RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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1
1.
Matrizes .................................................................................................................................................. 2
2.
Classificação das Matrizes ............................................................................................................... 2
3.
Igualdade de Matrizes ...................................................................................................................... 4
4.
Adição de Matrizes ............................................................................................................................. 5
5.
Matriz Oposta ....................................................................................................................................... 6
6.
Produto de número real por matriz ........................................................................................... 10
7.
Produto de Matrizes ......................................................................................................................... 11
8.
Matriz Transposta ............................................................................................................................. 20
9.
Determinantes ................................................................................................................................... 22
10.
Propriedades dos determinantes ............................................................................................. 25
11.
Teorema de Binet ........................................................................................................................... 37
12.
Matriz Inversa ................................................................................................................................. 39
13.
Sistemas Lineares .......................................................................................................................... 42
14.
Classificação dos sistemas lineares ........................................................................................ 43
15.
Sistema Linear Homogêneo ....................................................................................................... 46
16.
Teorema de Cramer ...................................................................................................................... 46
Questões ESAF 2012/2013 .............................................................................................................................. 60
17.
Relação das questões comentadas nesta aula ................................................................... 65
18.
Gabaritos ........................................................................................................................................... 74
Aula 5 - Parte 2
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2
1. Matrizes
A ideia de matriz do tipo
× é a de uma tabela retangular formada por
números reais distribuídos em linhas e colunas.
Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere
à linha ou coluna (horizontal ou vertical).
Vejamos alguns exemplos:
1 −4
7 √3
0 2
é
3 × 2 (3 ℎ 2
)
1 0 −2 é
1 × 3 (1 ℎ 3
)
!1 0
0 1"
é
2 × 2 (2 ℎ 2
)
3 é
1 × 1 (1 ℎ 1
)
#
1
2
0
−5
% é
4 × 1 (4 ℎ 1
)
Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por
&'
. Este elemento
&'
é
o cruzamento da linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento
()
é
elemento que fica no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna.
Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas
da esquerda para a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis
ou barras duplas para representar matrizes. Por exemplo:
**
*(
(*
((
)*
)(
= ,
**
*(
(*
((
)*
)(
- = .
**
*(
(*
((
)*
)(
.
Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por
/ = (
&'
)
0×1
2. Classificação das Matrizes
Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais
conhecidas. Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais,
anti-simétricas, periódicas, etc.
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3
- Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do
número de colunas.
1 −4
7 √3
0 2
- Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número
de colunas. Quando uma matriz quadrada é formada por
2 linhas e 2
colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de ordem
2.
!5 3
0 2"
é
3
2 2ª
Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a
diagonal secundária.
,
1 3 5
7 4 −2
6 2 1
- é
3
3 3ª
Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam
a diagonal secundária.
- Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha.
1 0 −2
- Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna.
#
1
2
0
−5
%
- Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não
pertencem à diagonal principal são iguais a 0.
1 0 0
0 5 0
0 0 √5
- Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal
principal são todos iguais a 1. Denotamos por
6
2
a matriz identidade de
ordem n.
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4
Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade:
deve ser uma matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal
devem ser iguais a 0 e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
7
)
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
7
(
= 81 0
0 19
7
:
= #
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
%
- Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0.
80 0 0
0 0 09
Exemplo 1.
Construa a matriz
; = (
&'
)
)×)
definida por
&'
=
(
+ 2=
Resolução
Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte
representação:
; = ,
**
*(
*)
(*
((
()
)*
)(
))
-
Sabemos que
&'
=
(
+ 2=.
**
= 1
(
+ 2 ∙ 1 = 3,
*(
= 1
(
+ 2 ∙ 2 = 5,
*)
= 1
(
+ 2 ∙ 3 = 7
(*
= 2
(
+ 2 ∙ 1 = 6,
((
= 2
(
+ 2 ∙ 2 = 8,
()
= 2
(
+ 2 ∙ 3 = 10
)*
= 3
(
+ 2 ∙ 1 = 11,
)(
= 3
(
+ 2 ∙ 2 = 13,
*)
= 3
(
+ 2 ∙ 3 = 15
Portanto,
; = ,
3
5
7
6
8 10
11 13 15
-
3. Igualdade de Matrizes
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5
Duas matrizes
; = (
&'
)
0×1
e
A = (B
&'
)
0×1
são iguais quando todos os
&'
forem
iguais aos
B
&'
para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam
iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo
número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com mesmo
índice) devem ser iguais.
Exemplo:
C1 √4 −(−3)
0 4
(
√25
D = 81 2 3
0 16 59
81 0
0 19 ≠ ,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-
81 −2
3 4 9 ≠ 8
1 2
3 49
4. Adição de Matrizes
Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou
seja, para que seja possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número
de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de existência da
soma de duas ou mais matrizes.
Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam
; = (
&'
)
0×1
e
A = (B
&'
)
0×1
, chama-se soma
; + A a matriz C do tipo m x n tal
que
&'
=
&'
+ B
&'
.
Vamos parar de falar em símbolos e vamos traduzir:
i)
Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes
obrigatoriamente devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de
colunas.
ii)
O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes
originais.
iii)
Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os
elementos correspondentes das matrizes originais.
Exemplos:
8 1 0 2
−3 5 39 + 8
2 4 7
4 6 99 = 8
1 + 2 0 + 4 2 + 7
−3 + 4 5 + 6 3 + 99 = 8
3 4
9
1 11 129
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6
3 −2
−4 1
5
6
+
−3 2
4 −1
−5 −6
=
0 0
0 0
0 0
Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é
associativa e comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do
mesmo tipo, então:
(; + A) + G = ; + (A + G)
; + A = A + ;
5. Matriz Oposta
Observe novamente o exemplo que foi feito acima:
3 −2
−4 1
5
6
+
−3 2
4 −1
−5 −6
=
0 0
0 0
0 0
A matriz
3 −2
−4 1
5
6
é a matriz oposta da matriz
−3 2
4 −1
−5 −6
e reciprocamente, a
matriz
−3 2
4 −1
−5 −6
é a matriz oposta da matriz
3 −2
−4 1
5
6
porque a soma das duas
matrizes é uma matriz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0.
Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por
– ;.
Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos
os elementos por
−1, ou seja, trocar os sinais de todos os elementos.
Desta forma, a matriz oposta da matriz
; = !−5 0
1 2"
é a matriz
−; = ! 5
0
−1 −2"
.
1.
(AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma
matriz M pode ser representado por m
ij
, onde i representa a linha e j a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s
ij
, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a
ij
) e B = (b
ij
), ou seja,
S =
A + B. Sabendo-se que (a
ij
) = i
2
+ j
2
e que bij = (i + j)
2
, então a soma dos
elementos da primeira linha da matriz S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
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7
Resolução
Vamos construir as matrizes A e B.
; =
**
*(
*)
(*
((
()
)*
)(
))
=
1
(
+ 1
(
1
(
+ 2
(
1
(
+ 3
(
2
(
+ 1
(
2
(
+ 2
(
2
(
+ 3
(
3
(
+ 1
(
3
(
+ 2
(
3
(
+ 3
(
=
2
5 10
5
8 13
10 13 18
A =
B
**
B
*(
B
*)
B
(*
B
((
B
()
B
)*
B
)(
B
))
= #
(1 + 1)
(
(1 + 2)
(
(1 + 3)
(
(2 + 1)
(
(2 + 2)
(
(2 + 3)
(
(3 + 1)
(
(3 + 2)
(
(3 + 3)
(
% =
4
9 16
9 16 25
16 25 36
I = ; + A =
2
5 10
5
8 13
10 13 18
+
4
9 16
9 16 25
16 25 36
=
6 14 26
14 24 38
26 38 54
A soma dos elementos da primeira linha é igual a 6 + 14 + 26 = 46.
Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o
fizemos para fins didáticos.
Letra D
2.
(SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz
M pode ser representado por m
ij
, onde i representa a linha e j a coluna em que
esse elemento se localiza. Uma matriz S = s
ij
, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma entre as matrizes A = (a
ij
) e B = (b
ij
), ou seja,
S = A + B.
Sabendo-se que (a
ij
) = i
2
+ j
2
e que bij = (i + j)
2
, então a razão entre os
elementos s
31
e s
13
é igual a:
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 1
Resolução
Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas!
Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V...
Vamos construir as matrizes A e B.
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8
; =
**
*(
*)
(*
((
()
)*
)(
))
=
1
(
+ 1
(
1
(
+ 2
(
1
(
+ 3
(
2
(
+ 1
(
2
(
+ 2
(
2
(
+ 3
(
3
(
+ 1
(
3
(
+ 2
(
3
(
+ 3
(
=
2
5 10
5
8 13
10 13 18
A =
B
**
B
*(
B
*)
B
(*
B
((
B
()
B
)*
B
)(
B
))
= #
(1 + 1)
(
(1 + 2)
(
(1 + 3)
(
(2 + 1)
(
(2 + 2)
(
(2 + 3)
(
(3 + 1)
(
(3 + 2)
(
(3 + 3)
(
% =
4
9 16
9 16 25
16 25 36
I = ; + A =
2
5 10
5
8 13
10 13 18
+
4
9 16
9 16 25
16 25 36
=
6 14
JK
14 24 38
JK
38 54
Queremos calcular a razão entre os elementos s
31
(terceira linha e primeira
coluna) e s
13
(primeira linha e terceira coluna).
Colocamos estes números em vermelho.
)*
*)
=
26
26 = 1
Letra E
3.
(AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de
uma matriz M pode ser representado por
&'
, onde “i” representa a linha e “j”
a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz
L = M
&'
, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes
; = N
&'
O e A = NB
&'
O.
Sabendo que
&'
=
(
e que
B
&'
= ( − =)
(
, então o produto dos elementos
M
)*
M
*)
é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
Resolução
Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos
elementos
M
)*
M
*)
.
M
)*
=
)*
+ B
)*
= 3
(
+ (3 − 1)
(
= 9 + 4 = 13
M
*)
=
*)
+ B
*)
= 1
(
+ (1 − 3)
(
= 1 + 4 = 5
O produto dos elementos
M
)*
M
*)
é igual a
13 ∙ 5 = 65.
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Letra D
4.
(MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M
pode ser representado por
&'
, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz
L = M
&'
, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes
; = N
&'
O e A = NB
&'
O. Sabendo que
&'
=
(
− =
(
e que
B
&'
= ( + =)
(
, então a soma dos elementos
M
)*
M
*)
é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
Resolução
A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior.
M
)*
=
)*
+ B
)*
= 3
(
− 1
(
+ (3 + 1)
(
= 9 − 1 + 16 = 24
M
*)
=
*)
+ B
*)
= 1
(
− 3
(
+ (1 + 3)
(
= 1 − 9 + 16 = 8
A soma dos elementos
M
)*
M
*)
é igual a
24 + 8 = 32.
Letra C
5.
(AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz
I =
&'
, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes
; = N
&'
O e A = NB
&'
O. Sabendo-se que
&'
=
(
+
=
(
e que
B
&'
= 2 =, então a soma dos elementos
)*
*)
é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
Resolução
Outra questão idêntica!!
)*
=
)*
+ B
)*
= 3
(
+ 1
(
+ 2 ∙ 3 ∙ 1 = 9 + 1 + 6 = 16
*)
=
*)
+ B
*)
= 1
(
+ 3
(
+ 2 ∙ 1 ∙ 3 = 1 + 9 + 6 = 16
A soma dos elementos
)*
*)
é igual a
16 + 16 = 32.
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Letra E
6. Produto de número real por matriz
Para multiplicar uma matriz
; por um número real P basta multiplicar todos os
elementos de A por
P.
Exemplos:
3 ∙
1 −2 4
5 3 8
0 2 6
=
3 −6 12
15 9 24
0
6 18
−2 ∙ !−5 4 1
0 −3 2" = !
10 −8 −2
0
6 −4"
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7. Produto de Matrizes
Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes.
Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e
suficiente que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.
Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a
segunda matriz deve ser do tipo n x p.
Pois bem, considere então uma matriz
;
0×1
e uma matriz
A
1×Q
. Ao efetuar o
produto da matriz A pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p.
Ou seja, o produto é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número
de colunas de B.
Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o
tipo da primeira matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O
produto existirá se os “números do meio” coincidirem e o resultado será uma
matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das extremidades.
Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma
matriz 4 x 1?
º
1
º
− 2
2 × 4 4 × 1
Os números do meio coincidiram?
Sim!
Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os
números das extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1.
Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por
uma matriz 2 x 4?
º
1
º
− 2
4 × 1 2 × 4
Os números do meio coincidiram?
Não!!
Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe.
Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x
1, mas não existe o produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do
tipo 2 x 4.
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Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já
sabemos identificar o tipo da matriz produto.
Falta ainda o principal: aprender a multiplicar.
Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte:
Desenhe uma cruz bem grande... Assim:
É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível
multiplicar as matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo.
Bom, e o que fazer com esta cruz? No “terceiro quadrante” (lembra dos
quadrantes do plano cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no
primeiro quadrante você escreverá a segunda matriz.
- Beleza até agora?
1ª matriz
2ª matriz
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- Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para
ficar claro.
- Ok!
Exemplo 2. Dadas as matrizes
; = 81 3 −2 5
4 2 −1 09
e
A = R
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
S,
determine, se existir, as matrizes
; ∙ A e A ∙ ;.
Resolução
A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4.
A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3.
Será que existe o produto
; ∙ A?
1º
− 2º
2 × 4 4 × 3
Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma
matriz do tipo
2 × 3.
Será que existe o produto
A ∙ ;?
1º
− 2º
4 × 3 2 × 4
Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz
A ∙ ;.
Bom, vamos agora calcular a matriz
; ∙ A que já sabemos ser do tipo 2 x 3.
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Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B
no primeiro quadrante.
O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante.
Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e
três colunas.
1ª matriz
2ª matriz
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
RESULTADO
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
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Bom, e agora, como descobrimos cada uma destes números?
Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna
(a bolinha vermelha abaixo).
Observe que esta bolinha vermelha é fruto do “cruzamento” entre a primeira
linha da matriz da esquerda com a segunda coluna da matriz de cima.
Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes
destas duas filas e somaremos os resultados. Assim:
i)
O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila
de cima é 2. Multiplicamos
1 × 2 = 2.
ii)
O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da
fila de cima é 5. Multiplicamos
3 × 5 = 15.
iii)
O terceiro elemento da fila da esquerda é
−2 e o terceiro elemento da
fila de cima é
−3. Multiplicamos −2 × (−3) = +6
iv)
O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila
de cima é 1. Multiplicamos
5 × 1 = 5.
v)
Devemos somar estes resultados obtidos:
2 + 15 + 6 + 5 = 28.
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28!!
Será sempre assim... Multiplicando linha por coluna...
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
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Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira
coluna.
Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados.
Vamos fazer um pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x
3º + 4º x 4º.
1 × 1 + 3 × 0 + (−2) × 3 + 5 × 4 = 1 + 0 − 6 + 20 = 15
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a 15.
Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então
multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os
elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo, ...)
e somamos os resultados.
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
28
28
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
15
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1 × 3 + 3 × 6 + (−2) × (−4) + 5 × 2 = 3 + 18 + 8 + 10 = 39
Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira
coluna.
Efetue o mesmo processo. Multiplicamos os elementos correspondentes das
duas filas e somamos os resultados.
4 × 1 + 2 × 0 + (−1) × 3 + 0 × 4 = 4 + 0 − 3 + 0 = 1
Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna
(bolinha vermelha). Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima,
elemento a elemento.
4 × 2 + 2 × 5 + (−1) × (−3) + 0 × 1 = 8 + 10 + 3 + 0 = 21
Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha
azul). Multiplicamos a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento.
39
28
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
15
39
28
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
15
1
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4 × 3 + 2 × 6 + (−1) × (−4) + 0 × 2 = 12 + 12 + 4 + 0 = 28
Terminamos!
Desta forma, o produto da matriz
; = 81 3 −2 5
4 2 −1 09
pela
A = R
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
Sé a
matriz
G = 815 28 39
1 21 289
.
Ufa! Trabalhoso, não?
Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais
as linhas e quais as colunas que devem ser multiplicadas.
6.
(LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (a
ij
)3x3 é a matriz definida por a
ij
= i + j
e B=(b
ij
)3x3 é a matriz definida por b
ij
= 2i –j, então o elemento localizado
na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é
(A) 28.
(B) 34.
(C) 31.
(D) 22.
(E) 44.
Resolução
O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os
elementos das matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do
elemento.
; =
**
*(
*)
(*
((
()
)*
)(
))
=
1 + 1 1 + 2 1 + 3
2 + 1 2 + 2 2 + 3
3 + 1 3 + 2 3 + 3
=
2 3 4
3 4 5
4 5 6
39
28
1 3 −2 5
4 2 −1 0
1 2
3
0 5
6
3
4
−3
1
−4
2
15
1
21 28
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A =
B
**
B
*(
B
*)
B
(*
B
((
B
()
B
)*
B
)(
B
))
=
2 ∙ 1 − 1 2 ∙ 1 − 2 2 ∙ 1 − 3
2 ∙ 2 − 1 2 ∙ 2 − 2 2 ∙ 2 − 3
2 ∙ 3 − 1 2 ∙ 3 − 2 2 ∙ 3 − 3
=
1 0 −1
3 2 1
5 4 3
Estamos multiplicando uma matriz do tipo 3 x 3 por outra matriz do tipo 3 x 3.
O produto existe (porque os números do meio coincidem) e o resultado será
uma matriz do tipo 3 x 3 (números das extremidades).
Queremos calcular o elemento localizado na terceira linha e na segunda
coluna.
Vamos multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima.
4 × 0 + 5 × 2 + 6 × 4 = 0 + 10 + 24 = 34
Letra B
Vale a pena notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação
comutativa, ou seja, para duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer
que necessariamente
U ∙ V = V ∙ U.
Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é
sempre verdade que se
W ∙ X = Y, Z2[ã] W = Y ]^ X = Y. Isto não é verdade
quando estivermos trabalhando com matrizes. Ou seja, é possível
encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.
Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz
8_ Y
Y Y9
pela matriz
8Y Y
Y _9
e verifique que o resultado é a matriz
8Y Y
Y Y9
.
2 3 4
3 4 5
4 5 6
1 0 −1
3 2 1
5 4 3
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8. Matriz Transposta
Considere uma matriz qualquer
; = (
&'
)
0×1
. Chama-se transposta da matriz A
a matriz
;
`
do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou
seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da
matriz original.
Exemplos:
; = 8
_ J a
b c d
9 ⇒ ;
`
= ,
_
b
J
c
a
d
-
; = ,
b c d
f Z g
h i j
- ⇒ ;
`
= ,
b
f
h
c
Z
i
d
g
j
-
Propriedades
i)
(U
[
)
[
= U
Ou seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A.
; = ,
b c d
f Z g
h i j
- ⇒ ;
`
= ,
b
f
h
c
Z
i
d
g
j
- ⇒ (U
[
)
[
= ,
b c d
f Z g
h i j
-
ii)
Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo
número de linhas e o mesmo número de colunas, então
(U + V)
[
= U
[
+ V
[
.
Isto quer dizer que tanto faz:
Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado.
Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado.
iii) Se
k é um número real qualquer e U é uma matriz, então
(k ∙ U)
[
= k ∙ U
[
Isto quer dizer que tanto faz:
Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do
resultado.
Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número
real.
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iv)
Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então
V
[
e
U
[
também podem ser multiplicadas e
(UV)
[
= V
[
U
[
Isto quer dizer que tanto faz:
Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta.
Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar
(nesta ordem).
7.
(MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes
; =
1 4
2 6
3 3
e
A = !1 3 4 5
1 2 3 4"
e seja
M
&'
o elemento genérico de uma matriz X tal que
L = (;A)
`
, isto é, a matriz X é
a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre
M
)*
e
M
*(
é igual a:
a) 2
b) ½
c) 3
d) 1/3
e) 1
Resolução
Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2
(3 linhas e 2 colunas) por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque
os números do meio coincidem e o resultado é uma matriz do tipo 3 x 4
(números das extremidades).
Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto.
O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz
transposta será:
B
l
=
m ℎ
P
1 4
2 6
3 3
1 3 4 5
1 2 3 4
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nB l =
m
ℎ
Po
Queremos calcular a razão entre
M
)*
e
M
*(
. Ou seja, a razão entre o elemento
que está situado na terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento
que está situado na primeira linha e segunda coluna (elemento e).
Portanto, queremos calcular c/e.
Vamos voltar ao produto das matrizes.
= 1 ∙ 4 + 4 ∙ 3 = 16
= 2 ∙ 1 + 6 ∙ 1 = 8
Portanto,
=
16
8 = 2
Letra A
9. Determinantes
O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as
provas de Raciocínio Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às
provas de concursos. Na realidade, os assuntos da presente aula (matrizes,
determinantes e sistemas lineares) são tópicos da “alfabetização” para uma
cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de
Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes
genericamente sem fazer referências à ordem da matriz utilizando conceitos de
permutações pares e ímpares, etc.
B
l
=
m ℎ
P
1 4
2 6
3 3
1 3 4 5
1 2 3 4
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Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas
de ordem 1, 2 e 3. Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma
que em eventuais casos que precisemos calcular determinantes de ordem
maior que 3, o possamos fazer sem maiores esforços.
Pois bem, para começar, devemos frisar que
apenas matrizes quadradas
admitem o cálculo de determinantes.
O determinante da matriz A é denotado por
det ;.
i)
Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o
único elemento da matriz.
Exemplo: Considere a matriz
; = 2 . O determinante da matriz A é o número
2.
det ; = 2
ii)
Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secundária.
; = !
B" ⇒ det; = s Bs = − B
Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais
ao lado dos elementos da matriz.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz
; = !2 −3
5 4 "
.
Resolução
s2 −3
5 4 s = 2 ∙ 4 − (−3) ∙ 5 = 8 + 15 = 23
iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da
regra de Sarrus.
; =
**
*(
*)
(*
((
()
)*
)(
))
Devemos repetir as duas primeiras colunas.
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Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as
flechas e somamos os 3 resultados.
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e
trocamos os
sinais dos produto e somamos os resultados.
Em seguida somamos os dois resultados obtidos.
Vejamos um exemplo:
Exemplo 3. Calcule o determinante da matriz
; =
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
.
Resolução
det ; = t
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
t
Devemos repetir as duas primeiras colunas.
det ; = t
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
t
−2 1
5 2
1 4
Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal.
−2 ∙ 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 3 ∙ 1 + 0 ∙ 5 ∙ 4 = 7
det ; = t
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
t
−2 1
5 2
1 4
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Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e
trocamos os
sinais dos produtos e somamos os resultados.
−(1) ∙ (5) ∙ (−1) − (−2) ∙ (3) ∙ (4) − (0) ∙ (2) ∙ (1) = 5 + 24 − 0 = 29
Devemos somar os dois resultados obtidos.
det ; = 7 + 29 = 36
10. Propriedades dos determinantes
Vejamos algumas propriedades dos determinantes:
i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma
matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0.
Exemplo.
/ = #
2
√37 25
0
0
0
cos 57
x
−1,37 15
%
O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila
composta por zeros.
ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M
= 0.
Exemplo:
/ = #
25 √37 25
1
2
1
15 −1,37 15
%
det ; = t
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
t
−2 1
5 2
1 4
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Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da
matriz é igual a 0.
iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais,
então det M = 0.
Exemplo:
/ = #
4 √37 12
3
2
9
1 −1,37 3
%
Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de
proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida
multiplicando a primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é
igual a 0.
iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é
combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0.
Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é
combinação linear.
Imagine que você vai “construir” uma matriz de terceira ordem.
/ =
2 5
3 2
1 7
Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um
pouco mais criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você
multiplicou a primeira coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e
somou os dois resultados. O que você obteve?
/ =
2 5 2 ∙ 2 + 5 ∙ 3
3 2 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3
1 7 1 ∙ 2 + 7 ∙ 3
=
2 5 19
3 2 12
1 7 23
Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas.
Ou seja, você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por
qualquer outro número B. Somando os dois resultados, você obtém uma
combinação linear das duas filas.
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Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação
linear das outras duas. Imagine que o quesito fosse assim:
Calcule o determinante da matriz
/ =
2 5 19
3 2 12
1 7 23
Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é
combinação linear das outras duas e, portanto, o determinante é zero.
A dificuldade é “perceber” na hora da prova isso. Não será você o criador das
questões!!
Veja só outro exemplo.
Calcule o determinante da matriz:
/ =
16 3 2
24 2 4
15 5 1
Se você tiver um excelente olho e perceber que
Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5
Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar
a regra de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo
tentando achar alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais
rápido!)
v) Se
U é uma matriz quadrada de ordem n e U
[
é a sua transposta,
então
yz{ U = yz{ U
[
.
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n
por um número real
k, o determinante da nova matriz será o produto
do determinante de A pelo número
k.
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz
; =
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
é igual a 36.
Vamos multiplicar uma fila qualquer por
−2, digamos a segunda coluna.
;
*
=
−2 −2 0
5 −4 3
1 −8 −1
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Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o
determinante da matriz original por
−2.
Desta forma,
det ;
*
= −2 ∙ det ; = −2 ∙ 36 = −72.
vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma
constante k, então o seu determinante será
yz{(k ∙ U) = k
2
∙ yz{ (U)
Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto
porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo
que multiplicar as n linhas por k (ou as n colunas).
Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k.
Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k.
Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k.
Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas.
Então,
det(P ∙ ;) = P ∙ P ∙ P ∙ ⋯ ∙ P
}~~~•~~~€
1 •‚`xƒ„…
∙ det ; = P
1
∙ det ;
viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se
trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas
colunas), então o determinante da matriz troca de sinal.
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz
; =
−2 1 0
5 2 3
1 4 −1
é igual a 36.
Se trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante
da matriz troca de sinal.
;
(
=
1 4 −1
5 2 3
−2 1 0
O determinante desta matriz é igual a
−36.
ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1.
8.
(MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante
igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz
X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:
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29
a) 10
-6
b) 10
5
c) 10
10
d) 10
6
e) 10
3
Resolução
Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um
número real “a”, o determinante da matriz também será multiplicado por “a”.
Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10,
o que aconteceu?
Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10.
Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10.
Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10.
Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10.
Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10.
Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a:
det(10L) = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ det(M) = 10
†
∙ 10 = 10
‡
É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for
multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será
det(P ∙ ;) = P
1
∙ det (;)
Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10,
det(10 ∙ ;) = 10
†
∙ det(;) = 10
†
∙ 10 = 10
‡
Letra D
9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se
multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os
elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica
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30
a) Multiplicado por –1.
b) Multiplicado por –16/81.
c) Multiplicado por 2/3.
d) Multiplicado por 16/81.
e) Multiplicado por –2/3.
Resolução
Vamos relembrar uma das propriedades.
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n
por um número real
k, o determinante da nova matriz será o produto
do determinante de A pelo número
k.
Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o
determinante será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da terceira
linha da matriz por –3, o determinante será dividido por -3. Assim, juntando
tudo, o determinante será multiplicado por –2/3.
Letra E
10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que
se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada
de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do
dobro de sua matriz transposta é igual a:
a) –2
b)–1/2
c)4
d) 8
e) 10
Resolução
O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz
original. Assim, o determinante não será alterado. Porém, quando
multiplicamos uma matriz de segunda ordem por 2 (já que queremos o
determinante do dobro da matriz), o determinante será:
det (2 ∙ ;
ˆ
) = 2
1
∙ det(;
ˆ
) = 2
(
∙ det(;) = 4 ∙ 2 = 8
Letra D
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31
11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes
=
=
3
2
c
2
3
b
1
5
a
B
e
6
4
2
2
3
5
c
b
a
A
, de determinantes não nulos, para quaisquer
valores de “a”, “b” e “c”, temos
A) det(A) = det(B)
B) det(B) = 2.det(A)
C) det(A) = 2.det(B)
D) det(A) = –2.det(B)
E) det(A) = – det(B)
Quais foram as transformações sofridas por A para “chegar” na matriz B?
Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda
linha de A é igual à segunda coluna de B.
Vamos construir a matriz transposta de A.
A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas
por colunas.
;
`
=
5 2
B 3 4
2 6
Observe agora a matriz B.
=
3
2
c
2
3
b
1
5
a
B
A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna
de B. Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do
determinante da matriz B.
det (;
ˆ
) = 2 ∙ det(A)
Como o determinante de A e de sua transposta são iguais,
det (;) = 2 ∙ det(A)
Letra C
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32
12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira
ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são
iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz
A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x
3
, então o produto entre os
determinantes das matrizes A e B é igual a:
a) –x
-6
b) –x
6
c) x
3
d) –1
e) 1
Resolução
Considere a matriz A:
; =
B
l
m ℎ
A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais,
respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A.
A =
B
l
ℎ m
Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas
permutamos a primeira com a terceira coluna.
Quando permutamos (trocamos de lugar) duas filas (linhas ou colunas), o
determinante troca de sinal.
Como o determinante de A é igual a x
3
, então o determinante de B será igual a
–x
3
.
O produto entre os determinantes das matrizes
A e B é igual a
det(;) ∙ det(A) = M
)
∙ (−M
)
) = −M
‡
Letra B
13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico x
ij
de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y
ij
, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes A = (a
ij
) e B = (b
ij
). Sabendo-se que
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33
(a
ij
) = (i+j)
2
e que b
ij
= i
2
, então o menor complementar do elemento y
23
é
igual a:
a) 0
b) -8
c) -80
d) 8
e) 80
Resolução
Vamos construir as matrizes A e B.
; =
**
*(
*)
(*
((
()
)*
)(
))
= #
(1 + 1)
(
(1 + 2)
(
(1 + 3)
(
(2 + 1)
(
(2 + 2)
(
(2 + 3)
(
(3 + 1)
(
(3 + 2)
(
(3 + 3)
(
% =
4
9 16
9 16 25
16 25 36
A =
B
**
B
*(
B
*)
B
(*
B
((
B
()
B
)*
B
)(
B
))
=
1
(
1
(
1
(
2
(
2
(
2
(
3
(
3
(
3
(
=
1 1 1
4 4 4
9 9 9
‰ = ; + A =
4
9 16
9 16 25
16 25 36
+
1 1 1
4 4 4
9 9 9
=
5 10 17
13 20 29
25 34 45
Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y
23
, devemos
suprimir a segunda linha e a terceira coluna de Y.
s 5 10
25 34s = 5 ∙ 34 − 10 ∙ 25 = 170 − 250 = −80
Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem
devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Letra C
14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz
; =
2
1
0
B
4 +
2 + B
é:
a) 2bc + c - a
b) 2b - c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
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e) 0
Resolução
Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta
do braço e a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes.
Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra
de Sarrus.
Devemos repetir as duas primeiras colunas.
; = t
2
1
0
B
4 +
2 + B
t
2
1
B
4 +
2 + B
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as
flechas.
Obtemos
2 ∙ B ∙ + 1 ∙ ∙ (4 + ) + 0 ∙ ∙ (2 + B) = 2B + 4 +
Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e
trocar o sinal do resultado.
Obtemos
−1 ∙ ∙ − 2 ∙ ∙ (2 + B) − 0 ∙ B ∙ (4 + ) = − − 4 − 2B
Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados
obtidos:
; = 2B + 4 +
−
− 4 − 2B = 0
Vamos voltar ao quesito:
(ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz
A =
2
1
0
B
4 +
2 + B
é:
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a) 2bc + c - a
b) 2b - c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
e) 0
Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a
segunda linha, obtemos a terceira linha.
Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é
zero.
Letra E
15.
(Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de
segunda ordem, A e B, sendo que
A = 2
*/:
∙ ;. Sabendo que o determinante de
A é igual a
2
•*/(
, então o determinante da matriz B é igual a:
a) 2
1/2
b) 2
c) 2
-1/4
d) 2
-1/2
e) 1
Resolução
As matrizes são de segunda ordem.
Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k,
então o seu determinante será
det(P ∙ ;) = P
1
∙ det (;)
Como a matriz A é de segunda ordem, então
= 2.
Estamos multiplicando a matriz A por
2
*/:
, portanto,
P = 2
*/:
.
detN2
*/:
∙ ;O = N2
*/:
O
(
∙ det (;)
detN2
*/:
∙ ;O = N2
*/:
O
(
∙ 2
•*/(
det A = 2
(×*:
∙ 2
•*/(
= 2
*/(
∙ 2
•*/(
= 2
*
(Ž8•
*
(9
= 2
•
= 1
Letra E
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16.
(AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem
possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da
matriz X, então a matriz
‰ = 3• tem determinante igual a:
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
Resolução
A matriz é de terceira ordem, logo
= 3.
Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo
P = 3.
Sabemos também que
• = L
`
e sabemos que o determinante de uma matriz é
igual ao determinante da sua transposta.
det(P ∙ •) = P
1
∙ det (•)
det(3 ∙ •) = 3
)
∙ det(•) = 27 ∙ det L
`
Sabemos que
3 ∙ • = ‰ 3 det L
`
= det L .
det ‰ = 27 ∙
L
Como
det L = 3,
det ‰ = 27 ∙ 3 = 81
Letra E
17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser
representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse
elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem,
constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por:
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Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o
determinante da matriz B é igual a:
a) 50
b) -50
c) 0
d) -100
e) 100
Resolução
A matriz A é dada por:
; =
b
__
b
_J
b
_a
b
J_
b
JJ
b
Ja
b
a_
b
aJ
b
aa
A matriz B é dada por:
A =
B
**
B
*(
B
*)
B
(*
B
((
B
()
B
)*
B
)(
B
))
=
b
a_
b
aJ
b
aa
b
J_
b
JJ
b
Ja
b
__
b
_J
b
_a
A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo:
Repetimos a segunda linha.
Trocamos a primeira linha com a terceira linha
Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas
paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da
matriz troca de sinal.
Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da
matriz B é igual a
−100.
Letra D
11.
Teorema de Binet
Se
; e A são matrizes quadradas de ordem n, então:
det(;A) = det ; ∙ det A
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Isto quer dizer que tanto faz:
Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto.
Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar
os resultados.
18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes
L =
1 2 3
2 4 6
5 3 7
;
‰ =
2 3
2 B 6
5 3
onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o
determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:
a) 0
b)
c)
+ B +
d)
+ B
e)
+
Resolução
Queremos calcular
(L‰).
Pelo Teorema de Binet, sabemos que
det(L‰) = det L ∙ det ‰
Dê uma olhada na matriz X.
L =
1 2 3
2 4 6
5 3 7
Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2?
Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais,
então det M = 0.
Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0.
det(L‰) = det L ∙ det ‰
det(L‰) = 0∙ det ‰ = 0
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Letra A
12.
Matriz Inversa
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A.
Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que
; ∙ A = A ∙
; = 7
1
.
Lembre-se que
7
1
é a matriz identidade de ordem n.
Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por
;
•*
.
Exemplo: A inversa da matriz
; = !5 6
4 5"
é a matriz
;
•*
= ! 5 −6
−4 5 "
porque
!5 6
4 5" ∙ !
5 −6
−4 5 " = !
1 0
0 1"
.
Para verificar basta fazer:
= 5 ∙ 5 + 6 ∙ (−4) = 25 − 24 = 1
B = 5 ∙ (−6) + 6 ∙ 5 = −30 + 30 = 0
= 4 ∙ 5 + 5 ∙ (−4) = 20 − 20 = 0
= 4 ∙ (−6) + 5 ∙ 5 = −24 + 25 = 1
Ora, sabemos que
; ∙ ;
•*
= 7
1
.
Vamos aplicar o teorema de Binet.
det(; ∙ ;
•*
) =
7
1
det ; ∙ det ;
•*
=
7
1
Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto:
5 6
4 5
5 −6
−4 5
B
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det ; ∙ det ;
•*
= 1
Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz,
podemos automaticamente calcular o determinante da sua inversa e
reciprocamente.
Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular.
Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0.
Por exemplo, a matriz
! 5 2
10 4"
é uma matriz singular, isto é, não admite
inversa. Isto pode ser verificado calculando o seu determinante.
s 5 2
10 4s = 5 ∙ 4 − 2 ∙ 10 = 20 − 20 = 0
Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente
de zero, então a matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa?
Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2.
Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0.
; = !
B"
A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma:
;
•*
=
1
det ; ∙ !
−B
−
"
Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o
sinal dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os
elementos pelo determinante da matriz original.
Exemplo 4. Determine, se existir, a inversa da matriz
; = !4 6
5 8"
.
Resolução
O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A.
det ; = 4 ∙ 8 − 5 ∙ 6 = 2
Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal
dos elementos da diagonal secundária.
! 8 −6
−5 4 "
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O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz
original que é igual a 2.
;
•*
= ’ 4
−3
−5/2 2 “
19. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz
!1 1
M 1"
e
sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor
de
M é igual a:
a)
−1
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 2
Resolução
Sabemos que
det ; ∙ det ;
•*
= 1. O problema já forneceu o determinante da
inversa que é igual a 1/2.
det ; ∙
1
2 = 1
det ; = 2
Ora, temos em mãos o determinante da matriz original.
s1 1
M 1s = 2
1 ∙ 1 − 1 ∙ M = 2
1 − M = 2
−M = 1
M = −1
Letra A
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42
13.
Sistemas Lineares
Equação linear nas incógnitas
M, ”, , … é toda equação do tipo
M + B” + + ⋯ = P.
Os números reais
, B, , … (os números que multiplicam as incógnitas) são
chamados de coeficientes e o número
P é o termo independente da equação.
É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a
1 para que a equação seja considerada linear.
São equações lineares:
2M + 3” = −5
−4M + 6” + 7 = 0
Não são equações lineares:
2M
)
− 5”
(
= 8
√M + 6” = 0
2M + 3M” = 7
É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas
em algum dos termos da equação.
Vejamos alguns fatos que aprenderemos nas aulas de lógica.
Veremos que uma sentença do tipo
3M + 2” = 12 não é uma proposição lógica.
Isto porque não podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam
fornecidos os valores das incógnitas.
Se alguém nos disser que
M = 2 ” = 3, então a sentença 3M + 2” = 12 tornar-se-
á verdadeira porque
3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12; ao passo que se M = 3 ” = 0, a sentença
3M + 2” = 12 será classificada como falsa porque 3 ∙ 3 + 2 ∙ 0 ≠ 12.
Pois bem, já que
M = 2 ” = 3 torna a sentença 3M + 2” = 12 verdadeira, dizemos
que a sequência (2,3) é uma solução da equação linear.
Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear?
Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares!
Por exemplo:
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–2M + 5” = 9
M − 3” = −1
Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema
linear, se a sequência for solução de todas as equações lineares que compõem
o sistema.
Por exemplo: A sequência
(2,1) é solução do sistema linear acima, porque:
—2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 = 9
2 − 3 ∙ 1 = −1
14.
Classificação dos sistemas lineares
Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema
é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não
admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que satisfaça todas as
equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível.
Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o
sistema admitir apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e
determinado; se o sistema admitir infinitas soluções, dizemos que o sistema é
possível e indeterminado.
Sistema linear
Possível
(admite solução)
Determinado
(a solução é única)
Indeterminado
(existem infinitas
soluções)
Impossível
(não admite solução)
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Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um
sistema linear não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas
soluções (possível e indeterminado).
Vamos ver alguns exemplos:
Exemplo 5. Resolva o sistema linear
– M − 2” = 5
3M + ” = 29
.
Resolução
Vamos isolar a incógnita
M na primeira equação.
M = 2” + 5
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação
3M + ” = 29
3 ∙ (2” + 5) + ” = 29
6” + 15 + ” = 29
7” = 14
” = 2
Como
M = 2” + 5, então:
M = 2 ∙ 2 + 5 = 9
Portanto, o sistema admite apenas uma solução:
M = 9 ” = 2. O sistema é
possível e determinado.
Exemplo 6. Resolva o sistema linear
– M − 2” = 5
3M − 6” = 10
.
Resolução
Vamos isolar a incógnita
M na primeira equação.
M = 2” + 5
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação.
3M − 6” = 10
3 ∙ (2” + 5) − 6” = 10
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6” + 15 − 6” = 10
0” = −5
Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a
−5.
Mas sabemos que qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem
como resultado o número 0. Desta forma, não existe um número
” tal que
0” = −5.
O sistema é impossível.
Exemplo 7.
Resolva o sistema linear
– M − 2” = 5
3M − 6” = 15
Resolução
Vamos isolar a incógnita
M na primeira equação.
M = 2” + 5
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação.
3M − 6” = 15
3 ∙ (2” + 5) − 6” = 15
6” + 15 − 6” = 15
6” − 6” = 15 − 15
0” = 0
Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora,
qualquer número real serve!! Pense em um número qualquer, digamos
” = 1.
Neste caso,
0 ∙ 1 = 0.
E já que
M = 2” + 5, então
M = 2 ∙ 1 + 5
M = 7
Portanto
M = 7 ” = 1 é uma solução do sistema.
Vamos colocar
” = 5. Já que M = 2” + 5, então
M = 2 ∙ 5 + 5
M = 15
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Portanto,
M = 15 ” = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode
escolher o valor que quiser para a incógnita
”, substituir o valor na equação
M = 2” + 5 e calcular o valor correspondente de M.
O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e
indeterminado.
15.
Sistema Linear Homogêneo
Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de todas as
equações é igual a 0.
Exemplos:
–2M + 5” = 0
M − 3” = 0
˜
M + 2” − 3 = 0
2M − 5” + = 0
M − 6” + 8 = 0
É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as
incógnitas por 0. Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0
é chamada de solução trivial. Se houver, as outras soluções são
chamadas de não-triviais.
Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve
aprenderemos a classificá-lo em determinado ou indeterminado.
16.
Teorema de Cramer
O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer
(1704-1752) provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso
ocorre com muita frequência na Matemática. Uma pessoa descobre algum fato
e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, deixemos a História da
Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso,
pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer).
Vamos lá. Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual
ao número de equações.
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Como o nosso intuito é fechar as provas de concurso, vamos ficar restritos aos
sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3
incógnitas.
– M + B” = P
*
M + ” = P
(
˜
M + B” +
= P
*
M + ” + l = P
(
mM + ℎ” + = P
)
Estamos considerando que as incógnitas são as letras
M, ”, .
Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados
com os coeficientes e com os termos independentes.
Chamaremos de
™ o determinante da matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas.
No caso do sistema de segunda ordem:
™ = s
Bs
No caso do sistema de terceira ordem:
™ = t
B
l
m ℎ
t
Chamaremos de
™
š
o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,
substituindo a coluna do
M pelos termos independentes. No caso,
substituiremos a primeira coluna (a do
M) pelos termos independentes
(
P
*
, P
(
, …).
Chamaremos de
™
›
o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,
substituindo a coluna do
” pelos termos independentes. No caso,
substituiremos a segunda coluna (a do
”) pelos termos independentes
(
P
*
, P
(
, …).
Chamaremos de
™
œ
o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,
substituindo a coluna do
pelos termos independentes. No caso,
substituiremos a terceira coluna (a do
”) pelos termos independentes (P
*
, P
(
, …).
É óbvio que
™
œ
só existe em sistemas de terceira ordem.
No caso de sistemas de segunda ordem, temos:
™
š
= •P
*
B
P
(
• ™
›
= •
P
*
P
(
•
No caso de sistemas de terceira ordem, temos:
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48
™
š
= t
P
*
B
P
(
l
P
)
ℎ
t , ™
›
= t
P
*
P
(
l
m P
)
t ™
œ
= t
B P
*
P
(
m ℎ P
)
t
Vamos ver alguns exemplos numéricos.
Considere o sistema
– M − 2” = 5
3M + ” = 29
.
Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema:
™ é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
™ = s1 −2
3 1 s = 1 ∙ 1 − (−2) ∙ 3 = 1 + 6
™ = 7
™
š
é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a
coluna do
M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira
coluna (a do
M) pelos termos independentes.
™
š
= s 5 −2
29 1 s = 5 ∙ 1 − (−2) ∙ 29 = 5 + 58
™
š
= 63
Analogamente, temos:
™
›
= s1 5
3 29s = 1 ∙ 29 − 5 ∙ 3 = 29 − 15
™
›
= 14
O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de
equações igual ao de incógnitas e se
™ ≠ 0 o sistema será possível e
determinado (apresenta solução única) e:
M =
™
š
™ ,
” =
™
›
™ , …
No nosso exemplo:
M =
™
š
™ =
63
7 = 9
” =
™
›
™ =
14
7 = 2
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49
Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente.
Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático.
Principalmente ao trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3.
O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se
ž ≠ Y,
então
o
sistema
é
possível
e
determinado.
Isso
é
IMPORTANTÍSSIMO!!! Tem cheiro de ESAF no ar...
E o que acontece se
™ = 0 ??
Há duas possibilidades.
Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ou
seja,
™
š
= ™
›
= ⋯ = 0
então o sistema é possível e indeterminado.
Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for
diferente de 0, então o sistema é impossível.
Resumindo:
Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de
equações igual ao de incógnitas, então ele pode ser:
Possível e determinado, se
™ ≠ 0.
Possível e indeterminado, se
™ = ™
š
= ™
›
= ⋯ = 0
Impossível, se
™ = 0 e existir algum ™
&
≠ 0.
Na verdade, o resuminho acima está incompleto. É que pode haver casos em
que todos os determinantes são nulos e o sistema ser impossível. São casos
excepcionais, raros de acontecerem. Só que, para efeito de concurso, podemos
simplesmente ignorar esta exceção, pois nunca foi cobrado. Certo?
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50
E se o sistema for homogêneo?
Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução.
Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível
e indeterminado.
Basta calcular o valor de
™.
O sistema é possível e determinado se
™ ≠ 0.
O sistema é possível e indeterminado se
™ = 0.
20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e
determinado, o valor de a deverá ser:
ax + 3y = 7
x +2y = 1
(A) a = 3.
(B) a = 3/2.
(C) a
≠ 3/2.
(D) a
≠ 5/2.
(E) a
≠2/5.
Resolução
Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da
matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de zero.
™ ≠ 0
Sistema linear
Possível
(admite solução)
Determinado
(a solução é única)
Indeterminado
(existem infinitas
soluções)
Impossível
(não admite solução)
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51
s
3
1 2s ≠ 0
2 ∙ − 3 ∙ 1 ≠ 0
2 ≠ 3
≠
3
2
Letra C
21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações
lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos
uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é
chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.
=
+
=
+
4
2
0
3
mb
a
mb
ma
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as
incógnitas, é correto afirmar que
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) se m=0, o sistema é impossível.
c) se m=6, o sistema é indeterminado.
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.
Resolução
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos
coeficientes deve ser diferente de 0.
s
3
2
s ≠ 0
(
− 6 ≠ 0
≠
−(−6) ± (−6)
(
− 4 ∙ 1 ∙ 0
2 ∙ 1
≠
6 ± 6
2
Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado.
Letra E
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Vamos terminar de discutir o sistema.
Vamos supor que
™ = 0, ou seja, = 6 ou = 0.
i)
= 6
O sistema ficará assim:
—6 + 18B = 0
2 + 6B = 4
Neste caso:
™
š
= s0 18
4 6 s = 0 ∙ 6 − 18 ∙ 4 = −72 ≠ 0
™
š
≠ 0
Se
¡ = K, então ž = Y Z ž
W
≠ Y, portanto o sistema é impossível.
ii)
= 0
O sistema ficará assim:
—0 + 0B = 0
2 + 0B = 4
Da segunda equação, tem-se:
2 + 0B = 4
2 + 0 = 4
= 2
Vamos substituir este valor na segunda equação:
2 + 0B = 4
2 ∙ 2 + 0B = 4
4 + 0B = 4
0B = 0
Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer
número multiplicado por 0 é igual a 0. Concluímos que se
= 0, então = 2 e
B pode ser qualquer número real. Portanto, há infinitas soluções para o sistema
e ele é possível e indeterminado.
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53
22. (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares
=
+
=
−
q
px
x
x
x
2
1
2
1
2
2
,
pode-se corretamente afirmar que:
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.
Resolução
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos
coeficientes das variáveis deve ser diferente de 0.
•1 −1
2
• ≠ 0
1 ∙ − 2 ∙ (−1) ≠ 0
≠ −2
Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser
igual a 0, ou seja, p=-2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das
variáveis deve ser igual a 0.
•1 2
2 3• = 0
3 − 4 = 0
3 = 4
Assim, o sistema é possível e indeterminado se
= −2 e 3 = 4.
Até agora não encontramos alternativas...
Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser
igual a 0, ou seja,
= −2; e o determinante de qualquer uma das variáveis
deve ser diferente de 0, ou seja, q
≠4.
Letra A
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23. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema
=
+
=
−
0
2
0
a
x
y
ax
de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.
c) tem solução não trivial para um único valor real de a.
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.
e) é impossível para qualquer valor real de a.
Resolução
Da segunda equação já concluímos que
M = −2 .
Vamos substituir este valor na primeira equação.
M − ” = 0
∙ (−2 ) − ” = 0
−2
(
− ” = 0
” = −2
(
Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores
de .
Letra A
24. (TFC 2000/ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível”
ou “compatível” quando admite, pelo menos, uma solução, e é chamado de
“determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver
infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações,
M − ” = 2 e
2M + ¢” = , pode-se afirmar que se ¢ = −2 e = 4, então o sistema é:
a) impossível e determinado.
b) impossível ou determinado.
c) impossível e indeterminado.
d) possível e determinado.
e) possível e indeterminado.
Resolução
A primeira equação já está pronta. Na segunda equação vamos substituir
¢ por
−2 e por 4.
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Teremos o seguinte sistema:
– M − ” = 2
2M − 2” = 4
Vamos calcular os determinantes associados a este sistema.
™ = s1 −1
2 −2s = 1 ∙ (−2) − (−1) ∙ 2 = −2 + 2 = 0
™ = 0
™
š
= s2 −1
4 −2s = 2 ∙ (−2) − (−1) ∙ 4 = −4 + 4 = 0
™
š
= 0
™
›
= s1 2
2 4s = 1 ∙ 4 − 2 ∙ 2 = 4 − 4 = 0
™
›
= 0
Como
™ = ™
š
= ™
›
= 0, então os sistema é possível e indeterminado.
Poderíamos tirar esta conclusão tentando resolver o sistema.
Da primeira equação, concluímos que
M = ” + 2. Vamos substituir esta
expressão na segunda equação.
2M − 2” = 4
2 ∙ (” + 2) − 2” = 4
2” + 4 − 2” = 4
2” − 2” = 4 − 4
0” = 0
Devemos encontrar um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora,
qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0, portanto, o sistema admite
infinitas soluções sendo possível e indeterminado.
Letra E
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25. (AFRFB 2009/ESAF) Com relação ao sistema,
£
M + ” + = 1
2M − ”
3 + 2 =
+ 1
2M + ” = 1
Onde
3 + 2 ≠ 0 e 2M + ” ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo
Resolução
Esta é mais uma questão que a ESAF copia da coleção Fundamentos de
Matemática Elementar. Na prova do AFRFB 2009 foram três questões
copiadas: uma questão sobre permutações circulares (anulada), uma questão
sobre divisão de polinômios. Eles também copiaram a primeira questão da
prova da SUSEP 2010.
Bom, quando você vai copiar alguma questão, você tem que saber copiar. Não
basta copiar o enunciado e colocar algum trecho da solução nas alternativas.
O enunciado do livro é o seguinte:
Resolva o sistema pela regra de Cramer:
£
M + ” + = 1
2M − ”
3 + 2 =
+ 1
2M + ” = 1
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de
equações.
2M − ”
3 + 2 = 1 ⇔ 2M − ” = 3 + 2 ⇔ 2M − ” − 3 = 2
+ 1
2M + ” = 1 ⇔ + 1 = 2M + ” ⇔ −2M − ” + = −1
Temos o seguinte sistema:
˜
M + ” + = 1
2M − ” − 3 = 2
−2M − ” + = −1
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Vamos calcular o valor dos determinantes associados ao sistema:
™ = t
1
1
1
2 −1 −3
−2 −1 1
t
1
1
2 −1
−2 −1
™ = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 2 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2)
™ = −1 + 6 − 2 − 2 − 3 − 2
™ = −4
™
š
= t
1
1
1
2 −1 −3
−1 −1 1
t
1
1
2 −1
−1 −1
™
š
= 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−1)
™
š
= −1 + 3 − 2 − 2 − 3 − 1
™
š
= −6
™
›
= t
1
1
1
2
2 −3
−2 −1 1
t
1
1
2
2
−2 −1
™
›
= 1 ∙ 2 ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−2)
™
›
= 2 + 6 − 2 − 2 − 3 + 4
™
›
= 5
™
œ
= t
1
1
1
2 −1 2
−2 −1 −1
t
1
1
2 −1
−2 −1
™
œ
= 1 ∙ (−1) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2)
™
œ
= 1 − 4 − 2 + 2 + 2 − 2
™
œ
= −3
A solução do sistema é dada por:
M =
™
š
™ =
−6
−4 =
3
2
” =
™
›
™ =
5
−4 = −
5
4
=
™
œ
™ =
−3
−4 =
3
4
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O sistema admite uma única solução e é possível e determinado.
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
a) é impossível
(falso, pois o sistema é possível e determinado).
b) é indeterminado
(falso, pois o sistema é possível e determinado).
c) possui determinante igual a 4
(falso, pois nenhum dos
determinantes associados ao sistema é igual a 4).
d) possui apenas a solução trivial
(falso, pois a solução trivial é o terno
(0,0,0) que é solução dos sistemas lineares homogêneos).
e) é homogêneo
(falso, pois sistema linear homogêneo é aquele que
tem todos os termos independentes iguais a 0).
E agora?
Bom, a ESAF considerou que a resposta correta é a letra C. Inclusive a questão
não foi anulada!!! E por que isso aconteceu?
Como comentamos no início da resolução, a ESAF copiou esta questão do livro
Fundamentos de Matemática Elementar (volume 4, página 138).
Na resolução deste sistema no referido livro aconteceu o seguinte.
No início da resolução nós colocamos assim:
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de
equações.
2M − ”
3 + 2 = 1 ⇔ 2M − ” = 3 + 2 ⇔ 2M − ” − 3 = 2
+ 1
2M + ” = 1 ⇔ + 1 = 2M + ” ⇔ −2M − ” + = −1
O problema que aconteceu foi o seguinte. Os autores do livro multiplicaram a
segunda equação por
(−1).
Então, no lugar de colocar
−2M − ” + = −1, eles utilizaram
2M + ” − = 1
E o sistema obtido é o seguinte:
˜
M + ” + = 1
2M − ” − 3 = 2
2M + ” − = 1
Desta forma, multiplicamos a terceira linha por
(−1).
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59
Vimos na teoria dos determinantes que se multiplicamos uma fila qualquer por
um número
P, então o determinante da matriz será multiplicado por P.
Como multiplicamos a terceira linha por
(−1), todos os determinantes serão
multiplicados por
−1. Os determinantes associados a este novo sistema serão:
™ = 4
™
š
= 6
™
›
= −5
™
œ
= 3
A solução do sistema é dada por:
M =
™
š
™ =
6
4 =
3
2
” =
™
›
™ =
−5
4 = −
5
4
=
™
œ
™ =
3
4
Como pode ser visto, a solução do sistema é a mesma que a obtida
anteriormente. Só que como multiplicamos a terceira linha por
(−1), os sinais
de todos os determinantes foram trocados.
Neste caso, um dos determinantes é igual a 4.
O problema é que a ESAF não soube nem copiar a questão do livro.
Dependendo da maneira como o sistema é “arrumado”, o determinante da
matriz dos coeficientes pode ser
4 ou −4.
Não podemos afirmar com certeza que o determinante é igual a 4.
A questão deveria ser ANULADA.
Todos sabem que não adianta brigar com a banca na hora da prova. Deixe
para brigar nos recursos. E é óbvio que você só brigará nos recursos SE errar a
questão.
Vamos analisar as alternativas novamente.
a) é impossível Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já
que
™ ≠ 0.
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60
b) é indeterminado. Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum,
já que
™ ≠ 0.
c) possui determinante igual a 4 (???????)
d) possui apenas a solução trivial. Esta aqui não tem como ser a resposta de
jeito algum, já que encontramos solução não - trivial.
e) é homogêneo esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já
que o sistema não é homogêneo.
Montando o sistema linear, dá para ver que não é impossível, nem
indeterminado, nem homogêneo, nem tem solução trivial.
Sobre o determinante, a questão foi totalmente lacônica. Há inúmeras matrizes
associadas, e diversas formas de montá-las. Em uma delas, realmente o
determinante é 4. Então não custa nada chutar letra "c" e torcer pra dar certo.
Depois, durante os recursos, aí sim dá para brigar com a questão.
Gabarito oficial: Letra C
Questões ESAF 2012/2013
26. (ATA-MF 2012/ESAF) Dadas as matrizes
; = 82 3
1 39
e
A = 82 4
1 39
, calcule o
determinante do produto A.B.
a) 8
b) 12
c) 9
d) 15
e) 6
Resolução
Vamos começar calculando os determinantes das matrizes A e B.
det ; = 2 × 3 − 3 × 1 = 3
det A = 2 × 3 − 4 × 1 = 2
Agora é só aplicar o teorema de Binet.
det(;A) = det ; × det A = 3 × 2 = 6
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61
Letra E
27. (ATA-MF 2012/ESAF) Dado o sistema de equações lineares
˜
2M + 3” − 4 = 3
M − ” + 5 = 6
M + 2” + 3 = 7
O valor de x + y + z é igual a
a) 8
b) 16
c) 4
d) 12
e) 14
Resolução
Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os
valores de x,y e z e depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira
mais rápida. Veja o que acontece quando somamos as três equações membro
a membro.
˜
2M + 3” − 4 = 3
M − ” + 5 = 6
M + 2” + 3 = 7
2M + M + M + 3” − ” + 2” − 4 + 5 + 3 = 3 + 6 + 7
4M + 4” + 4 = 16
Dividindo os dois membros da equação, temos:
M + ” + = 4
Letra C
28. (ATRFB 2012/ESAF) Dada a matriz
; = 82 1
0 19
, o determinante de
;
†
é igual
a
a) 20
b) 28
c) 32
d) 30
e) 25
Resolução
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Comecemos calculando o determinante da matriz A.
; = 2 × 1 − 1 × 0 = 2
Agora aplicamos o teorema de Binet.
det ;
†
= det(; ∙ ; ∙ ; ∙ ; ∙ ;) = (det ;)
†
= 2
†
= 32
Letra C
29. (AFRFB 2012/ESAF) As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta
ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é
igual a matriz transposta de B, ou seja: C = B
t
. A matriz D é definida a partir
da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem
como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o
determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das
matrizes B, C e D é igual a
a) 6
b) 4
c) 12
d) 10
e) 8
Resolução
Sabemos que o determinante da matriz A é igual a 32.
As matrizes são de quarta ordem.
Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k,
então o seu determinante será
det(P ∙ ;) = P
1
∙ det (;)
Desta forma podemos calcular o determinante da matriz B.
det A = det(1/2 ∙ ;) = (1/2)
:
∙ det(;) =
1
16 ∙ 32 = 2
A matriz C é a transposta da matriz B. Como o determinante de uma matriz e
o determinante da sua transposta são iguais, então det C = det B = 2.
A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas
matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C
multiplicada por 2.
Quando multiplicamos a primeira linha de C por 2, o seu determinante também
é multiplicado por 2. Concluímos que det D = 2 x 2 = 4.
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63
A soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a 2 + 2 + 4 = 8.
Letra E
30. (AFRFB 2012/ESAF) Considere o sistema de equações lineares dado por:
˜
M + ” + = 0
M − ” +
= 2
M + 2” + = −1
Sabendo-se que o sistema tem solução única para
≠ 0 e ≠ 1, então o valor
de x é igual a
a) 2/r
b) -2/r
c) 1/r
d) -1/r
e) 2r
Resolução
Aplicação direta do teorema de Cramer.
De acordo com Cramer, temos que x = Dx/D.
™
š
= t
0
1 1
2 −1
−1 2 1
t = − + 1
™ = t
1 1 1
1 −1
2 1
t =
(
−
E assim ficamos com:
M =
™
š
™ =
− + 1
(
− =
−( − 1)
( − 1) = −
1
Letra D
31. (DNIT 2013/ESAF) A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema
de equações
–M + 2” = 7
2M + ” = 5
é igual a:
a) 6
b) 4
c) 3
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d) 2
e) 5
Resolução
Já dizia o velho ditado: nas provas de concurso, nada se cria.. tudo se copia…
Por favor, meu amigo, leia novamente o enunciado da questão 27 (aquela do
ATA-MF/2012).
Questões idênticas ou não?
Quase.. só que esta do DNIT foi bem mais fácil. A questão do ATA/MF envolvia
3 incógnitas e 3 equações. Aqui só temos duas incógnitas e duas equações.
Já que a ESAF copious e colou o enunciado, eu também vou copier e colar a
minha resolução da questão 27.
Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os
valores de x e y e depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira
mais rápida. Veja o que acontece quando somamos as duas equações membro
a membro.
–M + 2” = 7
2M + ” = 5
M + 2M + 2” + ” = 7 + 5
3M + 3” = 12
Agora dividindo os dois membros da equação por 3, temos:
M + ” = 4
E isso é justamente o que o problema pede: a soma dos valores x e y.
Letra B
Espero que tenham gostado da aula. Um abraço e até a próxima.
Guilherme Neves
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17.
Relação das questões comentadas nesta aula
1.
(AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma
matriz M pode ser representado por m
ij
, onde i representa a linha e j a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s
ij
, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a
ij
) e B = (b
ij
), ou seja,
S =
A + B. Sabendo-se que (a
ij
) = i
2
+ j
2
e que bij = (i + j)
2
, então a soma dos
elementos da primeira linha da matriz S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
2.
(SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz
M pode ser representado por m
ij
, onde i representa a linha e j a coluna em que
esse elemento se localiza. Uma matriz S = s
ij
, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma entre as matrizes A = (a
ij
) e B = (b
ij
), ou seja,
S = A + B.
Sabendo-se que (a
ij
) = i
2
+ j
2
e que bij = (i + j)
2
, então a razão entre os
elementos s
31
e s
13
é igual a:
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 1
3.
(AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de
uma matriz M pode ser representado por
&'
, onde “i” representa a linha e “j”
a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz
L = M
&'
, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes
; = N
&'
O e A = NB
&'
O.
Sabendo que
&'
=
(
e que
B
&'
= ( − =)
(
, então o produto dos elementos
M
)*
M
*)
é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
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4.
(MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M
pode ser representado por
&'
, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz
L = M
&'
, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes
; = N
&'
O e A = NB
&'
O. Sabendo que
&'
=
(
− =
(
e que
B
&'
= ( + =)
(
, então a soma dos elementos
M
)*
M
*)
é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
5.
(AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz
I =
&'
, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes
; = N
&'
O e A = NB
&'
O. Sabendo-se que
&'
=
(
+
=
(
e que
B
&'
= 2 =, então a soma dos elementos
)*
*)
é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
6.
(LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (a
ij
)3x3 é a matriz definida por a
ij
= i + j
e B=(b
ij
)3x3 é a matriz definida por b
ij
= 2i –j, então o elemento localizado
na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é
(A) 28.
(B) 34.
(C) 31.
(D) 22.
(E) 44.
7.
(MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes
; =
1 4
2 6
3 3
e
A = !1 3 4 5
1 2 3 4"
e seja
M
&'
o elemento genérico de uma matriz X tal que
L = (;A)
`
, isto é, a matriz X é
a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre
M
)*
e
M
*(
é igual a:
a) 2
b) ½
c) 3
d) 1/3
e) 1
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8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante
igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da
matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:
a) 10
-6
b) 10
5
c) 10
10
d) 10
6
e) 10
3
9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se
multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e
dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o
determinante da matriz fica
a) Multiplicado por –1.
b) Multiplicado por –16/81.
c) Multiplicado por 2/3.
d) Multiplicado por 16/81.
e) Multiplicado por –2/3.
10.
(MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela
que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz
quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o
determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:
a) –2
b)–1/2
c)4
d) 8
e) 10
11.
(BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes
=
=
3
2
c
2
3
b
1
5
a
B
e
6
4
2
2
3
5
c
b
a
A
, de determinantes não nulos, para quaisquer
valores de “a”, “b” e “c”, temos
A) det(A) = det(B)
B) det(B) = 2.det(A)
C) det(A) = 2.det(B)
D) det(A) = –2.det(B)
E) det(A) = – det(B)
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12.
(AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de
terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da
matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira
colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x
3
,
então o produto entre os determinantes das matrizes
A e B é igual a:
a) –x
-6
b) –x
6
c) x
3
d) –1
e) 1
13.
(MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento
genérico x
ij
de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo
a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y
ij
,
de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a
ij
) e
B = (b
ij
). Sabendo-se que (a
ij
) = (i+j)
2
e que b
ij
= i
2
, então o menor
complementar do elemento y
23
é igual a:
a) 0
b) -8
c) -80
d) 8
e) 80
14.
(ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz
; =
2
1
0
B
4 +
2 + B
é:
a) 2bc + c - a
b) 2b - c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
e) 0
15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de
segunda ordem, A e B, sendo que
A = 2
*/:
∙ ;. Sabendo que o
determinante de A é igual a
2
•*/(
, então o determinante da matriz B é
igual a:
a) 2
1/2
b) 2
c) 2
-1/4
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d) 2
-1/2
e) 1
16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem
possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta
da matriz X, então a matriz
‰ = 3• tem determinante igual a:
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
17.
(AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode
ser representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que
esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira
ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada
por:
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o
determinante da matriz B é igual a:
a) 50
b) -50
c) 0
d) -100
e) 100
18.
(MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes
L =
1 2 3
2 4 6
5 3 7
;
‰ =
2 3
2 B 6
5 3
onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de
zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:
a) 0
b)
c)
+ B +
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d)
+ B
e)
+
19.
(Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz
!1 1
M 1"
e
sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o
valor de
M é igual a:
a)
−1
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 2
20.
(LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e
determinado, o valor de a deverá ser:
ax + 3y = 7
x +2y = 1
(A) a = 3.
(B) a = 3/2.
(C) a
≠ 3/2.
(D) a
≠ 5/2.
(E) a
≠2/5.
21.
(Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações
lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo
menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for
única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas
soluções.
=
+
=
+
4
2
0
3
mb
a
mb
ma
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as
incógnitas, é correto afirmar que
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) se m=0, o sistema é impossível.
c) se m=6, o sistema é indeterminado.
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.
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22.
(TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações
lineares
=
+
=
−
q
px
x
x
x
2
1
2
1
2
2
,
pode-se corretamente afirmar que:
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.
23.
(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema
=
+
=
−
0
2
0
a
x
y
ax
de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.
c) tem solução não trivial para um único valor real de a.
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.
e) é impossível para qualquer valor real de a.
24.
(TFC 2000/ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado
“possível” ou “compatível” quando admite, pelo menos, uma solução, e é
chamado de “determinado” quando a solução for única e de
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema
formado pelas equações,
M − ” = 2 e 2M + ¢” = , pode-se afirmar que se
¢ = −2 e = 4, então o sistema é:
a) impossível e determinado.
b) impossível ou determinado.
c) impossível e indeterminado.
d) possível e determinado.
e) possível e indeterminado.
25.
(AFRFB 2009/ESAF) Com relação ao sistema,
£
M + ” + = 1
2M − ”
3 + 2 =
+ 1
2M + ” = 1
Onde
3 + 2 ≠ 0 e 2M + ” ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
b) é indeterminado.
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c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo
26. (ATA-MF 2012/ESAF) Dadas as matrizes
; = 82 3
1 39
e
A = 82 4
1 39
, calcule o
determinante do produto A.B.
a) 8
b) 12
c) 9
d) 15
e) 6
27. (ATA-MF 2012/ESAF) Dado o sistema de equações lineares
˜
2M + 3” − 4 = 3
M − ” + 5 = 6
M + 2” + 3 = 7
O valor de x + y + z é igual a
a) 8
b) 16
c) 4
d) 12
e) 14
28. (ATRFB 2012/ESAF) Dada a matriz
; = 82 1
0 19
, o determinante de
;
†
é igual
a
a) 20
b) 28
c) 32
d) 30
e) 25
29. (AFRFB 2012/ESAF) As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta
ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é
igual a matriz transposta de B, ou seja: C = B
t
. A matriz D é definida a partir
da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem
como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o
determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das
matrizes B, C e D é igual a
a) 6
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b) 4
c) 12
d) 10
e) 8
30. (AFRFB 2012/ESAF) Considere o sistema de equações lineares dado por:
˜
M + ” + = 0
M − ” +
= 2
M + 2” + = −1
Sabendo-se que o sistema tem solução única para
≠ 0 e ≠ 1, então o valor
de x é igual a
a) 2/r
b) -2/r
c) 1/r
d) -1/r
e) 2r
31. (DNIT 2013/ESAF) A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema
de equações
–M + 2” = 7
2M + ” = 5
é igual a:
a) 6
b) 4
c) 3
d) 2
e) 5
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18.
Gabaritos
01.
D
02.
E
03.
D
04.
C
05.
E
06.
B
07.
A
08.
D
09.
E
10.
D
11.
C
12.
B
13.
C
14.
E
15.
E
16.
E
17.
D
18.
A
19.
A
20.
C
21.
E
22.
A
23.
A
24.
E
25.
C
26.
E
27.
C
28.
C
29.
E
30.
D
31.
B
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