór par ró¿ni¹cych siê jednak miêdzy sob¹ nie tylko

cechami konstrukcyjnymi, ale nawet kinematycznymi. Ró¿nice te mo¿na przeœledziæ

na przyk³adzie, zestawionych na rys. 9 i 10, par II klasy.

W parach a i b z rysunku 9, cz³on (2) dysponuje wzglêdem cz³onu (1) mo¿liwo-

œci¹ obrotu i przesuniêcia, lecz osie tych ruchów s¹ do siebie b¹dŸ równoleg³e (rys.

Rys. 9. Przyk³ady par II klasy: a) oœ ruchu obrotowego równoleg³a do kierunku ruchu postêpowego, b)

oœ ruchu obrotowego prostopad³a do kierunku ruchu postêpowego

*

)

Mo¿na siê spotkaæ równie¿ z innym podzia³em na klasy [2], [9], [12], w którym o klasie decyduje

liczba odebranych stopni swobody.

12

Tabela 1

13

9a), b¹dŸ prostopad³e (rys. 9b). W parach przedstawionych na rys. 10a i 10b cz³on (2)

mo¿e wykonywaæ 2 obroty, przy czym w przypadku a) osie tych obrotów przecinaj¹

siê pod k¹tem prostym, w przypadku b) zaœ s¹ do siebie równie¿ prostopad³e, lecz

wzajemnie zwichrowane. Nie zawsze te¿ stopnie swobody odnosz¹ siê do prostych

ruchów postêpowych lub obrotowych. W pewnych rozwi¹zaniach jeden prosty ruch

wzglêdny dwóch rozpatrywanych cz³onów wywo³uje œciœle okreœlony jeden lub kilka

innych ruchów prostych. Znanym przyk³adem takiego zjawiska jest para œrubowa przed-

stawiona na rys. 11a. Ruchowi obrotowemu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) towzrzy-

szy œciœle okreœlony ruch postêpowy. Te ruchy T

x

i R

x

, dla odró¿nienia od odpowie-

dnich ruchów niezale¿nych, bêdziemy sygnalizowaæ przez zapis ich symboli w jed-

nym nawiasie okr¹g³ym (T

x

R

x

). Kolejny przyk³ad tego typu funkcyjnych powi¹zañ

ruchów dwóch cz³onów pary przedstawiono na rys. 11b. Ruch postêpowy T

x

cz³onu

(2) wzglêdem cz³onu (1) wywo³uje jednoczeœnie przesuniêcie wzd³u¿ osi y, a wiêc T

y

.

Rys. 10. Przyk³ady par kinematycznych II klasy: a) przecinaj¹ce siê osie obrotów,

b) zwichrowane osie obrotów

Rys. 11. Przyk³ady par kinematycznych I klasy o funkcyjnym powi¹zaniu ruchów elementarnych:

a) T

x

= f(R

x

), b) T

x

= f(T

y

)

14

Tabela 2

Zgodnie z wprowadzon¹ umow¹, tej parze przypiszemy symbol (T

x

T

y

). W obydwu

przypadkach (rys. 11) ruch cz³onu (2) wzglêdem (1) jest œciœle okreœlony przez jeden

ruch prosty, mo¿na wiêc mówiæ o jednym stopniu swobody i parze I klasy.

Ju¿ z tych kilku przyk³adów widaæ, ¿e poszczególne klasy par obejmuj¹ liczne

zbiory par ró¿ni¹cych siê liczbami mo¿liwych ruchów postêpowych i obrotowych,

wzajemnym usytuowaniem osi tych ruchów oraz ró¿nymi powi¹zaniami funkcyjnymi

miêdzy tymi ruchami. W tej sytuacji celowy jest dalszy podzia³ par nale¿¹cych do

jednej klasy na rzêdy i odmiany, wed³ug wymienionych cech kinematycznych. Istotê

tego podzia³u ilustruje tabela 2, w której wszystkie mo¿liwe odmiany par I kl. zesta-

wiono w rzêdy 1–6 wed³ug liczby ruchów funkcyjnych ze sob¹ zwi¹zanych.

Pary p³askie

W zdecydowanej wiêkszoœci uk³adów kinematycznych ruchy wzglêdne cz³onów

odbywaj¹ siê w p³aszczyznach wzajemnie równoleg³ych. Mówimy wtedy o uk³adach

p³askich.

W takich uk³adach wystêpuj¹ niektóre tylko spoœród omawianych par, zwane krót-

ko parami p³askimi. Ruch cz³onu mo¿na opisaæ dwoma ruchami postêpowymi wzd³u¿

osi do siebie prostopad³ych (np. x i y), ruchem obrotowym wokó³ osi prostopad³ej do

poprzednich (np. z) lub ich kombinacj¹. W tej sytuacji pary p³askie mog¹ zapewniaæ

wzajemny ruch tworz¹cych je cz³onów w zakresie jednego lub dwóch stopni swobody,

co oznacza, ¿e mog¹ wystêpowaæ tylko jako pary I i II klasy, i to tylko wybranych

odmian. Przyk³ady najprostszych i najczêœciej spotykanych par kinematycznych ze-

stawiono w tabeli 3.

1.3. £añcuch kinematyczny

£añcuchem kinematycznym nazywamy szereg cz³onów po³¹czonych ze sob¹ ru-

chowo. Kilka przyk³adów ³añcuchów przedstawiono na rys. 12.

Wed³ug przyjêtego kryterium podzia³u wyró¿niamy trzy grupy ³añcuchów:

15

a) p³askie, przestrzenne,

b) otwarte, zamkniête,

c) jednobie¿ne, niejednobie¿ne.

O ³añcuchu p³askim mówimy wtedy, gdy wszystkie jego cz³ony wykonuj¹ ruchy

w p³aszczyznach równoleg³ych (rys. 12a, b, c). Gdy warunek ten nie jest spe³nionyjak

to ma miejsce w przypadku ostatnim (rys. 12d) mówimy o ³añcuchu przestrzennym.

Tabela 3

Rys. 12. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych

16

Do ³añcuchów otwartych zaliczymy te, które zawieraj¹ cz³ony tworz¹ce pary tyl-

ko z jednym cz³onem. Na rys. 12a przedstawiono ³añcuch otwarty, na rysunku 12 b, c,

d natomiast ³añcuchy zamkniête.

Zwróæmy uwagê na pewne zjawiska kinematyczne. Niech bêdzie dany p³aski ³añ-

cuch kinematyczny z³o¿ony z czterech cz³onów, po³¹czonych jak na rys. 13a. Nie trze-

ba wykazywaæ, ¿e w uk³adzie tym ka¿demu po³o¿eniu cz³onu (2) w p³aszczyŸnie zwi¹-

zanej z cz³onem (1) odpowiadaj¹ okreœlone po³o¿enia pozosta³ych cz³onów (3) i (4).

Oznacza to, ¿e zadanemu ruchowi cz³onu (2) wzglêdem dowolnego innego cz³onu

odpowiadaj¹ okreœlone ruchy pozosta³ych cz³onów wzglêdem siebie. £añcuch o ta-

kich w³aœciwoœciach nazywamy jednobie¿nym.

W uk³adzie piêciocz³onowym, przedstawionym na rys. 13b, ruch wzglêdny cz³onu

(2) wzglêdem cz³onu (1) nie warunkuje jednoznacznych ruchów wzglêdnych pozosta-

³ych cz³onów. Jest to przyk³ad ³añcucha niejednobie¿nego. Oczywiœcie i w tym ³añ-

cuchu mo¿na otrzymaæ ruchy œciœle okreœlone, je¿eli jednoczeœnie bêdziemy napê-

dzaæ jakikolwiek inny cz³on, np. obracaj¹c korb¹ (2) przesuwaæ wzd³u¿ prowadnicy su-

wak (5).

Ju¿ z tych przyk³adów widaæ, ¿e jednobie¿noœæ wi¹¿e siê z jednej strony z liczb¹

cz³onów czynnych (napêdzaj¹cych), z drugiej zaœ z pewnymi cechami budowy uk³adu

lub – jak powiedzmy inaczej – ze struktur¹ uk³adu.

1.3.1. Ruchliwoœæ ³añcucha

Ruchliwoœæ ³añcucha lub stopieñ ruchliwoœci w sensie fizycznym okreœla, przy

istnieniu pewnych zastrze¿eñ, liczbê stopni swobody, jakimi dysponuj¹ cz³ony uk³adu

wzglêdem jednego z nich. Ruchliwoœæ mo¿na inaczej okreœliæ liczb¹ ograniczeñ ru-

chów prostych (wiêzów), które na³o¿one na ruchome cz³ony uk³adu powoduj¹, ¿e

uk³ad staje siê sztywny. W p³askim ³añcuchu przegubowym ABCD (rys. 14a) cz³ony

dysponuj¹ wzglêdem siebie jednym stopniem swobody (W = 1), o czym mo¿na siê

przekonaæ choæby po zbudowaniu jego fizycznego modelu. Je¿eli jednak w tym mo-

delu wyeliminujemy jedn¹ mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów, np. w parze C (rys.

14b), bêdziemy mieli do czynienia z uk³adem sztywnym (W = 0). Takiemu uk³adowi

przypiszemy wiêc ruchliwoœæ W = 1. W ten sam sposób mo¿na siê przekonaæ, ¿e

Rys. 13. Przyk³adowe ³añcuchy kinematyczne: a) jednobie¿ny, b) niejednobie¿ny

17

Rys. 15. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœci W = 2,

b) uk³ad sztywny

Rys. 14. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci ³añcucha kinematycznego: a) ³añcuch o ruchliwoœæi W = 1,

b) uk³ad sztywny

uk³ad ABCDE, z rys. 15a, charakteryzuje siê ruchliwoœci¹ W = 2; do otrzymania zeñ

uk³adu sztywnego potrzeba dwóch ograniczeñ ruchu, np. w parach B i E (rys. 15b).

Uk³ad jest jednobie¿ny, je¿eli liczba cz³onów czynnych odpowiada jego ruchliwoœci.

Ruchliwoœæ uk³adu mo¿na wiêc w prostych przypadkach oceniæ intuicyjnie, mo¿na

jednak równie¿ dokonaæ tego w sposób formalny, stosuj¹c tzw. wzory strukturalne

(podrozdz. 1.5).

1.4. Mechanizm, uk³ad, maszyna

1. Pojêciem mechanizm bêdziemy okreœlaæ zamkniêty ³añcuch kinematyczny

z jednym cz³onem spe³niaj¹cym funkcjê podstawy, charakteryzuj¹cy siê liczb¹ cz³o-

nów czynnych równ¹ jego ruchliwoœci. Bêdziemy wiêc nazywaæ mechanizmem uk³ad

jednobie¿ny umo¿liwiaj¹cy przekazywanie ruchu, czêsto z jednoczesn¹ zmian¹ jego

parametrów. Oczywiœcie, realizacja tego zadania jest mo¿liwa z udzia³em si³, ale isto-

t¹ mechanizmu jest ruch. Kilka przyk³adów mechanizmów zestawiono na rys. 16.

Na rysunku 16a przedstawiono uk³ad umo¿liwiaj¹cy zamianê ruchu obrotowego

cz³onu (2) wzglêdem podstawy (1) na ruch obrotowo-zwrotny (wahad³owy) cz³onu

(4) wzglêdem podstawy. Mechanizm krzywkowy (rys. 16b) zamienia ruch obrotowy

krzywki (2) na ruch postêpowy cz³onu (3), mechanizm zêbaty zaœ (rys. 16c) umo¿li-

18

wia zamianê wzglêdnego ruchu postêpowego w si³owniku hydraulicznym AB na

ruch obrotowy ko³a (5).

2. Istnieje wiele urz¹dzeñ o budowie opartej na ³añcuchu kinematycznym, które

nie spe³niaj¹c wszystkich w/w kryteriów – nie zas³uguj¹ na miano mechanizmu. S¹

wiêc urz¹dzenia, które s³u¿¹ do przekazywania si³, jednak bez udzia³u ruchu, a wiêc

jako ³añcuchy sztywne, przynajmniej w pewnych fazach pracy. S¹ ³añcuchy kinema-

tyczne niejednobie¿ne, wystêpuj¹ wreszcie ³añcuchy kinematyczne bez wyraŸnie ak-

centowanej podstawy itp. Wszystkie takie urz¹dzenia, wraz z ca³¹ grup¹ zdefiniowa-

nych mechanizmów, bêdziemy obejmowaæ szerokim pojêciem uk³adów mechanicz-

nych lub uk³adów kinematycznych.

Przyk³adem uk³adu mechanicznego mo¿e byæ urz¹dzenie zaczepowe (rys. 17a)

umo¿liwiaj¹ce przeniesienie si³y uci¹gu ci¹gnika na ramê maszyny. Uk³ad ten wyko-

nuje swoje zadanie w zasadzie bez udzia³u ruchu wzglêdnego tworz¹cych go cz³o-

nów. Ruch wzglêdny cz³onów, potrzebny w fazie jego ustawiania, wystêpuje w tym

przypadku przed jego obci¹¿eniem.

Na rysunku 17b przedstawiono schematycznie uk³ad pewnego zawiesia do przeno-

szenia ³adunków paletowych. Uk³ad ten, dziêki odpowiednio dobranym przeciwciê¿a-

rom, wisi swobodnie i umo¿liwia przeniesienie elementów, zachowuj¹c potrzebne po-

ziome ich po³o¿enie. Istotny jest tu wiêc nie ruch wzglêdny czy wzajemne po³o¿enie

cz³onów, lecz po³o¿enie jednego cz³onu (2) wzglêdem ziemi.

3. W jêzyku potocznym pojêcie maszyny odnosi siê do wielu ró¿norakich urz¹-

dzeñ i podk³ada siê pod nie ró¿ne znaczenia. Tu maszyn¹ bêdziemy nazywaæ urz¹dze-

nie, w którym z udzia³em ruchu mechaniczengo zachodzi proces energetyczny pole-

gaj¹cy na wykonywaniu pracy u¿ytecznej lub przekszta³ceniu energii. Stosownie do

tego, maszyny dzielimy na:

1. Maszyny robocze, w których w³aœciwy efekt uzyskuje siê przez zamianê do-

starczonej energii w pracê (tokarka, prasa, koparka).

Rys. 16. Przyk³ady mechanizmów: a) jarzmowy, b) krzywkowy, c) zêbaty z cz³onem czynnym

w postaci si³ownika hydraulicznego

19

2. Silniki i generatory, w których zachodzi przekszta³canie jednego rodzaju ener-

gii w drugi (silnik spalinowy, generator pr¹du elektrycznego...).

Istotn¹ cech¹ maszyny jest to, ze zawiera co najmniej jeden, a zwykle kilka odpo-

wiednio ze sob¹ wspó³pracuj¹cych mechanizmów. Rozpatrzmy dla przyk³adu maszy-

nê przeznaczon¹ do seryjnego wyt³aczania z taœmy (1) pó³wyrobu x (rys.18). Mo¿na

w niej wyró¿niæ mechanizmy:

Rys. 17. Przyk³ady uk³adów mechanicznych: a) uk³ad zaczepu, b) uk³ad zawiesia

Rys. 18. Przyk³ad maszyny do przeróbki plastycznej z zakcentowaniem mechanizmów sk³adowych

20

– zêbaty (z³o¿ony z cz³onów 0, 4, 5),

– cierny (0, 2, 1, 3),

– maltañski (0, 7, 6),

– krzywkowy (0, 9, 10, 13),

– dŸwigniowe korbowo-wodzikowe: (0, 8, 11, 12) i (0, 13, 14, 15).

Podobnie, w ka¿dym silniku spalinowym mo¿na wyró¿niæ: uk³ad korbowo-t³oko-

wy, mechanizm krzywkowy rozrz¹du, mechanizmy przek³adni itd.

Na inny aspekt pojêcia maszyny zwrócimy uwagê w rozdz. 12.

1.5. Wzory strukturalne

Wszystkie cz³ony wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych podzielono, ze wzglê-

du na liczbê pó³par, na typy N

i

(rys. 6). Je¿eli przez n

i

oznaczyæ liczbê cz³onów N

i

,

przez n zaœ ogóln¹ liczbê cz³onów w uk³adzie, to oczywiœcie

n = n

2

+ n

3

+ n

4

+...+ n

w

.

(1)

Na ka¿d¹ parê sk³adaj¹ siê dwie pó³pary. Je¿eli przez p oznaczyæ ogóln¹ liczbê par

w uk³adzie, przez m natomiast liczbê pó³par, to

m = 2 p,

(2)

albo inaczej

m = 2n

2

+ 3n

3

+ 4n

4

+...+ n

w

.

(3)

Po uwzglêdnieniu wzorów (2) i (3) otrzymamy

2p = 2n

2

+ 3n

3

+ 4n

4

+...+ n

w

.

(4)

Zarówno ze wzglêdu na analizê, jak i syntezê uk³adów kinematycznych istotny jest

zwi¹zek, jaki zachodzi miêdzy budow¹ uk³adu a jego ruchliwoœci¹. W celu wyprowa-

dzenia tego zwi¹zku rozwa¿my dowolny ³añcuch kinematyczny (rys. 19) zbudowany

z n cz³onów. Jeden z cz³onów uk³adu spe³nia rolê podstawy, a zatem liczba rucho-

mych (wzglêdem podstawy) cz³onów wynosi n – 1.

Rys. 19. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzorów strukturalnych: a) n cz³onów przygotowa-

nych do po³¹czenia w ³añcuch, b) ³añcuch z³o¿ony z n cz³onów

21

Wszystkie cz³ony ruchome przed wejœciem w pary kinematyczne (rys. 19a) dyspo-

nowa³y ³¹cznie

x = 6 (n – 1)

stopniami swobody. Wskutek po³¹czenia tycz cz³onów ze sob¹ i z podstaw¹ (rys. 19b)

liczba ich stopni swobody zosta³a pomniejszona. Je¿eli w rozpatrywanym ³añcuchu

przez p

i

oznaczyæ liczbê par i-tej klasy, przy czym w ka¿dej parze jeden cz³on odbiera

drugiemu (6 – i) stopni swobody, to ³¹cznie wszystkie ruchome cz³ony trac¹

y =

(

)

$

#

−

∑

i p

i

stopni swobody.

W tej sytuacji ruchliwoœæ W, rozumiana jako liczb¹ pozosta³ych stopni swobody

ruchomych cz³onów uk³adu, wyrazi siê wzorem

W = x – y,

czyli

W = 6 (n – 1) –

(

)

$

#

−

∑

i p

i

.

(5)

Odpowiednio dla ³añcuchów p³askich

W = 3 (n – 1) –

(

)

3

1

2

−

∑

i p

i

.

(6)

Po rozpisaniu wzorów (5) i (6) otrzymamy dla ³añcuchów przestrzennych

W = 6 (n –1) – 5p

1

– 4p

2

– 3p

3

– 2p

4

– 1p

5

...,

(7)

dla ³añcuchów p³askich

W = 3 (n –1) – 2p

1

– 1p

2

.

(8)

Na przyk³ad dla mechanizmu krzywkowego z rys. 20 otrzymamy

W = 3 (5 – 1) – 2 · 5 – 1· 1 = 1.

Oznacza to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym (krzywka 2) uk³ad jest jednobie¿ny.

Tym razem wynik by³ oczywisty równie¿ intuicyjnie. Trudniej by³oby ju¿ jednak do-

konaæ tego w przypadku nawet tak prostego uk³adu przestrzennego, jak przedstawio-

ny na rys. 21. Stosuj¹c œrodki formalne ustalimy: n = 4, p

1

= 2, p

2

= 1, p

3

= 1, p

5

= 1

i po podstawieniu do wzoru (7) otrzymamy

W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 4 · 1 – 3· 1 – 2 · 0 – 1· 1 = 0.

Wynik W = 0 oznacza tu, ¿e uk³ad jest sztywny. Mimo ruchliwych po³¹czeñ nie

wystêpuj¹ w tym uk³adzie ruchy wzglêdne cz³onów.

22

Rys. 20. Schematy mechanizmu jarzmowo-krzywkowego: a) kinematyczny, b) strukturalny

Rys. 21. Przyk³ady przestrzennego z³o¿onego

³añcucha kinematycznego

1.6. RuchliwoϾ lokalna

Przeanalizujmy mechanizm przedstawiony na rysunku 22. Nietrudno sie zgodziæ z

tym, ¿e przy zadanej prêdkoœci k¹towej w

2

krzywki (2) popychacz (4) wykonuje ruch

œciœle okreœlony. Mo¿na by z tego wysun¹æ wniosek, ¿e uk³ad jest jednobie¿ny, a

zatem charakteryzuj¹cy siê ruchliwoœci¹ W = 1 (przy jednym cz³onie czynnym). Tym-

czasem zastosowawszy wzór (8) otrzymamy

W = 3 (4 – 1) – 2· 3 – 1· 1 = 2.

Pozorn¹ niezgodnoœæ wyników t³umaczy siê tym, ¿e rachunek formalny, poza wspo-

mnian¹ ju¿ ruchliwoiœci¹ W = 1 popychacza (4), wykaza³ bezb³êdnie równie¿ jeden

stopieñ swobody kr¹¿ka (3). Kr¹¿ek ten mo¿e siê obracaæ wokó³ w³asnej osi, nie

zak³ócaj¹c zreszt¹ w ¿adnym stopniu istotnego tu ruchu popychacza (4). Wi¹¿e siê to

tym razem z kszta³tem cz³onu (3) i jego centrycznym u³o¿yskowaniem (por. przypa-

dek ogólny na rys. 22b). Tego typu lokalne stopnie swobody cz³onu lub pewnej grupy

cz³onów, nie zmieniaj¹ce ruchliwoœci pozosta³ej czêœci ³añcucha, nazywa siê ruchli-

woœci¹ lokaln¹. Istotê tego zjawiska mo¿na przeœledziæ równie¿ na przyk³adzie uk³a-

du przestrzennego (rys. 23). £¹cznik (3), poœrednicz¹cy tu w jednoznacznym przeka-

23

zywaniu ruchu z cz³onu czynnego (2) na cz³on bierny (4), mo¿e, jak widaæ z rysunku,

obracaæ siê wokó³ w³asnej osi przechodz¹cej przez œrodki obu przegubów kulistych. I

znów ruch ten, nieistotny ze wzglêdu na realizowany ruch cz³onu biernego, zostanie

w rachunku odnotowany. Mamy tu bowiem:

W = 6 (4 – 1) – 5· 2 – 3· 2 = 2.

Z dokonanych rozwa¿añ wynika, ¿e na u¿ytek praktyczny nale¿y omówione wzory

okreœlaj¹ce ruch uzupe³niæ do postaci

W = W

w

+ W

L

,

(9)

w której: W – ruchliwoœæ liczona wed³ug zale¿noœci (7) i (8),

W

w

РruchliwoϾ wykorzystywana,

W

L

– ruchliwoœæ lokalna cz³onu lub grupy cz³onów.

W³aœciwa interpretacja wyników otrzymanych ze wzoru okreœlaj¹cego ruchliwoœæ

wymaga znajomoœci W

L

. Niestety, dotychczas nie mo¿na poleciæ dostatecznie ogólnej

i prostej metody okreœlania ruchliwoœci lokalnej.

Rys. 22. Ilustracja pojêcia ruchliwoœci lokalnej: a) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (ruchliwoœæ

lokalna cz³onu 3), b) mechanizm o ruchliwoœci W = 2 (brak ruchliwoœæi lokalnej)

Rys. 23. Przyk³ad mechanizmu przestrzennego z ruchliwoœcia lokaln¹

24

1.7. Ruchliwoœæ zupe³na i niezupe³na

Rozpatruj¹c ruchliwoœæ uk³adów nale¿y pamiêtaæ, ¿e uzyskanego za pomoc¹ wzo-

rów strukturalnych wyniku nie mo¿na interpretowaæ jednoznacznie. W pewnych przy-

padkach wynik okreœla liczbê stopni swobody wszystkich cz³onów wzglêdem podsta-

wy. Takie zjawisko wystêpuje w prostych uk³adach charakteryzuj¹cych siê ruchliwoœci¹

W = 1, np. w uk³adzie przedstawionym na rys. 14a. Ka¿dy z cz³onów (2, 3 i 4) ma

wzglêdem podstawy jeden stopieñ swobody. Innym razem ruchliwoœæ W okreœla licz-

bê stopni swobody cz³onu najbardziej „ruchliwego”. Z takim przypadkiem spotykamy

siê w uk³adzie przedstawionym na rys. 24. Ruchliwoœæ W = 3 odpowiada tu trzem

stopniom swobody (f = 3) cz³onu (4) wzglêdem podstawy. Z pozosta³ych cz³onów,

(3) i (5) maj¹ po dwa (f = 2), (2) i (6) zaœ po jednym stopniu swobody (f = 1)

wzglêdem podstawy.

Kolejny przypadek zilustrowano na rys. 25. Obliczona wed³ug wzoru (8) ruchlio-

woœæ daje W = 0. Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e na ten wynik z³o¿y³y siê: ruchliwoœæ

W

24

= 1 (lewej strony) i W

59

= –1 (prawej strony uk³adu). W tym przypadku wynik

W = 0 nie odpowiada sytuacji ruchowej ¿adnego cz³onu.

Jest jeszcze inny aspekt pojêcia ruchliwoœæ [7]. Na rysunku 26 przedstawiono dwa

uk³ady zbudowanej z tej samej liczby takich samych cz³onów i par. Oczywiœcie, rów-

nie¿ ruchliwoœæ obydwu uk³adów, obliczona za pomoc¹ wzoru (8), jest identyczna i

wynosi W = 1. Jak nietrudno zauwa¿yæ, w uk³adzie z rys. 26a cz³ony 1, 4, 5, 6 i 7

tworz¹ sztywn¹ figurê, ruchliwoœæ W = 1 zaœ dotyczy tylko cz³onów (2) i (3), nato-

miast w uk³adzie z rys. 26b mo¿liwoœci¹ ruchu dysponuj¹ jednoczeœnie wszystkie

cz³ony wzglêdem podstawy.

Przytoczone przyk³ady sugeruj¹ potrzebê wprowadzenia nowych okreœleñ umo¿li-

wiaj¹cych bli¿szy opis omawianych tu cech uk³adów ruchomych. Gdy ruchliwoœæ

W = 1, tzn. wszystkie cz³ony uk³adu wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie, wówczas mówi-

my o tzw. ruchliwoœci zupe³nej, gdy zaœ dodatkowo wszysktie ruchome cz³ony dys-

ponuj¹ wzglêdem podstawy tak¹ sam¹ liczb¹ stopni swobody f, mówimy o ruchli-

Rys. 24. Schemat uk³adu kinematycznego

z podanymi stopniami

swobody poszczególnych cz³onów

Rys. 25. Przyk³ad uk³adu kinematycznego o

ruchliwoœci niezupe³nej

25

woœci jednorodnej. Stosownie do tego, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 24 okreœlilibyœmy

jako zupe³n¹, lecz niejednorodn¹, ruchliwoœæ uk³adu z rys. 25 jako niezupe³n¹, uk³a-

dowi z rys. 26b zaœ przypisywalibyœmy ruchliwoœæ zupe³n¹ i jednorodn¹.

1.8. Wiêzy bierne

W uk³adzie przedstawionym na rysunku 27a zachodz¹ nastêpuj¹ce zwi¹zki: AB =

CD = EF oraz AC = BD i CE = DF. Przy takim wykonaniu uk³adu mo¿e byæ

wykorzystany do jednoznacznego przekazywania ruchu obrotowego (w okreœlonych

granicach) z cz³onu AB na EF. Sugerowa³oby to, ¿e przy jednym cz³onie czynnym

nale¿y siê spodziewaæ ruchliwoœæi uk³adu W = 1. Tak¹ ruchliwoœæ mo¿na stwierdziæ

w praktyce, np. na wykonanym modelu. Jednoczeœnie, po zastosowaniu wzoru (8)

otrzymamy

W = 3 (5 – 1) – 2· 6 = 0.

Wynik obliczeñ wskazuje na to, ¿e mamy do czynienia z uk³adem sztywnym. Tak

te¿ jest w istocie w przypadku ogólnym (rys. 27b). Fizyczn¹ ruchliwoœæ W = 1 mo¿-

na przypisaæ omawianemu uk³adowi tylko wtedy, gdy bêd¹ spe³nione podane równo-

œci. Wtedy bowiem pewne wiêzy, jako powtórzenia ju¿ istniej¹cych, nie daj¹ o sobie

znaæ. Takie dodatkowe i zbêdne kinematycznie ograniczenia bêdziemy nazywaæ wiê-

zami biernymi. Liczbê wiêzów biernych R

b

w ³añcuchu mo¿na okreœliæ, je¿eli s¹

znane ruchliwoϾ rzeczywista W

rz

(realizowana) oraz ruchliwoϾ teoretyczna W (obli-

czona ze wzoru (6):

R

b

= W

rz

– W.

(10)

W przyk³adowym uk³adzie (rys. 27a) W

rz

= 1, W = 0, czyli R

b

= 1. Do uk³adów

kinematycznych z liczb¹ wiêzów biernych R

b

¹ 0 stosuje siê, nie bez racji, okreœlenie

nieracjonalne. Okreœlenie to wydaje siê trafne, zw³aszcza je¿eli uzmys³owiæ sobie, jak

Rys. 26. Przyk³ady ³añcuchów kinematycznych o W = 1: a) ruchliwoœæ niezupe³na,

b) ruchliwoœæ zupe³na i jednorodna

26

Rys. 27. Ilustracja pojêcia wiêzów biernych

nie³atwo w praktyce spe³niæ wi¹¿¹ce siê z wiêzami biernymi wymagania dok³adno-

œciowe.

Poniewa¿ uzyskanie absolutnej dok³adnoœci jest zwykle niemo¿liwe, istnienie wiê-

zów biernych oznacza jednoczeœnie:

– trudnoœci monta¿owe,

– pojawienie siê dodatkowych naprê¿eñ wewnêtrznych w cz³onach uk³adu,

– przyspieszone zu¿ycie elementów wêz³ów kinematycznych,

– inne ujemne skutki.

Z tego te¿ wzglêdu rozwi¹zañ takich ogólnie nale¿y unikaæ. W omawianym przy-

padku mo¿na tego dokonaæ, np. przez rezygnacjê z cz³onu dodatkowego DC (rys.

27c) lub zast¹pienie jednego cz³onu BDF dwoma cz³onami BD i DF (rys. 27d).

Z uk³adami zawieraj¹cymi wiêzy bierne mo¿na siê spotkaæ w praktyce niestety

bardzo czêsto, przy czym s¹ one czêœciej wynikiem nieœwiadomoœci projektuj¹cego

ni¿ z przemyœlanej decyzji. Przyk³adem takiego uk³adu z wiêzami biernymi z przeko-

nuj¹cym uzasadnienniem mo¿e byæ przek³adnia obiegowa (rys. 28). Do jednoznacz-

nego przeniesienia ruchu, np. z ko³a (1) na jarzmo J (rys. 28a) wystarczy jedno ko³o

satelitarne (2), instaluje siê jednak zwykle wiêksz¹ liczbê satelitów (rys. 28b) w celu

uzyskania roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych.

Niezamierzone zapewne, bo niczym nie usprawiedliwione, wydaje siê rozwi¹zanie

pewnego klinowego uk³adu zaciskowego (rys. 29a). Na podstawie wzoru struktural-

nego (7) dla uk³adów przestrzennych otrzymamy

W = 6 (3 – 1) – 5· 2 – 3· 1 = –1.

27

Uk³ad jest przesztywniony. Potrzebne przeniesienie ruchu cz³onu (2) na ruch cz³o-

nu (3) mo¿na uzyskaæ i przy tym rozwi¹zaniu, lecz wymaga to zachowania pewnych

warunków dok³adnoœci. Bez tego typu ograniczeñ bêdzie dzia³aæ niezawodnie rozwi¹-

zanie przedstawione na rys. 29b, w którym, w wyniku podwy¿szenia klasy par 1–2 i

1–3, cz³ony (2) i (3) bêd¹ oddzia³ywaæ na siebie ca³ymi p³aszczyznami klinowymi

niezale¿nie od wartoœci k¹tów ich œciêcia.

W ogólnym przypadku w ³añcuchach kinematycznych mog¹ wystêpowaæ zarówno

wiêzy bierne, jak i ruchliwoœæ lokalna. Wtedy ruchliwoœæ rzeczywist¹ okreœlonego

cz³onu lub grupy cz³onów biernych mo¿na wyznaczyæ z nastêpuj¹cej zale¿noœci

W

rz

= W –

W

L

– R

b

.

(11)

Rys. 28. Przyk³ady przek³adni obiegowej: a) bez wiêzów biernych, b) z wiêzami biernymi

Rys. 29. Mechanizm klinowy: a) z wiêzami biernymi, b) bez wiêzów biernych

28

Omówione zagadnienia ruchliwoœci, ruchliwoœci lokalnej, zupe³nej, jednorodnej

oraz wiêzów biernych umo¿liwiaj¹, za pomoc¹ wzorów strukturalnych (5)–(11), okreœ-

lenie rzeczywistej sytuacji ruchowej w ³añcuchu kinematycznym. Tym samym wzory

te umo¿liwiaj¹ analizê i kontrolê poprawnoœci intuicyjnych za³o¿eñ dokonanych pod-

czas projektowania uk³adów kinematycznych.

Wyprowadzone zwi¹zki (5)–(11) wraz z (1)–(4) mog¹ byæ równie¿ stosowane sku-

tecznie w procesie wyczerpywania mo¿liwych form strukturalnych uk³adów spe³nia-

j¹cych z góry za³o¿one wymagania. Postêpowanie takie, le¿¹ce u podstaw tzw. synte-

zy strukturalnej, nie bêdzie przedmiotem dalszych rozwa¿añ.

2. Klasyfikacja mechanizmów

Bogactwo i ró¿norodnoœæ mechanizmów spotykanych w budowie maszyn stwarza

potrzebê okreœlonego ich uporz¹dkowania i systematycznego uszeregowania lub wrêcz

pewnego podzia³u wed³ug okreœlonych zasad i kryteriów. W³aœciwie opracowana kla-

syfikacja mog³aby z jednej strony u³atwiæ i inspirowaæ dobór mechanizmów do okreœ-

lonych zastosowañ, z drugiej zaœ umo¿liwiæ opracowanie w miarê ogólnych metod

analizy kinematycznej i dynamicznej oraz ogólnych podstaw i metod syntezy nowych

mechanizmów. Niestety, nie istnieje dotychczas taka w pe³ni zadowalaj¹ca klasyfika-

cja, która by³aby jednoczeœnie naukowo uzasadniona,metodologicznie racjonalna

i u¿yteczna w praktyce in¿ynierskiej. Licznie podejmowane od wielu lat prace w tym

zakresie posz³y w zasadzie w dwu odmiennych kierunkach, a ich wynikiem s¹ ró¿ne

wersje tzw. klasyfikacji funkcjonalnych i kolejne propozycje klasyfikacji strukturalnej.

1. Klasyfikacja funkcjonalna otwiera historyczny ju¿ (rok 1875) podzia³ mecha-

nizmów zasugerowany przez Reuleaux. Istotê tego podzia³u, przewijaj¹c¹ siê zreszt¹

przez kolejne propozycje, mo¿na przedstawiæ na przyk³adzie jednej z ostatnich klasy-

fikacji [2] (rys. 30). Klasyfikacja ta, jak zreszt¹ inne tego typu, nie spe³nia podstawo-

wych kryteriów ka¿dej klasyfikacji naukowej, a mianowicie:

a) kryterium podzia³u wed³ug jednej zasady,

b) kryterium wy³¹cznoœci,

c) kryterium zupe³noœci.

Nie rozwijaj¹c bli¿ej tych kryteriów, zwrócimy tylko uwagê, ¿e pozostaj¹c przy tej

klasyfikacji, mielibyœmy sporo k³opotu z zakwalifikowaniem ogromnej liczby mecha-

nizmów bardziej z³o¿onej. Taki podzia³ mechanizmów nie sugeruje równie¿ odpowe-

idniego podzia³u metod ich analizy.

2. Klasyfikacja strukturalna. Niedoskona³ym próbom klasyfikacji funkcjonalnych

mo¿na przciwstawiæ klasyfikacjê, sugeruj¹c¹ mo¿liwoœæ podzia³u wszystkich mecha-

nizmów wed³ug cech strukturalnych. Klasyfikacja ta zosta³a zapocz¹tkowana przez

Assura (rok 1914), i by³a kolejno uzupe³niana. Podstawowe jej zasady przeœledzimy

pobie¿nie na przyk³adzie opracowania Artobolewskiego. Wszystkie mechanizmy dzieli

siê na rodziny (rys. 31), przy czym kryterium takiego podzia³u jest liczba ogólnych

wiêzów na³o¿onych na cz³ony mechanizmu. Istotê tego podzia³u wyjaœniaj¹ przyk³a-

dy mechanizmów reprezentuj¹cych poszczególne rodziny (rys. 32). Do rodziny 0.

nale¿¹ wiêc wszystkie mechanizmy przestrzenne, na które nie na³o¿ono ¿adnych ogra-

niczeñ (rys. 32a). Rodzinê 1. tworz¹ mechanizmy, których cz³ony nie mog¹ korzystaæ

z jednego (tego samego) stopnia swobody. Na przyk³ad w mechanizmie z rys. 32b

30

Rys. 30. Przyk³ad klasyfikacji funkcjonalnej

Rys. 31. Ilustracja klasyfikacji strukturalnej

¿aden z cz³onów nie mo¿e wykonywaæ

obrotu wokó³ osi prostopad³ej do p³aszczy-

zny rysunku. Do rodziny 3. nale¿¹ miêdzy

innymi mechanizmy p³askie (rys. 32d),

gdy¿ cz³onom takich mechanizmów ode-

brano generalnie 3 stopnie swobody itd.

W ramach ka¿dej rodziny dzieli siê me-

chanizmy na klasy, przy czym o klasie me-

chanizmu decyduje najwy¿sza klasa gru-

py. Pojêciem grupy okreœla siê ³añcuch ki-

nematyczny, w którym ruchowe po³¹cze-

nie wolnych cz³onów z podstaw¹ zamienia

go w uk³ad sztywny. Oznacza to, ¿e dla

grup, zwanych dalej grupami Assura, obo-

wi¹zuje równanie strukturalne w postaci

31

3k – 2p

1

– p

2

= 0

(12)

lub w razie uwzglêdnienia istnienia tylko par I klasy

3k = 2p

1

,

(13)

gdzie: k – liczba cz³onów grupy,

p

1

– liczba par kinematycznych I klasy.

Rys. 32. Przyk³ady mechanizmów z podzia³em na rodziny

Rys. 33. Przyk³ad grupy Assura: a) grupa ABC, b) grupa przy³¹czona do podstawy

jest uk³adem sztywnym

32

Rys. 34. Dwucz³onowa grupa Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

Na podstawie warunku (13) mo¿na okreœlaæ formy strukturalne grup Assura kolej-

nych klas. Najprostsz¹ grupê, tzw. grupê II klasy, charakteryzuj¹ liczby k = 2, p

1

= 3.

Schemat strukturalny tej grupy przedstawiono na rys. 33a, przy czym parê B bêdzie-

my nazywaæ par¹ wewnêtrzn¹, pary A i C zaœ parami zewnêtrznymi. Nietrudno spraw-

dziæ, ¿e po pod³¹czeniu tego dwucz³onu parami zewnêtrznymi do podstawy (rys. 33b)

otrzymamy uk³ad sztywny. Schemat strukturalny omawianej grupy II klasy obejmuje

ca³¹ rodzinê grup kolejnej postaci. Otrzymamy je przypisuj¹c parom I klasy A, B, C

(rys. 34a) postacie par obrotowych lub postêpowych (rys. 34b).

33

Rys. 35. Przyk³ad czterocz³onowej grupy Assura: a) schemat strukturalny, b) schematy kinematyczne

Rys. 36. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat kruszarki, b) cz³on czynny,

c) grupa dwucz³onowa

34

Kolejne liczby k = 4, p

1

= 6, spe³niaj¹ce warunek (13), odnosz¹ siê do grupy III

klasy (rys. 35a). Rzeczywiste postacie tej grupy (rys. 35b) otrzymamy rozpatruj¹c

wszystkie mo¿liwe kombinacje par obrotowych i postêpowych. Omówione najprost-

sze grupy II i III klasy (rys. 34 i 35) mo¿na wyró¿niæ i wydzieliæ z ogromnej wiêkszo-

œci spotykanych w praktyce mechanizmów dŸwigniowych.

Na rysunku 36a przedstawiono schemat opartego na czworoboku mechanizmu kru-

szarki do ska³. Po wydzieleniu cz³onu czynnego (2), stanowi¹cego tzw. mechanizm

I klasy, pozosta³y dwucz³on (3–4) jest typow¹ grup¹ II klasy pierwszej postaci (rys.

34b). Z tego powodu mechanizm ten zaliczymy do II klasy.

Mechanizm no¿yc do ciêcia blachy, przedstawiony na rysunku 37a, jest mechaniz-

mem III klasy. Decyduje o tym grupa III klasy (cz³ony (4), (3), (5), (6)) (rys. 37c),

jaka pozostaje po wydzieleniu cz³onu czynnego (2) (rys. 37b).

Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e taka mo¿liwoœæ dokonania podzia³u ka¿dego mecha-

nizmu dŸwigniowego na cz³on lub cz³ony czynne (napêdzaj¹ce) oraz grupy Assura

okreœlonych klas ma istotne znaczenie. Stwarza szansê uogólnienia metod analizy i

syntezy strukturalnej, kinematycznej i dynamicznej. Jednoczeœnie jednak trzeba uprze-

dziæ Czytelnika, ¿e problem ten nie jest do koñca rozwi¹zany. Zaproponowana klasy-

fikacja strukturalna dotyczy tylko mechanizmów dŸwigniowych, a jej zasady budz¹

wci¹¿ wiele w¹tpliwoœci merytorycznych.

3. Mechanizmy w pewnych przypadkach mo¿na równie¿ podzieliæ na dwie grupy:

a) z parami ni¿szymi,

b) z parami wy¿szymi.

Do grupy pierwszej (a) nale¿¹ popularne mechanizmy dŸwigniowe, typowymi zaœ

przedstawicielami drugiej grupy (b) s¹ mechanizmy krzywkowe i zêbate. Do takiego

podzia³u odwo³amy siê przy omawianiu metod analizy kinematycznej.

Rys. 37. Przyk³ad podzia³u mechanizmu na grupy Assura: a) schemat no¿yc do blachy,

b) cz³on czynny, c) grupa czterocz³onowa

II. KINEMATYKA

Kinematyka obejmuje zagadnienia zwi¹zane z badaniem ruchu mechanizmów, przy

za³o¿eniu, ¿e cz³ony mechanizmów s¹ sztywne i nie uwzglêdnia siê ani wp³ywu ich

mas, ani dzia³aj¹cych si³. Przedmiotem rozwa¿añ s¹ wiêc:

– po³o¿enia cz³onów,

– trajektorie punktów,

– prêdkoœci liniowe i k¹towe,

– przyspieszenia liniowe i k¹towe.

Do okreœlenia tych parametrów mo¿na korzystaæ z ró¿norakich metod, np.:

– graficznych,

– analitycznych,

– numerycznych,

– kombinowanych.

O wyborze metody decyduj¹: rodzaj badanego problemu, potrzeby dotycz¹ce szyb-

koœci otrzymanych wyników i ich dok³adnoœci.

Rozwój wspó³czesnych œrodków obliczeniowych (komputery, kalkulatory progra-

mowane) nobilituje przede wszystkim metody analityczne i numeryczne, w obecnej

dobie jednak stosowane s¹ wci¹¿ jeszcze i metody graficzne.

36

3. Metody graficzne

Metody graficzne, dziœ ju¿ klasyczne, umo¿liwiaj¹ w pewnych przypadkach okreœ-

lenie parametrów ruchu mechanizmów w sposób prosty i bardzo pogl¹dowy. Maj¹

niezaprzeczalny aspekt dydaktyczny, ³atwiej te¿ z ich pomoc¹ wyjaœniæ pewne pojê-

cia kinematyczne. Znajomoœæ metod graficznych u³atwia zwykle dokonanie zapisu

analitycznego. Stanowi¹ one cenne uzupe³nienie pozosta³ych metod przez to równie¿,

¿e umo¿liwiaj¹ sprawdzenie poprawnoœci wyników uzyskanych na innej drodze. Pod-

stawow¹ wad¹ metod graficznych jest to, ¿e uzyskane wyniki dotycz¹ zwykle jednego

po³o¿enia mechanizmu i charakteryzuj¹ siê okreœlon¹ dok³adnoœci¹.

3.1. Podzia³ki

Stosuj¹c graficzne metody analizy kinematycznej przedstawiamy wystêpuj¹ce wiel-

koœci, np. przemieszczenie, czas, prêdkoœæ, przyspieszenie, w postaci odcinka linii

prostej. Aby to przedstawienie by³o jednoznaczne, wprowadza siê pojêcie podzia³ki.

Podzia³k¹ bêdziemy nazywaæ stosunek wartoœci wielkoœci rzeczywistej do warto-

œci wielkoœci rysunkowej

Podzia³ka = wielkoœæ wartoœci rzeczywistej

wielkoœæ wartoœci rysunkowej

Okreœlenie to zapiszemy w postaci

κ

x

x
x

=

( )

.

(14)

Podzia³kom nale¿y przypisaæ wymiar zale¿ny zarówno od wymiaru wielkoœci rze-

czywistej, jak i wymiaru wielkoœci rysunkowej. Zazwyczaj wymiarami czasu t, prze-

mieszczenia l, prêdkoœci v,..., bêd¹ odpowiednio sekunda, metr, metr na sekundê, ...

Wielkoœæ rysunkowa jest przedstawiana najczêsciej w milimetrach. Przy takich za³o-

¿eniach bêdzie

κ

t

t
t

=







( )

,

s

mm

κ

l

l
l

=







( )

,

m

mm

37

κ

v

v
v

=

⋅







( )

.

m

s mm

Podzia³ki mo¿na przyjmowaæ dowolnie, nale¿y tylko pamiêtaæ o tym, ¿e wartoœæ

podzia³ki ma istotny wp³yw na dok³adnoœæ uzyskanego wyniku. Oczywiœcie im mniejsza

wartoœæ podzia³ki k, tym wiêksza dok³adnoœæ odczytu.

3.2. Po³o¿enia i trajektorie

Okreœlanie po³o¿eñ cz³onów w poszczególnych fazach ruchu mechanizmu oraz

trajektorii (torów), jakie zakreœlaj¹ pewne charakterystyczne punkty zwi¹zane z cz³o-

nami ruchomymi, nale¿y do najprostszych zadañ analizy kinematycznej. Czynnoœci

takie, niezbêdne np. w fazie projektowania uk³adów ruchliwych, przy korzystaniu z

metod graficznych s¹ zwykle elementarne.

3.2.1. Po³o¿enia

Jak zaznaczono w podrozdziale 2.2, ka¿dy mechanizm mo¿na roz³o¿yæ na grupy

cz³onów, z których ka¿da po przy³¹czeniu wolnymi pó³parami do podstawy tworzy

uk³ad sztywny. Taki podzia³ mechanizmu umo¿liwia badanie jego paramterów po-

przez analizê poszczególnych grup. Jest to pewne udogodnienie, gdy¿ pozwala zarów-

no na uogólnienie metod badania, jak równie¿ ograniczenie rodzajów omawianych

mechanizmów. Jednymi z prostszych (wed³ug klasyfikacji strukturalnej) s¹ mechaniz-

my II klasy, najelementarniejszymi zaœ grupami s¹ grupy II klasy, tzn. grupy sk³adaj¹-

ce siê z dwóch cz³onów typu N

2

oraz trzech par I klasy postaci obrotowej lub postê-

powej.

Rozwa¿my na pocz¹tek przypadek dwucz³onu ABC (rys. 38a). Za³ó¿my, ¿e po

pewnym czasie Dt punkty A i C przyjm¹ po³o¿enia A

1

i C

1

(rys. 38b). Wtedy punkt

B -- przejdzie w po³o¿enie B

1

, które znajdziemy na przeciêciu ³uków k'

B

i k"

B

zakreœlonych z A

1

i C

1

promieniami równymi d³ugoœci AB i CB.

Rys. 38. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z parami obrotowymi

38

Rys. 39. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 40. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów II klasy z wewnêtrzn¹ par¹ postêpow¹

Rys. 41. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrzn¹ i wewnêtrzn¹

par¹ postêpow¹

39

Rys. 43. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy III klasy

Rys. 42. Konstrukcja nowego po³o¿enia cz³onów grupy II klasy z zewnêtrznymi parami postêpowymi

Je¿eli para zewnêtrzna dwucz³onu ABC jest par¹ postêpow¹ (rys. 39a), to po

okreœ³onym czasie Dt znane jest nowe po³o¿enie A

1

punktu A oraz nowe po³o¿enie

c

1

prowadnicy c. Nowe po³o¿enie cz³onu (1) i (2) znajdziemy okreœlaj¹c po³o¿enie

B

1

punktu B na przeciêciu ³uku k'

B

i prostej k"

B

(rys. 39b).

Podobnie, równie elementarnie, mo¿na okreœlaæ nowe po³o¿enia pozosta³ych grup

i ich mo¿liwych odmian. Dla æwiczenia proponujemy przeœledziæ samodzielnie kon-

strukcje nowych po³o¿eñ cz³onów kolejnych odmian dwucz³onu (rys. 40–42) oraz

grupy III klasy z parami obrotowymi (rys. 43).

Korzystaj¹c z omówionej metody rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na ju¿

bez trudu okreœlaæ nowe po³o¿enia wszystkich cz³onów mechanizmów. Przyk³ady wyz-

40

Rys. 44. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu

Rys. 45. Przyk³ad konstrukcji nowego po³o¿enia mechanizmu (wytrz¹sacza do s³omy)

z grup¹ III klasy

naczania nowych po³o¿eñ mechanizmów p³askich napêdu listwy no¿owej kosiarki i

uk³adu wytrz¹sacza s³omy w kombajnie przedstawiono na rys. 44 i 45.

3.2.2. Trajektorie

Trajektori¹ lub torem punktu nazywamy miejsce geometryczne jego kolejnych

po³o¿eñ w przyjêtym uk³adzie odniesienia. Trajektoriê mo¿na wyznaczyæ metod¹ ge-

ometryczn¹, okreœlaj¹c kolejne po³o¿enia cz³onu, do którego rozpatrywany punkt na-

le¿y (rys. 46), lub metod¹ wzornikow¹ (rys. 47). Je¿eli na wykreœlonej drodze punktu

M nanieœæ kolejne jego po³o¿enia wyznaczaj¹ce odcinki drogi przebyte w jednako-

wych odstêpach czasu, to otrzymamy tzw. tor ocechowany (rys. 48). Wykreœlanie

41

jego jest u³atwione, gdy, jak to zwykle bywa, cz³on napêdzaj¹cy pozostaje w ruchu

obrotowym jednostajnym. W mechanizmie z rysunku 48 tak jest, i wtedy jednako-

wym przedzia³om czasu mo¿na przyporz¹dkowaæ takie same drogi k¹towe korby AB

lub odcinka toru punktu B.

Znajomoœæ kszta³tu trajektorii niektórych punktów mechanizmu jest czasem niez-

bêdna do okreœlania kolejnych po³o¿eñ mechanizmu (rys. 45). Czêsto kszta³t wykreœ-

lanej trajektorii decyduje o istocie dzia³ania ca³ego mechanizmu (rys. 88, 89). Tor

ocechowany mo¿e byæ wykorzystany do okreœlania parametrów ruchu rozpatrywane-

Rys. 46. Wykreœlanie trajektorii k

M

metod¹ geometryczn¹

Rys. 47. Wykreœlanie trajektorii k

M

przy wykorzystaniu wzornika

42

go punktu, np. prêdkoœci i przyspieszenia. Mamy tu na myœli np. metodê toru ocecho-

wanego lub metodê wykresów czasowych (patrz p. 3.3.5.).

3.3. Prêdkoœci i przyspieszenia

3.3.1. Œrodki obrotu

Rozpatrzmy dwa cz³ony k oraz l realizuj¹ce wzglêdem siebie ruch wzglêdny p³aski

(rys. 49.). Za³ó¿my, ¿e z tymi cz³onami s¹ zwi¹zane sztywno odpowiednie p³aszczy-

zny p

l

i p

k

. Na p³aszczyznach tych zawsze mo¿na zanleŸæ takie dwa punkty S

l

oraz

S

k

, które pokrywaj¹ siê ze sob¹ i maj¹ identyczne prêdkoœci liniowe (v

Sl

= v

Sk

).

Oznacza to, ¿e wzglêdna prêdkoœæ tych punktów jest równa zeru (v

SkSl

= 0) . Punkt

oznaczony dalej symbolem S

kl

, bêdziemy nazywaæ œrodkiem obrotu cz³onu k wzglê-

dem l. Je¿eli we wzajemnym p³askim ruchu wzglêdnym bêdzie siê znajdowaæ n cz³o-

nów, to liczba i œrodków obrotu wyrazi siê zale¿noœci¹

Rys. 49. Ilustracja chwilowego œrodka obrotu cz³onów k i l

Rys. 48. Przyk³ad toru ocechowanego

43

i

n

n n

=









 =

−

⋅

2

1

1 2

(

) .

(15)

W liczbie tej mog¹ wyst¹piæ tzw. œrodki obrotu sta³e, trwa³e i chwilowe. Pojêcia

te wyjaœnimy na przyk³adzie czworoboku przegubowego (rys. 50). W uk³adzie tym

cz³ony (1), (2), (3) wykonuj¹ ruchy wzglêdem siebie oraz wzglêdem podstawy (4).

Liczba i mo¿liwych œrodków obrotu wynosi tu

i =









 =

⋅

⋅

=

4

2

3 4

1 2

6

Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany:

S

12

S

13

S

14

S

23

S

24

S

34

Wœród nich œrodki obrotu S

14

i S

34

nale¿¹ do sta³ych, S

12

i S

23

zaœ do trwa³ych

œrodków obrotu. Chwilowymi œrodkami obrotu s¹ S

13

oraz S

24

.

W uk³adach kinematycznych po³o¿enie sta³ych i trwa³ych œrodków obrotu jest za-

dane przez po³o¿enie odpowiednich par kinematycznych. Chwilowe œrodki obrotu mo¿-

na wyznaczyæ korzystaj¹c z tego, ¿e le¿¹ na liniach prostopad³ych do prêdkoœci wzglêd-

nych punktów jednego wzglêdem drugiego rozpatrywanego cz³onu, lub z twierdzenia

o trzech œrodkach obrotu. Mówi ono, ¿e

przy 3 cz³onach k, l, m, bêd¹cych wzglêdem siebie w ruchu p³askim, œrodki

obrotu S

kl

, S

km

, S

lm

le¿¹ na jednej prostej.

Przydatnoœæ tego twierdzenia mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie rozpatrywanego

czworoboku z rys. 50. Na jednej linii prostej le¿¹ tu odpowiednie œrodki obrotu S

12

,

S

23

i S

13

cz³onów (1), (2), (3), a tak¿e nastêpne kombinacje. Zauwa¿my przy tym, ¿e

istnieje pewna regularnoœæ dotycz¹ca samych indeksów. Przejawia siê ona w tym, ¿e

Rys. 50. Œrodki obrotu cz³onów czworoboku przegubowego

44

indeks dowolnego œrodka obrotu mo¿na zestawiæ z nie powtarzaj¹cych siê znaków

pozosta³ych œrodków. Fakt, ¿e w ka¿dym œrodku obrotu przecina siê ze sob¹ kilka

linii (co najmniej 2) mo¿na wykorzystaæ do ich znalezienia. W œrodku S

13

przecinaj¹

siê linie b (S

23

, S

12

, S

13

) oraz d (S

34

, S

14

, S

13

), co mo¿na odnotowaæ skrótowo

S

12

— S

23

S

13

S

14

— S

34

Podobnie, w poszukiwanym œrodku S

24

, przecinaj¹ siê proste a i c, czyli

S

14

— S

12

S

24

S

34

— S

23

W przypadku okreœlania chwilowych œrodków obrotu w mechanizmach wielocz³o-

nowych, pewne k³opoty mo¿e sprawiaæ ustalenie w³aœciwej kolejnoœci okreœlania œrod-

ków. Mo¿na wtedy skorzystaæ z metody opartej na przedstawieniu mechanizmu

w postaci grafu struktury [14]. Metodê tê wyjaœnimy na przyk³adzie. W mechanizmie

szeœciocz³onowym (rys. 51a) nale¿y okreœliæ po³o¿enia wszystkich œrodków obrotu.

Ze wzoru (15) wynika, ¿e jest ich 15. Wypiszmy je w sposób uporz¹dkowany, obwo-

dz¹c kó³kiem te, które s¹ wyznaczone przez pary I klasy

S

12

S

13

S

14

S

15

S

16

S

23

S

24

S

25

S

26

S

34

S

35

S

36

S

45

S

46

S

56

Rys. 51. Ilustracja metody wyznaczania œrodków obrotu cz³onów uk³adu w mechanizmach z³o¿onych

45

Po³o¿enie pozosta³ych nie oznaczonych (chwilowych) œrodków obrotu nale¿y okreœ-

liæ. W tym celu narysujmy pomocniczo graf struktury tego mechanizmu (rys. 51b), na

którym punkty zaczernione oznaczaj¹ cz³ony, ³¹cz¹ce zaœ je linie pary kinematyczne,

rozumiane równie¿ jako œrodki obrotu. Jak siê wykazuje [14], mo¿na bez trudu zna-

leŸæ te œrodki obrotu, których symbol graficzny (odcinek) dzieli ju¿ istniej¹cy czwo-

robok, wyznaczony przez znane œrodki obrotu, na dwa trójk¹ty. W naszym przypadku

znane ju¿ œrodki obrotu wyznaczaj¹ dwa czworoboki 1 2 3 4 1 i 1 4 5 6 1 (rys. 51b).

Ka¿dy z nich mo¿na podzieliæ na dwa trójk¹ty, ³¹cz¹c w nich punkty 1–3, 2–4, 1–5

i 4–6. Okreœlmy dla przyk³adu S

24

.

Sposób najprostszy podpowiadaj¹ dwa trójk¹ty 1 2 4 oraz 2 3 4, czyli

S

23

— S

34

S

24

S

12

— S

14

Inaczej œrodek chwilowy S

24

znajdziemy na przeciêciu linii a, przechodz¹cej

prze œrodki S

23

i S

34

, oraz linii b, przechodz¹cej przez S

12

i S

14

. Podobnie mo¿na

wyznaczyæ pozosta³e chwilowe œrodki obrotu.

Nale¿y tu przypomnieæ, ¿e znajomoœæ po³o¿eñ chwilowych œrodków obrotu u³a-

twia okre¿lanie kierunków prêdkoœci, prze³o¿eñ itd.

3.3.2. Zwi¹zki podstawowe analizy kinematycznej

Cz³ony mechanizmów p³askich realizuj¹ ruchy: postêpowe, obrotowe i p³askie z³o-

¿one. Przypomnijmy podstawowe zwi¹zki i zale¿noœci dotycz¹ce prêdkoœci i przy-

spieszeñ liniowych i k¹towych dla tych wymienionych ruchów.

Ruch postêpowy

Cz³on jest w ruchu postêpowym wtedy, gdy dowolny odcinek BC, zwi¹zany

z tym cz³onem, zachowuje we wszystkich fazach ruchu po³o¿enie równoleg³e. Ruch

taki realizuje suwak po prowadnicy prosto-

liniowej, ale te¿ np. ³¹cznik 3 równoleg³o-

boku przegubowego (rys. 52).

Tory wszystkich punktów zwi¹zanych z

cz³onem bêd¹cym w ruchu postêpowym s¹

jednakowe (rys. 53a), prêdkoœci v

i

zaœ i

przyspieszenia a

i

w tym samym po³o¿e-

niu identyczne (rys. 53b i c). Kierunki prêd-

koœci s¹ styczne do torów, kierunki przy-

spieszeñ zale¿¹ natomiast od kszta³tu toru i

parametrów ruchu. Jest wiêc

Rys. 52. Przyk³ad mechanizmu z cz³onem (3)

w ruchu postêpowym

v

B

= v

c

= v

i

, w = 0,

(16)

a

B

= a

C

= a

i

, e = 0.

(17)

46

Ruch obrotowy

Ruch obrotowy cz³onu BC (rys. 54a) wokó³ œrodka obrotu O charakteryzuje siê

tym, ¿e wszystkie punkty tego cz³onu zakreœlaj¹ tory ko³owe koncentryczne. Jak wia-

domo

v

i

= w r

i

lub

v

r

i

i

= ×

ω

,

(18)

przy czym: r

i

– promieñ obrotu punktu

w – prêdkoœæ k¹towa cz³onu BC.

Rys. 54. Cz³on w ruchu obrotowym: a) rozk³ad prêdkoœci, b) rozk³ad przyspieszeñ

Rys. 53. Tory, prêdkoœci i przyspieszenia punktów cz³onu BC w ruchu postêpowym

47

Wektory v

i

prêdkoœci liniowej punktów cz³onu s¹ styczne do torów tych punktów,

czyli prostopad³e do promieni obrotu. Wektory te s¹ widziane ze œrodka obrotu O

pod tym samym k¹tem

a

B

= a

C

= a

i

.

Na przyspieszenie a

i

punktów I w ruchu obrotowym sk³adaj¹ siê:

przyspieszenie normalne

a

r

n

i

i

=

⋅

ω

2

lub

(

)

a

r

n

i

i

=

×

×

ω ω

oraz przyspieszenie styczne

a

r

t

i

i

= ⋅

ε

lub

a

r

t

i

i

= ×

ε

.

Jak wynika z zapisu wektorowego, sk³adowa a

i

n

ma kierunek promienia obrotu i

zwrot do œrodka obrotu O, sk³adowa a

i

t

natomiast kierunek prostopad³y do promie-

nia obrotu i zwrot zgodny z przyspieszeniem k¹towym e (rys. 54b).

Ca³kowite przyspieszenie a

i

wyra¿a siê sum¹ wektorow¹

a

a

a

i

i

i

n

t

=

+

(19)

lub algebraicznie

a

a

a

r

i

n

t

i

i

i

=

+

=

+

(

)

(

)

.

2

2

4

2

ω

ε

(19a)

Przy sta³ej prêdkoœci k¹towej cz³onu (w = const, e = 0) przyspieszenie ca³kowite

a

i

jest równe przyspieszeniu normalnemu.

Ruch z³o¿ony p³aski

1. Je¿eli dowolny odcinek BC (rys. 55) zwi¹zany na sztywno z cz³onem zajmuje

w kolejnych fazach ruchu w stosunku do siebie po³o¿enie nierównoleg³e, to mówimy

o ruchu p³askim z³o¿onym.

Rys. 55. Cz³on BC w ruchu p³askim z³o¿onym

Rys. 56. Interpretacja ruchu z³o¿onego

cz³onu BC za pomoc¹ chwilowego œrodka obrotu

48

Rys. 57. Ruch z³o¿ony p³aski cz³onu BC jako

suma ruchu postêpowego i obrotowego

Rys. 58. Cz³on BC w ruchu z³o¿onym p³askim

i jego chwilowy œrodek przyspieszeñ

Ruch ten mo¿na interpretowaæ jako ruch obrotowy wokó³ chwilowego œrodka obrotu

S le¿¹cego na przeciêciu prostopad³ych do prêdkoœci liniowych punktów zwi¹zanych

z cz³onem (rys. 56). Wynika z tego, ¿e prêdkoœci dowolnych punktów cz³onu bêd¹ce-

go w tym ruchu widaæ z bieguna S pod tym samym k¹tem a, natomiast

ω =

=

=

v

SC

v
SB

v
SI

C

B

I

(20)

jest prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu. Spostrze¿enie to mo¿na zastosowaæ do wyznacze-

nia prêdkoœci dowolnego punktu I cz³onu przy danych prêdkoœciach dwóch innych

punktów lub prêdkoœci jednego punktu i danym po³o¿eniu chwilowego œrodka obrotu S.

Ruch z³o¿ony cz³onu interpretuje siê równie¿ jako wynik ruchu postêpowego

i obrotowego jednoczeœnie (rys. 57). W interpretacji tej relacjê miêdzy prêdkoœciami

dwóch punktów, np. B i C zapiszemy w postaci

v

v

v

C

B

CB

=

+

lub

v

v

v

B

C

BC

=

+

.

(21)

Wektor

v

v

CB

BC

= −

reprezentuje tu prêdkoœæ wzglêdn¹ punktu C wzglêdem

B. Prêdkoœæ wzglêdna v

CB

ma kierunek prostopad³y do promienia BC i pozostaje

z prêdkoœci¹ k¹tow¹ tego cz³onu w relacji

v

CB

= w

CB

l

CB

.

Przez analogiê do chwilowego œrodka obrotu S mo¿na operowaæ pojêciem chwi-

lowego œrodka przyspieszeñ P, tj. takiego punktu zwi¹zanego z rozpatrywanym cz³o-

nem, którego przyspieszenie jest równe zeru (a

p

= 0), rys. 58.

49

Po³o¿enie punktu P jest zazwyczaj ró¿ne od po³o¿enia œrodka obrotu S. Wektory

przyspieszeñ np.

a

a

B

C

i

(rys. 58), tworz¹c z odcinakmi PB i PC jednakowe k¹ty

j, s¹ widoczne z punktu P pod tym samym k¹tem y.

W niektórych wypadkach dogodniej jest, rozpatruj¹c przyspieszenie poszczegól-

nych punktów cz³onu w ruchu z³o¿onym, interpretowaæ ten ruch jako sumê ruchu

postêpowego i obrotowego (rys. 59). Miêdzy przyspieszeniami dowolnych dwóch punk-

tów, np. B i C, tego cz³onu zachodzi zwi¹zek

a

a

a

C

B

CB

=

+

,

(22)

w którym

a

a

a

CB

CB

n

CB

t

=

+

.

Sk³adowa normalna przyspieszenia wzglêdnego

a

l

v

l

CB

n

CB

CB

CB

=

⋅

=

ω

2

2

,

ma kierunek CB i zwrot od C do B, sk³adowa zaœ styczna przyspieszenia wzglêd-

nego

a

l

CB

t

CB

=

×

ε

jest wektorem o kierunku prostopad³ym do CB i zwrocie zgodnym z przyspiesze-

niem k¹towym.

Jest wiêc

a

a

a

a

C

B

CB

n

CB

t

=

+

+

.

(23)

Rys. 60. Graficzny obraz zwi¹zków miêdzy

prêdkoœciami wybranych punktów B i C

nale¿¹cych do ró¿nych cz³onów

Rys. 59. Interpretacja przyspieszenia wzglêdnego

a

CB

cz³onu BC w ruchu z³o¿onym p³askim

50

Zwi¹zek ten pozwala na graficzne lub grafoanalityczne okreœlenie przyspieszenia

dowolnego punktu, je¿eli znane jest np. przyspieszenie innego punktu oraz w, e

i odleg³oœæ tych punktów.

Rozwa¿my z kolei przypadek ruchu suwaka (2) (rys. 60) wspó³pracuj¹cego z ru-

chom¹ prowadnic¹ (1). Przez B oznaczono punkt zwi¹zany z cz³onem (1), przez C

natomiast punkt pokrywaj¹cy sie z punktem B, lecz nale¿¹cy do cz³onu (2). w wyni-

ku ruchu cz³onu (1) zwi¹zany z nim punkt B ma prêdkoœæ v

B

, punkt C natomiast

przemieszca siê dodatkowo wzglêdem cz³onu (1) z prêdkoœci¹ v

CB

. Wynikow¹ prêd-

koœæ punktu C rozpatrywan¹ w uk³adzie odniesienia mo¿na wyraziæ

v

v

v

C

B

CB

=

+

,

gdzie

v

CB

– prêdkoœæ wzglêdna punktu C wzglêdem B.

Kierunek tej prêdkoœci okreœla oczywiœcie aktualne po³o¿enie prowadnicy.

Przyspieszenie punktu C (rys. 61) mo¿na wyraziæ równaniem wektorowym

a

a

a

C

B

CB

=

+

,

(24)

w którym

a

CB

jest wzglêdnym przyspieszeniem sk³adaj¹cym siê z przyspieszeñ:

normalnego, stycznego i Coriolisa,

a

a

a

a

CB

CB

n

CB

t

CB

c

=

+

+

,

(25)

Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego s¹ okreslone nastêpuj¹co

a

v

CB

n

CB

=

2

ρ

,

gdzie r – promieñ krzywizny prowadnicy dla miejsca wspó³pracy z suwakiem (w

punkcie B).

Przyspieszenie to wystêpuje tylko przy

prowadnicach krzywoliniowych. w przy-

padku stosowania prowadnicy prostolinio-

wej (r = ¥) jest wiêc

a

v

CB

n

CB

= ∞

2

= 0.

Kierunek tego wektora pokrywa siê z

kierunkiem promienia r, skierowany zaœ

jest do œrodka krzywizny. Sk³adowa stycz-

na przyspieszenia ma kierunek równoleg³y

do prêdkoœci wzglêdnej v

CB

, modu³ zaœ

okreœla zale¿noœæ

Rys. 61. Sk³adowe przyspieszenia wzglêdnego

wybranych punktów B i C nale¿¹cych

do cz³onów (1) i (2)

51

a

v

t

CB

t

CB

= d

d

.

Kierunek i zwrot przyspieszenia Coriolisa wynikaj¹ z zapisu wektorowego

a

v

CB

c

CB

=

×

2

ω

,

mo¿na je ustaliæ równie¿ obracaj¹c wektor prêdkoœci wzglêdnej v

CB

o 90°, zgodnie

z prêdkoœci¹ k¹tow¹ unoszenia. Ostatecznie wiêc

a

a

a

a

a

C

B

CB

n

CB

t

CB

c

=

+

+

+

.

(26)

Podstawowe zwi¹zki, które przytoczono, mog¹ byæ stosowane w ró¿nych meto-

dach okreœlania parametrów ruchu cz³onów mechanizmów i zwi¹zanych z nimi punk-

tów.

3.3.3. Metoda toru ocechowanego

Niech bêdzie dana trajektoria k

i

punktu I (rys. 62a), nale¿¹cego do cz³onu mecha-

nizmu. Trajektoriê tê ocechowano tak, ¿e przemieszczenia po jej fragmentach p i q,

pomiêdzy punktami K – 1, K oraz K, K + 1, odpowiadaj¹ równym przedzia³om

czasowym Dt. Po zast¹pieniu rzeczywistych przemieszczeñ p i q odpowiednio we-

ktorami a i b (rys. 62b), œredni¹ prêdkoœæ punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ

zale¿noœci¹

v

v

v

K

a

b

≅

+
2

,

Rys. 62. Wyznaczanie prêdkoœci i przyspieszeñ metod¹ toru ocechowanego

52

czyli

v

a b

t

K

≅

+

2

∆

(27)

lub

v

c

t

K

≅

2

∆

,

(27a)

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ k

l

uzyskano

v

(c)

t

K

l

≅

κ

2

∆

.

(28)

Œrednie przyspieszenie punktu I w po³o¿eniu K mo¿na wyraziæ wzorem

a

v

v

t

K

b

a

≅

−

∆

,

co prowadzi do

a

b a

t

K

≅

−

∆

2

(29)

lub

a

d

t

K

≅

∆

2

.

Po uwzglêdnieniu podzia³ki przemieszczeñ

a

(d)

t

K

l

2

≅

κ

∆

,

(30)

Jak wiadomo, mechanizmy charakteryzuj¹ siê cyklicznoœci¹ ruchu, to znaczy po

pewnym okresie T powtarza siê po³o¿enie, prêdkoœæ oraz przyspieszenie. Za³ó¿my, ¿e

liczba okresów T wynosi n w czasie jednej minuty. Cechowanie toru przeprowadzono

w ten sposób, ¿e okres T podzielono na m równych przedzia³ów Dt. Jest wiêc

T = mDt oraz

T

n

=

60

.

Ostatecznie wiêc, ze wzoru (28) i (30)

v

(c)

m n

K

l

≅

⋅ ⋅

κ

120

,

(31)

a

(d)

m n

K

l

≅

⋅

⋅

κ

2

2

3600

.

(32)

53

Rys. 63. Plan prêdkoœci: a) cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim, b) plan prêdkoœci cz³onu BCM

Dla porz¹dku nale¿y odnotowaæ, ¿e wraz ze wzrostem m przedzia³ów wzrasta do-

k³adnoœæ uzyskanych wyników. Jednak wraz ze wzrostem liczby przedzia³ów m ro-

œnie wp³yw b³êdów rysunkowych. Zalecane jest [11] nastêpuj¹ce przyjêcie liczby

przedzia³ów:

m = 18 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A6,

m = 24 – je¿eli wyznaczona trajektoria mieœci siê w formacie A4.

Orientacyjne b³êdy w wyznaczeniu prêdkoœci wynosz¹ wtedy 6–4%, a w wypadku

przyspieszeñ 12–8%. W liczbach tych nie jest zawarty b³¹d zwi¹zany z dok³adnoœci¹

wyznaczenia punktów toru ocechowanego.

3.3.4. Metoda planów

Niech bêdzie dany cz³on BCM w ruchu z³o¿onym p³askim (rys. 63a) i niech v

B

,

v

C

, v

M

bêd¹ prêdkoœciami punktów B, C i M tego cz³onu. Je¿eli wektory prêdkoœci

narysowaæ w dowolnej podzia³ce k

v

, rozpoczynaj¹c z dowolnego punktu p

v

, to koñce

ich, oznaczone odpowiednimi symbolami b, c i m, wyznacz¹ pewn¹ figurê bcm

(rys. 63b). Figura taka, jako miejsce geometryczne koñców wektorów prêdkoœci punk-

tów tego samego cz³onu, nosi nazwê planu prêdkoœci cz³onu, a punkt p

v

bieguna

planu prêdkoœci. Pos³uguj¹c siê odpowiednimi zwi¹zkami miêdzy prêdkoœciami punk-

tów B, C i M, np.

v

v

v

C

B

CB

=

+

,

v

v

v

M

B

MB

=

+

,

v

v

v

M

C

MC

=

+

55

(rys. 64a) od³o¿ione w tej samej podzia³ce z jednego bieguna p

a

tworz¹ koñcami b, c

i m figurê bcm (rys. 64b). Przez analogiê do planu prêdkoœci, figurê tak¹ bêdziemy

nazywaæ planem przyspieszeñ cz³onu. Plan bcm jest podobny do cz³onu BCM

i obrócony wzglêdem niego o k¹t (180 – j), zgodnie z przyspieszeniem k¹towym e,

przy czym

ϕ

ε

ω

= arctg

.

2

Odcinki ³¹cz¹ce odpowiednie koñce wektorów okreœlaj¹ przyspieszenie wzglêdne

poszczególnych punktów, np.

mc

a

MC

a

= κ ,

gdzie k

a

[m/s

2

·mm] jest podzia³k¹ planu przyspieszeñ.

Na ogó³ przyspieszenie wzglêdne ca³kowite jest sum¹ wektorow¹ sk³adowej nor-

malnej i stycznej, co przyk³adowo pokazano dla przyspieszenia a

MC

a

a

a

MC

MC

n

MC

t

=

+

lub

cm

cn

nm

=

+

.

Wektor

a

MC

n

ma kierunek MC, zwrot od M do C, a modu³

a

v

l

NC

n

MC

MC

=

.

Przyspieszenie wzglêdne styczne

a

l

MC

t

MC

=

ε

ma kierunek prostopad³y do MC.

Plany przyspieszeñ kolejnych cz³onów mechanizmu wykreœlone z jednego bieguna p

a

tworz¹ plan przyspieszeñ mechanizmu, za którego pomoc¹ mo¿na okreœlaæ dowolne

przyspieszenia liniowe i k¹towe.

W dalszym ci¹gu przedstawiono sposoby wyznaczania prêdkoœci i przyspieszeñ

dla wybranych grup Assura.

Grupa dwucz³onowa drugiej klasy z trzema parami obrotowymi

Grupê tê pokazano schematycznie na rysunku 65a. Za³ó¿my, ¿e w wyniku wstêp-

nych obliczeñ kinematycznych okreœlono:

– prêdkoœæ v

A

oraz przyspieszenie a

A

punktu A,

– prêdkoœæ v

C

oraz przyspieszenie a

C

punktu C.

Analizuj¹c ruch punktu B napiszemy:

– dla cz³onu AB

v

v

v

B

A

BA

=

+

,

56

– dla cz³onu BC

v

v

v

B

C

BC

=

+

,

tak wiêc

v

v

v

v

v

B

A

BA

C

BC

=

+

=

+

.

(33)

W zale¿noœci (33) znane s¹ wektory prêdkoœci punktów A oraz C, co zaznaczono

przez ich trzykrotne podkreœlenie. Kierunki prêdkoœci wzglêdnych s¹ prostopad³e do

odpowiednich cz³onów (rys. 65a), co zaznaczono przez jednokrotne podkreœlenie v

BA

i v

BC

w rozpatrywanej zale¿noœci. Równanie to rozwi¹¿emy graficznie. Wykreœlaj¹c

z bieguna p

v

wektory

v

A

oraz

v

C

, a nastêpnie odpowiednio kierunki prêdkoœci

wzglêdnych, wyznaczymy prêdkoœæ v

B

punktu B (rys. 65b).

Rys. 65. Plan prêdkoœci i przyspieszeñ grupy II klasy

57

Podobnie, aby wyznaczyæ przyspieszenie

a

B

punktu B napiszemy

– dla cz³onu AB

a

a

a

a

B

A

BA

n

BA

t

=

+

+

,

– dla cz³onu BC

a

a

a

a

B

C

BC

n

BC

t

=

+

+

,

tak wiêc

a

a

a

a

a

a

a

B

A

BA

n

BA

t

C

BC

n

BC

t

=

+

+

=

+

+

.

(34)

W równaniu (34) znane s¹ wektory a

A

oraz a

C

, modu³y sk³adowych normalnych

wektorów zaœ przyspieszeñ wzglêdnych obliczymy odpowiednio

a

v

l

a

v

l

BA

n

BA

BA

BC

n

BC

BC

=

=

2

2

;

.

(35)

Wektory te maj¹ kierunki odpowiednich cz³onów, zwroty zaœ odpowiednio od punk-

tu B do punktów A i C. Kierunki sk³adowych stycznych wektorów przyspieszeñ

wzglêdnych s¹ prostopad³e do odpowiednich cz³onów (rys. 65a). Tak wiêc znane co

do modu³u, kierunku i zwrotu wektory przyspieszeñ podkreœlono w zale¿noœci (34)

trzema kreskami, wektory zaœ znane co do kierunku – jedn¹ kresk¹. Zale¿noœæ (34)

rozwi¹¿emy graficznie nastêpuj¹co:

Z dowolnie przyjêtego bieguna p

a

wykreœlimy wektory a

C

oraz a

A

. Dodaj¹c

odpowiednio wektory przyspieszeñ normalnych wzglêdnych, a nastêpnie wykreœlaj¹c

kierunki przyspieszeñ stycznych wyznaczymy punkt b, stanowi¹cy koniec wektora a

B

przyspieszenia punktu B (rys. 65c).

Grupa czterocz³onowa trzeciej klasy z parami obrotowymi

Analizê kinematyczn¹ grup tego typu (rys. 66) prowadzi siê korzystajac z tzw.

punktów Assura. Punktem Assura bêdziemy nazywaæ punkty R, S lub T cz³onu

trójwêz³owego ABC pokrywaj¹ce siê z punktem przeciêcia odpowiednich kierunków

jego dwóch cz³onów dwuwêz³owych (rys. 66a). Je¿eli znane s¹ prêdkoœci i przyspie-

szenia punktów D, E i F, to kolejnoœc operacji zmierzaj¹cych do okreœlenia

prêdkoœci i przyspieszenia punktów A, B i C mo¿e byæ nastêpuj¹ca:

– dla punktu R napiszemy

v

v

v

v

v

v

R

A

RA

D

AD

RA

=

+

=

+

+

(

),

oraz

(36)

v

v

v

v

v

v

R

B

RB

E

BE

RD

=

+

=

+

+

(

).

58

Wektory prêdkoœci ruchu wzglêdnego v

AD

i v

RA

oraz v

BE

i v

RB

maj¹ jednakowe

kierunki, mo¿na je wiêc zast¹piæ odpoweidnio jednym wektorem, a zatem zale¿noœci

(36) mo¿na zast¹piæ przez równania:

v

v

v

R

D

RD

=

+

oraz

(37)

v

v

v

R

E

RE

=

+

.

w równaniach tych prêdkoœci v

D

i v

E

s¹ zadane, natomiast v

RD

oraz v

RD

znane co

do kierunku. Odk³adaj¹c od przyjêtego bieguna p

v

wektory v

D

i v

E

oraz przeprowa-

dzaj¹c przez ich koñce d i e, prostopad³e do RD oraz RE, wyznaczymy w ich

punkcie przeciêcia r koniec wektora

v

R

(rys. 66b). Prêdkoœæ punktu C wyznaczy-

my z zale¿noœci

v

v

v

C

F

CF

=

+

oraz

(38)

v

v

v

C

R

CR

=

+

.

Graficzne wyznaczenie prêdkoœci punktu C pokazano równie¿ na rys. 66b. Ko-

rzystaj¹c np. z zasady podobieñstwa planu prêdkoœci cz³onu do cz³onu mo¿na nastêp-

nie wyznaczyæ prêdkoœc punktów A oraz B.

Tym samym punktem R mo¿na okreœliæ przyspieszenie punktów A, B i C

cz³onu trójwêz³owego (rys. 67a). Najpierw wyznaczymy przyspieszenie a

R

korzystaj¹c z

równañ

a

a

a

a

a

a

a

a

a

R

A

RA

n

RA

t

D

AD

n

AD

t

RA

n

RA

t

=

+

+

=

+

+

+

+

oraz

(39)

a

a

a

a

a

a

a

a

a

R

B

RB

n

RB

t

E

BE

n

BE

t

RB

n

RB

t

=

+

+

=

+

+

+

+

w których przyspieszenie normalne

a

v

l

a

v

l

RA

n

RA

RA

AD

n

AD

AD

=

=

2

2

;

,

a

v

l

a

v

l

RB

n

RB

RB

BE

n

BE

BE

=

=

2

2

;

,

obliczamy korzystaj¹c z planu prêdkoœci.

59

Rys. 66. Przyk³ad grupy III klasy i jej plan prêdkoœci

60

Rys. 67. Przyk³ad grupy III klasy i jej plan przyspieszeñ

61

Rówanie (39) mo¿na przedstawiæ w postaci

a

a

a

a

a

a

R

D

AD

n

RA

n

AD

t

RA

t

=

+

+

+

+

,

a

a

a

a

a

a

R

E

BE

n

RB

n

BE

t

RB

t

=

+

+

+

+

lub, po wprowadzeniu, dla uproszczenia, odpowiednich symboli sum wektorów rów-

noleg³ych,

a

a

a

a

R

D

RD

n

RD

t

=

+

+

,

a

a

a

a

R

E

RE

n

RE

t

=

+

+

,

(40)

Graficzne rozwi¹zanie równañ (40) przedstawiono na rysunku 67b. Przyspieszenie

punktu C wyznaczymy z równañ

a

a

a

a

C

R

CR

n

CR

t

=

+

+

oraz

(41)

a

a

a

a

C

F

CF

n

CF

t

=

+

+

,

w których

a

v

l

a

v

l

CR

n

CR

CR

CF

n

CF

CF

=

=

2

2

;

.

Rozwi¹zuj¹c równanie (41) graficznie, a nastêpnie korzystaj¹c np. z podobieñstwa

planu przyspieszeñ cz³onu do cz³onu, mo¿emy wyznaczyæ przyspieszenie punktów A

i B.

Dysponuj¹c ogóln¹ metod¹ rozwi¹zywania poszczególnych grup mo¿na przy ich

zastosowaniu analizowaæ praktycznie wszystkie mechanizmy dŸwigniowe. Nale¿y

w tym celu dokonaæ w badanym mechanizmie analizy strukturalnej i wydzielenia

odpowiednich grup. Idee tê zilustrowano przyk³adem.

Niech bêdzie dany mechanizm DABCMN (rys. 68a), w którym nale¿y okreœliæ

prêdkoœæ v

N

przy zadanej prêdkoœci k¹towej w

2

korby DA. Zauwa¿my, ¿e przy

tych za³o¿eniach jest to mechanizm II klasy i mo¿na w nim wyró¿niæ dwie grupy II

klasy, tzn. grupê 34 (ABC) i grupê 56 (MNP) (rys. 68b). Grupy te nale¿y rozwi¹zy-

waæ w tej kolejnoœci, stosuj¹c omówiony wzór dla grupy II klasy (rys. 65).

Za³ó¿my z kolei, ¿e dla tego samego uk³adu nale¿y okreœliæ w

4

przy zadanej prêd-

koœci v

6

cz³onu (6) (rys. 69a). Tym razem, wychodz¹c od cz³onu czynnego (6),

62

Rys. 68. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu II klasy,

b) sk³adowe grupy Assura

mo¿na wyró¿niæ tylko jedn¹ grupê III klasy (rys. 69b). Rozwi¹zuj¹c tê grupê wed³ug

omówionego wzoru (rys. 66) znajdziemy v

c

, a wiêc równie¿ w

4

.

3.5.5. Metoda wykresów kinematycznych

Wykresy kinematyczne s¹ graficznym przedstawieniem zale¿noœci funkcyjnej dro-

gi, prêdkoœci liniowej i przyspieszenia liniowego lub k¹ta obrotu, prêdkoœci k¹towej i

przyspieszenia k¹towego cz³onu od okreœlonego parametru. W takim przedstawieniu

ruchu punktu lub cz³onu mechanizmu parametrem mo¿e byæ czas lub dowolna inna

wspó³rzêdna uogólniona, np. droga wybranego punktu lub k¹t obrotu cz³onu czynnego.

Podczas sporz¹dzania wykresów kinematycznych pewne przebiegi (np. s = s(t))

nale¿y poddaæ operacji ró¿niczkowania (np. v = ds/dt) lub ca³kowania (np.

v

a t

= ∫ d

).

Czasem dogodnie jest operacje te przeprowadzaæ graficznie, korzystaj¹c z odpowie-

dnich metod, które przedstawiono dalej.

Ró¿niczkowanie graficzne metod¹ stycznych

Dla zadanej krzywej przemieszczeñ s(t) (rys. 70a) nale¿y znaleŸæ przebieg zmian

prêdkoœci v(t) w funkcji czasu. Za³ó¿my na pocz¹tku, ¿e zadany wykres s(t) i szuka-

ny v(t) bêd¹ mia³y wspóln¹ podzia³kê czasu k

t

[s/mm], co umo¿liwi usytuowanie

uk³adów wspó³rzêdnych jak na rys. 70.

Na krzywej s(t) przyjmijmy dowolne punkty 1s, 2s, ..., np. odpowiadaj¹ce jedna-

kowym odcinkom czasu Dt i do krzywej w tych punktach poprowadŸmy styczne.

63

Przez punkt H

v

, przyjêty dowolnie na ujemnej osi czasu uk³adu (v, t), poprowadŸmy

proste równoleg³e do stycznych, które na osi v odetn¹ odcinki proporcjonalne do

prêdkoœci w chwilach odpowiadaj¹cych punktom 1s, 2s, ... Konstrukcja przedstawio-

na na rys. 70b prowadzi do punktów 1v, 2v, ..., a tym samym do szukanej krzywej v(t).

Aby ustaliæ podzia³kê k

v

wykresu v(t) przypomnijmy, ¿e dla dowolnego punktu I

v

s

t

s

t

i

i

s
t

i

s
t

i

=

=

=

d

d

d

d

κ
κ

κ
κ

α

( )

( )

tg .

Poniewa¿ z drugiej strony

tg

α

i

i

v

v

e

= ( ) ,

otrzymamy wiêc

v

v

e

i

s
t

i

v

= κ

κ

( ) .

Rys. 69. Za³o¿enia do analizy kinematycznej mechanizmu: a) schemat mechanizmu III klasy,

b) sk³adowe grupy Assura

64

Rys. 70. Przyk³ad graficznej metody ró¿niczkowania funcji: a) krzywa s(t),

b) rezultat ró¿niczkowania v(t)

Porównuj¹c tê zale¿noœæ ze znan¹ ogóln¹ zale¿noœci¹

v

i

= (v

i

) k

v

,

otrzymamy podzia³kê prêdkoœci

κ

κ

κ

v

s

t

v

e

=

⋅

.

(42)

Podobnie, ró¿niczkuj¹c wykres, np. v(t), dla uzyskania przebiegu a(t), otrzyma-

my podzia³kê

κ

κ

κ

a

v

t

a

e

=

⋅

.

65

Nale¿y zwróciæ uwagê, ¿e o ile jednokrotne ró¿niczkowanie jest operacj¹ stosun-

kowo dok³adn¹, o tyle dwukrotne powtarzanie tej operacji mo¿e prowadziæ do istot-

nych b³êdów.

Ca³kowanie graficzne metod¹ stycznych

Jest to operacja odwrotna do ró¿niczkowania graficznego. Umo¿liwia ona np. zna-

lezienie przebiegu przemieszczeñ s(t) na podstawie wykresu prêdkoœci v(t) (rys.

71). Omówimy j¹ na takim w³aœnie przyk³adzie.

Dan¹ krzyw¹ v(t) (rys. 71a) podzielimy dowolnie punktami 1v, 2v, ..., a rzêdne

tych punktów przeniesiemy na oœ prêdkoœci v. Tak otrzymane punkty ³¹czymy z do-

wolnie przyjêtym na ujemnej osi czasu biegunem H

v

. Otrzymamy w ten sposób

kierunki stycznych do krzywej przemieszczeñ s(t) w odpowiednich punktach 1s,

2s,... Styczne do krzywej o tych kierunkach tworz¹ w uk³adzie (s, t) liniê ³aman¹ 1s,

L

12

, L

23

, ..., (rys. 71b), która jednoznacznie okreœla szukan¹ krzyw¹ s(t). Do wykre-

œlenia tej linii, poza kierunkami stycznych jest niezbêdny punkt pocz¹tkowy 1s oraz

punkty L

12

, L

23

, ...

Rys. 71. Przyk³ad graficznej metody ca³kowania funkcji: a) krzywa v(t), b) rezultat ca³kowania s(t)

66

Pierwszy z nich, okreœlaj¹cy jednoczeœnie sta³¹ ca³kowania, ustala siê na podsta-

wie warunków brzegowych. W celu okreœlenia pozosta³ych L

12

, L

23

, ... korzystamy

z nastêpuj¹cych konstrukcji. Poszczególne przedzia³y czasowe 12, 23, ... dzielimy

liniami l

12

, l

23

, ... tak, aby utworzone figury, na rysunku jednakowo zakreskowane,

mia³y takie same pola. Linia l

12

na przeciêciu ze styczn¹ wyprowadzon¹ z 1s daje

L

12

– pocz¹tek nastêpnej stycznej L

12

–L

23

. Okreœlanie po³o¿eñ kolejnych punktów

2s, 3s, ... na stycznych oraz sposób wykreœlania samej krzywej s(t) nie wymaga bli¿-

szych wyjaœnieñ.

Podzia³kê k

s

otrzymanego wykresu s(t), korzystaj¹c ze wspomnianej ju¿ od-

wrotnoœci operacji ca³kowania do ró¿niczkowania, zapiszemy na podstawie (42)

k

s

= k

v

· k

t

· e

v

.

(43)

Omówione metody graficznego ró¿niczkowania i ca³kowania umo¿liwiaj¹ otrzy-

mywanie ró¿nych, w zale¿noœci od potrzeby, charakterystyk ruchu punktów lub cz³o-

nów mechanizmów. Charakterystyki takie s¹ przedstawiane zwykle w funkcji czasu

Rys. 72. Analiza ruchu punktu M metod¹ wykresów kinematycznych

67

Rys. 73. Tor ocechowany, hodograf prêdkoœci i przyspieszeñ punktu M

lub parametru zale¿nego od czasu w sposób liniowy, np. k¹ta obrotu korby o sta³ej

prêdkoœci k¹towej.

Za³ó¿my, ¿e interesuje nas pe³na charakterystyka ruchu punktu M (rys. 72), nalê-

¿¹cego do cz³onu pewnego mechanizmu. Za³ó¿my dalej, ¿e pos³uguj¹c siê metod¹

przedstawion¹ w podrozdz. 3.2. otrzymano tor ocechowany k

M

punktu M. Nastêp-

nie, po przyjêciu uk³adu wspó³rzêdnych xy, zrzutowano na jego osie tor ocechowany i

otrzymano wykresy przemieszczeñ s

x

(t) oraz s

y

(t). Po zró¿niczkowaniu oddzielnie

obu wykresów, otrzymano odpowiednio v

x

(t) i v

y

(t) oraz a

x

(t) i a

y

(t). Rzeczywiste

wartoœci prêdkoœci i przyspieszeñ w poszczególnych punktach drogi otrzymujemy su-

muj¹c geometrycznie odpowiednie sk³adowe. Na rysunku 72 przedstawiono sumowa-

nie dla:

v

v

v

x

y

6

6

6

=

+

.

Nale¿y pamiêtaæ, ¿e dogodnie jest wektorowe rezultaty ana-

lizy zestawiæ w tzw. hodografy prêdkoœci i przyspieszeñ (rys. 73), otrzymane przez

wykreœlenie wektorów ze wspólnych biegunów p

v

i p

a

. Interesuj¹ce w³aœciwoœci

tych hodografów (wektor przyspieszenia a

i

ma kierunek stycznej do krzywej k

v

w

punkcie i, modu³ jego równa siê chwilowej prêdkoœci poruszania siê po k

v

koñca

wektora v

i

) pozwalaj¹ nie tylko na sprawdzenie poprawnoœci wyników, ale równie¿

umo¿liwiaj¹ okreœlenie interesuj¹cych nas parametrów inn¹ metod¹.

69

4. Metody analityczne

W metodach analitycznych d¹¿y siê do uzyskania algebraicznych zwi¹zków okreœ-

laj¹cych po³o¿enia cz³onów mechanizmu i torów punktów zwi¹zanych z cz³onami

w funkcji czasu lub parametru po³o¿enia cz³onu czynnego. Odpowiednie zwi¹zki na

okreœlenie prêdkoœci i przyspieszenia uzyskuje siê zwykle na drodze odpowiedniej

obróbki (ró¿niczkowanie) funkcji po³o¿enia. Te niezbêdne funkcje po³o¿enia mo¿na

uzyskaæ ró¿nymi metodami, dobieranymi stosownie do analizowanego obiektu. Naj-

czêœciej stosuje siê wtedy tzw. metodê zapisu wektorowego.

4.1. Metoda zapisu wektorowego

Metoda zapisu wektorowego polega na zastêpowaniu ³añcucha kinematycznego

cz³onów mechanizmu odpowiednim ³añcuchem wektorowym. Przyk³ady takich zabie-

gów przedstawiono na rys. 74. Warunek zamykania siê takich wieloboków wektoro-

wych mo¿na zapisaæ w postaci

l

i

=

∑

0

(44)

lub

l

ix

=

∑

0

,

l

iy

=

∑

0

,

(45)

W równaniach (45) l

ix

i l

iy

oznaczaj¹ rzuty wektorów na osie x i y uk³adu

wspó³rzêdnych. Je¿eli wprowadziæ jednolit¹ umowê co do oznaczeñ i odk³adania k¹-

tów kierunkowych kolejnych wektorów, to rzuty l

ix

i l

iy

mo¿na wyraziæ ogólnie:

l

ix

= l

i

cos a

i

,

l

iy

= l

i

sin a

i

.

(46)

Zwi¹zki okreœlaj¹ce prêdkoœæ i przyspieszenie mo¿na otrzymaæ z równañ (45)

w wyniku ich ró¿niczkowania wzglêdem czasu

70

d

d

l

t

ix

∑

= 0,

d

d

l

t

iy

∑

= 0

(47)

oraz

d

d

2

l

t

ix

2

0

∑

= ,

d

d

2

l

t

ix

2

0

∑

= .

(48)

W celu zilustrowania tej metody rozpatrzymy analizê czworoboku przegubowego.

Rys. 74. Zastêpowanie ³añcuchów kinematycznych ³añcuchami wektorowymi:

a) przyk³ady mechanizmów, b) ³añcuchy wektorowe

71

4.1.1. Analiza czworoboku przegubowego

Niech bêdzie dany czworobok ABCD (rys. 75) o znanych d³ugoœciach cz³onów

l

1

, l

2

, l

3

i l

4

oraz prêdkoœci k¹towej w

2

cz³onu czynnego. Nale¿y okreœliæ po³o¿enia,

prêdkoœci i przyspieszenia wszystkich cz³onów.

Przyjmijmy uk³ad wspó³rzêdnych x0y, a cz³ony mechanizmu zast¹pmy przez od-

powiednie wektory l

1

, l

2

, l

3

i l

4

. Równanie (44) wektorowe wieloboku w tym kon-

kretnym przypadku ma postaæ

l l

l

l

1

2

3

4

0

+ + +

= ,

(49)

natomiast równania (45) przy wprowadzonych oznaczeniach k¹tów j

i

l

1

+ l

2

cos j

2

+ l

3

cos j

3

+ l

4

cos j

4

= 0,

l

2

sin j

2

+ l

3

sin j

3

+ l

4

sin j

4

= 0.

(50)

Podstawiamy

a = l

1

+ l

2

cos j

2

,

b = l

2

sin j

2

.

Po podniesieniu do kwadratu i dodaniu stronami otrzymamy wtedy

a

2

+ b

2

+ 2al

3

cos j

3

+ 2bl

3

sin j

3

+ l

3

2

+ l

4

2

= 0.

(51)

Po podzieleniu zale¿noœci (51) przez 2al

3

i oznaczeniu

Rys. 75. Rysunek pomocniczy do analitycznego badania parametrów ruchu

czworoboku przegubowego

72

A

a

b

l

l

al

=

+

+

+

2

2

3

2

3

2

3

2

oraz

B

b
a

=

otrzymano

A + cos j

3

+ B sin j

3

= 0,

a nastêpnie

(1 + B

2

) + cos

2

j

3

+ 2A cos j

3

+ (A

2

+ B

2

) = 0.

(52)

Po podstawieniu danych liczbowych mo¿na z zale¿noœci (52) wyznaczyæ k¹ty j

3

.

Dla oznaczonych wartoœci j

3

i za³o¿onej wartoœci j

2

wartoœæ k¹ta j

4

wyznaczy-

my z zale¿noœci (50)

cos j

4

=

l l

l

l

!

!

"

+

+

−

cos

cos

ϕ

ϕ

(53)

Znaj¹c po³o¿enie cz³onów rozpatrywanego czworoboku przegubowego mo¿na przys-

t¹piæ do wyznaczenia prêdkoœci i przyspieszeñ. Po zró¿niczkowaniu równañ po³o¿eñ

(50) otrzymano

w

2

l

2

sin j

2

+ w

3

l

3

sin j

3

+ w

4

l

4

sin j

4

= 0,

w

2

l

2

cos j

2

+ w

3

l

3

cos j

3

+ w

4

l

4

cos j

4

= 0,

(54)

gdzie

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

2

2

3

3

4

4

=

=

=

d

d

d

d

d

d

t

t

t

,

,

.

Obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j

3

otrzymamy dla pierwszego z równañ (54)

w

2

l

2

sin (j

2

– j

3

) + w

3

l

3

sin (j

3

– j

3

)

+ w

4

l

4

sin (j

4

– j

3

)

= 0.

Sk³adnik w

3

l

3

sin (j

3

– j

3

) jest oczywiœcie równy zeru, wiêc

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

4

2

2

3

4

4

3

= −

−

−

l

l

sin(

)

sin(

)

.

(55)

Analogicznie, obracaj¹c uk³ad wspó³rzêdnych o k¹t j

4

, dla drugiego z równañ

(54) otrzymamy

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

3

2

2

4

3

3

4

= −

−

−

l

l

sin(

)

sin(

)

(56)

W celu uzyskania przyspieszeñ k¹towych cz³onów zró¿niczkowano zale¿noœci (55)

oraz (56) i uzyskano

73

Rys. 76. Rysunek pomocniczy do analizy mechanizmu jarzmowego

ε

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

4

2

2

2

2

3

3

2

3

4

3

4

4

3

=

−

+

−

−

l

l

l

cos(

)

cos(

)

sin(

)

,

ε

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

3

2

2

2

2

4

3

2

3

3

4

4

2

4

3

3

4

=

−

+

−

+

−

l

l

l

l

cos(

)

cos(

)

sin(

)

.

(57)

Przedstawiona metoda zapisu funkcji po³o¿enia i jej obróbki nadaje siê do stoso-

wania w ca³ej grupie mechanizmów dŸwigniowych.

4.2. Metoda klasyczna

Czasem potrzebn¹ funkcjê po³o¿enia mo¿na otrzymaæ zapisuj¹c okreœlone zwi¹zki

wprost z rysunku. Niech np. bêdzie dany mechanizm jarzmowy (rys. 76). Zak³adaj¹c,

¿e cz³onem czynnym jest tu korba AB, nale¿y okreœliæ prêdkoœæ k¹tow¹ w

3

i przyspie-

szenie e

3

jarzma (3).

Rzutuj¹c d³ugoœæ r korby AB i zmienn¹ d³ugoœæ jarzma BC na liniê AC ustalimy

zale¿noœæ miêdzy znanym w dowolnej chwili k¹tem a obrotu korby i k¹tem j

tg

sin

cos

,

ϕ

α

α

=

+

r

e r

(58)

74

Po wprowadzeniu

λ = e

r

przepiszemy (58) w postaci

tg

sin

cos

,

ϕ

α

λ

α

=

+

(59)

st¹d

ϕ

α

λ

α

=

+

arctg sin

cos

.

(60)

Zale¿nie od wartoœci l otrzymujemy mechanizm z jarzmem obrotowym lub waha-

d³owym. Dla jarzma wahad³owego j < 90°, (tg j < ¥) mianownik zale¿noœci (59)

l + cos a ¹ 0,

wiêc

l > 1.

Podobnie dla jarzma obrotowego

l < 1 , tzn. e < r.

Po zró¿niczkowaniu zale¿noœci (58) przy za³o¿eniu, ¿e (da/dt) = w

2

i (dj/dt) = w

3

,

otrzymano

ω

ω

α

α

α

α

ϕ

3

2

2

2

2

=

+

+

+

r e r

r

e r

(

cos )cos

sin

(

cos )

cos

lub po przekszta³ceniu

ω

ω

α

α

3

2

2

2

2

=

+

+

+

r

r r e

e

er

r

(

cos )

cos

oraz

ω

ω

λ

α

λ

α λ

3

2

2

1

1 2

=

+

+

+

cos

cos

.

(61)

Ró¿niczkuj¹c powtórnie zale¿noœæ (61), znajdujemy wzór okreœlaj¹cy przyspie-

szenie k¹towe jarzma

ε

ω

λ

λ

α

λ

α λ

ε

λ

α

λ

α λ

3

2

2

2

2 2

2

2

1

1 2

1

1 2

=

−

+

+

+

+

+

+

(

)sin

(

cos

)

cos

cos

.

(62)

Je¿eli w

2

= const, e

2

= 0, to otrzymamy oczywiœcie

75

Rys. 77. Za³o¿enia do macierzowego zapisu po³o¿enia punktu E w uk³adzie 0 x

0

y

0

ε

ω

λ

λ

α

λ

α λ

2

2

2

2

2 2

1

1 2

=

−

+

+

(

)sin

(

cos

)

.

(63)

4.3. Metoda macierzowa

Metodê macierzow¹, stosowan¹ zw³aszcza przy wykorzystywaniu wspó³czesnych

œrodków obliczeniowych, zilustrujemy na przyk³adzie analizy ³añcuchów kinematycz-

nych otwartych. Problemy analizy ³añcuchów otwartych pojawiaj¹ siê najczêœciej przy

badaniach manipulatorów. Przedstawion¹ ni¿ej metodê mo¿na jednak zastosowaæ

w równym stopniu do badania ³añcuchów zamkniêtych.

Niech bêdzie wiêc dany p³aski ³añcuch kinematyczny otwarty z³o¿ony z czterech

cz³onów tworz¹cych kolejno ze sob¹ tylko pary obrotowe (rys. 77). Stwierdzaj¹c, ¿e

ruchliwoœæ tego ³añcucha wynosi W = 3, przyjmijmy, ¿e jego jednobie¿noœæ uzyskuje

siê w wyniku zadanych ruchów wzglêdnych w

10

, w

21

i w

32

. Przyjmijmy innymi s³o-

wy, ¿e k¹ty j

10

, j

21

i j

32

s¹ okreœlonymi funkcjami czasu. Za³ó¿my dalej, ¿e znane s¹

parametry geometryczne ³añcucha (d³ugoœæ cz³onów l

1

i l

2

oraz wspó³rzêdne x

E3

i y

E3

punktu E, zwi¹zanego na sztywno z cz³onem (3). Przy takich za³o¿eniach nale¿y okre-

œliæ trajektoriê punktu E

3

w uk³adzie podstawy O. Zadanie to mo¿na sprowadziæ do

okreœlenia wspó³rzêdnych punktu E

3

w uk³adzie podstawy, czyli x

EO

i y

EO

.

WprowadŸmy uk³ady pomocnicze x

1

O

1

y

1

, x

2

O

2

y

2

i x

3

O

3

y

3

zwi¹zane z kolejnymi

cz³onami i wyraŸmy po³o¿enie punktu E w tych uk³adach. Na podstawie rysunku 77

otrzymamy [4]

76

x

E2

= x

E3

cos j

32

– y

E3

sin j

32

+ l

2

,

y

E2

= x

E3

sin j

32

+ y

E3

cos j

32

,

(64)

x

E1

= x

E2

cos j

21

– y

E2

sin j

21

+ l

1

,

y

E1

= x

E2

sin j

21

+ y

E2

cos j

21

,

(65)

x

E0

= x

E1

cos j

10

– y

E1

sin j

10

,

y

E0

= x

E1

sin j

10

+ y

E1

cos j

10

,

(66)

Mamy w ten sposób szeœæ równañ z szeœcioma niewiadomymi. Po rozwi¹zaniu

tych równañ mo¿na miêdzy innymi otrzymaæ szukane x

E0

i y

E0

. Dla u³atwienia tego

zadania oraz uproszczenia zapisów dogodnie jest przejœæ na zapis macierzowy.

W tym celu przepiszmy jeszcze raz uk³ad równañ (64) uzupe³niony to¿samoœci¹ 1 = 1

x

E2

= x

E3

cos j

32

– y

E3

sin j

32

+ l

2

,

x

E2

= x

E3

sin j

32

+ y

E3

cos j

32

+ 0,

(66a)

1 =

1 · 0

+

1 · 0

+ 1.

Uk³ad równañ (66a) mo¿na zapisaæ w postaci

x
y

l

x
y

E

E

E

E

2

2

32

32

2

32

32

3

3

1

0

0

0

1

1





















=

−









































cos

sin

sin

cos

.

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(67)

£atwo to sprawdziæ dokonuj¹c mno¿enia. Na tej zasadzie, po wprowadzeniu oznaczeñ:

6

32

=

cos

sin

sin

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

32

32

2

32

32

0

0

0

1

−





















l

6

21

=

cos

sin

sin

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

21

21

1

21

21

0

0

0

1

−





















l

6

10

=

cos

sin

sin

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

10

10

10

10

0

0

0

0

1

−





















77

oraz

r

; r

; r

; r

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

x
y

x
y

x
y

x
y

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

1

1

1

1

=





















=





















=





















=





















mo¿na zapisaæ równania (64), (65), (66) w postaci

r

E2

= T

32

r

E3

,

(68)

r

E1

= T

21

r

E2

,

(69)

r

E0

= T

10

r

E1

,

(70)

lub po podstawieniu

r

E0

= T

10

T

21

T

32

r

E3

.

(71)

Po wykonaniu mno¿enia z zapisu (71) otrzymamy

x

E0

= x

E3

cos j

30

– y

E3

sin j

30

+ l

2

cos j

20

+ l

1

cos j

10

,

y

E0

= y

E3

sin j

30

– x

E3

cos j

30

+ l

2

sin j

20

+ l

1

sin j

10

,

(72)

gdzie: j

30

= j

32

+ j

20

,

j

20

= j

21

+ j

10

.

Dok³adnie ten sam wynik (72) otrzymalibyœmy w wyniku rozwi¹zania uk³adu rów-

nañ (64), (65) i (66) przy znacznie wiêkszym nak³adzie pracy. Ró¿nice na korzyœæ

metod macierzowych ujawniaj¹ siê ze szególn¹ si³¹, zw³aszcza podczas badania ³añ-

cuchów przestrzennych.

Trzeba podkreœliæ, ¿e na podstawie zapisów (71) lub (72) mo¿na okreœliæ po³o¿e-

nia dowolnych dwóch punktów zwi¹zanych z cz³onem (3), a wiêc mo¿na okreœliæ

Rys. 78. Ilustracja do macierzowego zapisu ³añcucha zamkniêtego: a) schemat mechanizmu,

b) podzia³ na ³añcuchy otwarte

78

po³o¿enie cz³onu (3). Podobnie mo¿na okreœliæ po³o¿enia pozosta³ych cz³onów ³añcu-

cha, a wiêc równie¿ ich po³o¿enia wzajemne.

Omówiona metoda nadaje siê równie¿ do rozwi¹zywania uk³adów kinematycz-

nych zamkniêtych. Droga wiedzie przez podzia³ ³añcucha zamkniêtego na ³añcuchy

otwarte w wyniku roz³¹czania okreœlonych par kinematycznych. Na przyk³ad badaj¹c

czworobok przegubowy ABCD (rys. 78a) mo¿na wyró¿niæ dwa ³añcuchy kinematycz-

ne otwarte ABC

3

i ADC

4

powsta³e po roz³¹czeniu pary C (rys. 78b). Dla ka¿dego

sk³adowego ³añcucha otwartego nale¿y okreœliæ odpowiednie wspó³rzêdne po³o¿enia

elementów odpowiednich cz³onów i zapisaæ warunki zamykania. Na przyk³ad dla przy-

toczonego czworoboku przegubowego, przy jego podziale jak na rys.78, warunki za-

mykania przyjê³yby postaæ

x

C4

= x

C3

,

y

C4

= y

C3

.

(73)

Otrzymane w ten sposób uk³ady równañ umo¿liwiaja okreœlenie interesuj¹cych

nas parametrów po³o¿enia badanego mechanizmu. Jest to jedna z wielu proponowa-

nych metod.

Bardzo skuteczn¹ i godn¹ polecenia jest metoda polegaj¹ca na podziale badanego

mechanizmu na grupy cz³onów (grupy Assura) i cz³ony czynne. Opracowane dla po-

szczególnych grup zapisy macierzowe [10] umozliwiaja równie¿ (w sposób niemal

schematyczny) zapis funkcji po³o¿enia dla dowolnego p³askiego mechanizmu dŸwi-

gniowego.

Dysponuj¹c zapisem funkcji po³o¿enia mo¿na otrzymaæ nastêpnie poszukiwane

funkcje prêdkoœci i przyspieszeñ poprzez odpowiedni¹ ich obróbkê (ró¿niczkowanie

po czasie).

79

5. Metody numeryczne

Na ogó³ poznane metody graficzne i analityczne s¹ przydatne do analizy stosunko-

wo prostych mechanizmów. Ograniczeniem stosowania metod graficznych jest ich

dok³adnoœæ, a czêsto i przejrzystoœæ konstrukcji geometrycznych. W przypadku me-

tod analitycznych uzyskanie rozwi¹zañ w zamkniêtej postaci jest czêsto ¿mudne i

pracoch³onne. w takich przypadkach mo¿na siêgaæ po zwykle niezawodne (zw³aszca

przy korzystaniu z techniki komputerowej) metody numeryczne.

W praktyce stosuje siê metody numeryczne najczêœciej do korygowania wyników

otrzymanych innym sposobem i traktowanych jako pierwsze przybli¿enia, albo do

zastêpowania wybranych fragmentów obliczeñ. Metod numerycznych jest bardzo wiele,

tu ograniczymy siê jedynie do przytoczenia jednej z nich: metody przyrostów skoñ-

czonych.

5.1. Metoda przyrostów skoñczonych

Metodê przyrostów skoñczonych przedstawimy na przyk³adzie badania ruchu punktu

M po torze k

M

(rys. 79). Interesuje nas prêdkoœæ v

i

i przyspieszenie a

i

ruchu tego

punktu. Do dyspozycji mamy kolejne po³o¿enia tego punktu oznaczone indeksami ...

i – 2, i – 1, i , i + 1, i + 2, ... zajmowane przez niego w równych odstêpach czasu ,t.

Przybli¿one wartoœci sk³adowych prêdkoœci wzd³u¿ osi x i y w po³o¿eniu i mo¿na

wyznaczyæ z zale¿noœci [12]

v

x

x

t

xi

i

x

=

−

+

−

1

1

2

∆

,

(74)

v

y

y

t

yi

i

i

=

−

+

−

1

1

2

∆

.

przy czym oczywiœcie

v

v

v

v
v

i

ix

iy

yi

xi

=

+

=

2

2

,

arctg

α

Podobnie przyspieszenie w po³o¿eniu i okreœlaj¹ wzory

80

a

x

x x
t

xi

i

i

i

=

−

+

+

−

1

1

2

2

∆

,

a

y

y

y

t

yi

i

i

i

=

−

+

+

−

1

1

2

2

∆

,

(75)

przy czym

a

a

a

i

xi

yi

=

+

,

β = arc tg

a
a

yi

xi

.

Nale¿y podkreœliæ, ¿e wyniki uzyskane t¹ metod¹ s¹ z za³o¿enia przybli¿one, przy

czym przybli¿enie to zale¿y dodatkowo od dok³adnoœci okreœlenia przyrostów ,x

i

,

,y

i

oraz wartoœci przedzia³u czasu ,t. Metoda ta mo¿e byæ z powodzeniem stosowana

do okreslania prêdkoœci i przyspieszenia w przypadku, gdy przyrosty po³o¿eñ s¹ okre-

œlone dok³adnie, np. z zale¿noœci anlitycznej – funkcji po³o¿enia. Mo¿na w ten sposób

okreœlaæ równie¿ parametry ruchu w przypadku danych o po³o¿eniu, uzyskanych z

pomiaru. Koniecznoœæ taka wystêpuje np. przy ocenie parametrów ruchu popychacza

w rzeczywistym mechanizmie krzywkowym, gdzie geometria profilu krzywki nie jest

bli¿ej znana. Nale¿y pamiêtaæ, ¿e w takich przypadkach, w wyniku nieodzownych

b³êdów pomiarowych, nale¿y liczyæ siê równie¿ z du¿¹ niedok³adnoœci¹ wyników

obliczeñ, zw³aszcza przy okreœlaniu przyspieszeñ. Zachodzi wtedy potrzeba stosowa-

nia odpowiednich metod statystycznych, które do okreœlania przyspieszeñ w danym

po³o¿eniu mechanizmu stosuj¹ dane z pomiaru w kilku s¹siednich po³o¿eniach. Od-

powiednia metoda numeryczna nazywa siê rachunkiem wyrównawczym [12].

Rys. 79. Ilustracja do metody przyrostów skoñczonych

8 1

6. Analiza i przegl¹d wybranych grup mechanizmów

Omówione w rozdzia³ach 3, 4 i 5 ogólne metody analizy kinematycznej umo¿li-

wiaj¹ badanie praktycznie dowolnego uk³adu kinematycznego. Nale¿y jednak podkre-

œliæ, ¿e podczas analizy pewnych grup mechanizmów preferuje siê czêsto równie¿

inne metody specjalnie dla danej grupy opracowane. Zwróæmy na to uwagê przy oka-

zji dokonywania przegl¹du najbardziej znanych i powszechnie we wspó³czesnej tech-

nice stosowanych grup mechanizmów. Do nich nale¿y zaliczyæ: mechanizmy dŸwi-

gniowe oraz niektóre grupy mechanizmów z parami wy¿szymi.

6.1. Mechanizmy dŸwigniowe

Mechanizmy dŸwigniowe s¹ to mechanizmy, w których wystêpuj¹ tylko pary ni¿-

sze, tj . pary o styku powierzchniowym (rys. 80). Liczne walory tego typu ruchowych

po³¹czeñ sprawi³y, ¿e mechanizmy dŸwigniowe odgrywaj¹ w budowie maszyn zasad-

nicz¹ rolê. Spotkaæ je mo¿na w podstawowych podzespo³ach maszyn i urz¹dzeñ. Wy-

stêpuj¹ w uk³adach przenoszenia i transformacji ruchu, w uk³adach napêdowych i

regulacyjnych, w uk³adach wykonawczych i sterowania. Kilka przyk³adów mechani-

zmów dŸwigniowych zestawiono na rys. 81.

Jako pierwszy (nie bez powodu) przytoczono czterocz³onowy mechanizm p³aski,

zwany czworobokiem przegubowym (rys. 81a), oraz jego odmianê – powszechnie

stosowany uk³ad korbowo-wodzikowy (rys. 81b). Przyk³adami bardziej z³o¿onych me-

chanizmów dŸwigniowych s¹ uk³ad wytrz¹sacza do s³omy (rys. 81c) oraz uk³ad wy-

siêgnika ³adowarki hydraulicznej (rys. 81d). By³y to tzw. mechanizmy p³askie, w

których wszystkie punkty nale¿¹ce do cz³onów ruchomych wykreœlaj¹ trajektorie w

p³aszczyznach równoleg³ych. Jako przyk³ady mechanizmów dŸwigniowych przestrzen-

Rys. 80. Przyk³ady par kinematycznych ni¿szych

82

Rys. 81. Przyk³ady mechanizmów dŸwigniowych

8 3

nych za³¹czono tu powszechnie stosowany uk³ad kinematyczny sprzêg³a Cardana (rys.

81c) oraz manipulator robota (rys. 81f).

6.1.1. P³aski czworobok przegubowy

P³aski czworobok przegubowy tworz¹ cztery cz³ony obrotowe wchodz¹ce z sob¹

w cztery pary obrotowe. Nale¿y do najprostszych, a jednoczeœnie do najczêœciej w

praktyce spotykanych mechanizmów (rys. 82). Wystêpuje w trzech odmianach ró¿-

ni¹cych siê stosunkami wymiarów poszczególnych cz³onów oraz wynikaj¹cymi st¹d

ruchami. Bêdziemy wiêc mówiæ o odmianie korbowo-wahaczowej wtedy, gdy ru-

chowi obrotowemu cz³onu (2), zwanego korb¹, towarzyszy ruch wahad³owy napêdza-

nego cz³onu (4) (rys. 82a). Przy innej proporcji wymiarów obydwa ramiona (2) i (4)

mog¹ wykonywaæ wzglêdem podstawy (1) tylko ruchy obrotowo-zwrotne (rys. 82c).

tak¹ odmianê nazywa sie dwuwahaczow¹. Jest mo¿liwa odmiana, w której ruch obro-

towy cz³onu (2) wywo³uje ruch obrotowy cz³onu (4) (rys. 82b). Mówimy wtedy o

czworoboku dwukorbowym. Przynale¿noœæ badanego uk³adu do jednej z wymienio-

nych odmian mo¿na ustaliæ opieraj¹c siê na tzw. nierównoœciach Grashofa, które mo¿na

bez trudu wyprowadziæ na podstawie rys. 83. Naniesione tu dwa po³o¿enia szczegól-

ne, jakie musz¹ zaj¹æ wzglêdem siebie cz³ony czworoboku przy pe³nym obrocie korby

(2), prowadz¹ wprost do nierównoœci:

l

2

+ l

3

< l

1

+ l

4

,

l

4

< l

3

– l

2

+ l

1

,

l

1

< l

3

– l

2

+ l

4

,

z których po przekszta³ceniu otrzymamy:

l

2

+ l

3

< l

1

+ l

4

,

l

2

+ l

4

< l

1

+ l

3

,

(76)

l

2

+ l

1

< l

3

+ l

4

.

Rys. 82. Podstawowe rodzaje czworoboku przegubowego: a) korbowo-wahaczowy,

b) dwuwahaczowy, c) dwukorbowy

84

Z nierównoœci tych, zwanych czêsto postulatem Grashofa, wynika, ¿e w czworo-

boku korbowo-wahaczowym suma d³ugoœci korby (2) i ka¿dego innego cz³onu jest

mniejsza od sumy d³ugoœci dwóch cz³onów pozosta³ych. Innymi s³owy, w czworobo-

ku korbowo-wahaczowym najkrótszym cz³onem jest korba – cz³on tworz¹cy parê obro-

tow¹ z podstaw¹. Jeszcze inaczej:

– je¿eli s¹ spe³nione zwi¹zki (76) oraz cz³on najkrótszy jest przy podstawie, czwo-

robok jest korbowo-wahaczowy;

– je¿eli przy spe³nionych nierównoœciach (76) cz³on najkrótszy jest ³¹cznikiem,

mamy do czynienia z uk³adem dwuwahaczowym;

– je¿eli postulat Grashofa jest spe³niony i cz³on najkrótszy jest podstaw¹, wystê-

puje czworobok dwukorbowy.

Je¿eli zwi¹zki (76) nie s¹ spe³nione, to czworobok jest dwuwahaczowy.

Z czworoboku, w wyniku zmiany wymiarów geometrycznych cz³onów i par kine-

matycznych, mo¿na otrzymaæ wiele ró¿nych modyfikacji mechanizmów pochodnych,

jak np. mechanizm korbowo-wodzikowy, jarzmowy itd. (rys. 84).

Z czworoboku przegubowego mo¿na wywieœæ wiele prostych i powszechnie stoso-

wanych mechanizmów czterocz³onowych, w wielu zaœ bardziej z³o¿onych mechaniz-

mach daje siê ten charakterystyczny uk³ad czêsto wydzieliæ i wyró¿niæ jako czêœæ istotn¹.

W analizie czworoboku przegubowego mo¿na stosowaæ skutecznie ka¿d¹ z metod

omówionych w rozdzia³ach 3, 4 i 5. Czworobok przegubowy wykorzystano zreszt¹

jako przyk³ad przy omawianiu metody analitycznej (p. 4.1.1). Jak wynika z wyprowa-

dzonych tam zale¿noœci (53), (55) i (57), wartoœci k¹ta obrotu y

4

cz³onu napêdzane-

go (4) (rys. 85) wzglêdem podstawy (1) jego prêdkoœci k¹towej w

4

i przyspieszenia

k¹towego e

4

s¹ wyra¿one z³o¿onymi funkcjami czterech d³ugoœci cz³onów mechani-

zmu i k¹ta obrotu j

2

cz³onu napêdzaj¹cego (2).Przyk³adowe przebiegi tych funkcji

dla czworoboku korbowo-wahaczowego o za³o¿onej geometrii (l

2

/l

1

= 0,325, l

3

/l

1

=

1,125, l

4

/l

1

= 1,025) przedstawiono na rys. 86. Przez dobór odpowiednich wartoœci l

i

mo¿na za pomoc¹ tego mechanizmu realizowaæ nawet bardzo z³o¿one wymagania

dotycz¹ce ruchu wzglêdnego ró¿nych jego cz³onów.

Rys. 83. Po³o¿enie zwrotne czworoboku przegubowego

8 5

Rys. 84. Czworobok przegubowy i jego pochodne

Dowolny punkt M (rys. 85) zwi¹zany na sztywno z ³¹cznikiem (3) (za³ó¿my, ¿e

jego po³o¿enie na ³¹czniku jest opisane wspó³rzêdnymi u i v) zakreœla w uk³adzie

podstawy (1) trajektoriê k

M

, zwan¹ powszechnie krzyw¹ ³¹cznikow¹. Trajektoria ta

86

Rys. 86. Charakterystyki ruchu czworoboku z rys. 85

jest opisana równaniem 6. stopnia o szeœciu parametrach (l

1

, l

2

, l

3

, l

4

, u, v). Dlatego

te¿, jak ³atwo siê domyœleæ, krzywe ³¹cznikowe czworoboku charakteryzuj¹ siê du¿¹

róznorodnoœci¹ kszta³tu odmian i postaci. Kilka przyk³adów takich krzywych wykre-

œlonych przez punkty ³¹cznika tego samego czworoboku przedstawiono na rys. 87.

Du¿a mo¿liwoœæ w zakresie realizacji ró¿norakich kszta³tów krzywych ³¹cznikowych

le¿y u podstaw budowy i dzia³ania wielu podzespo³ów maszyn i urz¹dzeñ. Dla przy-

k³adu przytoczymy tu jedynie uk³ad prowadzenia pi³y poprzecznej przedstawionej na

Rys. 85. Czworobok przegubowy w ruchu

8 7

rys. 88. Wykorzystuje siê tu, w zakresie ruchu roboczego M

1

–M

2

, zbli¿ony do prosto-

liniowego poziomy odcinek trajektorii k

M

zakreœlonej przez punkt M specjalnie do-

branego czworoboku przegubowego ABCD. Tego typu mechanizmy, zwane potocz-

nie prostowodami s¹ stosowane w uk³adach napêdowych (np. w uk³adzie napêdowym

listwy no¿owej kosiarki) w uk³adach wodzenia (np. w ¿urawiach portowych) itd.

Równie czêsto stosuje siê w budowie maszyn fragmenty krzywych ³¹cznikowych

zbli¿one do ³uku ko³a. Przyk³adem (rys. 89) mo¿e byæ uk³ad realizuj¹cy zamianê ci¹-

g³ego ruchu obrotowego cz³onu (2) na ruch przerywany (z przystankami) suwaka (6).

Przerwa w ruchu suwaka (6) wystêpuje wtedy, gdy punkt ³¹cznikowy (M) czworobo-

ku ABCD wêdruje po odcinku M

1

M

2

zbli¿onym do ³uku o œrodku krzywizny

w punkcie E.

Rys. 88. Pi³a poprzeczna jako przyk³ad wykorzystania prostoliniowego odcinka

krzywej ³¹cznikowej czworoboku ABCD

Rys. 87. Przyk³ady krzywych ³¹cznikowych czworoboku przegubowego ABCD

88

Nie przytaczaj¹c ju¿ dalszych przyk³adów mo¿na stwierdziæ, ¿e ró¿norakie mo¿li-

woœci czworoboku przegubowego (zarówno w zakresie realizacji prawa ruchu, jak

i kreœlenia trajektorii) zdecydowa³y o niezwykle powszechnym jego stosowaniu we

wspó³czesnej technice.

6.1.2. Sprzêg³o Cardana

Do przenoszenia ruchu miêdzy wa³ami o osiach przecinaj¹cych siê pod zmiennym

w czasie pracy k¹tem d stosuje siê wiele rozwi¹zañ sprzêgie³ wychylnych synchro-

nicznych (homokinetycznych).

Jednoczeœnie wystêpuje powszechnie w budowie maszyn znane niesynchroniczne

sprzêg³o Cardana. Jest to zdwojony czworobok przestrzenny ABCD (rys. 90), który

w klasycznym rozwi¹zaniu sk³ada siê z dwóch osadzonych na wa³ach (1) i (2) wide³ek

po³¹czonych ze sob¹ za pomoc¹ czteroramiennego krzy¿ulca. Jak ju¿ zasugerowano,

to niesynchroniczne sprzêg³o przenosi obroty z wa³u czynnego na bierny, z pewnym

prze³o¿eniem w

2

/w

1

¹ 1. Przystêpuj¹c do jego okreœlenia zauwa¿ymy, ¿e w czasie

ruchu mechanizmu punkt B opisuje okr¹g ko³a w p³aszczyŸnie prostopad³ej do osi

wa³u (1), punkt C zaœ w p³aszczyŸnie prostopad³ej do osi wa³u (2). K¹t miêdzy tymi

p³aszczyznami jest oczywiœcie równy k¹towi d zawartemu miêdzy osiami wa³ów (1)

i (2).

Zrzutujmy drugi z tych okrêgów na p³aszczyznê okrêgu pierwszego (rys. 90b):

Wychodz¹c z po³o¿enia pocz¹tkowego ramion OB

0

i OC

0

dokonajmy korb¹ OB

wa³u (1) obrotu o k¹t j

1

. Wtedy ramiê OC jako prostopad³e do OB zajmie po³o¿e-

nie OC

1

, przy czym <)C

0

OC

1

= j

1

. Rzeczywist¹ wartoœæ k¹ta obrotu j

2

tego ra-

mienia otrzymamy wykonuj¹c k³ad ko³a g na p³aszczyznê ko³a b, przez obrót ko³a

g, wokó³ osi C

0

O. Punkt C

1

przechodzi wtedy w C

1

' i otrzymujemy <)C

0

OC

1

' = j

2

.

Napiszemy teraz

Rys. 89. Przyk³ad wykorzystania kszta³tu krzywej ³¹cznikowej do zamiany

ci¹g³ego ruchu obrotowego korby AB na ruch przerywany cz³onu (6)

8 9

EC

1

= OE tg j

1

, EC'

1

= OE tg j

2

oraz

EC

EC

EC

OC

1

1

1

′

=

=

cos

δ

i po podstawieniu

tg j

2

cos d = tg j

1

(77)

Jest to zwiazek miêdzy k¹tami obrotu obu wa³ów.

Po zró¿niczkowaniu równania (77) stronami wzglêdem czasu otrzymujemy po prze-

kszta³ceniach zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ prze³o¿enie

ω

ω

δ

ϕ

ϕ

δ

2

1

2

1

2

1

2

=

+

cos

sin

cos

cos

.

(78)

Jak widaæ, prze³o¿enie to zale¿y od k¹ta nachylenia osi d i k¹ta obrotu j

1

, przy

czym:

Rys. 90. Sprzêg³o Cardana: a) schemat kinematyczny, b) rzuty torów b i g punktów B i C,

c) k¹t d pomiêdzy p³aszczyznami ruchu punktów B i C

90

dla

ϕ

π

ω

ω

δ

1

2

1

0

1

=

=

, ,...,

cos

,

dla

ϕ

π

π

ω

ω

δ

1

1

2

2

3

2

=

=

,

,...,

cos .

Innymi s³owy

cos

cos

.

δ

ω

ω

δ

≤

≤

2

1

1

(79)

Przyspieszenie k¹towe e

2

wa³u biernego otrzymamy po zró¿niczkowaniu równa-

nia (78). Po wykonaniu ró¿niczkowania i uporz¹dkowaniu otrzymamy, zak³adaj¹c ¿e

w

1

= const

ε

ω

ϕ

δ

δ

ϕ

ϕ

δ

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

= −

+

sin

sin

cos

(sin

cos

cos )

.

(80)

Charakter zmian w

2

i e

2

w funkcji k¹ta obrotu j

1

i k¹ta wychylania d mo¿na

przeœledziæ z wykresów (rys. 91a i b). Jak wynika z ich analizy, zmiany prêdkoœci

k¹towej cz³onu biernego dwukrotnie powtarzaj¹ce siê w ramach jednego obrotu s¹

bardzo wyraŸne, zw³aszcza przy wiêkszych k¹tach. Szczególnie niekorzystnie przed-

stawiaj¹ siê zmiany przyspieszeñ k¹towych, które s¹ przyczyn¹ k³opotliwych zjawisk

dynamicznych. W celu ich unikniêcia, przy wiêkszych k¹tach nachylenia d korzyst-

ne jest stosowanie zestawu podwójnych sprzêgie³ (rys. 92). Je¿eli osie wa³ów (1), (2)

i (3) le¿¹ w jednej p³aszczyŸnie oraz wide³ki wa³u poœrednicz¹cego (2) s¹ ustawione

w jednej p³aszczyŸnie, to zachodz¹ wtedy, zgodnie z (77), zale¿noœci:

tg j

1

= tg j

2

cos d

12

,

tg j

3

= tg j

2

cos d

23

,

czyli

tg

tg

cos
cos

.

ϕ

ϕ

δ
δ

1

2

12

23

=

(81)

Jak nietrudno zauwa¿yæ, gdy d

12

= ±d

23

, mamy

j

3

= j

1

i

w

3

= w

1

.

9 1

Jest to niezwykle korzystne zjawisko, trzeba jednak z naciskiem podkreœliæ, ¿e

wystêpuje tylko wtedy, gdy wide³ki wa³u poœrednicz¹cego (2) le¿¹ w jednej p³aszczy-

Ÿnie.Przy ustawieniu tych wide³ek w stosunku do siebie pod k¹tem prostym (co czêsto

mo¿na spotkaæ w wadliwie zmontowanych uk³adach) zachodzi

tg

tg

ϕ

ϕ

δ

δ

1

3

12

23

= cos

cos

,

co oznacza istnienie, wtedy ju¿ niebezpiecznie zwielokrotnionego, przyspieszenia k¹-

towego cz³onu napêdzanego.

Rys. 91. Charakterystyki ruchu wa³u biernego sprzêg³a Cardana: a) przebiegi zmian

w

2

/w

1

= f(j

12

) dla ró¿nych k¹tów wychylenia osi wa³ów, b) przebiegi zmian e

2

/w

1

= f(j

1

)

dla ró¿nych k¹tów wychylenia osi wa³ów

92

6.1.3. Manipulatory

Wprowadzenie

Pojêciem „manipulator” bêdziemy okreœlaæ uk³ad mechaniczny przeznaczony do

realizacji niektórych funkcji koñczyny górnej cz³owieka. Urz¹dzenia te pojawi³y siê

w I po³owie XX wieku i s¹ stosowane dziœ coraz powszechniej, zw³aszcza tam, gdzie

bezpoœrednia obecnoœæ cz³owieka jest niemo¿liwa lub niewskazana, np. ze wzglêdu

na:

РradioaktywnoϾ,

– ciœnienie (wysokie i niskie),

– temperaturê (wysok¹ i nisk¹),

РtoksycznoϾ,

– inne (kosmos, g³êbie oceanu ...).

Pocz¹tkowo tworzono je na wzór rêki ludzkiej, w podobne wyposa¿ano je czêœci

(rys. 93) i od ³aciñskiego s³owa „manus” nadano mu nazwê. Dziœ przyjmuj¹ formy ju¿

Rys. 92. Schemat podwójnego sprzêg³a Cardana

Rys. 93. Manipulator antropomorficzny

9 3

zwykle nie antropomorficzne i znajduj¹ ró¿norakie zastosowania. Cykl rozwojowy

ich zastosowañ zademonstrowano pog³¹dowo na rys. 94.

W pierwszych okresach rozwoju manipulatorów (pocz¹tek 1947 r.), s³u¿y³y one do

powielania ruchów rêki ludzkiej w odizolowanej od cz³owieka przestrzeni (rys. 94a).

Te pierwsze rozwi¹zania by³y jeszcze ma³o doskona³e – mechaniczne zwykle sprzê¿e-

nie obu manipulatorów nie zapewnia³o potrzebnej dok³adnoœci i nie pozwala³o na

wieksze obci¹¿enia. Z tego powodu nastêpne manipulatory wyposa¿ano w napêdy

zasilane z oddzielnych Ÿróde³ (rys. 94b) – te znów nie dawa³y obs³uguj¹cemu poczu-

cia obci¹¿enia.

Wady tej nie mia³y ju¿ rozwi¹zania manipulatorów obs³ugiwanych za pomoc¹ ser-

womechanizmów (rys. 94c) zapewniaj¹cych odpowiednie proporcjonalne wspomaga-

nie wysi³ku ludzkiego.

Ca³kowita eliminacja udzia³u cz³owieka w tym procesie by³a mo¿liwa dopiero przez

ROBOTA (rys. 94d).

Urz¹dzenia te, przystosowane dziœ do realizacji ró¿nych czynnoœci manipulacyj-

nych i lokomocyjnych, charakteryzuj¹ siê okreœlonym poziomem energetycznym i

informacyjnym. Przechodz¹ obecnie gwa³towny rozwój poprzez ich kolejne genera-

cje. Jeden z przyk³adów podzia³u na generacje podano w tab. 4.

Pozostawiaj¹c z³o¿ony problem robotów i ich rozwoju, zajmiemy siê dalej tylko

zagadnieniem budowy ich mechanicznych ramion, tzn. manipulatorów.

Struktura manipulatorów

Zadaniem manipulatora jest sterowanie ruchem czêœci chwytnej, zwanej kiœci¹ lub

chwytakiem [9]. Najogólniej punkt P tego chwytaka (rys. 95) powinien osi¹gaæ do-

wolny punkt okreœlonej przestrzeni przy dowolnym zorientowaniu osi a. Oznacza to,

Tabela 4

94

Rys. 94. Ilustracja rozwoju manipulatorów: a) sterowany rêcznie, b) z napêdem mechanicznym,

c) z napêdem serwomechaniczym, d) sterowany wg programu komputerowego

9 5

¿e na ogó³ chwytak powinien dysponowaæ mo¿liwoœci¹ przemieszczeñ wzd³u¿ trzech

osi wspó³rzêdnych oraz obrotu wokó³ trzech osi. Dodatkowo niezbêdny jest te¿ jeden

ruch chwytny palca [8].

W sumie liczba stopni swobody F chwytaka, zapewniaj¹ca ogóln¹ mo¿liwoœæ

czynnoœci manipulacyjnych, wynosi siedem (F = 7). W rzeczywistoœci liczba F mo¿e

byæ mniejsza w przypadkach specjalistycznych lub wiêksza, je¿eli usprawiedliwiaj¹

to szczególne okolicznoœci. Ogólnie wiêc spotkaæ mo¿na

3 £ F £ 9.

Najczêœciej manipulator stanowi ³añcuch kinematyczny otwarty o szeregowym po-

³¹czeniu ze sob¹ kolejnych jego cz³onów, z parami kinematycznymi I klasy, zwykle

obrotowymi lub postêpowymi. Nawet przy takich ograniczeniach liczba teoretycznie

mo¿liwych odmian budowy omawianych urz¹dzeñ jest bardzo du¿a. Rozwa¿my dla

przyk³adu niektóre odmiany uk³adów tego typu, opartych na ³añcuchach otwartych

z³o¿onych z trzech cz³onów i dwóch par kinematycznych. Je¿eli dopuœciæ tylko dwie

odmiany par – postêpow¹ i obrotow¹ – otrzymamy prostymi metodami kombinatoryki

zestawienie mo¿liwych odmian (rys. 96a). Je¿eli tylko uwzglêdniæ dwie pozycje usta-

wienia osi pary drugiej wzglêdem pierwszej, otrzymamy przypadki zestawione na

rys. 96b. Oczywiœcie liczba mo¿liwych rozwi¹zañ ³añcuchów szybko roœnie wraz z

liczb¹ cz³onów i par. Przy ³añcuchach z³o¿onych z czterech cz³onów i trzech par kine-

mattycznych, uwzglêdniaj¹c tylko kolejnoœæ przyjêtych par postêpowych i obroto-

wych, otrzymamy przypadki zestawione w tabeli 5. Ka¿dy z wymienionych w tej

Rys. 95. Ilustracja stopni swobody chwytaka manipulatora

96

Rys. 96. Przyk³ady struktur manipulatorów dwucz³onowych: a) rozwi¹zania ogólne,

b) rozwi¹zania szczególne

tabeli przypadków reprezentuje ca³¹ rodzinê rozwi¹zañ ró¿ni¹cych siê wzajemnym

ustawieniem osi par. Na rysunku 97 zestawiono dla przyk³adu kilka ró¿nych praktycz-

nie stosowanych rozwi¹zañ.

Poza rozwi¹zaniami typowymi mo¿na równie¿ spotkaæ próby budowy manipulato-

rów do zadañ specjalnych. Niektóre z nich nawi¹zuj¹ do bardzo oryginalnych i œmia-

³ych rozwi¹zañ (rys. 98).

Struktura chwytaków

Spotykane wykonania chwytaków (rys. 99) ró¿ni¹ siê pomiêdzy sob¹ wieloma ce-

chami, g³ównie jednak liczb¹ elementów chwytnych (palców) oraz rodzajem ruchów

tych elementów. Najczêœciej s¹ to proste ruchy postêpowe (rys. 99a) lub obrotowe

(rys. 99b), ale mo¿na te¿ spotkaæ ruchy ogólne p³askie czy np. ruchy translacyjne

9 7

Tabela 5

Rys. 97. Przyk³ady manipulatorów zastosowanych w robotach

98

Rys. 98. Przyk³ady poszukiwañ rozwi¹zañ do zadañ specjalnych: a) manipulator segmentowy dŸwi-

gniowy, b) z segmentami obrotowymi, c) w formie tr¹by s³onia

9 9

Rys. 99. Przyk³ady struktur chwytaków: a) z palcami o ruchu postêpowym, b) o ruchu obrotowym,

c) o ruchu z³o¿onym, d) wieloprzegubowymi

(rys. 99c) zapewniaj¹ce równoleg³e prowadzenie palców przy zamykaniu. Do chwyta-

nia elementów o nieokreœlonych bli¿ej kszta³tach s¹ stosowane czasem uchwyty juz

bardzo wyszukane, np. przedstawione na rys. 99d. Dalsze ró¿nice w budowie chwyta-

ków wynikaj¹ ze sposobu wymuszania ruchu palców. Zwykle ruchem wymuszaj¹cym

(czynnym) w tym uk³adzie jest ruch postêpowy T

ij

(ruch t³oka wzglêdem cylindra w

si³owniku hydraulicznym czy pneumatycznym, ruch rdzenia wzglêdem cewki elektro-

magnesu). Zamianê takiego ruchu T na ruch obrotowy R lub ogólny RT palców

realizuje siê w praktycznych wykonaniach w sposób przedstawony np. na rys. 100.

Odmiennie te¿ kszta³towane s¹ same zakoñczenia palców, stosownie do potrzeb mog¹

byæ p³askie i uprofilowane, sta³e i wychylne, sztywne i elastyczne itd.

Podstawowe cechy eksploatacyjne manipulatorów

U¿ytkownika manipulatora mog¹ interesowaæ takie cechy eksploatacyjne, jak:

РmanewrowoϾ,

– strefa robocza,

– wspó³czynnik serwisu.

Manewrowoœæ. Pojêcie to okreœla siê liczb¹ m stopni swobody cz³onów manipu-

latora przy unieruchomionym uchwycie. Aby wyjaœniæ istotê rzeczy, przeanalizujemy

przyk³adowy manipulator przedstawiony na rys. 101a. Przy takim wykonaniu uchwyt

(5) ma szeϾ stopni swobody (W

5

= 6). Je¿eli uchwyt (5) w tym manipulatorze

unieruchomiæ, to pozosta³e cz³ony ruchome (2), (3), (4) maj¹ zero stopni swobody

wzglêdem podstawy (W

234

= 0). Manipulator ten charakteryzuje siê manewrowoœci¹

równa zeru (m = 0). Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e kolejny przyk³adowy manipulator, przed-

stawiony na rys. 101b, charakteryzuje manewrowoœæ m = 1. Cz³ony (2) i (3) mog¹

realizowaæ ruch obrotowy wokó³ osi ³¹cz¹cej obydwa przeguby kuliste. Ta cecha ma-

nipulatora jest istotna, gdy¿ umo¿liwia doprowadzenie chwytaka (4) w okreœlone po-

100

³o¿enie przy ró¿nym uk³adzie w przestrzeni cz³onów (2) i (3). Jest to konieczne np.

przy omijaniu okreœlonych przeszkód w przestrzeni manipulacji.

Strefa robocza. Tak nazywa siê miejsce manipulacji chwytaka. Jest to inaczej

zbiór mo¿liwych po³o¿eñ punktu mocowania przemieszczanego manipulatorem

przedmiotu.

Rys. 101. Ilustracja pojêcia „manewrowoœæ manipulatora”: a) ruchliwoœæ W

234

= 0,

b) ruchliwoϾ W

23

= 1

Rys. 100. Przyk³ady wymuszania ruchu palców w chwytakach manipulatorów

101

Wielkoœæ i kszta³t strefy roboczej zale¿y od struktury manipulatora i jego wymia-

rów geometrycznych. Zwykle jest to czêœæ przestrzeni (rys. 102a), ale mo¿e byæ rów-

nie¿ fragment powierzchni (rys. 102b), a nawet w szczególnych przypadkach frag-

ment linii (rys. 102c).

Strefy robocze dzieli siê dodatkowo na klasy w zaleznoœci od istnienia okreœlo-

nych ograniczeñ, np. przeszkód.

Rys. 102. Przyk³ady strefy roboczej manipulatora: a) przestrzeñ, b) powierzchnia, c) linia

102

Rys. 103. Ilustracja pojêcia „wspó³czynnik serwisu”: g – k¹t bry³owy

wyznaczony przez oœ a chwytaka

Wspó³czynnik serwisu. Przedmiot o kszta³cie kulistym (i zbli¿onym do kulistego)

umieszczony w punkcie P strefy roboczej mo¿e byæ podjêty przez chwytak manipula-

tora na ogó³ przy ró¿nym usytuowaniu osi tego chwytaka (rys. 103). W³aœciwoœæ ta

(bardzo wa¿na z punktu widzenia eksploatacji) nazywa siê serwisem i jest opisana

iloœciowo tzw. wspó³czynnikiem serwisu. Wspó³czynnik ten wyra¿a siê stosunkiem

wartoœci k¹ta bry³owego (y), w którym mo¿e zajmowaæ po³o¿enie oœ a chwytaka do

ca³kowitego k¹ta bry³owego (4p)

θ

ψ

π

=

4

(82)

lub inaczej

θ = s

S

,

(83),

gdzie: s – powierzchnia okreœlona zbiorem punktów przeciêcia osi a uchwytu z po-

wierzchni¹ kuli (czasza),

S – powierzchnia ca³ej kuli.

Widaæ z tego, ¿e

0 £ q £ 1,

przy czym q = 0 na granicach przestrzennej strefy roboczej.

Do wyznaczenia liczbowej wartoœci wspó³czynnika niezbêdna jest znajomoœæ struk-

tury i geometrii uk³adu oraz po³o¿enie punktu w strefie roboczej. Na przyk³ad dla

manipulatora przedstawionego na rys. 104a wspó³czynnik q dla punktu P, przyjête-

go tak, ¿e AP + PC < CB + BA (czworobok ABCP jest korbowo-wahaczowy), jest

103

Rys. 104. Wspó³czynnik serwisu jest funkcj¹ geometrii manipulatora: a) q = 1, gdy ABCP jest

czworobokiem korbowo-wahaczowym, b) q < 1, gdy ABCP jest czworobokiem dwuwahaczowym

równy jeden (q = 1). W pozosta³ych przypadkach, tzn. gdy czworobok ABCP jest

dwuwahaczowy (rys. 104b), q < 1.

Analiza kinematyczna i dynamiczna manipulatora

Zagadnienie zwi¹zane z wyznaczaniem parametrów kinematyki i dynamiki rozpa-

truje siê metodami ogólnymi, wykorzystywanymi do analizy uk³adów kinematycz-

nych. To samo dotyczy ich projektowania. Jednak w przypadku projektowania nale¿y

zwróciæ szczególn¹ uwagê na uzyskanie:

– minimalnej energii kinetycznej,

– minimalnych strat na tarcie,

– maksymalnego wspó³czynnika sprawnoœci,

– minimalnych czasów przejœæ pomiêdzy wymaganymi po³o¿eniami.

G³ówne problemy zwi¹zane z uk³adami manipulatorów to: dok³adnoœæ i obci¹¿e-

nia dynamiczne

6.2. Mechanizmy z parami wy¿szymi

Okreœlenie to odnosimy do mechanizmów, w których, oprócz innych, wystepuj¹

pary wy¿sze (o styku liniowym lub punktowym). Kilka przyk³adów par wy¿szych

przedstawiono na rys. 105. Mechanizmy z takimi parami nie s¹ zalecane do stosowa-

nia przy du¿ych obci¹¿eniach (naciski jednostkowe, zu¿ycie, ...) wyró¿niaj¹ sie jed-

nak ciekawymi walorami kinematycznymi.

104

Przez odpowiednie ukszta³towanie elementów par wy¿szych mo¿na uzyskaæ reali-

zacjê praktycznie dowolnego prawa ruchu. Do najbardziej znanych i stosowanych w

technice odmian mechanizmów z parami wy¿szymi nale¿¹:

– krzywkowe,

– zêbate.

6.2.1. Mechanizmy krzywkowe

Mechanizmy krzywkowe mo¿na spotkaæ przede wszystkim w uk³adach rozrz¹d-

czych i regulacyjnych automatów i pó³automatów. Spe³niaj¹ te ró¿norakie funkcje

dziêki mo¿liwoœci realizacji zamiany i przekszta³cenia dowolnego ruchu cz³onu czyn-

nego na dowolny ruch cz³onu biernego.

Istotnym elementem ka¿dego mechanizmu krzywkowego jest krzywka spe³niaj¹ca

zwykle rolê cz³onu czynnego. Wspó³pracuje ona bezpoœrednio z cz³onem biernym,

zwanym popychaczem (lub poprzez cz³on poœrednicz¹cy w postaci kr¹¿ka), tworz¹c z

nim tzw. parê kinemtayczn¹ wy¿sz¹. Prosty przyk³ad p³askiego mechanizmu krzyw-

kowego przedstawiono na rys. 106. W mechanizmie tym ruchowi obrotowemu krzyw-

ki (2) towarzyszy ruch wahad³owy popychacza (4), przy czym charakter tego ruchu

zale¿y przede wszystkim od kszta³tu samej krzywki. Dziêki temu w³aœnie mo¿na, ko-

rzystaj¹c z mechanizmów krzywkowych, realizowaæ w zasadzie dowoln¹ charakte-

rystykê ruchu. Uzyskuje siê to przy stosunkowo prostej i zwartej budowie tych me-

Rys. 105. Przyk³ady par wy¿szych

Rys. 106. Przyk³ad mechanizmu krzywkowego: 1 – podstawa,

2 – krzywka obrotowa, 4 – popychacz wahliwy z kr¹¿kiem 3

105

chanizmów. Wad¹ jest ich szybkie zu¿ywanie siê bie¿ni krzywki na skutek du¿ych

nacisków jednostkowych (para wy¿sza). Uci¹¿liwym mankamentem tych mechani-

zmów jest zwykle wysoki koszt wykonania oraz du¿a ich wra¿liwoœæ na niedok³ad-

noœæ wykonania. Ogromna ró¿norodnoœæ spotykanych postaci tych mechanizmów stwa-

rza potrzebê dokonania okreœlonego podzia³u i systematyki. W literaturze istnieje wiele

propozycji z tej dziedziny, wszystkie jednak s¹ w jakimœ stopniu dyskusyjne i niedo-

skona³e. W tej sytuacji, rezygnuj¹c z kolejnej takiej próby, dokonano poni¿ej przegl¹-

du jedynie ich podstawowych elementów sk³adowych, jakimi s¹: krzywka i popy-

chacz. Elementy te dzieli siê wed³ug ró¿nych cech i kryteriów, najistotniejsze zesta-

wiono w tabeli 6. W œlad za przytoczonymi kryteriami, na rys. 107 zestawiono przy-

k³ady najczêœciej spotykanych krzywek, na rys. 108 natomiast przyk³ady popychaczy

i ich zakoñczeñ. Kojarz¹c ze sob¹ te elementy mo¿na utworzyæ pokaŸn¹ liczbê ró¿-

nych mechanizmów krzywkowych. Kilka takich skojarzeñ zestawiono przyk³adowo

na rys. 109. Tak utworzonym mechanizmom krzywkowym mo¿na przypisywaæ okre-

œlenia zawieraj¹ce typy ich elementów sk³adowych. Na rysunku 109d przedstawiono

mechanizm krzywkowy p³aski z³o¿ony z krzywki pojedynczej o ruchu obrotowym

wspó³pracuj¹cej z popychaczem o ruchu z³o¿onym zakoñczonym rolk¹. Wa¿ne dla

pracy mechanizmów krzywkowych jest zapewnienie ci¹g³ego kontaktu popychacza z

bie¿ni¹ krzywki. Uzyskuje sie to wykorzystuj¹c dzia³aj¹c¹ na popychacz si³ê ciê¿ko-

Tabela 6

106

œci lub (zainstalowanej specjalnie) sprê¿yny (rys. 110). Mówimy wtedy o si³owym

zamkniêciu mechanizmu krzywkowego. Ci¹g³y kontakt popychacza z krzywk¹, nie-

zale¿nie od sposobu obci¹¿enia popychacza, mo¿na uzyskaæ równie¿ w wyniku odpo-

wiedniego rozwi¹zania krzywki lub popychacza (rys. 111). Takie mechanizmy nazy-

wamy kinematycznie zamkniêtymi. Problem zamkniêcia mechanizmów krzywko-

wych jest istotny, zw³aszcza w uk³adach szybkobie¿nych, w których ze szczególn¹

si³¹ uzewnêtrzniaj¹ siê dzia³aj¹ce na popychacz si³y bezw³adnoœci. Wi¹¿¹ siê one z

wartoœci¹ i rozk³adem przyspieszeñ popychaczy. W spotkanych rozwi¹zaniach me-

chanizmów krzywkowych szybkobie¿nych przyspieszenia popychaczy zmieniaj¹ siê

(tak s¹ zaprojektowane) wed³ug krzywych regularnych trygonometrycznych lub geo-

metrycznych, np.: sinusoidy, cosinusoidy, przebiegu prostoliniowego, trapezowego.

Rys. 107. Przyk³ady rodzajów krzywek

107

Przebiegi przyspieszeñ stanowi¹ podstawow¹ charakterystykê mechanizmów krzyw-

kowych i s¹ punktem wyjœcia w procesie ich projektowania.

Problemy analizy kinematycznej

Niech bêdzie dany p³aski mechanizm krzywkowy, z krzywk¹ obrotow¹ i popycha-

czem o ruchu postêpowym, zakoñczonym kr¹¿kiem (rys. 112a). Przeanalizujemy na

pocz¹tek najprostsze zagadnienie kinematyki: okreœlenia nowego po³o¿enia popycha-

cza po obrocie krzywki o k¹t np. j = 30°. Wybieraj¹c metodê graficzn¹, rozpocznie-

Rys. 108. Przyk³ady odmian poychaczy: a) podzia³ wg ruchów, b) podzia³ wg rodzaju zakoñczenia

108

Rys. 109. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych

my od wyznaczenia ekwidystanty b (rys. 112b), czyli krzywej równoleg³ej do zarysu

krzywki wykreœlonej przez punkt B popychacza w uk³adzie krzywki. Krzyw¹ tê

mo¿na otrzymaæ w praktyce jako obwiedniê okrêgów wykreœlonych promieniem kr¹¿ka

r

k

z punktów le¿¹cych na zarysie krzywki. Do dalszej analizy dogodnie jest przyj¹æ

równorzêdny kinematycznie mechanizm krzywkowy (rys. 112c), w którym przy pozo-

sta³ych nie zmienionych warunkach wspó³pracuje z popychaczem zakoñczonym ostrzem

krzywka o zarysie ekwidystanty.

Rys. 110. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych zamkniêtych si³owo: a) si³¹ ciê¿koœci,

b) si³¹ sprê¿yny

109

Rys. 111. Przyk³ady mechanizmów krzywkowych kinematycznie zamkniêtych

Rys. 112. Konstrukcja nowego po³o¿enia punktu B popychacza przy danym obrocie krzywki

110

Aby unikn¹æ przy wykreœlaniu nowego po³o¿enia popychacza przerysowywania

z³o¿onego zwykle zarysu krzywki, rozpatrzmy interesuj¹cy nas ruch wzglêdny popy-

chacza i krzywki w uk³adzie krzywki. W tym celu przy unieruchomionej krzywce

obrócimy osi¹ popychacza o k¹t j w kierunku przeciwnym do ruchu krzywki. Oczy-

wiœcie, nowe po³o¿enie osi popychacza wzglêdem krzywki mo¿na znaleŸæ prowadz¹c

pod k¹tem j w stosunku do po³o¿enia pierwotnego, styczn¹ do okrêgu k wykreœlone-

go ze œrodka O promieniem mimoœrodu e. Po znalezieniu w ten sposób punktu B

2

*

(rzeczywistego punktu styku popychacza z bie¿ni¹ krzywki) znajdziemy punkt B

2

przez

obrót B

2

* wokó³ œrodka obrotu O. Odcinek B

1

B

2

= S jest drog¹ przebyt¹ przez

punkt B przy za³o¿onym obrocie krzywki o k¹t j.

Powtarzaj¹c tak¹ operacjê wielokrotnie dla kolejnych równych k¹tów obrotu krzywki

otrzymamy, przy sta³ej prêdkoœci k¹towej krzywki (w = const), tor ocechowany punk-

tu B popychacza oraz ca³kowit¹ drogê tego punktu, czyli skok H popychacza (rys.

113a).

Tor ten mo¿e byæ wykorzystany wprost do okreœlenia chwilowych prêdkoœci i przy-

spieszeñ (metoda toru ocechowanego) lub te¿ do wyznaczenia pe³nej charakterystyki

ruchu popychacza w postaci wykresu S(j) (rys. 113b). Nale¿y w tym celu przyj¹æ na

osi j odcinek reprezentuj¹cy w okreœlonej podzia³ce pe³ny k¹t obrotu krzywki i podzie-

liæ go na tyle równych odcinków, na ile dzielono k¹t obrotu krzywki podczas wykre-

œlania toru ocechowanego. Punkt szukanej krzywej S(j) znajdziemy w sposób przed-

stawiony na rys. 113b na przyk³adzie punktu drugiego.

Z krzywej tej, poprzez ró¿niczkowanie graficzne, mo¿na z kolei otrzymaæ przebieg

zmian prêdkoœci v(j) oraz przyspieszeñ a(j) popychacza (rys. 113c). Jest to typo-

wa i powszechnie stosowana metoda badania ruchu popychacza w mechanizmach

krzywkowych.

Charakterystykê ruchu popychacza w postaci v(j) czy a(j) mo¿na sporz¹dziæ rów-

nie¿ na podstawie metody planów prêdkoœci i przyspieszeñ. Dogodnie jest wtedy za-

st¹piæ mechanizm krzywkowy (rys. 114a) równowa¿nym mu mechanizmem zastêp-

czym (rys. 114b i c).

Przyk³adowo stosuj¹c jarzmowy schemat zastêpczy i korzystaj¹c ze zwi¹zków:

v

v

v

B

A

BA

=

+

a

a

a

a

a

B

A

BA

c

BA

n

BA

=

+

+

+

otrzymamy plan prêdkoœci (rys. 115a) oraz przyspieszeñ (rys. 115b).

Metoda planów zapewnia wyniki dok³adniejsze, lecz jest bardziej pracoch³onna i

dlatego jest preferowana raczej do badania chwilowych parametrów ruchu – w jed-

nym lub kilku po³o¿eniach mechanizmu.Oczywiœcie, przy okreœlonym zarysie krzyw-

ki, do okreœlenia prêdkoœci i przyspieszeñ w sposób analityczny lub numeryczny, mo¿na

zastosowaæ inne metody analizy [12].

111

Rys. 114. Mechanizmy zastêpcze mechanizmu krzywkowego: a) mechanizm krzywkowy,

b), c) mechanizmy zastêpcze

Rys. 113. Analiza ruchu popychacza mechanizmu krzywkowego: a) schemat mechanizmu

krzywkowego, b) wykres drogi popychacza, c) wykresy prêdkoœci i przyspieszeñ popychacza

112

Rys. 116. K¹t nacisku a . a) mechanizm krzywkowy, b) rysunek pomocniczy

do wyprowadzenia wzoru okreœlaj¹cego a

Rys. 115. Wykorzystanie mechanizmu zastêpczego do analizy ruchu punktu B popychacza

metod¹ planu prêdkoœci i przyspieszeñ

K¹t nacisku

Ruch popychacza w mechanizmie krzywkowym (rys. 116a) odbywa siê w wyniku

oddzia³ywania nañ krzywki z si³¹ P. Je¿eli nie uwzglêdniaæ tarcia, si³a ta dzia³a

wzd³u¿ normalnej n–n, tj. pod pewnym k¹tem a do kierunku ruchu popychacza.

Z prostego rozk³adu tej si³y widaæ, ¿e sk³adowa T jest si³¹ bezu¿yteczn¹, a nawet

wrêcz szkodliw¹. Dzia³aj¹c bowiem na ramieniu h, powoduje zginanie trzonu popy-

chacza oraz niepo¿¹dane si³y oddzia³ywania w prowadnicy, które przyspieszaj¹ jej

zu¿ycie i pogarszaj¹ sprawnoœæ mechaniczn¹ uk³adu.

113

Poniewa¿ si³a T = P sin a zale¿y od wartoœci k¹ta a, który, zwany dalej k¹tem

nacisku, bêdzie przedmiotem naszego zainteresowania. Na podstawie rys. 116b

tg

,

α =

=

−

CD

AC

OD e

AC

gdzie

AC S

S

r

e

S

o

o

=

+ =

−

+

2

2

Po uwzglêdnieniu, ¿e (z rys. 116b)

v

B

/v

A

= OD/OA

oraz

v

A

= w OA; v

B

=

d

d

;

S

t

S

d

d

=

ϕ

ω

gdzie j – k¹t obrotu krzywki

OD =

d

d

S

ϕ

Ostatecznie

tg

α

ϕ

=

−

−

+

d
d

.

S e

r

e

S

o

2

2

(84)

Jak wynika z tej zale¿noœci, wartoœæ k¹ta a (a wiêc i wartoœæ sk³adowej T) zale¿y

nie tylko od realizowanej przez mechanizm charakterystyki ruchu

S S

, d

d

ϕ











, ale rów-

nie¿ od wartoœci parametrów konstrukcyjnych r

o

i e. Te ciekawe spostrze¿enia bêd¹

wykorzystywane w procesie projektowania mechanizmów krzywkowych. Dla odpo-

wiednich wartoœci parametrów konstrukcyjnych mo¿na uzyskaæ zak³adane watroœci

k¹ta nacisku, a wiêc i dopuszczalny rozk³ad si³ oddzia³ywania w ca³ym mechanizmie

krzywkowym.

6.2.2. Mechanizmy zêbate

Do zamiany i przeniesienia ruchu z jednego wa³u na drugi stosuje siê najczêœciej, i

to ju¿ od bardzo odleg³ych czasów, mechanizmy z³o¿one z kó³ zêbatych. Nosz¹ one

zwyle nazwê przek³adni.

Ze wzglêdu na wzajemne usytuowanie osi wa³ów, na których s¹ osadzone zazêbia-

j¹ce siê ze sob¹ ko³a, rozró¿niamy przek³adnie:

114

Rys. 117. Istota podzia³u prostych przek³adni zêbatych: a) walcowa, b) sto¿kowa,

c) œrubowa, d) œlimakowa

– walcowe, gdy osie kó³ s¹ równoleg³e (rys. 117a),

– sto¿kowe, gdy osie kó³ siê przecinaj¹ (rys. 117b),

– œrubowe, gdy osie kó³ s¹ zwichrowane (rys. 117c),

– œlimakowe, gdy osie kó³ s¹ zwichrowane i prostopad³e (rys. 117d).

Ko³a zêbate walcowe (jak równie¿ sto¿kowe) mog¹ byæ zazêbione zewnêtrznie

(rys. 118a) lub wewnêtrznie (rys. 118b), mo¿na je dalej rozró¿niaæ wed³ug kszta³tu

zarysu zêbów, linii zêbów itd. Pomijaj¹c szczegó³owy przegl¹d tych zagadnieñ, wspo-

mnimy tylko o istnieniu tzw. „kó³ nieokr¹g³ych”, zwanych równie¿ tarczami zêbaty-

mi, wystêpuj¹cych w przek³adniach realizuj¹cych zmienne prze³o¿enie w ramach jed-

115

nego cyklu (rys. 119a) oraz o tzw. „ko³ach niepe³nych” stosowanych do uzyskiwania

ruchu przerywanego (rys. 119b).

Przek³adnie bêdziemy dzieliæ dalej na:

– sta³e, w których osie kó³ s¹ nieruchome,

– obiegowe, w których osie pewnych kó³ wykonuj¹ ruch obrotowy wokó³ osi in-

nych kó³.

Przek³adnie sta³e

Przek³adnie sta³e nale¿¹ do mechanizmów powszechnie stosowanych w budowie

maszyn i wystêpuj¹ w licznych i ró¿nych odmianach. Najprostszym ich przyk³adem

jest przek³adnia jednostopniowa z³o¿ona z dwóch wspó³pracuj¹cych ze sob¹ kó³ zêba-

tych (rys. 118).

Istotnym parametrem opisuj¹cym pracê ka¿dej przek³adni jest tzw. prze³o¿enie,

rozumiane jeko stosunek predkoœci k¹towych rozpatrywanych dwóch kó³ zêbatych

i

kl

= w

k

/w

l

.

Dla przek³adni jednostopniowej z rys. 118, przedstawionej jeszcze raz na rys. 120,

prze³o¿enie mo¿na wyraziæ w postaci

i

S O

S O

R

R

12

1

2

12

2

12 1

2

1

=

= ±

= ±

ω

ω

,

(85)

gdzie: S

12

– chwilowy œrodek obrotu ko³a (1) wzglêdem (2) okreœlony jako punkt

styku kó³ toczonych,

R

1

i R

2

– promienie kó³ podzia³owych kó³ (1) i (2).

Proste przekszta³cenia prowadz¹ do wyra¿enia

i

Z

Z

12

1

2

2

1

=

= ±

ω

ω

,

(86)

w którym Z

1

, Z

2

– liczby zêbów kó³ zêbatych (1) i (2).

Rys. 118. Przyk³ady prostych przek³adni zêbatych: a) o zazêbieniu zewnêtrznym,

b) o zazêbieniu wewnêtrznym

116

Znak (–) w wyra¿eniach (85) i (86) dotyczy przek³adni o zazêbieniu zewnêtrznym

(rys. 120a) i oznacza niezgodnoœæ zwrotów prêdkoœci k¹towych, znak (+) odnosimy

natomiast do zazêbienia wewnêtrznego (rys. 120), gdzie prêdkoœci k¹towe maj¹ zwro-

ty zgodne. Analogicznym stosunkiem liczby zêbów mo¿na wyraziæ prze³o¿enie w przek-

³adniach jednostopniowych, z³o¿onych z kó³ sto¿kowych, œrubowych czy slimako-

wych. W tych ostatnich przypadkach znaki (+) lub (–) maj¹ sens tylko w œwietle

oddzielnej umowy, dotycz¹cej sposobu ich inetrpretacji. W przek³adniach œlimako-

wych zagadnienie to wi¹¿e siê dodatkowo z kierunkiem uzwojenia – wystêpuj¹ prze-

k³adnie prawo– i lewozwojne.

Prze³o¿enie przek³adni mo¿na okreœliæ równie¿ graficznie. Jak wiadomo, prêdkoœæ

k¹tow¹ mo¿na wyraziæ

ω

κ
κ

ϕ κ

κ

=

=

=

v
r

v
r

v
r

v
r

( )
( )

,

tg

a wiêc tak¿e

i

12

1

2

1

2

01

02

=

=

=

ω

ω

ϕ

ϕ

tg

tg

.

Sposób okreœlania odcinków 01 i 02 wyjaœniaj¹ konstrukcje przedstawione na rys. 120.

Oprócz najprostszych przek³adni jednostopniowych wystêpuj¹ powszechnie przek-

³adnie bardziej z³o¿one, wœród których rozró¿niamy równoleg³e, szeregowe i mieszane.

Przek³adni¹ równoleg³¹ nazywamy tak¹ przek³adniê, w której ko³a poœrednicz¹-

ce miêdzy ko³em czynnym i biernym s¹ osadzone po 2 na wspólnych wa³kach. Prze-

k³adnie takie mog¹ byæ zestawione z kó³ ró¿nego typu, jak to pokazano na przyk³a-

dach przedstawionych na rys. 121. Ca³kowite prze³o¿enie jest iloczynem prze³o¿eñ

kolejnych par kó³ zêbatych, czyli

Rys. 119. Przyk³ady „nietypowych” przek³adni zêbatych: a) przek³adnia z tarcz¹ zêbat¹,

b) przek³adnia z jednym ko³em niepe³nym

117

Rys. 121. Przyk³ady przek³adni zêbatych równoleg³ych

i

i i

i

n

n

n

n

1

1

12 34

1

=

=

−

ω

ω

...

,

(

)

(88)

w naszym przypadku (rys. 121a)

i

i i

Z

Z

Z
Z

14

1

4

12 34

2

1

4

3

1

=

=

=

−

ω

ω

( ).

Rys. 120. Graficzna metoda wyznaczania prze³o¿eñ w przek³adni: a) o zazêbieniu zewnêtrznym,

b) o zazêbieniu wewnêtrznym

118

Rys. 122. Przyk³ady przek³adni zêbatych szeregowych

Przek³adni¹ szeregow¹ bêdziemy nazywaæ przek³adniê, w której ko³a poœredni-

cz¹ce miêdzy ko³em czynnym i biernym s¹ osadzone na oddzielnych wa³kach. Przy-

k³ady takich przek³adni przedstawiono na rys. 122. Ka¿de z kó³ poœrednicz¹cych za-

zêbia sie tu jednoczeœnie z dwoma s¹siednimi ko³ami. Oznacza to, ¿e modu³y takich

kó³ okreœlaj¹ce geometriê zebów musz¹ byæ identyczne. Ca³kowite prze³o¿enie prze-

k³adni szeregowej wynosi

i

i i

i

n

n

n

n

1

1

12 23

1

=

=

−

ω

ω

...

,

(

)

(89)

co po podstawieniu i uproszczeniu prowadzi do zale¿noœci

i

Z

Z

n

n

n

1

1

1

=

=

ω

ω

,

(90)

Dla przek³adni z rysunku 122a

i

Z

Z

13

1

3

3

1

2

1

=

=

−

ω

ω

( ) .

Oprócz przek³adni równoleg³ych i szeregowych wystêpuj¹ w praktyce ró¿ne odmia-

ny przek³adni mieszanych. Zak³ada siê, ¿e po tych wyjaœnieniach z okreœlaniem

prze³o¿eñ w tych przek³adniach nie bêdzie problemów.

Przek³adnie obiegowe

Tak nazywamy (jak ju¿ wiadomo) przek³adnie, w których osie niektórych kó³,

zwanych obiegowymi (satelitami), wykonuj¹ ruch obrotowy wokó³ osi kó³ central-

nych (s³onecznych). Najprostsz¹ przek³adniê tego typu przedstawiono na rys. 123.

119

nawet bardzo du¿ych prze³o¿eñ. Dziêki mo¿liwoœci zwielokrotnienia liczby kó³ obie-

gowych i uzyskania przez to roz³o¿enia nacisków miêdzyzêbnych nadaj¹ siê do prze-

noszenia du¿ych mocy przy stosunkowo wysokiej sprawnoœci, wymagaj¹ jednak du-

¿ej dok³adnoœci wykonania i monta¿u.

Mechanizmy obiegowe znalaz³y równie¿ zastosowanie w urz¹dzeniach specjal-

nych, jak np. w maszynie do skrêcania lin (rys. 124) czy do uzyskania odpowiedniego

ruch t³oka w komorze silnika Wankla (rys. 125). Nale¿y zwróciæ uwagê na du¿¹ ró¿-

norodnoœæ odmian tych mechanizmów i form ich budowy. Na rysunku 126 zestawio-

no przyk³adowo mo¿liwe odmiany przek³adni dwurzêdowych z³o¿onych tylko z czte-

rech kó³ zêbatych.

Przek³adnie obiegowe ró¿nicowe umo¿liwiaja sk³adanie kilku ruchów obrotowych

cz³onów czynnych w jeden ruch obrotowy cz³onu biernego lub na odwrót – przekazy-

wanie ruchu obrotowego z jednego Ÿród³a napêdu na kilka odbiorników. Pierwsz¹ z

tych mo¿liwoœci wykorzystano w uk³adzie napêdu bêbna mechanizmu podnoszenia

wózka suwnicy (rys. 127). Zainstalowanie dwóch ró¿nej mocy silników S

1

i S

2

zapew-

nia bardziej racjonalne ich wykorzystanie. Stosownie do obci¹¿enia uruchamia siê

przy takim rozwiazaniu napêdu odpowiednio silnik jeden lub drugi, albo obydwa ra-

Ko³o (2), na skutek osadzenie jego osi w

obrotowym jarzmie J, jest satelit¹ ko³a cen-

tralnego (1). Ko³a centralne mog¹ byæ nie-

ruchome, jak w naszym przyk³adzie, lub ru-

chome. Przek³adniê, w której co najmniej

jedno ko³o centralne jest nieruchome, na-

zywa siê przek³adni¹ planetarn¹, przek³a-

dniê zaœ, w której wszystkie ko³a centralne

s¹ ruchome – ró¿nicow¹. Pierwsze z nich,

przy stosunkowo ma³ej liczbie kó³ zêbatych

i zwartej budowie, umo¿liwiaj¹ realizacjê

Rys. 123. Przyk³ad prostej przek³adni

obiegowej

Rys. 124. Przyk³ad zastosowania przek³adni obiegowej do skrêcania lin

120

Rys. 125. Przyk³ad zastosowania przek³adni obiegowej w silniku Wankla

Rys. 126. Mo¿liwe formy strukturalne dwurzêdowych przek³adni obiegowych

121

zem. Odwrotn¹ w³aœciwoœæ przek³adni ró¿nicowej, przekazywania mocy od jednego

silnika na dwa niezale¿ne ko³a jezdne, zastosowano w powszechnie znanym „dyferen-

cjale” samochodowym (rys. 128).

Okreœlanie prze³o¿eñ przek³adni obiegowych

Okreœlanie prze³o¿eñ nale¿y do podstawowych zagadnieñ przek³adni obiegowych .

W fazie doboru i projektowania takich przek³adni interesujemy siê stosunkiem prêd-

koœci k¹towych cz³onu czynnego i biernego. Zwykle s¹ nimi jarzmo i ko³a centralne,

choæ w szczególnych przypadkach zarówno cz³onem czynnym, jak i biernym mog¹

byæ ko³a obiegowe. Wszelkie prze³o¿enia w przek³adniach obiegowych mo¿na okre-

œlaæ ró¿nymi metodami, z których do bardziej znanych nale¿¹:

– metoda analityczna (Willisa),

– tablicowa (Swampa)

– graficzna Kutzbacha.

Wymienione metody omówimy na przyk³adzie przek³adni przedstawionej na rys.

129. Znamy tu liczbê zêbów Z

1

, Z

2

i Z

3

oraz prêdkoœæ obrotow¹ jarzma n

j

. Nale¿y

okreœliæ prêdkoœæ obrotow¹ n

1

ko³a biernego (1). Przede wszystkim celowe jest usta-

lenie, czy prêdkoœci obrotowe n

1

, n

2

przy jednym cz³onie czynnym J s¹ jednoznaczne,

tzn. czy uk³ad jest jednobie¿ny. Obliczona ruchliwoœæ tej przek³adni jako mechani-

zmu p³askiego, a wiêc wed³ug wzoru (8)

W = 3(4 – 1) – 2· 3 – 1· 2 = 1

daje odpowiedŸ twierdz¹c¹. Mamy tu do czynienia z przek³adni¹ planetarn¹ (ko³o 3

nieruchome).

Metoda analityczna

Ruchy wszystkich kó³ (1, 2 i 3) oraz jarzma J rozpatrywanej przek³adni wzglêdem

podstawy mo¿na opisaæ jednoznacznie, podaj¹c ich tzw. prêdkoœci obrotowe bezwzglêdne

n

1

, n

2

, n

3

, n

J

.

Opisuj¹c te same ruchy wzglêdem jarzma, otrzymamy odpowiednio prêdkoœci obro-

towe wzglêdne

Rys. 127. Mechanizm ró¿nicowy zastosowany do wci¹garki dŸwignicowej

122

n

1J

= n

1

– n

J

; n

2J

= n

2

– n

J

; n

3J

= n

3

– n

J

.

Zwróæmy uwagê na to, ¿e rozpatruj¹c ruchy wszystkich kó³ przek³adni wzglêdem

jarzma, sprowadzamy jak gdyby przek³adniê obiegow¹ do przek³adni zwyk³ej o nieru-

chomych osiach kó³ (1), (2), (3). Oczywiœcie, w takiej przek³adni zwyk³ej (u nas sze-

regowej) zachodzi, na podstawie (89),

i

n

n

Z
Z

Z

Z

J

J

J

J

13

1

3

1

3

3

2

2

1

1

=

=

=

−

ω

ω

( ),

lub po podstawieniu

n n

n

n

Z

Z

J

J

1

3

3

1

−

−

= −

.

Ostatnie równanie umo¿liwia (przy za³o¿eniu n

3

= 0, danych n

J

oraz Z

1

i Z

3

)

obliczenie szukanego n

1

. Otrzymamy po przekszta³ceniu

n

n

Z

Z

J

1

3

1

1

=

+









,

lub inaczej

i

n

n

Z

Z

J

J

1

1

3

1

1

=

= +

,

Istota tej prostej metody polega, podkreœlamy to jeszcze raz, na sprowadzeniu prze-

k³adni obiegowej do przek³adni zwyk³ej przez rozpatrywanie ruchów wszystkich kó³

wzglêdem jarzma.

Metoda tablicowa

Szukan¹ prêdkoœæ k¹tow¹ ko³a (1) lub prze³o¿enie badanej przek³adni obiegowej

(rys. 129) mo¿na okreœliæ równie¿, rozumuj¹c nastêpuj¹co: Obróæmy ca³y mecha-

Rys. 128. Przek³adnia ró¿nicowa zastosowana do napêdu pojazdów

123

Rys. 129. Jednorzêdowa przek³adnia obiegowa

nizm, traktuj¹c go jako bry³ê sztywn¹, wokó³ osi centralnej n

J

razy. W wyniku tego

zabiegu wszystkie cz³ony przek³adni wykonaj¹ n

J

obrotów. Zapiszemy to w pierw-

szym wierszu tabeli 7. Zauwa¿my teraz, ¿e w ten sposób jarzmo J wykona³o ju¿ swoj¹

okreœlon¹ liczbê n

J

obrotów (dalej obracaæ nim nie ma potrzeby), natomiast ko³o (3) z

za³o¿enia nieruchome, wykona³o wraz z ca³ym mechanizmem, zamiast zero, n

J

obro-

tów. Aby rozbie¿noœæ tê usun¹æ, nale¿y obróciæ (ju¿ w nastêpnym, drugim etapie)

ko³em (3) tak, by w sumie n

3

= 0. Oczywiœcie, w tym przypadku obrócimy ko³em (3) o

(–n

J

) obrotów, ale ju¿ przy nieruchomym jarzmie. Konsekwencj¹ tego bêd¹ obroty

ko³a (2) oraz ko³a (1). £atwo je okreœliæ, gdy¿ w tej fazie ruchu, przy nieruchomym

jarzmie, mamy do czynienia z przek³adni¹ zwyk³¹ szeregow¹. Obroty te, obliczone

wed³ug zale¿noœci n

2

= n

3

i

23

, n

1

= n

2

i

12

, gdzie n

3

= –n

J

, wpisujemy w odpowie-

dnich rubrykach wiersza 2 tabeli 7, a nastêpnie sumujemy obroty poszczególnych

cz³onów w wierszu 3. Oczywiœcie, n

J

= n

J

; n

3

= 0, natomiast interesuj¹ce nas

obroty ko³a (1)

Tabela 7

124

n

n

Z

Z

J

1

3

1

1

=

+









.

Jak z tego widaæ, istot¹ metody tablicowej jest równie¿ sprowadzenie przek³adni

obiegowej do przek³adni zwyk³ej w wyniku wstêpnego obrotu ca³ego mechanizmu o n

J

.

Metoda graficzna (Kutzbacha)

Metodê graficzn¹ Kutzbacha analizy kinematycznej przek³adni obiegowej przed-

stawiamy na przyk³adzie tej samej przek³adni (rys. 129). Korzystaj¹c z tej metody,

mo¿na narysowaæ tê przek³adniê w rzucie na p³aszczyznê ruchu cz³onów przek³¹dni

(rys. 130a) i oznaczyæ przez O, A, B i C szczególne jej punkty – pary kinematycz-

ne. Przy danych obrotach n

J

jarzma J mo¿na obliczyæ i w dowolnej podzia³ce k

v

narysowaæ v

BJ

= w

J

R

J

. Oczywiœcie, v

BJ

= v

B2

, zaœ w punkcie C, przy nierucho-

mym kole (3), v

C3

= v

C2

= 0 (rys. 130b). W tej sytuacji, przy znanych prêdkoœciach

dwóch punktów B i C ko³a (2), jest zdeterminowany ruch ca³ego ko³a (2), (punkt C –

chwilowym œrodkiem obrotu tego ko³a wzglêdem podstawy), w szczególnoœci zaœ jest

okreœlony rozk³ad prêdkoœci punktów le¿¹cych na œrednicy CA, a tym samym prêd-

koœæ punktu zazêbienia A. Poniewa¿ w punkcie A v

A2

= v

A1

, mo¿na wiêc równie¿

opisaæ ruch ko³a (1)

ω

κ

κ

ϕ

1

1

=

v

l

tg .

To proste rozumowanie doprowadzi³o do uzyskania wyniku w postaci graficznej.

Z rysunku 130 mo¿na odczytaæ oczywiœcie i zwrot prêdkoœci k¹towej w

1

, a tak¿e

zwrot i modu³ prêdkoœci k¹towej w

2

ko³a (2)

ω

κ

ϕ

2

1

2

= −

v

k

tg

.

Rys. 130. Przyk³ad graficznej metody (okreœlania) prze³o¿enia przek³adni obiegowej

125

Odczytane w ten sposób wyniki by³yby jednak obarczone b³êdem nie do przyjêcia,

zw³aszcza przy bardzo du¿ych lub bardzo ma³ych prze³o¿eniach. W takim przypadku

postaæ graficzn¹ rozwi¹zania mo¿na wykorzystaæ do otrzymania zapisu analityczne-

go. Z rysunku 130 mamy bowiem R

J

= R

1

+ R

2

lub R

J

= R

3

– R

2

oraz

ω

ω

ω

ω

1

1

1

1

3

2

1

3

3

1

1

3

1

2

2

2

2

1

=

=

=

−

=

−

−









=

+











v

R

v
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

A

BJ

J

J

J

(

)

.

Ostatni wynik mo¿na zapisaæ inaczej

ω

ω

1

3

1

1

=

+











J

Z

Z

.

Przyk³adem przek³adni, dla której wynik rozwi¹zania w postaci graficznej by³by

nie do odczytania, jest przek³adnia, przedstawiona na rys. 131, z nastêpuj¹cymi licz-

bami zêbów

Z

1

= 101; Z

2

= 51; Z

3

= 99; Z

4

= 50.

Prze³o¿enie wynosi tu

i

Z Z

Z Z

J

J

3

3

1 4

3 2

1

=

=

−











ω

ω

,

po podstawieniu zaœ

i

J

J

3

3

1

101 50

99 51

1

5049

=

=

−

⋅

⋅









= −

ω

ω

.

Rys. 131. Przyk³ad przek³adni

obiegowej o du¿ym prze³o¿eniu

Przyk³ad ten, potwierdzaj¹c nieprzydatnoœæ

metod graficznych w pewnych przypadkach okre-

œlenia prze³o¿eñ w przek³adniach obiegowych,

wskazuje jednoczeœnie na ogromne mo¿liwoœci

tych przek³adni w realizacji bardzo ma³ych (bar-

dzo du¿ych) prze³o¿eñ.

Metoda graficzna (Beyera)

Metoda Beyera s³u¿y do analizy przek³adni

obiegowych k¹towych. U podstaw tej metody

le¿y spostrze¿enie, ¿e prêdkoœæ k¹tow¹ ka¿dego

cz³onu k przek³adni mo¿na rozpatrywaæ jako

sumê wektorow¹ prêdkoœci k¹towej innego cz³o-

nu l i prêdkoœci unoszenia cz³onu k wraz z cz³o-

nem l; czyli

126

Rys. 132. Przyk³ad okreœlania prze³o¿enia w przek³adni obiegowej k¹towej: a) schemat przek³adni, b)

plan prêdkoœci k¹towych

Rys. 133. Przyk³ad graficznej metody (okreœlania) prze³o¿eñ: a) schemat przek³adni obiegowej

k¹towej, b) plan prêdkoœci k¹towych

ω

ω ω

k

l

kl

=

+

.

W przek³adniach k¹towych te trzy wektory tworz¹ trójk¹t; znaj¹c jeden z wekto-

rów oraz kierunki dwóch pozosta³ych, mo¿emy zbudowaæ ten trójk¹t i wyznaczyæ

d³ugoœæ i zwroty pozosta³ych wektorów.

Przeanalizujmy dla przyk³adu uk³ad przedstawiony na rysunku 132a. Podczas obrotu

jarzma J doko³a osi ko³a (1) nastêpuje toczenie siê ko³a (2) po powierzchni ko³a (1)

i jednoczeœnie obracanie siê tego ko³a wzglêdem w³asnej osi (tj. wzglêdem jarzma).

127

Bezwzglêdnym ruchem ko³a (2) jest w ka¿dej chwili obrót doko³a linii a

12

. Obrót

ko³a (2) wraz z jarzmem J jest ruchem unoszenia i odbywa siê doko³a osi ko³a (1),

natomiast wzglêdny obrót ko³a (2) nastêpuje wzglêdem w³asnej osi. Dla tego przyk³a-

du zapiszemy

ω

ω

ω

=

+

J

J

.

Za³ó¿my, ¿e dana jest w

J

. Rysuj¹c ten wektor (oczywiœcie w okreœlonej podzia³-

ce) mo¿emy, po wykorzystaniu znanych kierunków, znaleŸæ w

2J

i w

2

(rys. 132b).

Przyk³ad

Dana jest przek³adnia przedstawiona na rys. 133a. Dla tej przek³adni mo¿emy zapisaæ

ω

ω

ω

2

1

12

=

+

,

ω

ω

ω

2

2

=

+

J

J

.

Ostatnie równania mo¿na przedstawiæ graficznie, bo znane s¹ kierunkiem wszyst-

kich wektorów (rys. 133a). Po wykonaniu tych sumowañ otrzymamy rozwi¹zania przed-

stawione na rys. 133b.

128

7. Analiza dok³adnoœci

Przy okreœlaniu parametrów kinematycznych zak³adano dotychczas, ¿e cz³ony roz-

patrywanego uk³adu s¹ sztywne, a ich geometria znana. W rzeczywistoœci, podatnoœæ

obci¹¿onych si³ami cz³onów, a tak¿e niedok³adne ich wykonanie, sprawia, ¿e geome-

tria cz³onów tylko w przybli¿eniu odpowiada za³o¿eniom projektanta. Oznacza to, ¿e

rzeczywiste po³o¿enie cz³onów i zwi¹zanych z nimi punktów odbiegaj¹ od po³o¿eñ

nominalnych. Fakt ten prowadzi w dalszym ci¹gu do wniosku, ¿e równie¿ rozpatrwa-

ne tory, prêdkoœci i przyspieszenia, okreœlone przy za³o¿eniu wymiarów nominal-

nych, nale¿y traktowaæ jako wielkoœci przybli¿one. Oczywiœcie, rozpatrywane zmia-

ny mog¹ dotyczyæ modu³ów tych wielkoœci, kierunków, a nawet ich zwrotów. Nale¿y

zasygnalizowaæ ju¿ w tym miejscu, ¿e to samo dotyczy równie¿ obci¹¿eñ statycznych

i dynamicznych.

W œwietle podanych spostrze¿eñ pojawia siê potrzeba iloœciowego opisu rozpatry-

wanych zmian. Najistotniejsz¹, bo decyduj¹c¹ o zmianie pozosta³ych parametrów,

jest zmiana po³o¿enia uk³adu. Przeanalizujemy j¹ bli¿ej, uwzglêdniaj¹c tylko niedo-

k³adnoœci wykonania. Przede wszystkim wprowadzimy kilka podstawowych pojêæ:

B³êdem bêdziemy nazywaæ ró¿nice wartoœci wielkoœci rzeczywistej i nominalnej.

B³êdy mog¹ dotyczyæ wymiarów liniowych i k¹towych, a ponadto ustawienia, zwich-

rowania, owalu, mimoœrodu itp. W dalszym ci¹gu bêdziemy siê zajmowaæ przede

wszystkim b³êdami wymiarów liniowych i k¹towych.

Je¿eli przez x

rz

oznaczymy wymiar rzeczywisty, przez x

n

zaœ wymiar nominalny,

to b³¹d Dx wymiaru x wyrazimy

Dx = x

rz

– x

n

.

B³êdy nazywa siê równie¿ odchy³kami. Przy ca³ej serii mierzonych elementów, np.

cz³onów AB (rys. 134), wykonanych na ten sam wymiar nominalny x, b³êdy (odchy³-

ki) roz³o¿¹ siê w okreœlonym pasmie. Szerokoœæ tego pasma, czyli tzw. tolerancjê T

okreœla maksymalny b³¹d dodatni – odchy³ka górna G oraz maksymalny b³¹d ujemny

– odchy³ka dolna F. Zachodzi relacja

T = G – F.

(91)

B³êdy lub tolerancje wymiarów opisuj¹cych geometriê cz³onów bêdziemy nazy-

waæ dalej b³êdami lub tolerancjami wymiarowymi. B³êdy te powoduj¹, jak ju¿ po-

wiedziano, zmianê kszta³tu cz³onu rzeczywistego w stosunku do kszta³tu nominalne-

go. Fakt ten mo¿na przeœledziæ na przyk³adzie trójwêz³owego cz³onu ABC (rys. 135).

129

Za³ó¿my, ¿e wykonano ca³¹ seriê tych elementów, opisanych wymiarami x

1

, x

2

, x

3

,

przy okreœlonych tolerancjach T

x1

, T

x2

, T

x3

(rys. 135a). W normalnych warunkach

ka¿dy element ABC bêdzie inny. Ka¿dy bêdzie charakteryzowa³ siê innymi b³êdami

Dx

1

, Dx

2

, Dx

3

. Zestawmy w myœli wszystkie te elementy rzeczywiste tak, by punkty

A

i

pokry³y siê ze sob¹ w punkcie O i kierunki A

i

B

i

pokrywa³y siê z kierunkiem l.

Wtedy wszystkie punkty B bêd¹ le¿a³y na odcinku L (o d³ugoœci T

x1

), punkty C

i

natomiast w polu P opisanym tolerancjami T

x2

i T

x3

(rys. 135b).

Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e rzeczywiste kszta³ty takiego cz³onu ABC, wykonanego

przy tych samych tolerancjach wykonawczych, bêd¹ ró¿ne dla ró¿nych sposobów jego

zwymiarowania. Mo¿na to przeœledziæ na kolejnych przyk³adach przedstawionych na

rys. 136. W tym œwietle dobór odpowiedniego sposobu zwymiarowania nabiera szcze-

gólnego znaczenia.

Wracaj¹c do uk³adów kinematycznych, z³o¿onych z takich rzeczywistych cz³o-

nów, zwrócimy jeszcze raz uwagê na to, ¿e zmiany ich kszta³tów powoduj¹ zmianê

po³o¿eñ tych cz³onów (w uk³adzie) w stosunku do po³o¿eñ nominalnych. Je¿eli po³o-

Rys. 134. Ilustracja pojêcia b³êdu, odchy³ki i tolerancji

Rys. 135. Cz³on trójwêz³owy: a) sposób zwymiarowania, b) rozrzut po³o¿eñ punktów wêz³owych

130

¿enie jakiegoœ rozpatrywanego cz³onu lub punktu jest opisane wymiarami bêd¹cymi

funkcj¹ innych wymiarów wykonawczych, to wymiarowi temu, zwanemu dalej wy-

miarem wynikowym, mo¿na przypisaæ b³¹d lub tolerancjê wynikow¹.

Rozpatrzmy przyk³adowo popularny uk³ad napêdowy ABC (rys. 137a). Je¿eli x

1

,

x

2

i x

3

przyj¹æ za wymiary wykonawcze, to interesuj¹cy nas k¹t y, okreœlaj¹cy

po³o¿enie ramienia BC, jako funkcja wymiarów x

1

, x

2

i x

3

bêdzie wymiarem

wynikowym, b³¹d Dy i Ty zaœ odpowiednio b³êdem i tolerancj¹ wynikow¹.

W projektowaniu uk³adów kinematycznych wy³aniaj¹ siê dwa zagadnienia in¿y-

nierskie dotycz¹ce:

a) okreœlenia przewidywanych tolerancji wynikowych przy zadanych tolerancjach

wykonawczych,

b) doboru tolerancji wykonawczych, zapewniaj¹cych za³o¿on¹ z góry tolerancjê

wynikow¹.

7.1. Okreœlanie b³êdu i tolerancji wynikowej

Rozpatrywany w analizie dok³adnoœci uk³ad kinematyczny dogodnie jest zast¹piæ

ci¹giem jego wymiarów wykonawczych oraz zamykaj¹cym wymiarem wynikowym.

Taki ci¹g wymiarów bêdziemy nazywaæ ³añcuchem wymiarowym. Przyk³adowy ³añ-

cuch wymiarowy, dla uk³adu z rys. 137a, przedstawiono na rys. 137b.

W naszych rozwa¿aniach ogólnych oznaczamy dalej wymiary wykonawcze przez

x

i

, wymiar wynikowy zaœ przez b. Przy takich oznaczeniach napiszemy

b = f(x

i

).

(92)

Znalezienie b³êdu Db wymiaru wynikowego b przy zadanych wymiarach x

i

,

b³êdach wykonawczych Dx

i

oraz znanej postaci funkcji f jest formalnie proste

Rys. 136. Przyk³ady kolejnych sposobów zwymmiarowania i rozrzuty po³o¿eñ punktów wêz³owych

cz³onów trójwêz³owych

131

Rys. 137. Uk³ad napêdowy ABC: a) schemat kinematyczny zwymiarowany, b) ³añcuch wymiarowy

b = f(x

i

) + f(x

i

+ Dx

i

).

(93)

W praktyce, korzystanie z wzoru (93) prowadzi jednak do bardzo pracoch³onnych

i k³opotliwych rachunków. Z tych wzglêdów w teorii dok³adnoœci rozwija siê funkcjê

(92) w szereg Taylora i przyjmuje do obliczeñ tylko wyraz liniowy szeregu. Godz¹c

siê z pewnym przybli¿eniem, otrzymujemy

∆

∆

b

w x

i

i

i

i n

=

=

=

∑

1

(94)

gdzie

w

b

x

i

i

= ∂

∂

.

(95)

WielkoϾ w

i

nosi nazwê wspó³czynnika wp³ywu i bêdzie przedmiotem rozwa¿añ

w kolejnym rozdziale.

Z zale¿noœci (94) mo¿na korzystaæ wówczas, gdy znane s¹ b³êdy Dx

i

, a wiêc gdy

rozpatrujemy uk³ad rzeczywisty. W fazie projektowania nale¿y za³o¿yæ losowy roz-

k³ad tych b³êdów zarówno co do modu³u, jak i znaku. Rachunek prawdopodobieñstwa

i statystyka prowadz¹ wtedy do zwi¹zku

(

)

∆

∆

b

w

x

i

i

i

i n

*

.

=

⋅

=

=

∑

1

2

(96)

Czêsto dogodniej jest rozpatrywaæ nie b³êdy, lecz tolerancje. W tym celu mo¿na

stosowaæ analogiczne zwi¹zki

T

w T

b

i xi

i

i n

=

=

=

∑

1

;

(97)

132

oraz

(

)

T

w T

b

i

xi

i

i n

*

.

=

⋅

=

=

∑

1

2

(98)

Zale¿noœæ (94) bêdziemy stosowaæ we wszystkich przypadkach, w których nale¿y

oczekiwaæ losowych rozk³adów b³êdów, zale¿noœæ (97) zaœ przy ich najbardziej nie-

korzystnym rozk³adzie. Inaczej wyst¹pienie tolerancji wiêkszej od T

b

*

jest praktycz-

nie niemo¿liwe, a wiêkszej od T

b

zupe³nie niemo¿liwe. Zale¿noœci¹ (97) nale¿y siê

pos³ugiwaæ wyj¹tkowo, gdy¿ skrajna ostro¿noœæ jest uzasadniona ze wzglêdów tech-

nicznych i ekonomicznych.

7.2. Okreœlanie wspó³czynników wp³ywu

Wspó³czynnik wp³ywu mo¿na okreœliæ przez bezpoœrednie ró¿niczkowanie funkcji

wymiarowej (92), co na ogó³ prowadzi do bardzo pracoch³onnych rachunków. Z tego

wzglêdu, w praktyce przyjê³y siê dogodniejsze graficzne metody okreœlania wspó³-

czynników wp³ywu.

Spoœród wielu metod okreœlenia wspó³czynników w

i

, dotychczas najszersze zasto-

sowanie znalaz³a metoda opracowana przez N.G. Brujewicza. Polega ona na prostej

interpretacji kinematycznej. Dziel¹c licznik i mianownik zale¿noœci (95) przez ¶t

otrzymamy

w

b

x

i

i

= ∂ ∂τ

∂

∂τ

/

/

.

Je¿eli przedzia³ czasu ¶t bêdzie d¹¿y³ do zera, to w granicy otrzymamy

w

v

v

i

b

x

i

=

.

(99)

Ze wzoru tego wynika, ¿e wspó³czynnik wp³ywu w

i

mo¿na interpretowaæ jako

stosunek prêdkoœci zmiany wymiaru wynikowego do odpowiedniej prêdkoœci zmiany

i-tego wymiaru wykonawczego, przy za³o¿eniu niezmiennoœci pozosta³ych wymia-

rów. Wprowadzaj¹c, zgodnie z wzorem (99), zmienne wymiary wykonawcze, otrzy-

mamy pewne uk³ady kinematyczne – tzw. mechanizmy pomocnicze – o ruchliwoœci

jeden. Otrzyma siê wiêc tyle mechanizmów pomocniczych, ile uwzglêdniono w anali-

zie b³êdów wykonawczych.

W po³o¿eniu uk³adu kinematycznego, w którym ma byæ przeprowadzona analiza

dok³adnoœci, nale¿y najpierw uk³ad unieruchomiæ (na³o¿yæ liczbê wiêzów odpowia-

daj¹c¹ ruchliwoœci teoretycznej), a dopiero potem wprowadzaæ mechanizmy pomoc-

nicze wed³ug N.G. Brujewicza. Sposób korzystania z metody omówiono na przyk³a-

dzie.

133

Niech bêdzie dany uk³ad kinematyczny przedstawiony na rys. 138. Wymiar b,

okreœlaj¹cy po³o¿enie punktu E, jest funkcj¹ wymiarów wykonawczych x

1

, x

2

, x

3

oraz wartoœci k¹ta j. Jest wiêc wymiarem wynikowym. Okreœlmy wspó³czynniki

wp³ywu wymiarów x

1

, x

2

, x

3

. W tym celu sporz¹dzamy schematy mechanizmów za-

stêpczych (rys. 139a) oraz kreœlimy plany prêdkoœci dla tych mechanizmów zastêp-

czych (rys. 139b). Zauwa¿my, ¿e we wszystkich przypadkach mechanizmy pomocni-

cze zapewniaj¹ mo¿liwoœæ zmiany tylko wymiaru badanego przy niezmiennych war-

toœciach wymiarów pozsta³ych. Zak³adaj¹c np. jednostkow¹ wartoœæ prêdkoœci tych

zmian, mo¿na w ten sposób okreœliæ wp³yw zmiany poszczególnych wymiarów na

zmianê wymiaru wynikowego b. Otrzymujemy wiêc

w

v

v

w

v

v

w

v

v

E

E

E

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

=

=

=

=

;

;

.

Gdy znane s¹ wartoœci wspó³czynników wp³ywu, mo¿na okreœliæ spodziewan¹ to-

lerancjê T

b

wymiaru wynikowego przy zadanych tolerancjach T

i

wymiarów x

i

.

Zgodnie z wzorem (98), otrzymamy

(

) (

) (

)

T

w T

w T

w T

b

x

x

x

*

.

=

+

+

1

1

2

2

2

2

3

3

2

Rys. 138. Schemat kinematyczny mechanizmu z naniesionymi wymiarami wykonawczymi (x

i

)

oraz wymiarem wynikowym (b)

134

Wynik analizy dok³¹dnoœci uk³adu kinematycznego jest zwi¹zany z okreœlonym

po³o¿eniem cz³onu czynnego. Oznacza to, ¿e przy sta³ych b³êdach wymiarów wyko-

nawczych, w cyklu pracy uk³adu kinematycznego bêdzie siê zmieniaæ b³¹d wyniko-

wy, poniewa¿ zmieniaj¹ siê wspó³czynniki wp³ywu. W pewnych po³o¿eniach (zwykle

bliskich po³o¿eniom martwym) wra¿liwoœæ uk³adu na b³êdy wykonawcze cz³onów

jest szczególnie du¿a.

Rys. 139. Ilustracja metody graficznej okreœlania wspó³czynnika wp³ywu: a) mechanizmy zastêpcze

uk³adu z rys. 120, b) plany prêdkoœci

135

III. DYNAMIKA

8. Wprowadzenie

W dziale dynamika mechanizmów i maszyn rozpatruje siê zwi¹zki miêdzy para-

metrami kinematycznymi (przemieszczenia, prêdkoœci, przyspieszenia) a masami cz³o-

nów i dzia³aj¹cymi na nie si³ami. Pos³uguj¹c siê takimi zwi¹zkami, wyra¿onymi zwykle

w postaci równañ ró¿niczkowych, mo¿na rozwi¹zywaæ dwie podstawowe grupy zaga-

dnieñ:

– wyznaczanie si³ wymuszaj¹cych okreœlone prawo ruchu mechanizmu,

– okreœlanie prawa ruchu mechanizmu przy zadanym stanie jego obci¹¿enia.

Mniej ambitnymi, choæ w praktyce wa¿nymi, zagadnieniami (omówionymi w tym

dziale) jest okreœlanie si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych ruchomych me-

chanizmów z uwzglêdnieniem zjawiska tarcia, okreœlanie sprawnoœci mechanizmów

itp.

Przy rozwi¹zywaniu wiêkszoœci zagadnieñ in¿ynierskich zak³ada siê zwykle dla

uproszczenia, ¿e cz³ony mechanizmów s¹ elementami sztywnymi o wymiarach zde-

terminowanych oraz bez luzów w parach kinematycznych. Nale¿y jednak zwróciæ

uwagê, ¿e ró¿nice miêdzy wynikami uzyskanymi przy tych za³o¿eniach a wystêpuj¹-

cymi w uk³adach rzeczywistych, mog¹ w wypadkach szczególnych okazaæ siê nie do

pominiêcia.

136

9. Si³y i ich przegl¹d

Si³y dzia³aj¹ce na cz³ony uk³adów mechanicznych mo¿na podziêliæ na si³y czynne

(napêdowe) i si³y bierne (oporu).

Pierwsze z nich charakteryzuj¹ siê tym, ¿e ich wektory tworz¹ z wektorami prêd-

koœci punktów przy³o¿enia si³ k¹ty ostre. Si³y te podtrzymuj¹ ruch uk³adu mechanicz-

nego. Opory, którymi nazywamy si³y tworz¹ce z odpowiednimi wektorami prêdkoœci

k¹ty rozwarte, przeciwstawiaj¹ siê ruchom. Wœród nich nale¿y rozró¿niæ tzw. opory

u¿yteczne, czyli te, których pokonanie jest zwi¹zane z wykonywaniem pracy celowej

i u¿ytecznej oraz opory szkodliwe, do których nale¿y zaliczyæ przede wszystkim si³y

tarcia w parach kinematycznych, opory oœrodka itp. Si³y obci¹¿aj¹ce poszczególne

cz³ony dzieli siê dalej na zewnêtrzne i wewnêtrzne. Do si³ zewnêtrznych zaliczamy

te, których Ÿród³o le¿y poza rozpatrywanym cz³onem, np. si³y ciê¿koœci, si³y techno-

logiczne itp. Do si³ wewnêtrznych zaliczamy si³y wystêpuj¹ce miêdzy cz³onami me-

chanizmu lub w rozpatrywanej czêœci mechanizmu, np. w przekroju poprzecznym

cz³onu.

Odmienna naturê maj¹ si³y bezw³adnoœci, bêd¹ce Ÿród³em tzw. obci¹¿eñ dyna-

micznych. Ze wzglêdu na szczególne znaczenie, jakie odgrywaj¹ te si³y we wspó³cze-

snej technice, omówiono je bardziej szczegó³owo.

9.1. Si³y bezw³adnoœci i ich redukcja

Na elementarn¹ masê dm

i

(rys. 140a) w ruchu, scharakteryzowanym przyspiesze-

niem a

i

, dzia³a si³a bezw³adnoœci

d

d

.

P

m a

bi

i

i

= −

⋅

Na cz³on o masie roz³o¿onej w sposób ci¹g³y dzia³a wiêc pewnego rodzaju ci¹g³e

pole si³ elementarnych. Taki rzeczywisty stan obci¹¿enia nale¿y uwzglêdniæ przy okre-

œleniu wynikaj¹cych st¹d naprê¿eñ wewnêtrznych. Do pewnych jednak celów, np. do

wyznaczania si³ roboczych i oddzia³ywania w parach kinematycznych, mo¿na i dogo-

dnie jest zast¹piæ takie obci¹¿enie ci¹g³e umownymi si³ami skupionymi. W ogólnym

przypadku efekt dzia³ania wszystkich elementarnych si³ bezw³adnoœci dla cz³onu bê-

d¹cego w ruchu z³o¿onym mo¿na przedstawiæ w postaci jednej si³y P

b

przy³o¿onej

w œrodku masy S cz³onu oraz pary si³ M

b

(rys. 140b). Si³a

P

m a

b

S

= − ⋅ .

(100)

137

gdzie: m – masa cz³onu,

a

S

– przyspieszenie œrodka masy cz³onu.

Jak wynika z zapisu wektorowego, si³a P

b

ma kierunek przyspieszenia a

S

i zwrot

przeciwny do zwrotu przyspieszenia, modu³ zaœ równy m a

S

.

Moment si³ bezw³adnoœci M

b

wzglêdem œrodka masy

M

J

b

S

= −

⋅

ε.

(101)

gdzie: J

S

– masowy moment bezw³adnoœci cz³onu wzglêdem osi prostopad³ej do p³a-

szczyzny ruchu i przechodz¹cej przez œrodek masy,

A – przyspieszenie k¹towe cz³onu.

Ogólnie

J

m

S

m

=

∫

ρ

2

d

(102)

lub

J

mi

S

s

=

2

,

gdzie i

s

– promieñ bezw³adnoœci.

Je¿eli moment M

b

zast¹piæ par¹ si³ P

b

tak¹, by jej ramiê h by³o równe

h

M
P

b

b

=

*

,

si³y zaœ tworz¹ce tê parê (rys. 141a) bêd¹ spe³niaæ warunek

P

P

m a

b

b

S

*

,

=

= − ⋅

Rys. 140. Redukcja si³ bezw³adnoœci: a) pole elementarnych si³ bezw³adnoœci,

b) uk³ad zastêpczy pola si³

138

to si³y P

b

i P

b

*

jako równe sobie i przeciwnie skierowane, wzajemnie siê równowa-

¿¹. Wtedy druga si³a P

b

*

pary, jako jedyna si³a reprezentuje efekt dzia³ania wszyst-

kich elementarnych si³ bezw³adnoœci (rys. 141b).

Szczególnymi przypadkami ruchów p³askich s¹ ruchy postêpowe i obrotowe.

Upraszcza siê wtedy zagadnienie si³ bezw³adnoœci towarzysz¹cych takim ruchom.

1. Cz³on w ruchu postêpowym (rys. 142). Z za³o¿enia A = 0, a wiêc M

b

= 0, co

oznacza, ¿e si³y bezw³adnoœci dzia³aj¹ce na taki cz³on redukuj¹ siê do jednej si³y

P

m a

b

S

= − ⋅ .

przechodz¹cej przez œrodek masy.

2. Cz³on w ruchu obrotowym niejednostajnym wokó³ œrodka ciê¿koœci S (rys. 143).

W zwi¹zku z tym

Rys. 142. Cz³on w ruchu postêpowym.

P

b

– wypadkowa si³ bezw³adnoœci

Rys. 143. Cz³on B

c

w ruchu obrotowym wokó³

œrodka ciê¿koœci. Efektem dzia³ania

si³ bezw³adnoœci moment si³ M

b

Rys. 141. Uk³ad zastêpczy reprezentuj¹cy si³y bezw³adnoœci: a) si³a wypadkowa P

b

i para si³ P

b

*

,

b) si³a wypadkowa P

b

*

przesuniêta wzglêdem S na odleg³oœæ h

139

a

s

= 0, a wiêc P

b

= 0.

Wynikiem dzia³ania elementarnych si³ bezw³adnoœci jest tylko moment bezw³ad-

noœci

M

J

b

S

= −

⋅

ε.

3. Cz³on w ruchu obrotowym niejednostajnym wokó³ osi nie przechodz¹cej prze

œrodek ciê¿koœci (rys. 144a). W tym przypadku

P

m a

b

S

= − ⋅

i

M

J

b

S

= − ⋅

ε

.

Zastêpuj¹c moment odpowiednio dobran¹ par¹ si³ P

b

*

, równ¹ P

b

, mo¿na moment

i si³ê zredukowaæ do jednej si³y P

b

*

, której linia dzia³ania przechodzi prze punkt W,

zwany punktem wahnieñ lub uderzeñ (rys. 144b). Punkt ten mo¿na traktowaæ tak,

jak gdyby w nim by³a skupiona masa ca³ego cz³onu, odleg³oœæ zaœ BW jako d³ugoœæ

zredukowan¹ wahad³a fizycznego otrzymanego przez podwieszenie cz³onu BC w

punkcie B. Odleg³oœæ BW, zawsze wiêksz¹ od BS, mo¿na okreœliæ

BW = BS + SW = H + e,

(103)

przy czym

SW

e

h

J

m a

m i

m a

i

i

S

s

s

s

t

s

s

=

=

=

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

sin

sin

,

α

ε

α

ε

ε

ρ ε

ρ

2

2

2

czyli

e

i

s

=

2

ρ

,

(104)

Rys. 144. Cz³on BC w ruchu obrotowym. Redukcja si³ bezw³adnoœci

140

Rys. 146. Metoda mas zastêpczych: a) cz³on rzeczywisty, b) model dynamiczny

z naniesionymi si³ami bezw³adnoœci

Na podstawie tych ustaleñ mo¿na przyporz¹dkowaæ ka¿demu cz³onowi uk³adu ki-

nematycznego si³ê bezw³adnoœæi lub moment si³ bezw³adnoœci, je¿eli tylko znana jest

masa cz³onu, jej rozk³ad oraz ruch. Zilustrowano to na przyk³adzie uk³adu kinema-

tycznego przedstawionego na rys. 145, gdzi ka¿demu cz³onowi przyporz¹dkowano

zredukowan¹ si³ê bezw³adnoœci.

Rozwi¹zanie takie poprzedza zwykle okreœlenie samych przyspieszeñ, czego do-

konujemy np. metod¹ planu przyspieszeñ, oraz ustalenie masowych momentów bez-

w³adnoœci. Te ostatnie mo¿na obliczyæ analitycznie za pomoc¹ wzoru (102), przy

cz³onach ³atwych do opisania, lub zawsze wyznaczyæ doœwiadczalnie, pos³uguj¹c siê

jedn¹ ze znanych metod: wahad³a fizycznego, zawieszenia jedno- lub trzynitkowego.

9.1.1. Metoda mas zastêpczych

W niektórych przypadkach korzystniejszy mo¿e siê okazaæ inny sposób wyznacza-

nia si³ bezw³adnoœci, polegaj¹cy na uprzednim zast¹pieniu cz³onu (rys. 146a) jego

modelem z³o¿onym z kilku mas skupionych (rys. 146b).

Rys. 145. Przyk³ad mechanizmu dŸwigniowego obci¹¿onego uk³adem zredukowanych si³ bezw³adnoœci

141

Gdy znamy przyspieszenia a

i

poszczególnych punktów masowych, nietrudno przy-

porz¹dkowaæ im si³y bezw³adnoœci P

bi

(rys. 146b), a redukuj¹c je przez kolejne

sumowanie (np. za pomoc¹ wieloboku sznurowego) otrzymujemy wypadkow¹ P

b

tych si³ oraz jej liniê dzia³ania.

Model cz³onu zastosowany do okreœlania wypadkowej si³ bezw³adnoœci musi byæ

dynamicznie równowa¿ny cz³onowi, tzn. mieæ:

– tê sam¹ masê ca³kowit¹,

– tak samo po³o¿ony œrodek ciê¿koœci,

– identyczny moment bezw³adnoœæi wzglêdem œrodka ciê¿koœci.

Warunki te mo¿na zapisaæ za pomoc¹ nastêpuj¹cych równañ:

m

m

i

=

∑

,

m x

m x

i i

s

=

⋅

∑

,

m y

m y

i i

s

=

⋅

∑

,

(105)

m x

y

J

m x

y

i

i

i

s

s

s

(

)

(

),

2

2

2

2

+

=

+

+

∑

w których: m

i

– masa zastêpcza umieszczona w i-tym punkcie,

x

i

, y

i

– wspó³rzêdne i-tych mas zastêpczych w uk³adzie wspó³rzêdnych

prostok¹tnych xOy (rys. 146),

x

s

, y

s

– wspó³rzêdne œrodka ciê¿koœci,

m

– masa cz³onu rzeczywistego,

J

s

– masowy moment bezw³adnoœci cz³onu rzeczywistego wzglêdem

œrodka masy cz³onu.

Ka¿d¹ masê zastêpcz¹ mo¿na opisaæ trzema parametrami m

i

, x

i

i y

i

. Mamy wiêc

³¹czn¹ liczbê 3n parametrów, z których 4 (liczba równañ) mo¿na obliczyæ. Mo¿na

wiêc za³o¿yæ p parametrów, przy czym musi byæ spe³niony warunek

p = 3n – 4,

z którego wynika, ¿e n ³ 2.

Zwróæmy uwagê, ¿e ju¿ przy n = 4 mo¿na narzuciæ po³o¿enia wszystkich czterech

mas zastêpczych, np. w tych punktach, których przyspieszenia znamy lub dogodnie

mo¿na je okreœliæ.

Stosunkowo ³atwo rozwi¹zuje siê uk³ad równañ (105), je¿eli jedna z mas zastep-

czych przyj¹c w œrodku masy S, a tam z kolei umieœciæ pocz¹tek uk³adu wspó³rzêd-

nych. W takim przypadku, np. dla ³¹cznika BC (rys. 147), mamy

m

B

+ m

S

+ m

C

= m,

– m

B

· b + m

C

· c = 0,

m

B

· b

2

+ m

C

· c

2

= J

S

.

142

Rys. 148. Redukcja mas: a) uk³ad rzeczywisty, b) model dynamiczny z³o¿ony

z cz³onów niewa¿kich i mas skupionych

Po rozwi¹zaniu

m

J

b l

m

J

c l

m

m J

b c

B

S

C

S

S

S

=

⋅

=

⋅

=

−

⋅

,

,

.

Masy skupione dogodnie jest umieœciæ w œrodkach par obrotowych, co znacznie

upraszcza okreœlanie przyspieszeñ.

W ten sposób mo¿na zast¹piæ przyk³adowy mechanizm korbowodzikowy (rys. 148a)

dogodnym uk³adem mas skupionych (rys. 148b). Cz³ony (2) i (3) zast¹piono uk³adami

trzech mas skupionych (w przegubach i œrodkach ciê¿koœci) co oznacza, ¿e

m

B

= m

B2

+ m

B3

i m

C

= m

C3

+ m

C4

.

Taki uk³ad modelowy (rys. 148b) jest równowa¿ny dynamicznie uk³adowi fizycz-

nemu (rys. 148a).

Rys. 147. Cz³on dwuwêz³owy BC i jego trójmasowy model dynamiczny

Rys. 149. Si³y odzia³ywania w parach kinematycznych: a) w parze obrotowej,

b) w parze postêpowej, c) w parze wy¿szej

10. Kinetostatyka

W ka¿dym uk³adzie kinematycznym w jego ruchomych po³¹czeniach zachodzi od-

dzia³ywanie cz³onów na siebie. Si³ê oddzia³ywania tworz¹cych parê cz³onów k i l

oznaczaæ bêdziemy przez P

kl

(oddzia³ywanie cz³onu k na l) lub przez P

lk

(oddzia³y-

wanie cz³onu l na k), przy czym (rys. 149)

P

P

kl

lk

= −

.

Wyznaczanie tych si³ nale¿y do podstawowych zadañ w procesie projektowania.

Niezbêdna jest te¿ znajomoœæ tzw. si³y równowa¿¹cej F

r

lub momentów równowa-

¿¹cych M

r

. Przez pojêcia te rozumiemy si³y (lub momenty si³) przy³o¿one do wybra-

nych cz³onów uk³adu kinematycznego, utrzymuj¹ce uk³ad w równowadze. Je¿eli np.

na cz³ony uk³adu dzia³aj¹ obci¹¿enia zewnêtrzne M

2

, P

b

, G

3

(rys. 150) i efekt ich

dzia³ania udaje siê zrównowa¿yæ jedn¹ si³¹ F

r

, to tak¹ si³ê nazywamy w³aœnie si³¹

równowa¿¹c¹. Wyznaczanie zarówno si³ oddzia³ywania, jak i si³ równowa¿¹cych mo¿na

dokonywaæ w uk³adach pozostaj¹cych w spoczynku znanymi z mechaniki metodami

statyki.

Mechanizmy (uk³ady cz³onów ruchomych) odró¿nia od uk³adów nieruchmych to,

¿e na ich cz³ony dzia³aj¹ dodatkowo si³y bezw³adnoœci. Je¿eli jednak wypadkowe

tych si³, które potrafimy okreœliæ (p. 9.1) potraktowaæ jako si³y zewnêtrzne dzia³aj¹ce

na cz³ony obok innych si³ zewnêtrznych, nie zmieni to obci¹¿enia samych par kine-

144

matycznych. Oznacza to, ze w ten sposób ruchome uk³ady (mechanizmy) mo¿na spro-

wadziæ do uk³adów statycznych i rozwi¹zywaæ metodami statyki. Metoda taka nosi

miano kinetostatyki.

Stosuj¹c metodê kinetostatyki do okreœlania si³ oddzia³ywania w parach si³ i mo-

mentów równowa¿¹cych, dogodnie jest, z³o¿ony zwykle uk³ad obcia¿eñ rzeczywi-

stych zast¹piæ najprostszym uk³adem równowa¿nym. Mo¿na to osi¹gn¹æ przez reduk-

cjê wszystkich si³ i momentów zewnêtrznych (np. oporów u¿ytecznych, szkodliwych

si³ ciê¿koœci itp.) oraz wypadkowych si³ bezw³adnoœci dzia³aj¹cych na poszczególne

cz³ony jedn¹ tylko si³¹ lub si³¹ i momentem si³. Istotê takiego zabiegu zilustrowano na

rys. 151, przy czym na rys. 151a mamy cz³on obci¹¿ony uk³adem si³ rzeczywistych,

na rys. 151b natomiast ten sam cz³on obci¹¿ony jedn¹ si³¹ wypadkow¹

W

G

S

P

b

= + +

.

Rys. 150. Ilustracja pojêcia si³y równowa¿¹cej

Rys. 151. Ilustracja redukcji si³ dzia³aj¹cych na cz³on ABC: a) cz³on z uk³adem si³ zewnêtrznych,

b) cz³on z si³¹ wypadkow¹ W

10.1. Grupy statycznie wyznaczalne

Okreœlaj¹c si³y oddzia³ywania i si³y równowa¿¹ce w uk³adach kinematycznych,

dogodnie jest badany uk³ad podzialiæ na takie najprostsze elementy, które po wyo-

drêbnieniu z ca³ego mechanizmu, rozpatrywane w równowadze – umo¿liwiaj¹ okre-

œlenie si³ oddzia³ywania w kolejnych parach kinematycznych. Elementy takie, zwane

grupami statycznie wyznaczalnymi, musz¹ mieæ okreœlon¹ budowê strukturaln¹.

145

W celu wyjaœnienia struktury grup statycznie wyznaczalnych, daj¹cych mozliwoœæ

okreœlenia za pomoc¹ metod statycznych niewiadomych si³ oddzia³ywania w parach

kinematycznych, konieczne jest ustalenie zale¿noœci miêdzy liczb¹ cz³onów i par ki-

nematycznych, przy której si³y niewiadome mog¹ byæ okreœlone za pomoc¹ równañ

statycznych.

Zale¿noœæ tê mo¿na ustaliæ przez dok³adn¹ analizê si³ oddzia³ywania w parach

kinematycznych. Je¿eli pomin¹æ zjawisko tarcia, to w parze obrotowej (I kl.) linia

dzia³ania wypadkowej oddzia³ywania wzajemnego dwóch cz³onów l i k przechodzi

przez œrodek pary oraz

P

P

kl

lk

= −

(rys. 149a). Nie s¹ znane modu³ i kierunek si³y.

Mo¿na powiedzieæ inaczej, ¿e para obrotowa I klasy dostarcza dwie niewiadome. W

parze I klasy postêpowj (rys. 149b) wypadkowa (

P

P

kl

lk

= −

) oddzia³ywania wza-

jemnego ma kierunek prostopad³y do prowadnicy, nie s¹ znane natomiast punkt przy-

³o¿enia i modu³. A wiêc dostarcza ona tak¿e dwie niewiadome. W parze wy¿szej II

klasy (rys. 149c) si³a oddzia³ywania jest okreœlona co do kierunku (normalny do wspól-

nej stycznej) i punktu przy³o¿enia (punkt styku), niewiadom¹ jest zaœ tylko modu³.

Je¿eli w uk³adzie mechanicznym p³askim wystêpuje p

1

par I klasy i p

2

par II

klasy, to ³¹czna liczba parametrów, jak¹ nale¿y okreœliæ przy wyznaczaniu si³ oddzia-

³ywania, wyniesie 2p

1

+ p

2

. Z drugiej strony, dla ka¿dego cz³onu w ³añcuchu p³askim

mo¿na napisaæ 3 równania równowagi – suma rzutów na dwie osie prostopad³e oraz

suma momentów wzglêdem dowolnego punktu równa siê zeru. Oznacza to, ¿e dla n

cz³onów liczba równañ, a wiêc liczba parametrów, które mo¿na obliczyæ, wynosi 3n.

Mo¿na wiêc napisaæ

3n = 2p

1

+ p

2

.

(106)

Wed³ug zale¿noœci (106) mo¿na sprawdziæ, czy wydzielona z mechanizmu grupa

cz³onów jest statycznie wyznaczalna. Nale¿y przy tym nadmieniæ, ¿e w wydzielonej

z mechanizmu grupie statycznie wyznaczalnej musz¹ byæ znane wszystkie obci¹¿enia

zewnêtrzne.

Je¿eli z uk³adu mechanicznego wydzielimy mo¿liwe grupy statycznie wyznaczal-

ne, spe³niaj¹ce warunek (106), to pozostan¹ tylko cz³ony czynne. Oznacza to, ¿e ana-

lizê kinetostatyczn¹ mechanizmów mo¿na sprowadziæ do analizy grup statycznie wyz-

naczalnych i cz³onu czynnego, co sugeruje z kolei mo¿liwoœæ opracowania ogólnych

metod rozwi¹zywania wszystkich mechanizmów p³askich.

10.1.1 Analiza si³ w grupach statycznie wyznaczalnych

Wychodz¹c z zale¿noœci (106), mo¿na kolejnym liczbom n cz³onów przyporz¹d-

kowaæ liczby p

1

i p

2

par wystêpuj¹cych w grupie. Zestawione w tabeli 8 przyk³ado-

we wyniki takich operacji wskazuj¹ na du¿¹ ró¿norodnoœæ grup nawet przy ma³ych

liczbach n. Najprostsz¹ odmianê grupy stanowi pojedynczy cz³on dwuwêz³owy (we-

rsja 1.1.1) lub trójwêz³owy (wersja 1.0.3). Stosunkowo proste grupy tworz¹ tak¿e

tzw. dwucz³ony, z których do najczêœciej spotykanych nale¿y wersja 2.3.0. Po wpro-

wadzeniu w miejsce par kinetycznych I kl i II kl. ró¿nych postaci, otrzymamy ró¿ne

146

Tabela 8

Rys. 152. Postacie najprostszej grupy statycznie wyznaczalnej

Rys. 153. Postacie dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej

postacie wersji grup statycznie wyznaczalnych. Postacie grup wersji 1.1.1 przedsta-

wiono na rys. 152, natomiast wersji 2.3.0 na rys. 153.

Ka¿da z postaci, nawet tej samej wersji, wymaga nieco odmiennego toku postêpo-

wania, co mo¿na przeœledziæ na kilku przyk³adach rozwi¹zanych metodami grafoana-

litycznymi.

Wersja 1.1.1 postaæ C

Niech w badanym mechanizmie bêdzie grupa jednocz³onowa (rys. 154a) obci¹¿o-

na zredukowan¹ si³¹ zewnêtrzn¹ P

1

i momentem zredukowanym M

1

. Nale¿y okre-

œliæ si³y oddzia³ywania P

x1

cz³onu x na 1 w parze A i P

y1

cz³onu y na 1 w parze B.

Wiadomo, ¿e w parze obrotowej A wypadkowa si³a oddzia³ywania przechodzi przez

œrodek pary. W parze wy¿szej B si³a oddzia³ywania przechodzi przez punkt styku i

jest prostopad³a do stycznej w punkcie styku. Znany jest wiec kierunek i punkt przy-

³o¿enia si³y oddzia³ywania P

y1

. Zapisuj¹c równania momentów wzglêdem punktu A

mo¿na obliczyæ si³ê P

y1

. Bêdzie

P

y1

· h

y

– P

1

· h

1

+ M

1

= 0,

147

a wiêc

P

P h

M

h

y

y

1

1

1

1

=

⋅ −

.

Si³ê oddzia³ywania P

x1

znajdziemy na podstawie np. warunku, ¿e suma wszyst-

kich si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on 1 w równowadze równa siê zeru, czyli

P

P P

x

y

1

1

1

0

+ +

= .

Ostatnie równanie mo¿na rozpisaæ w postaci dwóch równañ analitycznych lub roz-

wi¹zaæ graficznie (rys. 154b).

Wersja 1.1.1 postaæ B

W ogólnym przypadku, gdy cz³on (1), stanowi¹cy grupê tej wersji, jest obci¹¿ony

wypadkow¹ si³¹ P

1

i wypadkowym momentem M

1

(rys. 155), si³y oddzia³ywania

P

x1

w parze postêpowej A i P

y1

w parze wy¿szej B mo¿na okreœliæ np. na

podstawie nastêpuj¹cych równañ:

P

P P

y

x

1

1

1

0

+ +

= .

–P

x1

· h

1

+ M

1

= 0.

Pierwsze z równañ, przy znanych kierunkach szukanych si³ P

x1

i P

y1

, mo¿na

rozwi¹zaæ graficznie (rys. 155b), z drugiego zaœ, wyra¿aj¹cego sumê momentów si³

zewnêtrznych wzglêdem specjalnie dobranego punktu S, mozna obliczyæ h

1

. Nale¿y

zwróciæ uwagê, ¿e linia dzia³ania si³y P

x1

mo¿e przebiegaæ poza miejscem styku

wchodz¹cych w po³¹czenie cz³onów. Jest to mo¿liwe dlatego, poniewa¿ P

x1

jest

wypadkow¹ dwóch si³ dzia³aj¹cych w rzeczywistych lub umownych punktach A' i A"

(rys. 156).

Rys. 154. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 1.1.1.C):

a) cz³on 1 obci¹¿ony si³ami zewnêtrznymi, b) wielobok si³

148

Wersja 2.3.0 postaæ A

Wydzielaj¹c z badanego mechanizmu grupê tego typu (rys. 157a) zast¹pimy, jak w

poprzednich przypadkach, wiêzy nak³adane przez cz³ony x i y si³ami oddzia³ywania

P

x1

i P

y2

. Te nie znane si³y roz³o¿ymy na dwie ich sk³adowe: normalne (wzd³u¿ osi

cz³onów) i styczne (prostopad³e do pierwszych).

Tak dobrane kierunki sk³adowych pozwalaj¹ okreœliæ sk³adowe styczne P

x1

t

i P

x2

t

.

wystarczy w tym celu u³o¿yæ dla ka¿dego cz³onu oddzielnie równanie momentów si³

wzglêdem wspólnego przegubu B. Mamy wtedy dla cz³onu (1)

–P

x1

t

· AB + P

1

· h

1

+ M

1

= 0,

a wiêc

−

=

⋅ +

P

P h

M

AB

x

t

1

1

1

1

,

Rys. 155. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 1.1.1 B):

a) cz³on (1) z obci¹¿enien zewnêtrznym, b) wielobok si³

Rys. 156. Wypadkowa si³ oddzia³ywania w parze postêpowej: a) para postêpowa z cz³onem (1)

obci¹¿onym momentem M, b) wielobok si³

149

dla cz³onu (2)

P

y2

t

· BC + P

2

· h

2

+ M

2

= 0,

a wiêc

P

P h

M

BC

y

t

2

2

2

2

=

⋅ +

.

W równaniach momentów nie wyst¹pi³y si³y sk³adowe P

x1

n

i P

y2

n

, gdy¿ ich ramio-

na dzia³ania s¹ równe zeru. Sk³adowe te mo¿na okreœliæ, rozpatruj¹c z kolei równowa-

gê si³ ca³ej grupy

P

P

P P

P

P

x

n

x

t

y

t

y

n

1

1

1

2

2

2

0

+

+ +

+

+

= .

Równanie to, w którym wystêpuj¹ tylko dwie niewiadome P

x1

n

, P

y2

n

i to znane co

do kierunku, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 157b). W tym celu prowadzimy znany

kierunek n

1

// AB i z dowolnego punktu N

1

rozpoczynamy sumowanie kolejnych si³

P

P P i P

x

t

y

t

1

1

2

2

,

,

. Z koñca N

2

ostatniego wektora poprowadzony kierunek n

2

// CB

przetnie siê z n

1

w punkcie N, wyznaczaj¹c szukane

P

N N

y

n

2

2

=

i

P

N N

x

n

1

1

=

. W

ten sposób okreœlone

P

P

P

x

x

n

x

t

1

1

1

=

+

i

P

P

P

y

y

n

y

t

2

2

2

=

+

, tworz¹ wraz z si³ami

P

1

i

P

2

wielobok si³ wyznaczaj¹cy równie¿

P

P

12

21

=

(rys. 157c). Jest bowiem

P

P

P

P

P

P

x

y

1

1

21

2

2

12

0

0

+ +

=

+

+

=

i

Rys. 157. Rozwi¹zania dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej z parametrami obrotowymi

(wersja 2.3.0.A): a) dwucz³on ABC z obci¹¿eniem zewnêtrznym, b i c) wieloboki si³

150

Wersja 2.3.0 postaæ B

Tak jak w poprzednim przypadku i tu przy obci¹¿eniu dwucz³onu ABC jak na

rys. 158a, nale¿y okreœliæ P

x1

, P

y2

i P

12

. Jak ju¿ wiadomo, kierunek wypadkowej

P

x1

si³y oddzia³ywania w parze postêpowej jest znany. Si³ê oddzia³ywania P

y2

roz³o-

¿ymy na normaln¹ P

y2

n

wzd³u¿ prostej CB i styczn¹ P

y2

t

do niej prostopad³¹,

Korzystaj¹c z równania momentów wzglêdem punktu B obliczymy sk³adow¹ P

y2

t

.

Bêdzie

P

y2

t

· CB – M

2

– P

2

· h

2

= 0,

czyli

P

P h

M

CB

y

t

2

2

2

2

=

⋅ +

.

Z warunku równowagi si³

P

P

P

P P

y

n

y

t

x

2

2

2

1

1

0

+

+

+ +

=

mo¿na okreœliæ graficznie si³y P

y2

n

i P

x1

(rys. 158b).

Ramiê h

x1

si³y P

x1

mo¿na znaleŸæ z równania momentów si³ przy³o¿onych do

cz³onu (1) wzglêdem np. punktu B

P

x1

· h

x1

– P

1

· h

1

– M

1

= 0,

sk¹d

h

P h

M

P

x

x

1

1

1

1

1

=

⋅ +

.

Rys. 158. Rozwi¹zanie dwucz³onowej grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 2.3.0.C):

a) dwucz³on ABC z obci¹¿eniem zewnêtrznym, b) wielobok si³

151

Tabela 9

152

Pozosta³¹ si³ê P

12

= –P

21

oddzia³ywania cz³onów w punkcie B mo¿na wyznaczyæ

z warunku równowagi np. cz³onu (1)

P P

P

x

1

1

21

0

+

+

= .

Wersja 2.3.0, postacie A, B, C, D i E (cz³ony obci¹¿one tylko si³ami)

Je¿eli momenty i si³y dzia³aj¹ce na cz³ony zredukowaæ do si³, tok postêpowania

przy okreœlaniu si³ oddzia³ywania w parach kinematycznych grup statycznie wyzna-

czalnych wersji 2.3.0 nie zmieni siê. Przy takim za³o¿eniu rozwi¹zanie tych grup

zestawiono w tabeli 9. Wersja 2.3.0.F nie wystêpuje w mechanizmach 3 rodziny

i zosta³a tutaj pominiêta.

Wersja 4.6.0 postaæ A

W p³askich mechanizmach dŸwigniowych (z parami ni¿szymi) doœæ czêsto mo¿na

spotkaæ w³aœnie tê grupê wersji 4.6.0, postaci A – z parami obrotowymi.

Rys. 159. Rozwi¹zanie grupy statycznie wyznaczalnej (wersja 4.6.0): a) grupa

z obci¹¿eniami zewnêtrznymi, b) wielobok si³

153

Wydzielaj¹c grupê tego typu (rys. 159a) z badanego mechanizmu zast¹pimy, jak

w poprzednich przypadkach, wiêzy nak³adane przez cz³ony x, y, z, si³ami oddzia³y-

wania P

x3

, P

y5

i P

z6

. Te nie znane si³y roz³o¿ymy na dwie sk³adowe normalne (wzd³u¿

osi cz³onów) i styczne (prostopad³e do pierwszych).

Tak dobrane kierunki sk³adowych pozwalaj¹ okreœliæ sk³adowe styczne

P

P

P

x

t

y

t

z

t

3

5

6

,

,

.

Wystarczy w tym celu u³o¿yæ dla ka¿dego cz³onu oddzielnie równanie momentów

wzglêdem przegubów C, D i F. Mamy wtedy dla cz³onu (3)

P

x3

t

· BC – P

3

· h

3

= 0,

a wiêc

p

P h

BC

x

t

3

3

3

=

⋅

,

dla cz³onu (5)

P

y5

t

· ED – P

5

· h

5

= 0,

a wiêc

p

P h

ED

y

t

5

5

5

=

⋅

,

dla cz³onu (6)

P

z6

t

· GF – P

6

· h

6

= 0,

a wiêc

p

P h

GF

z

t

6

6

6

=

⋅

.

Jedn¹ z trzech si³ normalnych wyznaczymy, korzystaj¹c powtórnie z sumy mo-

mentów. W tym celu nale¿y poszukaæ takiego punktu, dla którego ramiona dwóch si³

normalnych bêd¹ równe zeru. Takim punktem jest jeden z trzech punktów Assura dla

grupy III klasy, np. punkt R. Dla równania sumy momentów wzglêdem punktu R

otrzymamy

P

BR P h

P h

P h

P

ER P h

P

h

P

h

x

t

R

R

y

t

R

z

t

z

n

3

3

3

4

4

5

5

5

6

6

6

1

6

2

0

⋅

− ⋅

− ⋅ + ⋅

−

⋅

− ⋅

+

⋅ +

⋅

= ,

a wiêc

P

P

BR P h

P h

P h

h

P

ER P h

P

h

h

z

n

x

t

R

R

y

t

R

z

t

6

3

3

3

4

4

5

5

2

5

6

6

6

1

2

= −

⋅

+ ⋅

+ ⋅ − ⋅

+

−

⋅

+ ⋅

−

⋅

.

Sk³adowe

P

x

n

3

i

P

y

n

5

mo¿na okreœliæ rozpatruj¹c równowagê si³ ca³ej grupy, a wiêc

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

x

n

x

t

z

t

z

n

y

t

y

n

3

3

3

4

6

6

6

5

5

5

0

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= .

154

Równanie to, w którym wystêpuj¹ tylko dwie niewiadome P

x3

n

i P

y5

n

, i to znane co

do kierunku, mo¿na rozwi¹zaæ graficznie (rys. 159b). Pozosta³e si³y oddzia³ywannia

mo¿na obliczyæ z równowagi cz³onów:

dla cz³onu (3)

P

P P

x3

3

43

0

+

+

= ,

dla cz³onu (5)

P

P P

y5

5

45

0

+ +

= ,

dla cz³onu (6)

P

P

P

z6

6

46

0

+

+

= .

Oczywiœcie, dla cz³onu (4) musi byæ

P

P

P

P

34

4

54

64

0

+

+

+

= .

Poprzestaj¹c na omówieniu tych przypadków wyra¿amy przekonanie, ¿e przyk³a-

dy te powinny u³atwiæ stworzenie stosownej metody rozwi¹zywania kolejnych wersji

i postaci grup statycznie wyznaczalnych.

10.2. Równowaga cz³onu czynnego

Jak to wykazano w podrozdziale 10.1, grupy statycznie wyznaczalne charakteryzu-

j¹ siê tym, ¿e przy³¹czone parami wolnymi do podstawy tworz¹ uk³ad sztywny. Ru-

chliwoœæ ich W = 0, a zatem wydzielone z mechanizmu nie zmieniaj¹ ruchliwoœci

pozosta³ej czêœci uk³adu mechanicznego. Wydzielaj¹c takie grupy z uk³adu a¿ do skutku,

otrzymamy pozosta³oœæ w postaci jednego cz³onu lub grupy cz³onów napêdzaj¹cych.

Najczêœciej cz³onem napêdzaj¹cym jest cz³on osadzony obrotowo w podstawie z przy-

³o¿onym napêdem w postaci momentu czynnego M

c

(rzadziej si³y P

c

) lub wchodz¹cy

z podstaw¹ w parê postêpow¹ z napêdem w postaci si³y czynnej P

c

. Poza tym cz³on

napêdzaj¹cy mo¿e byæ obci¹¿ony jak ka¿dy inny si³ami zewnêtrznymi, bezw³adnoœci,

ciê¿koœci i si³ami oddzia³ywania innych cz³onów. Najczêœciej wystêpuj¹ce rodzaje

cz³onów czynnych omówiono w kolejnoœci.

A. Cz³on obrotowo osadzony w podstawie z napêdem przy³o¿onym w postaci mo-

mentu M

c

(rys. 160). Oznaczmy tradycyjnie podstawê przez (1), cz³on czynny przez

(2), przez (3) natomiast cz³on mechanizmu, który tworzy po³¹czenie ruchowe z cz³o-

nem czynnym. Cz³on czynny (2) obci¹¿ony jest znan¹ si³¹ P

32

w punkcie B, nie znan¹

si³¹ P

12

w punkcie A oraz nie znanym momentem M

c

. Dla okreœlenia tego momentu

dogodnie jest M

c

zast¹piæ par¹ si³. Je¿eli cz³on (2) jest w równowadze, to jedna z si³

tej pary musi w punkcie B równowa¿yæ zewnêtrzn¹ si³ê P

32

, czyli

P

P

32

32

= −

.

W ten sposób okreœlona jest równie¿ i druga si³a pary w punkcie A

(

)

P

P

21

32

= −

oraz

ramiê h pary.

155

Rys. 160. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym obrotowym obci¹¿onym momentem M

c

Oczywiœcie

M

c

= P

23

· h

oraz

P

P

12

21

= − .

Si³a P

12

to si³a oddzia³ywania podstawy na cz³on czynny w pukcie A.

B. Cz³on obrotowo osadzony w podstawie z napêdem przy³o¿onym w postaci si³y

P

c

(rys. 161). Przy znanej sile zewnêtrznej P

32

nale¿y okreœliæ r

c

oraz si³y oddzia³y-

wania w punkcie A. Si³y te mo¿na okreœliæ zak³adaj¹c równowagê cz³onu (2). Otrzy-

mamy

Rys. 161. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym obrotowym obci¹¿onym si³¹ P

c

: a) cz³on czynny, b) plan si³

156

Rys. 162. Rozk³ad si³ na cz³onie czynnym w ruchu postêpowym a) cz³on czynny, b) plan si³

P

P P

c

12

32

0

+

+

= .

Korzystaj¹c ze znajomoœci kierunków pozosta³ych si³ (linie tych trzech si³ w rów-

nowadze przecinaj¹ siê w jednym punkcie) znajdziemy ich modu³y z wieloboku si³

(rys. 161b).

C. Cz³on w ruchu postêpowym wzglêdem podstawy z przy³o¿onym napêdem w

postaci si³y P

c

(rys. 162). Tu równie¿ nie znane dotychczas si³y P

c

i P

12

znajdzie-

my z równowagi cz³onu (2) (rys. 162b)

P

P P

c

32

12

0

+ +

=

ramiê h

12

dzia³ania si³y P

12

natomiast z równania momentów

P

12

· h

12

– P

c

· h

c

= 0

lub graficznie korzystaj¹c z tego, ¿e linie trzech si³ w równowadze przecinaj¹ siê w

jednym punkcie.

Potrafimy wiêc ju¿ analizowaæ wydzielone z mechanizmu grupy statycznie wyzna-

czalne oraz pozosta³y w wyniku podzia³u cz³on czynny przy podstawie. Zalecaj¹c taki

tok postêpowania przeœledŸmy go na prostym przyk³adzie (rys. 163).

10.3. Wyznaczanie si³ i momentów równowa¿¹cych

metod¹ energetyczn¹

Stosuj¹c poznan¹ metodê kinetostatyki mo¿na, przez wyznaczenie si³ oddzia³ywa-

nia we wszystkich parach kinematycznych, okreœliæ równie¿ si³y i momenty równo-

wa¿¹ce. W celu okreœlenia tylko si³ i momentów równowa¿¹cych, wielkoœci niezbêd-

157

Rys. 163. Podzia³ mechanizmu na grupy statycznie wyznaczalne: a) mechanizm obci¹¿ony si³ami,

b) wydzielenie cz³onu GH, c) wydzielenie grupy dwucz³onowej EFJ,

d) wydzielenie grupy dwucz³onowej BCD

158

nych np. do ustalenia mocy napêdu, mo¿na skutecznie pos³u¿yæ siê prost¹ metod¹

opart¹ na zasadzie prac przygotowanych.

W myœl tej zasady, suma prac przygotowanych si³ i momentów dzia³aj¹cych na

cz³ony uk³adu mechanicznego w równowadze równa siê zeru. Mo¿na to zapisaæ na-

stêpuj¹co

(

cos

)

,

P

M

i

Si

i

i

i

⋅

⋅

+

⋅

=

∑

∆

∆

α

ϕ

0

(107)

gdzie: P

i

, M

i

– si³y i momenty si³,

D

Si

, Dj

i

– przesuniêcia przygotowane wyra¿one drog¹ liniow¹ S punktów przy-

³o¿enia si³ lub drog¹ k¹tow¹ j obci¹¿onych momentami cz³onów.

Po podzieleniu wyra¿enia (107) przez Dt i przejœciu do granicy otrzymamy

(

cos

)

,

P v

M

i

Si

i

i

i

⋅

⋅

+

⋅

=

∑

α

ω

0

(108)

gdzie v

Si

, w

i

– prêdkoœæ punktu przy³o¿enia si³y, prêdkoœæ k¹towa cz³onu obci¹¿one-

go momentem si³.

Z zale¿noœci (108) mo¿na okreœliæ jedn¹ z si³, np. nie znan¹ si³ê równowa¿¹c¹ lub

jeden z momentów, przy czym mo¿na tego dokonaæ analitycznie lub graficznie. Pozos-

taj¹c przy drugim sposobie, rozpatrzmy dowolny cz³on BC (rys. 164a) obci¹¿ony si³¹

P w punkcie D o znanej prêdkoœci v

D

. Obierzmy dowolny punkt jako biegun p

v

(rys. 164b), od³ó¿my z niego obrócon¹ o p/2 prêdkoœæ v

D

i do koñca tego wektora

przenieœmy rozwijan¹ przez si³ê P (N

D

= P· v

D

· cos a

D

) mo¿na wyraziæ iloczynem

P·h, w którym h = v

D

cos a

D

jest ramieniem si³y wzglêdem bieguna p

v

. Chwilow¹

moc si³y P mo¿na wiêc przedstawiæ w postaci pewnego „momentu"

P·v

D

cos a

D

= P·h.

To samo mo¿na powiedzieæ o mocach si³ dzia³aj¹cych na wszystkie inne cz³ony

rozpatrywanego uk³adu mechanicznego, a zatem

Rys. 164. Ilustracja zasady dŸwigni ¯ukowskiego: a) cz³on BC obci¹¿ony si³¹ P,

b) obrócony plan prêdkoœci obci¹¿ony si³¹ P

159

Rys. 165. Ilustracja zasady dŸwigni ¯ukowskiego: a) cz³on obci¹¿ony moentem M,

b) obrócony plan prêdkoœci obci¹¿ony momentem M

(

cos )

(

).

P v

P h

i

ki

i

i

i

⋅

⋅

=

⋅

∑

∑

α

(109)

„Moment" obci¹¿aj¹cy cz³on mo¿na, jak pokazano na rys. 165a, zast¹piæ par¹ si³

i traktowaæ je jako si³y zewnêtrzne. Si³y takie przy³o¿one w odpowiednich punktach

na planie predkoœci daj¹ moment zastêpczy M

*

= F· bc, ale poniewa¿

F

M

BC

=

wiêc

M

M bc

BC

*

.

= ±

⋅

(110)

Mo¿na wiêc obci¹¿enie cz³onu momentem M zast¹piæ odpowiednio dobran¹ par¹

si³ lub „momentem" zastêpczym M

x

. Znak (+) jest aktualny, gdy zwroty wektorów bc

i BC s¹ zgodne, znak (–), gdy zwroty s¹ przeciwne.

Spostrze¿enia te wykorzystujemy do okreœlenia w prosty sposób si³ i momentów

równowa¿¹cych w uk³adach mechanicznych. W tym celu nale¿y badanemu mechaniz-

mowi przyporz¹dkowaæ odpowiedni obrócony w dowolnym kierunku i dowolnej

podzia³ce wykreœlony plan prêdkoœci i w odpowiednich punktach obci¹¿yæ go si³ami

zewnêtrznymi. Warunek równowagi uk³adu mechanicznego obci¹¿onego uk³adem si³

sprawdza siê, jak to wynika z równania (109), do równowagi momentów tych si³

liczonych wzglêdem bieguna p

v

, czyli równowagi obci¹¿onego planu prêdkoœci trak-

160

towanego jako dŸwignia sztywna obrotowa osadzona w biegunie. DŸwignia ta nosi

nazwê dŸwigni ¯ukowskiego. Sposób korzystania z niej zilustrowano na nastêpuj¹-

cych przyk³adach:

1. Dany jest mechanizm ABC (rys. 166a) obci¹¿ony w punkcie D ³¹cznika znan¹

si³¹ F

D

. Nale¿y okreœliæ si³ê S, która przy³o¿ona do t³oka utrzyma mechanizm w

równowadze.

Zgodnie z opisan¹ metod¹ wykreœlono, po za³o¿eniu dowolnej prêdkoœci dowolne-

go punktu (np. B) w dowolnym kierunku, obrócony plan prêdkoœci (rys. 166b). W

odpowiednich punktach (u nas w d i c) przy³o¿ono znan¹ si³ê F

D

i szukan¹ si³ê S.

Równowaga dŸwigni zachodzi, gdy:

–S· h

S

+ F

D

· h

F

= 0,

a zatem szukan¹ si³ê równowa¿¹c¹ mo¿na obliczyæ z zale¿noœæi

S

F h

h

D

F

S

=

⋅

.

WartoϾ stosunku h

F

/h

S

mo¿na okreœliæ analitycznie lub, na podstawie rysunku

166b, graficznie.

2. W mechanizmie ABCD (rys. 167a) dana si³a S si³ownika równowa¿y moment

bierny M

4

. Nale¿y okreœliæ ten moment. Sporz¹dzamy obrócony plan prêdkoœci (rys.

167b) i traktuj¹c go jako dŸwignie sztywn¹ obrotowo osadzon¹ w biegunie p

v

, obci¹-

¿amy si³ami S w punktach e i f oraz „momentem" zastêpczym M

4

*

. Z równowagi

takiej dŸwgini wynika, ¿e

M

4

*

+ S· h

E

– S· h

F

= 0,

Rys. 166. Okreœlanie si³y równowa¿¹cej S metod¹ prac przygotowanych: a) schemat kinematyczny

mechanizmu, b) dŸwignia ¯ukowskiego

161

czyli

M

4

*

= S(h

F

– h

E

) = S· h.

Rzeczywisty moment M

4

obliczymy z zale¿noœci (110). Otrzymamy

M

M DC

dc

4

4

=

*

,

Rys. 167. Wyznaczanie momentu równowa¿¹cego M

4

metod¹ energetyczn¹:

a) schemat kinematyczny mechanizmu, b) dŸwignia ¯ukowskiego

162

11. Tarcie w parach kinematycznych

Wyznaczaj¹c si³y oddzia³ywaia w parach kinematycznych zak³adano, jak dotych-

czas, idealne warunki wspó³pracy pó³par cz³onów uk³adów mechanicznych, a wiêc

w obliczeniach nie uwzglêdniono oporów w postaci tzw. si³ tarcia, wystêpuj¹cych

w ruchu wzglêdnym cz³onów. W rzeczywistoœci za³o¿enie takie jest czêsto niedopu-

szczalne, gdy¿ ró¿nice wynikaj¹ce z faktu istnienia si³ tarcia mog¹ byæ znaczne. Mog¹

one na ogó³ dotyczyæ zarówno modu³ów si³, jak i linii ich dzia³anmia. Innymi s³owy,

tarcie ma wp³yw na rozk³ady si³ oddzia³ywania, na wartoœci si³ i momentów równo-

wa¿¹cych, na sprawnoœæ i zu¿ycie. Tarcie w technice jest na ogó³ zjawiskiem niepo-

¿¹danym i d¹¿y siê do jego zmniejszania. S¹ jednak przypadki, gdzie si³y tarcia wyko-

Tabela 10

163

rzystuje siê z po¿ytkiem (np. hamulce, sprzêg³a i przek³adnie cierne). Podjêty temat

tarcia rozpatrzymy w aspekcie jego wp³ywu na si³y w parach kinematycznych. Rozpo-

czynaj¹c od krótkiego przypomnienia wiadomoœci elementarnych, w tabeli 10 zesta-

wiono podstawowe pojêcia i podzia³y. W tabeli tej zaakcentowano, za pomoc¹ dodat-

kowych ramek (linia przerywana) przedmiot i kierunek naszych zainteresowañ. Pozo-

staj¹c dalej przy tarciu suchym technicznym, zwróæmy uwagê na z³o¿onoœæ zjawiska.

Objawia siê ono oporem notowanym przy ruchu wzglêdem dwóch cia³ pozostaj¹cych

ze sob¹ w kontakcie (rys. 168). Opór ten jest pochodzenia fizykomechanicznego i

zale¿y od wielu czynników. Aby nawi¹zaæ do podstawowych pojêæ z tego zakresu,

rozpatrzmy punktowy styk dwóch cia³ (1) i (2) (rys. 169a). Niech bêdzie cz³on (2)

dociskany do cz³onu (1) z si³¹ Q i poddany dzia³aniu si³y F. W wyniku takiego obci¹-

¿enia w punkcie styku pojawiaja siê dwie si³y tarcia T

12

i T

21

, przy czym

T

T

12

21

= − .

Ogólnie 0 < T

ij

< T

ij

, przy czym, zgodnie z przyjêtym i wykorzystywanym w

technice prawem Coulomba-Amontosa,

T

ij

= m· Q.

(111)

Wartoœæ wspó³czynnika tarcia m zale¿y od rodzaju stykaj¹cych siê cia³, stanu ich

powierzchni, temperatury, ale równie¿, co siê czêsto pomija, od nacisków jednostko-

wych p, prêdkoœci ruchu wzglêdnego v, czasu styku itd. Przyk³ady charakterów prze-

biegów niektórych zale¿noœci uzyskanych podczas badania wybranych par tr¹cych

przedstawiono na rys. 170.

Wróæmy ponownie do rysunku 169. W wyniku pojawienia siê podczas ruchu si³y

tarcia T

12

, ca³kowita si³a oddzia³ywania

P

P

T

n

12

12

12

=

+

tworzy z normaln¹ n–n w

punkcie styku k¹t tarcia r (tg r = m). Zak³adaj¹c, ¿e mo¿na rozpatrywaæ dowolny

kierunek ruchu wzglêdnego v

21

, w celu opisania kierunku si³y oddzia³ywania P

12

T

oraz

ruchu cz³onu przy danym obci¹¿eniu i wspó³czynniku tarcia, stosuje siê pojêcie tzw.

sto¿ka tarcia o k¹cie wierzcho³kowym 2r (rys. 169b). Je¿eli linia dzia³ania si³ ze-

wnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (2) (

P

Q

F

= +

) bêdzie przebiegaæ przez wierz-

cho³ek i wewn¹trz tego sto¿ka (a < r), to wystêpuje tarcie nierozwiniête, charaktery-

Rys. 168. Ilustracja zjawiska si³y tarcia

164

Rys. 169. Ilustracja pojêæ z dziedziny tarcia: a) si³a tarcia i k¹t tarcia, b) strefa tarcia i sto¿ek tarcia

Rys. 170. Przebiegi zmian wspó³czynnika tarcia m:

a) m(v), b) m(p), c) m(R

a

)

zuj¹ce siê brakiem ruchu wzglêdnego; gdy

linia dzia³ania si³y zewnêtrznej P pokrywa

siê z jedn¹ z tworza¹cych pobocznicy sto¿-

ka (a = r), wówczas zachodzi równowaga

(brak ruchu lub ruch jednostajny) i wreszcie,

gdy linia ta przebiega poza sto¿kiem tarcia

(a > r), si³a P wywo³uje ruch przyspie-

szony. W obu ostatnich przypadkach mówi

siê o tarciu rozwiniêtym. Mówi siê rów-

nie¿ o tarciu izotropowym, gdy sto¿ek tar-

cia ma podstawê ko³ow¹ oraz o tarciu ani-

zotropowym, gdy podstawa sto¿ka tarcia

nie jest ko³owa. Ten ostatni przypadek za-

chodzi wtedy, gdy wspó³czynnik tarcia m

zale¿y od kierunku ruchu. Odpowiednikiem

sto¿ka tarcia jest podczas ruchu p³askiego

tzw. strefa tarcia pokrywaj¹ca siê z osio-

wym przekrojem tego sto¿ka.

Omówiony styk „punktowy" dwóch

wspó³pracuj¹cych cz³onów wystêpuje teo-

retycznie tylko w parach wy¿szych. W przy-

padku styku dwóch cia³ w dwóch punktach,

np. A i B (rys. 171), strefy U

A

i U

B

,

nak³adaj¹c siê na siebie, tworz¹ tzw. wspól-

n¹ strefê tarcia U

AB

. Pojêcie to mo¿na

165

stosowaæ do interpretacji skutków dzia³ania si³ zewnêtrznych. Na przyk³ad podczas

obci¹¿enia cz³onu (2) si³¹ wypadkow¹ P

2

mog¹ zachodziæ trzy przypadki:

– gdy linia dzia³ania si³y P

2

przechodzi przez wspóln¹ strefê tarcia (jak P

2

" na

rys. 171), wtedy nie ma ruchu (samohamownoϾ),

– gdy linia P

2

nie przecina U

AB

(jak P

2

''' na rys. 171), cz³on (2) pod jej dzia³aniem

jest w ruchu przyspieszonym,

– gdy linia P

2

jest styczna do U

AB

, wtedy jest równowaga (spoczynek lub ruch

jednostajny).

11.1. Tarcie w parach postêpowych

W parach postêpowych tworz¹ce je cz³ony maj¹ na ogó³ styk powierzchniowy.

Luzy i niesymetryczne obci¹¿enie powoduj¹, ¿e styk ten koncentruje siê w okreœlo-

nych rejonach – zwykla naro¿ach (rys. 172a). Stan naprê¿eñ w tych rejonach, zale¿y

ogólnie od sposobu obci¹¿enia, cech geometrycznych i materia³owych pary, jest trud-

ny do ujêcia iloœciowego. Z tego te¿ powodu, rozpatruj¹c w dalszym ci¹gu problemy

si³ tarcia, pos³ugiwaæ siê bêdziemy rozwi¹zaniami modelowymi (rys. 172b), gdzie w

wyniku odpowiedniego ukszta³towania prowadnicy lub suwaka s¹ jednoznacznie okreœ-

lone miejsca styku. W miejscach tych (w czasie obci¹¿enia si³¹ P jak na rysunku)

pojawiaj¹ siê ju¿ z za³o¿enia skupione si³y oddzia³ywania P

12A

T

i P

12C

T

, podczas

tarcia rozwiniêtego odchylone od normalnej o k¹t tarcia r. Gdy znane s¹ geometria

pary, obci¹¿enie (np. wypadkowa P) oraz wartoœci k¹tów tarcia r, wówczas mo¿na

ju¿ bez trudu okreœliæ omawiane si³y oddzia³ywania oraz efekty dzia³ania si³ zewnê-

trznych, np. si³ê S

T

. W szczególnym przypadku punkty styku cz³onów (1) i (2) mog¹

Rys. 171. Ilustracja wspólnej strefy tarcia U

AB

166

le¿eæ po jednej stronie pary (rys. 173). Wszystkie mo¿liwe przypadki mo¿na przeœle-

dziæ na rys. 174, przez zmianê k¹ta a okreœlaj¹cego po³o¿enie wypadkowej P. Jak

widaæ z rysunku, w zale¿noœci od wartoœci k¹ta a cz³on (2) obci¹¿ony tylko si³¹ P

pozostaje w spoczynku (jak na rys. 174), w ruchu przyspieszonym lub równowadze.

Kieruj¹c siê takimi spostrze¿eniami mo¿na ju¿ interpretowaæ sytuacjê obci¹¿eñ

w dowolnym mechanizmie p³askim z parametrami postêpowymi. Rozpatrzmy przy-

k³ady:

1. Na rysunku 175 przedstawiono uk³ad dwukrzywkowy obci¹¿ony znana si³a bier-

n¹ S oraz szukanym momentem czynnym M

c

T

wymuszj¹cym ruch cz³onu (2). Nale-

¿y okreœliæ wartoœæ momentu M

c

T

o raz si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych,

uwzglêdniaj¹c tarcie w parach postêpowych (r – dane).

Dla u³atwienia rozwi¹¿emy to zadanie na pocz¹tek bez uwzglêdniania si³ tarcia. Z

równowagi cz³onu (3) napiszemy (dla r = 0)

Rys. 172. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej przy uwzglêdnieniu tarcia:

a) w parze rzeczywistej, b) w parze modelowej

167

Rys. 173. Si³y oddzia³ywania w modelowej parze postêpowej z uwzglêdnieniem tarcia

Rys. 174. Ilustracja efektu dzia³ania si³y P pod dowolnym k¹tem a

168

P

P

P

S

A

C

23

13

13

0

+

+

+

= .

Przy znanej sile

S

oraz znanych kierunkach pozosta³ych si³ (normalne do po-

wierzchni styku) mo¿na znaleŸæ wszystkie trzy si³y (rys. 175b). Nale¿y w tym celu

dodatkowo wykorzystaæ równanie momentów si³, np. wzglêdem punktu E.

Po uwzglêdnieniu tarcia post¹pimy podobnie: równanie równowagi cz³onu (3) przyj-

mie postaæ

P

P

P

S

T

A

T

C

T

23

13

13

0

+

+

+

=

Tu równie¿ kierunki dzia³ania si³ s¹ znane: s¹ odchylone od normalnych o k¹t

tarcia r. (W ogólnym przypadku wartoœci k¹tów tarcia mog¹ byæ ró¿ne – tu za³o¿ymy

wartoœci jednakowe: r

A

= r

C

= r

E

= r.) Po uwzglêdnieniu otrzymamy rozwi¹zanie

przedstawione na rys. 175c. Wykorzystano tym razem kierunek linii Culmana Z

T

.

Znajduj¹c miêdzy innymi si³ê P

23

T

, mamy jednoczeœnie si³ê P

21

T

w punkcie F

(

)

P

P

T

T

21

23

= −

oraz szukany moment M

c

T

(M

c

T

= P

23

T

· h

2

). Jak widaæ z tego

przyk³adu, ca³a istota uwzglêdniania si³ tarcia w parach postêpowych sprowadza siê

do ustalania nowych kierunków (odchylone o k¹ty tarcia r

i

). W tym przyk³adzie usta-

laj¹c kierunek si³y oddzia³ywania P

23

T

rozumowano nastêpuj¹co. Gdy k¹t w

2

jak na

Rys. 175. Analiza si³owa mechanizmu z uwzglêdnieniem tarcia: a) schemat mechanizmu,

b) plan si³ bez uwzglêdnienia si³ tarcia, c) plan si³ z uwzglêdnieniem si³ tarcia

169

rysunku, nietrudno siê domyœleæ zwrotu prêdkoœci wzglêdnej v

32

w punkcie E (rys.

175a), a wiêc i zwrotu si³y tarcia T

23

. Oznacza to, ¿e P

23

T

odchyla sie w prawo

wzglêdem n–n.

Interpretacjê odchylenia si³ P

13A

T

i P

13C

T

(rys. 175a) pozostawia siê Czytelnikowi.

2. Czêsto rzeczywiste punkty styku cz³onów w parze postêpowej znajduj¹ siê po

jednej stronie. W takim przypadku zagadnienie uwzglêdniania tarcia upraszcza siê

jeszcze bardziej. Z tak¹ sytuacj¹ spotykamy siê przyk³adowo w uk³adzie korbowo-

-wodzikowym (rys. 176a). Za³ó¿my, ¿e nale¿y okreœliæ moment czynny M

2

T

, niezbêd-

ny do pokonania zadanej si³y biernej S z uwzglêdnieniem tarcia tylko w parze postê-

powej (1–4). Tym razem z ³atwego do przewidzenia kierunku si³y P

34

(cz³on (3) jest

tylko œciskany) wynika, ¿e cz³on (4) wspó³pracuje (w tym po³o¿eniu) z cz³onem (1)

po powierzchni dolnej. Wypadkowa P

14

T

si³ oddzia³ywania cz³onów (1) i (4) przecho-

dzi przez punkt C i jest odchylona od P

14

o k¹t r. Po takich ustaleniach otrzymamy

rozwi¹zanie, rozpatruj¹c w równowadze cz³on (4) bez tarcia (rys. 176b) i z tarciem

(rys. 176c).

11.2. Tarcie w parach obrotowych

Linia dzia³ania wypadkowej nacisków w parze obrotowej w warunkach teoretycz-

nych przebiega bez tarcia przez punkt styku i wzd³u¿ normalnej, czyli przez œrodek

czopa. W rzeczywistoœci w miejscu styku (rys.177) wystêpuje si³a tarcia

T

T

21

12

= −

,

która dzia³aj¹c na ramieniu r daje moment tarcia

M

M

T

T

21

12

= −

.

Je¿eli przez P

12

T

Rys. 176. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych: a) schemat mechanizmu z naniesionymi

si³ami, b) plan si³ (bez tarcia), c) plan si³ (z tarciem)

170

oznaczyæ wypadkow¹ sk³adowej si³y normalnej N

21

i si³y tarcia T

21

(

)

P

N

T

= +

,

to wystêpuj¹cy moment tarcia mo¿na ogólnie wyraziæ

M

T

= T· r = N· m· r = P· h,

(112)

gdzie: r – promieñ czopa,

m – wspó³czynnik tarcia œlizgowego w parze obrotowej,

h – promieñ ko³a tarcia.

Jak wiadomo z mechaniki

m' = 1, 57m dla czopa niedotartego,

m' = 1,27m dla czopa dotartego.

Po uwzglêdnieniu, ¿e

P

N

T

N

=

+

=

+

2

2

2

1

µ' ,

otrzymamy po podstawieniu do (112)

M

Pr

P h

T

=

+

=

⋅

µ

µ

'

,

1

2

st¹d

h

r

r

=

+

≅

µ

µ

µ

'

'.

1

2

(113)

Jak z tego wynika, linia dzia³ania si³y oddzia³ywania P

21

T

wskutek tarcia nie prze-

chodzi przez œrodek czopa, lecz w odleg³oœci h, która zale¿y od promienia czopa r

oraz wspó³czynnika m' tarcia œlizgowego w parze obrotowej. Poniewa¿ kierunek si³y

P mo¿e byæ dowolny, dogodnie jest operowaæ pojêciem tzw. ko³a tarcia zakreœlone-

Rys. 177. Si³y oddzia³ywania w parze obrotowej z uwzglêdnieniem tarcia. Ko³o tarcia

171

go wspó³œrodkowo promieniem h. Pos³uguj¹c siê tym pojciem mo¿na powiedzieæ, ¿e

podczas tarcia rozwiniêtego si³a oddzia³ywania P w parze obrotowej przebiega stycznie

do ko³a tarcia. Ostatnie spostrze¿enie jest prawdziwe, lecz ma³o precyzyjne, gdy¿ nie

okreœla w ogóle punktu stycznoœci. Ten ostatni ustalaj¹ jednoznacznie kierunek i zwrot

si³y oddzia³ywania oraz k¹tow¹ prêdkoœæ wzglêdn¹ rozpatrywanych cz³onów tworz¹-

cych omawian¹ parê.

Zagadnienie to, bardzo istotne w analizie si³, zostanie wyjaœnione na przyk³adzie.

Nale¿y okreœliæ si³ê S równowa¿¹c¹ si³ê ciê¿koœci Q dŸwigni (2) obrotowo osadzo-

nej na nieruchomym sworzniu (1) – rys. 178.

Bez uwzglêdniania tarcia szukan¹ si³ê S okreœlono by jak na rys. 178a. Wypadko-

wa P

21

przechodzi wtedy przez punkt H i œrodek czopa O.

W rzeczywistych warunkach tarcia w parze obrotowej si³a S

T

¹ S, o czym mo¿na

wnosiæ, na tej podstawie, ¿e w stosunku do pierwotnego bêdzie inny kierunek wypad-

kowej P

21

T

. Linia jej dzia³ania, przechodz¹c przez ten sam punkt H, bedzie jednoczeœ-

nie styczn¹ do ko³a tarcia (rys. 178b), zakreœlonego wyznaczonym promieniem h ze

œrodka czopa O. W tym przypadku jednak dwa kierunku, a mianowicie kierunki a i b,

spe³niaj¹ ten sam warunek. W³aœciwy z nich mo¿na okreœliæ po ustaleniu kierunku

ruchu wzglêdnego. Je¿eli za³o¿yæ, ze u nas k¹t w

21

ma zwrot zgodny z ruchem

wskazówek zegara, to nietrudno ustaliæ, ¿e w³aœciwym kierunkiem jest kierunek b,

gdy¿ wtedy tylko wypadkowa si³ zewnêtrznych P

21

T

, dzia³aj¹c na ramieniu h, daje

moment M

21

T

zgodny z ruchem.

Do tego samego wyniku mo¿na dojœæ równie¿ na podstawie tzw. zasady naj-

mniejszego skutku u¿ytecznego, która podaje, ¿e spoœród wszystkich mo¿liwych

Rys. 178. Przyk³ad okreœlania si³y równowa¿¹cej S dzia³aj¹cej na dŸwigniê obrotow¹:

a) bez uwzglêdnienia tarcia, b) z uwzglêdnieniem tarcia w parze obrotowej

172

uk³adów kierunków stycznych do kó³ tarcia realizuje siê ten, przy którym skutek u¿y-

teczny jest najmniejszy. W naszym przypadku oczywiœcie zachodzi to dla b, gdy¿

wtedy skutek u¿yteczny – si³a S

T''

– jest najmniejsza (S

T''

< S

T'

). Zasada najmniejszego

skutku u¿ytecznego mo¿e okazaæ siê czasem k³opotliwa w stosowaniu, zw³aszcza dla

wiêkszej liczby mo¿liwych kombinacji kierunków, dlatego zaleca siê przede wszyst-

kim, omówion¹ ju¿ na przyk³adzie, zasadê zgodnoœci momentu od si³y oddzia³ywania

z prêdkoœci¹ k¹tow¹ ruchu wzglêdnego.

Stosuj¹c omówione zasady rozwi¹¿emy dwa przyk³ady.
1. W mechanizmie ABCD (rys. 179a) obci¹¿onym znanym momentem czynnym

M

c

okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment bierny M

b

T

,

uwzglêdniaj¹c tarcie w parach obrotowych. W pierwszej kolejnoœci rozwi¹¿emy za-

danie bez uwzglêdnienia tarcia. W naszym przypadku, przy œciskanym tylko cz³onie

(3), znane s¹ kierunki si³ P

23

i P

43

(wzd³u¿ cz³onu BC), a wiêc z równowagi cz³onu

(2) i (4) równie¿ ich modu³y

M

c

= P

23

· h

2

,

M

b

= P

43

· h

4

.

Oczywiœcie

P

P

P

P

21

12

32

23

= −

=

= −

,

P

P

P

P

41

14

34

43

= −

=

= −

.

Po uwzglêdnieniu tarcia w parach obrotowych, obliczamy wed³ug zale¿noœci (113)

promienie kó³ tarcia (zak³adamy znajomoœæ promieni czopów i wystêpuj¹cych w pa-

rach wspó³czynników tarcia m’) i wrysowujemy ko³a tarcia (rys. 179b). W wyniku

analizy kinematycznej okreœlamy przy za³o¿eniu zwrotu k¹ta w

21

, zwroty wzglêd-

nych prêdkoœci k¹towych. Zwroty tych prêdkoœci, wraz ze znanymi ju¿ zwrotami si³

oddzia³ywania (bez tarcia), umo¿liwi¹ okreœlenie w³aœciwych kierunków linii dzia³a-

nia si³ w warunkach rzeczywistych. Zastosujemy w tym celu omówion¹ zasadê zgod-

noœci momentów si³ czynnych w parze ze zwrotem wzglêdnej prêdkoœci k¹towej. Zi-

lustrujemy tê zasadê na przyk³adzie pary C. Otó¿ ruch cz³onu (3) wzglêdem cz³onu

(4) pokazany na rysunku strza³k¹ w

34

, powstaje na skutek dzia³ania si³y P

34

T

. Ozna-

cza to, ¿e linia dzia³ania tej si³y musi przebiegaæ stycznie do ko³a tarcia. Okreœlone w

podobny sposób miejsca stycznoœci nna pozosta³ych ko³ach tarcia umo¿liwi¹ osta-

tecznie dok³¹dne ju¿ przeprowadzenie poszukiwanych linii dzia³ania si³. Po znalezie-

niu w ten sposób nowych ramion h

2

T

i h

4

T

znajdziemy bez trudu modu³y si³. Oczywi-

œcie

M

b

T

= P

43

T

· h

4

T

.

to samo zadanie mo¿na rozwi¹zaæ równie¿ metod¹ najmniejszego skutku u¿yteczne-

go. Wrysowujemy okreœlone poprzednio ko³o tarcia i kieruj¹c sie rozwi¹zaniem zada-

nia bez uwzglêdnienia tarcia (rys. 179a) wykreœlamy wszystkie formalnie mo¿liwe

173

Rys. 179. Analiza si³ oddzia³ywania w czworoboku przegubowym: a) si³y oddzia³ywania bez tarcia,

b) si³y oddzia³ywania z tarciem okreœlone metod¹ zgodnoœci momentu czynnego w parze

z k¹tow¹ prêdkoœci¹ wzglêdn¹, c) si³y oddzia³ywania z tarciem okreœlone z zasady

najmniejszego skutku u¿ytecznego

174

Rys. 180. Czworobok przegubowy ABCD obci¹¿ony znanymi si³ami P

3

i P

4

oraz momentem

równowa¿¹cym M

c

kierunki (a, b, c i d) si³y P

23

T

(rys. 179c) oraz odpowiadaj¹ce im mo¿liwe linie dzia³a-

nia si³ P

21

T

i P

41

T

.

Rzeczywiœcie realizujace siê w uk³adzie kierunki rozpatrywanych si³ ustalimy pa-

miêtaj¹c, ¿e „skutek” M

b

T

dzia³ania momentu M

c

musi byæ najmniejszy spoœród wszy-

stkich teoretycznie mo¿liwych. Oznacza to w naszym przypadku, ¿e ramiê h

2

T

momen-

tu czynnego M

c

musi byæ najwiêksze (wtedy

P

P

T

T

23

34

=

=

minimum), ramiê h

4

T

zaœ

najmniejsze. Prowadzi to do rozwiazania przedstawionego na rys. 179c.

2. W zadanym mechanizmie (rys. 180) o znanych si³ach zewnêtrznych P

3

i P

4

okreœliæ si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych oraz moment czynny M

c

T

,

uwzglêdniaj¹c tarcie w parach kinematycznych obrotowych.

Jak w zadaniach poprzednich, rozpoczniemy i tym razem od rozwiazania zaga-

dniennia bez uwzglednienia tarcia. Wydzielaj¹c z uk³adu dwucz³on (3) i (4), o zna-

nych obci¹¿eniach zewnêtrznych, stwierdzamy, ¿e jest to grupa statycznie wyznaczal-

na (spe³niony warunek (113)).P odobnie jak w punkcie 10.1.1 wersja 2.3.0, postaæ A,

okreœlamy si³y oddzia³ywania P

23

, P

34

i P

14

w parach kinematycznych B, C i D. Na

rysunku 181a przedstawiono wydzielon¹ grupê statycznie wyznaczaln¹, na rys. 181b

plan si³.

Równowagê cz³onu czynnego (2) (rys. 181c i d) mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co

P

P

12

32

0

+

= ,

M

c

= P

23

· h

2

.

Zak³adajac kierunek ruchu cz³onu (2), zgodny z momentem czynnym M

c

, mo¿na

okreœliæ zwroty k¹towych prêdkoœci wzglêdnych, pokazanych na rys. 182a.

175

Obecnie mo¿na ju¿ przyst¹piæ do rozwi¹zania zadania z uwzglêdnieniem tarcia.

Przede wszystkim obliczamy promienie kó³ tarcia wed³ug zale¿noœci (113) oraz – po

uwzglêdnieniu podzia³ki rysunku – wykreœlamy ko³a tarcia w poszczególnych parach.

Linie si³ oddzia³ywania, przechodz¹ce dotychczas przez œrodki przegubów, bêd¹ teraz

przebiegaæ stycznie do wrysowanych kó³ tarcia. Aby ustaliæ w³aœciwy kierunek, wy-

korzystamy zwroty si³ (z planu si³ bez tarcia) oraz zwroty wzglêdnych prêdkoœci k¹to-

wych. Pogrubione na rysunku 182a odcinki kó³ tarcia pokazuj¹ mo¿liwe miejsca stycz-

noœci linii dzia³ania si³ oddzia³ywania po uwzglêdnieniu tarcia w parach kinematycz-

nych.

Opieraj¹c siê dalej na grupie statycznie wyznaczalnej, z³o¿onej z cz³onów (3) i (4),

mo¿emy zapisaæ równowagê cz³onu (3)

P

P

P

T

T

23

3

43

0

+

+

= ,

(114)

oraz cz³onu (4)

P

P

P

T

T

14

4

34

0

+

+

= .

(115)

Rys. 181. Okreœlenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180 bez tarcia: a) grupa

statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³, c) cz³on czynny, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

176

Si³y P

14

T

i P

23

T

nie mo¿na, jak poprzednio, roz³o¿yæ na sk³adowe styczne i normal-

ne, poniewa¿ nie s¹ znane ich punkty przy³o¿enia. W tej sytuacji zastosujemy pewien

specjalny graficzny sposób postêpowania.

Na cz³on (3) w równowadze dzia³aj¹ trzy si³y zewnêtrzne, których linie dzia³ania

przecinaj¹ siê w jednym punkcie. Za³ó¿my, ¿e dla cz³onu (3) bêdzie to punkt K'.

Z kierunku si³y P

43

T

wynika punkt L' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³a-

j¹cych na cz³on (4). Na rysunku 182b wykreœlono plan si³. Jak wynika z planu si³,

grupa nie jest w równowadze, poniewa¿

P

P

T

T

43

34

0

+

≠

. Sile P

43

T'

odpowiada

w podzia³ce odcinek OM

b

, sile P

34

T'

zaœ odcinek M

a

O. W tej sytuacji za³o¿ymy

nowy punkt K'' przeciêcia linii dzia³ania si³ zewnêtrznych dzia³aj¹cych na cz³on (3).

Dla cz³onu (4) otrzymamy wtedy odpowiedni punkt L'' i kolejne rozwi¹zanie (nie

pokazane na rysunku). Je¿eli zabiegi te powtórzymy wielokrotnie, to koñce M

b

si³y

P

43

T

wyznacz¹ krzyw¹ b, natomiast pocz¹tki M

a

si³y P

34

T

krzyw¹ a. Punkt M przeciêcia

obydwu krzywych spe³nia warunek

P

P

T

T

43

34

0

+

=

. £¹cz¹c punkt M z punktem O

otrzymamy kierunek, modu³ i zwrot si³y oddzia³ywania P

43

T

, natomiast z poczatkiem

si³y P

3

– kierunek, modu³ i zwrot si³y P

23

. Po³¹czenie punktu M z koñcem si³y P

4

Rys. 182. Okreœlenie si³ oddzia³ywania w parach czworoboku ABCD z rys. 180

z uwzglêdnieniem tarcia: a) grupa statycznie wyznaczalna BCD, b) plan si³,

c) cz³on czynny AB, d) rozk³ad si³ w parach cz³onu czynnego

177

wyznacza kierunek, modu³ i zwrot si³y P

14

T

. Tym samym wyznaczono wszystkie si³y

oddzia³ywania w parach kinematycznych grupy z uwzglêdnieniem tarcia.

Równowagê cz³onu czynnego zapiszemy nastêpuj¹co (rys. 182d)

P

P

T

T

32

12

0

+

= ,

M

c

T

= P

23

T

· h

2

T

.

WartoϾ h

2

T

mo¿na odczytaæ z rysunku 182c.

Omawiaj¹c metodê uwzglêdnienia tarcia w parach obrotowych za pomoc¹ kó³ tar-

cia nale¿y zaznaczyæ, ¿e zjawisko tarcia w analizie dynamicznej mo¿na w niektórych

przypadkach pomin¹æ po dokonaniu wstêpnej oceny jego wp³ywu na wynik poszuki-

wañ.

W wielu przypadkach, zw³aszcza w mechanizmach o zwartej budowie pracuj¹cych

w pobli¿u po³o¿eñ zwrotnych, wp³yw tarcia w parach kinematycznych obrotowych na

wartoœæ wystêpuj¹cych si³ mo¿e byæ znaczny. W szczególnoœci tarcie w parach obro-

towych mo¿e byæ powodem pojawienia siê niedopuszczalnych przeci¹¿eñ, a nawet

mo¿e doprowadziæ do unieruchomienia uk³adu (po³o¿enie martwe).

11.3. Tarcie w parach wy¿szych

W rzeczywistych mechanizmach ruch wzglêdny cz³onów tworz¹cych parê kinema-

tyczn¹ wy¿sz¹ przejawia siê w formie poœlizgu, toczenia z poœlizgiem lub toczenia.

Przeanalizujemy ostatnie zjawisko.
Tarcie toczne

Podczas przetaczania siê cia³a sprê¿ystego po pod³o¿u sprê¿ystym wystêpuje z³o-

¿one zjawisko odkszta³cenia siê tych cia³ w miejscu styku (rys. 183). W wyniku tego

zjawiska miêdzy innymi pojawia siê opór toczenia. Do jego pokonania nale¿y przy³o-

¿yæ pewna si³ê F równoleg³¹ do kierunku ruchu. Si³a ta, dzia³aj¹c ogólnie na ramieniu

h, daje moment

Rys. 183. Tarcie toczne

178

M

c

= F· h,

(116)

który równowa¿y moment oporu M

b

pochodz¹cy od si³y docisku Q.

Moment bierny wyra¿a siê

M

b

= Q · f

(117)

gdzie f – odleg³oœæ linii dzia³ania si³y Q od linii dzia³ania wypadkowej si³ oddzia³y-

wania P

12

.

Wielkoœæ f, mierzona w centymetrach, nosi nazwê wspó³czynnika tarcia toczne-

go. Z porównania prawych stron równoœci (116) i (117) otrzymujemy

F · h = Q · f,

czyli

F

Q f

h

=

.

(118)

Z otrzymanego wzoru (118) wynika, ¿e modu³ si³y F zale¿y zarówno od warunków

toczenia reprezentowanych przez wspó³czynnik f, jak równie¿ od punktu przy³o¿enia

si³y czynnej. W czasie poœlizgu cz³onu (2) wzglêdem cz³onu (1) w miejscu ich styku

pojawi³aby siê poznana ju¿ si³a tarcia œlizgowego

T

12

= Q· m

(119)

Po uwzglêdnieniu (118) i (119) mietrudno zauwa¿yæ, ¿e czyste toczenie bêdzie

zachodziæ, gdy

F < T

12

,

czyli tzn., gdy

f

h

<

µ.

(120)

Zwykle interesujemy siê ko³owymi elementami tocznymi z przy³o¿on¹ si³¹ czynn¹

w œrodku ko³a h = r. Wtedy warunek toczeniia (114) przyjmie postaæ

f

r

<

µ.

(121)

W niektórych parach, np. w punkcie styku elementów ciernych przek³adni cier-

nych, mo¿e wyst¹piæ jednoczeœnie tarcie toczne z poœlizgiem. Wtedy wypadkowa si³a

oddzia³ywania przesunie siê o wartoœæ wspó³czynnika tarcia f i odchyli o k¹t tarcia r.

12. Bilans energetyczny maszyny

Rozpatruj¹c ca³kowity czas ruchu maszyny liczony od rozpoczêcia tego ruchu do

jego zakoñczenia mo¿emy wyró¿niæ:

a) rozruch,

b) ruch ustalony,

c) wybieg (hamowanie).

Etapy te zilustrowano na rysunku 184 na przyk³adzie przebiegu prêdkoœci k¹towej

w g³ównego wa³u maszyny.

1. W okresie rozruchu po ka¿dym cyklu wzrasta prêdkoœæ, a wiêc i energia kine-

tyczna E maszyny. Dla ka¿dego cyklu w tym okresie

E – E

0

> 0,

gdy¿ praca si³ napêdowych przewy¿sza pracê oporów (jej nadmiar powoduje zwiêk-

szanie energii kinetycznej maszyny).

2. W ruchu ustalonym jest po ka¿dym cyklu

E = E

0

,

co oznacza, ¿e dla pe³nego cyklu ruchu lub jego wielokrotnoœci praca si³ napêdowych

jest równa sumie pracy u¿ytecznej i pracy oporów szkodliwych.

W ramach ka¿dego cyklu ruchu ustalonego mo¿liwe s¹ zmiany energii kinetycznej

E i prêdkoœci maszyny, spowodowane np. okresowymi zmianami si³ napêdowych.

Rys. 184. Okresy ruchu maszyny

180

Zmiany te mog¹ byæ nieznaczne, np. w maszynach wirnikowych lub du¿e, np. w jed-

nocylindrowym czterosuwowym silniku spalinowym. W ruchu ustalonym nastêpuj¹

wahania prêdkoœci wokó³ wartoœci œredniej odpowiadaj¹cej danym warunkom ruchu

ustalonego. Ruch maszyny powtarza siê przy tym identycznie w ka¿dym cyklu.

3. W okresie wybiegu (hamowania)

E – E

0

< 0

mamy do czynienia ze zmniejszaj¹c¹ siê prêdkoœci¹ a¿ do osi¹gniêcia spoczynku.

Maszyna zatrzyma siê, gdy ca³a energia ruchu ustalonego zostanie zu¿yta na pokona-

nie oporów u¿ytecznych i szkodliwych. W celu skrócenia czasu zatrzymania powiêk-

sza siê dodatkowo opory, np. przez zastosowanie hamulca.

12.1. Równanie energii

Ogólnym przeznaczeniem maszyny jest wykonywanie pewnych operacji technolo-

gicznych, jak w maszynach roboczych, lub przekszta³canie energii w silnikach i gene-

ratorach. Te procesy energetyczne odbywaj¹ siê w maszynie z uddzia³em mechani-

zmu lub zespo³u po³¹czonych ze sob¹ mechanizmów. Cz³ony w tych uk³adach uczest-

nicz¹ w transformowaniu i przekazywaniu si³ z cz³onów napêdzaj¹cych na cz³ony

bierne, czyli obci¹¿one si³ami oporu. Nie ca³a jednak praca si³ czynnych zostaje wy-

korzystana do zamierzonych celów u¿ytecznych. Czêœæ energii zostaje zu¿yta na po-

konanie towarzysz¹cych ruchom oporów tarcia (oporów oœrodka, si³ tarcia w parach

kinematycznych) i rozprasza siê w otoczeniu w postaci ciep³a, czêœæ zaœ gromadzi siê

w samym mechanizmie jako energia kinematyczna, a czasem tak¿e potencjalna. W

tym œwietle bilans energetyczny maszyny przyjmie ogóln¹ postaæ:

E

D

= E

u

+ E

T

± E

K

± E

P

lub

L

D

= L

u

+ L

T

± L

K

± L

P

,

(122)

gdzie: L

D

– dodatnia praca si³ dzia³aj¹cych na cz³ony mechanizmu (praca dostar-

czona),

L

u

– praca oporów technologicznych (praca u¿yteczna),

L

T

– praca si³ tarcia i innych oporów szkodliwych,

L

K

– praca dostarczona na koszt zwiêkszenia lub zmniejszenia energii kine-

tycznej lub, ujmuj¹c rzecz inaczej, praca dostarczona na pokonanie si³

bezw³adnoœci,

L

P

– praca dostarczona na zwiêkszenie lub zmniejszennie energii potencjal-

nej (energii grawitacyjnej, sprê¿ystoœci itp.).

Z bilansu prac mo¿na przejœæ równie¿ do bilansu mocy

N

D

= N

u

+ N

T

± N

K

± N

P

.

(123)

Znaczenie poszczególnych indeksów jak we wzorze (122).

181

W ramach jednego cyklu ruchu ustalonego ca³kowita praca L

K

wykorzystana na

zmianê energii kinetycznej równa siê zeru (L

K

= 0). Równie¿ praca L

P

wykorzystana

na zmianê energii potencjalnej odniesionej tylko do enregii si³ grawitacyjnych równa

sie w takim czasie zeru. Oznacza to, ¿e dla jednego cyklu lub ca³kowitej liczby cykli

ruchu ustalonego mo¿na równanie (122) i (123) zapisaæ w postaci

L

D

= L

U

+ L

T

(124)

oraz

N

D

= N

U

+ N

T

.

(125)

12.2. SprawnoϾ mechaniczna maszyny

Efektywnoœæ wykorzystania pracy si³ czynnych w postaci pracy u¿ytecznej mo¿e

byæ w praktyce bardzo ró¿na. Zwykle okreœla siê j¹ tzw. sprawnoœci¹, przy czym

iloœciow¹ stronê tego zagadnienia ujmuje bezwymiarowy wspó³czynnik sprawnoœci

wyra¿ony stosunkiem pracy u¿ytecznej do pracy dostarczonej. W dostatecznie d³ugim

czasie ruchu ustalonego lub w czasie równym wielokrotnoœci okresu T mo¿na wspó³-

czynnik sprawnoœci h wyraziæ w postaci

η

η

=

=

E
E

L
L

U

D

U

D

,

(126)

lub jego wspó³czynnik sprawnoœci chwilowej h

ch

η

ch

U

D

N
N

=

.

(127)

Korzystaj¹c z równania (124) wspó³czynnik sprawnoœci h mo¿na wyraziæ równie¿

w postaci

η

η

=

−

= −

=

+

L

L

L

L

L

L

L

L

D

T

D

T

D

u

u

T

1

,

.

(128)

Zwróæmy bli¿sz¹ uwagê na sk³adniki L

T

i L

u

. Jak ju¿ powiedziano, L

T

reprezen-

tuje pracê oporów oœrodka i si³ tarcia w parach kinematycznych. Te ostatnie si³y s¹

uwarunkowane obci¹¿eniem wêz³ów wywo³anym si³ami czynnymi F

c

, si³ami opo-

rów u¿ytecznych F

u

, si³ami bezw³adnoœci P

b

, si³ami ciê¿koœci G i inymi si³ami

szczególnymi, jak wciski czy opory wstêpne.

Ju¿ z tego wyliczenia widaæ, ¿e zawsze L

T

> 0. Z kolei praca u¿yteczna L

U

jest

zwykle zmienna co do wielkoœci, a w szczególnoœci mo¿e osi¹gaæ nawet wartoœæ zero

(bieg luzem).

182

Dla wyra¿enia skali zaistnia³ych strat pracy na tarcie (L

T

) stosuje sie czasem rów-

nie¿ pojêcie tzw. wspó³czynnika strat (j) okreœlonego stosunkiem pracy si³ tarcia do

pracy dostarczonej

ϕ = L

L

T

D

.

(129)

Po podzieleniu równania (124) przez L

D

otrzymamy

1

1

=

+

= +

L
L

L

L

U

D

T

D

lub

.

η ϕ

Nietrudno zauwa¿yæ, ¿e

0 < h < 1 i 0 < j < 1.

Ruch maszyny jest mo¿liwy tylko wtedy, gdy h > 0. Przypadek h < 0 oznacza

samohamownoϾ, czyli brak ruchu.

Je¿eli mo¿liwy jest ruch maszyny, to jej sprawnoœæ zale¿y od bardzo wielu czynni-

ków, miêdzy innymi – co trzeba podkreœliæ – równie¿ od prêdkoœci jej ruchu i obci¹-

¿enia. Wzrost prêdkoœci przy tym samym obci¹¿eniu powoduje, ze wzglêdu na wzrost

si³ bezw³adnoœci, spadek sprawnoœci, wzrost zaœ obci¹¿enia (praca u¿yteczna L

U

) przy

tej samej prêdkoœci – zrozumia³y wzrost sprawnoœci.

Wspó³czynnik sprawnoœci maszyny mo¿na okreœliæ wzglêdnie dok³adnie jedynie

w wyniku bezpoœredniego pomiaru dwóch spoœród trzech sk³adników pracy L

D

, L

U

,

L

T

lub mocy N

D

, N

U

, N

T

. Pomiary tych elementów to oddzielne i z³o¿one zagadnie-

nie, wymagajace oprzyrz¹dowania, a czêsto i pomys³owoœci. Wspó³czynnikiem spraw-

noœci maszyny interesujemy siê jednak ju¿ w fazie jej projektowania, d¹¿¹c do utrzy-

mania tego wskaŸnika w mo¿liwie maksymalnych granicach wartoœci. Nale¿y pamiê-

taæ, ¿e o ca³kowitej sprawnoœci maszyny decyduj¹ sprawnoœci poszczególnych me-

chanizmów sk³adowych, przy czym, wp³yw sprawnoœci mechanizmów sk³adowych na

wynik koñcowy zale¿y od struktury samej maszyny, czyli po prostu od sposobu po³¹-

czenia tych mechanizmów.

Sprawnoœæ maszyny o szeregowym po³¹czeniu mechanizmów

Niech rozpatrywana maszyna sk³ada siê z n mechanizmów po³¹czonych ze sob¹

szeregowo (rys. 185). W takim przypadku praca u¿yteczna (L

U

) ka¿dego poprzednie-

go mechanizmu jest prac¹ si³ napêdowych (L

D

) ka¿dego nastêpnego. Sprawnoœci

poszczególnych mechanizmów mo¿na wiêc przedstawiæ w postaci:

η

η

η

1

2

1

2

1

1

=

=

=

−

L

L

L

L

L

L

U

D

U

U

n

U

U

n

n

,

, ,

.

K

(130)

Poniewa¿ ca³kowita sprawnoœæ maszyny wynosi u nas

183

Rys. 185. Rysunek pomocniczy do wyznaczania sprawnoœci maszyny

przy po³¹czeniu szeregowym podzespo³ów

η =

L

L

U

D

n

,

otrzymamy po wykorzystaniu (130) i przekszta³ceniach

h = h

1

· h

2

...h

n

lub krótko

η

η

= ∏

i

.

(131)

Sprawnoœæ maszyny o równoleg³ym po³¹czeniu mechanizmów

Czysty przypadek równoleg³ego po³¹czenia mechanizmów w maszynie przedsta-

wiono obrazowo na rysunku 186.

Je¿eli przez k

i

oznaczyæ wspó³czynniki rozp³ywu mocy, przy czym

k

i

=

∑

1

,

to L

Di

= L

D

· k

i

oraz L

Ui

= L

U

· k

i

· D

i

Z rysunku wynika, ¿e

L

L

L k

U

U

D

i

i

i

=

=

⋅ ⋅

∑

∑

η .

a wiêc ca³kowit¹ sprawnoœæ h mo¿na wyraziæ

η

η

=

=

⋅

⋅

∑

L
L

L

k

L

U

D

D

i

i

D

,

184

Rys. 186. Rysunek pomocniczy do wyznaczania sprawnoœci maszyny przy równoleg³ym po³¹czeniu

jej podzespo³ów

czyli

η

η

=

⋅

∑

k

i

i

.

(132)

Ze wzoru (132) wynika, ¿e sprawnoœæ ogólna maszyny przy równoleg³ym po³¹cze-

niu mechanizmów zale¿y w znacznej mierze od samego rozdzia³u strumienia energii

w maszynie. Nale¿y zaznaczyæ, ¿e omówiony „czysty przypadek równoleg³ego po³¹-

czenia mechanizmów” w maszynie wystêpuje zwykle rzadko, a z regu³y mamy do

czynienia z przypadkami po³¹czeñ szeregowo-równoleg³ych, które ju¿ jednak nie wy-

magaj¹ oddzielnego omawiania.

12.3. Okreœlanie sprawnoœci mechanizmów

Jak ju¿ powiedziano, do oceny wspó³czynnika sprawnoœci ca³ej maszyny w fazie

jej projektowania niezbêdna jest znajomoœæ sprawnoœci poszczególnych mechanizmów

sk³adowych.

Teoretyczne okreœlenie wspó³czynnika sprawnoœci, nawet najprostszego mechani-

zmu, jest zwykle k³opotliwe i mo¿liwe do wykonania tylko z okreœlonym przybli¿e-

niem. Ogólna metoda rozwi¹zywania postawionego zagadnienia jest w³aœciwie pro-

sta, bo, jak sugeruj¹ przeprowadzone ju¿ rozwa¿ania, polega na wyznaczeniu pracy

185

Rys. 187. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej z uwzglêdnieniem tarcia

lub mocy doprowadzonej do maszyny oraz pracy lub mocy traconej na pokonanie

oporów nieu¿ytecznych. Najbardziej uci¹¿liwe jest w³aœnie ustalenie tych ostatnich

elementów. Okreœlenie mocy traconej ju¿ tylko w parach kinematycznych wymaga,

nawet przy za³o¿eniu licznych uproszczeñ, przeprowadzenia gruntownej analizy kine-

matycznej i kinetostatycznej. Ilustruj¹ to nastêpuj¹ce proste przyk³ady.

Moc tracon¹ na pokonanie oporów tarcia w ni¿szej parze postêpowej z³o¿onej

z cz³onów k i l (rys. 187) mo¿na wyraziæ wzorem

N

Tp

= T

kl

· v

kl

= P

kl

T

sin r· v

kl

,

dla pary obrotowej zaœ (rys. 188)

N

To

= M

kl

T

· w

kl

= P

kl

T

· h· w

kl

= P

kl

· m'·r· w

kl

Wystêpuj¹ce w tych wzorach si³y nale¿y wyznaczyæ, zak³adaj¹c przewidywany

stan obci¹¿eñ uk³adu, prêdkoœci wzglêdne zaœ – przyjmuj¹c przewidywany ruch ogni-

wa g³ównego. Czyni¹c odpowiednie za³o¿enia, mo¿na te parametry wyznaczyæ korzy-

staj¹c ze stosownych metod. Nale¿y przy tym pamiêtaæ, ¿e operacje takie nale¿y pro-

wadziæ dla ró¿nych po³o¿eñ rozpatrywanego mechanizmu.

W praktyce, w niektórych przypadkach stosowania rozwi¹zañ typowych, np. ³o¿y-

ska, zazêbienia, mo¿na stosowaæ katalogowe sprawnoœci odpowiednich wêz³ów, sam

zaœ proces okreœlenia wspó³czynnika sprawnoœci mechanizmu przeprowadzaæ proœciej

metodami opracowanymi specjalnie dla danego typu mechanizmów.

Dalej omówiono przyk³ady takich nietypowych metod.
Przyk³adowa metoda okreœlania wspó³czynnika sprawnoœci mechanizmu dŸwi-

gniowego

Nale¿y wyznaczyæ chwilow¹ sprawnoœc popularnego mechanizmu korbowo-wo-

dzikowego (rys. 189) po za³o¿eniu, ¿e jest obci¹¿ony tylko momentem czynnym M

c

i si³¹ biern¹ S.

186

Rys. 188. Si³y oddzia³ywania w parze obrotowej z uwzglêdnieniem tarcia

Zauwa¿my tu, ¿e moc dostarczon¹ do mechanizmu mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co

N

D

= M

c

· w

1

.

W warunkach idealnych ta sama moc by³aby odebrana w postaci mocy u¿ytecznej

N

U

'

, a wiêc

N

U

'

= N

D

,

przy czym

N

U

'

= S· v

34

.

W rzeczywistoœci moc u¿yteczna N

U

bêdzie, jak wiadomo, pomniejszona o straty spo-

wodowane tarciem i mo¿na j¹ wyraziæ w postaci

N

U

= S

T

· v

34

.

Uwzglêdniaj¹c te spostrze¿enia, szukan¹ sprawnoœæ uk³adu mo¿na przedstawiæ w

nastêpuj¹cej formie

η

ω

ch

U

D

T

c

T

T

N
N

S v

M

S v

S v

S

S

=

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

34

1

34

34

.

W ten sposób sprawnoœæ badanego mechanizmu uda³o siê wyraziæ stosunkiem si³,

z których jedna S jest si³¹ równowa¿¹c¹ dany moment M

c

wyznaczon¹ bez uwzglêd-

nienia tarcia w parach kinematycznych (rys. 189b), druga zaœ S

T

tak¹ sam¹ si³¹

wyznaczon¹ z uwzglêdnieniem tarcia (rys. 189c).

187

Stosunek tych si³ wyra¿a w tym przypadku chwilow¹ sprawnoœæ mechanizmu,

a wiêc sprawnoœæ w danym jego po³o¿eniu. Powtarzaj¹c podobne operacje dla kolej-

nych po³o¿eñ, otrzymalibyœmy przebieg zmian chwilowej sprawnoœci w funkcji k¹ta

obrotu korby. Taki przyk³adowy przebieg h

ch

(j) dla danych l

1

= 500 mm, l

2

= 1000

mm, d

A

= d

B

= 30 mm, d

C

= 20 mm oraz m = 0,1 przedstawiono na rys. 190. Przy

okazji nale¿y zwróciæ uwagê na to, ¿e dla tego samego mechanizmu, lecz przy czyn-

nej sile S przebieg sprawnoœci by³by zupe³nie odmienny. Tu wyst¹pi³yby ju¿, oprócz

dodatnich wartoœci, tak¿e h = 0 i h < 0, co œwiadczy o istnieniu zakresów samoha-

mownoœci.

Rys. 190. Przyk³adowy przebieg sprawnoœci chwilowej h

ch

Rys. 189. Przyk³ad wyznaczania sprawnoœci mechanicznej uk³adu korbowo-wodzikowego:

a) schemat mechanizmu z naniesionymi kierunkami si³, b) plan si³ bez uwzglêdnienia tarcia,

c) plan si³ z uwzglêdnieniem tarcia

188

Przyk³ady okreœlania sprawnoœci mechanizmu krzywkowego

Rozpatrzmy mechanizm krzywkowy (rys. 191), w którym popychacz (3) jest napê-

dzany si³a oddzia³ywania P

23

oraz obci¹¿ony zadan¹ si³¹ biern¹ S. Zauwa¿my, ¿e

gdyby za³o¿yæ brak tarcia w parach kinematycznych dla pokonania zadanej si³y S

nale¿y w punkcie E obci¹¿yæ popychacz (3) si³¹ P

23

(rys. 191b). W warunkach

rzeczywistych (przy znanych k¹tach tarcia r

B

, r

D

i r

E

) w punkcie E dzia³aæ bêdzie

si³a P

23

T

(rys. 191c). Jak wiadomo

η = N

N

u

D

,

przy czym

N

u

= S· v

3

.

Moc dostarczon¹ N

D

mo¿na okreœliæ wzorem

N

D

= M

2

T

· w

2

.

lub pomijaj¹c tarcie w parze obrotowej O

N

D

= P

23

T

· v

3

cos (a + r

E

).

Rys. 191. Okreœlenie sprawnoœi mechanicznej mechanizmu krzywkowego: a) schemat mechanizmu

z naniesionymi kierunkami si³, b) plan si³ bez tarcia, c) plan si³ z tarciem

189

Po podstawieniu otrzymamy

η

α ρ

=

+

S

P

T

E

23

cos (

)

.

Otrzymano w ten sposób wartoœæ chwilow¹ sprawnoœci odpowiadaj¹c¹ rozpatry-

wanemu po³o¿eniu mechanizmu. Ogólnie sprawnoœæ jest funkcj¹ po³o¿enia. Aby otrzy-

maæ pe³ny zapis, nale¿y okreœliæ zwi¹zek P

23

T

= f (S, x) i podstawiæ do ostatniego

wzoru.

190

13. Badanie ruchu maszyn

Stawiamy tu problem oceny zachowania siê maszyny, jej ruchu w rzeczywistych

warunkach wykonania i eksploatacji. Ju¿ na wstêpie nale¿y zaznaczyæ, ¿e rzeczywisty

stan ruchu maszyny mo¿na wzglêdnie dok³adnie okreœliæ na ogól tylko w wyniku

bezpoœredniego pomiaru. Jednoczeœnie nie trzeba wykazywaæ, ¿e znajomoœæ parame-

trów ruchu maszyny, jej reagowania na wszelkie zmiany warunków eksploatacji jest

niezbêdna ju¿ w fazie projektowania obiektu. Oznacza to potrzebê dokonywania ta-

kiej oceny na drodze teoretycznej. Problem jest niezwykle z³o¿ony, bo o ruchu ka¿de-

go podzespo³u maszyny i ka¿dego cz³onu w podzespole decyduje zarówno obci¹¿enie

wszystkich po³¹czonych ze sob¹ w maszynie podzespo³ów i cz³onów, jak i rozk³ad

mas cz³onów i ich udzia³ w ruchu.

Podejmuj¹c ten problem ogólnie robimy trzy za³o¿enia;

1. Stwierdzamy, ¿e w uk³adach jednobie¿nych (a takimi s¹ zwykle badane obiekty)

ruch dowolnego cz³onu jest okreœlony ruchem ka¿dego innego cz³onu, wówczas zaj-

mujemy siê badaniem jednego tylko cz³onu, np. g³ównego wa³u maszyny.

2. Z³o¿ony stan obci¹¿eñ przy³o¿onych do poszczególnych cz³onów uk³adu zastê-

pujemy jedn¹ tylko si³¹ lub par¹ si³ (równowa¿n¹ wszystkim dzia³aj¹cym obci¹¿e-

niom) przy³o¿on¹ do jednego wybranego cz³onu.

3. Z³o¿ony uk³ad mas bior¹cych udzia³ w ruchu zastêpujemy jedn¹ mas¹ (repre-

zentuj¹c¹ wszystkie masy ruchome) przy³o¿on¹ do jednego wybranego cz³onu.

Zabiegi wymienione w dwóch ostatnich punktach, zwane redukcj¹ si³ i mas, s¹

bardzo wskazane, bo znakomicie upraszczaj¹ problem oceny zachowania siê uk³adu.

13.1. Redukcja si³

Jak siê wykazuje, si³a (lub para si³) zredukowana do wybranego punktu lub cz³o-

nu redukcji, wywo³uj¹ca ten sam efekt, jaki wywo³uj¹ si³y dzia³aj¹ce na ró¿ne cz³ony

badanego uk³adu, rozwija tê sam¹ moc, jak¹ rozwijaj¹ redukowane obci¹¿enia. Ozna-

cza to, ¿e zasadê redukcji si³ mo¿na uj¹æ krótko

N = N*,

(133)

gdzie: N – moc rozwijana przez wszystkie si³y (i pary si³) dzia³aj¹ce w uk³adzie roz-

patrywanym,

N* – moc rozwijana przez si³ê (lub parê si³) zredukowan¹.

191

Zmierzaj¹c do wykorzystania równania (133) przypomnijmy, ¿e chwilow¹ moc

wszystkich si³ P

i

oraz par si³ M

i

dzia³aj¹cych na cz³ony p³askiego mechanizmu w

ruchu mo¿na wyraziæ wzorem

N

Pv

M

i i

i

i i

=

+

∑

(

cos

),

α

ω

(134)

w którym: v

i

– prêdkoœæ liniowa punktu przy³o¿enia si³y P

i

,

a

i

– k¹t zawarty pomiêdzy kierunkiem P

i

i v

i

,

w

i

– prêdkoœæ k¹towa obci¹¿onego par¹ si³ M

i

.

We wzorze (134) iloczynowi M

i

· w

i

nale¿y przyporz¹dkowaæ znak (+), je¿eli zwroty

M

i

oraz w

i

s¹ zgodne, znak (–) zaœ w przypadku przeciwnym.

Oczywiœcie, moc N

x

si³y zredukowanej P

zr

, przy³o¿onej do okreœlonego punktu

cz³onu redukcji x, wynosi

N

x

= P

zr

· v

x

· cos a

x

,

(135)

moc zaœ pary si³ zredukowanej do momentu zredukowanego M

zr

, obci¹¿aj¹cego

cz³on redukcji x, odpowiednio

N

x

= M

zr

· w

x

(136)

gdzie: v

x

– prêdkoœæ punktu przy³o¿enia si³y zredukowanej,

a

x

– k¹t zawarty pomiêdzy kierunkiem P

zr

i v

x

,

w

x

– prêdkoœæ k¹towa cz³onu redukcji.

Wykorzystuj¹c omówion¹ ju¿ równoœæ mocy (133) otrzymamy na podstawie za-

le¿noœci (135), (136) dla si³y zredukowanej

P

P v

v

M

v

zr

i

i

i

x

x

i

i

x

x

=

+











∑

cos
cos

cos

,

α
α

ω

α

(137)

dla pary si³ zredukowanych zaœ

M

P v

M

zr

i

i

i

x

i

i

x

=

+











∑

cos

.

α

ω

ω

ω

(138)

Wystêpuj¹ce we wzorach (137) i (138) si³y i pary si³ nie s¹ sta³e. W ogólnym

przypadku parametry te, jak równie¿ prêdkoœci i k¹ty, zale¿¹ od po³o¿enia okreœlane-

go k¹tem j obrotu korby. Oznacza to tym samym, ¿e

P

zr

= f(j), M

zr

= f(j).

(139)

Zabieg redukcji przeœledzimy na prostym przyk³adzie.

Niech bêdzie dany mechanizm ABC (rys. 192a) obci¹¿ony si³ami P

3

i P

4

oraz

momentem M

3

. Nale¿y okreœliæ M

zr

przy³o¿ony do cz³onu (2) (rys. 192b). Zauwa¿-

my, ¿e dzia³aj¹ce na cz³ony uk³adu obci¹¿enia rzeczywiste rozwijaj¹ moc

N = P

3

v

E

cos a

E

+ M

3

· w

3

+ P

4

v

4

.

192

Moc rozwijan¹ przez moment M

zr

mo¿na wyraziæ

N

*

= M

zr

· w

2

.

Z porównania prawych stron ostatnich dwóch zale¿noœci otrzymamy

M

P v

M

P v

zr

E

E

=

+

+

3

2

3

3

2

4

4

2

cos

.

α

ω

ω
ω

ω

Wystêpuj¹ce w wyra¿eniu stosunki prêdkoœci nale¿y okreœliæ na drodze analizy

kinematycznej, k¹t a

E

okeœlamy graficznie lub analitycznie.

13.2. Redukcja mas

Jak ju¿ powiedziano, podczas badania ruchu z³o¿onego uk³adu kinematycznego

celowe jest zastêpowanie mechanizmu równowa¿nym mu dynamicznie prostym mo-

delem z³o¿onym z jednej masy zredukowanej lub jednego cz³onu obrotowego o zre-

dukowanym momencie bezw³adnoœci. Model taki bêdzie równowa¿ny z badanym

uk³adem, je¿eli jego energia kinetyczna E

k

*

bêdzie równa energii kinetycznej ca³ego

uk³adu E

k

. Innymi s³owy, u podstaw procesu redukcji mas le¿y zasada równoœci ener-

gii kinetycznej

E

k

= E

k

*

.

(140)

Rys. 192. Redukcja si³: a) schemat uk³adu obci¹¿onego si³ami, b) cz³on redukcji (2) obci¹¿ony

momentem zredukowanym (M

zr

)

193

Energiê kinetyczn¹ wszystkich cz³onów mechanizmu mo¿na wyraziæ ogólnie

E

m v

J

k

i

i

Si

i

=

⋅

+

⋅











∑

2

2

2

2

ω

,

(141)

gdzie: m

i

, J

Si

– masa i-tego cz³onu, moment bezw³adnoœci tego cz³onu wzglêdem jego

œrodka ciê¿koœci,

v

i

, w

i

– prêdkoœæ liniowa œrodka ciê¿koœci i-tego cz³onu, prêdkoœæ k¹towa tego

cz³onu.

Energia kinetyczna skupionej masy zredukowanej m

zr

wynosi oczywiœcie

E

m v

k

zr x

*

,

=

2

2

(142)

energia kinetyczna cz³onu o zredukowanym momencie bezw³adnoœci J

zr

E

J

k

zr x

*

,

= ω

2

2

(143)

gdzie: v

x

– prêdkoœæ masy zredukowanej,

w

x

– prêdkoœæ k¹towa cz³onu redukcji.

Korzystaj¹c ze zwi¹zków (140), (141), (142), (143) otrzymamy ogólny wzór okreœ-

laj¹cy masê zredukowan¹

m

m v

v

J

v

zr

i

i

x

Si

i

x

=









 +



























∑

2

2

ω

(144)

oraz zredukowany moment bezw³adnoœci

J

m v

J

zr

i

i

x

Si

i

x

=









 +



























∑

ω

ω

ω

2

2

.

(145)

Jak wynika z zale¿noœci (144) i (145), masa i moment bezw³adnoœci zredukowany,

przy niezmiennych masach cz³onów rozpatrywanego mechanizmu, jest tylko funkcj¹

jego po³o¿enia. Aby obliczyæ m

zr

i J

zr

niezbêdna jest znajomoœæ stosunków prêdko-

œci, które, jaki i przy redukcji si³, najdogodniej jest okreœliæ np. za pomoc¹ wykreœlo-

nego w dowolnej podzia³ce planu prêdkoœci. Oczywiœcie, w celu okreœlenia przebiegu

zmian m

zr

(j) lub J

zr

(j) operacje te nale¿y powtórzyæ wielokrotnie. Stosunkowo pro-

sto okreœla siê m

zr

i J

zr

w mechanizmach wiruj¹cych, w których stosunki prêdkoœci

prze³o¿enia wystêpuj¹ce we wzorach (144) i (145) s¹ sta³e. Wtedy oczywiœcie m

zr

i J

zr

s¹ niezale¿ne od po³o¿enia. Wracaj¹c do redukcji uk³adów dŸwigniowych, w których

wystêpuj¹ zmienne prze³o¿enia, przeœledzimy prosty przyk³ad.

194

Dany jest mechanizm ABC w po³o¿eniu jak na rysunku 193a. Dane s¹ po³ozenia

œrodków ciê¿koœci S

i

oraz masy tych cz³onów i ich momenty bezw³adnoœci wzglê-

dem œrodków ciê¿koœci J

Si

. Nale¿y okreœliæ moment bezw³adnoœci J

zr

zredukowany

do cz³onu (2) (rys. 193b).

Przede wszystkim obliczymy energiê kinetyczn¹ uk³adu przed redukcj¹

E

k

= E

k2

+ E

k3

+ E

k4

,

czyli

E

J

m v

J

m v

m v

k

S

S

S

S

S

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

2

2

2

2

2

2

3

3

2

3

3

2

4

4

2

2

2

2

2

2

ω

ω

.

Z drugiej strony energia kinetyczna E

k

*

cz³onu (2) o zredukowanym momencie

bezw³adnoœci (J

zr

) wynosi

E

J

k

zr

*

,

=

⋅

ω

2

2

2

z porównania tych energii otrzymamy

J

J

m v

J

m v

m v

zr

S

S

S

S

S

=

+









 +









 +









 +











2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

4

4

2

2

ω

ω
ω

ω

ω

.

Rys. 193. Redukcja mas: a) schemat uk³adu mas, b) cz³on redukcji (2) ze zredukowanym

momentem bezw³adnoœci (J

zr

)

195

Wystêpuj¹ce we wzorze stosunki prêdkoœci mo¿na odczytaæ z narysowanego

w dowolnej podzia³ce planu prêdkoœci.

W ten sposób, po podstawieniu dalszych danych dotycz¹cych mas, momentów

bezw³adnoœci cz³onów oraz stosunków ich d³ugoœci, mo¿na obliczyæ konkretn¹ war-

toϾ m

zr

dla danego po³o¿enia mechanizmu. Powtarzaj¹c tê operacjê wielokrotnie

mo¿na okreœliæ przebieg zmian m

zr

w funkcji k¹ta obrotu j cz³onu redukcji.

13.3. Modele maszyn i równania ruchu

W celu okreœlenia ruchu maszyny, zastêpujemy z³o¿ony zwykle uk³ad maszyny

najprostszym równowa¿nym jej modelem. Mo¿e byæ nim np. pojedynczy cz³on o ru-

chu obrotowym (rys. 194a) lub postêpowym (rys. 194b), obci¹¿ony odpowiednio jed-

n¹ tylko par¹ si³ czynnych M

zrc

lub si³¹ czynn¹ P

zrc

oraz jedn¹ tylko par¹ si³

biernych M

zrb

lub si³¹ biern¹ P

zrb

.

Aby taki model by³ równowa¿ny z badanym uk³adem maszyny, cz³onowi takiemu,

którym jest zwykle cz³on g³ówny, nale¿y przypisaæ moment bezw³adnoœci (je¿eli jest

to cz³on obrotowy) równy zredukowanemu momentowi bezw³adnoœci maszyny lub

masê m

zr

(je¿eli chodzi o cz³on o ruchu postêpowym), równ¹ masie zredukowanej

maszyny. Oczywiœcie, równie¿ obci¹¿aj¹ce taki cz³on pary si³ lub si³y nale¿y rozu-

mieæ jako pary si³ lub si³y zredukowane.

Dla takiego prostego modelu równanie ruchu mo¿na zapisaæ w postaci bilansu

energetycznego

M

J

⋅

=

⋅









d

d

ϕ

ω

1

2

2

(146)

i

dj = w· dt

dla modelu z rys. 194a

Rys. 194. Modele dynamiczne maszyny: a) cz³on w ruchu obrotowym o J

zr

,

b) cz³on w ruchu postêpowym o m

zr

196

oraz

P s

m v

⋅

=

⋅









d

d

1

2

2

(147)

i

ds = v· dt

dla modelu z rys. 194b.

W równaniach (146) i (147)

M = M

zrc

– M

zrb

,

P = P

zrc

– P

zrb

J = J

zr

,

m = m

zr

w – prêdkoœæ k¹towa,

v – prêdkoœæ liniowa,

j – k¹t obrotu cz³onu obrotowego.

s – droga cz³onu redukcji maszyny.

Poniewa¿ dogodniej jest zwykle korzystaæ z modeli cz³onu obrotowego, zagadnie-

nia ruchu maszyn omówimy wiêc dalej na przyk³adzie uk³adu równañ (146). Przede

wszystkim zwróæmy uwagê, ¿e uk³ad równañ (146) ujmuje zale¿noœæ miêdzy parame-

trami kinematycznymi, jak: droga j, czas t, prêdkoœæ w, a rozk³adem mas scharak-

teryzowanym momentem bezw³adnoœci J oraz obci¹¿eniem momentem M. Sugeru-

je to, ¿e po odpowiednich zabiegach ca³kowania ró¿niczkowego uk³adu równañ (146)

mo¿na rozwi¹zaæ wiele interesuj¹cych zagadnieñ, zw³aszcza dwa podstawowe zada-

nia dynamiki, do których nale¿y:

– okreœlenie ruchu maszyny przy zadanym stanie jej obci¹¿enia,

– okreœlenie warunków, w których maszyna bêdzie realizowaæ z góry zadany ruch.

Trzeba podkreœliæ, ¿e prostota równañ ruchu jest pozorna, gdy¿ zarówno M jak i J

s¹ zwykle wielkoœciami zmiennymi i zale¿nymi od czasu, drogi, prêdkoœci itd. Kom-

plikuje to zagadnienie ca³kowania równania do tego stopnia, ¿e aby omin¹æ k³opoty

rachunkowe i formalne, musimy czêsto korzystaæ z ró¿nych metod numerycznych,

sposobów przybli¿onych lub specjalnych metod graficznych. Niektóre problemy ca³-

kowania równañ ruchu zostan¹ tu zilustrowane na przyk³adach.

1. Nale¿y zbadaæ ruch wirnika o sta³ym momencie bezw³adnoœci J

1

= const.

W chwili pocz¹tkowej t = t

0

, jego prêdkoœæ k¹towa w = w

0

. W tej w³aœnie chwili

wy³¹czono napêd (M

zrc

= 0), a do³¹czono moment hamowania (M

zrb

= M

1

). Prêd-

koœæ wirnika w tej sytuacji bêdzie spadaæ, a¿ osi¹gnie wartoœæ równ¹ zeru.

Mo¿na stawiaæ pytania:

– z jakim przyspieszeniem bêdzie przebiega³ ruch,

– po jakim czasie t wirnik siê zatrzyma (w = 0),

– ile obrotów n wykona w tym czasie,

– jaki moment hamowania M

1

nale¿y przy³o¿yæ, aby wirnik zatrzyma³ siê po wyko-

naniu okreœlonej drogi, itp.

Aby odpowiedzieæ na te pytania napiszemy, opieraj¹c siê na równaniu (146)

−

=

⋅











M

J

1

1

2

2

d

d

,

ϕ

ω

dj = w dt.

197

Po wykonaniu ró¿niczkowania mamy

−

=

M

J

1

1

d

d ,

ϕ

ω ω

dj = w dt.

po podzieleniu zaœ stron przez dt i podstawieniu

−

⋅

=

M

J

t

1

1

ω

ω ω

d

d

,

d

d

.

ω

t

M

J

= −

1

1

Stanowi to odpowiedŸ na pierwsze pytanie.

Po sca³kowaniu ostatniego równania otrzymamy, po uwzglêdnieniu warunków brze-

gowych,

ω

ω

= −

+

M

J

t

1

1

0

.

Zale¿noœæ ta umo¿liwia sformu³owanie odpowiedzi na pytanie drugie. Je¿eli jed-

nak sca³kujemy ostatnie równanie powtórnie, otrzymamy

ϕ

ω

ϕ

= −

+

+

M

J

t

t

1

1

2

0

0

2

,

a wiêc odpowiedŸ na pytanie trzecie i czwarte.

By³ to najprostszy przypadek badania ruchu maszyny, gdy M = const i J = const.

Czêœciej jednak, jak ju¿ powiedziano, wielkoœci te s¹ zmienne. Rozpatrzmy taki przy-

padek.

2. Nale¿y okreœliæ prêdkoœæ ruchu maszyny i czas rozruchu przy nastêpuj¹cych

za³o¿eniach [14]: Zredukowany do g³ownego wa³u maszyny moment bezw³adnoœci

jest sta³y (J

zr

= 2,2, kg· m

2

), zredukowane zaœ do g³ównego wa³u maszyny momenty

si³ czynnych i biernych s¹ funkcjami prêdkoœci maszyny

M

c

= – 0,01w

2

+ 0,5w + 376,

M

b

= + 0,01w

2

+ 1.

Dane i za³o¿enia przedstawiono na rysunku 195, z którego widaæ, ¿e przy J

zr

=

const prêdkoœæ maszyny ustali siê na poziomie w

u

, któr¹ ³atwo okreœliæ z porównania

momentów

M

c

= M

b

,

– 0,01w

2

+ 0,5w + 376 = 0,01w

2

+ 1.

198

Po przekszta³ceniach otrzymamy

w

2

– 25w – 18 750 = 0

i po rozwi¹zaniu

w' = w

u

= 150, (w'' = –125).

Drugie rozwi¹zanie oczywiœcie odrzucamy.

Aby poznaæ charakter zmian prêdkoœci w fazie rozruchu oraz czas tego rozruchu

napiszemy równanie ruchu

(

)d

.

M

M

J

c

b

zr

+

=











ϕ

ω

d

2

2

Po podstawieniu i przekszta³ceniu otrzymamy

w

2

– 25w – 18 750 = – dw/dt.

Równanie to mo¿na sca³kowaæ po rozdzieleniu zmiennych

d

d

.

t = −

−

−

110

25

18750

2

ω

ω

ω

Po dokonaniu kolejnych przekszta³ceñ i zastosowaniu zapisu

w

2

– 25w – 18 750 = (w – 150)(w + 125)

otrzymamy równanie w postaci

d

,

d

d

,

t

=

−

+

+







0 4

150

125

ω

ω

ω

ω

Rys. 195. Badanie ruchu maszyny: a) model dynamiczny maszyny,

b) charakterystyki mechanicznej maszyny

199

a po sca³kowaniu

t = 0,4[ – ln (150 – w) + ln (125 + w)] + C,

czyli inaczej

t

C

=

+
−

+

0 4

125

150

, l n

.

ω
ω

Wyznaczamy C z warunków brzegowych t = 0, w = 0

C = − ln

5

6

i otrzymujemy

(

)

t =

+

−

0 4

1 2 125

150

, l n

,

.

ω

ω

lub

ω =

−

+

150

1

1 2

2 5

2 5

e

e

t

t

,

,

,

.

Przebieg ostatniej funkcji przedstawiono na rysunku 196. Jest to krzywa asympto-

tycznie zbli¿aj¹ca siê do wartoœci w =150. Bli¿sza analiza ostatnich dwóch wzorów

prowadzi do wniosku, ¿e praktycznie czas rozruchu mo¿na ustaliæ jako t @ 4s.

3. Za³ó¿my z kolei, ¿e zredukowane do g³ównego wa³u maszyny pary si³ czynnych

i biernych s¹ funkcjami po³o¿enia M

c

= f

c

(j), M

b

= f

B

(j) i dane s¹ w postaci tabeli

lub wykresów (rys. 197a). Zredukowany do tego cz³onu moment bezw³adnoœci jest

sta³y. Maszyna jest w ruchu ustalonym. Nale¿y okreœliæ zmianê prêdkoœci k¹towej

cz³onu redukcji w ramach jednego cyklu. W ruchu ustalonym energia kinetyczna na

pocz¹tku i na koñcu rozpatrywanego cyklu jest taka sama, prace bowiem si³ czynnych

i biernych s¹ sobie równe. A wiêc

M

M

c

b

c

c

d

d

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0

0

∫

∫

=

lub

(

) d

.

M

M

c

b

c

−

=

∫

ϕ

ϕ

0

0

Je¿eli przez F

i

(rys. 197a) oznaczyæ pola miêdzy krzywami M

c

(j) i M

b

(j), przy

czym pola F

1

, F

3

i F

5

obrazuj¹ nadwy¿kê, F

2

i F

4

zaœ niedobór pracy si³

czynnych, to

(F

1

– F

2

+ F

3

– F

4

+ F

5

) k

M

kj = 0.

200

Rys. 196. Charakterystyka rozruchu badanej maszyny

Taka równowaga istnieje w ruchu ustalonym w granicach k¹ta obrotu j

c

odpowia-

daj¹cego okresowi T jednego cyklu.

Je¿eli jednak rozpatrzyæ zagadnienie w poszczególnych chwilach ruchu, równo-

wagi takiej nie ma. Na przyk³ad w przedziale 0 < j < j

r

istnieje nadwy¿ka pracy si³

czynnych i reprezentuje j¹ zakreskowany podwójnie fragment pola F

1

. Praca ta daje

przyrost energii DE

kr

, przy czym

E

M

M

E

kr

c

b

kr

E

r

=

−

=

∫

(

)

(

) .

d

ϕ

κ

ϕ

0

∆

Je¿eli tak obliczone przyrosty, reprezentowane w podzia³ce k

E

przez odcinki DE

kr

(rys. 197b), odk³adaæ od pewnego poziomu pocz¹tkowego E

0

, to otrzymamy przebie-

gi zmiany energii kinetycznej E(j), np. w granicach ca³ego cyklu. Wartoœæ energii

pocz¹tkowej E

0

mo¿na ustaliæ w wyniku badania okresu rozruchu maszyny lub korzy-

staj¹c z metody wykresów Wittenbauera [2]. Przyjmuj¹c na tym etapie rozwa¿añ, ¿e

E

0

znamy, zauwa¿my, ¿e krzywa E(j) ma ekstrema w stanach równowagi, czyli w

tych po³o¿eniach, w których M

c

= M

b

. £atwo siê o tym przekonaæ œledz¹c zmianê

energii , np. w pierwszym przedziale j

0

– j

1

. Id¹c od j

0

do j

1

obserwujemy oma-

wiany ju¿ przyrost energii kinetycznej, który wystêpuje tak d³ugo, jak d³ugo istnieje

nadwy¿ka pracy si³ czynnych. Nadwy¿ka ta znika w po³o¿eniu okreœlonym przez j

1

, a

pojawia siê niedobór pracy si³ czynnych, czyli spadek energii. W po³o¿eniu j

1

istnie-

je lokalne maksimum energii.

Z wykresu E

k

(j) mo¿na otrzymaæ wykres zmian prêdkoœci k¹towej w(j). Sko-

rzystamy tu ze znanego wzoru okreœlaj¹cego energiê kinetyczn¹ cz³onu obrotowego,

z którego po przekszta³ceniu otrzymamy

201

Rys. 197. Graficzne ca³kowanie ruchu maszyny: a) wykres zredukowanych par si³ czynnych (M

c

(j))

oraz biernych (M

b

(j)), b) wykres zmian energii kinetycznej maszyny E(j), c) wykres zmian prêdkoœci

k¹towej cz³onu redukcji i momentu bezw³adnoœci

ω =

2E

J

k

.

Opieraj¹c siê na tym wzorze i przy za³o¿eniu, ¿e J = const, otrzymamy wykres

w(j) przedstawiony pryzk³adowo na rys. 197c. To samo zadanie mo¿na wykonaæ

202

równie¿, gdy J ¹ const, je¿eli tylko zmiana ta jest uprzednio okreœlona, np. w postaci

wykresu J(j).

Przedstawiono przyk³ady rozwi¹zywania problemów badania ruchu maszyn meto-

d¹ analityczn¹ oraz graficzn¹. Dziœ mamy równie¿ do dyspozycji metody numerycz-

ne, przydatne zw³aszcza wtedy, gdy problem jest bardziej z³o¿ony lub gdy np. wielkoœci

wejœciowe (przebiegi zmian obci¹¿eñ) s¹ podane tabelarycznie.

13.4. Nierównomiernoœæ biegu maszyn

Dla wiêkszoœci maszyn zdecydowanie dominuj¹cym etapem ich pracy jest ruch

ustalony. Charakteryzuje siê on, jak wiadomo, przy sta³ej prêdkoœci œredniej g³ówne-

go wa³u maszyny, powtarzaj¹c¹ siê periodycznie zmian¹ prêdkoœci w ramach jednego

cyklu. Przyczyn¹ tego zjawiska jest:

– zmienna na ogó³ zredukowana do g³ównego wa³u maszyny para si³ czynnych,

– zmienne obci¹¿enie maszyny od si³ technologicznych i innych oporów szkodli-

wych,

– zmienny zredukowany do g³ównego wa³u maszyny jej moment bezw³adnoœci.

Powtarzaj¹ce siê wahania prêdkoœci bywaj¹ nieznaczne, jak np. w pewnych ma-

szynach wirnikowych, ale mog¹ byæ te¿ powa¿ne, np. w niektórych maszynach t³oko-

wych. Taka nierównomiernoœæ biegu jest zwykle niekorzystna ze wzglêdu na sam

proces technologiczny, a zawsze szkodliwa ze wzglêdu na wystêpuj¹ce dodatkowe

obci¹¿enia dynamiczne, wywo³uj¹ce z kolei szkodliwe drgania maszyny. W œwietle

tego zrozumia³e jest zainteresowanie tym zagadnieniem, zw³aszcza w aspekcie rozpat-

rywania mo¿liwoœci wp³ywu na kszta³towanie si¹ zjawiska nierównomiernoœci. Roz-

patrzmy jeszcze raz przyk³adowy przebieg prêdkoœci k¹towej wa³u maszyny w ra-

mach jednego cyklu (rys. 198). Przebiegi takie mog¹ byæ w zasadzie dowolnie ró¿no-

rodne, zawsze jednak mo¿na tu wyró¿niæ dwie wartoœci ekstremalne w

min

i w

max

oraz

wartoœæ prêdkoœci œredniej w

œr

, któr¹ mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co:

ω

ω

ϕ

ω ω

π

ϕ

œ r

T

c

c

T

t

n

T

c

=

=

=

∫

∫

1

1

2

60

0

0

d

d

.

(148)

Te w³aœnie parametry wykorzystuje siê do okreœlania iloœciowej strony zjawiska

nierównomiernoœci, wprowadzj¹c jako jego miarê tzw. wspó³czynnik lub stopieñ nie-

równomiernoœci biegu d. Przyjêto, ¿e

δ

ω

ω

ω

=

−

max

min

.

œ r

(149)

Zwykle zak³ada siê w przybli¿eniu

ω

ω

ω

œ r

=

+

max

min

,

2

(150)

203

Rys. 198. Przyk³adowy przebieg zmian prêdkoœci k¹towej g³ównego wa³u maszyny

co prowadzi do wzoru

δ

ω

ω

ω

ω

≅

−
+

2

max

min

max

min

.

(151)

Z zale¿noœci (149) i (150) wynika równie¿, ¿e

ω

ω

δ

max

,

≅

+









œ r

1

2

ω

ω

δ

min

.

≅

−









œ r

1

2

(152)

Wyra¿enia (149) i (150) umo¿liwiaj¹ ³atwe okreœlenie wspó³czynnika d, je¿eli,

dysponuj¹c maszyn¹, zmierzymy odpowiednie jej parametry lub sporz¹dzimy charak-

terystykê ruchu w postaci wykresu w(j). Ocena wspó³czynnika d jest niezbêdna jed-

nak ju¿ w fazie projektowania maszyny i wtedy potrzebne charakterystyki ruchu trze-

ba ustaliæ teoretycznie, np. metodami omówionymi w rozdz. 13.3. Zabiegi tego typu

w fazie projektowania maszyny wi¹¿¹ siê z wymaganiami, by rzeczywisty wspó³czyn-

nik d nie przekroczy³ dopuszczalnej praktycznie wartoœci granicznej. Dla ró¿nych

maszyn wartoœci te s¹ zawarte w okreœlonych przedzia³ach, co obrazuj¹ nastêpuj¹ce

przyk³ady:

prasy, no¿yce

d = 1/5–1/10,

kruszarki

d = 1/10–1/20,

kompresory

d = 1/50–1/100

pr¹dnice pr¹du zmiennego d = 1/300.

204

W razie stwierdzenia, ¿e projektowany obiekt charakteryzuje siê niedopszczalnie

du¿¹ wartoœci¹ wspó³czynnika d, nale¿y ten wspó³czynnik zmniejszyæ. Mo¿na tego

dokonaæ ró¿nymi sposobami. Praktycznie zmniejsza siê wartoœæ wspó³czynnika d

najczêœciej przez:

– monta¿ dodatkowej masy np. w postaci ko³a zamchowego,

– dodatkowe obci¹¿enie uk³adu,

– odpowiednie ³¹czenie kilku maszyn w jeden agregat.

13.5. Ko³a zamachowe

W okreœlonych warunkach pracy wspó³czynnik nierównomiernoœci obiegu mozna

zmniejszyæ przez powiêkszenie jej ruchomych mas, daj¹cych dodatkowy moment bez-

w³adnoœci zredukowany do g³ównego wa³u maszyny. Zwykle realizuje siê to przez

zainstalowanie tzw. ko³a zamachowego osadzonego na wale maszyny. Ko³o takie

akumuluje nadwy¿ki pracy si³ czynnych w postaci energii kinetycznej i oddaje j¹

maszynie w okresach niedoboru pracy tych si³, czyli w okresach przewagi pracy opo-

rów. Wyrównuje bieg maszyny, zmniejsza wspó³czynnik d, a ponadto – co bardzo

istotne – umo¿liwia zastosowanie Ÿród³a napêdu (silnika) o mniejszej mocy do utrzy-

mania w ruchu takiej maszyny.

13.5.1. Przybli¿ona metoda okreœlania momentu bezw³adnoœci

ko³a zamachowego

Metoda ta opiera siê na wykorzystaniu tylko funkcji zredukowanych do g³ównego

wa³u maszyny par si³ czynnych M

c

(j) i biernych M

b

(j). Przebiegi zmian momen-

tów M

c

(j) i M

b

(j), dane zwykle w postaci wykresów (rys. 199a), umo¿liwiaj¹

poprzez ca³kowanie graficzne (rozdz. 3.4.5) wykreœlenie przebiegu zmian energii ki-

netycznej E

k

w funkcji k¹ta obrotu j, a wiêc równie¿ przy za³o¿eniu, ¿e J

zr

= const

przebiegu zmian prêdkoœci k¹towej w(j). Taki wykres w(j) (rys. 199b), sporz¹dzo-

ny dla przyjêtej dowolnej wartoœci pocz¹tkowej w

0

, umo¿liwi odczytanie k¹tów obro-

tu, dla których prêdkoœæ k¹towa w osi¹ga wartoœci ekstremalne, a mianowicie j

n

dla

w = w

min

i j

x

dla w = w

max

. Równanie pracy i energii dla przedzia³u okreœlonego

tymi k¹tami i mo¿na zapisaæ w postaci

L

L

L

J

J

c

b

x

n

*

max

min

,

=

−

=

−

ω

ω

2

2

2

(153)

w której J

x

, J

n

s¹ zredukowanymi momentami bezw³adnoœci maszyny (bez ko³a zama-

chowego) w po³o¿eniach j

x

i j

n

.

Korzystaj¹c z za³o¿enia, ¿e J

x

= J

n

= J, oraz zale¿noœci (152) otrzymamy po pod-

stawieniu do (153)

L

*

= J w

œr

2

· d.

(154)

205

Z drugiej zaœ strony pracê L

*

, która powoduje zmianê prêdkoœci k¹towej wa³u

maszyny od w

min

do w

max

mo¿na okreœliæ

L

M

M

F

c

b

i

M

n

x

n

x

*

(

)

( )

,

=

−

=

⋅

∫

∫

d

ϕ

κ

κϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(155)

a wiêc wyznaczyæ co do wartoœci, np. mierz¹c odpowiednie pola (tutaj F

2

) i mno¿¹c

wynik przez podzia³ki rysunku. Po stwierdzeniu, ¿e dla tych za³o¿eñ mo¿na okreœliæ

pracê L

*

, wróæmy jeszcze raz do wzoru (154). Ujmuje on zale¿noœæ miêdzy prac¹ L

*

,

zredukowanym momentem bezw³adnoœci J, œredni¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ w

œr

oraz wspó³-

czynnikiem nierównomiernoœci d.

Zale¿noœæ ta umo¿liwia wiêc np. okreœlenie wspó³czynnika d rozpatrywanej ma-

szyny

δ

ω

=

⋅

L

J

œ r

*

.

2

(156)

Gdyby siê okaza³o, ¿e obliczony wspó³czynnik d jest niedopuszczalnie du¿y i nale-

¿a³oby go zmniejszyæ do wartoœci d', to – jak widaæ teraz wyraŸnie ze wzoru (156) –

przy okreœlonych warunkach pracy maszyny (dane w

œr

i L

*

), mo¿na to osi¹gn¹æ tylko

przez powiêkszenie zredukowanego momentu bezw³adnoœci J o jak¹œ sta³¹ wartoœæ J

k

Rys. 199. Okreœlenie momentu bezw³adnoœci ko³a zamachowego metod¹ przybli¿on¹

206

δ

ω

'

(

)

,

*

=

+

L

J J

k

œ r

2

(157)

czyli

J

L

J

k

œ r

=

⋅

−

*

'

.

ω

δ

2

(158)

Wzór (158) jest przybli¿onym rozwi¹zaniem naszego zagadnienia. Okreœlono mo-

ment bezw³adnoœci dok³adanego ko³a zamachowego. Przybli¿enie wynika st¹d, ¿e w

rozwa¿aniach, które doprowadzi³y do wzoru (158) za³o¿ono, ¿e J

x

= J

n

. Pamiêtaj¹c o

tym bêdziemy stosowaæ omawian¹ metodê wtedy, gdy zmiennoœæ J

zr

(j) jest niezbyt

du¿a lub zabezpieczymy siê przez przyjêcie J

x

= J

n

= J

min

, co poci¹ga za sob¹ przewy-

miarowanie ko³a zamachowego, a wiêc zmniejszenie za³o¿onego wspó³czynnika d'.

13.5.2. Kszta³towanie i osadzanie ko³a zamachowego

Po wyznaczeniu momentu bezw³adnoœci J

k

nale¿y dobraæ odpowiednie masy, które

dodane do ruchomych cz³onów maszyny powiêksz¹ jej zredukowany moment bez-

w³adnoœci o tê sta³¹ wartoœæ. Zwykle masy te instaluje siê na obrotowym wale maszy-

ny w postaci ko³a zamachowego, przy czym skupia siê wtedy masy przede wszystkim

na jego wieñcu. Oznaczaj¹c œredni¹ œrednicê tego wieñca przez D (rys. 200), ciê¿ar

zaœ ko³a przez G, mo¿na wyraziæ jego moment bezw³adnoœci w postaci

J

m R

G

g

D

GD

g

k

=

= 







=

2

2

2

2

4

,

st¹d

GD

g J

J

k

k

2

4

40

=

⋅

≅

.

Wyra¿enie GD

2

, które w ten sposób mo¿na obliczyæ, nosi w praktyce nazwê mo-

mentu zamachowego. Po jego wyznaczeniu mo¿na jeden z wystêpuj¹cych tu para-

metrów G i D za³o¿yæ, drugi obliczyæ. Zanim za³o¿ymy wartoœæ jednego z tych

Rys. 200. Ko³o zamachowe

parametrów, przyjrzyjmy siê przebiegowi

funkcji GD

2

= const (rys. 201). Jak widaæ,

ten sam efekt mo¿na uzyskaæ bardzo ró¿-

nym kosztem. Na konkretne rozwi¹zanie

zdecydujemy siê dopiero po analizie kon-

strukcji samej maszyny i warunków jej pra-

cy. Nale¿y zwróciæ równie¿ uwagê na fakt,

¿e górny wymiar œrednicy D jest, przy

okreœlonej prêdkoœci k¹towej ko³a, ograni-

czony w³asnoœciami materia³owymi. Ka¿-

207

Rys. 201. Problem doboru parametrów ko³a zamachowego

dy materia³ ma pewn¹ krytyczn¹ prêdkoœæ obwodow¹ v

k

, której przekroczenie grozi

pêkniêciem wieñca. Przyk³adowo dla wieñca ¿eliwnego prêdkoœæ taka v

k

= 36 m/s.

Oddzielnym zagadnieniem jest wybór miejsca monta¿u ko³a zamachowego decyduj¹-

cego o rozk³adzie obci¹¿eñ dynamicznych. W omówionej metodzie wyznaczono mo-

ment J

k

zredukowany do g³ównego wa³u maszyny. Decyduj¹c siê na umieszczenie

ko³a zamachowego na innym wale, o innej prêdkoœci k¹towej, nale¿y dokonaæ odpo-

wiedniej redukcji. Nale¿y przy tym pamiêtaæ, ¿e ró¿nice wymiarów kó³ zamachowych

mog¹ byæ bardzo istotne ze wzglêdu na to, ¿e J

k

= f(w

2

). Problem ten zobrazownao

pogl¹dowo na rys. 202. Przedstawiono tu typow¹ maszynê robocz¹ z³o¿on¹ z silnika

S, przek³adni redukcyjnej R oraz organu wykonawczego W. Najogólniej mo¿na wy-

korzystaæ do monta¿u ko³a zamachowego wa³ek (1) o wysokiej prêdkoœci obrotowej

n

S

silnika lub wa³ek (2) o prêdkoœci roboczej n

W

zredukowanej przez przek³adniê

redukcyjn¹ (n

S

> n

W

). Przy obu rozwi¹zaniach uzyskuje siê ten sam efekt zmniejsze-

nia wspó³czynnika nierównomiernoœci biegu, lecz przy zdecydowanie ró¿nych ma-

sach kó³ zamachowych

J

J

n

n

kS

kW

W

S

=











2

.

Oczywiœcie, ró¿ne s¹ równie¿ w obu przypadkach (rys. 202) skutki w sensie obci¹-

¿eñ dynamicznych poszczególnych podzespo³ów i ich elementów. Te ostatnie zale¿¹

przecie¿ od tego, co jest Ÿród³em zak³óceñ ruchu S czy W. Maj¹c to na uwadze,

nale¿y kierowaæ siê zasad¹: ko³o zamachowe mo¿liwie najbli¿ej Ÿród³a zak³óceñ ru-

chu.

208

Rys. 202. Problem wyboru miejsca monta¿u ko³a zamachowego

13.6. Obci¹¿enia koryguj¹ce

Idea omawianego zabiegu polega na dodatkowym obcia¿eniu rozpatrywanej ma-

szyny w taki sposób, by w sumie uzyskaæ oczekiwany efekt zmniejszenia wspó³czyn-

nika nierównomiernoœci biegu d. Wyjaœnimy ten problem na prostym przyk³adzie.

Niech bêdzie dana maszyna, w której zredukowany do g³ównego wa³u moment bez-

w³adnoœci jest sta³y (J

zr

= const) zredukowany moment si³ czynnych jest sta³y (M

czr

=

M

c

= const), a zredukowany moment obci¹¿eñ biernych M

b

zmienia siê cyklicznie

(rys. 103a). Przyczyn¹ nierównomiernoœci biegu jest DM = M

c

– M

b

. Przyczynê tê

mo¿na zlikwidowaæ, przyk³adaj¹c do g³ównego wa³u maszyny moment koryguj¹cy

M

b

' = DM (rys. 203b). W wyniku takiego zabiegu otrzymamy obci¹¿enie g³ównego

wa³u maszyny momentem M

b

*

(rys. 203c), przy czym

M

b

*

= M

b

+ M

b

'

= M

c

.

(159)

Idea jest prosta i sugestywna – nale¿y j¹ tylko próbowaæ rozwi¹zaæ praktycznie.

Na pocz¹tek nale¿y zauwa¿yæ, ¿e w ruchu ustalonym zawsze ca³kowita praca momen-

tu koryguj¹cego M

b

' w ramach jednego cyklu lub wielokrotnoœci tych cykli równa siê

zeru

M

b

c

'

.

d

ϕ

ϕ

=

∫

0

0

Oznacza to, ¿e teoretycznie skorygowanie obci¹¿enia maszyny mo¿e odbyæ siê bez

dodatkowych nak³adów energetycznych. Potwierdzaj¹ to równie¿ przyk³ady praktycz-

209

nych rozwi¹zañ tego problemu zaproponowanych w pracy [15]. Na rysunku 204 przed-

stawiono trzy przyk³ady mechanizmów krzywkowych, w których krzywka jest osa-

dzona na g³ównym wale maszyny. Si³a sprê¿yny S (rys. 204a), ciê¿aru G (rys. 204b),

lub moment si³ bezw³adnoœci M

b

(rys 204c), przy odpowiednim doborze parametrów

Rys. 203. Wyrównywanie biegu maszyn poprzez dodatkowe obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny:

a) zadane przebiegi zmian M

c

i M

b

, b) przebieg zmian potrzebnego momentu dodatkowego,

c) rezultat dodatkowego obci¹¿enia

210

mechanizmu krzywkowego, wywo³uj¹ obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny, tj o prze-

biegu okreœlonym równaniem (159), po¿¹danym momentem koryguj¹cym M

b

'. Nie-

trudno zauwa¿yæ, ¿e rozwi¹zanie z wykorzystaniem si³y ciê¿koœci (rys. 204b) nadaje

siê do uk³adów wolnobie¿nych, rozwi¹zanie zaœ bezw³adnoœciowe (rys. 204c) do uk³a-

dów szybkobie¿nych.

Omawiane rozwi¹zania zosta³y z powodzeniem wypróbowane w pewnych maszy-

nach ceramicznych [15]. Zainstalowanie tego typu mechanizmów doprowadzi³o tam

do istotnego zwiêkszenia wydajnoœci tych maszyn.

Rys. 204. Przyk³ady mechanizmów realizuj¹cych dodatkowe obci¹¿enie g³ównego wa³u maszyny:

a) mechanizm krzywkowy sprê¿ynowy, b) mechanizm krzywkowy grawitacyjny,

c) mechanizm krzywkowy bezw³adnoœciowy

14. Wywa¿anie

Podczas ruchu cz³onów ze zmienn¹ prêdkoœci¹ dzia³aj¹ na nie si³y bezw³adnoœci.

Si³y te, poza niektórymi specjalnymi urz¹dzeniami, jak wibratory, wstrz¹sarki, prze-

siewacze itp., s¹ zwykle niekorzystne dla pracy maszyny. Jako obci¹¿enia zmienne

okresowo, na skutek cyklicznego ruchu maszyny, stanowi¹ niepo¿¹dane dynamiczne

obci¹¿enia cz³onów i par kinematycznych uk³adu s¹ Ÿród³em drgañ poszczególnych

podzespo³ów i ca³ych obiektów. Te niezrównowa¿one w mechanizmie si³y bezw³adnoœ-

ci mog¹ przenosiæ siê poprzez fundament na inne maszyny oraz wp³ywaæ ujemnnie na

pracuj¹ce w s¹siedztwie urz¹dzenia. Jak wiadomo, zjawisko to jest szczególnie groŸ-

ne wtedy, gdy czestotliwoœæ drgañ w³asnych maszyny jest bliska czêstotliwoœci zmian

si³ wymuszj¹cych.

W celu usuniêcia szkodliwego wp³ywu si³ bezw³adnoœci na pracê maszyny nale¿y

je wyrównowa¿yæ. Uzyskuje siê to przez odpowiedni dobór lub korekcjê rozk³adu

mas maszyny tak, by w czasie jej ruchu si³y bezw³adnoœci wyrównowa¿y³y siê ca³ko-

wicie lub przynajmniej czêœciowo. Najkorzystniej by³oby oczywiœcie, aby si³y bez-

w³adnoœci ka¿dego z cz³onów stanowi³y samowyrównowa¿ony uk³ad si³. Ten sposób

usuniêcia nacisków dynamicznych na elementy par kinematycznych jest mo¿liwy tyl-

ko w przypadku cz³onów obrotowych o nieruchomej podstawie. W pozosta³ych przy-

padkach wystêpowanie nacisków dynamicznych jest nieuniknione, ze wzglêdu na cy-

klicznoœæ ruchu. Wtedy d¹¿y siê do wyrównowa¿enia ca³kowitego lub przynajmniej

czêœciowego uk³adu si³ bezw³adnoœci ca³ego mechanizmu czy maszyny.

Mo¿na wiêc sformu³owaæ nastêpuj¹ce zadania wyrównowa¿enia si³ bezw³adnoœci:

– ca³kowite lub czêœciowe wyrównowa¿enie si³y wypadkowej i momentu si³ bez-

w³adnoœci mechanizmu,

– wyrównowa¿enie si³ bezw³adnoœci cz³onów obracaj¹cych siê wokó³ osi nieru-

chomych.

14.1. Okreœlanie œrodka ciê¿koœci mechanizmów

Podczas wyrównowa¿ania si³ bezw³adnoœci, zw³aszcza uk³adów dŸwigniowcyh,

bardzo przydatna jest znajomoœæ ruchu œrodka ciê¿koœci mechanizmu w cyklu jego

pracy. Omówimy jeden z mniej znanych sposobów wyznaczania œrodka ciê¿koœci uk³a-

du mechanicznego. Niech bêdzie dany ³añcuch kinematyczny przedstawiony na rys. 205,

w którym znane s¹ d³ugoœci cz³onów l

i

, odleg³oœci s

i

okreœlaj¹ce po³o¿enia œrodków

212

ciê¿koœci S

i

oraz masy m

i

. Dla przyjêtego uk³adu wspó³rzêdnych mo¿na napisaæ

równania momentów statycznych

m x

m x

s

i

s

i

i n

i

⋅

=

⋅

=

=

∑

,

1

(160)

m y

m y

s

i

s

i

i n

i

⋅

=

⋅

=

=

∑

1

(161)

gdzie:

m

m

i

i

i n

=

=

=

∑

,

1

x

s

, y

s

– wspó³rzêdne œrodka ciê¿koœci uk³adu,

x

si

, y

si

– wspó³rzêdne œrodków ciê¿koœci cz³onów uk³adu.

Po uwzglêdnieniu zale¿noœci (160) i (161) mo¿na napisaæ inaczej

m r

m r

s

i

i

i

i n

⋅ =

⋅

=

=

∑

,

1

(162)

gdzie: r

s

– promieñ–wektor okreœlaj¹cy po³o¿enie œrodka cie¿koœci mechanizmu,

r

i

– promieñ–wektor okreœlaj¹cy po³o¿enie œrodka cie¿koœci i-tego cz³onu me-

chanizmu.

Jak widaæ z rysunku 205, ka¿dy z wektorów r

i

mo¿na wyraziæ

Rys. 205. £añcuch kinematyczny i jego œrodek ciê¿koœci

213

r

s

r

l s

r

l l

s

r

l l

l

s

i

i

1

1

2

1

2

3

1

2

3

3

1

2

1

=

= +
= + +

= + + +

+

−

,

,

,

.

L L L L L

K

(163)

po podstawieniu (163) do (162) i przekszta³ceniach otrzymano

[

] [

]

[

]

m r

m s

m

m

m l

m s

m m

m l

m s

s

n

n

n

n

⋅ =

⋅ +

+ + +

+

⋅ +

+

+ +

+ +

⋅

1

1

2

3

1

2

2

3

4

2

(

)

(

)

;

K

K

K

lub

r

h

s

i

i

i n

=

=

=

∑

1

(164)

gdzie

h

m s

m

m

m l

m

i

i

i

i

i

n i

=

⋅ +

+

+ +

+

+

(

) .

1

2

K

(165)

Jak wynika z zale¿noœci (165), wektory

h

i

przyjmuj¹ kierunki równoleg³e do kie-

runków cz³onów oraz s¹ sta³e co do modu³ów w ka¿dym po³o¿eniu uk³adu mecha-

nicznego. Nosz¹ one nazwê wektorów g³ównych. Stosuj¹c wektory g³ówne mo¿na

dla ka¿dego uk³adu wyznaczyæ po³o¿enie œrodka ciê¿koœci w dowolnym po³o¿eniu

mechanizmu, a powtarzaj¹c ten prosty zabieg – wykreœliæ bez trudu ca³¹ trajektoriê t

s

œrodka ciê¿koœci uk³adu.

Poka¿emy to na przyk³adzie czworoboku przegubowego ABCD (rys. 206). Stosu-

j¹c oznaczenia jak na rysunku, po³o¿enie œrodka ciê¿koœci S opiszemy

r

h h

h

s

=

+ +

1

2

3

,

gdzie

h

m s

m

m l

m

1

1

1

2

3

1

=

⋅ +

+

(

) ,

h

m s

m l

m

2

2

2

3

3

=

⋅

+

⋅ ,

(165a)

h

m s

m

3

3

3

=

⋅ .

214

Kolejne po³o¿enie œrodka ciê¿koœci, a wiêc i jego trajektoriê t

s

znajdziemy rysuj¹c

wieloboki tych samych wektorów

h h h

1

2

3

, , ,

równoleg³e do odpowiednich cz³onów

we wszystkich po³o¿eniach uk³adu mechanicznego.

Przedstawiony sposób okreœlania ruchu œrodka ciê¿koœci ca³ego uk³adu mo¿na zas-

tosowaæ skutecznie równie¿ do wywa¿ania mechanizmów.

14.1. Wywa¿anie mechanizmów dŸwigniowych

Jak ju¿ wspomniano, si³y bezw³adnoœci dzia³aj¹ce na poszczególne cz³ony uk³adu

kinematycznego obci¹¿aj¹ w rezultacie jego podstawê. Przeanalizujemy dla przyk³a-

du czworobok przegubowy ABCD (rys. 207a), w ruchu podtrzymywanym momen-

tem czynnym M

c

. Pomiñmy si³y ciê¿koœci, tarcia i inne obci¹¿enia zewnêtrzne. Przy

takich za³o¿eniach cz³on (1) obci¹¿ony jest momentem M

c

i M

b1

oraz si³¹ bezw³ad-

noœci P

b1

, cz³ony (2) i (3) zaœ tylko si³ami bezw³adnoœci P

b2

i P

b3

i momentami M

b2

i M

b3

. W wyniku ich dzia³ania podstawa (4) tego uk³adu jest obci¹¿ona si³ami P

14

i

P

34

, czyli w efekcie si³¹ wypadkow¹ R (rys. 207b). Si³a ta jest cyklicznie zmienna i

wywo³uje omówione poprzednio skutki. Obci¹¿enie podstawy mo¿na wyznaczyæ rów-

nie¿ inaczej. W czasie ruchu mechanizmu wspólny œrodek ciê¿koœci S wszystkich

ruchomych cz³onów przemieszca siê po okreœlonym torze t

s

(rys. 207c). Doznaje przy-

spieszenia a

s

, a wiêc mo¿na mu przypisaæ si³ê bezw³adnoœci P

b

, przy czym

P

m a

b

s

= − ⋅ ,

(166)

gdzie: m – masa uk³adu cz³onów ruchomych.

Rys. 206. Czworobok przegubowy ABCD wraz z ³añcuchem wektorów g³ównych h

i

okreœlaj¹cym

po³o¿enie œrodka ciê¿koœci

215

Rys. 207. Interpretacja obci¹¿enia podstawy mechanizmu si³ami bezw³adnoœci: a) mechanizm

obci¹¿ony si³ami bezw³adnoœci, b) wypadkowe obci¹¿enie podstawy, c) P

b

– si³a bezw³adnoœci

dzia³aj¹ca na masê ca³ego cz³onu, d) obci¹¿enie podstawy przez P

b

i M

b

216

Jak widaæ

P

P

b

bi

=

∑

.

(167)

Tak wiêc podstawê (4) omawianego czworoboku obci¹¿a wypadkowa si³a bez-

w³adnoœci P

b

(rys. 207d). Podstawê (4) obci¹¿a równie¿ wypadkowy moment M

b

re-

prezentuj¹cy wszystkie momenty dzia³aj¹ce na ruchome cz³ony mechanizmu

M

M

M

b

bi

c

=

+

∑

.

(168)

Poprzez korekcjê rozk³adu mas poszczególnych cz³onów mo¿na wp³ywaæ na P

b

oraz M

b

. Taki zabieg nazywa siê wywa¿aniem, przy czym rozró¿nia siê dwa przy-

padki:

1. Wywa¿anie statyczne – gdy prowadzi do wyniku P

b

= 0, ale M

b

¹ 0.

2. Wywa¿anie dynamiczne – gdy otrzymuje siê P

b

= 0 i M

b

= 0.

Drugi przypadek jest praktycznie trudny do uzyskania i nie bêdziemy go tu oma-

wiaæ. Rozwa¿my przypadek 1.

14.2.1. Wywa¿anie statyczne mechanizmów dŸwigniowych

Mechanizm dŸwigniowy nazywamy wywa¿onym statycznie wtedy, gdy wypadko-

wa sii³ bezw³adnoœci jego cz³onów dla dowolnego po³o¿enia mechanizmu równa siê

zeru, czyli

P

m a

b

s

= − ⋅

= 0.

(169)

W uk³adach rzeczywistych warunek (169) jest spe³niony tylko wtedy, gdy

a

s

= 0,

to zaœ zachodzi, gdy

a) œrodek cie¿koœci mechanizmu porusza siê ruchem jednostajnym prostoliniowym,

b) œrodek ciê¿koœci mechanizmu jest nieruchomy.

W uk³adach dŸwigniowych charakteryzuj¹cych siê ruchem cyklicznym mo¿e byæ

spe³niony tylko warunek b. Rozwa¿my ten przypadek.

Jak mo¿na wykazaæ, œrodek ciê¿koœci ca³ego uk³adu bêdzie nieruchomy wtedy, gdy

r

s

= const.

(170)

Mo¿na to uzyskaæ przez korekcjê rozk³adu masy na poszczególnych czlonach.

Poka¿emy to na przyk³adach.
Czworobok przegubowy

Niech bêd¹ dane d³ugoœci cz³onów l

i

, odleg³oœci s

i

i masy m

i

tego uk³adu

(rys. 206). W wyniku wywa¿enia musimy doprowadziæ do tego, by œrodek ciê¿koœci

pozosta³ nieruchomy (rys. 208). Zajdzie to wtedy, gdy

h

l

h

l

h

l

1

1

2

2

3

3

'

'

' ,

=

=

217

gdzie

h

i

– wektory g³ówne po korekcji mas cz³onów.

Aby wyznaczyæ wielkoœæ niezbêdnych przeciwciê¿arów i okreœliæ ich rozmieszcze-

nia, rozpiszemy ten uk³ad równañ w postaci

h

l

h

l

h

l

h

l

1

1

3

3

2

2

3

3

'

' ; '

'

=

=

lub po wyra¿eniu wektorów g³ównych w czworoboku

[m

1

'· s

1

' + (m

2

' + m

3

')l

1

]l

3

= m

3

'· s

3

'· l

1

(170a)

[m

2

'· s

2

' + m

3

'· l

2

]l

3

= m

3

'· s

3

'· l

2

.

W uk³adzie równañ (170a) wystêpuje 6 niewiadomych m

1

', m

2

', m

3

', s

1

', s

2

' i s

3

',

z których dwie mo¿na obliczyæ. W zale¿noœci od tego, które wielkoœci za³o¿ymy,

otrzymamy (przedstawione na rys. 209) podstawowe kombinacje wywa¿enia statycz-

nego czworoboku. Pozostañmy przy wersji a (rys. 210), przyjmuj¹c jako dane

Rys. 209. Przypadki wywa¿ania statycznego czworoboku ABCD

Rys. 208. Czworobok przegubowy ABCD wywa¿ony statycznie

(³añcuch wektorów g³ównych

h

i

podobny do mechanizmu)

218

Rys. 210. Wywa¿anie statyczne czworoboku przegubowego ABCD

m

1

' = m

1

,

m

2

' = m

2

+ m

E

,

m

3

' = m

3

+ m

F

,

s

1

' = s

1

.

Pozosta³e wymiary s

3

' i s

2

', okreœlaj¹ce po³o¿enie mas zastêpczych m

2

' i m

3

'

obliczymy z równañ (170a)

s

m s

m m l l

m l

3

1

1

2

3

1

3

3

1

'

[ ' ' ( '

' ) ]

'

=

⋅ +

+

⋅

s

m s l

m l l

m l

2

3

3

2

3

2

3

2

3

'

' '

'

'

.

=

⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

⋅

Wielkoœci te umo¿liwiaj¹ ostateczne okreœlenie miejsca usytuowania przeciwciê-

¿arów E i F. Dla rozpatrywanych cz³onów (2) i (3) (rys. 210) napiszemy z warunku

równowagi

m

2

(s

2

' – s

2

) = m

E

· x

2

,

st¹d

x

m s s

m

E

2

2

2

2

=

−

( '

) ,

219

oraz

m

3

(s

3

' – s

3

) = m

F

· x

3

,

st¹d

x

m s s

m

F

3

3

3

3

=

−

( '

) .

Ostateczne po³o¿enie mas dodatkowych m

E

i m

F

wyznaczymy z równoœci

l

CE

= s

2

' – l

BC

+ x

2

,

l

DF

= s

3

' – l

CD

+ x

3

.

Mechanizm korbowo-wodzikowy

W mechanizmie korbowo-wodzikowym niewywa¿onym (rys. 211) wspólny œro-

dek ciê¿koœci S zakreœla trajektoriê t

s

. Aby uzyskaæ wywa¿enie statyczne nale¿y

doprowadziæ do sytuacji, w której spe³niony jest warunek (170). W tym mechanizmie

zajdzie to wtedy, gdy

h

h

1

2

0

0

=

=

i

.

(171)

Warunek (171) mo¿na, korzystaj¹c z zale¿noœci (165) i (165a), napisaæ w postaci

m

1

'· s

1

' + l

1

(m

2

' + m

3

') = 0,

(172)

m

2

'· s

2

' + l

2

· m

3

' = 0.

Z uk³adu równañ (172) mo¿na obliczyæ dwie niewiadome; np. zak³adaj¹c wspó³-

rzêdne s

i

' mo¿na obliczyæ masê cz³onów m

i

'

m

l

s

m m

1

1

1

2

3

'

'

( '

' ),

= −

+

Rys. 211. Tor œrodka cie¿koœci uk³adu wyznaczony metod¹ wektorów g³ównych

220

Rys. 212. Wywa¿anie statyczne uk³adu korbowo-wodzikowego ABC

m

l

s

m

2

2

2

3

'

'

' .

= −

Wyniki te sugeruj¹, ¿e efekt wywa¿enia statycznego mo¿na uzyskaæ rozbudowuj¹c

cz³ony (1) i (2) o przeciwwagi E i F (rys. 212) o masach m

E

i m

F

, przy czym

m

E

= m

2

' – m

2

,

m

F

= m

1

' – m

1

,

Niestety, jak siê okazuje, masy przeciwwag zapewniaj¹cych wywa¿enie statyczne

wychodz¹ stosunkowo du¿e.

Dla ilustracji liczbowej przytoczmy konkretny przyk³ad. Do wywa¿enia przyjêto

uk³ad, w którym pierwotnie masy poszczególnych cz³onów wynosi³y:

m

1

= 2 kg,

m

2

= 3 kg,

m

3

= 1 kg,

l

1

= 80 mm,

l

2

= 200 mm,

s

1

= 30 mm,

s

2

= 100 mm.

Dla efektu wywa¿enia statycznego nale¿a³oby w tym przypadku zamocowaæ prze-

ciwwagê E na przyjêtej odleg³oœci

BE = 71,5 mm o masie m

E

= 7 kg

oraz przeciwwagê F na za³o¿onej odleg³oœci

AF = 85 mm o masie m

F

= 20 kg.

S¹ to wyniki rzeczywiœcie nie zachêcaj¹ce do stosowania. W tej sytuacji czêœciej

stosuje siê wywa¿enie czêœciowe.

Czêœciowe wywa¿anie uk³adu korbowo-wodzikowego

W rozpatrywanym uk³adzie ABC (rys. 213a) czlony AB i BC o masie ci¹g³ej

zast¹pimy ich modelami z³o¿onymi z dwóch mas ulokowanych w parach kinematyc-

nych. Cz³on AB (rys. 213b), zast¹pimy wiêc masami m

A1

, m

B1

, cz³on BC – masami

m

B2

i m

C2

. W rezultacie otrzymamy model badanego uk³adu z rys. 213a przedsta-

wiony na rys. 213c.

221

Dla tego przypadku

m

B

= m

B1

+ m

B2

(173)

m

C

= m

C2

+ m

3

oraz

m

m s

l

m

m l

s

l

m

m s

l

B

B

C

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

=

=

−

=

;

;

.

Rys. 213. Wywa¿anie statyczne (czêœciowe) uk³adu korbowo-wodzikowego ABC: a) schemat

mechanizmu, b) masowe modele cz³onów ruchomych uk³adu, c) uk³ad ABC z przeciwag¹ E

222

Na przed³u¿eniu korby (1) umieœcimy przeciwwagê E o masie m

E

i za³o¿ymy

ruch korby ze sta³¹ prêdkoœci¹ k¹tow¹ w

1

= const. Przy tych za³o¿eniach na ruchome

masy m

B

, m

C

, m

E

dzia³aj¹ si³y bezw³adnoœci

P

m a

B

B

B

= −

⋅ ,

P

m a

C

C

C

= −

⋅ ,

(174)

P

m a

E

E

E

= −

⋅

po podstawieniu odpowiednich wzorów na przyspieszenia:

P

m l

B

B

= −

⋅ ⋅

1

1

2

ω ,

P

m l

C

C

=

⋅ ⋅

+

+

1

1

2

2

ω

α λ

α

(cos

cos

),

K

(175)

P

m e

E

E

= −

⋅ ⋅

ω

1

2

.

Rzutuj¹c te si³y na osie uk³adu wspó³rzêdnych otrzymamy

m l

m l

m e

B

C

E

⋅ ⋅

+

⋅ ⋅

+

+

=

⋅ ⋅

1

1

2

1

1

2

1

2

2

ω

α

ω

α λ

α

ω

α

cos

(cos

cos

)

cos ,

K

m l

m e

B

E

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

1

1

2

1

2

ω

α

ω

α

sin

sin .

(176)

Jak widaæ z uk³adu równañ (176), obydwa równania nie mog¹ byæ spe³nione jed-

noczeœnie (uwaga na sk³adniki podkreœlone). Oznacza to, ¿e si³a bezw³adnoœci jednej

przeciwwagi E nie mo¿e zrównowa¿yæ wy¿szych harmonicznych si³y bezw³adnoœci

masy m

C

w ruchu posuwisto-zwrotnym. Przy zastosowaniu tylko jednej przeciwwagi

(na korbie) zawsze pozostaj¹ w czasie ruchu niezrównowa¿one si³y bezw³adnoœci wy¿-

szego rzêdu mas wodzika o ruchu posuwisto-zwrotnym, maj¹ce kierunek osiowy

m l

C

⋅

+

1

1

2

2

λω

α

cos

K

Ze wzglêdu na ma³¹ wartoœæ l = l

1

/l

2

mo¿na na ogó³ takie niezrównowa¿enie

dopuœciæ, zw³aszcza wtedy, gdy chodzi o si³y wy¿szego ni¿ drugiego rzêdu – ich

wartoœci s¹ proporcjonalne do potêg l.

Zachowuj¹c w równaniach (176) tylko si³y pierwszego rzêdu otrzymamy

(m

B

+ m

C

)l

1

w

1

2

cos a = m

E

· e w

1

2

cos a ,

(177)

m

B

· l

1

w

1

2

sin a = m

E

· e w

1

2

sin a .

Z równañ (177) widaæ, ¿e i przy tych uproszczeniach mo¿liwe jest tylko czêœciowe

zrównowa¿enie si³ pierwszego rzêdu.

Przeanalizujemy trzy przypadki:

223

Rys. 214. Przyk³ady wyciszania dynamicznych oddzia³ywañ w parze A: a) ca³kowite, b) czêœciowe

1. Masê przeciwwagi mo¿na przyj¹æ tak, by w ka¿dej chwili ruchu by³o spe³nione

drugie równanie uk³adu (177). Oznacza to wywa¿enie tylko mas obrotowych. Dla

tego przypadku

m

B

· l

1

= m

E

' · e,

czyli

(178)

m

m l

e

E

B

'

,

=

1

W czasie ruchu pozostaje wtedy niezrównowa¿ona zmienna si³a bezw³adnoœci P

C

(rzêdu pierwszego) mas w ruchu posuwisto-zwrotnym maj¹ca kierunek osi cylindra

(osi x):

P

m l

C

C

'

cos .

=

⋅ ⋅

1

1

2

ω

α

(179)

2. Masê m

E

przeciwwagi E mo¿na dobraæ tak, by w ka¿dej fazie ruchu by³o

spe³nione pierwsze równanie uk³adu (176). Oznacza to wtedy, ¿e

(m

B

+ m

C

) l

1

= m

E

" e,

czyli

m

m

m l

e

E

B

C

"

(

) .

=

+

1

(180)

W czasie ruchu pozostanie jednak wtedy niezrównowa¿ona zmienna si³a bezw³ad-

noœci o kierunku poprzecznym (osi y) i wartoœci

P

m l

By

C

"

sin .

= −

1

1

2

ω

α

3. Masê m

E

przeciwwagi E mo¿na dobraæ tak, by zrównowa¿yæ czêœciowo masy

uczestnicz¹ce w ruchu obrotowym i czêœciowo masy w ruchu posuwisto-zwrotnym.

Masê m

E

mo¿na wtedy wyznaczyæ, zak³adaj¹c po¿¹dany stosunek niewywa¿onych

si³ o kierunkach poprzecznym i pod³u¿nym.

224

Na zakoñczenie nale¿y równie¿ wspomnieæ o mo¿liwoœci wyzerowania dynamicz-

nych si³ oddzia³ywania w g³ównym ³o¿ysku A (ca³kowicie lub czêœciowo) w wyniku

osadzenia na jednym wale kilku identycznych uk³adów. Przyk³ady takich rozwi¹zañ

przedstawiono na rys. 214.

14.3. Wywa¿anie mas obrotowych

Cia³o wiruj¹ce doko³a jednej ze swych g³ównych osi bezw³adnoœci obci¹¿a pod-

trzymuj¹ce go ³o¿yska tylko si³ami oddzia³ywania statycznego. Tak siê zwykle pro-

jektuje wszelkie elementy typu wirnikowego. Praktycznie jednak taki przypadek jest

nieosi¹galny (niejednorodnoœæ materia³u, obróbka, monta¿) i zwykle w ³o¿yskach wir-

ników pojawiaj¹ siê (poza statycznymi) dodatkowe oddzia³ywania dynamiczne. Aby

oceniæ skalê zjawiska, podamy nastêpuj¹cy przyk³ad.

Wirnik o masie m = 10 kg obraca siê ze sta³¹ prêdkoœci¹ w = 1000 s

–1

(n = 9500 obr/min). W rzeczywistym wykonaniu œrodek ciê¿koœci S tego wirnika jest

przesuniêty wzglêdem osi obrotu o wartoœæ x = 0,1 mm. Wirnik taki obcia¿a wtedy

si³a bezw³adnoœci P

b

P

b

= x w

2

m = 0,0001· 1000

2

· 10 = 1000 N.

Zwróæmy uwagê na ten wynik. Przy tak ma³ej niedok³adnoœci (0,1 mm) si³a bez-

w³adnoœci jest dziesiêciokrotnie wiêksza od si³y ciê¿koœci (P

b

/G = 10). Zauwa¿my

równie¿, ze si³a P

b

, a wiêc równie¿ i wywo³ywane t¹ si³¹ oddzia³ywania w ³o¿yskach

podtrzymuj¹cych wirnik s¹ si³ami wiruj¹cymi.

Rys. 215. Cz³on obrotowy niewywa¿ony

225

W ogólnym przypadku, oprócz si³y bezw³adnoœci P

b

, przy³o¿onej w œrodku ciê¿-

koœci, element wiruj¹cy obci¹¿a równie¿ moment si³ bezw³adnoœci M

b

. Obydwa te

obci¹¿enia wywo³uj¹ w ³o¿yskach wirnika oddzia³ywania dynamiczne.

Nasuwa siê pytanie: jakie warunki musz¹ byæ spe³nione by wartoœci tych oddzia³y-

wañ by³y minimalne?

Chc¹c uj¹æ rzecz ogólnie, rozpatrzmy cz³on sztywny pozostaj¹cy w ruchu obroto-

wym wokó³ osi z uk³adu wspó³rzêdnych x, y, z (rys. 215) z prêdkoœcia k¹tow¹ w i

przyspieszeniem k¹towym e. Jak mo¿na wykazaæ [1], [2], [12], [13], sk³adowe P

b

oraz M

b

mo¿na wyraziæ

P

bx

= m (w

2

· x

S

– e · y

S

),

P

by

= m (w

2

· y

S

– e · x

S

),

(181)

P

bz

= 0.

oraz

M

x

= w

2

· J

yz

– e · J

xz

,

M

y

= – w

2

· J

xz

– e · J

yz

,

(182)

M

z

= – e,

gdzie: x

S

, y

S

– wspó³rzêdne œrodka S mas wiruj¹cych,

J

xz

, J

yz

– momenty dewiacyjne wzglêdem odpowiednich osi,

J

z

– moment bezw³adnoœci cz³onu wzglêdem osi z.

Po uwzglêdnieniu (181) P

b

mozna wyraziæ w postaci wzoru

P

P

P

r m

b

bx

by

S

=

+

=

+

2

2

4

2

ω

ε .

Z ostatniego wzoru wynika, ¿e dla wszystkich w i e zachodzi

P

b

= 0

(183)

tylko wtedy, gdy

r

S

= 0.

(184)

Cz³on wiruj¹cy bêdzie wywa¿ony ca³kowicie, je¿eli ponadto sk³adowe M

x

i M

y

momentu si³ bezw³adnoœci (M

b

) bed¹ równe zeru. (Sk³adowa M

z

jest równowa¿ona

momentami si³ zewnêtrznych – napêdowych – i nie wywo³uje oddzia³ywañ dynamicz-

nych w ³o¿yskach podporowych A i B). Tak wiêc dla unikniêcia oddzia³ywañ dyna-

micznych musi zaistnieæ równie¿ warunek

M

x

= 0,

(185)

M

y

= 0.

Warunek ten bêdzie spe³niony dla wszystkich w i e, gdy

226

J

xz

= 0,

J

yz

= 0,

(186)

tzn. gdy jedna z g³ównych osi bezw³adnoœci (a) pokryje siê z osi¹ obrotu z.

Aby to uzyskaæ, nale¿y w rozpatrywanym wirniku dokonaæ odpowiedniej korekty

rozk³adu mas (przez dodawanie lub odejmowanie b¹dŸ przemieszczanie). Zabieg taki

nazywa siê powszechnie wywa¿aniem, przy czym rozró¿niamy:

a) wywa¿anie statyczne, gdy prowadzi do spe³nienia warunku (183),

b) wywa¿anie dynamiczne, gdy ma na celu spe³nieni warunków (183) i (185)

jednoczeœnie.

14.3.1. Wywa¿anie statyczne cz³onów obrotowych (wirników)

Omawiany zabieg, maj¹cy na celu spe³nienie warunku P

b

= 0, oznacza innymi

s³owy sprowadzenie œrodka ciê¿koœci wirnika do jego osi obrotu. Jest to zabieg sto-

sunkowo prosty. Mo¿na w tym celu ustawiæ czopy wirnika na g³adkich poziomych

prowadnicach lub rolkach (rys. 216a). Wirnik obróci siê wtedy tak, by œrodek ciê¿koœci

wirnika zaj¹³ po³o¿enie najni¿sze. W rzeczywistoœci, wskutek istnienia tarcia, bêdzie

to ca³y obszar po³o¿eñ równowagi. Jego granice mo¿na wyznaczyæ ustawiaj¹c dwu-

krotnie wirnik tak, by obraca³ siê raz w jedn¹ raz w drug¹ stronê. Dok³adn¹ masê

korekcyjn¹ nale¿y umieœciæ nad osi¹ wirnika. Jej iloœæ dobiera siê na drodze kolej-

nych prób lub poprzez pomiar stopnia niewywa¿enia na specjalnych urz¹dzeniach.

Rys. 216. Wywa¿anie statyczne wirnika: a) wykrywanie niewywa¿enia, b) wywa¿anie mas¹ m

k

227

Rys. 217. Wywa¿anie dynamiczne wirnika: a) interpretacja zjawiska niewywa¿enia,

b) rozk³ad mas niewywa¿enia m

i

oraz mas wywa¿aj¹cych m

ki

Wirnik wywa¿ony statycznie pozostaje w równowadze w ka¿dym po³o¿eniu. Oczywi-

œcie wynik taki uzyska siê wtedy, gdy przy³o¿ona masa korekcyjna spe³ni warunek

m

k

· r

k

= m · x.

(187)

Jak wynika z warunku (187), masa korekcyjna m

k

mo¿e byæ przyk³adana na do-

wolnie zak³adanym promieniu r

k

i w zasadzie w dowolnej p³aszczyŸnie p . Ze

zrozumia³ych powodów zaleca siê jednak przyjmowaæ p³aszczyznê korekcji tak by

z = 0 (rys. 216b).

Wywa¿anie statyczne mo¿e byæ zalecane i wystarczaj¹ce tylko w przypadku tarcz

lub kó³, w których mo¿na przyj¹æ, ¿e praktycznie masa roz³o¿ona jest w jednej p³a-

szczyŸnie. I w tych jednak przypadkach nale¿y siê liczyæ z mo¿liwoœci¹ wyst¹pienia

okreœlonego momentu si³ bezw³adnoœci przy obrocie wirnika.

14.3.2. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych sztywnych

Rozwa¿my ogólny przypadek wirnika osadzonego obrotowo w ³o¿yskach A i B

(rys. 217a), w których obydwa warunki (183) i (185) nie s¹ spe³nione. Wystêpuje

wtedy, gdy œrodek S masy tego wirnika nie le¿y na osi obrotu i g³ówna oœ bezw³ad-

noœci a nie pokrywa siê z osi¹ obrotu. Do pogl¹dowego przedstawienia problemu

podzielmy wirnik p³aszczyzn¹ p na dwie czêœci i przez S

I

i S

II

oznaczmy ich œrodki

mas. Rozpatrzmy problem wywa¿enia tych mas. Jak wynika z analizy warunków (181)

228

Rys. 218. Przyk³ad zasady dzia³ania wywa¿arki dynamicznej

i (182), efekt wywa¿enia mo¿na uzyskaæ dok³adaj¹c (lub odejmuj¹c) co najmniej dwie

masy. Niech bêd¹ to masy korekcyjne m

1

i m

2

przy³o¿one w p³aszczyznach p

1

i p

2

prostopad³ych do osi obrotu, na promieniach r

1

i r

2

(rys. 217a). Je¿eli wprowadziæ

uk³ad wspó³rzêdnych jak na rys. 217b, to zgodnie z (184) i (186) – poszukiwane masy

korekcyjne m

1

i m

2

powinny spe³niaæ równania:

m

I

r

I

+ m

2

r

2

cos a

2

+ m

1

r

1

cos a

1

+ m

II

r

II

cos a

II

= 0,

m

2

r

2

sin a

2

+ m

1

r

1

sin a

1

+ m

II

r

II

sin a

II

= 0,

z

I

m

I

r

I

+ z

2

m

2

r

2

cos a

2

+ z

1

m

1

r

1

cos a

1

+ z

II

m

II

r

II

cos a

II

= 0,

(188)

z

2

m

2

r

2

sin a

2

+ z

1

m

1

r

1

sin a

1

+ z

II

m

II

r

II

sin a

II

= 0.

Podany uk³ad równañ umo¿liwia obliczenie czterech niewiadomych. Zak³adaj¹c

np. promienie r

1

i r

2

, mo¿na wyznaczyæ pozosta³e parametry mas korekcyjnych, a

wiêc m

1

, m

2

, a

1

i a

2

. Przyk³adowo dla z

1

= z

I

, z

2

= z

II

z uk³adu równañ (188)

otrzymalibyœmy:

a

1

= p,

a

2

= a

I

–

p,

m

1

r

1

= m

I

r

I

,

(189)

m

2

r

2

= m

II

r

II

.

Jak wynika z tego przyk³adu, problem wywa¿ania dynamicznego by³by wzglêdnie

³atwy, gdyby znany by³ stan niewywa¿enia, tzn. wartoœci mas m

I

i m

II

oraz miejsce ich

po³o¿enia. W praktyce s¹ to wielkoœci nie znane, bo zwykle niezamierzone. Problem

sprowadza siê wiêc do ich okreœlenia. Dokonuje siê tego doœwiadczalnie z zastosowa-

niem specjalnych urz¹dzeñ, zwanych wywa¿arkami dynamicznymi. Urz¹dzenia te

umo¿liwiaj¹ przede wszystkim wyznaczenie w przyjêtych p³aszczyznach tzw. p³a-

szczyznach niewywa¿enia

229

³o¿yskach A i B osadzony jest wywa¿any

wirnik tak, by jedna z wybranych p³a-

szczyzn wywa¿enia przechodzi³a przez oœ

O obrotu ramy. Je¿eli wirnik zostanie

wprawiony w ruch obrotowy si³y bezw³ad-

noœci mas niewywa¿onych spowoduj¹ wy-

chylenie sie ramy R wokó³ przegubu O.

Wychylanie siê ramy z po³o¿enia równo-

wagi, przy ustawieniu wirnika jak na rys.

218, bêdzie wywo³ywane tylko przez si³y

bezw³adnoœci niewywa¿enia przypadaj¹ce-

go na p³aszczyznê korekcji p

1

. O wartoœci

tego niewywa¿enia mo¿na wnosiæ z ampli-

tudy drgañ mierzonej, np. czujnikiem M.

Amplituda A jest proporcjonalna do si³y

wynuszaj¹cej P

b

= P

1

A

1

= k · P

1

,

(191)

gdzie: k – wspó³czynnik proporcjonalno-

œci, wartoœæ charakterystyczna

(lecz nie znana) dla ca³ego ze-

spo³u rama–wirnik,

P

1

– si³a bezw³adnoœci niewywa¿e-

nia odniesionego do p³aszczy-

zny p

1

.

W celu wyznaczenia wspó³czynnika k

przeprowadzamy nastêpuj¹ce rozumowanie

i zabiegi. Zmierzona maksymalna wartoϾ

amplitudy A

1

(okreœlona przy prêdkoœci re-

zonansowej) pojawi³a siê w wyniku dzia-

³ania si³y P

1

(rys. 219a). Si³a P

1

nie jest

znana, bo nie jest znana masa niewywa¿e-

nia m

1

i parametry jej po³o¿enia r

1

i a.

Rys. 219. Si³y bezw³adnoœci w kolejnych

fazach wywa¿ania dynamicznego

µ

i

i

i

m r

m

=

⋅

(190)

bêd¹cego miar¹ przesuniêcia masy m

i

cz³onu odniesionego do rozpatrywanej p³a-

szczyzny. Jednoczeœnie urz¹dzenie to okreœla miejsce, gdzie nale¿y masê korekcyjna

przy³o¿yæ lub odj¹æ.

Poni¿ej przeœledzimy zasadê dzia³ania przyk³adowego rozwi¹zania wywa¿arki dy-

namicznej (rys. 218). Istotnym elementem wywa¿arki dynamicznej jest rama R osa-

dzona obrotowo w podstawie i podparta w drugim koñcu sprê¿yœcie. Na ramie w

230

W tej sytuacji zamocujemy w dowolnym miejscu, np. w punkcie K (rys. 219b),

dowoln¹ (lecz znan¹) masê próbn¹ m

p

na promieniu r

p

. Po ponownym uruchomieniu

wirnika na czujniku M odczytamy maksymaln¹ amplitudê A

2

, która jest proporcjo-

nalna do wypadkowej si³y bezw³adnoœci obu mas m

1

i m

p

A

2

= k· r

2

,

gdzie

R

P P

pK

2

1

=

+

.

Ten sam pomiar powtórzymy mocuj¹c tê sam¹ masê próbn¹ m

p

po przeciwnej

stronie wirnika w punkcie L (rys. 219c). Otrzymamy wtedy

A

3

= k · r

3

,

gdzie

R

P P

pL

3

1

=

+

.

Si³y

P P

P

R R

p

K

p

L

1

2

3

,

,

,

i

tworz¹ plan si³ przedstawiony na rys. 220a, amplitudy

A

1

, A

2

, A

3

zaœ i nie znana A

p

, przypadaj¹ca na masê próbn¹ m

p

, tworz¹ podobny plan

przedstawiony na rys. 220b.

Z planu tego mo¿na okreœliæ nie znan¹ dotychczas A

p

, wykorzystuj¹c np. twier-

dzenie o przek¹tnych równoleg³oboku

2

2

2

1

2

2

2

3

2

A

A

A

A

p

+

=

+

,

czyli

A

A

A

A

p

=

+

−

2

2

3

2

1

2

2

2

,

(192)

jednoczeœnie:

A

p

= k · P

p

,

a wiêc

k

A
P

p

p

=

.

(193)

Korzystaj¹c teraz z wzorów (193) i (191) otrzymamy

P

A

k

A

A

P

p

p

1

1

1

=

=

,

231

Rys. 220. Rysunek pomocniczy do wyznaczania miejsca masy korekcyjnej na elemencie wywa¿anym

czyli

P

m r

A

A

m r

p

p p

1

1 1

1

=

=

.

(194)

W ten sposób mo¿na wyznaczyæ nieznane dotychczas niewywa¿enie P

1

w p³asz-

czyŸnie p

1

. Mo¿na równie¿ okreœliæ miejsce masy niewywa¿onej. Z D x, y, z otrzyma-

my

α =

+

−

arccos

A

1

2

2

2

2

1

2

A

A

A A

p

p

.

(195)

Po wywa¿eniu wirnika w p³aszczyŸnie (1) odwracamy wirnik osadzaj¹c go tak w

ramie wywa¿arki, by p³aszczyzny p

1

i p

2

zamieni³y siê miejscami i zabiegi te powta-

rzamy.

Na zakoñczenie nale¿y podkreœliæ, ¿e opisan¹ tu wywa¿arkê trzeba traktowaæ jako

przyk³ad dydaktyczny. Wspó³czesne rozwi¹zania charakteryzuj¹ siê czêsto pe³n¹ elek-

tronizacj¹ i automatyzacj¹. Obs³uga tych urz¹dzeñ sprowadza siê zwykle do za³o¿enia

elementu wywa¿anego, uruchomienia, a nastêpnie odczytu wartoœci i miejsca przy³o-

¿enia masy korekcyjnej. W produkcji seryjnej, np. podczas wywa¿ania wirników sil-

ników elektrycznych ma³ej mocy, w pe³ni zautomatyzowana maszyna dokonuje wszy-

stkich czynnoœci zwi¹zanych z wywa¿aniem. Dokonuje równie¿ korekty rozk³adu masy,

zwykle nie poprzez dok³adanie, lecz usuwanie nadmiaru masy. Dzieje siê to za pomo-

c¹ nawiercania, frezowania lub szlifowania specjalnie w tym celu ju¿ konstrukcyjnie

przewidzianych miejsc.

Analizowane zagadnienia wywa¿ania dotyczy³y przede wszystkim elementów sztyw-

nych. Jak wiadomo, nie zawsze mo¿na takie upraszczaj¹ce za³o¿enia przyj¹æ. Uwzglêd-

nienie podatnoœci wywa¿anych elementów ogromnie komplikuje jednak ca³y problem.

Nawi¹zano do tych spraw w rozdz. 15.4.

232

15. Dynamika mechanizmów z cz³onami podatnymi

Niektóre problemy in¿ynierskie mo¿na rozwi¹zaæ traktuj¹c poszczególne podzes-

po³y maszyn jako uk³ady kinematyczne z³o¿one z cz³onów sztywnych. W wielu jed-

nak przypadkach za³o¿enie o nieodkszta³calnoœci cz³onów jest zbyt du¿ym uproszcze-

niem. Podatnoœæ cz³onów w rzeczywistoœci wp³ywa, i to czêsto w sposób istotny, na

parametry ruchu uk³adu. Wp³ywa na kinematykê i dynamikê uk³adu, ale równie¿ zmie-

nia jego strukturê. Trzeba powiedzieæ ju¿ na pocz¹tku, ¿e uwzglêdnienie podatnoœci

cz³onów w ruchomych uk³adach kinematycznych jest zwykle problemem trudnym

i z³o¿onym. Wymaga tworzenia specjalnych modeli dynamicznych i rozwi¹zywania

ich na gruncie teorii drgañ. Nie wchodz¹c w tê szerok¹ i oddzieln¹ dziedzinê wiedzy,

pragniemy tu jedynie zasygnalizowaæ niektóre problemy cz¹stkowe, by zachêciæ Czy-

telnika równie¿ do innej literatury przedmiotu [4], [9], [12].

Podczas rozpatrywania wielocz³onowych mechanizmów z uwzglêdnieniem podat-

noœci, zapisywanie równañ ruchu, a zw³aszcza ich rozwi¹zywanie, ogromnie siê kom-

plikuje. Wynika to z tego, ¿e ka¿dy podatny cz³on wnosi do uk³adu dodatkow stopnie

swobody. Daltego te¿ do ro rozwi¹zywania problemów dynamiki z uwzglêdnieniem

podatnoœci czêsto stosuje siê metody przybli¿one, wykorzystuj¹ce tzw. sztywnoœci

uogólnione, okreœlane np. wspó³czynnikiem sztywnoœci zredukowanej (zastêpczej)

lub wspó³czynnikiem podatnoœci zredukowanej (zastêpczej).

Na pocz¹tek przypomnijmy tu, znane z wytrzyma³oœci materia³ów, pojêcie sztyw-

noœci i podatnoœci cz³onu. Rozwa¿my w tym celu cz³on podatny (1) obci¹¿ony si³¹

osiow¹ P (rys. 221a). Je¿eli pod dzia³aniem si³y P cz³on ulegnie odkszta³ceniu o

wartoœæ Dl, to stosunek si³y P do odkszta³cenia Dl bêdziemy nazywaæ sztywnoœci¹

wzd³u¿n¹ k

l

k

P

l

l

=







∆

N
m

.

(196)

Je¿eli pod dzia³aniem momentu M (rys. 221b) przekrój X cz³onu (1) dokona

obrotu o k¹t Dj, to stosunek momentu M do odkszta³cenia Dj bêdziemy nazywaæ

sztywnoœci¹ poprzeczn¹ k

s

k

M

s

=

⋅







∆

ϕ

N m

rad

.

(197)

233

Do okreœlania rozpatrywanych w³aœciwoœci cz³onów podatnych stosuje siê rów-

nie¿ pojêcie podatnoœci, oznaczane symbolami c

l

i c

s

. Jak wiadomo [4], sztywnoϾ

k jest odwrotnoœci¹ podatnoœci c

k

c

=

1 .

(198)

Odnosi siê to równie¿ do wspomnianej sztywnoœci zredukowanej (lub zastêpczej)

k

r

i podatnoœci zredukowanej c

r

, czyli

k

c

r

r

=

1 .

(199)

Przy okreœlaniu sztywnoœci lub podatnoœci zredukowanej rozró¿niamy dwa typo-

we przypadki po³¹czeñ cz³onów podatnych, tzn. szeregowych (rys. 222a) i równoleg-

³y (rys. 222b). Iloœciowo wspó³czynnik k

r

lub c

r

okreœla siê na podstawie zasady

równoœci energii potencjalnej (przy równoleg³ym po³¹czeniu) oraz równoœci si³y wy-

muszaj¹cej odkszta³cenie (przy szeregowym). Otrzymuje siê odpowienio dla po³a-

czeñ:

– równoleg³ych

k

k

r

i

=

∑

(200)

– szeregowych

1

1

k

k

r

i

=

∑

.

(201)

Rys. 221. Interpretacja pojêcia sztywnoœci: a) sztywnoœæ wzd³u¿na, b) sztywnoœæ skrêtna

234

Nale¿y podkreœliæ, ¿e wzory (200) i (201) zosta³y wyprowadzone z pominiêciem

masy rozpatrywanych cz³onów podatnych oraz za³o¿enia, ¿e cz³ony te s¹ ze sob¹

sprzê¿one bezpoœrednio (realizuj¹ ten sam ruch). Operowanie sztywnoœci¹ zreduko-

wan¹ umo¿liwia zast¹pienie z³o¿onych uk³adów kinematycznych prostymi modelami

i u³atwia w ten sposób rozwi¹zanie problemu.

15.1. Dynamika mechanizmów obrotowych

Dany jest uk³ad (rys. 223a) z³o¿ony z dwustopniowej przek³adni zêbatej ³¹cz¹cej

silnik S z organem wykonawczym W w postaci wirnika wentlatora o sta³ym mo-

mencie bezw³adnoœci J

w

= const. Wirnik silnika S ma moment bezw³adnoœci

Rys. 222. Sztywnoœæ zredukowana: a) po³¹czenie szeregowe, b) po³¹czenie równoleg³e

Rys. 223. Wyznaczanie odkszta³ceñ uk³adu przeniesienia napêdu: a) schemat uk³adu,

b) model dynamiczny ze zredukowan¹ sztywnoœci¹ k

r

235

J

s

= const i daje moment si³ M

s

równowa¿¹cy moment si³ biernych M

w

obci¹¿aj¹cy

wirnik wentylatora W. Wirnik silnika i wentylatora po³¹czone s¹ ze sob¹ za poœre-

dnictwem szeregu elementów podatnych. Dla uproszczenia potraktujemy tarcze kó³

zêbatych jako elementy sztywne i uwzglêdnijmy tylko podatnoœæ wa³ków (1), (2) i

(3), okreœlon¹ wspó³czynnikami c

1

, c

2

i c

3

. W wyniku odnotowanych trzech podat-

noœci uk³ad ma cztery stopnie swobody, co ogromnie utrudnia zapis jego ruchu.

Dla uproszczenia problemu zast¹pimy uk³ad rzeczywisty (rys. 223a) modelem dy-

namicznym (rys. 223b), z³o¿onym z dwóch mas po³¹czonych jednym cz³onem. W

modelu tym masa m

S

o momencie bezw³adnoœci J

s

reprezentuje masê wirnika silni-

ka, masa m

r

reprezentuje masê wirnika wentylatora oraz masy kó³ zêbatych (1), (2'),

(2'') i (3). Taka zredukowana masa scharakteryzowana jest zredukowanym momentem

bezw³adnoœci J

r

. £¹cz¹cy te dwie masy umowny cz³on (rys. 223b) odznacza siê

podatnoœci¹ zredukowan¹ e

r

lub sztywnoœci¹ k

r

. Aby okreœliæ wartoœæ tego wspó³-

czynnika zauwa¿ymy, ¿e odkszta³cenie Dj

1

, Dj

2

i Dj

3

wa³ków (1), (2) i (3) w

wyniku obci¹¿enia uk³adu momentem czynnym M

s

mo¿na wyraziæ wzorami

Dj

1

= c

1

M

s

Dj

2

= c

2

M

s

· i

12

,

(202)

Dj

3

= c

3

M

s

· i

13

,

w których: i

12

= M

s

/M

2

– prze³o¿enie pomiêdzy wa³kiem (1) i (2),

i

13

= M

s

/M

3

– prze³o¿enie pomiêdzy wa³kiem (1) i (3).

Obrót wirnika S w wyniku odkszta³cenia wa³ka (2) oraz wa³ka (3) mo¿na wyraziæ

Dj

1(2)

= Dj

2

·i

12

,

Dj

1(3)

= Dj

3

·i

13

.

(203)

Przy takich oznaczeniach, ³¹czne odkszta³cenie uk³adu mierzone k¹tem Dj obrotu

wirnika S wzglêdem W, w wyniku obci¹¿enia momentem M

s

, mo¿na wyraziæ wzorem

Dj = Dj

1

+ Dj

1(2)

+ Dj

1(3)

lub po podstawieniu (203) i (202)

Dj = M

s

(c

1

+ c

2

· i

12

2

+ c

3

· i

13

2

).

(204)

Z drugiej strony, z za³o¿enia

Dj = c

r

· M

s

,

(205)

czyli po uwzglêdnieniu (204) i (205), otrzymamy

c

r

= c

1

+ c

2

· i

12

2

+ c

3

· i

13

2

lub

k

c

r

r

=

1 .

236

Mamy wiêc dwumasowy model dynamiczny rozpatrywanego uk³adu mo¿liwy do

przyjêcia jednak tylko wtedy, gdy momenty bezw³adnoœci elementów (1), (2) i (3)

zredukowane do wirnika W s¹ odpowiednio ma³e w porównaniu z J

s

i J

w

. W

przeciwnym razie nale¿y przejœæ na model bardziej rozbudowany. Pozostaj¹c przy

naszym modelu, nale¿y go poddaæ bli¿szej analizie. Nale¿y napisaæ uk³ad dwóch rów-

nañ ró¿niczkowych ruchu, np. w postaci

J

M

k

s

s

s

r

s

w

⋅

=

− ⋅

−

&

&

,

ϕ

ϕ

ϕ

J

M

k

w

w

w

r

s

w

⋅

=

− ⋅

−

&

&

ϕ

ϕ

ϕ

i przeprowadziæ ich szczegó³owe badania. Nie podejmuj¹c tu tych na ogó³ uci¹¿li-

wych zabiegów, powiemy tylko, ¿e rozpatrywany model ma dwa stopnie swobody,

mo¿na siê wiêc spodziewaæ ruchu z³o¿onego z pewnej sta³ej prêdkoœci w i dodatko-

wego ruchu z prêdkoœci¹ zmienn¹ cyklicznie (drgania).

15.2. Dynamika p³askich mechanizmów dŸwigniowych

Rozpatrzmy dla przyk³adu czworobok przegubowy ABCD (rys. 224a). W me-

chanizmie tym moment napêdowy (czynny) przy³o¿ony jest do wa³u (2), na którym

jest osadzona korba AB, moment bierny zaœ obci¹¿a wa³ (4) zakoñczony ramieniem

Rys. 224. Okreœlanie odkszta³ceñ w czworoboku przegubowym: a) schemat uk³adu, b) dwumasowy

model dynamiczny uk³adu ze zredukowan¹ sztywnoœci¹ k

r2

237

DC. W wyniku obci¹¿enia uk³adu ulegnie odkszta³ceniu cz³on AB i jego wa³ (2) na

d³ugoœci l

2

oraz ramiê DC i jego wa³ (4) na d³ugoœci l

4

. Za³ó¿my, ¿e odkszta³cenia

te bêdziemy okreœlaæ odpowiednio jednym wspó³czynnikiem skrêtnej podatnoœci c

2

i jednym wspó³czynnikiem skrêtnej podatnoœci c

4

. O cz³onie poœrednicz¹cym (³¹czni-

ku) (3) za³o¿ymy, ¿e jest on tylko rozci¹gany si³¹ osiow¹ P

23

= P

43

= M

2

/h

2

i pomijamy jego masê. Odkszta³cenie cz³onu (3) w tych warunkach okreœlimy wspó³-

czynnikiem wyd³u¿enia c

3

. Zak³adamy, ¿e wartoœci wspó³czynników c

i

s¹ znane z

bezpoœrednich pomiarów lub obliczone analitycznie wed³ug wzorów

c

l

G J

c

l

G J

2

2

2

2

4

4

4

4

=

⋅

=

⋅

,

,

(206)

w których: l

i

– d³ugoœæ czêœci skrêcanej wa³ka i-tego,

G

i

– modu³ sprê¿ystoœci poprzecznej,

J

i

– biegunowy moment bezw³adnoœci przekroju wa³ka i-tego

oraz

c

l

E X

3

3

3

3

=

⋅

,

(207)

gdzie: l

3

– d³ugoœæ ³¹cznika,

E

3

– modu³ sprê¿ystoœci pod³u¿nej,

X

3

– przekrój poprzeczny ³¹cznika.

Znaj¹c wartoœæ wspó³czynników c

i

oraz obci¹¿eñ zewnêtrznych, mo¿na okreœliæ

deformacje rozpatrywanych cz³onów

Dj

2

= M

2

· c

2

,

(208)

Dj

4

= M

4

· c

4

,

Dl

3

= P

23

· c

3

,

(209)

Przeanalizujmy z kolei ³¹czny wp³yw deformacji poszczególnych cz³onów na de-

formacjê ca³ego uk³adu. W szczególnoœci, je¿eli przez X

2

i X

4

oznaczyæ przekroje

wa³ów (2) i (4), w których przy³o¿one s¹ momenty M

2

i M

4

, to przedmiotem

zainteresowania bêdzie k¹t obrotu Dj, rozumiany jako miara obrotu przekroju X

2

wzglêdem przekroju X

4

. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e

Dj = Dj

2

+ Dl

3

· j

23

+ Dj

4

· i

24

,

(210)

gdzie j

23

– wspó³czynnik wp³ywu zmiany d³ugoœci ³¹cznika na obrót ramienia AB

przy unieruchomionym ramieniu DC,

czyli

j

l

23

2

3

= ∆

∆

ϕ ' ,

(211)

238

i

24

– prze³o¿enie okreœlone stosunkiem obrotu ramion DC i AB,

czyli

i

24

2

4

= ∆

∆

ϕ
ϕ

.

(212)

Po podstawieniu do (210) zale¿noœci (208) i (209) otrzymamy

Dj = M

2

· c

2

+ P

23

· c

3

· j

23

+ M

4

· c

4

· i

24

(213)

Zauwa¿my z kolei, ¿e

P

23

= M

2

· j

23

,

(214)

M

4

= M

2

· i

24

(215)

i podstawmy te zwi¹zki do (213), Otrzymamy

Dj = M

2

(c

2

+ c

3

· j

23

2

+ c

4

· i

24

2

),

(216)

Z drugiej strony mo¿na zapisaæ

Dj = M

2

· c

r2

,

(217)

gdzie: c

r2

– zredukowana do cz³onu (2) podatnoœæ ca³ego uk³adu.

Wartoœæ tego wspó³czynnika mo¿na okreœliæ z porównania (216) i (217). Otrzymamy

c

r2

= c

2

+ c

3

· j

23

2

+ c

4

· i

24

2

(218)

Zajmiemy sie teraz wyznaczaniem wspó³czynników c

r2

i i

24

. Jak wynika z defini-

cji (211), (212), s¹ to okreœlone prze³o¿enia

i

v l
v l

B CD

C AB

24

2

4

2

4

=

=

=

⋅
⋅

∆
∆

ϕ
ϕ

ω
ω

,

(219)

j

l

v

v

v l

B

AB

23

2

3

2

3

3

=

=

=

⋅

∆

∆

ϕ

ω '

'

'

'

,

(220)

gdzie v

3

' – prêdkoœæ zmiany d³ugoœci ³¹cznika BC podczas jego odkszta³cenia wywo-

³uj¹ca prêdkoœæ v

B

' punktu B.

Jak z tego widaæ, prze³o¿enie i

24

i j

23

mo¿na wyznaczyæ pos³uguj¹c siê np. odpo-

wiednimi, w dowolnej podzia³ce wykreœlonymi, planami prêdkoœci (rys. 225). I tak

i

pb l

pc l

CD

AB

24

2

4

=

=

⋅
⋅

ω
ω

(221)

lub wykorzystuj¹c twierdzenie sinusów dla trójk¹ta pbc (rys. 225b)

i

l
l

CD

AB

24

4

3

2

3

=

−
−

sin(

)

sin(

)

.

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(222)

239

W celu okreœlenia prze³o¿enia j

23

przeanalizujemy mechanizm zastêpczy (rys. 225c)

i jego plan prêdkoœci (rys. 225d). Je¿eli z za³o¿enia j

23

= w

2

/v

3

' , to z Dpb

2

b

3

otrzymamy

j

pb

b b l

AB

23

2

2 3

=

⋅

(223)

lub korzystaj¹c z twierdzenia sinusów dla prostok¹tnego trójk¹ta pb

2

b

3

(rys. 225d)

j

l

AB

23

2

3

1

=

−

sin(

)

.

ϕ

ϕ

(224)

Ostatecznie, po uwzglêdnieniu wzorów (218), (222) i (224), otrzymamy

c

c

c

l

c l

l

r

AB

CD

AB

2

2

3

2

2

2

3

4

2

2

4

3

2

2

2

3

=

+

−

+

−

−

sin (

)

sin (

)

sin (

)

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(225)

lub

k

c

r

r

2

2

1

=

.

(226)

Rys. 225. Rysunek pomocniczy do wyznaczania prze³o¿eñ: a) c) schematy mechanizmów,

b) d) plany prêdkoœci

240

Na podstawie otrzymanych wyników mo¿na ostatecznie zbudowaæ model dyna-

miczny rozpatrywanego uk³adu. Bêdzie to znów model dwumasowy (rys. 224b), ró¿-

ny od omawianego ju¿ modelu na rys. 223b tylko tym, ¿e sztywnoœæ k

r2

nie jest sta³a,

lecz zale¿y od po³o¿enia mechanizmu k

r2

= f(j

2

). Oczywiœcie, nale¿y o tym pamiêtaæ

podczas analizowania ró¿niczkowych równañ ruchu, które dla tego przypadku przyjê-

³yby postaæ

J

M

k

s s

s

r

s

&

&

(

),

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

−

2

2

J

M

k

r

r

r

s

2

2

2

2

2

&

&

(

),

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

−

gdzie: j

s

– k¹t obrotu silnika,

M

s

– moment na wale silnika (M

s

= M

2

),

J

s

– zredukowany moment bezw³adnoœci ruchomych czêœci silnika,

j

2

– k¹t obrotu przekroju X

2

cz³onu (2),

M

r2

– zredukowany do cz³onu (2) moment M

4

(M

r2

= M

4

· i

24

),

J

r2

– zredukowany do cz³onu (2) moment bezw³adnoœci czworoboku (cz³onów

(2), (3) i (4)),

k

r2

– zredukowana do cz³onu (2) sztywnoœæ czworoboku (226).

Ze wzglêdu na to, ¿e k

r2

= f(j

2

), ostatni uk³ad równañ mo¿na rozwi¹zaæ tylko

metodami numerycznymi.

15.3. Dynamika mechanizmu krzywkowego

z podatnym popychaczem

Na rysunku 226a przedstawiono mechanizm zamiany ruchu obrotwego krzywki

(2) na ruch postêpowo-zwrotny popychacza (3). Na popychacz dzia³a si³a zewnêtrzna

P

43

ze strony uruchamianego przezeñ cz³onu (4), si³a F

s

sprê¿yny zamykaj¹cej oraz

si³y tarcia T

13

. Z za³o¿enia uwzglêdniamy tylko podatnoœæ poychacza (zak³adamy, ¿e

sztywnoœæ pozosta³ych cz³onów i ich po³¹czeñ jest niewspó³miernie wiêksza). Przy

tych za³o¿eniach, w celu przeanalizowania ruchu popychacza, przejdziemy na model

dynamiczny (rys. 226b), w którym przez k

3

oznaczono sztywnoϾ popychacza, przez

m

r

– zredukowan¹ do koñca masê popychacza oraz pozosta³ych mas zwi¹zanych

z cz³onem (4), Przez F – oznaczono tu wypadkow¹ obci¹¿eñ zewnêtrznych popycha-

cza

F

P

T

F

s

=

+

+

43

13

,

(227)

natomiast przez s i y oznaczono przemieszczenie koñca B popychacza wymuszane

przez krzywkê oraz masy zredukowanej m

r

na koñcu popychacza.

Dla takiego modelu jednomasowego mo¿na zapisaæ równanie ruchu w postaci

m y

F k s y

r

&

&

(

),

= − +

−

3

(228)

241

gdzie k

3

– znana sztywnoœæ popychacza (okreœlona doœwiadczalnie lub oceniona teo-

retycznie).

Modu³ si³y F obliczymy ze wzoru

F = P + k

s

· y,

(229)

P

P

T

=

+

43

13

,

(229a)

w którym k

s

– znana sztywnoœæ sprê¿yny zamykaj¹cej.

Po uwzglêdnieniu (228) i (229) otrzymamy po przekszta³ceniach

&

&

.

y k

k

m

y

F k s

m

s

r

b

r

+

+

= −

+ ⋅

3

3

(230)

Równanie (230) umo¿liwia ocenê ruchu koñca popychacza przy znanym ruchu

wymuszenia punktu B. Do oceny ró¿nicy ruchów obu koñców stosuje siê czêsto tzw.

wspó³czynnik dynamiczny y, okreœlony umownie stosunkiem maksymalnych war-

toœci przyspieszeñ masy m

r

z uwzglêdnieniem podatnoœci popychacza (ÿ

max

) i bez

uwzglêdnienia podatnoœci (s¨

max

)

ψ =

&

&

&

&

.

max

max

y
s

(231)

Rys. 226. Analiza dynamiczna mechanizmu krzywkowego z uwzglêdnieniem podatnoœci popychacza:

a) schemat mechanizmu, b) jednomasowy model dynamiczny popychacza

242

Dla przyk³adu przeanalizujemy bli¿ej przypadek krzywki o charakterystyce sinu-

soidalnej z popychaczem obci¹¿onym tylko si³¹ bezw³adnoœci. Zak³adamy wiêc, ¿e

droga i przyspieszenie punktu B podczas podnoszenia popychacza wyra¿a siê wzora-

mi

s

h

t

=

−

2

1

( cos

'),

π

(232)

&

&

cos ',

s

h

T

t

= π

π

2

2

2

(233)

oraz przyjmujemy: P = 0, k

s

= 0. Przy takich za³o¿eniach otrzymamy w wyniku

przekszta³cenia równania (230) odpowiednie zale¿noœci

y

h

n

t

n t

n

=

−

−

−











2

1

1

2

2

cos ' cos

' ,

π

π

(234)

&

&

(cos ' cos

')

,

y

n

n

t

n t h

T

=

−

−

2

2

2

2

1 2

π

π

π

(235)

W równaniach (232)–(235) oznaczaj¹:

h – skok popychacza (maksymalna droga),

t' = t/T (T Рczas podnoszenia popychacza na wysokoϾ h),

n – liczba drgañ masy popychacza podczas podnoszenia (n = 2T/T

*

, T

*

– okres

drgañ w³asnych).

Przebiegi s¨(t) oraz y¨(t), gdy n = 2, 5 i 10 przedstawiono na rys. 227. Wartoœci

wspó³czynników dynamicznych wed³ug wzoru (231) wynosz¹ odpowiednio

y = 2,67, 2,07, 2,002.

Mo¿na zauwa¿yæ, ¿e gdy n ® ¥, y ® y

x

= 2. Podobnie rzecz wygl¹da równie¿

przy innych przebiegach przyspieszeñ s¨(t) z tzw. nieci¹g³oœci¹ funkcji. Gdy funkcja ta

charakteryzuje siê dodatkowo skokow¹ zmian¹ znaku (np. podczas prostok¹tnych prze-

biegach przyspieszeñ), wtedy y

x

= 3. Z kolei, przy ci¹g³ych funkcjach przyspiesze,

np. sinusoidalnych, dla n ® ¥, y

x

® 1.

Na zakoñczenie jeszcze raz podkreœlmy, ¿e badaliœmy model mechanizmu bardzo

uproszczony, bo zbudowany przy wielu za³o¿eniach. Uzyskane w ten sposób wyniki

ró¿ni¹ siê wiêc jeszcze od wyników rzeczywistych, otrzymanych np. na drodze po-

miarów. Ró¿nice te w przypadkach nieadekwatnie przyjêtych do modeli mog¹ byæ

bardzo istotne. Aby je zminimalizowaæ, nale¿y siêgaæ po modele coraz bardziej roz-

budowane. Nale¿y przy tym podkreœliæ, ¿e przyjmowanie modelu, ustalanie jego struk-

tury, liczby stopni swobody, t³umienia i wymuszeñ jest zagadnieniem nie³atwym i

wymaga od prowadz¹cego badania zarówno wiedzy, jak i doœwiadczenia.

243

15.4. Wywa¿anie dynamiczne cz³onów obrotowych podatnych

Wywa¿anie wirników, które praktycznie zaliczamy do sztywnych, wykonywaæ mo¿-

na przy dowolnej prêdkoœci k¹towej. Ich wywa¿anie uzyskuje siê dodaj¹c (lub odej-

muj¹c) dwie masy korekcyjne w dwóch ró¿nych p³aszczyznach. Inne wymagania maj¹

cz³ony obrotowe, które ze wzglêdu na ich proporcje wymiarowe traktowaæ trzeba

jako elementy podatne (wa³y napêdowe, d³ugie wirniki turbin...). Dla okreœlenia tych

Rys. 227. Wyniki analizy dynamicznej mechanizmu krzywkowego z rys. 226

244

Rys. 228. Wywa¿anie elementów podatnych: a) wirnik w spoczynku, b) wirnik w ruchu

ró¿nic przeanalizujmy pionowo u³o¿yskowany wa³ AB (rys. 228a) z osadzon¹ tarcz¹

o œrodku ciê¿koœci S przesuniêtym, jak to zwykle bywa, o wartoœæ e. Przy ruchu

wa³u z prêdkoœci¹ k¹tow¹ w si³a bezw³adnoœci masy niewywa¿onej tarczy (masê wa³u

na razie pominiemy) spowoduje odkszta³cenie wa³u (rys. 228b) okreœlone strza³k¹

ugiêcia y. Si³ê tê mo¿na wyraziæ

P

b

= m (e + y) w

2

.

(236)

Z drugiej strony

y = P

b

· c

1

,

(237)

gdzie c

1

– wspó³czynnik podatnoœci okreœlaj¹cy ugiêcie pod dzia³aniem si³y jednost-

kowej,

Na podstawie wzorów (236) i (237) otrzymamy po przekszta³ceniach

y

e

c m

=

⋅

−

ω

ω

2

1

2

1

.

(238)

Prêdkoœæ k¹tow¹ wa³u, przy której y ® ¥, nazywamy prêdkoœci¹ krytyczn¹ w

k

,

a jej wartoœæ otrzymamy przyrównuj¹c do zera mianownik wyra¿enia (238)

ω

k

c m

=

1

1

.

(239)

245

Na podstawie wzorów (238) i (239) przedstawmy jeszcze raz wzór okreœlaj¹cy

strza³kê ugiêcia y w postaci

y

e

k

=









−

ω

ω

2

1

.

(240)

Z wyra¿enia (240) wynika, ¿e gdy w < w

k

, wówczas y > 0, gdy zaœ w > w

k

,

wówczas y < 0. Nale¿y to rozumieæ tak, ¿e przy prêdkoœciach ponadkrytycznych

strza³ka ugiêcia y ma zwrot przeciwny do zwrotu si³y wymuszaj¹cej (jest przesuniêta

w fazie o k¹t p). W zakresie prêdkoœci ponadkrytycznych, gdy w ® ¥, strza³ka y

maleje i zmierza do a, (y ® e). Si³a bezw³adnoœci ma wtedy wartoœæ

P

b

= m (e + y) w

2

.

Jak wynika z tych rozwa¿añ, wirniki podatne nale¿y wywa¿aæ przy prêdkoœciach

ich pracy i masy korekcyjne umieszczaæ w odpowiednio dobranych p³aszczyznach.

Wprowadzenie mas korekcyjnych w niew³aœciwych miejscach, okreœlonych przy prêd-

koœciach wywa¿ania ró¿nych od prêdkoœci roboczych, mo¿e (zamiast poprawiæ) po-

gorszyæ efekt wywa¿ania.

Wywa¿anie wirników podatnych jest zabiegiem trudnym i oczekiwany, a w³aœci-

wie kompromisowy, efekt uzyskuje siê zwykle na drodze kolejnych prób.

LITERATURA

[1] ADAMCZYK E., JUCHA J., MILLER S., Teoria mechanizmów i maszyn, Wro-

c³aw, PWr., 1980.

[2] ARTOBOLEWSKI J. J., Teoria mechanizmov i mašin, Moskva 1967.

[3] DZIOGLU B., Getrieblehre, Fr Vieweg, Sohn. Braunschweig 1965.

[4] LEVITSKIJ N.J., Teoria mechanizmov i mašin, Moskva, Nauka, 1979.

[5] KO¯EWNIKOW S., Teoria mechanizmów i maszyn, Warszawa, Wyd. MON,

1956.

[6] MILLER S., Zarys teorii mechanizmów i maszyn, Wroc³aw, PWr., 1974.

[7] MILLER S., Uk³ady kinematyczne (podstawy projektowania), Warszawa, WNT,

1988.

[8] MINKOV K., Robotika (skrypt Uniwersytetu sofijskiego), Sofia, 1986.

[9] MORECKI A., ODERFELD J., Teoria maszyn i mechanizmów, Warszawa, PWN,

1987

[10] NOWIÑSKI W.L., Komputerowy system dialogowy przeznaczony do rozwi¹zy-

wania zagadnieñ TMM. Rozprawa doktorska 1987 (Bibl. Nauk. Politechniki £ódz-

kiej).

[11] ODERFELD J., Wstêp do mechanicznej teorii maszyn, Warszawa, WNT, 1962.

[12] OLÊDZKI A., Podstawy teorii maszyn i mechanizmów, Warszawa, WNT, 1987.

[13] PARSZEWSKI Z., Teoria maszyn i mechanizmów, Warszawa, WNT, 1974.

[14] PYLAK K., BARTNIK R., Zbiór zadañ z TMM, Wydawnictwa Uczelniane Poli-

techniki Lubelskiej 1986.

[15] SZALA W., Zasady stabilizacji zmiennych obci¹¿eñ momentowych w maszynach

ceramicznych. Praca doktorska. Politechnika Wroc³awska 1976.

[16] VOLMER J., Getriebtechnik, VEB, Verlag Technik 1969