RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br
1
Aula 6 – Parte 3
Módulo de um número real .............................................................................................................................. 2
Equações modulares ......................................................................................................................................... 4
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br
2
Módulo de um número real
Podemos definir o módulo de um número real com “pensamentos” algébricos
ou geométricos. A definição geométrica é mais objetiva para os nossos fins.
Geometricamente falando, o módulo de um número real é a distância deste
número até a origem, ou seja, até o número 0.
Assim, se queremos calcular o módulo de 2, devemos calcular a distância de 2
até o zero.
Em símbolos, escrevemos |
2| = 2.
Poderíamos calcular também o módulo de –2. Para isso, basta calcular a
distância do número – 2 até o zero.
Em símbolos, escrevemos |
−2| = 2.
E quanto seria o módulo de 0?
Ora, basta calcular a distância de zero até o zero. Essa distância é zero.
Assim, |
0| = 0.
Vejamos algumas propriedades importantes.
i) | |
≥ 0, para todo x real.
Esta propriedade afirma que o módulo de qualquer número nunca pode ser
negativo. O módulo sempre será positivo ou zero. E isso é bem óbvio, já que o
módulo de um número é a distância dele até o zero. Eu, particularmente,
nunca vi uma distância negativa. Rss...
2
0
Distância = 2
2
0
Distância = 2
-2
Distância = 2
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br
3
ii) | |
= 0 ⇔ = 0
Esta propriedade afirma que o módulo de um número é zero se e somente se
este número for zero. Ou seja, se o módulo de um número é zero, então este
número é zero e se um número for zero, então o seu módulo será zero.
iii) | |
= |− |
O módulo de um número e o módulo do seu oposto são sempre iguais. Como
vimos no exemplo acima, o módulo de 2 é igual ao módulo de -2.
iv) Considere um número real k positivo. Se | |
= , então = = − .
Imagine que eu te digo que o módulo de um número é igual a 2. O que você
pode concluir? Que este número só pode ser 2 ou – 2. Ok?
iv) |
| = | | ∙ | | e | / | = | |/| | para quaisquer x e y (com y diferente de zero
no caso da divisão).
Esta propriedade afirma que o módulo do produto é igual ao produto dos
módulos e o módulo do quociente é o quociente dos módulos.
Ou seja, tanto faz primeiro multiplicar os números e depois calcular o módulo
ou calcular primeiro os módulos e depois multiplicar.
Vamos ver em um exemplo que |
−2 ∙ 3| = |−2| ∙ |3|.
|−2 ∙ 3| = |−6| = 6
|−2| ∙ |3| = 2 ∙ 3 = 6
v) |
+ | ≤ | | + | |
Esta propriedade é interessante porque diz que nem sempre o módulo da soma
é igual à soma dos módulos. Há casos em que o módulo da soma é menor que
a soma dos módulos.
Veja estes exemplos:
|3 + 5| ≤ |3| + |5|
Neste caso temos uma igualdade, porque o lado esquerdo da inequação é igual
a 8 e o lado direito também é igual a 8.
|−3 + 5| ≤ |−3| + |5|
Neste caso temos uma desigualdade, já que o lado esquerdo é igual a 2 e o
lado direito é igual a 8. Assim, 2 < 8.
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br
4
vi) |
− | ≥ | | − | |
Aqui temos uma propriedade bem parecida com anterior. Perceba que quando
temos o módulo da diferença, devemos trocar o sentido da desigualdade.
Compare as duas propriedades:
| + |
≤
| | + | |
| − |
≥
| | − | |
01. (SMF-RJ 2010/ESAF) Considere a e b números reais. A única opção falsa
é:
a)
| + | ≤ | | + | |.
b)
| | + | | ≥ | − |.
c)
| − | < | | − | |.
d)
| − | ≥ | | − | |.
e)
| + | ≤ | | + | |.
Resolução
A melhor maneira de resolver esta questão é testando valores. As alternativas
A e E são idênticas à propriedade “v”.
A alternativa D é idêntica à propriedade “vi”.
O erro da alternativa C reside justamente no fato de que ele colocou a
desigualdade no sentido contrário e não colocou a igualdade.
Corrigindo a alternativa C teríamos
| − | ≥ | | − | |.
Guilherme, é impossível lembrar estas propriedades na hora da prova!!
Não tem problema... substitua as letras a e b por números reais e verifique
cada uma das alternativas. Agora, uma dica: substitua sempre utilizando um
número positivo e um número negativo. Normalmente assim conseguimos
achar o erro. Vou substituir o número a por 3 e o número b por -5.
a)
| + (− )| ≤ | | + | − |. Verdade, pois 2 < 8.
b)
| | + | − | ≥ | − (− )|. Verdade, pois 8 = 8.
c)
| − (− )| < | | − | − |. Falso, pois 8 > -2.
d)
| − − | ≥ | − | − | |. Verdade, pois 8 > 2.
e)
| − + | ≤ | | + | − |. Verdade, pois 2 < 8.
Gabarito: C
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br
5
Equações modulares
Apesar de este assunto nunca ter caído em provas de concursos fiscais (pelo
menos eu nunca vi), vamos sair na frente e estudar um pouco. Do jeito que as
coisas estão indo...
02. Resolva as equações a seguir:
a) |
4 − 8| = 0
b) |
2 − 1| = 5
c) |
² − 3 − 1| = 3
d) |
4 − 5| = −7
Resolução
a) |
4 − 8| = 0
Quando é que o módulo de um número é zero? Quando este número é zero!
Assim, basta igualar a expressão que está dentro do módulo a zero.
4 − 8 = 0
4 = 8
= 2
O conjunto solução da equação é
" = #2$.
b) |
2 − 1| = 5
Quando é que o módulo de um número é igual a 5? Quando este número é
igual a 5 ou igual a -5. Assim, devemos resolver duas equações:
2 − 1 = 5 2 − 1 = −5
2 = 6 2 = −4
= 3 = −2
O conjunto solução da equação é
" = #3; −2$.
c) |
² − 3 − 1| = 3
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br
6
Muito parecida com a anterior, só que agora cairemos em duas equações do
segundo grau. Quando é que o módulo de algum número é 3? Quando este
número for igual a 3 ou igual a -3.
Assim, teremos que resolver duas equações do segundo grau:
i)
² − 3 − 1 = 3
² − 3 − 4 = 0
Temos uma equação do segundo grau em que
& = 1, ( = −3)* = −4.
∆= (² − 4&* = (−3)
,
− 4 ∙ 1 ∙ (−4) = 25
=
−( ± √∆
2&
=
3 ± 5
2
= 4 = −1
ii)
² − 3 − 1 = −3
² − 3 + 2 = 0
Temos uma equação do segundo grau em que
& = 1, ( = −3)* = 2.
∆= (² − 4&* = (−3)
,
− 4 ∙ 1 ∙ 2 = 1
=
−( ± √∆
2&
=
3 ± 1
2
= 2 = 1
O conjunto solução da equação é
" = #4; −1; 2; 1$.
d) |
4 − 5| = −7
Quando é que o módulo de um número é igual a
−7?
Nunca!! O módulo de qualquer número real é sempre zero ou positivo. Nunca
poderá ser um número negativo (lembra que módulo é uma distância?)
Assim, o conjunto solução desta equação é o conjunto vazio.
" = ∅
Ficamos por aqui. Um abraço e até a próxima aula!