RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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1
Aula 6 – Parte 2
1.
Equação do 2º grau ....................................................................................................................... 2
2.
Relações de Girard ....................................................................................................................... 13
3.
Pares Ordenados ........................................................................................................................... 19
4.
Plano Cartesiano ........................................................................................................................... 19
5.
Funções ............................................................................................................................................. 21
6.
Domínio e Imagem ....................................................................................................................... 24
7.
Reconhecimento gráfico de uma função .............................................................................. 24
8.
Imagem de um elemento .......................................................................................................... 26
9.
Zero de uma função ..................................................................................................................... 31
10.
Função Afim .................................................................................................................................... 32
11.
Função Quadrática ........................................................................................................................ 49
12.
Logaritmos e Potências ............................................................................................................... 68
Relação das questões comentadas.................................................................................................................. 86
Gabarito ......................................................................................................................................................... 100
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2
1.
Equação do 2º grau
Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax
2
+ bx + c = 0,
onde a, b e c são números reais e a ≠
≠
≠ 0.
Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos
utilizar a fórmula abaixo:
2
4
2
b
b
ac
x
a
− ±
−
=
Denominamos discriminante o número real
2
4
b
ac
∆ =
−
, podemos reescrever a
fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira,
2
b
x
a
− ± ∆
=
Resolva as equações abaixo:
(
)
2
2
) 2
10
12
0
2,
10, c 12
10
4 2 12
4
( 10)
4
10 2
2 2
4
2 ou
3
{2;3}
a
x
x
a
b
x
x
x
S
−
+
=
=
= −
=
∆ = −
− ⋅ ⋅
∆ =
− −
±
±
=
=
⋅
=
=
=
( )
2
2
b)
6
9
0
1,
6, c
9
6
4 ( 1) ( 9)
0
6
0
6 0
2 ( 1)
2
3 ou
3
{3}
x
x
a
b
x
x
x
S
−
+
− =
= −
=
= −
∆ =
− ⋅ − ⋅ −
∆ =
− ±
− ±
=
=
⋅ −
−
=
=
=
( )
2
2
)
4
7
0
1,
4, c
7
4
4 1 7
12
12
c
x
x
a
b
R
S
φ
−
+ =
=
= −
=
∆ = −
− ⋅ ⋅
∆ = −
∆ =
−
∉
=
Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos
como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto
porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser
calculadas com números reais.
Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a
considerar.
0
Duas raízes reais e distintas
0
Duas raízes reais e iguais
0
Não há raízes reais
∆ >
⇔
∆ =
⇔
∆ <
⇔
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3
01. (SEBRAE/AC 2007/CESPE-UnB) Julgue o item seguinte.
As raízes da equação
² − 4 + 2 = 0 são números racionais.
Resolução
Temos uma equação do segundo grau em que
= 1, = −4 = 2.
Vamos calcular o discriminante.
∆= ² − 4
= −4 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 8
Assim, as raízes são dadas por:
=
− ± √∆
2
=
4 ± √8
2
Ora, sabemos que 2² = 4 e que 3² = 9. Assim, a raiz quadrada de 8 é um
número IRRACIONAL. O item está errado.
02. (SEAD-SE 2008/CESPE-UnB) As raízes da equação ² − 4 + 1 = 0 são
números irracionais.
Resolução
Temos uma equação do segundo grau em que
= 1, = −4 = 1.
Vamos calcular o discriminante.
∆= ² − 4
= −4 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 12
Assim, as raízes são dadas por:
=
− ± √∆
2
=
4 ± √12
2
Ora, sabemos que 3² = 9 e que 4² = 16. Assim, a raiz quadrada de 12 é um
número IRRACIONAL. O item está certo.
03. (SGA-AC 2007/CESPE-UnB) Se e são as raízes da equação
² + − 6 = 0, então /
> 0.
Resolução
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4
Temos uma equação do segundo grau em que
= 1, = 1 = −6.
Vamos calcular o discriminante.
∆= ² − 4
= 1 − 4 ∙ 1 ∙ −6 = 25
Assim, as raízes são dadas por:
=
− ± √∆
2
=
−1 ± √25
2
=
−1 ± 5
2
Assim, concluímos que
= 2 e
= −3. A divisão de um número positivo por
um número negativo dá um número negativo. O item está errado.
04. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na tabela abaixo têm-se duas equações
quadráticas de incógnitas x, E
1
e E
2
.
Se a maior raiz de E
1
é igual à menor raiz de E
2
, a maior raiz de E
2
é
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Resolução
Vamos resolver a equação
. Na equação ²
+ 2 − 15 = 0, consideramos que
= 1, = 2 e = −15.
=
− ± √
− 4
2
=
−2 ± 2² − 4 ∙ 1 ∙ −15
2 ∙ 1
=
−2 ± √64
2
=
−2 ± 8
2
= 3 ! = −5
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5
O enunciado diz que a maior raiz de E
1
é igual à menor raiz de E
2
. Portanto, a
menor raiz de E
2
é igual a 3.
Vejamos a equação E
2
: ²
−
+ 12 = 0
Sabemos que 3 é uma de suas raízes, portanto:
3² − ∙ 3 + 12 = 0
9 − 3 + 12 = 0
−3 = −21
= 7
A equação E
2
tomará a seguinte forma:
²
− 7 + 12 = 0
Neste caso, temos
= 1, = −7, = 12.
=
− ± √
− 4
2
=
7 ±
−7 − 4 ∙ 1 ∙ 12
2 ∙ 1
=
7 ± 1
2
= 4 ! = 3
Já sabíamos que 3 era uma das raízes de E
2
. A maior raiz de E
2
é igual a 4.
Letra A
05. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação:
x² - 8x + 7 = 0
a) (1,-1)
b) (-7,-1)
c) (7,1)
d) (-7,1)
e) (-1,0)
Resolução
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6
Considere uma equação do 2º grau
+
+ = 0, com ≠ 0. As raízes
podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula
=
− ± √
− 4
2
Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,
=
− −8 ±
−8 − 4 ∙ 1 ∙ 7
2 ∙ 1
=
8 ± √64 − 28
2
=
8 ± 6
2
Assim, x = 7 ou x = 1.
Letra C
06. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que
represente o conjunto solução em R, para a equação: x
4
+13x
2
+36 =0
a) S={-2,2,-3,3}
b) conjunto vazio
c) S={-2,-3}
d) S={2,3}
e) S={-2,-3,-1,1}
Resolução
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de
uma mudança de variável. Chamemos x
2
de y. Ou seja,
x
2
= y. Assim, x
4
= y
2
. A equação ficará
% + 13% + 36 = 0
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b
= 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:
% =
− ± √
− 4
2
% =
−13 ± √13 − 4 ∙ 1 ∙ 36
2 ∙ 1
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7
% =
−13 ± √169 − 144
2
% =
−13 ± 5
2
Assim,
% =
−13 + 5
2
= −4
ou
% =
−13 − 5
2
= −9
Como x
2
=y, então x
2
= -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real
que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao
quadrado é não-negativo) ou x
2
= -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo
motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio.
Letra B
07. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação
x
4
- 25x
2
+ 144 = 0 é igual a
a) 0
b) 16
c) 9
d) 49
e) 25
Resolução
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de
uma mudança de variável. Chamemos x
2
de y. Ou seja,
x
2
= y. Assim, x
4
= y
2
. A equação ficará
% − 25% + 144 = 0
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1,
b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:
% =
− ± √
− 4
2
% =
− −25 ±
−25 − 4 ∙ 1 ∙ 144
2 ∙ 1
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8
% =
25 ± √625 − 576
2
% =
25 ± 7
2
Assim,
% =
25 + 7
2
= 16
ou
% =
25 − 7
2
= 9
Como x
2
=y, então x
2
= 16 ou x
2
= 9.
= 16 !
= 9
= 4 ! = −4 ! = 3 ! = −3
A soma de todas as raízes da equação é
4 + −4 + 3 + −3 = 0.
Letra A
08. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de
+ + 1 =
156
+
é igual a:
a)
−6
b)
−2
c)
−1
d)
6
e)
13
Resolução
Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo
+ = %, a
equação ficará:
% + 1 =
156
%
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9
% ∙ % + 1 = 156
% + % = 156
% + % − 156 = 0
% =
− ± √
− 4
2
=
−1 ± 1 − 4 ∙ 1 ∙ −156
2 ∙ 1
=
−1 ± √625
2
=
−1 ± 25
2
% =
−1 − 25
2
= −13 ou % =
−1 + 25
2
= 12
i)
% = −13
+ = −13
+ + 13 = 0
=
−1 ± √1 − 4 ∙ 1 ∙ 13
2 ∙ 1
=
−1 ± √−51
2
Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos
continuar neste caso, pois a raiz quadrada de
−51 não é um número real.
ii)
% = 12
+ = 12
+ − 12 = 0
=
−1 ± 1 − 4 ∙ 1 ∙ −12
2 ∙ 1
=
−1 ± 7
2
=
−1 − 7
2
= −4 ! =
−1 + 7
2
= 3
A soma dos valores reais de x é igual a
−4 + 3 = −1.
Letra C
09. (TFC 2000/ESAF) Determinar
de
modo
que
a
equação
4
+
− 4 + 1 − = 0 tenha duas raízes iguais:
a)
= 0
b)
= −8 ! = 0
c)
= 8
d)
−8 < < 0
e)
< 0 ! > 8
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10
Resolução
Uma equação do tipo
+
+ = 0 tem raízes iguais se e somente se o
discriminante ∆
=
− 4 for igual a 0.
4
+
− 4 + 1 − = 0
− 4 − 4 ∙ 4 ∙ 1 −
= 0
− 8 + 16 − 16 + 16 = 0
+ 8 = 0
Vamos colocar em evidência.
∙
+ 8 = 0
Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o
resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0.
Portanto,
= 0 ! + 8 = 0
Ou seja,
= 0 ! = −8.
Letra B
10. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:
a) 42
b) 45
c) 48
d) 50
e) 52
Resolução
De acordo com o enunciado,
− 4 = 1.845.
− 4 − 1.845 = 0
Vamos calcular o discriminante:
∆
=
− 4
= −4 − 4 ∙ 1 ∙ −1.845 = 7.396
Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396.
Observe o seguinte fato:
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11
50 = 2.500
60 = 3.600
70 = 4.900
80 = 6.400
90 = 8.100
Como
6.400 < 7.396 < 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que
está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6
concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e
6 x 6 = 36).
84 = 7.056
Deu errado... Só pode ser 86!
86 = 7.396
Voltando à equação:
− 4 − 1.845 = 0
=
− −4 ± 86
2 ∙ 1
=
4 ± 86
2
Como x representa o número de soldados, obviamente
> 0, portanto,
devemos utilizar apenas o + na fórmula.
x =
4 + 86
2
= 45 soldados
Letra B
11. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram
dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no
dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e,
assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o
inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi:
a) 16
b) 18
c) 21
d) 25
e) 27
Resolução
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Digamos que há
/ funcionários e que cada um arquivará 0 processos.
O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo
número de processos que cada um arquivará. Desta forma:
/ ∙ 0 = 108
0 =
108
/
No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e,
assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o
inicialmente previsto.
Ou seja, cada um dos
/ − 2 funcionários arquivará 0 + 9 processos.
/ − 2 ∙ 0 + 9 = 108
/ ∙ 0 + 9/ − 20 − 18 = 108
Sabemos que
/ ∙ 0 = 108, logo:
108 + 9/ − 20 − 18 = 108
108 + 9/ − 20 − 18 − 108 = 0
9/ − 20 − 18 = 0
Vamos substituir o valor de
0 por
12
3
.
9/ − 2 ∙
108
/
− 18 = 0
9/ −
216
/
− 18 = 0
Vamos multiplicar os dois membros da equação por
/.
9/ ∙ / −
216
/
∙ / − 18 ∙ / = 0 ∙ /
9/ − 18/ − 216 = 0
Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9.
/ − 2/ − 24 = 0
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/ =
− ± √
− 4
2
=
− −2 ±
−2 − 4 ∙ 1 ∙ −24
2 ∙ 1
=
2 ± 10
2
Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +.
/ =
2 + 10
2
=
12
2
= 6 funcionários.
0 =
108
/
=
108
6
= 18 09 :: : 0 9 ; <!/ = /á9=
Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos.
Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um
deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27
processos.
Letra E
2. Relações de Girard
Vamos resolver a equação
12
− 10 + 2 = 0.
Considerando a notação usual
+
+ = 0, temos que = 12, = −10 = 2.
=
− ± √
− 4
2
=
− −10 ±
−10 − 4 ∙ 12 ∙ 2
2 ∙ 12
=
10 ± 2
24
Assim:
=
10 + 2
24
=
12
24
=
1
2
!
=
10 − 2
24
=
8
24
=
1
3
Vamos calcular a soma das raízes:
> =
+
=
1
2
+
1
3
=
3 + 2
6
=
5
6
Vamos calcular o produto das raízes:
? =
∙
=
1
2
∙
1
3
=
1
6
Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da
equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim...
Existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard.
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São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto.
Vejamos: Chamaremos de
as raízes da equação
+
+ = 0.
Desta maneira:
1
2
e
2
2
b
b
x
x
a
a
− + ∆
− − ∆
=
=
Vamos multiplicar e somar estes dois números:
Vamos voltar ao nosso exemplo:
12
− 10 + 2 = 0.
= 12, = −10 = 2
Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por:
> =
−
=
− −10
12
=
10
12
=
5
6
O produto das raízes é dado por:
? = =
2
12 =
1
6
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12. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a
soma das raízes da equação de segundo grau mx
2
– 7x + 10 = 0 seja igual a 7
é:
a) - 7
b) - 2
c) 1
d) - 1
e) 7
Resolução
Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º
grau
+
+ = 0, com ≠ 0 cujas raízes podem ser calculadas com o
auxílio da seguinte fórmula
=
− ± √ − 4
2
A soma das raízes dessa equação é dada por
> =
−
e o produto das raízes é dado por
? =
Voltemos ao problema. Na equação mx
2
– 7x + 10 = 0, temos que a = m, b =
- 7 e c = 10.
A soma das raízes é igual a 7, logo
−
= 7
7
@ = 7
7@ = 7
@ = 1
Letra C
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13. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo
grau 5x
2
– 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a:
a) -2
b) -1
c) 5
d) 7
e) 2
Resolução
Na questão anterior vimos que na equação
+
+ = 0, a soma das raízes é
dada por
> =
−
e o produto das raízes é dado por
? =
Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4.
Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,
> = ?
−
=
− =
−(−10) = 2@ − 4
2@ − 4 = 10
2@ = 14
@ = 7
Letra D
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14. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina
2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x
2
+mx + 1 são positivas e
uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é:
a) 2,4
b) 2,1
c) 1,8
d) 1,5
e) 1,2
Resolução
Sejam x
1
e x
2
as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1.
O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x
1
= 2x
2
.
Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das
raízes.
∙
=
Como x
1
= 2x
2
,
2 ∙ ∙
=
1
2
=
1
4
Como as raízes são positivas, então
=
1
2
Consequentemente
= 2 ∙
= 2 ∙
1
2 = 1
Assim, a soma das raízes será igual a
+
= 1 +
1
2 =
2 + 1
2 =
3
2 = 1,5
Letra D
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18
15. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação
+
+ = 0 possui raízes 3 e 5.
Então,
+ é igual a:
a) 7
b) 10
c) 15
d) 19
e) 23
Resolução
Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º
grau
+
+ = 0, com ≠ 0.
A soma das raízes dessa equação é dada por
> =
−
e o produto das raízes é dado por
? =
Sabemos que
= 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é
> = 3 + 5 = 8 e o produto das raízes é ? = 3 × 5 = 15.
> =
−
⇔
−
1 = 8
= −8
? = ⇔ 1 = 15
= 15
+ = −8 + 15 = 7
Letra A
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19
3. Pares Ordenados
Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no
qual é irrelevante a ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o
conceito de par ordenado, um ente matemático que depende da ordem em que
os números a e b são considerados. Um par ordenado é indicado entre
parêntesis e os elementos são separados por vírgula (ou ponto e vírgula).
Considere o par ordenado
( , ). O número é chamado abscissa do par e o
número é chamado ordenada do par. Dois pares ordenados são iguais se e
somente se possuírem a mesma abscissa e a mesma ordenada.
( , ) = ( , ;) ⇔ = = ;
Exemplo:
Os pares ordenados
(2, 3) C√4,
D
E são iguais porque:
2 = 4 3 =
6
2
Observe que em geral
( , ) ≠ ( , ). Só teremos a igualdade ( , ) = ( , ) nos
casos em que
= .
4. Plano Cartesiano
Considere duas retas orientadas e
%. Chamaremos estas retas de eixos
coordenados. Considere ainda que as duas retas sejam perpendiculares
(formam um ângulo de 90
o
) e se cortam no ponto O.
%
Ponto O
→ Origem do plano cartesiano
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20
O eixo é o eixo das abscissas. O eixo
% é o eixo das ordenadas. A origem do
plano cartesiano é o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de
quadrantes. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-
horário.
Como representamos o par ordenado
( , ) no plano cartesiano?
- Localizamos o número no eixo e desenhamos uma reta vertical passando
pelo ponto encontrado.
- Localizamos o número no eixo
% e desenhamos uma reta horizontal pelo
ponto encontrado.
- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto
( , ).
Localize no mesmo plano cartesiano os pontos
G(2,4), H(−1, −3), I(3,0) J(0,2).
I(3,0)
G(2,4)
%
2
H(−1, −3)
J(0,2)
3
−3
−1
4
2
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
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21
Observações
i)
O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os
pontos do eixo
K possuem a ordenada igual a 0. De outra
forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo
K
possuem
L = M.
ii)
O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os
pontos do eixo
L possuem a abscissa igual a 0. De outra forma,
dizemos que os pontos que pertencem ao eixo
L possuem K = M.
5. Funções
João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o trabalho de táxi.
Como ele é um bom aluno de matemática, pediu para o taxista explicar como
funciona a lei que calcula o valor a ser pago pela corrida de táxi. O taxista
explicou que ele deve pagar uma bandeira de R$ 3,50 – valor inicial a ser
pago em qualquer corrida de táxi – e mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.
Como a distância da casa de João até o seu trabalho é de 9 quilômetros, então
ele pagará 9 vezes R$ 0,50 mais R$ 3,50. Portanto, João pagará R$ 8,00 para
fazer o percurso de 9 quilômetros. João achou caro e começou a fazer as
contas de quanto pagaria na corrida dependendo da quantidade de quilômetros
rodados – decidiu que faria o restante do percurso andando.
8 quilômetros
→ 3,50 + 8 × 0,50 = 7,50
7 quilômetros
→ 3,50 + 7 × 0,50 = 7,00
6 quilômetros
→ 3,50 + 6 × 0,50 = 6,50
5 quilômetros
→ 3,50 + 5 × 0,50 = 6,00
4 quilômetros
→ 3,50 + 4 × 0,50 = 5,50
João percebeu que o valor a ser pago pela corrida
depende
da quantidade de
quilômetros rodados.
Quilômetros rodados
Valor a ser pago
??
2,00
??
2,50
4
5,50
está em função
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22
5
6,00
6
6,50
7
7,00
8
7,50
9
8,00
Observe que a cada quantidade dada de quilômetros rodados, podemos
calcular o valor correspondente a ser pago. Obviamente todas as
quilometragens possuem um, e apenas um valor a ser pago. Nem todos os
valores “a serem pagos” possuem uma quilometragem correspondente. No
exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas R$
2,00 ou R$ 2,50.
O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis quilometragens) com
os elementos de B (possíveis valores a serem pagos).
Observe que cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.
Esta relação é denominada função de A em B. Podemos garantir,
matematicamente, que se trata de uma função porque:
i)
Todos os elementos de A participam da relação (mandam flecha).
ii)
Os elementos de A participam da relação apenas uma vez (mandam
apenas uma flecha).
Ou seja, podem acontecer duas coisas para que uma relação entre dois
conjuntos não seja função:
A
4
5
6
7
8
9
2,00
2,50
5,50
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
B
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23
i)
Algum elemento de A não participar da relação (não mandar flecha).
ii)
Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar
mais de uma flecha).
A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida
deve se relacionar com um elemento do conjunto imagem, e esse
elemento deve ser único.
Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções?
A
B
Não é função, pois existe elemento de A que não
se relaciona.
A
B
É função, pois todos os elementos de A se
relacionam apenas uma vez.
A
B
É função, pois todos os elementos de A se
relacionam apenas uma vez.
Não é função, pois existe elemento de A que se
relaciona mais de uma vez.
A
B
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24
6. Domínio e Imagem
No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto
B é chamado contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os
elementos de B que recebem as flechas formam o conjunto imagem. Desta
forma:
J @í/= ; <: J
P
= G = {4,5,6,7,8,9}
I /S9 ; @í/= ; <: IJ
P
= H = {2,00 ; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00}
U@ V @ ; <: U@
P
= {5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00}
Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja,
todos os elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio.
7. Reconhecimento gráfico de uma função
Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é
uma função de A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x
passando por todos os pontos do conjunto partida (A). Se todas as retas
encontrarem o gráfico em apenas um ponto, então a dada relação binária é
uma função.
Exemplos
<: G → W @ X! G = Y−1,2Y
A curva acima representa uma função já que todas as retas verticais
encontram o gráfico apenas uma vez.
V: H → W @ X! H = Y0,6Y
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25
A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que
encontram o gráfico mais de uma vez.
16. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico
de uma função y = f(x).
Resolução
O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma
vertical. Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função.
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Letra C
8. Imagem de um elemento
Considere um par ordenado (x,y) pertencente a uma função
<. O elemento y é
chamado valor de f do elemento x e escrevemos dessa forma:
% = <( ).
Exemplo
Dada a função real definida por
<( ) = ² +1calcule:
<(0) = 0 + 1 = 1
<(−1) = (−1) + 1 = 2
<Z√2[ = (√2) + 1 = 3
Isto significa que o gráfico da função
< passa pelos pontos (0,1), (−1,2), (√2, 3).
Podemos também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o
número
−1 manda uma flecha para o número 2 e o número √2 manda uma
flecha para o número 3.
17. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na função f (x)= −x
2
+ 3x − 1, a
imagem de − 1 é
(A) −5
(B) −3
(C) 0
(D) +1
(E) +3
Resolução
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27
Para calcular a imagem do elemento
−1, devemos simplesmente substituir
por
−1.
<(−1) = −(−1) + 3 ∙ (−1) − 1
<(−1) = −1 − 3 − 1 = −5
Letra A
18. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja
< uma função que tem como domínio o
conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto
B={1,2,3,4,5}. A função
f
associa a cada elemento x em A o número de
letras distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se
afirmar que
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no
contradomínio.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do
domínio.
c)
f
não é uma função.
d)
<(\ 9= ) = 5
e)
<(? ;9 ) = <(? !] )
Resolução
A função
< associa a cada elemendo em A o número de letras distintas desse
elemento .
Ana possui 2 letras distintas.
José possui 4 letras distintas.
Maria possui 4 letras distintas.
Paulo possui 5 letras distintas.
Pedro possui 5 letras distintas.
Desta maneira, podemos afirmar que:
<(G/ ) = 2
<(^ :é) = <(\ 9= ) = 4
G/
^ :é
\ 9=
? !]
? ;9
A
1
2
3
4
5
B
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28
<(? !] ) = <(? ;9 ) = 5
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no
contradomínio.
Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados
ao mesmo elemento no contradomínio. Por exemplo,
<(^ :é) = <(\ 9= ) = 4.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do
domínio.
Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está
associado com algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está
associado.
c)
f
não é uma função.
Esta alternativa é falsa, pois
< é uma função. Todos os elementos de A se
relacionam uma única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos
em A e ninguém manda mais de uma flecha.
d)
<(\ 9= ) = 5
Falso. Maria tem 4 letras distintas.
<(\ 9= ) = 4.
e)
<(? ;9 ) = <(? !] )
Verdadeiro. Como foi visto,
<(? !] ) = <(? ;9 ) = 5.
Letra E
19. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi
observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na
enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com
relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos.
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na
quinta tentativa.
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa.
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa.
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.
Resolução
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29
a) O número
/ representa o número de tentativas para o coelho percorrer o
labirinto. Obviamente, este número
/ é inteiro e positivo (número natural).
Dividindo o número 12 por um número natural, obtemos um número positivo.
Portanto, o número 3+ 12/n é positivo e maior que 3.
Desta maneira, a letra A é falsa.
b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa,
devemos substituir
/ por 5.
I(/) = 3 +
12
/
I(5) = 3 +
12
5 = 5,4 @=/!S : = 5 @=/!S : + 0,4 @=/!S = 5 @=/!S : + 0,4 ∙ 60 : V!/; :
I(5) = 5 @=/!S : 24 : V!/; :
A alternativa B é falsa.
c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor
de
/ por 3.
I(/) = 3 +
12
/
I(3) = 3 +
12
3 = 7 @=/!S :
A alternativa C é falsa.
d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor
de
/ por 10.
I(/) = 3 +
12
/
I(10) = 3 +
12
10 = 4,2 @=/!S :
A alternativa D é falsa.
e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5
minutos.
3 +
12
/ = 3,5
12
/ = 0,5
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30
0,5/ = 12
/ =
12
0,5 =
120
5 = 24
Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa.
Letra E
20. (ISS-Natal 2008/ESAF) Uma função definida no conjunto dos números
inteiros satisfaz a igualdade
<( ) − ( + 1) ∙ <Z√2 − [ = √
`
, para todo inteiro.
Com estas informações, conclui-se que
<(0) é igual a:
a)
−2
a /b
b)
2
a /b
c)
−2
/b
d)
2
a /b
e)
−2
a /b
Resolução
Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo
real. Vamos ver o caso em que
= 0. Substituindo por 0, temos:
<( ) − ( + 1) ∙ <Z√2 − [ = √
`
<(0) − (0 + 1) ∙ <Z√2 − 0[ = √0
`
<(0) − 1 ∙ <Z√2[ = 0
<(0) = <Z√2[ → X! çã U
Vejamos outro caso. Vamos fazer
= √2. Temos:
<Z√2[ − (√2 + 1) ∙ <Z√2 − √2[ = e√2
`
<Z√2[ − Z√2 + 1[ ∙ <(0) = √2
f
→ ] @ 9 − : X! e √
g
h
= √
hg
<Z√2[ − √2 ∙ <(0) − <(0) = 2
/D
→ X! çã UU
Vamos substituir a equação I na equação II, ou seja, onde tem
<(√2)
substituímos por
<(0).
<Z√2[ − √2 ∙ <(0) − <(0) = 2
/D
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<(0) − √2 ∙ <(0) − <(0) = 2
/D
−√2 ∙ <(0) = 2
/D
<(0) =
2
/D
−√2
= −
2
/D
2
/
Lembre-se que para dividir potências de mesma base, devemos conservar a
base e calcular a diferença entre os expoentes.
1
6 −
1
2 =
1 − 3
6 = −
2
6 = −
1
3
<(0) =
2
/D
−√2
= −
2
/D
2
/
= −2
a /b
Letra A
9. Zero de uma função
Zero ou raiz de uma função é todo elemento do domínio tal que a sua imagem
seja igual a 0, i.e., números tais que f(x)=0. Geometricamente, determinamos
os zeros de uma função obtendo a interseção do gráfico com o eixo dos x.
Exemplo: Determine os zeros da função definida por
<( ) =
− 5 + 6.
%
Zeros da função
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Resolução
Basta resolver a equação
<( ) = 0.
− 5 + 6 = 0
=
− ± √ − 4
2
=
−(−5) ± (−5) − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
=
5 ± 1
2
= 2 ! = 3
Isto significa que o gráfico da função
<( ) =
− 5 + 6 toca o eixo nos pontos
de abscissa 2 e 3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria
sobre função quadrática).
10.
Função Afim
A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no
cotidiano muitas pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau).
Uma função
< é chamada de função afim quando for do tipo:
<: W → W
<( ) =
+ , ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos:
<( )
2
4
<( ) = 2 + 4
3
−2
<( ) = 3 − 2
−1
5
<( ) = − + 5
2
0
<( ) = 2
1
0
<( ) =
O coeficiente é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente
dominante ou coeficiente líder.
O coeficiente é chamado de coeficiente linear ou termo independente.
Dependendo dos valores de
e , a função afim pode receber alguns nomes
especiais.
Sempre que
= 0, a função afim é chamada de função linear.
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A função linear
<( ) = é chamada de função identidade. Ou seja, quando
= 1 e = 0, a função é chamada de identidade.
• Gráfico
→ o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos
coordenados.
Veremos na aula de Geometria Plana que dois pontos distintos determinam
uma reta. Desta maneira, para construir o gráfico da função afim devemos
seguir os seguintes passos:
i)
Escolher dois valores arbitrários para .
ii)
Calcular os valores correspondentes de
%.
iii)
Marcar os dois pontos no plano cartesiano.
iv)
Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados.
Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo:
<( ) = 2 + 4.
Vamos utilizar
= 1 = −1.
Quando
= 1, temos <(1) = 2 ∙ 1 + 4 = 6. Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6).
Quando
= −1, temos <(−1) = 2 ∙ (−1) + 4 = 2. Ou seja, a reta passa pelo ponto
(-1,2).
Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta
corta os eixos coordenados?
Vimos que (na seção sobre zeros da função) para determinar o intercepto do
gráfico com o eixo , devemos resolver a equação
<( ) = 0.
2 + 4 = 0
2 = −4
%
1
-1
2
6
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= −2
Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função,
seja ela afim, quadrática, exponencial, trigonométrica, etc.
Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo
%?
Basta calcular
<(0), ou seja, substituir por 0.
<( ) = 2 + 4
<(0) = 2 ⋅ 0 + 4 = 4
IMPORTANTE
Vimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo
% basta calcular <(0). Ora, a função afim é
definida por
<( ) =
+ . Desta maneira, <(0) = ⋅ 0 + = . Resumindo: a ordenada do ponto em
que a reta toca o eixo
% é igual a b. Note que no exemplo anterior, o valor de b é igual a 4 : exatamente o
valor em que a reta toca o eixo
%.
IMPORTANTE
Vimos que a função afim é chamada de função linear quando
= 0. Como o valor de é o intercepto do
gráfico com o eixo
%, concluímos que o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do
plano cartesiano.
%
1
-1
2
6
−j
−j
%
1
-1
2
6
k
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Construa o gráfico da função real definida por
<( ) = −3 + 6.
Resolução
Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o
gráfico com um pouco mais de velocidade.
= 6, logo o gráfico corta o eixo % no ponto de ordenada igual a 6.
Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo , devemos resolver a
equação
<( ) = 0.
−3 + 6 = 0
−3 = −6
3 = 6
= 2
Resumindo: a reta corta o eixo no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo
% no ponto de ordenada igual a 6.
%
2
6
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36
Vamos comparar os dois gráficos construídos.
Observe que:
Quando
> 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda).
Quando
< 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita).
Construa o gráfico da função real definida por
<( ) = −3 .
Resolução
Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem
do plano cartesiano. Além disso, como
= −3 < 0, a função é decrescente.
Vamos calcular o valor da função para
= 1.
<(1) = −3 ⋅ 1 = −3
−j
%
1
-1
2
6
k
%
2
6
% = 2 + 4
% = −3 + 6
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37
Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto
(1, −3).
Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos
(2,5) e
(−1, −4).
Resolução
Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular ( ).
Quando são dados dois pontos (x
1
,y
1
) e (x
2
,y
2
), o coeficiente angular pode ser
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,
=
∆%
∆ =
% − %
−
Já que o gráfico passa pelos pontos
(2,5) e (−1, −4), então o coeficiente “a” é
dado por
=
∆%
∆ =
−4 − 5
−1 − 2 =
−9
−3 = +3
Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo
% =
+ .
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-
se
%
3
1
Vale a pena lembrar!
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de
variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este
coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0,
a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a
função é decrescente (reta descendente).
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38
% = 3 + . Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo
enunciado para calcular o coeficiente “b”.
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é
o intercepto do gráfico com o eixo y.
Utilizemos por exemplo o ponto
(2,5). Este ponto nos informa que quando
x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é
% = 3 + , devemos substituir esses
valores na lei.
3 ∙ 2 + = 5
6 + = 5
= −1
Assim, a lei de formação da função é
% = 3 − 1.
(SEBRAE/AC 2007 – CESPE/UnB) Para o conserto de aparelhos eletrônicos nos
domicílios dos clientes, um técnico cobra R$ 30,00 pela visita e mais R$ 20,00
a cada hora de trabalho Supondo que o técnico trabalhe x horas e receba y
reais, julgue os itens a seguir.
21. O gráfico, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, de y como função
de x, para
≥ 0, é uma semi-reta de inclinação negativa.
22. A expressão algébrica que relaciona y como função de x é
% = 20 + 30 .
Resolução
A situação descrita no enunciado é bem parecida com a que eu comecei a
teoria de funções (aquele exemplo do táxi, lembra?).
O técnico cobra R$ 30,00 (valor fixo) pela visita e mais R$ 20,00 a cada hora
de trabalho. Assim, a função é dada por
% = 30 + 20 .
O gráfico desta função tem inclinação positiva, já que quanto maior for o valor
de x, maior será o valor de y. Basta observar que a função é uma função afim
com b = 30 e a = 20. Como a>0, então a função é crescente.
Os dois itens estão
errados.
23. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) O lucro anual de uma pequena empresa
vem crescendo linearmente, como mostra o gráfico abaixo.
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Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de
reais, o lucro dessa empresa, em 2010?
(A) 224 (B) 234
(C) 248 (D) 254
(E) 268
Resolução
Através do gráfico, percebemos que houve um aumento no lucro (em milhares
de reais) de 216 – 144 = 72 em 4 anos. Isto significa que o lucro aumenta
72/4 = 18 mil por ano. Como o lucro em 2009 foi de 216 mil, então o lucro em
2010 será 216 + 18 = 234 mil reais.
Letra B
24. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função geradora do gráfico abaixo é do
tipo y = mx + n.
Então, o valor de m
3
+ n é
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 (E) 13
Resolução
O gráfico da função acima passa pelos pontos
(3,1) e (−2, −9).
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Seu gráfico é uma reta, portanto, sua lei de formação é do tipo
% = @ ∙ + /.
O coeficiente “m” é denominado coeficiente angular, taxa de variação,
coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela
inclinação da reta. Quando m > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e
quando m < 0, a função é decrescente (reta descendente).
Quando são dados dois pontos (x
1
,y
1
) e (x
2
,y
2
), o coeficiente angular pode ser
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,
@ =
∆%
∆ =
% − %
−
Já que o gráfico passa pelos pontos
(3,1) e (−2, −9)
, então o coeficiente “a” é
dado por
@ =
∆%
∆ =
−9 − 1
−2 − 3 =
−10
−5 = 2
Bom, tendo calculado o coeficiente “m”, a lei de formação da função afim
torna-se
% = 2 + /. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido
pelo enunciado para calcular o coeficiente “n”.
O coeficiente “n” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é
o intercepto do gráfico com o eixo y.
Utilizemos por exemplo o ponto
(3,1)
. Esse ponto nos informa que quando
x = 3, y = 1. Já que a lei de formação é
% = 2 + /, devemos substituir esses
valores na lei.
2 ∙ 3 + / = 1
6 + / = 1
/ = −5
Assim, a lei de formação da função é
% = 2 − 5.
Queremos calcular o valor de
@³ + /.
@³ + / = 2³ − 5 = 8 − 5 = 3
Letra B
25. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra a quantidade
média de garrafas plásticas jogadas no lixo, nos EUA, em função do tempo.
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De acordo com os dados do gráfico, aproximadamente quantas garrafas
plásticas são jogadas no lixo, nos EUA, a cada hora?
(A) 8.000
(B) 12.000
(C) 18.000
(D) 24.000
(E) 30.000
Resolução
O gráfico da função dada é uma reta que passa pela origem do plano
cartesiano.
Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem
do plano cartesiano e, portanto, o coeficiente linear é igual a 0. A função é do
tipo
% = .
O problema nos informa que quando
= 5, % = 2.000. Vamos substituir estes
valores na lei de formação da função.
2.000 = ∙ 5
=
2.000
5 = 400
A lei de formação é
% = 400 .
Queremos saber quantas garrafas plásticas são jogadas no lixo a cada hora.
Como o tempo dado no gráfico está em minutos, devemos substituir o por
60.
% = 400 ∙ 60 = 24.000
Letra D
26. (CITEPE 2009/CESGRANRO) O gráfico abaixo apresenta o custo de
produção, em reais, de certo tipo de tecido, em função da quantidade
produzida, em metros.
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Se cada metro de tecido for vendido por R$ 5,10, o lucro na venda de 10.000
metros, em reais, será de
(A) 15.400,00
(B) 16.200,00
(C) 17.500,00
(D) 18.600,00
(E) 19.000,00
Resolução
Vamos calcular a lei de formação da função Custo. O gráfico é uma reta, e,
portanto, sua equação é do tipo
% =
+ . Como o gráfico corta o eixo y no
ponto de ordenada
3.600, então = 3.600.
A função é do tipo
% =
+ 3.600. Observe que quando = 10, % = 3.632.
10 + 3.600 = 3.632
10 = 32
= 3,2
Concluímos que a lei de formação da função CUSTO é
% = 3,2 + 3.600.
O custo para produzir 10.000 metros é igual a
% = 3,2 ∙ 10.000 + 3.600
% = 35.600 9 =: ( !:S 0 9 09 ;!n=9 10.000 @ S9 :)
Se cada metro for vendido a R$ 5,10, então a receita na venda de 10.000
metros é igual a
10.000 × 5,10 = 51.000 9 =:.
Como o custo foi de R$ 35.600,00, então o lucro na venda será de:
51.000 − 35.600 = 15.400 9 =:
Letra A
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43
27.
(Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO)
O gráfico abaixo
apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas de uma máquina
extratora de óleos vegetais, em função do tempo t.
Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas?
(A) 6 horas e 20 minutos
(B) 6 horas e 30 minutos
(C) 6 horas e 40 minutos
(D) 7 horas e 20 minutos
(E) 7 horas e 40 minutos
Resolução
O gráfico da função dada é uma reta que passa pela origem do plano
cartesiano.
Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem
do plano cartesiano e, portanto, o coeficiente linear é igual a 0. A função é do
tipo
% = .
O problema nos informa que quando
= 1, % = 120. Vamos substituir estes
valores na lei de formação da função.
120 = ∙ 1
= 120
A lei de formação é
% = 120 .
Queremos saber
em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de
oleaginosas. Basta substituir
% por 800.
120 = 800
=
800
120 o 9 :
Vamos simplificar a fração. Podemos começar simplificando por 10.
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=
80
12 o 9 :
Como 1 hora = 60 minutos, então:
=
80
12 ∙ 60 @=/ = 400 @=/!S : = 6 o 9 : 40 @=/!S :
Letra C
28. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos
pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é
(A) f(x) = 3x + 2
(B) f(x) = 2x – 3
(C) f(x) = x – 4
(D) f(x) = x + 3
(E) f(x) = 3x + 3
Resolução
Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau,
também chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º
grau.
Amplamente definida, seu gráfico é uma reta.
Sua lei de formação é do tipo
% = ∙ + .
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação,
coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela
inclinação da reta. Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e
quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).
Quando são dados dois pontos (x
1
,y
1
) e (x
2
,y
2
), o coeficiente angular pode ser
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,
=
∆%
∆ =
% − %
−
Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a”
é dado por
=
∆%
∆ =
7 − (−5)
5 − (−1) =
12
6 = 2
Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a
alternativa B.
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Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-
se
% = 2 + . Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo
enunciado para calcular o coeficiente “b”.
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é
o intercepto do gráfico com o eixo y.
Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando
x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é
% = 2 + , devemos substituir esses
valores na lei.
2 ∙ 5 + = 7
10 + = 7
= −3
Assim, a lei de formação da função é
% = 2 − 3.
Letra B
29. (
Pref. Mairinque/SP
2009/CETRO) Para saber o número do calçado de
uma pessoa, utiliza-se a fórmula
I =
pqr 2
s
, em que C é o número do calçado e
p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato
tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é
(A) 24,1cm.
(B) 23,6cm.
(C) 23,2cm.
(D) 22,4cm.
(E) 21,3cm.
Resolução
O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial
do 1º grau do comprimento do pé.
Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7.
Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = 36.
36 =
50 + 28
4
O 4 que está dividindo o segundo membro, “passa multiplicando o 1º
membro”. Assim,
50 + 28 = 144
50 = 116
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46
0 = 23,2
Letra C
30. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico
de uma função do tipo f (x) = ax + b.
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto
afirmar que
(A) possui duas raízes reais.
(B) a < 0.
(C) b > 0.
(D) ab < 0.
(E) não possui raízes reais.
Resolução
Sua lei de formação é do tipo
% = ∙ + .
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação,
coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela
inclinação da reta. Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e
quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é
o intercepto do gráfico com o eixo y.
Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O
ponto em que o gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da
função. Para determinar o zero ou raiz da função basta resolver a equação f(x)
= 0.
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47
Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é
falsa).
Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que
b > 0 (a alternativa C é verdadeira).
Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa).
Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma
raiz real (as alternativas A e E são falsas).
Letra C
31. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r
1
= αx e r
2
=
-2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo,
a) α > 0 e β > 0
b) α > 0 e β < 0
c) α < 0 e β < 0
d) α < -1 e β < 0
e) α > -1 e β > 0
Resolução
Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa
(y < 0), concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro
quadrante.
Vejamos a reta
9 . Seu coeficiente linear ( ) é igual a 0. Portanto, seu gráfico
passa pela origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos
duas possibilidades.
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Se
t > 0, a função é crescente.
Se
t < 0, a função é decrescente.
Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta
9 deve ser
ascendente (função crescente).
Portanto,
t > 0.
Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r
2
= -2x +β. Seu coeficiente
angular é negativo e, portanto, a reta é descendente.
Sabemos que
u é o coeficiente linear da reta 9 . O coeficiente linear indica onde
a reta corta o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro
quadrante, a reta
9 deve cortar o eixo % abaixo da origem, portanto, u < 0.
Letra B
%
%
3º quadrante
r
1
%
u
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49
11.
Função Quadrática
A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau
(muitos no cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau).
Uma função
< é chamada de função quadrática quando for do tipo <: W → W
definida por
<( ) = ² +
+ , ≠ 0
O coeficiente é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O
coeficiente é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente é o termo
independente.
A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é
uma curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com
definições formais sobre a parábola).
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A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para
baixo. Quem decide isso é o coeficiente dominante . Se
> 0, a concavidade
da parábola está voltada para cima. Se
< 0, a concavidade da parábola está
voltada para baixo.
Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o
eixo
%, basta calcular o valor de <(0).
Como a função quadrática é regida pela lei
<( ) = ² +
+ :
f(0) = a. 0² + b. 0 + c
∴ f(0) = c
Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O
termo independente nos informa a ordenada do ponto em que o
gráfico corta o eixo
L.
> 0
< 0
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Nesta aula, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Também
aprendemos nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo
devemos resolver a equação
<( ) = 0.
Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo
devemos resolver a equação
² +
+ = 0
=
− ± √ − 4
2
Vimos que há três casos a considerar:
0
Duas raízes reais e distintas
0
Duas raízes reais e iguais
0
Não há raízes reais
∆ >
⇔
∆ =
⇔
∆ <
⇔
Assim, a parábola pode cortar o eixo em dois pontos distintos, pode
tangenciar (“encostar”) o eixo ou pode não tocar o eixo .
São 6 possibilidades.
< 0
Δ < 0
< 0
Δ = 0
< 0
Δ > 0
> 0
Δ < 0
> 0
Δ = 0
> 0
Δ > 0
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52
Vértice da Parábola
O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando
> 0, a
concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de
mínimo. Quando
< 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o
vértice é um ponto de máximo.
Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente
( , %). As
coordenadas do vértice são dadas pelas fórmulas:
=
−
2 % =
−Δ
4
Quando
> 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a
coordenada y
é chamada de
valor mínimo
e a coordenada x é chamada de
minimante.
Quando
< 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a
coordenada y
é chamada de
valor máximo
e a coordenada x é chamada de
maximante.
Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções
quadráticas. Em geral, vamos seguir os seguintes passos.
V
V
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53
i)
Desenhar o eixo .
ii)
Calcular o valor do discriminante
Δ e as raízes (se houver).
iii)
De acordo com o valor de e
Δ desenhar um esboço da parábola.
iv)
Calcular as coordenadas do vértice.
=
−
2 % =
−Δ
4
v)
Traçar o eixo
%.
vi)
Determinar o intercepto da parábola com o eixo
% (lembre-se que este
intercepto é dado pelo valor do termo independente).
Construa o gráfico da função real definida por
<( ) =
− 6 + 8
Resolução
Temos que
= 1, = −6 = 8.
Como
> 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.
Vamos calcular o valor do discriminante:
Δ =
− 4 = (−6) − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 4
Como
Δ > 0, a parábola corta o eixo em dois pontos distintos. Vamos, então,
calcular as raízes:
=
− ± √Δ
2
=
−(−6) ± √4
2 ⋅ 1
=
6 ± 2
2
= 2 ! = 4
< 0
Δ < 0
< 0
Δ = 0
< 0
Δ > 0
> 0
Δ < 0
> 0
Δ = 0
> 0
Δ > 0
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Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto:
Vamos calcular as coordenadas do vértice:
=
−
2 =
−(−6)
2 ⋅ 1 = 3 % =
−Δ
4 =
−4
4 ⋅ 1 = −1
Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte:
somar as raízes e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média
aritmética das raízes. Como as raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por:
=
2 + 4
2 = 3
4
2
−1
3
4
2
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Lembrando agora que o coeficiente
= 8 é o intercepto do gráfico com o eixo
%.
(SEBRAE/AC 2007 – CESPE-UnB) O lucro y, em reais, que um comerciante
obtém com a venda de x quilogramas de farinha é expresso pela função
% = − ² + 12 − 11. Se y<0, significa que o comerciante teve prejuízo. Com base
nessas informações, julgue os itens subsequentes.
32. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será
superior a R$ 16,00.
33. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior
a R$ 20,00.
34. A função y é uma função crescente de x.
Resolução
Vamos construir o gráfico da função para que possamos analisar os itens.
O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Calculemos o discriminante:
∆= ² − 4 = 12² − 4 ∙ (−1) ∙ (−11) = 100
Agora, vamos calcular as raízes da função.
=
− ± √∆
2
=
−12 ± √100
−2
=
−12 ± 10
−2
= 1 ! = 11
8
%
−1
3
4
2
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Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto:
Vamos calcular as coordenadas do vértice:
=
−
2 =
−12
−2 = 6 % =
−Δ
4 =
−100
−4 = 25
Vamos analisar os itens.
32. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será
superior a R$ 16,00.
Nada podemos garantir sobre o lucro se o comerciante vende mais de 3kg. Por
exemplo, se o comerciante vende 6 kg, seu lucro é de R$ 25,00. Mas se o
comerciante vende 11kg, o lucro é igual a 0. Assim, o item está errado.
33. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior a
R$ 20,00.
11
1
6
11
1
25
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O item está certo. Na venda de 6kg de farinha, o lucro obtido pelo
comerciante é igual a R$ 25,00.
34. A função y é uma função crescente de x.
O item está errado. A função é crescente para x < 6. Para x > 6, a função é
decrescente.
35. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE)
O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x
2
+ 90x –
800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico
da função lucro é representado na figura abaixo.
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante.
a) R$ 45,00
b) R$ 80,00
c) R$ 1.000,00
d) R$ 1.225,00
e) R$ 1.400,00
Resolução
Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática
<( ) =
+
+ com ≠ 0.
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite
um ponto de mínimo.
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58
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite
um ponto de máximo.
Se a < 0, a função quadrática
<( ) =
+
+ admite o valor máximo
%
yá{
=
−Δ
4 0 9
yá{
=
−b
2
Neste caso o valor
a|
s}
é denominado valor máximo da função e o valor
a~
}
é
denominado maximante.
Se a > 0, a função quadrática
<( ) =
+
+ admite o valor mínimo
%
yí3
=
−Δ
4 0 9
yí3
=
−b
2
Neste caso o valor
a|
s}
é denominado valor mínimo da função e o valor
a~
}
é
denominado minimante.
O ponto
• C
a~
}
,
a|
s}
E é chamado vértice da parábola representativa da função
quadrática.
Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico
estragou tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis.
Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400.
Assim, a resposta só pode ser a letra D.
Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico.
O valor máximo da função é dado por
%
yá{
=
−Δ
4
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59
Lembrando que
Δ =
− 4 .
A função lucro é dada por L(x) = –x
2
+ 90x – 800.
Então
Δ =
− 4 = (90) − 4 ∙ (−1) ∙ (−800) = 4.900
Assim, o valor máximo (lucro máximo) é
%
yá{
=
−Δ
4 =
−4.900
4 ∙ (−1) =
4.900
4 = 1.225
Letra D
Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro
máximo bastaríamos calcular x
máx.
yá{
=
−
2 =
−90
2 ∙ (−1) = 45
Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x).
Observe outra coisa: o x
máx
pode ser calculado como a média aritmética das
raízes. As raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o
gráfico, vemos que a parábola toca o eixo x em
x = 10 e em x = 80.
Assim,
yá{
=
10 + 80
2
= 45
E, sabendo o x
máx
podemos calcular y
máx
substituindo o x na função por 45.
€( ) = – + 90 – 800
€(45) = – (45) + 90 ∙ 45 – 800 = 1.225
36.
(Petrobras 2008/CESGRANRIO)
As medidas da base e da altura de certo
triângulo são expressas por (20 − x) cm e (10 + x) cm, onde x é um número
natural. A área máxima que esse triângulo pode ter, em cm
2
, é
(A) 225,0
(B) 185,5
(C) 160,0
(D) 125,5
(E) 112,5
Resolução
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60
A área
% de um triângulo é a metade do produto da base pela altura.
% =
∙ o
2
% =
(20 − ) ∙ (10 + )
2
% =
200 + 20 − 10 −
2
=
− + 10 + 200
2
% = −
1
2 ² + 5 + 100
Temos uma função quadrática com
= −1/2, = 5 e = 100.
O valor máximo da função é dado por
%
yá{
=
−Δ
4
Lembrando que
Δ =
− 4 = 5² − 4 ∙ (−1/2) ∙ 100 = 225
Assim, o valor máximo (lucro máximo) é
%
yá{
=
−Δ
4 =
−225
4 ∙ C− 12E
=
225
2 = 112,5
Letra E
37. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por:
<( ) =
− 2 + 1 ≤ 0 V( ) = −2 + 3 + 2 ≥ 0.
Sabendo que A é o conjunto solução de
<( ) e B o conjunto solução de V( ),
então o conjunto
ƒ = G ∩ H é igual a:
a)
ƒ = … ∈ ℝˆ− < ≤ 2‰
b)
ƒ = … ∈ ℝˆ− ≤ ≤ 2‰
c)
ƒ = { ∈ ℝ| = 1}
d)
ƒ = { ∈ ℝ| ≥ 0}
e)
ƒ = { ∈ ℝ| ≤ 0}
Resolução
Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos
reais pela lei
<( ) =
+
+ com ≠ 0.
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61
Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a
concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da
parábola está voltada para baixo.
As raízes da função são dadas pela fórmula
=
− ± √ − 4
2
O número
∆=
− 4 é chamado de discriminante.
Se
∆> 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico
intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
Se
∆= 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o
gráfico tangencia o eixo x.
Se
∆< 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o
eixo x.
Considere a função
<( ) =
− 2 + 1. O gráfico é uma parábola com a
concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes.
=
−(−2) ± (−2) − 4 ∙ 1 ∙ 1
2 ∙ 1
=
2 ± 0
2 = 1
Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).
Resolver a inequação
<( ) =
− 2 + 1 ≤ 0, significa responder quando é que a
função
<( ) =
− 2 + 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o gráfico
exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 apenas
para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é
{ ∈ ℝ| = 1}.
Olhemos a segunda inequação.
V( ) = −2 + 3 + 2 ≥ 0. O gráfico da função g é
uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as raízes:
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=
−3 ± 3 − 4 ∙ (−2) ∙ 2
2 ∙ (−2)
=
−3 ± 5
−4
=
−3 + 5
−4 = −
1
2 ! =
−3 − 5
−4 = 2
Temos o seguinte gráfico.
Resolver a inequação
V( ) = −2 + 3 + 2 ≥ 0 significar responder quando a
função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto
solução dessa inequação é o conjunto
H = … ∈ ℝˆ− < ≤ 2‰.
O enunciado pede o conjunto
ƒ = G ∩ H.
A interseção resume-se ao ponto x=1.
ƒ = { ∈ ℝ| = 1}
Letra C
38. (ANVISA
2010/CETRO)
Considere
as
seguintes
funções
<( ) =
− 4 + 4 e V( ) = − + 6 − 5. Assinale a alternativa que apresenta a
solução da inequação definida por
<( ) ∙ V( ) ≤ 0.
a)
> = { ∈ ℝ| = 2}
b)
> = { ∈ ℝ| ≤ 1 ! = 2}
c)
> = { ∈ ℝ|1 ≤ ≤ 5 ! = 2}
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d)
> = { ∈ ℝ| ≤ 1 ! ≥ 5 ! = 2}
e)
> = { ∈ ℝ| ≥ 1 ! ≤ 5 ! = 2}
Resolução
Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das funções.
i)
<( ) =
− 4 + 4
Cálculo das raízes:
− 4 + 4 = 0
=
− ± √ − 4
2
=
−(−4) ± (−4) − 4 ∙ 1 ∙ 4
2 ∙ 1
=
4 ± 0
2 = 2
Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de
< é uma parábola
com a concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo no ponto de
abscissa igual a 4.
ii)
V( ) = − + 6 − 5 = 5 − 5
Cálculo da raiz:
5 − 5 = 0
= 1
2
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Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função
crescente) e que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1.
Vejamos a solução da inequação
<( ) ∙ V( ) ≤ 0 lembrando as regras dos sinais
na multiplicação.
Assim, a solução da inequação é o conjunto
> = { ∈ ℝ| ≤ 1 ! = 2}.
Letra B
ATENÇÃO!!!
Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e
achava que o correto era
V( ) = −
j
+ 6 − 5 iria marcar a letra D!!!!!
Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar...
Eles colocaram
V( ) = − + 6 − 5 para que você usasse V( ) = 5 − 5.
1
2
1
<( )
V( )
<( ) ∙ V( )
1
2
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65
39. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a
seguir representa a função
<, de domínio real, dada pela lei <( ) =
+
+ .
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que
(A) a < 0, b < 0 e c < 0
(B) a < 0, b < 0 e c > 0
(C) a < 0, b > 0 e c < 0
(D) a < 0, b > 0 e c > 0
(E) a > 0, b < 0 e c < 0
Resolução
Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que
< 0.
A parábola corta o eixo
% abaixo da origem do plano, portanto < 0.
Precisamos descobrir o sinal do coeficiente .
Obviamente a coordenada do vértice é negativa.
−
2 < 0
‹
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66
Multiplicando os dois membros por
(−1) devemos inverter o sentido da
desigualdade.
2 > 0
Como
< 0, então o denominador é negativo. Para que a divisão seja positiva,
o numerador também deve ser negativo. Portanto,
< 0.
Letra A
Observação: Resolvi esta questão de uma maneira um pouco mais
interessante na parte aberta do Ponto dos Concursos. Basta acessar o
link
http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/5909_D.pdf
40. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Considere a função f (x) = mx
2
+ px ,
onde m, p e q são números reais tais que m < 0 e p > 0. O gráfico que melhor
representa f (x) é
Resolução
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67
A lei de formação da função quadrática é do tipo
% = @ ² + 0 , em que @ < 0 e
0 > 0. Como o termo independente = 0, então a parábola deve cortar o eixo %
na origem do plano cartesiano. Podemos já descartar a alternativa D.
Como
@ < 0, então a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Podemos descartar as alternativas A e C.
Estamos em dúvida se a resposta é a alternativa B ou E. Veja que as duas
parábolas estão com a concavidade voltada para baixo e as duas passam pela
origem do plano.
Só que uma está do lado esquerdo do plano e a outra está do lado direito do
plano.
Quem vai tirar a nossa dúvida é o
‹
.
Sabemos que
‹
= − /2 .
No nosso caso:
‹
=
−0
2@
Como
0 > 0, então – 0 < 0. Ou seja,
o numerador da fração é negativo.
Como
@ < 0, então 2@ < 0.
O denominador da fração também é negativo.
Quando dividimos um número negativo por outro número negativo o resultado
é um número positivo.
Conclusão:
‹
> 0. A resposta, portanto é a alternativa E.
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68
12.
Logaritmos e Potências
Considere dois números reais e positivos e
. Por motivos que ficam além dos
objetivos desta aula, consideraremos que
≠ 1. Denominamos logaritmo na
base o expoente que se deve dar à base de modo que a potência obtida
seja igual a .
Na simbologia algébrica, temos:
log
}
= / ⇔
3
=
Nomenclaturas
Na expressão
log
}
= /:
é a base.
é o logaritmando ou antilogaritmo.
/ é o logaritmo.
Logaritmação
Qual o significado da expressão
log
b
9?
Em suma, como se calcula o valor de
log
b
9?
Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que número é igual a 9? A
resposta é 2.
Portanto,
log
b
9 = 2.
Ou seja,
log
b
9 = 2 ⇔ 3 = 9.
Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de
log
p
125.
Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que número é igual a 125?
A resposta é 3.
Portanto,
log
p
125 = 3.
Ou seja,
log
p
125 = 3 ⇔ 5
b
= 125.
Propriedades decorrentes da definição
i) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0.
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log
}
1 = 0
Esse fato é de fácil explicação, visto que qualquer número não-nulo elevado a
0 é igual a 1.
Exemplo: Qual o valor de
log
s
1?
Devemos raciocinar: 4 elevado a que número é igual a 1? A resposta é 0.
Portanto,
log
s
1 = 0 ⇔ 4
1
= 1.
ii) O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1.
log
}
= 1
Esse fato também é de fácil explicação, visto que qualquer número elevado a 1
é igual a ele mesmo.
Portanto, temos que:
log
p
5 = 1
log
1
10 = 1
log
•
= 1
iii) Dois logaritmos são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais.
log
}
= log
}
% ⇔ = %
Observe, que já que se trata de um “se e somente se”, podemos utilizar essa
propriedade nos dois sentidos. Ou seja:
Se os logaritmos são iguais, então os logaritmandos são iguais.
Se os dois números são iguais (números positivos), então os logaritmos em
qualquer base também são.
Utilizaremos bastante este fato na solução de equações exponenciais.
Bases especiais
Existem dois sistemas de logaritmos que são muito importantes (inclusive em
Matemática Financeira), que são:
i) Sistema de logaritmos decimais
É o sistema de base 10.
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Utilizaremos a seguinte notação:
log
1
= log
Observe que:
log
1
10 = log 10 = 1.
ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais.
É o sistema de base
= 2,71828182 …
O número tem uma infinidade de aplicações na Matemática.
Utilizaremos o número em Matemática Financeira no estudo das
Capitalizações Contínuas.
Adotaremos a seguinte notação:
log
•
= ]/
Observe que:
log
•
= ]/ = 1
Propriedades operatórias
i) Logaritmo do produto
O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos é igual a soma
dos logaritmos dos fatores (em qualquer base).
log
}
( ∙ %) = log
}
+ log
}
%
Exemplo:
Sabemos que:
log 8 = 3, 0 9X! 2
b
= 8.
log 16 = 4, 0 9X! 2
s
= 16.
Vamos calcular o logaritmo de
128 = 8 × 16 na base 2.
log 128 = log (8 ∙ 16) = log 8 + log 16 = 3 + 4 = 7
Portanto,
log 128 = 7
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O que é verdade, já que
2
•
= 128.
ii) Logaritmo do Cociente
O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença
entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base).
log
}
•%‘ = log
}
− log
}
%
Exemplo:
Sabemos que:
log
b
9 = 2, 0 9X! 3 = 9.
log
b
243 = 5, 0 9X! 3
p
= 243.
Vamos calcular o logaritmo de
27 = 243/9 na base 3.
log
b
27 = log
b
•
243
9 ‘ = log
b
243 − log
b
9 = 5 − 2 = 3
Portanto,
log
b
27 = 3
O que é verdade, já que
3
b
= 27.
iii) Logaritmo da potência
O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao
produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
log
}
’
= % ∙ log
}
Exemplo:
Sabemos que:
log 8 = 3, 0 9X! 2
b
= 8.
Vamos calcular o logaritmo de 512
= 8
b
na base
2.
log 512 = log 8
b
= 3 ∙ log 8 = 3 ∙ 3 = 9
Portanto,
log 512 = 9
O que é verdade, já que
2
“
= 512.
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72
(CMB-ES 2011/CESPE-UnB) Os números positivos e são tais que seus
logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1. Acerca desses números, julgue os
itens subsequentes.
41. O logaritmo na base 10 do número
p1
∙
bp
é igual a 4.
42. A razão b/a é igual a 10.
Resolução
Vejamos os dados do problema:
log
1
= 0,01
Isto significa que
= 10
1,1
.
log
1
= 0,1
Isto significa que
= 10
1,
.
Vamos aos itens:
41.
Queremos calcular
log
1
p1
∙
bp
.
Vamos aplicar as propriedades que aprendemos. O logaritmo do produto pode
ser “separado” em uma soma de logaritmos.
log
1
p1
+
log
1
bp
Apliquemos agora a propriedade da potência: o expoente “desce”
multiplicando.
log
1
p1
+
log
1
bp
= 50 ∙ log
1
+ 35 ∙ log
1
= 50 ∙ 0,01 + 35 ∙ 0,1 = 0,5 + 3,5 = 4
O item está certo.
42.
Sabemos que
= 10
1,1
e que
= 10
1,
.
=
10
1,
10
1,1
Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os
expoentes.
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=
10
1,
10
1,1
= 10
1, a1,1
= 10
1,1“
O item está errado.
43. (Ministério da Defesa 2006/CESGRANRIO) O logaritmo na base 4 de 32
vale:
(A) 2,5
(B) 3,5
(C) 4
(D) 5
(E) 8
Resolução
Nosso objetivo é calcular
log
s
32.
/ = log
s
32
Pela definição de logaritmo, temos que:
4
3
= 32
Como
4 = 2² e 32 = 2
p
, então:
(2²)
3
= 2
p
2
3
= 2
p
Como as bases são iguais, então os expoentes também devem ser iguais.
2/ = 5
/ =
5
2 = 2,5
Portanto:
n = log
s
32 = 2,5
Letra A
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44. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função
<( ) = + log
}
, onde
∈ W
r
∗
−
{1} e ∈ W, está representada no gráfico abaixo.
Os valores de e de , respectivamente, são
(A) 1/4 e 3 (B) 1/2 e 3
(C) 4 e 2 (D) 4 e 3
(E) 5 e 2
Resolução
O gráfico nos mostra que a curva passa pelos pontos
(1,3) e (4,2).
O ponto (1,3) significa que quando
= 1, % = 3.
<( ) = + log
}
+ log
}
1 = 3
Sabemos que
e logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0.
log
}
1 = 0
Portanto:
+ log
}
1 = 3
+ 0 = 3
= 3
A lei de formação da função é
<( ) = 3 + log
}
O segundo ponto (4,2) indica que quando
= 4, % = 2.
3 + log
}
4 = 2
log
}
4 = 2 − 3
log
}
4 = −1
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a
= 4
1
= 4
= 1/4
Letra A
45. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) As exportações de certa empresa de
autopeças vêm crescendo exponencialmente de acordo com a função E(x) =
k(1,2)
x
, onde x representa o número de anos e k, o número de autopeças
exportadas atualmente. Daqui a quantos anos a quantidade de peças
exportadas corresponderá a 1,728.k?
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
Resolução
Queremos calcular o tempo x tal que o número de peças exportadas E(x) seja
igual a 1,728k.
1,728 ∙ • = • ∙ (1,2)
{
Podemos cortar
•.
1,2
{
= 1,728
Como
1,2³ = 1,728, então = 3.
Letra D
46.
(Petrobras 2008/CESGRANRIO) A magnitude M de um terremoto é
expressa, em função da energia liberada “x”, em joules, pela lei
\ =
(log
1
) − 1,44
1,5
Um terremoto que libere
100³ joules de energia, terá magnitude M igual a
(A) 1,70
(B) 2,27
(C) 3,04
(D) 4,22
(E) 4,96
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Resolução
A energia liberada é de
100³ = (10 )
b
= 10
D
– !] :. Para calcular a magnitude M,
devemos substituir por
10
D
.
\ =
(log
1
10
D
) − 1,44
1,5
=
6 − 1,44
1,5
\ = 3,04
Letra C
47. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um estudo em laboratório revelou que a
altura média de determinada espécie de planta é dada, a partir de um ano de
idade, pela função
o
( ) = logZ10
,bp
∙ √2
—
[, onde h(x) representa a altura média,
em m, e x, a idade, em anos. Qual é, em m, a altura média de uma planta
dessa espécie aos cinco anos de idade?
(A) 1,5
(B) 1,6
(C) 1,7
(D) 1,8
(E) 1,9
Resolução
Basta substituir por 5 anos. Lembre-se da seguinte propriedade:
√@
q
˜
= @
q
™
o( ) = logZ10
,bp
∙ √2
—
[
o(5) = logZ10
,bp
∙ √2 ∙ 5
—
[ = logZ10
,bp
∙ √10
—
[
o(5) = log •10
,bp
∙ 10
s
‘
o(5) = log(10
,bp
∙ 10
1, p
)
Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os
expoentes.
o(5) = log(10
,bpr1, p
) = log (10
,D
)
Lembre-se que quando a base não está indicada, já devemos saber que a base
é 10.
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o(5) = log
1
(10
,D
) = 1,6
Letra B
48. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Quanto vale x, se
log
1
³ − log
1
= 4?
(A) 1 000
(B) 100
(C) 50
(D) 10
(E) 1
Resolução
O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença
entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base).
log
}
•%‘ = log
}
− log
}
%
Portanto:
log
1
³ − log
1
= 4
log
1
š
b
› = 4
log
1
² = 4
Pela definição de logaritmo...
² = 10
s
² = 10.000
= 100
Letra B
49. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos
problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente
tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se
a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo
organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado
preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a
quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas,
seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2
t
. Determine,
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aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no
padrão “preocupante”.
(Considere: log
10
2 = 0,3)
a) 4
b) 8
c) 10
d) 12
e) 16
Resolução
O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo
necessário para que entre no padrão é a raiz da equação
20 ∙ 2
œ
= 20.000
2
œ
= 1.000
O logaritmo de “auxílio” dado pela questão está na base 10. Podemos,
portanto “logaritmar” ambos os membros na base 10.
log
1
2
œ
= log
1
1.000
log
1
2
œ
= log
1
10
b
Lembrando que
log
}
’
= % ∙ log
}
,
S ∙ log
1
2 = 3 ∙ log
1
10
Lembrando também que
log
}
= 1,
S ∙ 0,3 = 3 ∙ 1
S =
3
0,3 = 10
Letra C
50. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os
valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a
log 144.
a) 2,22.
b) 2,19.
c) 2,06.
d) 2,14.
e) 2,27.
Resolução
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Quando a base não é escrita, por convenção, utiliza-se a base 10. Portanto, os
logaritmos escritos no enunciado são todos de base 10.
Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo é fatorar
144.
Temos então que
144 = 2
s
∙ 3
log 144 = log (2
s
∙ 3 )
Sabemos que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.
log(2
s
∙ 3 ) = log 2
s
+ log 3
Sabemos também que o logaritmo da potência é o produto do expoente pelo
logaritmo da base.
log 2
s
+ log 3 = 4 ∙ ] V2 + 2 ∙ ] V3
Portanto,
] V144 = 4 ∙ ] V2 + 2 ∙ ] V3 = 4 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,47 = 1,2 + 0,94 = 2,14
Letra D
51.
(TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a
equação
• = 30.000 ∙ (1,01)
œ
, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em
anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de
a)
žŸ
žŸ ,1
b)
log 2 − ] V1,01
c)
2 ∙ (] V2) ∙ (] V1,01)
d)
žŸ
žŸ 1,1
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e) 50
Resolução
Para calcular a população hoje, basta fazer t = 0.
•
¡¢£•
= 30.000 ∙ (1,01)
1
= 30.000 ∙ 1 = 30.000
Portanto, queremos saber quando a população será 60.000.
Basta fazer N = 60.000
30.000 ∙ (1,01)
œ
= 60.000
O 30.000 que está multiplicando “passa para o segundo membro dividindo”.
(1,01)
œ
= 2
i)
Se dois números são iguais, então os seus logaritmos em qualquer
base também são.
(1,01)
œ
= 2
Logaritmando os dois membros:
] V(1,01)
œ
= ] V2
S ∙ ] V1,01 = ] V2
S =
] V2
log 1,01
Letra A
52.
(CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos
após determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela
fórmula
? = ?
1
∙
¤œ
, em que k é uma constante positiva,
?
1
é a quantidade de
indivíduos na comunidade no ano t = 0 e é a base do logaritmo neperiano.
Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para
¥3
¥3b
e que a
população
?
1
triplique em 6 anos, então
?
1
será duplicada em
a) 3,38 anos.
b) 3,48 anos.
c) 3,58 anos.
d) 3,68 anos.
e) 3,78 anos.
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Resolução
Quando a população for triplicada, teremos: P = 3P
0
. Isto ocorrerá em 6 anos.
Logo:
3 ∙ ?
1
= ?
1
∙
¤∙D
Ou seja:
D¤
= 3
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação.
]/
D¤
= ]/3
6• ∙ ]/ = ]/3
Lembre-se que
]/ = 1.
6• = ]/3
• =
]/3
6
Quando a população for dobrada, teremos: P = 2P
0
. Isso ocorrerá em t anos.
Logo:
2 ∙ ?
1
= ?
1
∙
¤∙œ
¤œ
= 2
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação.
]/
¤œ
= ]/2
•S ∙ ]/ = ]/2
Lembre-se que
]/ = 1.
•S = ]/2
S =
]/2
•
Como sabemos que
• =
¥3b
D
∶
S =
]/2
]/3
6
= ]/2 ∙
6
]/3
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S = 6 ∙
]/2
]/3 = 6 ∙ 0,63 = 3,78 / :.
Letra E
53. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 3
2x + 1
– 16. 3
x
+ 5 =
0 é
(A) 4.
(B) 0,5.
(C) log
3
5.
(D) log
5
3.
(E) 5.
Resolução
Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base,
repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de
mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,
{
∙
’
=
{r’
{
/
’
=
{a’
E da mesma forma que
{
∙
’
=
{r’
, temos que
{r’
=
{
∙
’
(óbvio não?).
Assim, o primeiro termo da equação, 3
2x + 1
=3
2x
.3
1
=3.3
2x
Lembremos outra propriedade das potências:
(
{
)
’
=
{’
Assim,
3
2x
= (3
x
)
2
.
Podemos reescrever a equação 3
2x + 1
– 16 . 3
x
+ 5 = 0 da seguinte forma:
3 ∙ (3
{
) − 16 ∙ 3
{
+ 5 = 0
Fazendo
3
{
= %, a equação toma a seguinte forma:
3 ∙ % − 16 ∙ % + 5 = 0
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 3, b
= -16 e c = 5) devemos utilizar a seguinte fórmula:
% =
− ± √ − 4
2
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% =
−(−16) ± (−16) − 4 ∙ 3 ∙ 5
2 ∙ 3
% =
16 ± √256 − 60
6
% =
16 ± 14
6
Assim,
% =
Dr s
D
= 5 ou % =
Da s
D
=
b
Mas como
3
{
= %, então 3
{
= 5 ou 3
{
= 1/3.
Temos agora duas equações exponenciais para resolver.
i)
3
{
= 5
Sabemos que a expressão
{
= % pode ser escrita na forma = log
}
%.
Assim
3
{
= 5 pode ser escrito como = log
b
5.
ii)
3
{
= 1/3.
3
{
= 3
a
= −1
Assim as raízes da equação são
log
b
5 e −1. A maior raiz é log
b
5 e a resposta é
a
letra C.
54. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = e
kx
e f (2) = 5, então f(6) é igual a:
a) 0
b) 5
c) 15
d) 125
e) 130
Resolução
Para calcular
<(2) basta substituir por 2.
<( ) =
¤{
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<(2) = 5 ⇒
¤
= 5
Queremos calcular
<(6).
<(6) =
D¤
=
¤∙b
= (
¤
)
b
= 5
b
= 125
Observe que utilizamos as propriedades de “trás para frente”.
Letra D
(PC/ES 2010 – CESPE-UnB) Em um sítio arqueológico, foram encontrados
ossos de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das ossadas.
Sabe-se que a quantidade de carbono 14, após a morte do animal, varia
segundo a lei
¨(S) = ¨(0) ∙
a1,111 œ
, em que que é a base do logaritmo
natural,
¨(0) é a quantidade de carbono 14 existente no corpo do animal no
instante da morte e
¨(S) é a quantidade de carbono 14 t anos depois da morte.
Com base nessas informações e considerando
−2,4 e 0,05 como valores
aproximados de
ln (0,09) e
ab
, respectivamente, julgue os itens que se seguem.
55. Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o
animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a quantidade de carbono 14
existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da
quantidade no instante da morte.
56. Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14
presente era 9% da quantidade no instante da morte do animal, então é
correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos.
Resolução
55.
Se o animal morreu há 25.000 anos, então t = 25.000. Vamos substituir este
valor na função supramencionada.
¨(S) = ¨(0) ∙
a1,111 œ
¨(25.000) = ¨(0) ∙
a1,111 ∙ p.111
¨(25.000) = ¨(0) ∙
ab
O valor
ab
foi fornecido no enunciado.
¨(25.000) = ¨(0) ∙ 0,05
Como 0,05 = 5/100, então:
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¨(25.000) =
5
100 ∙ ¨(0)
¨(25.000) = 5% ∙ ¨(0)
A quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame,
era igual a 5% da quantidade no instante da morte. O item está
certo.
56.
O perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da
quantidade no instante da morte do animal. Assim,
ª(«)
= 9% ∙ ¨(0)
ª(M) ∙ ¬
aM,MMM-j«
= 9% ∙ ¨(0)
Podemos cortar Q(0).
a1,111 œ
= 9%
a1,111 œ
= 0,09
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação.
ln
a1,111 œ
= ln 0,09
−0,00012S ∙ ln = −2,4
O valor ln 0,09 = -2,4 foi fornecido no enunciado. Lembrando que ln e = 1,
temos:
−0,00012S = −2,4
S =
−2,4
−0,00012 = 20.000 / :
O animal morreu há 20.000 anos e o item está
errado.
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Relação das questões comentadas
01. (SEBRAE/AC 2007/CESPE-UnB) Julgue o item seguinte.
As raízes da equação
² 4
2 0 são números racionais.
02. (SEAD-SE 2008/CESPE-UnB) As raízes da equação
² 4
1 0 são
números irracionais.
03.
04. (SGA-AC 2007/CESPE-UnB) Se e são as raízes da equação
²
6 0, então /
0.
05. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na tabela abaixo têm-se duas equações
quadráticas de incógnitas x, E
1
e E
2
.
Se a maior raiz de E
1
é igual à menor raiz de E
2
, a maior raiz de E
2
é
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
06. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação:
x² - 8x + 7 = 0
a) (1,-1)
b) (-7,-1)
c) (7,1)
d) (-7,1)
e) (-1,0)
07. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que
represente o conjunto solução em R, para a equação: x
4
+13x
2
+36 =0
a) S={-2,2,-3,3}
b) conjunto vazio
c) S={-2,-3}
d) S={2,3}
e) S={-2,-3,-1,1}
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08. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação
x
4
- 25x
2
+ 144 = 0 é igual a
a) 0
b) 16
c) 9
d) 49
e) 25
09. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de
1
156
é igual a:
a)
6
b)
2
c)
1
d)
6
e)
13
10. (TFC 2000/ESAF) Determinar
de
modo
que
a
equação
4
4
1
0 tenha duas raízes iguais:
a)
0
b)
8 !
0
c)
8
d)
8 < < 0
e)
< 0 !
8
11. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:
f) 42
g) 45
h) 48
i) 50
j) 52
12. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram
dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no
dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e,
assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o
inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi:
a) 16
b) 18
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c) 21
d) 25
e) 27
13. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a
soma das raízes da equação de segundo grau mx
2
– 7x + 10 = 0 seja igual a 7
é:
a) - 7
b) - 2
c) 1
d) - 1
e) 7
14. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo
grau 5x
2
– 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a:
a) -2
b) -1
c) 5
d) 7
e) 2
15. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina
2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x
2
+mx + 1 são positivas e
uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é:
a) 2,4
b) 2,1
c) 1,8
d) 1,5
e) 1,2
16. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação
0 possui raízes 3 e 5.
Então,
é igual a:
a) 7
b) 10
c) 15
d) 19
e) 23
17. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico
de uma função y = f(x).
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18. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na função f (x)= −x
2
+ 3x − 1, a
imagem de − 1 é
(A) −5
(B) −3
(C) 0
(D) +1
(E) +3
19. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja
< uma função que tem como domínio o
conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto
B={1,2,3,4,5}. A função
f
associa a cada elemento x em A o número de
letras distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se
afirmar que
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no
contradomínio.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do
domínio.
c)
f
não é uma função.
d)
< \ 9=
5
e)
< ? ;9
< ? !]
20. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi
observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na
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enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com
relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos.
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na
quinta tentativa.
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa.
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa.
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.
21. (ISS-Natal 2008/ESAF) Uma função definida no conjunto dos números
inteiros satisfaz a igualdade
<
1 ∙ <Z√2
[ √
`
, para todo inteiro.
Com estas informações, conclui-se que
< 0 é igual a:
a)
2
a /b
b)
2
a /b
c)
2
/b
d)
2
a /b
e)
2
a /b
(SEBRAE/AC 2007 – CESPE/UnB) Para o conserto de aparelhos eletrônicos nos
domicílios dos clientes, um técnico cobra R$ 30,00 pela visita e mais R$ 20,00
a cada hora de trabalho Supondo que o técnico trabalhe x horas e receba y
reais, julgue os itens a seguir.
22. O gráfico, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, de y como função
de x, para
l 0, é uma semi-reta de inclinação negativa.
23. A expressão algébrica que relaciona y como função de x é
% 20 30 .
24. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) O lucro anual de uma pequena empresa
vem crescendo linearmente, como mostra o gráfico abaixo.
Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de
reais, o lucro dessa empresa, em 2010?
(A) 224 (B) 234
(C) 248 (D) 254
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(E) 268
25. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função geradora do gráfico abaixo é do
tipo y = mx + n.
Então, o valor de m
3
+ n é
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 (E) 13
26. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra a quantidade
média de garrafas plásticas jogadas no lixo, nos EUA, em função do tempo.
De acordo com os dados do gráfico, aproximadamente quantas garrafas
plásticas são jogadas no lixo, nos EUA, a cada hora?
(A) 8.000
(B) 12.000
(C) 18.000
(D) 24.000
(E) 30.000
27. (CITEPE 2009/CESGRANRO) O gráfico abaixo apresenta o custo de
produção, em reais, de certo tipo de tecido, em função da quantidade
produzida, em metros.
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Se cada metro de tecido for vendido por R$ 5,10, o lucro na venda de 10.000
metros, em reais, será de
(A) 15.400,00
(B) 16.200,00
(C) 17.500,00
(D) 18.600,00
(E) 19.000,00
28.
(Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO)
O gráfico abaixo
apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas de uma máquina
extratora de óleos vegetais, em função do tempo t.
Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas?
(A) 6 horas e 20 minutos
(B) 6 horas e 30 minutos
(C) 6 horas e 40 minutos
(D) 7 horas e 20 minutos
(E) 7 horas e 40 minutos
29. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos
pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é
(A) f(x) = 3x + 2
(B) f(x) = 2x – 3
(C) f(x) = x – 4
(D) f(x) = x + 3
(E) f(x) = 3x + 3
30. (
Pref. Mairinque/SP
2009/CETRO) Para saber o número do calçado de
uma pessoa, utiliza-se a fórmula
I
pqr 2
s
, em que C é o número do calçado e
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p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato
tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é
(A) 24,1cm.
(B) 23,6cm.
(C) 23,2cm.
(D) 22,4cm.
(E) 21,3cm.
31. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico
de uma função do tipo f (x) = ax + b.
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto
afirmar que
(A) possui duas raízes reais.
(B) a < 0.
(C) b > 0.
(D) ab < 0.
(E) não possui raízes reais.
32. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r
1
= αx e r
2
=
-2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo,
a) α > 0 e β > 0
b) α > 0 e β < 0
c) α < 0 e β < 0
d) α < -1 e β < 0
e) α > -1 e β > 0
(SEBRAE/AC 2007 – CESPE-UnB) O lucro y, em reais, que um comerciante
obtém com a venda de x quilogramas de farinha é expresso pela função
%
² 12
11. Se y<0, significa que o comerciante teve prejuízo. Com base
nessas informações, julgue os itens subsequentes.
33. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será
superior a R$ 16,00.
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34. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior
a R$ 20,00.
35. A função y é uma função crescente de x.
36. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE)
O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x
2
+ 90x –
800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico
da função lucro é representado na figura abaixo.
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante.
a) R$ 45,00
b) R$ 80,00
c) R$ 1.000,00
d) R$ 1.225,00
e) R$ 1.400,00
37.
(Petrobras 2008/CESGRANRIO)
As medidas da base e da altura de certo
triângulo são expressas por (20 − x) cm e (10 + x) cm, onde x é um número
natural. A área máxima que esse triângulo pode ter, em cm
2
, é
(A) 225,0
(B) 185,5
(C) 160,0
(D) 125,5
(E) 112,5
38. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por:
<
2
1 ‚ 0 V
2
3
2 l 0.
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Sabendo que A é o conjunto solução de
< e B o conjunto solução de V ,
então o conjunto
ƒ G ∩ H é igual a:
a)
ƒ … ∈ ‡ˆ
< ‚ 2‰
b)
ƒ … ∈ ‡ˆ
‚ ‚ 2‰
c)
ƒ Q ∈ ‡|
1R
d)
ƒ Q ∈ ‡| l 0R
e)
ƒ Q ∈ ‡| ‚ 0R
39. (ANVISA
2010/CETRO)
Considere
as
seguintes
funções
<
4
4 e V
6
5. Assinale a alternativa que apresenta a
solução da inequação definida por
<
∙ V
‚ 0.
a)
> Q ∈ ‡|
2R
b)
> Q ∈ ‡| ‚ 1 !
2R
c)
> Q ∈ ‡|1 ‚ ‚ 5 !
2R
d)
> Q ∈ ‡| ‚ 1 ! l 5 !
2R
e)
> Q ∈ ‡| l 1 ! ‚ 5 !
2R
40. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a
seguir representa a função
<, de domínio real, dada pela lei <
.
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que
(A) a < 0, b < 0 e c < 0
(B) a < 0, b < 0 e c > 0
(C) a < 0, b > 0 e c < 0
(D) a < 0, b > 0 e c > 0
(E) a > 0, b < 0 e c < 0
41. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Considere a função f (x) = mx
2
+ px ,
onde m, p e q são números reais tais que m < 0 e p > 0. O gráfico que melhor
representa f (x) é
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(CMB-ES 2011/CESPE-UnB) Os números positivos e são tais que seus
logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1. Acerca desses números, julgue os
itens subsequentes.
42. O logaritmo na base 10 do número
p1
∙
bp
é igual a 4.
43. A razão b/a é igual a 10.
44. (Ministério da Defesa 2006/CESGRANRIO) O logaritmo na base 4 de 32
vale:
(A) 2,5
(B) 3,5
(C) 4
(D) 5
(E) 8
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45. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função
<
log
}
, onde
∈ W
r
∗
Q1R e ∈ W, está representada no gráfico abaixo.
Os valores de e de , respectivamente, são
(A) 1/4 e 3 (B) 1/2 e 3
(C) 4 e 2 (D) 4 e 3
(E) 5 e 2
46. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) As exportações de certa empresa de
autopeças vêm crescendo exponencialmente de acordo com a função E(x) =
k(1,2)
x
, onde x representa o número de anos e k, o número de autopeças
exportadas atualmente. Daqui a quantos anos a quantidade de peças
exportadas corresponderá a 1,728.k?
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
47.
(Petrobras 2008/CESGRANRIO) A magnitude M de um terremoto é
expressa, em função da energia liberada “x”, em joules, pela lei
\
log
1
1,44
1,5
Um terremoto que libere
100³ joules de energia, terá magnitude M igual a
(A) 1,70
(B) 2,27
(C) 3,04
(D) 4,22
(E) 4,96
48. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um estudo em laboratório revelou que a
altura média de determinada espécie de planta é dada, a partir de um ano de
idade, pela função
ℎ
logZ10
,bp
∙ √2
—
[, onde h(x) representa a altura média,
em m, e x, a idade, em anos. Qual é, em m, a altura média de uma planta
dessa espécie aos cinco anos de idade?
(A) 1,5
(B) 1,6
(C) 1,7
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(D) 1,8
(E) 1,9
49. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Quanto vale x, se
log
1
³ log
1
4?
(A) 1 000
(B) 100
(C) 50
(D) 10
(E) 1
50. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos
problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente
tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se
a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo
organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado
preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a
quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas,
seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2
t
. Determine,
aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no
padrão “preocupante”.
(Considere: log
10
2 = 0,3)
a) 4
b) 8
c) 10
d) 12
e) 16
51. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os
valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a
log 144.
a) 2,22.
b) 2,19.
c) 2,06.
d) 2,14.
e) 2,27.
52.
(TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a
equação
• 30.000 ∙ 1,01
œ
, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em
anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de
a)
žŸ
žŸ ,1
b)
log 2 ] V1,01
c)
2 ∙ ] V2 ∙ ] V1,01
d)
žŸ
žŸ 1,1
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e) 50
53.
(CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos
após determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela
fórmula
? ?
1
∙
¤œ
, em que k é uma constante positiva,
?
1
é a quantidade de
indivíduos na comunidade no ano t = 0 e é a base do logaritmo neperiano.
Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para
¥3
¥3b
e que a
população
?
1
triplique em 6 anos, então
?
1
será duplicada em
a) 3,38 anos.
b) 3,48 anos.
c) 3,58 anos.
d) 3,68 anos.
e) 3,78 anos.
54. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 3
2x + 1
– 16. 3
x
+ 5 =
0 é
(A) 4.
(B) 0,5.
(C) log
3
5.
(D) log
5
3.
(E) 5.
55. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = e
kx
e f (2) = 5, então f(6) é igual a:
a) 0
b) 5
c) 15
d) 125
e) 130
(PC/ES 2010 – CESPE-UnB) Em um sítio arqueológico, foram encontrados
ossos de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das ossadas.
Sabe-se que a quantidade de carbono 14, após a morte do animal, varia
segundo a lei
¨ S
¨ 0 ∙
a1,111 œ
, em que que é a base do logaritmo
natural,
¨ 0 é a quantidade de carbono 14 existente no corpo do animal no
instante da morte e
¨ S é a quantidade de carbono 14 t anos depois da morte.
Com base nessas informações e considerando
2,4 e 0,05 como valores
aproximados de
ln 0,09 e
ab
, respectivamente, julgue os itens que se seguem.
56. Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o
animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a quantidade de carbono 14
existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da
quantidade no instante da morte.
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57. Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14
presente era 9% da quantidade no instante da morte do animal, então é
correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos.
Gabarito
01. Errado
02. Certo
03. Errado
04. A
05. C
06. B
07. A
08. C
09. B
10. B
11. E
12. C
13. D
14. D
15. A
16. C
17. A
18. E
19. E
20. A
21. Errado
22. Errado
23. B
24. B
25. D
26. A
27. C
28. B
29. C
30. C
31. B
32. Errado
33. Certo
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34. Errado
35. D
36. E
37. C
38. B
39. A
40. E
41. Certo
42. Errado
43. A
44. A
45. D
46. C
47. B
48. B
49. C
50. D
51. A
52. E
53. C
54. D
55. Certo
56. Errado
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