RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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1
Aula 12 – Parte 2
Função densidade de probabilidade .................................................................................................... 2
Função distribuição de probabilidade ................................................................................................ 15
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2
Função densidade de probabilidade
Para o exemplo do lançamento do dado (com faces 1, 2, 3, 4, 5, 6), vimos que
os valores que nossa variável poderia assumir eram 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dizemos
que a variável aleatória é discreta. Ela não pode assumir qualquer valor real no
intervalo de 1 a 6. Ela assume apenas alguns valores.
No caso de uma variável aleatória poder assumir qualquer valor real num dado
intervalo, dizemos que ela é contínua.
Suponha que temos um termômetro capaz de medir a temperatura com
infinitas casas depois da vírgula. Este termômetro poderia medir temperaturas
de
1°C,
ou
2°C.
Mas
também
poderia
medir
temperaturas
de
1,2356897623154 °C, ou ߨ°C, ou 2 °C.
A variável temperatura é contínua. Pode assumir qualquer valor real num dado
intervalo.
Quando nossa variável é contínua, o cálculo de esperança muda um pouco.
Isto porque não podemos falar em probabilidade de sair um dado valor.
Por exemplo: qual a probabilidade de medirmos (com o nosso termômetro
“mágico”, com precisão de infinitas casas após a vírgula) a temperatura de
uma sala e o resultado ser, exatamente, 21,3568798888888.... °C.
Tem que ser exatamente este valor acima (uma dízima periódica). Não pode
ser 21,35°C. Não pode ser 22°C. Nem 21,3568°C. Tem que ser exatamente o
valor acima. A probabilidade é zero.
Isto porque temos infinitos resultados possíveis. E só nos interessamos por um
resultado em particular.
A situação é totalmente diferente com o lançamento do dado, em que a
variável era discreta. A probabilidade do resultado 1 era de 1/6. Isto porque
tínhamos seis possibilidades, todas eles com a mesma chance de acontecer.
Então, a probabilidade de sair 1 (ou qualquer outra face) era igual a 1/6.
No caso de variáveis contínuas, não podemos falar em probabilidade de ocorrer
um dado valor. Mas podemos falar em probabilidades de um intervalo de
valores.
A
probabilidade
de
ocorrer
exatamente
a
temperatura
21,356879888888..., medida com nosso termômetro mágico, é igual a zero.
Mas a probabilidade de ocorrerem temperaturas entre 20 e 25ºC é diferente de
zero. Por exemplo, podemos falar que, em 23% das vezes, uma determinada
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cidade registra temperaturas diárias máximas que estão no intervalo de 20°C a
25°.
No caso de variáveis contínuas é muito importante a representação gráfica de
uma função chamada de “função densidade de probabilidade” (símbolo: fdp).
A área da função densidade de probabilidade vai nos dar a probabilidade
associada a um dado intervalo.
Para ficar mais claro, vejamos um exemplo.
1. (BACEN – 2002/ESAF) Uma variável aleatória do tipo absolutamente
contínuo tem a função densidade de probabilidade seguinte:
x
x
f
08
,
0
2
,
1
)
(
−
=
, se 10 ≤ x ≤ 15
0
)
(
=
x
f
, caso contrário
Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma
valores entre 10 e 12.
a) 0,160
b) 0,640
c) 0,500
d) 0,200
e) 0,825
Resolução
No caso de variáveis contínuas, não podemos falar em probabilidade de ocorrer
um dado valor.
Só podemos falar em probabilidades associadas a um intervalo de valores.
Para cálculo de probabilidades associadas a variáveis contínuas, utilizamos a
chamada função densidade de probabilidade (fdp). Ela é uma função muito
interessante. A área abaixo da curva, para determinado intervalo, corresponde
à probabilidade daquele intervalo.
Nesta questão, o gráfico da função é o seguinte:
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Para calcular a probabilidade de X assumir valores entre 10 e 12, basta
calcular a área abaixo da curva, entre esses valores.
A área é a seguinte:
Temos um trapézio. A área depende da base maior (B), da base menor (b) e
da altura (h).
A base maior vale 0,4.
A base menor corresponde ao valor da função para x igual a 12.
24
,
0
12
08
,
0
2
,
1
)
12
(
=
×
−
=
f
A base menor vale 0,24.
A altura vale 2.
A área fica:
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(
)
2
h
b
B
Area
×
+
=
2
2
)
24
,
0
4
,
0
(
×
+
=
Area
64
,
0
=
Area
Portanto, a probabilidade de X assumir valores entre 10 e 12 é de 0,64.
Gabarito: B.
Então guarde o seguinte: a função densidade de probabilidade é uma função
especial. Serve para calcularmos probabilidades associadas a intervalos de
valores. Para tanto, basta calcular a área abaixo da curva.
2.
(BACEN/2006/FCC) Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte
função densidade de probabilidade:
3
1
)
(
+
= ax
x
f
, se 0 ≤ x ≤ 2
0
)
(
=
x
f
, caso contrário
Sendo ‘a’ uma constante, seu valor é igual a:
a) 1/6
b) 1/4
c) 1/3
d) 2/3
e) 1
Resolução:
O gráfico da função densidade de probabilidade seria assim:
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Entre os valores 0 e 2, temos uma reta, cujo coeficiente angular nós não
sabemos. Sabemos que, em x igual a zero, o valor da função é 1/3. Fora do
intervalo de 0 a 2, a função vale zero.
Como descobrir o valor de “a”?
Sabemos que X só assume valores de 0 a 2.
Vamos calcular a probabilidade de X estar entre 0 e 2, através da área abaixo
da curva.
A área que procuramos é a do trapézio acima.
Detalhe: sabemos que X só assume valores entre 0 e 2. Logo, a probabilidade
de X estar entre 0 e 2 é de 100%. Com certeza X está entre 0 e 2.
Portanto, a área acima tem que ser igual a 1.
A área do trapézio é dada por:
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(
)
2
h
b
B
Area
×
+
=
Onde “B” é a base maior, “b” é a base menor e “h” é a altura.
A área fica:
2
2
3
1
×
+
=
B
Area
Sabemos que está área é igual a 1.
2
2
3
1
1
×
+
=
B
3
2
=
B
Portanto, o real gráfico da função é:
Sabemos que, em x = 2, o valor da função é 2/3.
Agora podemos calcular o valor de “a”.
3
1
)
(
+
= ax
x
f
3
1
2
)
2
(
+
×
= a
f
3
1
2
3
2
+
×
= a
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2
3
1
3
2
×
=
−
a
6
1
=
a
Gabarito: A.
Antes de passarmos para o próximo exercício, vale comentar algumas
propriedades da fdp.
A área total abaixo da curva sempre é igual a 1. Isso porque a probabilidade
da variável em estudo assumir um valor qualquer na reta real é sempre de
100%. Isso inclusive foi usado nesse exercício acima.
Outro detalhe é o que segue. A fdp só assume valores maiores que zero. Se a
curva cruzasse o eixo horizontal, para baixo, teríamos probabilidades
negativas, o que é impossível.
3.
(BACEN/2006/FCC) Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte
função densidade de probabilidade:
x
K
x
f
+
=
12
)
(
, se 0 ≤ x ≤ 3
0
)
(
=
x
f
, caso contrário
Sendo ‘K’ uma constante, seu valor é igual a:
a) 1
b) 3/4
c) 2/3
d) 7/30
e) 5/24
Resolução:
Problema bem semelhante ao anterior. O gráfico da fdp fica:
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A área total da figura acima deve ser igual a 1. Temos um trapézio. A área é
igual a:
b
h
B
A
×
+
=
2
Como a variável aleatória só assume valores entre 0 e 3, então a área acima é
igual a 1.
No trapézio formado, a base maior vale “k+1/4”, a base menor vale “k”, e a
altura vale 3.
24
/
5
3
2
4
/
1
1
=
⇒
×
+
+
=
K
K
K
Gabarito: E.
4.
(BACEN 2001/ESAF) A variável aleatória X tem distribuição de
probabilidades
do
tipo
absolutamente
contínuo
com
densidade
de
probabilidades:
α
2
1
)
(
=
x
f
, se
α
α
<
<
−
x
0
)
(
=
x
f
, caso contrário.
Onde
α
é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o
valor de
α
para que se tenha
25
,
0
)
1
(
=
>
X
P
.
a) 4
b) 0
c) 3
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d) 1
e) 2
Resolução:
Observem que a questão apresenta alternativas não muito inteligentes. Se o
próprio enunciado já afirmou que
α
é maior que 1, então já podemos
descartar as alternativas B e D. Só com a simples leitura do enunciado já
eliminamos duas alternativas.
O gráfico da fdp fica:
O enunciado disse que a probabilidade de X ser maior que 1 é de 25%.
Portanto, a área verde da figura abaixo é de 0,25.
α
α
−
α
2
1
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Temos um retângulo. A altura é igual a
α
2
1
. A base é igual a
1
−
α
. Ficamos
com:
h
b
A
×
=
(
)
α
α
2
1
1
25
,
0
×
−
=
2
25
,
0
2
1
2
1
5
,
0
25
,
0
=
⇒
=
⇒
−
=
α
α
α
Gabarito: E.
5.
MPE PE/2006. [FCC]
A função densidade de probabilidade do tempo, em segundos, requerido para
completar uma operação de montagem é:
40
/
1
)
(
=
x
f
, se
50
10
<
< x
0
)
(
=
x
f
, caso contrário.
Sabendo que “a” segundos é o tempo que é precedido por 25% das
montagens, o valor de a é:
a) 20
b) 18,5
c) 17,8
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d) 17,2
e) 16
Resolução
O gráfico da fdp fica:
O exercício pediu o valor de “a” tal que a área verde abaixo seja de 0,25.
Temos um retângulo. A área verde é dada por:
h
b
A
×
=
20
025
,
0
)
10
(
25
,
0
=
⇒
×
−
=
a
a
Gabarito: A.
0
0,025
0,05
0
10
20
30
40
50
60
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6.
(TCE RO/CESGRANRIO)
Considere a seguinte função de densidade de
probabilidade:
)
1
(
2
)
(
x
x
f
−
×
=
, para
a
x ≤
≤
0
.
O valor da constante a é:
(A) 1/2
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 5/2
Resolução.
O gráfico da função densidade é dado por:
A área verde corresponde a um trapézio. Sua altura e suas bases maior e
menor medem:
a
h =
;
2
=
B
;
)
1
(
2
a
b
−
×
=
.
Como a variável aleatória só assume valores no intervalo de 0 a “a”, a
probabilidade deste intervalo é 100%. Logo, a área do trapézio acima é igual a
1.
h
b
B
×
+
=
1
2
a
a ×
−
×
+
=
2
)
1
(
2
2
1
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a
a ×
−
+
=
2
2
2
2
1
(
)
a
a ×
−
= 2
1
0
1
2
2
=
+
− a
a
(
)
0
1
2
=
−
a
1
=
a
Gabarito: B
7.
(ANP
2008/CESGRANRIO)
A
figura
mostra
a
distribuição
de
probabilidades de uma variável aleatória X.
A distribuição apresentada acima NÃO
(A) é bimodal.
(B) é simétrica.
(C) tem mediana igual a 2.
(D) tem primeiro quartil igual a 1.
(E) tem média igual à moda.
Resolução.
Apesar de o enunciado ter utilizado a expressão “distribuição”, na verdade, o
gráfico acima é de uma função densidade. Como veremos ainda nesta aula, a
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função distribuição é sempre crescente (ou seja, vai sempre aumentando), o
que não ocorreu com a função acima.
Ainda não aprendemos a calcular a esperança de variáveis contínuas. Na
verdade, nem vamos aprender. Isso não pode ser cobrado numa prova aberta
a candidatos de todas as áreas (apesar de terem cobrado, por exemplo, no
AFRFB/2009). Para quem tiver formação em exatas, a título de curiosidade,
trago alguns comentários a respeito, ao final desta aula.
Mesmo sem saber como é feito o cálculo, neste caso específico, temos como
encontrar a média. Como o gráfico da fdp é simétrico, então a média é igual à
mediana que é igual a 2. Isto porque se colocássemos um espelho bem em
cima do “2”, as duas metades se sobreporiam com perfeição.
Gabarito: E
Função distribuição de probabilidade
Outra função relacionada com o cálculo de probabilidade é a função
distribuição de probabilidade (FDP). Ela nos dá a informação sobre qual a
probabilidade de obtermos um valor menor ou igual ao valor em análise.
Vejamos um exemplo.
Considere as seguintes informações sobre a função distribuição de
probabilidade de uma variável aleatória X.
x
FDP
1
0,0
4
0,2
5
0,5
10
1,0
Vamos à primeira linha.
O valor da FDP para x = 1 é 0,0. O que isto significa?
Significa que a probabilidade de X assumir valores iguais ou inferiores a 1 é
0%.
O valor da FDP para x = 4 é 0,2. O que isto significa? Significa que a
probabilidade de X assumir valores iguais ou inferiores a 4 é 20%.
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O valor da FDP para x = 5 é 0,5. O que isto significa? Significa que a
probabilidade de X assumir valores iguais ou inferiores a 5 é 50%.
O valor da FDP para x = 10 é 1. O que isto significa? Significa que a
probabilidade de X assumir valores iguais ou menores que 10 é 100%. Ou
seja, não há valores de X maiores que 10.
E se a pergunta fosse: qual a probabilidade de X ser maior que 4?
Com a FDP sabemos que a probabilidade de X ser igual ou menor que 4 é de
0,2.
Portanto, para saber a probabilidade de X ser maior que 4, basta subtrair o
valor acima de 1.
Ficamos com:
8
,
0
2
,
0
1
)
4
(
=
−
=
>
X
P
Ou seja, a probabilidade de X assumir valores maiores que é de 80%.
A título de exemplo, podemos construir uma tabela com valores de função
distribuição de probabilidade para o resultado do lançamento de um dado de
seis faces.
Ficaria assim:
Intervalos de
valores
FDP
x < 1
0
1 ≤ x < 2
1/6
2 ≤ x < 3
2/6
3 ≤ x < 4
3/6
4 ≤ x < 5
4/6
5 ≤ x < 6
5/6
x ≥ 6
6/6
O primeiro intervalo abrange apenas valores abaixo de 1.
Assim, para qualquer x inferior a 1, a FDP vale zero. Por quê?
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Tomemos o valor 0,999.
Qual a probabilidade de, lançando um dado, sair um resultado igual ou inferior
a 0,999?
A probabilidade é zero. Não há qualquer resultado, nas faces de um dado, que
seja igual ou inferior a 0,999. Por isso sua FDP é zero. E isto vale para todos os
valores de x menores que 1.
Mudemos de intervalo.
Qual a probabilidade de, lançando um dado, sair um resultado igual ou inferior
a 1?
A probabilidade é 1/6. Dentre as faces de um dado há apenas uma cujo
resultado é igual ou inferior a 1. É a face de número 1.
Portanto, a FDP de 1 é 1/6.
O mesmo vale para a FDP de x = 1,7. Qual a probabilidade de, lançando um
dado, obtermos um resultado igual ou inferior a 1,7?
A probabilidade é 1/6. Há uma face que nos interessa (a face 1) em seis
possíveis.
Para qualquer outro valor no intervalo 1 ≤ x < 2, a FDP será de 1/6.
E qual a probabilidade de, lançando um dado, obtermos um resultado igual ou
inferior a 4,89?
A probabilidade é 4/6. Há quatro faces que nos interessam (1, 2, 3, 4) em seis
possíveis. Por isso, a FDP de todos os valores do intervalo 4 ≤ x < 5 é igual a
4/6.
Finalmente, para qualquer valor maior que 6, a FDP valerá 1.
Exemplo: qual a FDP para x = 7?
É só calcular a probabilidade de, lançando um dado, obtermos um resultado
igual ou inferior a 7. Como todos os resultados possíveis são inferiores a 7, a
probabilidade é 100%.
Se desenharmos o gráfico da FDP para o lançamento do dado, ficamos com:
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Repare que o gráfico apresenta “saltos”. A função vinha com valor zero. De
repente, quando x = 1, a função salta para 1/6.
A função permanece constante em 1/6. De repente, quando x = 2, a função
salta para 2/6. Depois, em x = 3, ela salta para 3/6. E assim por diante.
Este tipo de gráfico, com saltos (ou ainda, em degraus, ou “em forma de
escada”) é característico de uma variável aleatória discreta.
Justamente onde ocorrem os “saltos” temos os valores que a variável aleatória
assume.
No caso, trata-se do lançamento de um dado. O resultado não pode assumir
qualquer valor real no intervalo [1;6]. Não é possível termos o resultado 1,56.
Nem o resultado “
π
” (pi). Apenas os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Ou seja, nossa variável é discreta. Os saltos da FDP ocorrem justamente para
os valores que nossa variável aleatória pode assumir.
Este tipo de gráfico (em forma de escada) é o que geralmente é cobrado em
concursos.
Detalhe: não confunda os gráficos. O cálculo de probabilidades por meio da
área abaixo da curva só é aplicável ao gráfico de fdp (Função densidade de
probabilidade).
Vamos treinar um pouco com alguns exercícios.
8.
(SEFAZ/MG – 2005/ESAF) Uma variável aleatória X tem função
distribuição de probabilidades dada por:
0
)
(
=
x
F
, se x < 0.
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19
243
1
)
(
=
x
F
, se 0 ≤ x < 1
243
11
)
(
=
x
F
, se 1 ≤ x < 2
243
51
)
(
=
x
F
, se 2 ≤ x < 3
243
131
)
(
=
x
F
, se 3 ≤ x < 4
243
211
)
(
=
x
F
, se 4 ≤ x < 5
1
)
(
=
x
F
, se x > 5
Assinale a opção correta.
a) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,461
b) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,658
c) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506
d) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506
e) X não é do tipo discreto nem (absolutamente) contínuo Pr (2 < x ≤ 4) = e
0,506.
Resolução
Primeiro, vamos verificar qual o tipo da variável. Se é discreta ou contínua.
Note que a FDP apresenta saltos. Seu valor é igual a zero, para todos os
valores negativos de x. Quando x assume valor 0, aí a FDP salta para 1/243. O
próximo salto se dá em 1, quando a FDP assume valor 11/243.
Concluímos que é uma FDP em forma de escada. Caracteriza uma variável
aleatória que é discreta.
Agora vamos calcular a probabilidade de x estar entre 2 e 4.
A FDP nos fornece a probabilidade de X ser igual ou inferior ao valor em
análise.
Para x = 2, a FDP é 51/243. O que isto significa?
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20
Significa que a probabilidade de sair um resultado igual ou inferior a 2 é de
51/243.
Para x = 4, a FDP é 211/243. O que isto significa?
Significa que a probabilidade de sair um resultado igual ou inferior a 4 é
211/243.
Para obter a probabilidade de 2 < x ≤ 4, basta subtrair um do outro:
658
,
0
243
51
243
211
)
2
(
)
4
(
)
4
2
(
=
−
=
−
=
≤
<
FDP
FDP
x
P
.
Gabarito: B.
9.
BACEN 2001 [ESAF].
Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada
por:
0
)
(
=
x
F
, x < 0
4
1
)
(
=
x
F
, 0 ≤ x < 1
12
7
)
(
=
x
F
, 1 ≤ x < 2
12
11
)
(
=
x
F
, 2 ≤ x < 3
1
)
(
=
x
F
, x ≥ 3
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de X = 2.
a) 7/12
b) 11/12
c) 1/3
d) 3/4
e) 10/12
Resolução:
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21
A FDP apresenta saltos. Ou seja, a variável aleatória é discreta. A variável X só
assume os valores 0, 1, 2 e 3, valores esses que correspondem aos valores de
x para os quais a FDP “salta”.
A FDP para x = 1 é 7/12. Ou seja, a probabilidade de X ser igual ou inferior a 1
é 7/12. Ou ainda, a probabilidade de X ser igual a 0 ou igual a 1 é de 7/12.
A FDP para x = 2 é 11/12. Portanto, a probabilidade de X ser igual ou inferior a
2 é 11/12. Ou ainda, a probabilidade de X ser igual a 0 ou 1 ou 2 é 11/12.
Ora, se a probabilidade de ser 0, 1 ou 2 é 11/12 e a probabilidade de ser 0 ou
1 é 7/12, concluímos que a probabilidade de ser exatamente igual a 2 é:
3
1
12
4
12
7
12
11
)
2
(
=
=
−
=
=
X
P
Gabarito: C.
10.
(IPEA/2004/ESAF) A variável aleatória X tem função de distribuição de
probabilidades:
0
)
(
=
x
F
, se
1
<
x
8
/
1
)
(
=
x
F
, se
2
1
<
≤ x
4
/
1
)
(
=
x
F
, se
3
2
<
≤ x
1
)
(
=
x
F
se
3
≥
x
Assinale a opção correta:
a) A probabilidade de que X=3 é 0,75
b) A probabilidade de que X=2 é 1/4.
c) A aleatória X é uniforme discreta
d) a variável aleatória X tem valor esperado unitário
e) A variável aleatória X é uniforme contínua
Resolução:
Observe que a função apresenta saltos. Portanto, a variável aleatória X é
discreta. Já descartamos a letra E.
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Ainda não estudamos o que é uma variável uniforme (letra C). Veremos isso
mais adiante. De todo modo, a letra C está errada (apesar de a variável ser
discreta, ela não é uniforme).
Vamos à letra A. Precisamos calcular a probabilidade de X=3.
A função apresenta saltos em 1, 2 e 3. São esses os valores que a variável X
pode assumir.
Sabemos que a probabilidade de X ser menor ou igual a 2 é de 1/4. E a
probabilidade de X ser menor ou igual a 3 é de 100%.
Para saber a probabilidade de X ser exatamente igual a 3, basta fazer:
75
,
0
4
/
3
4
/
1
1
)
2
(
)
3
(
)
3
(
=
=
−
=
−
=
=
FDP
FDP
X
P
A letra A está correta.
Vamos para a letra B.
8
/
1
8
/
1
4
/
1
)
1
(
)
2
(
)
2
(
=
−
=
−
=
=
FDP
FDP
X
P
Alternativa errada.
Letra D.
Para calcular a esperança, precisamos das probabilidades de X assumir cada
valor.
Já calculamos a probabilidade de X ser igual a 2 e a 3. Falta a probabilidade de
X=1
8
/
1
0
8
/
1
)
0
(
)
1
(
)
1
(
=
−
=
−
=
=
FDP
FDP
X
P
Usando a fórmula vista nesta aula, a esperança fica:
[ ]
∑
=
×
=
n
i
i
i
x
x
P
X
E
1
)
(
[ ]
8
21
3
4
3
2
8
1
1
8
1
=
×
+
×
+
×
=
X
E
A esperança não é igual a 1. Alternativa errada.
Gabarito: A.
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11.
Prefeitura Municipal de Recife 2003 [ESAF]
Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo discreto X obteve-se a
função de distribuição empírica seguinte:
0
)
(
=
x
F
, se
1
<
x
.
15
,
0
)
(
=
x
F
, se
2
1
<
≤ x
35
,
0
)
(
=
x
F
, se
3
2
<
≤ x
55
,
0
)
(
=
x
F
, se
4
3
<
≤ x
85
,
0
)
(
=
x
F
, se
5
4
<
≤ x
1
)
(
=
x
F
, se 4
5
≥
x
Assinale a opção que corresponde à freqüência de observações de X iguais a
três.
a) 55
b) 35
c) 20
d) 30
e) 85
Resolução.
Na verdade a questão não é de variáveis aleatórias. O experimento já foi feito
e temos as freqüências de cada observação (não as suas probabilidades).
Mas, para treinarmos matéria que estamos vendo, dá para pensar que o que
temos é uma função distribuição de probabilidades. E a pergunta é: qual a
probabilidade de X ser igual a 3? Nesse caso, as alternativas estariam em
percentual.
A FDP apresenta saltos (para x igual a 1, 2, 3, 4 e 5). Esses são justamente os
valores que X pode assumir.
20
,
0
35
,
0
55
,
0
)
2
(
)
3
(
)
3
(
=
−
=
−
=
=
FDP
FDP
X
P
A probabilidade de X ser igual a 3 é de 20%.
Gabarito: C.
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Encerramos aqui a aula de hoje.
Na sequência, trago comentários adicionais, de leitura opcional.
Há alguns assuntos que, para vermos com mais detalhes, seria necessário um
contato prévio com noções de cálculo (limite, derivada, integral).
Estas ferramentas são estudadas em cursos de graduação da área de exatas
(matemática, física, engenharia, etc).
Só que é inviável abordar detalhadamente este tipo de assunto em um curso
para concursos. Na minha opinião, um concurso aberto a candidatos de todas
as áreas jamais poderia exigir algo desse tipo.
Pois é, mas, infelizmente, nem sempre é o que acontece. Um grande exemplo
foi a prova do último AFRFB, que cobrou o conhecimento do cálculo de uma
integral. Tudo bem que a integral era simples. Mas, para quem não é da área
de exatas, qualquer integral é impossível, simplesmente porque a pessoa
nunca estudou esta matéria.
Por conta destas cobranças totalmente desarrazoadas, vou incluir esta leitura
“extra”, com resolução de alguns exercícios de concurso a respeito.
Mas já fica o alerta: se você nunca estudou cálculo, na boa, esquece o que
vem a seguir. Melhor dizendo: nem gaste seu tempo lendo. Não vale a pena
o custo/benefício.
Por outro lado, se você já estudou cálculo, aí talvez a continuação da aula
possa lhe ser útil.
Como já dissemos, o cálculo de esperança para variáveis contínuas não é um
assunto cuja exigência é razoável para uma prova aberta a candidatos de
todas as áreas. Isto porque exige que o aluno já tenha estudado cálculo,
matéria pertencente às cadeiras introdutórias de cursos de engenharia,
matemática, física etc.
Pois bem, apesar de isto ser o razoável, não é o que tem ocorrido. Basta dar
uma olhada na última prova do AFRFB. Imaginem que vem a ESAF e me coloca
uma questão que exigia justamente isso: o cálculo de esperança para variáveis
contínuas.
No caso da prova da Receita Federal, até que não foi tão ruim assim. Mesmo
que o candidato não soubesse nada de cálculo, apenas analisando as
alternativas era possível chegar à resposta.
Vamos ver a questão cobrada no AFRFB:
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12.
(AFRFB 2009/ESAF) A função densidade de probabilidade de uma
variável aleatória contínua X é dada por:
2
3
)
(
x
x
f
=
, se
0
1
≤
≤
−
x
)
(
x
f
= 0, caso contrário.
Para esta função, a média de X também denominada expectância de X e
denotada por E(X), é igual a:
a) 4/3
b) 3/4
c) -3/4
d)
x
4
3
−
e)
x
3
4
−
Resolução.
Olha só como não era preciso saber nada de cálculo para marcar a alternativa
correta.
A esperança de X é um número. É algo fixo, que não varia.
X é uma variável aleatória. Mas sua média é um número real. Logo, já
descartamos as alternativas D e E.
Sabemos que a variável só assume valores no intervalo de -1 a 0. Logo, ela só
assume valores negativos. Portanto, sua média só pode ser negativa. Com
isso, marcamos a letra C.
Gabarito: C
E para realmente resolver a questão? E para realmente calcular a esperança,
como faz?
Bom, aí é que precisaríamos ver a definição de esperança para variáveis
contínuas, algo que, como já disse, não deveria ser cobrado numa prova
aberta a candidatos de todas as áreas.
Pelo sim pelo não, vou colocar alguns exercícios sobre o cálculo de esperança
para variáveis contínuas. Mas só será útil para quem já tiver estudado cálculo.
Creio que foge ao escopo deste curso ficar dando teoria de cálculo, como
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explicações sobre o que é uma derivada, o que é uma integral, e como calcular
cada uma delas.
Se você nunca estudou estas matérias, não tem a menor idéia do que
seja uma integral, nem perca tempo lendo o restante da aula. Na boa:
seria matéria nova demais, com chances reduzidas de serem cobradas.
Não vale a pena!!!
Se você já estudou cálculo, aí sim, continue lendo a aula. Pelo menos você fica
precavido para o caso de a ESAF repetir a dose.
Variáveis contínuas:
∫
∞
∞
−
×
=
dx
x
f
x
X
E
)
(
)
(
Onde F representa a FDP e f representa a fdp.
No caso da questão do AFRFB, a esperança ficaria:
4
/
3
4
3
3
)
(
)
(
0
1
4
0
1
3
−
=
=
=
=
−
−
∞
∞
−
∫
∫
x
dx
x
dx
x
xf
X
E
Na seqüência, veremos mais alguns exercícios a respeito. Detalhe: todas as
questões a seguir foram retiradas de provas destinadas a candidatos com
formação específica (a maioria para a área de estatística). E eu continuo
achando que esse tipo de questão não pode ser cobrada em prova aberta a
candidatos de todas as áreas. Mas, caso a ESAF resolva repetir a dose, aí já
viu...
13.
(MPU/2007/FCC) O tempo em minutos, X, para a digitação de um texto,
é considerado uma variável aleatória contínua com função densidade de
probabilidade dada por:
4
/
1
)
(
=
x
f
, se
2
0
<
≤ x
8
/
1
)
(
=
x
f
, se
6
2
<
≤ x
0
)
(
=
x
f
, caso contrário
O valor esperado de X é:
a) 5,0
b) 4,0
c) 3,5
d) 2,5
e) 1,0
Resolução:
Temos:
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∫
∫
∫
+
=
=
∞
∞
−
6
2
2
0
8
4
)
(
]
[
dx
x
dx
x
dx
x
xf
X
E
5
,
2
16
4
16
36
2
1
16
8
]
[
6
2
2
2
0
2
=
−
+
=
+
=
x
x
X
E
Gabarito: D.
14.
Petrobras 2005 [CESGRANRIO]
A variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade
)
1
(
6
)
(
x
x
x
f
−
×
=
, se
1
0
<
< x
e
0
)
(
=
x
f
, se x
≤
0 ou x
≥
1. Qual é a média de X?
(A) 0,4
(B) 0,5
(C) 0,6
(D) 0,75
(E) 0,8
Resolução.
2
6
6
)
(
x
x
x
f
−
=
, para x entre 0 e 1.
Logo:
∫
×
=
1
0
)
(
)
(
dx
x
f
x
X
E
(
)
∫
−
=
1
0
3
2
6
6
)
(
dx
x
x
X
E
1
0
4
3
4
6
3
6
)
(
x
x
X
E
−
=
5
,
0
5
,
1
2
4
6
3
6
)
(
=
−
=
−
=
X
E
Gabarito: B
Um abraço e até a próxima aula.
Guilherme Neves