RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br

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Aula 6 – Parte 3

Módulo de um número real .............................................................................................................................. 2

Equações modulares ......................................................................................................................................... 4

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Módulo de um número real

Podemos definir o módulo de um número real com “pensamentos” algébricos
ou geométricos. A definição geométrica é mais objetiva para os nossos fins.

Geometricamente falando, o módulo de um número real é a distância deste
número até a origem, ou seja, até o número 0.

Assim, se queremos calcular o módulo de 2, devemos calcular a distância de 2
até o zero.

Em símbolos, escrevemos |

2| = 2.

Poderíamos calcular também o módulo de –2. Para isso, basta calcular a
distância do número – 2 até o zero.

Em símbolos, escrevemos |

−2| = 2.

E quanto seria o módulo de 0?

Ora, basta calcular a distância de zero até o zero. Essa distância é zero.

Assim, |

0| = 0.

Vejamos algumas propriedades importantes.

i) | |

≥ 0, para todo x real.

Esta propriedade afirma que o módulo de qualquer número nunca pode ser
negativo. O módulo sempre será positivo ou zero. E isso é bem óbvio, já que o
módulo de um número é a distância dele até o zero. Eu, particularmente,
nunca vi uma distância negativa. Rss...

2

0

Distância = 2

2

0

Distância = 2

-2

Distância = 2

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ii) | |

= 0 ⇔ = 0

Esta propriedade afirma que o módulo de um número é zero se e somente se
este número for zero. Ou seja, se o módulo de um número é zero, então este
número é zero e se um número for zero, então o seu módulo será zero.

iii) | |

= |− |

O módulo de um número e o módulo do seu oposto são sempre iguais. Como
vimos no exemplo acima, o módulo de 2 é igual ao módulo de -2.

iv) Considere um número real k positivo. Se | |

= , então = = − .

Imagine que eu te digo que o módulo de um número é igual a 2. O que você
pode concluir? Que este número só pode ser 2 ou – 2. Ok?

iv) |

| = | | ∙ | | e | / | = | |/| | para quaisquer x e y (com y diferente de zero

no caso da divisão).

Esta propriedade afirma que o módulo do produto é igual ao produto dos
módulos e o módulo do quociente é o quociente dos módulos.

Ou seja, tanto faz primeiro multiplicar os números e depois calcular o módulo
ou calcular primeiro os módulos e depois multiplicar.

Vamos ver em um exemplo que |

−2 ∙ 3| = |−2| ∙ |3|.

|−2 ∙ 3| = |−6| = 6

|−2| ∙ |3| = 2 ∙ 3 = 6

v) |

+ | ≤ | | + | |

Esta propriedade é interessante porque diz que nem sempre o módulo da soma
é igual à soma dos módulos. Há casos em que o módulo da soma é menor que
a soma dos módulos.

Veja estes exemplos:

|3 + 5| ≤ |3| + |5|

Neste caso temos uma igualdade, porque o lado esquerdo da inequação é igual
a 8 e o lado direito também é igual a 8.

|−3 + 5| ≤ |−3| + |5|

Neste caso temos uma desigualdade, já que o lado esquerdo é igual a 2 e o
lado direito é igual a 8. Assim, 2 < 8.

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vi) |

− | ≥ | | − | |

Aqui temos uma propriedade bem parecida com anterior. Perceba que quando
temos o módulo da diferença, devemos trocar o sentido da desigualdade.
Compare as duas propriedades:

| + |

≤

| | + | |

| − |

≥

| | − | |

01. (SMF-RJ 2010/ESAF) Considere a e b números reais. A única opção falsa
é:
a)

| + | ≤ | | + | |.

b)

| | + | | ≥ | − |.

c)

| − | < | | − | |.

d)

| − | ≥ | | − | |.

e)

| + | ≤ | | + | |.

Resolução

A melhor maneira de resolver esta questão é testando valores. As alternativas
A e E são idênticas à propriedade “v”.

A alternativa D é idêntica à propriedade “vi”.

O erro da alternativa C reside justamente no fato de que ele colocou a
desigualdade no sentido contrário e não colocou a igualdade.

Corrigindo a alternativa C teríamos

| − | ≥ | | − | |.

Guilherme, é impossível lembrar estas propriedades na hora da prova!!

Não tem problema... substitua as letras a e b por números reais e verifique
cada uma das alternativas. Agora, uma dica: substitua sempre utilizando um
número positivo e um número negativo. Normalmente assim conseguimos
achar o erro. Vou substituir o número a por 3 e o número b por -5.

a)

| + (− )| ≤ | | + | − |. Verdade, pois 2 < 8.

b)

| | + | − | ≥ | − (− )|. Verdade, pois 8 = 8.

c)

| − (− )| < | | − | − |. Falso, pois 8 > -2.

d)

| − − | ≥ | − | − | |. Verdade, pois 8 > 2.

e)

| − + | ≤ | | + | − |. Verdade, pois 2 < 8.

Gabarito: C

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Equações modulares

Apesar de este assunto nunca ter caído em provas de concursos fiscais (pelo
menos eu nunca vi), vamos sair na frente e estudar um pouco. Do jeito que as
coisas estão indo...

02. Resolva as equações a seguir:

a) |

4 − 8| = 0

b) |

2 − 1| = 5

c) |

² − 3 − 1| = 3

d) |

4 − 5| = −7

Resolução

a) |

4 − 8| = 0

Quando é que o módulo de um número é zero? Quando este número é zero!

Assim, basta igualar a expressão que está dentro do módulo a zero.

4 − 8 = 0

4 = 8

= 2

O conjunto solução da equação é

" = #2$.

b) |

2 − 1| = 5

Quando é que o módulo de um número é igual a 5? Quando este número é
igual a 5 ou igual a -5. Assim, devemos resolver duas equações:

2 − 1 = 5 2 − 1 = −5

2 = 6 2 = −4

= 3 = −2

O conjunto solução da equação é

" = #3; −2$.

c) |

² − 3 − 1| = 3

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Muito parecida com a anterior, só que agora cairemos em duas equações do
segundo grau. Quando é que o módulo de algum número é 3? Quando este
número for igual a 3 ou igual a -3.

Assim, teremos que resolver duas equações do segundo grau:

i)

² − 3 − 1 = 3

² − 3 − 4 = 0

Temos uma equação do segundo grau em que

& = 1, ( = −3)* = −4.

∆= (² − 4&* = (−3)

,

− 4 ∙ 1 ∙ (−4) = 25

=

−( ± √∆

2&

=

3 ± 5

2

= 4 = −1

ii)

² − 3 − 1 = −3

² − 3 + 2 = 0

Temos uma equação do segundo grau em que

& = 1, ( = −3)* = 2.

∆= (² − 4&* = (−3)

,

− 4 ∙ 1 ∙ 2 = 1

=

−( ± √∆

2&

=

3 ± 1

2

= 2 = 1

O conjunto solução da equação é

" = #4; −1; 2; 1$.

d) |

4 − 5| = −7

Quando é que o módulo de um número é igual a

−7?

Nunca!! O módulo de qualquer número real é sempre zero ou positivo. Nunca
poderá ser um número negativo (lembra que módulo é uma distância?)

Assim, o conjunto solução desta equação é o conjunto vazio.

" = ∅

Ficamos por aqui. Um abraço e até a próxima aula!