Aula 08 Parte 02

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Aula 8 – Parte 2

Unidade de medida de ângulos ................................................................................................................. 2

Radiano .................................................................................................................................................. 2

Trigonometria no triângulo retângulo ....................................................................................................... 5

Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo .......................................................................... 6

II.

Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo ................................................................................ 7

III.

Razões trigonométricas dos ângulos notáveis ................................................................................. 10

IV.

Relações entre seno, cosseno e tangente ........................................................................................ 15

Razões trigonométricas na circunferência ............................................................................................... 20

Círculo trigonométrico ......................................................................................................................... 20

II.

Sinal das razões trigonométricas ......................................................................................................... 22

III.

Fórmulas Importantes ...................................................................................................................... 23

Questões da ESAF com assuntos “esporádicos” ...................................................................................... 32

Relação das questões comentadas .......................................................................................................... 37

Gabaritos .................................................................................................................................................. 42

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Unidade de medida de ângulos

Ao dividir um ângulo raso em 180 partes iguais, obtemos ângulos de 1º (um grau). Portanto, o
ângulo de 1º é o ângulo que corresponde a 1/180 do ângulo raso.

Radiano

Há outra medida de ângulos que é muito utilizada e faz parte do SI (Sistema Internacional de
Unidades). Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer
unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é apresentada, normalmente se utiliza a sigla rad.
E o que significa 1 radiano?

Imagine uma circunferência com o raio igual a 1 metro.

Marque um ponto qualquer na circunferência. Imagine agora que esta circunferência é uma mini-
pista de Cooper. Você decide andar sobre a circunferência exatamente o comprimento de 1 metro.

Pois bem, o ângulo formado pelos dois raios tracejados é de exatamente 1 radiano.

Na verdade, não é necessário que o raio seja de 1 metro. O que precisa acontecer é o seguinte:

Trace uma circunferência com um raio qualquer. Digamos que o raio seja igual a R.

1 metro

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ii)

Marque um ponto inicial na circunferência. Ao “andar” sobre a circunferência um
comprimento igual ao raio da circunferência, estará definido um arco de 1 radiano.

E a volta completa representa quantos radianos?

Para responder esta pergunta, basta efetuar uma regra de três.

Se quando o comprimento andado na circunferência é igual a R, o arco medido é de 1 radiano,
quantos radianos há na volta completa? (lembre-se que o comprimento total da circunferência é
igual a

2).

Comprimento “andado” na circunferência

Radianos

É óbvio que aumentando o comprimento andando na circunferência, aumentará o ângulo.
Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

= 2

Desta forma, a volta completa (360º) corresponde a

2 .

Obviamente, 180º é a metade de 360º, portanto 180º correspondem a

Tendo em vista essas considerações, podemos estabelecer a seguinte correspondência para
conversão de unidades:

180° ⇆

Exemplo 1.

Exprima 210º em radianos.

Resolução

Basta “montar” uma regra de três. Em casos como este de mudança de unidades, a regra de três
é sempre direta, de forma que podemos aplicar a propriedade fundamental das proporções: o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

180° ⇆

210° ⇆

180° ∙ = 210° ∙

210° ∙

180° =

210

180 =

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Exemplo 2.

Exprima

em graus.

Resolução

180° ⇆

⇆

∙ = 180° ∙

∙ = 120°

= 120°

Memorizando alguns valores básicos, podemos rapidamente deduzir outros. Por exemplo, vamos
transformar 30º em radianos.

180° ⇆

30° ⇆

180° ∙ = 30° ∙

30° ∙

180° =

180 =

Ora, se 30º é o mesmo que

/6 rad, portanto para calcular 60º em radianos basta multiplicar /6

rad por 2 (já que 60º é o dobro de 30º).

60° ⇆ 2 ∙

6 =

90º é o triplo de 30º, portanto para calcular 90º em radianos basta multiplicar

/6 rad por 3 (já que

90º é o triplo de 30º).

90° ⇆ 3 ∙

6 =

45º é a metade de 90º, então para calcular 45º em radianos basta dividir

/2 rad por 2.

45° ⇆

2 =

120º é o dobro de 60º, portanto para calcular 120º em radianos basta multiplicar

/3 por 2.

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120° ⇆ 2 ∙

3 =

270º é o triplo de 90º, portanto para calcular 270º em radianos basta multiplicar

/2 por 3.

270° ⇆ 3 ∙

2 =

E desta forma, podemos criar a seguinte tabela de valores notáveis.

Graus

Radianos

30º

45º

60º

90º

120º

180º

270º

360º

2. Trigonometria no triângulo retângulo

Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto (90º).

Para manter uma notação uniforme ao longo da aula, sempre que tratarmos de um triângulo
retângulo ABC, consideraremos que o ângulo reto é o de vértice A.

Em geometria, é comum utilizar a notação de que o nome do lado tem o mesmo nome do vértice
oposto.

Em suma, teremos como modelo o seguinte triângulo retângulo:

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Pela Lei Angular de Tales,

+ + = 180°. Como = 90°, então:

90° + + = 180°

+ = 90°

Ou seja, os ângulos agudos de um triângulo retângulo são sempre complementares (a soma é
90º).

Pois bem, em todo triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e o
os outros lados são chamados de catetos.

Lembre-se ainda que é válido o Teorema de Pitágoras:

Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo

Vamos considerar novamente o triângulo retângulo ABC.

Em relação ao ângulo

é " #$#" "%"&#".

é " #$#" ( $)#$.

Em relação ao ângulo

é " #$#" "%"&#".

é " #$#" ( $)#$.

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II.

Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo

Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos seno, cosseno e tangente como
segue:

SENO

O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

&$)" $ +, â).+/" .+ " =

#$#" "%"&#" " â).+/"

ℎ1%"#$)+&

&$) * =

&$) =

COSSENO

O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

"&&$)" $ +, â).+/" .+ " =

#$#" ( $)#$ " â).+/"

ℎ1%"#$)+&

"& * =

"& =

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TANGENTE

A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo.

# ).$)#$ $ +, â).+/" .+ " =

#$#" "%"&#" " â).+/"

#$#" ( $)#$ " â).+/"

#. * =

#. =

É importante notar que as funções trigonométricas dependem exclusivamente dos ângulos e não
do “tamanho” do triângulo.

01.

(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja

o triângulo retângulo representado na figura abaixo:

Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.

a) 0,5
b) 0,6
c) 0,71.
d) 0,75.
e) 0,8

Resolução

Apliquemos o Teorema de Pitágoras: Um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

22 3 14

+ 2 + 24

= 22 + 14

3 4 + 1 +

+ 4 + 4 = 4

+ 4 + 1

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3 4 + 4 = 0

3 ± √

3 4

32344 ± 72344

3 4 ∙ 1 ∙ 4

2 ∙ 1

4 ± 0

2 = 2

Assim, os lados do triângulo serão:

2x – 1 = 3
x+2 = 4
2x+1=5

"&8 =

#$#" ( $)#$ " â).+/" 8

ℎ1%"#$)+&

5 = 0,6

Letra B

Exemplo 3.

Considerando que

&$) 24° = 0,4067 determine o valor de no triângulo retângulo

abaixo.

Resolução

Queremos calcular o cateto oposto ao ângulo de 24º. Para isto vamos utilizar a função seno.

&$)24° =

#$#" "%"&#" " â).+/" $ 24°

ℎ1%"#$)+&

0,4067 =

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= 10 × 0,4067

= 4,067

III.

Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem com bastante frequência em
problemas de trigonometria. Por esta razão, vamos apresentar essas razões na forma fracionária.

30º

45º

60º

Seno

;

√<

√=

Cosseno

√=

√<

;

Tangente

√=

;

√=

Exemplo 4.

Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 20 cm e um

dos ângulos agudos mede 30º.

Resolução

i) Cálculo de

Note que

é o cateto oposto ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa, então a razão

que relaciona esses dados é o seno.

&$)30° =

#$#" "%"&#" " â).+/" $ 30°

ℎ1%"#$)+&

2 =

2 ∙ = 1 ∙ 20

= 10

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Neste ponto poderíamos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o valor de

>. Porém, para

treinar mais as razões trigonométricas, vamos calcular o valor de

> supondo que não é

conhecido.

ii) Cálculo de

Note que

> é o cateto adjacente ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa, então a

razão que relaciona esses dados é o cosseno.

"&30° =

#$#" ( $)#$ " â).+/" $ 30°

ℎ1%"#$)+&

√=

2 ∙ > = 20 ∙ √3

> = 10√3

Vale a pena notar o seguinte fato: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a metade da
hipotenusa.

02.

(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação

2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o
comprimento do muro para que providencie a compra do material necessário. Na figura
abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:

Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta
medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.

1 + 2√3

2 + 2√3

1 + √3

2 + √3

3 + √3

Resolução

Lembremos os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.

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30º

45º

60º

Seno

;

√<

√=

Cosseno

√=

√<

;

Tangente

√=

;

√=

Um lembrete importante que poderá você ganhar tempo é o seguinte.

Em um triângulo retângulo com ângulos agudos iguais a 30º e 60º, o cateto oposto ao
ângulo de 30º é igual à metade da hipotenusa.

Como a hipotenusa é igual a 2, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual a 1. Se você não
se lembrar, basta aplicar as definições de seno e cosseno no triângulo retângulo.

&$)8 =

#$#" "%"&#" " ).+/" 8

ℎ1%"#$)+&

"&8 =

#$#" ( $)#$ " â).+/" 8

ℎ1%"#$)+&

Assim,

&$)30

#$#" "%"&#" " ).+/" $ 30°

ℎ1%"#$)+&

2 =

Portanto, x = 1.

"&30

#$#" ( $)#$ " ).+/" 30°

ℎ1%"#$)+&

2 =

√3

Assim,

> = √3

O perímetro (em geometria indicamos o perímetro por 2p) é igual a

2% = 2 + 1 + √3 = 3 + √3

Letra E

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03.

(AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano

horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que
sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao
ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?

a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km

Resolução.

1 hora equivale a 60 minutos. Cada minuto corresponde a 60 segundos. Portanto,

1 ℎ" = 60 ∙

60 & = 3.600 &.

Em 1 hora (3.600 segundos), a bala percorre 900 km. Qual a distância percorrida em 5 segundos?

Distância (km)

Tempo (s)

900 km

3.600

Observe que diminuindo o tempo, a distância percorrida também diminuirá. As grandezas são
diretamente proporcionais.

900

3.600

900

= 720

720 = 900

900

720 =

72 =

8 =

4 = 1,25

Representando a trajetória da bala, temos:

O triângulo acima é retângulo, pois uma reta horizontal é sempre perpendicular a uma reta
vertical.

No triângulo retângulo, sabemos que o seno de um ângulo é dado pela divisão entre o cateto
oposto ao ângulo e a hipotenusa.

1,25

ℎ

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&$)30° =

ℎ

1,25

2 =

ℎ

1,25

2ℎ = 1,25
ℎ = 0,625

Poderíamos usar o fato que foi dito anteriormente: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a
metade da hipotenusa.

Desta forma:

ℎ =

1,25

2 = 0,625

Letra B

04.

(STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,

2> 3 24. Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a
1, então o perímetro do triângulo é igual a:

2>2 + 14

>22 + 2√24

22 + √24

22 + >4

+ >

Resolução

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o
cateto adjacente ao ângulo. O problema disse que a tangente do ângulo oposto ao cateto de
medida

(ângulo @) é igual a 1.

#.@ = 1

> 3 2 = 1

= > 3 2

> 3 2

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Ou seja, os dois catetos são iguais a

Vamos considerar que a hipotenusa do triângulo retângulo é igual a

. Desta forma, podemos

aplicar o teorema de Pitágoras.

+ 2> 3 24

= 2

= √2

Os dois catetos têm medida igual a

e a hipotenusa é igual a √2.

O perímetro é igual a:

+ + √2 = 2 + √2 = 22 + √24

Letra C

IV.

Relações entre seno, cosseno e tangente

Voltemos ao triângulo retângulo “modelo”.

&$) * =

* =

Destas duas relações, podemos concluir que

= ∙ &$) * e que = ∙ "& *.

O teorema de Pitágoras afirma que:

Vamos substituir as expressões

= ∙ &$) * e = ∙ "& * no teorema de Pitágoras.

2 ∙ &$) *4

+ 2 ∙ "& *4

∙ 2&$) *4

∙ 2"& *4

Dividindo os dois membros da equação por

, obtemos:

2&$) *4

+ 2"& *4

= 1

Analogamente podemos provar que

2&$) 4

+ 2"& 4

= 1.

Temos o costume de escrever as expressões acima assim:

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&$)

* + "&

* = 1

Ou seja,

2&$) *4

= &$)

Esta expressão é conhecida como Relação Fundamental da Trigonometria.

Aliás, esta é a expressão mais importante desta aula.

Posteriormente, veremos que esta relação é válida para qualquer ângulo (não necessariamente
agudo).

Vamos agora mostrar que:

#.* =

&$) *

"& *

De fato,

&$) *

"& *

∙

= #.

Então grave bem essas duas fórmulas que são válidas para qualquer ângulos (desde que a
tangente exista como vamos ver posteriormente).

&$)

* + "&

* = 1

#.* =

&$) *

"& *

05.

(AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que

3"& + &$) = 31, então um dos possíveis valores

para a tangente de x é igual a:

a) -4/3
b) 4/3
c) 5/3
d) -5/3
e) 1/7

Resolução

Coloquei essa questão com o intuito de lembrar uma fórmula importantíssima de trigonometria. É
tão importante que é chamada de Relação Fundamental da Trigonometria. Ei-la:

&$)

+ "&

= 1

São inúmeras as questões que podem ser resolvidas com o auxílio dessa relação. Para que
possamos utilizá-la na questão, devemos elevar ambos os membros da equação ao quadrado.

23"& + &$)4

= 2314

9"&

+ 6 ∙ &$) ∙ "& + &$)

= 1

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Ora, mas podemos dizer que

9"&

= 8"&

+ "&

Ficamos com

8"&

+ 6 ∙ &$) ∙ "& + "&

+ &$)

= 1

Mas lembre-se que

&$)

+ "&

= 1

Portanto,

8"&

+ 6 ∙ &$) ∙ "& + 1 = 1

8"&

+ 6 ∙ &$) ∙ "& = 0

8"&

= 36 ∙ &$) ∙ "&

8"& = 36 ∙ &$)

&$)

"& =

#. = 3

Letra A

06.

(AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações







−

)

(

)

(

)

cos(

)

cos(

)

cos(

)

(

sen

ysen

xsen

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados das
raízes é igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

sen

cos

Resolução.

A idéia é a mesma do exercício anterior. Elevamos todas as parcelas das igualdades ao
quadrado, para surgirem seno ao quadrado e cosseno ao quadrado. Em seguida, utilizaremos a
propriedade que diz:

)

(

cos

)

(

sen

Muito bem.

Vamos elevar todos os termos ao quadrado:

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







−

)

(

)

cos(

)

(

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

cos(

)

(

)

(

cos

)

(

sen

Agora vamos somar a equação de cima com a debaixo.

Do lado esquerdo da igualdade, notem que os termos destacados em vermelho vão se anular:









−

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

(

sen

)

cos(

)

(

)

cos(

)

(

sen

)

(

)

(

cos

sen

Vamos então efetuar a soma, já cancelando os termos destacados. Ficamos com:

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

(

sen

)

(

)

(

cos

sen

a +

Do lado direito da igualdade, temos o quadrado do seno de 2a, somado com o quadrado do
cosseno deste mesmo ângulo. Sempre que temos uma soma de seno ao quadrado com cosseno
ao quadrado, a soma é igual a 1.

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

(

sen

)

(

)

(

cos

sen

a +

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

(

sen

Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar x

em evidência. O mesmo vale para y

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

(

sen

(

)

(

)

(

)

(

cos

)

(

cos

)

(

sen

( )

+ y

A soma dos quadrados das raízes é 1.

Letra A

07.

(AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠

90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz
resultante?

a) α cos y.
b) α

tg y.

c) α sen y.
d) 0.
e) -α sen y.

Resolução

Vamos calcular o determinante da matriz original, antes de multiplicá-la por α.

Para tal, vamos aplicar a regra de Sarrus que aprendemos na aula de matrizes e determinantes
(aula 6).

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Devemos repetir as duas primeiras colunas.

#. >

cos > &$) > cos >

#. >

cos > &$) >

Primeiro multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal e em seguida multiplicamos
os elementos na direção da diagonal secundária (trocando os sinais dos resultados).

O determinante da matriz é igual a:

1 ∙ #. > ∙ cos > + #. > ∙ 1 ∙ cos > + 1 ∙ @ ∙ &$) > 3 #. > ∙ @ ∙ cos > 3 1 ∙ 1 ∙ &$) > 3 1 ∙ #. > ∙ cos > =

Lembre-se que:

#. > =

&$)>

cos >

Vamos utilizar esta fórmula na expressão do determinante.

1 ∙

&$)>

cos > ∙ cos > +

&$)>

cos > ∙ 1 ∙ cos > + 1 ∙ @ ∙ &$) > 3

&$)>

cos > ∙ @ ∙ cos > 3 1 ∙ 1 ∙ &$) > 3 1 ∙

&$)>

cos > ∙ cos > =

= &$)> + &$) > + @ ∙ &$) > 3 @ ∙ &$) > 3 &$)> 3 &$)> = 0

Desta forma, o determinante da matriz é igual a 0.

Vamos lembrar uma propriedade importantíssima dos determinantes. Quando multiplicamos uma
fila de uma matriz por uma constante

@, o determinante fica multiplicado por @.

Como a matriz é de terceira ordem, então o determinante será multiplicado por

∙ ∙ .

Portanto, ao multiplicar a matriz por

@, o determinante da matriz será igual a

∙ ∙ ∙ 0 = 0

Letra D

08.

(TFC 2000/ESAF) Se

= 3 &$) @ e > = 4 cos @, então, para qualquer ângulo @, tem-se que:

3 9>

= 3144

+ 9>

= 144

3 9>

= 144

+ 9>

= 144

+ 9>

= 3144

Resolução

= 3 &$) @ e > = 4 cos @, podemos concluir que:

&$) @ =

3 $ cos @ =

Vamos usar a Relação Fundamental da Trigonometria.

cos

sen

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+ F

= 1

9 +

16 = 1

+ 9>

144

= 1

+ 9>

= 144

Letra B

3. Razões trigonométricas na circunferência

Círculo trigonométrico

Vamos estender o conceito das razões trigonométricas para arcos na circunferência. Para tal,
vamos definir o que é o círculo (ou circunferência ou ciclo) trigonométrico.

O círculo trigonométrico nada mais é do que um círculo orientado de raio 1. Como assim
orientado?

Vamos definir um sentido positivo e um sentido negativo para se locomover ao longo da
circunferência. Adotamos que o sentido positivo é o sentido anti-horário e o sentido negativo é o
sentido horário.

Vamos considerar um plano cartesiano e dispor a circunferência de raio 1 exatamente na origem
do plano.

Por definição, o ponto (1,0) é a origem dos arcos. Então, para traçar um arco no ciclo
trigonométrico, começamos no ponto (1,0) e caminhamos ao longo do ciclo.

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Abaixo estão descritos dois arcos: 30º (arco vermelho) e

360º (arco azul).

Devemos nos lembrar sobre os quadrantes do plano cartesiano.

Desta forma, dizemos que o arco de 30º faz parte do primeiro quadrante e o arco de

360° faz

parte do 4º quadrante.

360°

1º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

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II.

Sinal das razões trigonométricas

O sinal das razões trigonométricas de determinado arco depende exclusivamente de qual
quadrante ele se localiza.

Vamos fazer um pequeno resumo relacionando o quadrante que o arco possa se encontrar e o
sinal das funções trigonométricas.

Função

Sinal

SENO

COSSENO

TANGENTE

O quadro acima significa, por exemplo, que a tangente de um arco que se encontra no terceiro
quadrante é positiva.

O cosseno de um arco que se encontra no segundo quadrante é negativo.

O seno de um arco que se encontra no quarto quadrante é negativo.

Este quadro é importantíssimo!!!!

Para calcular as razões trigonométricas dos arcos nos outros quadrantes, precisamos memorizar
alguns valores e conhecer algumas fórmulas importantes.

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Arco

Seno

Cosseno

Tangente

90º

Não existe

180º

-1

270º

-1

Não existe

360º

Observe que sabendo os valores do seno e do cosseno, automaticamente podemos calcular a
tangente, lembrando que a tangente é a divisão do seno pelo cosseno.

É por esta razão que não existe a tangente de 90º e não existe a tangente de 270º (ocorreria uma
divisão por 0 que é uma “aberração” matemática).

É muito importante também notar que o maior valor que o seno e o cosseno podem
assumir é 1 e o menor valor que o seno e o cosseno podem assumir é

3;.

III.

Fórmulas Importantes

Pois bem, as fórmulas que precisamos conhecer são:

&$)

+ "&

= 1

Esta daqui já é nossa velha conhecida: a Relação Fundamental da Trigonometria. Fique bem
atento aos sinais das funções trigonométricas quando for utilizar esta fórmula.

#. =

&$)

cos

Esta fórmula também é nossa velha conhecida.

Agora as fórmulas “novas”:

&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos

&$)2 3 4 = &$) ∙ cos 3 &$) ∙ cos

cos2 + 4 = cos ∙ cos 3 &$) ∙ &$)

cos2 3 4 = cos ∙ cos + &$) ∙ &$)

Já ouvi um aluno dizer o seguinte para memorizar os sinais das fórmulas acima:

As fórmulas do SENO SEM troca de sinal.

As fórmulas do COSSENO COM troca de sinal.

Pode ser que isso ajude, não?

E para que serve isso?

Por exemplo, imagine que você precisa calcular o seno de 120º. Ora, lembre-se que

120° = 90° +

30°.

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Vamos utilizar a fórmula do

&$)2 + 4.

&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos

&$)290° + 30°4 = &$)90° ∙ cos 30° + &$) 30° ∙ cos 90°

&$)2120°4 = 1 ∙ √

2 +

2 ∙ 0

&$)120° = √

Muito fácil, não?

Vamos ver outro exemplo...

Calcule o cosseno de 150º. Vamos resolver de duas maneiras: considerando que

150° = 180° 3

30° e considerando que 150° = 90° + 60°.

150° = 180° 3 30°

Neste caso, utilizaremos a fórmula do

cos 2 3 4. Lembre-se que a fórmula do cosseno é COM

troca de sinal, portanto, terá um + no meio da fórmula.

cos2180° 3 30°4 = cos 180° ∙ cos 30° + &$) 180° ∙ &$) 30°

cos 150 ° = 31 ∙ √

2 + 0 ∙

cos 150 ° = 3 √

E o cosseno tinha que ser negativo. Isto porque 150º é uma arco do segundo quadrante (já
que está entre 90º e 180º) e os cossenos dos arcos do segundo quadrante são negativos.
Basta olhar o quadro de sinais.

COSSENO

ii)

150° = 90° + 60°.

Neste caso vamos utilizar a fórmula

cos 2 + 4. Lembre-se que a fórmula do cosseno é COM troca

de sinal. Deve haver um sinal de menos na fórmula.

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cos2 + 4 = cos ∙ cos 3 &$) ∙ &$)

cos290° + 60°4 = cos 90° ∙ cos 60° 3 &$) 90° ∙ &$) 60°

cos 150° = 0 ∙

2 3 1 ∙

√3

cos 150 ° = 3 √

Exemplo 5.

Encontre uma expressão para

&$) 2 .

Para encontrar uma expressão para

&$) 2 , basta notar que 2 = + . Desta forma, utilizando a

fórmula de

&$)2 + 4, trocaremos a letra b pela letra a.

&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos

Fazendo

= ,

&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos

&$) 2 = 2 ∙ &$) ∙ cos

09.

(CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que

arccos

e que

arcsin

então o valor da

expressão

)

cos(

x −

é igual a:

−

Resolução

Quando afirmamos que

arccos

, isto quer dizer que x é o arco cujo cosseno vale

Analogamente, quando afirmamos que

arcsin

, isto quer dizer que y é o arco cujo seno vale

1/2.

Assim, concluímos que:

º;

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Portanto, a questão quer que a gente calcule

cos 245° 3 30°4.

Para isso, vamos utilizar a fórmula de

cos 2 3 4.

cos2 3 4 = cos ∙ cos + &$) ∙ &$)

cos245° 3 30°4 = cos 45° ∙ cos 30° + &$) 45° ∙ &$) 30°

"&15° = √

2 ∙

√3

2 +

√2

2 ∙

2 =

√6

4 +

√2

4 =

√6 + √2

Letra A

Observe que poderíamos marcar a resposta sem efetuar as contas.

Sabemos que:

)

(

cos

)

(

sen

Disto, podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são, no máximo, iguais a 1.

Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo 2, aí quando elevamos ao quadrado já
obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um valor maior que 4. Logo,
a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não seria igual a 1, o que é absurdo.

Da mesma forma, também podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são no mínimo -
1.

Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo

32, aí quando elevamos ao quadrado já

obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um valor maior que 4. Logo,
a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não seria igual a 1, o que é absurdo.

→

O seno e o cosseno variam entre

– ; e ;.

31 ≤ &$) ≤ 1

31 ≤ "& ≤ 1

Sabendo que tanto o seno quanto o cosseno são sempre menores ou iguais a 1, já podemos
descartar as alternativas D e E.

Lembrando a tabela do cosseno:

Ângulo

cosseno

0º

30º

45º

60º

90º

O ângulo de 15º está entre 0 e 30º. Logo, seu cosseno deve estar entre 1 e

Já podemos, portanto, descartar a letra C. A letra C traz

, que é o cosseno de 45.

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A letra B traz um número que é menor que

. Também deve ser descartada.

Por exclusão, ficamos com a letra A.

010.

(MPOG 2003/ESAF) Sabendo que

é o ângulo correspondente a um arco do segundo

quadrante, e que seno de

é igual a 12/13, então a tangente de é igual a:

a) -12/5
b) -10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5

Resolução

O enunciado informou que o arco é do segundo quadrante.

Função

Sinal

SENO

COSSENO

TANGENTE

De acordo com esta tabela, no segundo quadrante o seno é positivo, o cosseno é negativo e a
tangente é negativa. Com isso ficamos com as alternativas A e B. Quem sabe o tempo da prova
está acabando e você precise dar um “chute”. Você já aumenta a sua chance de acerto para 50%.
Bom, mas se Deus quiser você não vai precisar disso.

Então como proceder?

Vejamos a Relação Fundamental da Trigonometria.

&$)

+ "&

= 1

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13K

+ "&

= 1

= 1 3

144

169 =

169 3 144

169

Temos duas possibilidades:

"& =

13 "+ "& = 3

Ora, mas o arco é do segundo quadrante e seu cosseno é negativo.

Concluímos que:

"& = 3

Para calcular a tangente de

usamos o fato que a tangente é o quociente do seno pelo cosseno.

#. =

&$)

cos =

12/13

35/13 =

13 ∙ J3

5 K = 3

Letra A

011.

(STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus elementos

dados

por:

= &$) F

2 1G &$ 1 = ( $

= cos2(4 &$ 1 ≠ (.

O determinante da matriz

= 10

∙ é igual a:

OQR

d) 1
e) 10

Resolução

Lembre-se desta tabela:

Arco

Seno

Cosseno

Tangente

90º

Não existe

180º

-1

270º

-1

Não existe

360º

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Vamos construir a matriz de segunda ordem.

= S

Quando

1 = (, temos que

= &$) F

1G.

Portanto:

= &$) F

2 ∙ 1G = &$) F

2G = &$)90° = 1

= &$) F

2 ∙ 2G = &$)24 = &$)180° = 0

Quando

1 ≠ (, temo que

= cos2(4.

Portanto:

= cos2 ∙ 24 = "&2 = "&360° = 1

= cos2 ∙ 14 = "& = "&180° = 31

A matriz ficará assim:

= S 1 1

31 0T

$# = 1 ∙ 0 3 1 ∙ 2314 = 1

$# = 1

Nosso objetivo é calcular o determinante da matriz B tal que

= 10

∙ .

Quando multiplicamos uma fila de uma matriz por uma constante k, seu determinante será
multiplicado por k. Ora, multiplicar a matriz A por

significa multiplicar as suas duas linhas (ou

as duas colunas) por

. Portanto:

$# = 10

∙ 10

∙ $# = 10

OQR

∙ 1

$# = 10

OQR

Letra A

012.

(STN 2000/ESAF) A expressão dada por

> = 3&$) + 4 é definida para todo número real.

Assim, o intervalo de variação de

> é:

31 ≤ > ≤ 7

37 < > ≤ 1

37 < > ≤ 31

1 ≤ > < 7

1 ≤ > ≤ 7

Resolução

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Vimos que o menor valor possível para o seno de um arco é

31. Desta forma, o menor valor

assumido pela expressão y é quando

&$) = 31.

VíX

= 3 ∙ 2314 + 4 = 1

O maior valor possível para o seno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor assumido pela
expressão

> é quando &$) = 1.

VáZ

= 3 ∙ 1 + 4 = 7

Portanto, o menor valor possível para a expressão é 1 e o maior valor possível para a expressão é
7. Conclusão:

1 ≤ > ≤ 7

Letra E

013.

(SFC 2002/ESAF) A expressão dada por

> = 4 ∙ 2"&&$)" 4 + 4 é definida para todo

número

real. Assim, o intervalo de variação de y é:

34 ≤ > ≤ 8

0 < > ≤ 8

3∞ ≤ > ≤ ∞

0 ≤ > ≤ 4

0 ≤ > ≤ 8

Resolução

Vimos que o menor valor possível para o cosseno de um arco é

31. Desta forma, o menor valor

assumido pela expressão y é quando

"& = 31.

VíX

= 4 ∙ 2314 + 4 = 0

O maior valor possível para o cosseno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor assumido pela
expressão

> é quando "& = 1.

VáZ

= 4 ∙ 1 + 4 = 8

Portanto, o menor valor possível para a expressão é 0 e o maior valor possível para a expressão é
8. Conclusão:

0 ≤ > ≤ 8.

Letra E

014.

(MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (3

1/2

)/2, e que co-seno de 60º é

igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo

α é igual ao dobro do produto do

seno de

α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60

é:

- ½

- (3

1/2

)

1/2

)/2

- (3

1/2

)/2

Resolução

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O ângulo suplementar de 60º é 120º, pois

60° + 120° = 180°.

Desta forma, nosso objetivo é calcular a tangente de 120º.

Vamos utilizar a fórmula fornecida pelo enunciado e que nós demonstramos no EP 5.

&$) 2 = 2 ∙ &$) ∙ cos

&$)22 ∙ 60°4 = 2 ∙ &$)60° ∙ "&60°

&$)120° = 2 ∙

2 ∙

&$)120° =

Podemos calcular

"&120° com o auxílio da Relação Fundamental da Trigonometria.

&$)

+ "&

= 1

&$)

120° + "&

120° = 1

√3

2 ]

+ "&

120° = 1

4 + "&

120° = 1

120° = 1 3

4 =

4 3 3

4 =

120° =

Temos duas possibilidades:

"&120° =

2 "+ "&120° = 3

Ora, 120º é um arco maior que 90º e menor que 180º e, portanto, pertence ao segundo quadrante.
O cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo.

COSSENO

Desta forma,

cos 120° = 31/2.

Para calcular a tangente de 120º vamos utilizar o fato de que a tangente é igual ao
quociente do seno pelo cosseno.

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#.120° =

&$)120°

"&120° =

F3 12G

= 3

∙

2
1

= 3

Letra B

4. Questões da ESAF com assuntos “esporádicos”

015.

(STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede

e o outro mede

2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a:

−

e) 1

Resolução

A área de um triângulo pode ser calculada por meio da seguinte fórmula:

)

(

sen

onde a e b são dois lados quaisquer e

é o ângulo entre eles.

Podemos agora aplicar a fórmula da área do triângulo:

Área:

)

(

sen

)

(

sen

)

(

sen

Letra E

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→

Fórmulas para cálculo da área de um triângulo de lados a, b, c:

)

(

sen

(onde

é o ângulo entre a e b)

(onde h é a altura relativa ao lado b)

016.

(MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que

x é seu maior ângulo interno, então o valor de

)

(

sen

−

é igual a:

a) -1

c) 1

d) 0

Resolução

Creio que a idéia da banca era que o candidato analisasse as alternativas para marcar a resposta
correta.

Sabemos que, para qualquer ângulo, vale:

)

(

cos

)

(

sen

Logo:

)

(

cos

)

(

sen

−

Assim, o que o exercício pediu pra gente calcular, no fundo, é o valor de

)

(

cos

Qualquer número elevado ao quadrado é sempre não negativo. Com isso já descartamos a letra
A.

Além disso, sabemos que o cosseno é sempre menor ou igual a 1. Isto significa que

)

(

cos

também será sempre menor ou igual a 1. Já descartamos a letra B.

Na letra C, temos a indicação de que o cosseno vale 1. Neste caso, o ângulo x seria igual a zero
grau. Mas isto é impossível. Num triângulo, os ângulos são sempre diferentes de zero. Já
descartamos a letra C.

Na letra D temos a indicação de que o cosseno vale 0. Neste caso, o ângulo x seria igual a 90º.
Ou seja, teríamos um triângulo retângulo.

A figura abaixo representa um triângulo retângulo com lados a, b, c, e altura h, relativa à
hipotenusa a.

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Num triângulo retângulo, os catetos são duas das alturas. As duas maiores alturas seriam os dois
catetos do triângulo. Logo:

Por exclusão, a menor altura seria h.

Num triângulo retângulo, vale a seguinte relação:

bc =

O produto dos catetos é igual ao produto entre a hipotenusa e a altura correspondente.

bc =

⇒

Vamos testar se o triângulo de fato é retângulo. Para tanto, vamos aplicar o teorema de Pitágoras.
Se a soma dos quadrados dos catetos for igual ao quadrado da hipotenusa, então o triângulo é
retângulo.

625

De fato, o triângulo obedece ao teorema de Pitágoras. Então ele realmente é triângulo.

Com isso, achamos a resposta. O ângulo x procurado é 90º.

Gabarito: D

→

O triângulo retângulo apresenta relações importantes entre suas medidas,
chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Algumas delas são:

bc =

(onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa e h é a altura relativa à

hipotenusa)

(onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa). Também conhecida

como teorema de Pitágoras

A resolução da questão sem a análise das alternativas envolve o conhecimento da chamada lei
dos cossenos.

Sejam a, b, c os lados do triângulo. Seja 20 a altura relativa ao lado a. Seja 15 a altura relativa ao
lado b. Seja 12 a altura relativa ao lado c.

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A área do triângulo é calculada multiplicando-se um dos lados pela altura relativa a este lado,
dividida por 2. Assim, a área do triângulo fica:

Área =

Multiplicando todos os termos por 2:

Das igualdades acima, concluímos que c é o maior lado do triângulo. Com isso, o ângulo a ele
oposto será o maior ângulo do triângulo. Isto porque, num triângulo, o maior ângulo sempre está
oposto ao maior lado. Observem a figura abaixo para melhor entendimento:

Observem que o maior ângulo do triângulo é xº. E ele está oposto justamente ao maior lado.

Vamos, na igualdade acima, achar a e b em função de c.

a =

;

b =

Ok, agora vamos para o tal da lei dos cossenos. Num triângulo qualquer, de lados a, b, c, onde z,
y, x são os ângulos opostos, respectivamente, aos lados a, b, c, temos:

)

cos(

−

)

cos(

−

)

cos(

−

Esta é a lei dos cossenos. Vamos pegar a última equação, que é a que traz o cosseno de x, que é
o maior ângulo do triângulo.

)

cos(

−

Substituindo os valores de a e b:

)

cos(

−

)

cos(

−

Dividindo os dois lados da igualdade por c

)

cos(

−

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)

cos(

−

)

cos(

−

)

cos(

−

)

cos(

)

(

cos

E conseguimos achar o valor do quadrado do cosseno de x.

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5. Relação das questões comentadas

01.

(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja

o triângulo retângulo representado na figura abaixo:

Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.

a) 0,5
b) 0,6
c) 0,71.
d) 0,75.
e) 0,8

02.

(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação

Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta
medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.

1 2√3

2 2√3

1 √3

2 √3

3 √3

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03.

(AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano

a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km

04.

(STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,

(> − 2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a
1, então o perímetro do triângulo é igual a:

2>( 1)

>(2 2√2)

(2 √2)

2( >)

05.

(AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que

3"& &$) = −1, então um dos possíveis valores

para a tangente de x é igual a:

a) -4/3
b) 4/3
c) 5/3
d) -5/3
e) 1/7

06.

(AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações







−

)

(

)

(

)

cos(

)

cos(

)

cos(

)

(

sen

ysen

xsen

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados das
raízes é igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

sen

cos

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07.

(AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠

90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz
resultante?

a) α cos y.
b) α

tg y.

c) α sen y.
d) 0.
e) -α sen y.

08.

(TFC 2000/ESAF) Se

= 3 &$) @ e > = 4 cos @, então, para qualquer ângulo @, tem-se que:

− 9>

= −144

= 144

− 9>

= 144

−

= 144

= −144

09.

(CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que

arccos

e que

arcsin

então o valor da

expressão

)

cos(

x −

é igual a:

−

010.

(MPOG 2003/ESAF) Sabendo que

é o ângulo correspondente a um arco do segundo

quadrante, e que seno de

é igual a 12/13, então a tangente de é igual a:

a) -12/5
b) -10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5

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011.

(STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus elementos

dados

por:

= &$) F

2 1G &$ 1 = ( $

= cos(() &$ 1 ≠ (.

O determinante da matriz

= 10

∙ é igual a:

OQR

d) 1
e) 10

012.

(STN 2000/ESAF) A expressão dada por

> = 3&$) 4 é definida para todo número real.

Assim, o intervalo de variação de

> é:

−1 ≤ > ≤ 7

−7 < > ≤ 1

−7 < > ≤ −1

1 ≤ > < 7

1 ≤ > ≤ 7

013.

(SFC 2002/ESAF) A expressão dada por

> = 4 ∙ ("&&$)" ) 4 é definida para todo

número

real. Assim, o intervalo de variação de y é:

−4 ≤ > ≤ 8

0 < > ≤ 8

−∞ ≤ > ≤ ∞

0 ≤ > ≤ 4

0 ≤ > ≤ 8

014.

(MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (3

1/2

)/2, e que co-seno de 60º é

igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo

α é igual ao dobro do produto do

seno de

α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60

é:

- ½

- (3

1/2

)

1/2

)/2

- (3

1/2

)/2

015.

(STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede

e o outro mede

2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a:

−

e) 1

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016.

(MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que

x é seu maior ângulo interno, então o valor de

)

(

sen

−

é igual a:

a) -1

c) 1

d) 0

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6. Gabaritos

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

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