Aula 07 Parte 02

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br

Aula 7 – Parte 2

Probabilidade ................................................................................................................................ 2

Espaço Amostral ........................................................................................................................... 2

Evento ........................................................................................................................................... 3

Probabilidade de Laplace .............................................................................................................. 4

Combinações de eventos ............................................................................................................... 4

Propriedades sobre probabilidades ............................................................................................... 6

Exercícios Resolvidos ................................................................................................................... 8

Probabilidade Condicional .......................................................................................................... 19

Exercícios ................................................................................................................................... 21

Mais questões ESAF .......................................................................................................................... 34

10.

Relação das questões comentadas ........................................................................................... 43

11.

Gabaritos ................................................................................................................................. 51

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Probabilidade

“A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um
certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente
inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao
acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os
casos possíveis é a medida desta probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo
numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os
casos possíveis”.

Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades

A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados
para estudar experimentos aleatórios.

Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições
inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza.

Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral
podemos descrever o conjunto que “abriga” todos os resultados possíveis.

Quando é possível fazer uma “previsão” do resultado de um experimento, ele é chamado
de determinístico.

Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas
vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha
chance de ganhar na Mega Sena?

Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios:

i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.
ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima.

O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um
experimento aleatório.

Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições

essencialmente inalteradas.

Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes

de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

Espaço Amostral

Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o
espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
Denotaremos este conjunto pela letra U.

Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um
deles.

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i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto:

= {1,2,3,4,5,6}

ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima.

= {, }

Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever
todos os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e
calcular o número de elementos que pertencem a ele.

Este conjunto é chamado de Espaço Amostral.

Evento

Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao
lançamento do dado.

Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

= {1,2,3,4,5,6}

Por exemplo, o subconjunto

= {2,3,5}

é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo.

Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral.

B: ocorrência de número menor que 5. = {1,2,3,4}.
C: ocorrência de número menor que 8. = {1,2,3,4,5,6} =

D: ocorrência de número maior que 8. = ∅ (conjunto vazio).

Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o

evento

certo.

Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o

evento

impossível.

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Probabilidade de Laplace

Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos
o caso do evento = {2,3,5} que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis
no lançamento de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente
percebemos que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um
número primo em aproximadamente a metade das vezes.

O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte:

i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente “prováveis”.

ii) O número de elementos do evento (( = 3 é justamente a metade dos elementos do
espaço amostral ((

= 6.

Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte
forma:

( =

(

Como vimos o texto no início da aula, Laplace referia-se aos elementos do evento como
os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de
casos possíveis. Desta forma:

ú! #$$ %&á&$

ú! #$$ ($$í&$

Combinações de eventos

Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar
novos conjuntos (eventos).

União de dois eventos

Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por ∪ e ocorre se e
somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que ∪ ocorre se e
somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem.

Interseção de dois eventos

Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por ∩ e ocorre se e
somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem).

Complementar de um evento

Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por ̅ e ocorre se e
somente se não ocorre A.

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Vejamos alguns exemplos:

Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

= {1,2,3,4,5,6}

Considere os seguintes eventos.

A: ocorrência de um número ímpar. = {1,3,5}.
B: ocorrência de um número par: = {2,4,6}.
C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. = {1,2,3}

Desta forma, temos os seguintes eventos.

∪ : ocorrência de um número ímpar ou número par.

∪ = {1,2,3,4,5,6}

∪ : ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3.

∪ = {1,2,3,5}

∪ : ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3.

∪ = {1,2,3,4,6}

∩ : ocorrência de um número ímpar e par.

∩ = ∅

O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par
e ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

∩ : ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3.

∩ = {1,3}

∩ : ocorrência de um número par e menor ou igual a 3.

∩ = {2}

̅: não ocorrer um número ímpar.

̅ = {2,4,6}

-: não ocorrer um número par.

- = {1,3,5}

̅: não ocorrer um número menor ou igual a 3.

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̅ = {4,5,6}

Propriedades sobre probabilidades

A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual

a 1.

Vamos lembrar:

Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o

evento

certo.

Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o

evento

impossível.

Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado.

Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

= {1,2,3,4,5,6}

Considere os eventos.

A: ocorrência de número menor que 8. = {1,2,3,4,5,6} =
B: ocorrência de número maior que 8. = ∅ (conjunto vazio).

Já sabemos que:

ú! !.$ &.

ú! !.$ $(ç !$.

Desta forma,

( =

(

= 1

( =

(

= 0

Se A é um evento qualquer, então 0 ≤ ( ≤ 1.

Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e
menor ou igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a
probabilidade será igual a 1 se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo
nem o evento impossível, então a probabilidade é um número positivo e menor que 1.

Se A é um evento qualquer, então ( + (̅ = 1.

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É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade
de chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não
chover é de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é
igual a 1.

Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a
soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que:

100% =

100

= 1

Probabilidade do evento união

Se A e B forem dois eventos quaisquer, então

( ∪ = ( + ( − ( ∩

Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos.

O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B.

O evento união é o representado abaixo.

Quando somamos ( + ( as probabilidades dos eventos contidos em ∩ são
computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para

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eliminar esta “dupla contagem”, subtraímos ( ∩ para que nenhum elemento seja
contado mais de uma vez.

Falei anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles
são chamados de mutuamente excludentes.

Neste caso, quando ∩ = ∅, tem-se que ( ∪ = ( + (.

Exercícios Resolvidos

01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e
vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade
de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou
outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta
do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas
por João na urna é igual a(o)
A) quantidade de bolas brancas.
B) dobro da quantidade de bolas brancas.
C) quantidade de bolas vermelhas.
D) triplo da quantidade de bolas brancas.
E) dobro da quantidade de bolas vermelhas.

Resolução

João verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas
vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas.

Vamos considerar que a urna contém 5 bolas brancas. A quantidade de bolas pretas é o
dobro da quantidade de bolas brancas. Desta forma, tem-se 25 bolas pretas. Sabemos
ainda que a quantidade de bolas pretas é a metade da quantidade de bolas vermelhas.
Concluímos que são 45 bolas vermelhas.

Resumindo:

5 bolas brancas.
25 bolas pretas.
45 bolas vermelhas.

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João colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que João acrescentou ( bolas
pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficará assim:

5 bolas brancas.
25 + ( bolas pretas.
45 bolas vermelhas.

Total de bolas: 5 + 25 + ( + 45 = 75 + (

A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se
igual a 0,5.

= 0,5

Sabemos que probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de
casos possíveis.

ú! #$$ %&á&$

ú! #$$ ($$í&$

Há um total de 25 + ( bolas pretas (número de casos favoráveis) e um total de 75 + (
bolas na urna (número de casos possíveis.

25 + (

75 + (

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

2 ∙ (25 + ( = 1 ∙ (75 + (

45 + 2( = 75 + (

2( − ( = 75 − 45

( = 35

O número de bolas pretas acrescentadas por João é igual a 35. Como o número de bolas
brancas é igual a 5, então o número de bolas pretas acrescentadas por João é o triplo do
número de bolas brancas.

Letra D

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(PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas
fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho
de 2003.

De acordo com a tabela, ocorreram 225 + 81 = 306 acidentes no estado do Maranhão. A
probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente
ocorrido no estado do Maranhão é:

ú! #$$ %&á&$

ú! #$$ ($$í&$

306

1.405

= 0,21 …

Portanto, a probabilidade pedida é superior a 0,2 e o item está

certo.

03. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é
superior a 23%.

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Resolução

Há um total de 1.405 relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a
probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino.

De acordo com a tabela fornecida, há um total de 81 + 42 + 142 + 42 = 307 acidentes
ocorridos com mulheres. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima
do sexo feminino é:

ú! #$$ %&á&$

ú! #$$ ($$í&$

307

1.405

= 0,218 … ≅ 22%

A probabilidade pedida é inferior a 23% e o item está

errado.

04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo
masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no
estado do Paraná é superior a 0,5.

Resolução

Neste caso, o número de casos possíveis não é 1.405. O enunciado nos manda
considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino.
Devemos, portanto, desconsiderar os acidentes com pessoas do sexo feminino.

O nosso espaço amostral (casos possíveis) está representado na tabela abaixo.

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Desta forma, o número de casos possíveis será igual a 225 + 153 + 532 + 188 = 1.098.

Queremos calcular a probabilidade de que o acidente mencionado no relatório tenha
ocorrido no estado do Paraná. Lembre-se que devemos olhar apenas para os acidentes
ocorridos com vítimas do sexo masculino!!

O número de casos desejados (favoráveis) é, portanto, igual a 532.

A probabilidade pedida é igual a:

532

1.098

= 0,48 …

Que é inferior a 0,5. Portanto, o item está

errado.

05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um
acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo
masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a
0,27.

Resolução

O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima
de um acidente que não ocorreu no Paraná. Desta forma, o nosso espaço amostral
será reduzido.

Eis o nosso espaço amostral:

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O total de elementos do nosso espaço amostral (casos possíveis) é igual a =. >?@ −
@AB − =>B = CA=.
Estamos interessados em calcular a probabilidade de o acidente ser com uma vítima do
sexo masculino no estado do Maranhão. Eis o nosso evento (em verde).

A probabilidade pedida é igual a:

225

731

= 0,3 …

A probabilidade calcular é superior a 0,27 e o item está

certo.

06. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo
feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil
listados na tabela é inferior a 70%.

Resolução

Voltamos a considerar o nosso espaço amostral com 1.405 relatórios.

Queremos calcular a probabilidade de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima
do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil
listados na tabela.

Vamos selecionar as vítimas do sexo feminino.

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Vamos agora selecionar as vítimas da região Sul.

Queremos calcular a probabilidade do evento união (ou). Há um total de 532 + 188 + 42 +
142 + 42 + 81 = 1.027 casos desejados.

A probabilidade pedida é igual a:

1.027

1.405

Poderíamos ter utilizado a fórmula da probabilidade do evento união.

(DE ∪ %! = (DE + (%! − (DE ∩ %!

Onde:

(DE =

532 + 188 + 142 + 42

1.405

904

1.405

(%! =

307

1.405

($. ( % $& FE$.ã 3.

(DE ∩ %! =

142 + 42

1.405

184

1.405

Desta forma:

(DE ∪ %! =

904

1.405

307

1.405

−

184

1.405

1.027

1.405

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A fórmula não foi útil na questão, por haver cálculos em demasia.

Bom, a probabilidade é pedida é:

1.027

1.405

= 0,73 … ≅ 73%

Portanto, o item está

errado.

07. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é
fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são
mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser
mulher?

a) 44%

b) 52%

c) 50%

d) 48%

e) 56%

Resolução

Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos.

Fumantes

Não-fumantes

Total

Homem

Mulher

Total

100

O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes.

40% 100 =

100

× 100 = 40

Logo, temos 40 fumantes.

Fumantes

Não-fumantes

Total

Homem

Mulher

Total

100

40% dos fumantes são mulheres.

40% 40 =

100

× 40 = 16

São 16 mulheres fumantes.

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Fumantes

Não-fumantes

Total

Homem

Mulher

Total

100

Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes.

Fumantes

Não-fumantes

Total

Homem

Mulher

Total

100

O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres.

60% 60 =

100

× 60 = 36 !Eℎ$ ã − %E!.$

Fumantes

Não-fumantes

Total

Homem

Mulher

Total

100

Ao todo, temos 52 mulheres.

Fumantes

Não-

fumantes

Total

Homem

Mulher

Total

100

Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, então o número de casos
possíveis é igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser
uma mulher. Como há 52 mulheres, então o número de casos desejados é igual a 52.

ú! #$$ %&á&$

ú! #$$ ($$í&$

100

= 52%

Letra B

(SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de 10.000
eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de
opinião revela que 1.500 eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A
pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos — isto é, que, apesar de não
terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos —, que votariam apenas no
candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente
proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao
acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele

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08. votar em algum dos candidatos é superior a 80%

09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%.

10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a
70%.

Resolução

Vamos analisar o enunciado e, em seguida, avaliar cada um dos itens.

Há um total de 10.000 eleitores. Como 1.500 eleitores não votariam nos candidatos A e B,
então os dois candidatos juntos computarão um total de 10

.000 − 1.500 = 8.500 votos.

A quantidade de candidatos indecisos, dos que votarão em A e dos que votarão em B são
diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Se a constante de proporcionalidade for igual a

J, então:

2J pessoas estão indecisas.

3J pessoas votarão em A.

5J pessoas votarão em B.

Somando estas quantidades temos 8.500 pessoas.

2J + 3J + 5J = 8.500

10J = 8.500

J = 850

Desta forma:

2J = 2 ∙ 850 = 1.700 pessoas estão indecisas.

3J = 3 ∙ 850 = 2.550 pessoas votarão em A.

5J = 5 ∙ 850 = 4.250 pessoas votarão em B.

É correto afirmar que a probabilidade dele

08. votar em algum dos candidatos é superior a 80%

Sabemos que 8.500 pessoas votarão nos candidatos A e B. Temos 8.500 casos
favoráveis e 10.000 casos possíveis. A probabilidade pedida é igual a

8.500

10.000 = 0,85 = 85%

O item está

certo.

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09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%.

Sabemos que 1.700 pessoas estão indecisas. Como há um total de 10.000 eleitores, a
probabilidade pedida é igual a:

1.700

10.000 = 0,17 = 17%

O item está

errado.

10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a
70%.

Sabemos que 2.550 pessoas votarão em A e 4.250 pessoas votarão em B. O total de
decididos é igual a

2.550 + 4.250 = 6.800. A probabilidade pedida é igual a

6.800

10.000 = 0,68 = 68%

O item está

certo.

11. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão,
Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando
100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar
uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde
selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e
Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence à comissão formada, então a
probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:

a) 30 %
b) 80 %
c) 62 %
d) 25 %
e) 75 %

Resolução

Vamos listar todas as comissões, excluindo Denílson:

- Arnor, Bruce, Carlão

- Arnor, Bruce, Eleonora

- Arnor, Carlão, Eleonora

- Bruce, Carlão, Eleonora

São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão.

São 3 casos favoráveis em 4 possíveis.

Logo:

Letra E

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Probabilidade Condicional

Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há
400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um
carro entre os espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na platéia, então a
probabilidade de um homem ser sorteado é igual a

400

.000 = 0,4 = 40%

e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a

600

1.000 = 0,6 = 60%

Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro
seria de

1.000 = 0,001 = 0,1%

Estas são as probabilidades

a priori

, quer dizer, antes que o experimento se realize.

Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo
de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma
frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer
agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade

a posteriori

, isto é, depois de realizado o

experimento.

Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!!

Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam
400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de:

400 = 0,0025 = 0,25%

A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi
“reduzido”. Isto já foi trabalhado um pouco nas questões 05 e 06.

Vejamos outro exemplo.

Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o
espaço

amostral

= {1,2,3,4,5,6}

eventos

= {2,4,6}

= {1,2,5}.

Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a:

6 =

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Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize.

Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado
do mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a
ocorrência do evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá
ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o número 2.

Esta opinião é quantificada com a introdução de uma “probabilidade a posteriori” ou, como
vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por.

| =

∩

Vamos ilustrar esta situação com um diagrama.

Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa
de ser U e passa a ser A.

#$$ ($$í&$ =

Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha.

O número de casos possíveis agora é igual a 3.

# $ FE #E =

#$$ $L$

#$$ ($$í&$

# $ FE #E =

#$$ $L$

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Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos
elementos comuns de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da
interseção entre A e B.

# $ FE #E =

∩

Finalmente, a expressão “probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu” é expressa
assim:

Chegamos à fórmula:

| =

∩

A noção geral é a seguinte:

| =

∩

Que pode ser expressa da seguinte forma:

∩ = ∙ |

Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim:

A probabilidade de ocorrerem os eventos A

B é igual a probabilidade de A vezes a

probabilidade de B depois que A ocorreu.

Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os
eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se

∩ = ∙

Vamos resolver alguns exercícios para por a teoria em prática.

Exercícios

12. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no
lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um
número ímpar, é igual a 2/3.

Resolução

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CUIDADO!!! O problema nos informou que o resultado é um número ímpar. Devemos
descartar os números pares.

Casos possíveis: 1,

, 3,

, 5,

Nosso novo espaço amostral (casos possíveis) é {1, 3, 5}.

Queremos calcular a probabilidade de se obter um número menor que 5. Há 2 casos
desejados.

Portanto, a probabilidade pedida é igual a

O item está

certo.

(Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV

Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se
as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o
seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa.

Desempenho

Tipo de deficiência

Total

Surdez Cegueira Outras

Sem

deficiência

Bom

123

200

Regular

157

200

Total

280

400

Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens.

13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado
como tendo bom desempenho será igual a 0,50.

14. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como
tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20.

15. Considere A o evento “o empregado é surdo” e B o evento “o empregado tem
desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a
probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A ∩
B), será igual a P(A) × P(B) = 0,05.

16. Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem
desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade

condicional será

)

(

)

(

)

(

∩

17. Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o
empregado tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois

)

(

∩ D

Resolução

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13. O objetivo é calcular a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter bom
desempenho.

Há um total de 400 funcionários com a mesma probabilidade de serem escolhidos.

Como estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho,
então são 200 casos favoráveis.

#$$ %&á&$

#$$ ($$í&$ =

200

400 = 0,5

O item está

certo.

14.

Estamos considerando apenas os empregados com bom desempenho (este é o nosso
espaço amostral). Dessa forma, o número de casos possíveis é igual a 200.

Destes 200 empregados com bom desempenho, 40 são cegos. Assim sendo, o número
de casos favoráveis é igual a 40.

#$$ %&á&$

#$$ ($$í&$ =

200 = 0,2

O item está

certo.

15.

O objetivo é calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. O empregado
simultaneamente deve ser surdo e ter desempenho regular. De acordo com a tabela, há 5
funcionários surdos e com desempenho regular.

#$$ %&á&$

#$$ ($$í&$ =

400 = 0,0125

O item está

errado

16.

Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu.
Trata-se de cálculo de probabilidade condicional.

Vejamos:

| é lido como “probabilidade de ocorrer B sabendo que C ocorreu. Se C

ocorreu, então o nosso espaço amostral é C e não B. O denominador deveria ser

. A

fórmula dada no enunciado está errada!! O correto seria:

| =

∩

Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente.

Cegos com desempenho regular são apenas 20.

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Portanto:

∩ =

400 = 0,05

A probabilidade de um cego ser escolhido é:

400 = 0,15

Portanto, a probabilidade de ser escolhido um empregado com desempenho regular, dado
que foi escolhido um cego, é de:

| =

∩

0,05

0,15 =

15 =

Item

errado

17.

Não há funcionário que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um
desempenho regular. Portanto:

)

(

∩ D

A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular
é:

400

200

)

(

A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom é:

400

200

)

(

Concluímos que:

)

(

)

(

)

(

⋅

≠

∩

Portanto, os dois eventos não são independentes. Item

errado.

Note que o CESPE tentou confundir EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES com
EVENTOS INDEPENDENTES.

Eventos mutuamente excludentes são aqueles cuja interseção é o conjunto vazio.

Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os
eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se

∩ = ∙

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18. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se:

)

(

)

(

)

(

∩

)

(

)

(

)

(

∩

)

(

)

(

)

(

−

∩

)

(

)

(

)

(

∩

)

(

)

(

)

(

∩

Resolução

Aplicação direta da fórmula vista.

Letra E

19. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente
se:

a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula

b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

Resolução

Aplicação direta dos conceitos vistos acima.

Letra D

20. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X

e X

. Se um

indivíduo tem

esse vírus, a probabilidade de ser na forma X

é 3/5. Se o indivíduo tem o

vírus na forma X

, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo

tem o vírus na forma X

, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a

probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é

a) 11/15
b) 2/3
c) 3/5
d) 7/15
e) 1/3

Resolução

Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade de ser na forma X

é 3/5.

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Como o vírus só aparece nas formas X

e X

, então a probabilidade de aparecer na forma

é:

Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1.

Se o indivíduo tem o vírus na forma X

, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3;

mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X

, a probabilidade dele sobreviver é 5/6.

Queremos calcular a probabilidade de um portador do vírus X sobreviver.

Há dois casos a considerar. Os portadores na forma X

e os portadores na forma X

5 ∙

3 +

5 ∙

6 =

15 +

30 =

12 + 10

30 =

Letra A

21. (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos públicos
de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de
determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a
probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a
probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue
os itens subseqüentes.

1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José
ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos
escolhidos é menor que 1/4 .

Resolução.

Probabilidade de ser portador do
vírus na forma X

$&&, E M

$&& =

5 ∙

3 +

5 ∙

Probabilidade de sobreviver com
o vírus na forma X

Probabilidade de ser portador do
vírus na forma X

Probabilidade de sobreviver com
o vírus na forma X

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Temos os seguintes dados:

N$é =

$ =

N$é P$ =

E queremos calcular:

)

(

∩ Carlos

Jose

Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos:

)

(

)

(

)

(

Carlos

Jose

Carlos

Jose

⋅

∩

)

(

∩ Carlos

Jose

O item está

certo.

22. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas
probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A

∪

B)?

(A) 0,5

(B) 0,6

(D) 0,8

(E) 0,9

Resolução.

Vimos anteriormente que quando dois eventos são independentes:

∩ = ∙ = 0,5 ∙ 0,4 = 0,2

Aplicando a fórmula da união...

∪ = + − ∩

∪ = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7

Letra C

23. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar
Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade
de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de
Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:

a) 0,04

b) 0,40

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c) 0,50

d) 0,45

e) 0,95

Resolução

Seja R o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao
futebol, ele encontra Ricardo. Seja F o evento que ocorre quando Paulo encontra
Fernando.

Temos:

)

(

)

(

)

(

∩ F

Queremos calcular a probabilidade da união:

Q ∪ R

Basta aplicar a fórmula diretamente:

∪ = + − ∩

∪ = 0,4 + 0,1 − 0,05 = 0,45

Letra D

24. (Ministério da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a
probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer
outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais
próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?

a) 20%

b) 27%

c) 25%

d) 23%

e) 50%

Resolução.

A probabilidade de sair 6 é 20%

6 = 20% = 0,2

Sobram 80%. Para calcular a probabilidade de sair cada um dos números restantes,
devemos dividir os 80% por 5.

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Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lançamento, sair par.

( = 2 E 4 E 6

Os eventos “sair 2”, “sair 4” e “sair 6” são mutuamente excludentes. A probabilidade da
união é a soma das probabilidades.

( = 2 + 4 + 6 = 0,16 + 0,16 + 0,2 = 0,52

Queremos que dois números pares ocorram em dois lançamentos.

Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lançamento, o resultado é par.

Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lançamento, o resultado é par.

Para que tenhamos dois números pares, A e B devem ocorrer.

)

(

∩ B

Ora, o resultado do primeiro lançamento não interfere no resultado do segundo
lançamento, portanto os eventos são independentes.

Como os dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das
probabilidades.

∩ = ∙ = 0,52 ∙ 0,52 = 0,2704 = 27,04%

Letra B

1ª TE 2ª TE = TE × TE =

8 ×

8 =

64 =

O item está

errado.

26. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O
número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas
amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas
vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao
acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas
serem pretas?
a) 100/729.
b) 100/243.
c) 10/27.
d) 115/243.

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e) 25/81.

Resolução

Suponha que temos apenas

uma bola vermelha

O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logo temos

bolas amarelas

O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo temos

10 bolas

azuis

O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos 20 bolas
pretas.

Total de bolas:

+ 20 = 36 bolas.

20 bolas pretas e 16 não-pretas.

Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de
exatamente duas bolas serem pretas?
Temos as seguintes possibilidades:

- não preta, preta, preta.

- preta, não preta, preta

- preta, preta, não preta

Seja X uma bola de cor não-preta.

XPP, PXP, PPX = 3 ∙

36 ∙

36 =

100

243

Letra B

27. (Administrador DNOCS 2010/FCC)

Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um

determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de
ocorrência de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma
unidade do eletrodoméstico é igual a
(A) 87,5%.
(B) 80,0%.
(C) 75,0%.
(D) 60,0%.
(E) 50,0%.

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Resolução

O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma:

+ + 3 + 2 + = 1

8 = 1

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma
unidade do eletrodoméstico é igual a

3 + 2 + = 6 = 6 ∙

8 =

4 = 0,75 = 75%

Letra C

Resolução

Vamos resumir os dados do problema.

Mãe 4 blusas pretas e 5 brancas.
Pai 4 blusas pretas e 2 blusas brancas.
Namorado 2 blusas brancas e 3 blusas pretas.

Na gaveta de Ana há, portanto, 20 blusas.

Como queremos calcular a probabilidade

de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas

pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai, então
o número de casos desejados é igual a 6.

20 =

Letra D

29. (Técnico – MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de
prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e
três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua
pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com

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João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então,
que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de
que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é
igual a
a) 1/3
b) 1/5.
c) 9/20.
d) 4/5.
e) 3/5.

Resolução

Pulseiras de João 4 de prata e 5 de ouro.
Pulseiras de Pedro 8 de prata e 3 de ouro.

Maria retirou uma pulseira de prata. Ela tem 12 pulseiras de prata (casos possíveis).
Queremos saber a probabilidade de essa pulseira ser uma das que ganhou de João. Ela
ganhou 4 pulseiras de prata de João (casos desejados) Assim, a probabilidade pedida é

12 =

Letra A

30. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos
independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a) 2/25
b) 8/25
c) 2/5
d) 3/25
e) 4/5
Resolução

Se os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades.

Lembre-se que

+ ̅ = 1, onde ̅ é o evento complementar do evento .

Por exemplo, se a probabilidade de chover é 40% = 0,4, então a probabilidade de não
chover é 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1.
Calcular a probabilidade de somente o cão estar vivo é o mesmo que calcular a
probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto (coitado!).
Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos é igual a 3/5, então a probabilidade
de ele não estar vivo é igual a 2/5.
Assim,

ã $. && W. $. !. =

5 ∙

5 =

25.

Letra B

31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas,
todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade
de que sejam da mesma cor é de:

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a) 20%
b) 30%
c) 40%
d) 50%
e) 60%

Resolução

São 5 bolas das quais 2 são brancas e 3 são pretas.
Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem
brancas ou as duas serem pretas.

A probabilidade de a primeira bola ser branca é igual a 2/5 (pois são 2 bolas brancas num
total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca é igual a 1/4 (pois agora há
apenas uma branca e 4 bolas no total).
A probabilidade de a primeira bola ser preta é igual a 3/5 (pois são 3 bolas pretas num
total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta é igual a 2/4 (pois agora há 2
bolas pretas e 4 bolas no total).

E =

5 ∙

4 +

5 ∙

4 =

20 +

20 =

20 = 0,4 = 40%

Letra C

32. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo
que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem
probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se obterem duas coroas ao se
jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2.

Resolução

Vejamos a moeda A. Se a probabilidade de dar cara é 0,7, então a probabilidade de dar
coroa deve ser 0,3, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1.

O resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra moeda, portanto os
eventos são independentes. A probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as
moedas A e B simultaneamente é igual a:

= 0,3 × 0,5 = 0,15

O item está

errado.

(FUB 2009/CESPE-UnB) A probabilidade de um edifício desmoronar é de 0,5 nos primeiros três
anos após a sua construção, caso o planejamento do arquiteto tenha sido incorreto. No caso de
planejamento correto, a probabilidade é de 0,1. Considerando que, na construção de um edifício,
a probabilidade de o arquiteto errar seja igual a 0,1, julgue o item a seguir.

33. A probabilidade do edifício em questão desmoronar nos primeiros três anos
após a sua construção é de 0,05.

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Resolução

A probabilidade de o arquiteto errar o planejamento é de 0,1. Portanto, a probabilidade de
o arquiteto acertar o planejamento é de 0,9 (a soma das probabilidades complementares
deve ser igual a 1).

Se o arquiteto erra o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é de 0,5. A
chance de isto acontecer é igual a:

FE.. (é $! = 0,1 ∙ 0,5 = 0,05

Se o arquiteto acerta o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é igual a
0,1. A chance de isto acontecer é igual a:

FE.. #. (é $! = 0,9 ∙ 0,1 = 0,09

Portanto, a probabilidade de um prédio desmoronar nos seus três primeiros anos é igual
a:

0,05 + 0,09 = 0,14

O item está

errado.

Mais questões ESAF

Vamos agora resolver algumas questões interessantes que apareceram em provas
anteriores da ESAF.

34. (MPU 2004/ESAF) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo
restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá
trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das
vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes
e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao
experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa
tenha sido feita por José é igual a

a) 0,15.

b) 0,25.

c) 0,30.

d) 0,20.

e) 0,40.

Resolução

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No início deste tópico, comentamos que a probabilidade pode ser calculada como a
relação entre casos possíveis e favoráveis. Mas isto só vale quando todos os casos têm a
mesma chance de ocorrer (dizemos que são eventos equiprováveis), o que nem sempre
ocorre.

Vamos usar este exercício para visualizar a questão.

São três cozinheiros que fazem a sopa. Se a chance de cada um deles fazer a sopa fosse
igual, teríamos:

Casos possíveis: José faz a sopa, João faz a sopa, Maria faz a sopa.

Casos favoráveis: José faz a sopa.

A probabilidade de José fazer a sopa seria de

Mas a chance de cada um deles ter feito a sopa, num dado dia, não é igual. Maria faz
sopa menos vezes que João e José.

Neste tipo de questão, em que os casos não têm a mesma chance de acontecer, não
temos que nos preocupar muito. Isto porque o enunciado tem que dizer quais são as
chances de cada evento. Ora, se eles não são equiprováveis (ou seja, não têm a mesma
chance de acontecer), o enunciado tem que falar qual a probabilidade de cada um (ou
então dar todas as informações para que possamos calcular tais probabilidades). Se o
enunciado não desse nenhuma informação, nós teríamos que simplesmente adivinhar a
probabilidade de cada evento, algo absurdo.

Voltando à questão, podemos pensar que, a cada 100 dias em que o Carlos freqüente o
restaurante, temos que: em 40 dias a sopa é feita por João, em 40 dias a sopa é feita por
José, em 20 dias a sopa é feita por Maria.

Para tornar o exemplo mais claro, vamos supor que o Carlos tenha freqüentado o tal
restaurante do dia 01/01/07 até o dia 10/04/07, totalizando os 100 dias. Daí, pegamos o
calendário e escolhemos um desses 100 dias aleatoriamente. A pergunta é: qual a
chance de, no dia escolhido, a sopa ter sido feita por José, sabendo que estava salgada?

Nestes 100 dias, vamos ver como cada cozinheiro se comporta.

João fez a sopa 40 vezes. Em 10% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa.

José fez a sopa 40 vezes. Em 5% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa.

Maria fez a sopa 20 vezes. Em 20% dessas 20 vezes, ela salgou demais a sopa.

Resumindo:

Em 36 dias o João fez uma sopa normal.

Em 4 dias o João fez uma sopa salgada.

Em 38 dias o José fez uma sopa normal

Em 2 dias o José fez uma sopa salgada.

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Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal

Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada.

Com este artifício, contornamos o problema citado no começo da resolução. Quando
listamos o que acontece em cada um dos cem dias, conseguimos levar em conta o fato
de Maria fazer sopa menos vezes que João e José.

Dentre os cem dias, selecionamos um ao acaso. Agora sim. Estamos focando nos dias,
não nos cozinheiros. Todos os cem dias são equiprováveis. Todos têm a mesma chance
de serem escolhidos.

Esta é a chamada abordagem frequentista da probabilidade. Consideramos que a
probabilidade corresponde à freqüência relativa que seria obtida num número grande de
experimentos.

Caso fosse possível analisar um número muito grande de dias, seria razoável esperar que
João faria a sopa em 40% das vezes, José em 40% das vezes e Maria em 20% das
vezes. Estas freqüências relativas seriam iguais às respectivas probabilidades.

Continuemos com a resolução do problema.

Se não soubéssemos que a sopa está salgada, teríamos:

Casos possíveis: 100 dias, assim discriminados:

36 dias o João fez uma sopa normal.

4 dias o João fez uma sopa salgada.

38 dias o José fez uma sopa normal

Em 2 dias o José fez uma sopa salgada.

Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal

Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada.

Estamos interessados nos dias em que José faz a sopa. Estes dias são nossos casos
favoráveis.

Casos favoráveis: 40, assim discriminados:

38 dias em que o José fez uma sopa normal

2 dias em que o José fez uma sopa salgada.

Contudo, temos a informação de que a sopa está salgada (condição!). Temos que rever
nossa lista de casos possíveis e favoráveis.

Casos possíveis: 10, assim discriminados:

36 dias o João fez uma sopa normal.

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4 dias o João fez uma sopa salgada.

38 dias o José fez uma sopa normal

Em 2 dias o José fez uma sopa salgada.

Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal

Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada.

Casos favoráveis: 2, assim discriminados:

38 dias em que o José fez uma sopa normal

2 dias em que o José fez uma sopa salgada

A probabilidade fica:

ú! #$$ %&á&$

ú! #$$ ($$í&$ =

10 = 0,2

Gabarito: D

Poderíamos resolver todos os exercícios desta aula usando a abordagem frequentista da
probabilidade. Para tanto, basta imaginar que o experimento seja realizado muitas vezes.
A freqüência relativa dos casos favoráveis seria a probabilidade.

Mas, às vezes, dá trabalho ficar listando todos os casos possíveis e favoráveis. Por isso é
importante aprendermos algumas fórmulas, como a da probabilidade condicional, a da
probabilidade da intersecção de dois eventos, da probabilidade da união, probabilidade do
evento complementar, entre outras.

35. (MPOG 2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com
uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que
estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade,
um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a
verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos
escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da
direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os
dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita?

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

e) 1/4.

Resolução.

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O exercício não é propriamente de probabilidade condicional. Mas vamos usá-lo para
praticar mais um pouco a abordagem frequentista da probabilidade.

Imaginemos que vários viajantes passem regularmente por esta bifurcação, e que eles
nunca saibam qual o caminho correto.

Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se
comportam os meninos.

Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino
que pode tanto dizer a verdade quanto mentir.

As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Todas estas combinações são equiprováveis.

Nestes 60 dias, temos:

- AB ocorreu 10 vezes

- AC ocorreu 10 vezes

- BA ocorreu 10 vezes

- BC ocorreu 10 vezes

- CA ocorreu 10 vezes

- CB ocorreu 10 vezes

Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das vezes em que ele
foi escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50%
das vezes, ele disse o contrário do que o outro menino escolhido.

Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi escolhido:
- AB ocorreu 10 vezes

em todas as 10 vezes A e B dão
respostas contrárias.

- AC ocorreu 10 vezes

- em 5 vezes eles dão respostas iguais
- em 5 vezes eles dão respostas
contrárias

- BA ocorreu 10 vezes

em todas as 10 vezes A e B dão
respostas contrárias.

- BC ocorreu 10 vezes

- em 5 vezes eles dão respostas iguais
- em 5 vezes eles dão respostas
contrárias

- CA ocorreu 10 vezes

- em 5 vezes eles dão respostas iguais
- em 5 vezes eles dão respostas
contrárias

- CB ocorreu 10 vezes

- em 5 vezes eles dão respostas iguais
- em 5 vezes eles dão respostas
contrárias

Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas
respostas iguais é de:

60 =

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Gabarito: D

36. (MPU 2004/ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com
as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar
hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a
probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então,
recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação
recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade
de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a

a) 2/3

b) 1/7

c) 1/3

d) 5/7

e) 4/7

Resolução

Primeiro vamos resolver sem a fórmula.

Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula.

Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta.

Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta.

Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo
estudando para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é
hoje.

Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7.
Idem para qualquer outro dia da semana.

E mais.

A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e
quarta).

A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e
quinta).

A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta)

Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris.

Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta.

Ou seja, agora temos três casos possíveis:

Segunda, terça, quarta.

E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem um
caso favorável: quarta feira.

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Caso favorável:

Quarta.

Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é:

Gabarito: C

Agora vamos usar a fórmula.

Seja “A” o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é
um dia em que Ana está em Paris.

Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris.

O exercício disse que:

)

(

)

(

)

(

∩ B

E foi pedido:

)

(

Usando a fórmula:

)

(

)

(

)

(

∩

37. (ANA 2009/ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer
determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta
população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa
examinada possuir esta variação genética?

a) 0,98%

b) 1%

c) 2,94%

d) 1,30%

e) 3,96%

Resolução

Quais são as maneiras de exatamente 1 pessoa ter a variação genética? Podemos ter o
seguinte:

a primeira pessoa escolhida tem a variação; as outras duas não

a primeira pessoa não tem a variação; a segunda tem; a terceira não

a primeira e a segunda pessoas não têm a variação; a terceira tem

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Vamos focar no primeiro caso.

Seja E1 o evento que ocorre quando, escolhida a primeira pessoa, ela tem a variação.
Seja E2 o evento que ocorre quando, escolhida a segunda pessoa, ela NÃO tem a
variação. Seja E3 o evento que ocorre quando, escolhida a terceira pessoa, ela NÃO tem
a variação.

O exercício quer que estes três eventos ocorram simultaneamente. Ou seja, queremos
calcular a probabilidade da intersecção dos três eventos.

)

(

∩

Esses três eventos são independentes. Neste caso, a probabilidade da intersecção é igual
ao produto das probabilidades.

)

(

)

(

)

(

)

(

∩

Substituindo as informações do enunciado:

9801

)

(

∩

Esta é a probabilidade de ocorrer o primeiro caso (a primeira pessoa escolhida tem a
variação; as outras duas não).

Para os demais casos, o cálculo é idêntico.

A probabilidade total fica:

9403

9801

Gabarito: C

38. (ATRFB 2009/ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado
banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não
necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as letras usadas são
as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são então
distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de
cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada
vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor
mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco
teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha?

a) 0,001.

b) 0,0001.

c) 0,000125.

d) 0,005.

e) 0,008.

Resolução

Seja “A” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente três teclas em
seqüência, o cliente acerta a senha.

Seja “E1” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente uma tecla, o cliente
acerta a primeira letra da senha.

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Sejam “E2” e “E3” eventos análogos, correspondentes aos acertos da segunda e da
terceira letras da senha.

Para que “A” ocorra, devemos ter, simultaneamente, “E1”, “E2” e “E3” ocorrendo. Ou seja:

∩

Portanto:

)

(

)

(

∩

Os três eventos são independentes. A probabilidade da intersecção é o produto das
probabilidades.

)

(

)

(

)

(

)

(

Vamos calcular a probabilidade de “E1”.

Na primeira vez em que as teclas são mostradas na tela, são cinco teclas possíveis e
apenas uma é correta. Logo:

)

(

Analogamente:

)

(

)

(

Do que resulta:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

= 0,008

Gabarito: E

Ficamos por aqui. Espero você na próxima aula.

Forte abraço,

Guilherme Neves

guilherme@pontodosconcursos.com.br

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10.

Relação das questões comentadas

01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e
vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade
de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou
outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta
do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas
por João na urna é igual a(o)
A) quantidade de bolas brancas.
B) dobro da quantidade de bolas brancas.
C) quantidade de bolas vermelhas.
D) triplo da quantidade de bolas brancas.
E) dobro da quantidade de bolas vermelhas.

(PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas
fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho
de 2003.

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma
das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as
condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que
se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima.

02. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente
ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2.

03. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é
superior a 23%.

04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo
masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no
estado do Paraná é superior a 0,5.

05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um
acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo
masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a
0,27.

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06. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo
feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil
listados na tabela é inferior a 70%.

a) 44%

b) 52%

c) 50%

d) 48%

e) 56%

a) 30 %

b) 80 %

c) 62 %

d) 25 %

e) 75 %

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12. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no
lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um
número ímpar, é igual a 2/3.

(Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV

Desempenho

Tipo de deficiência

Total

Surdez Cegueira Outras

Sem

deficiência

Bom

123

200

Regular

157

200

Total

280

400

Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens.

13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado
como tendo bom desempenho será igual a 0,50.

14. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como
tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20.

16. Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem
desempenho regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade

condicional será

)

(

)

(

)

(

∩

17. Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o
empregado tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois

)

(

∩ D

18. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se:

)

(

)

(

)

(

∩

)

(

)

(

)

(

∩

)

(

)

(

)

(

−

∩

)

(

)

(

)

(

∩

)

(

)

(

)

(

∩

19. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente
se:

a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula

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b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

20. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X

e X

. Se um

indivíduo tem

esse vírus, a probabilidade de ser na forma X

é 3/5. Se o indivíduo tem o

vírus na forma X

, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo

tem o vírus na forma X

, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a

probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é

a) 11/15
b) 2/3
c) 3/5
d) 7/15
e) 1/3

Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José
ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos
escolhidos é menor que 1/4 .

22. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas
probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A

∪

B)?

(A) 0,5

(B) 0,6

(D) 0,8

(E) 0,9

a) 0,04

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b) 0,40

c) 0,50

d) 0,45

e) 0,95

a) 20%

b) 27%

c) 25%

d) 23%

e) 50%

25. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6
bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõe-se a bola na urna.
Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anota-se sua cor. Nessas condições,
a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4.

26. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O
número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas
amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas
vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao
acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas
serem pretas?
a) 100/729.
b) 100/243.
c) 10/27.
d) 115/243.
e) 25/81.

27. (Administrador DNOCS 2010/FCC)

Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um

determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de
ocorrência de venda:

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A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma
unidade do eletrodoméstico é igual a
(A) 87,5%.
(B) 80,0%.
(C) 75,0%.
(D) 60,0%.
(E) 50,0%.

28. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas
brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas
pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas
pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e
três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta.
Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa
dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que
ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a:
a) 4/5
b) 7/10
c) 3/5
d) 3/10
e) 2/3

29. (Técnico – MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de
prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e
três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua
pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com
João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então,
que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de
que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é
igual a
a) 1/3
b) 1/5.
c) 9/20.
d) 4/5.
e) 3/5.

30. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos
independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a) 2/25
b) 8/25
c) 2/5
d) 3/25
e) 4/5

31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas,
todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade
de que sejam da mesma cor é de:

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a) 20%
b) 30%
c) 40%
d) 50%
e) 60%

a) 0,15.

b) 0,25.

c) 0,30.

d) 0,20.

e) 0,40.

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

e) 1/4.

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a) 2/3

b) 1/7

c) 1/3

d) 5/7

e) 4/7

a) 0,98%

b) 1%

c) 2,94%

d) 1,30%

e) 3,96%

a) 0,001.

b) 0,0001.

c) 0,000125.

d) 0,005.

e) 0,008.

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11.

Gabaritos

01. D
02. CERTO
03. ERRADO
04. ERRADO
05. CERTO
06. ERRADO
07. B
08. CERTO
09. ERRADO
10. CERTO
11. E
12. CERTO
13. CERTO
14. CERTO
15. ERRADO
16. ERRADO
17. ERRADO
18. E
19. D
20. A
21. CERTO
22. C
23. D
24. B
25. ERRADO
26. B
27. C
28. D
29. A
30. B
31. C
32. ERRADO
33. ERRADO
34. D
35. D
36. C
37. C
38. E

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