RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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1
Aula 8 – Parte 2
1.
Unidade de medida de ângulos ................................................................................................................. 2
I.
Radiano .................................................................................................................................................. 2
2.
Trigonometria no triângulo retângulo ....................................................................................................... 5
I.
Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo .......................................................................... 6
II.
Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo ................................................................................ 7
III.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis ................................................................................. 10
IV.
Relações entre seno, cosseno e tangente ........................................................................................ 15
3.
Razões trigonométricas na circunferência ............................................................................................... 20
I.
Círculo trigonométrico ......................................................................................................................... 20
II.
Sinal das razões trigonométricas ......................................................................................................... 22
III.
Fórmulas Importantes ...................................................................................................................... 23
4.
Questões da ESAF com assuntos “esporádicos” ...................................................................................... 32
5.
Relação das questões comentadas .......................................................................................................... 37
6.
Gabaritos .................................................................................................................................................. 42
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2
1.
Unidade de medida de ângulos
Ao dividir um ângulo raso em 180 partes iguais, obtemos ângulos de 1º (um grau). Portanto, o
ângulo de 1º é o ângulo que corresponde a 1/180 do ângulo raso.
I.
Radiano
Há outra medida de ângulos que é muito utilizada e faz parte do SI (Sistema Internacional de
Unidades). Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer
unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é apresentada, normalmente se utiliza a sigla rad.
E o que significa 1 radiano?
Imagine uma circunferência com o raio igual a 1 metro.
Marque um ponto qualquer na circunferência. Imagine agora que esta circunferência é uma mini-
pista de Cooper. Você decide andar sobre a circunferência exatamente o comprimento de 1 metro.
Pois bem, o ângulo formado pelos dois raios tracejados é de exatamente 1 radiano.
Na verdade, não é necessário que o raio seja de 1 metro. O que precisa acontecer é o seguinte:
i)
Trace uma circunferência com um raio qualquer. Digamos que o raio seja igual a R.
1 metro
1 metro
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3
ii)
Marque um ponto inicial na circunferência. Ao “andar” sobre a circunferência um
comprimento igual ao raio da circunferência, estará definido um arco de 1 radiano.
E a volta completa representa quantos radianos?
Para responder esta pergunta, basta efetuar uma regra de três.
Se quando o comprimento andado na circunferência é igual a R, o arco medido é de 1 radiano,
quantos radianos há na volta completa? (lembre-se que o comprimento total da circunferência é
igual a
2).
Comprimento “andado” na circunferência
Radianos
1
2
É óbvio que aumentando o comprimento andando na circunferência, aumentará o ângulo.
Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.
1
=
2
1
=
1
2
= 2
Desta forma, a volta completa (360º) corresponde a
2.
Obviamente, 180º é a metade de 360º, portanto 180º correspondem a
.
Tendo em vista essas considerações, podemos estabelecer a seguinte correspondência para
conversão de unidades:
180° ⇆
Exemplo 1.
Exprima 210º em radianos.
Resolução
Basta “montar” uma regra de três. Em casos como este de mudança de unidades, a regra de três
é sempre direta, de forma que podemos aplicar a propriedade fundamental das proporções: o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
180° ⇆
210° ⇆
180° ∙ = 210° ∙
=
210° ∙
180° =
210
180 =
21
18
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4
=
7
6
Exemplo 2.
Exprima
em graus.
Resolução
180° ⇆
⇆
2
3
∙ = 180° ∙
2
3
∙ = 120°
= 120°
Memorizando alguns valores básicos, podemos rapidamente deduzir outros. Por exemplo, vamos
transformar 30º em radianos.
180° ⇆
30° ⇆
180° ∙ = 30° ∙
=
30° ∙
180° =
30
180 =
6
=
6
Ora, se 30º é o mesmo que
/6 rad, portanto para calcular 60º em radianos basta multiplicar /6
rad por 2 (já que 60º é o dobro de 30º).
60° ⇆ 2 ∙
6 =
3
90º é o triplo de 30º, portanto para calcular 90º em radianos basta multiplicar
/6 rad por 3 (já que
90º é o triplo de 30º).
90° ⇆ 3 ∙
6 =
2
45º é a metade de 90º, então para calcular 45º em radianos basta dividir
/2 rad por 2.
45° ⇆
2
2 =
4
120º é o dobro de 60º, portanto para calcular 120º em radianos basta multiplicar
/3 por 2.
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5
120° ⇆ 2 ∙
3 =
2
3
270º é o triplo de 90º, portanto para calcular 270º em radianos basta multiplicar
/2 por 3.
270° ⇆ 3 ∙
2 =
3
2
E desta forma, podemos criar a seguinte tabela de valores notáveis.
Graus
Radianos
30º
6
45º
4
60º
3
90º
2
120º
2
3
180º
270º
3
2
360º
2
2. Trigonometria no triângulo retângulo
Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto (90º).
Para manter uma notação uniforme ao longo da aula, sempre que tratarmos de um triângulo
retângulo ABC, consideraremos que o ângulo reto é o de vértice A.
Em geometria, é comum utilizar a notação de que o nome do lado tem o mesmo nome do vértice
oposto.
Em suma, teremos como modelo o seguinte triângulo retângulo:
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Pela Lei Angular de Tales,
+ + = 180°. Como = 90°, então:
90° + + = 180°
+ = 90°
Ou seja, os ângulos agudos de um triângulo retângulo são sempre complementares (a soma é
90º).
Pois bem, em todo triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e o
os outros lados são chamados de catetos.
Lembre-se ainda que é válido o Teorema de Pitágoras:
=
+
I.
Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo
Vamos considerar novamente o triângulo retângulo ABC.
Em relação ao ângulo
:
é"#$#""%"&#".
é"#$#"($)#$.
Em relação ao ângulo
*:
é"#$#""%"&#".
é"#$#"($)#$.
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II.
Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos seno, cosseno e tangente como
segue:
SENO
O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
&$)"$+,â).+/".+" =
#$#""%"&#""â).+/"
ℎ1%"#$)+&
&$)* =
&$) =
COSSENO
O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
"&&$)"$+,â).+/".+" =
#$#"($)#$"â).+/"
ℎ1%"#$)+&
"&* =
"& =
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8
TANGENTE
A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo.
#).$)#$$+,â).+/".+" =
#$#""%"&#""â).+/"
#$#"($)#$"â).+/"
#.* =
#. =
É importante notar que as funções trigonométricas dependem exclusivamente dos ângulos e não
do “tamanho” do triângulo.
01.
(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja
o triângulo retângulo representado na figura abaixo:
Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,71.
d) 0,75.
e) 0,8
Resolução
Apliquemos o Teorema de Pitágoras: Um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
22 3 14
+ 2 + 24
= 22 + 14
4
3 4 + 1 +
+ 4 + 4 = 4
+ 4 + 1
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9
3 4 + 4 = 0
=
3 ± √
3 4
2
=
32344 ± 72344
3 4 ∙ 1 ∙ 4
2 ∙ 1
=
4 ± 0
2 = 2
Assim, os lados do triângulo serão:
2x – 1 = 3
x+2 = 4
2x+1=5
"&8 =
#$#"($)#$"â).+/"8
ℎ1%"#$)+&
=
3
5 = 0,6
Letra B
Exemplo 3.
Considerando que
&$)24° = 0,4067 determine o valor de no triângulo retângulo
abaixo.
Resolução
Queremos calcular o cateto oposto ao ângulo de 24º. Para isto vamos utilizar a função seno.
&$)24° =
#$#""%"&#""â).+/"$24°
ℎ1%"#$)+&
0,4067 =
10
24
o
10
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10
= 10 × 0,4067
= 4,067
III.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem com bastante frequência em
problemas de trigonometria. Por esta razão, vamos apresentar essas razões na forma fracionária.
30º
45º
60º
Seno
;
<
√<
<
√=
<
Cosseno
√=
<
√<
<
;
<
Tangente
√=
=
;
√=
Exemplo 4.
Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 20 cm e um
dos ângulos agudos mede 30º.
Resolução
i) Cálculo de
.
Note que
é o cateto oposto ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa, então a razão
que relaciona esses dados é o seno.
&$)30° =
#$#""%"&#""â).+/"$30°
ℎ1%"#$)+&
1
2 =
20
2 ∙ = 1 ∙ 20
= 10
30
o
20
>
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Neste ponto poderíamos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o valor de
>. Porém, para
treinar mais as razões trigonométricas, vamos calcular o valor de
> supondo que não é
conhecido.
ii) Cálculo de
>.
Note que
> é o cateto adjacente ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa, então a
razão que relaciona esses dados é o cosseno.
"&30° =
#$#"($)#$"â).+/"$30°
ℎ1%"#$)+&
√=
<
=
>
20
2 ∙ > = 20 ∙ √3
> = 10√3
Vale a pena notar o seguinte fato: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a metade da
hipotenusa.
02.
(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação
2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o
comprimento do muro para que providencie a compra do material necessário. Na figura
abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:
Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta
medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.
a)
1 + 2√3
b)
2 + 2√3
c)
1 + √3
d)
2 + √3
e)
3 + √3
Resolução
Lembremos os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.
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30º
45º
60º
Seno
;
<
√<
<
√=
<
Cosseno
√=
<
√<
<
;
<
Tangente
√=
=
;
√=
Um lembrete importante que poderá você ganhar tempo é o seguinte.
Em um triângulo retângulo com ângulos agudos iguais a 30º e 60º, o cateto oposto ao
ângulo de 30º é igual à metade da hipotenusa.
Como a hipotenusa é igual a 2, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual a 1. Se você não
se lembrar, basta aplicar as definições de seno e cosseno no triângulo retângulo.
â
&$)8 =
#$#""%"&#"" ).+/"8
ℎ1%"#$)+&
"&8 =
#$#"($)#$"â).+/"8
ℎ1%"#$)+&
Assim,
â
&$)30
?
=
#$#""%"&#"" ).+/"$30°
ℎ1%"#$)+&
=
2 =
1
2
Portanto, x = 1.
â
"&30
?
=
#$#"($)#$" ).+/"30°
ℎ1%"#$)+&
=
>
2 =
√3
2
Assim,
> = √3
O perímetro (em geometria indicamos o perímetro por 2p) é igual a
2% = 2 + 1 + √3 = 3 + √3
Letra E
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03.
(AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano
horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que
sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao
ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
Resolução.
1 hora equivale a 60 minutos. Cada minuto corresponde a 60 segundos. Portanto,
1ℎ" = 60 ∙
60& = 3.600&.
Em 1 hora (3.600 segundos), a bala percorre 900 km. Qual a distância percorrida em 5 segundos?
Distância (km)
Tempo (s)
900 km
3.600
x
5
Observe que diminuindo o tempo, a distância percorrida também diminuirá. As grandezas são
diretamente proporcionais.
900
=
3.600
5
900
= 720
720 = 900
=
900
720 =
90
72 =
10
8 =
5
4 = 1,25
Representando a trajetória da bala, temos:
O triângulo acima é retângulo, pois uma reta horizontal é sempre perpendicular a uma reta
vertical.
No triângulo retângulo, sabemos que o seno de um ângulo é dado pela divisão entre o cateto
oposto ao ângulo e a hipotenusa.
30
o
1,25
ℎ
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14
&$)30° =
ℎ
1,25
1
2 =
ℎ
1,25
2ℎ = 1,25
ℎ = 0,625
Poderíamos usar o fato que foi dito anteriormente: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a
metade da hipotenusa.
Desta forma:
ℎ =
1,25
2 = 0,625
Letra B
04.
(STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,
e
2> 3 24. Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a
1, então o perímetro do triângulo é igual a:
a)
2>2 + 14
b)
>22 + 2√24
c)
22 + √24
d)
22 + >4
e)
+ >
Resolução
A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o
cateto adjacente ao ângulo. O problema disse que a tangente do ângulo oposto ao cateto de
medida
(ângulo @) é igual a 1.
#.@ = 1
> 3 2 = 1
= > 3 2
@
> 3 2
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Ou seja, os dois catetos são iguais a
.
Vamos considerar que a hipotenusa do triângulo retângulo é igual a
. Desta forma, podemos
aplicar o teorema de Pitágoras.
=
+ 2> 3 24
=
+
= 2
= √2
Os dois catetos têm medida igual a
e a hipotenusa é igual a√2.
O perímetro é igual a:
+ + √2 = 2 + √2 = 22 + √24
Letra C
IV.
Relações entre seno, cosseno e tangente
Voltemos ao triângulo retângulo “modelo”.
&$)* =
"&
* =
Destas duas relações, podemos concluir que
= ∙ &$)* e que = ∙ "&*.
O teorema de Pitágoras afirma que:
+
=
Vamos substituir as expressões
= ∙ &$)* e = ∙ "&* no teorema de Pitágoras.
2 ∙ &$)*4
+ 2 ∙ "&*4
=
∙ 2&$)*4
+
∙ 2"&*4
=
Dividindo os dois membros da equação por
, obtemos:
2&$)*4
+ 2"&*4
= 1
Analogamente podemos provar que
2&$)4
+ 2"&4
= 1.
Temos o costume de escrever as expressões acima assim:
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&$)
* + "&
* = 1
Ou seja,
2&$)*4
= &$)
*.
Esta expressão é conhecida como Relação Fundamental da Trigonometria.
Aliás, esta é a expressão mais importante desta aula.
Posteriormente, veremos que esta relação é válida para qualquer ângulo (não necessariamente
agudo).
Vamos agora mostrar que:
#.* =
&$)*
"&*
De fato,
&$)*
"&*
=
=
∙
=
= #.
*
Então grave bem essas duas fórmulas que são válidas para qualquer ângulos (desde que a
tangente exista como vamos ver posteriormente).
&$)
* + "&
* = 1
#.* =
&$)*
"&*
05.
(AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que
3"& + &$) = 31, então um dos possíveis valores
para a tangente de x é igual a:
a) -4/3
b) 4/3
c) 5/3
d) -5/3
e) 1/7
Resolução
Coloquei essa questão com o intuito de lembrar uma fórmula importantíssima de trigonometria. É
tão importante que é chamada de Relação Fundamental da Trigonometria. Ei-la:
&$)
+ "&
= 1
São inúmeras as questões que podem ser resolvidas com o auxílio dessa relação. Para que
possamos utilizá-la na questão, devemos elevar ambos os membros da equação ao quadrado.
23"& + &$)4
= 2314
9"&
+ 6 ∙ &$) ∙ "& + &$)
= 1
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Ora, mas podemos dizer que
9"&
= 8"&
+ "&
Ficamos com
8"&
+ 6 ∙ &$) ∙ "& + "&
+ &$)
= 1
Mas lembre-se que
&$)
+ "&
= 1
Portanto,
8"&
+ 6 ∙ &$) ∙ "& + 1 = 1
8"&
+ 6 ∙ &$) ∙ "& = 0
8"&
= 36 ∙ &$) ∙ "&
8"& = 36 ∙ &$)
&$)
"& =
8
36
#. = 3
4
3
Letra A
06.
(AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações
=
+
−
=
−
)
2
(
)
(
)
cos(
)
2
cos(
)
cos(
)
(
a
sen
a
ysen
a
x
a
a
y
a
xsen
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados das
raízes é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d)
π
sen
e)
π
cos
Resolução.
A idéia é a mesma do exercício anterior. Elevamos todas as parcelas das igualdades ao
quadrado, para surgirem seno ao quadrado e cosseno ao quadrado. Em seguida, utilizaremos a
propriedade que diz:
1
)
(
cos
)
(
2
2
=
+
α
α
sen
Muito bem.
Vamos elevar todos os termos ao quadrado:
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=
×
×
+
+
=
×
×
−
+
)
2
(
)
cos(
)
(
2
)
(
)
(
cos
)
2
(
cos
)
cos(
)
(
2
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
sen
a
a
sen
xy
a
sen
y
a
x
a
a
a
sen
xy
a
y
a
sen
x
Agora vamos somar a equação de cima com a debaixo.
Do lado esquerdo da igualdade, notem que os termos destacados em vermelho vão se anular:
+
+
−
+
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
sen
y
a
x
a
y
a
sen
x
)
cos(
)
(
2
)
cos(
)
(
2
a
a
sen
xy
a
a
sen
xy
×
×
×
×
)
2
(
)
2
(
cos
2
2
a
sen
a
=
=
Vamos então efetuar a soma, já cancelando os termos destacados. Ficamos com:
=
+
+
+
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
sen
y
a
x
a
y
a
sen
x
)
2
(
)
2
(
cos
2
2
a
sen
a +
Do lado direito da igualdade, temos o quadrado do seno de 2a, somado com o quadrado do
cosseno deste mesmo ângulo. Sempre que temos uma soma de seno ao quadrado com cosseno
ao quadrado, a soma é igual a 1.
=
+
+
+
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
sen
y
a
x
a
y
a
sen
x
)
2
(
)
2
(
cos
2
2
a
sen
a +
=
+
+
+
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
sen
y
a
x
a
y
a
sen
x
1
Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar x
2
em evidência. O mesmo vale para y
2
.
=
+
+
+
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
sen
y
a
x
a
y
a
sen
x
1
(
)
(
)
1
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
a
sen
a
y
a
a
sen
x
1
( )
( )
1
1
1
2
2
=
+ y
x
1
2
2
=
+ y
x
A soma dos quadrados das raízes é 1.
Letra A
07.
(AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠
90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz
resultante?
a) α cos y.
b) α
2
tg y.
c) α sen y.
d) 0.
e) -α sen y.
Resolução
Vamos calcular o determinante da matriz original, antes de multiplicá-la por α.
Para tal, vamos aplicar a regra de Sarrus que aprendemos na aula de matrizes e determinantes
(aula 6).
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19
Devemos repetir as duas primeiras colunas.
A
1
#.>
1
α
#.>
1
cos > &$)> cos >
A
1
#.>
α
#.>
cos > &$)>
Primeiro multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal e em seguida multiplicamos
os elementos na direção da diagonal secundária (trocando os sinais dos resultados).
O determinante da matriz é igual a:
1 ∙ #.> ∙ cos > + #.> ∙ 1 ∙ cos > + 1 ∙ @ ∙ &$)> 3 #.> ∙ @ ∙ cos > 3 1 ∙ 1 ∙ &$)> 3 1 ∙ #.> ∙ cos > =
Lembre-se que:
#.> =
&$)>
cos >
Vamos utilizar esta fórmula na expressão do determinante.
1 ∙
&$)>
cos > ∙ cos > +
&$)>
cos > ∙ 1 ∙ cos > + 1 ∙ @ ∙ &$)> 3
&$)>
cos > ∙ @ ∙ cos > 3 1 ∙ 1 ∙ &$)> 3 1 ∙
&$)>
cos > ∙ cos > =
= &$)> + &$)> + @ ∙ &$)> 3 @ ∙ &$)> 3 &$)> 3 &$)> = 0
Desta forma, o determinante da matriz é igual a 0.
Vamos lembrar uma propriedade importantíssima dos determinantes. Quando multiplicamos uma
fila de uma matriz por uma constante
@, o determinante fica multiplicado por @.
Como a matriz é de terceira ordem, então o determinante será multiplicado por
∙ ∙ .
Portanto, ao multiplicar a matriz por
@, o determinante da matriz será igual a
∙ ∙ ∙ 0 = 0
Letra D
08.
(TFC 2000/ESAF) Se
= 3&$)@ e > = 4 cos @, então, para qualquer ângulo @, tem-se que:
a)
16
3 9>
= 3144
b)
16
+ 9>
= 144
c)
16
3 9>
= 144
d)
3
16
+ 9>
= 144
e)
16
+ 9>
= 3144
Resolução
Se
= 3&$)@ e > = 4 cos @, podemos concluir que:
&$)@ =
3 $ cos @ =
>
4
Vamos usar a Relação Fundamental da Trigonometria.
1
cos
2
2
=
+
α
α
sen
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20
F
3G
+ F
>
4G
= 1
9 +
>
16 = 1
16
+ 9>
144
= 1
16
+ 9>
= 144
Letra B
3. Razões trigonométricas na circunferência
I.
Círculo trigonométrico
Vamos estender o conceito das razões trigonométricas para arcos na circunferência. Para tal,
vamos definir o que é o círculo (ou circunferência ou ciclo) trigonométrico.
O círculo trigonométrico nada mais é do que um círculo orientado de raio 1. Como assim
orientado?
Vamos definir um sentido positivo e um sentido negativo para se locomover ao longo da
circunferência. Adotamos que o sentido positivo é o sentido anti-horário e o sentido negativo é o
sentido horário.
Vamos considerar um plano cartesiano e dispor a circunferência de raio 1 exatamente na origem
do plano.
Por definição, o ponto (1,0) é a origem dos arcos. Então, para traçar um arco no ciclo
trigonométrico, começamos no ponto (1,0) e caminhamos ao longo do ciclo.
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Abaixo estão descritos dois arcos: 30º (arco vermelho) e
360º (arco azul).
Devemos nos lembrar sobre os quadrantes do plano cartesiano.
Desta forma, dizemos que o arco de 30º faz parte do primeiro quadrante e o arco de
360° faz
parte do 4º quadrante.
360°
30
o
360°
30
o
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
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II.
Sinal das razões trigonométricas
O sinal das razões trigonométricas de determinado arco depende exclusivamente de qual
quadrante ele se localiza.
Vamos fazer um pequeno resumo relacionando o quadrante que o arco possa se encontrar e o
sinal das funções trigonométricas.
Função
Sinal
SENO
COSSENO
TANGENTE
O quadro acima significa, por exemplo, que a tangente de um arco que se encontra no terceiro
quadrante é positiva.
O cosseno de um arco que se encontra no segundo quadrante é negativo.
O seno de um arco que se encontra no quarto quadrante é negativo.
Este quadro é importantíssimo!!!!
Para calcular as razões trigonométricas dos arcos nos outros quadrantes, precisamos memorizar
alguns valores e conhecer algumas fórmulas importantes.
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Arco
Seno
Cosseno
Tangente
0
0
1
0
90º
1
0
Não existe
180º
0
-1
0
270º
-1
0
Não existe
360º
0
1
0
Observe que sabendo os valores do seno e do cosseno, automaticamente podemos calcular a
tangente, lembrando que a tangente é a divisão do seno pelo cosseno.
É por esta razão que não existe a tangente de 90º e não existe a tangente de 270º (ocorreria uma
divisão por 0 que é uma “aberração” matemática).
É muito importante também notar que o maior valor que o seno e o cosseno podem
assumir é 1 e o menor valor que o seno e o cosseno podem assumir é
3;.
III.
Fórmulas Importantes
Pois bem, as fórmulas que precisamos conhecer são:
&$)
+ "&
= 1
Esta daqui já é nossa velha conhecida: a Relação Fundamental da Trigonometria. Fique bem
atento aos sinais das funções trigonométricas quando for utilizar esta fórmula.
#. =
&$)
cos
Esta fórmula também é nossa velha conhecida.
Agora as fórmulas “novas”:
&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos
&$)2 3 4 = &$) ∙ cos 3 &$) ∙ cos
cos2 + 4 = cos ∙ cos 3 &$) ∙ &$)
cos2 3 4 = cos ∙ cos + &$) ∙ &$)
Já ouvi um aluno dizer o seguinte para memorizar os sinais das fórmulas acima:
As fórmulas do SENO SEM troca de sinal.
As fórmulas do COSSENO COM troca de sinal.
Pode ser que isso ajude, não?
E para que serve isso?
Por exemplo, imagine que você precisa calcular o seno de 120º. Ora, lembre-se que
120° = 90° +
30°.
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Vamos utilizar a fórmula do
&$)2 + 4.
&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos
&$)290° + 30°4 = &$)90° ∙ cos 30° + &$)30° ∙ cos 90°
&$)2120°4 = 1 ∙ √
3
2 +
1
2 ∙ 0
&$)120° = √
3
2
Muito fácil, não?
Vamos ver outro exemplo...
Calcule o cosseno de 150º. Vamos resolver de duas maneiras: considerando que
150° = 180° 3
30° e considerando que 150° = 90° + 60°.
i)
150° = 180° 3 30°
Neste caso, utilizaremos a fórmula do
cos2 3 4. Lembre-se que a fórmula do cosseno é COM
troca de sinal, portanto, terá um + no meio da fórmula.
cos2180° 3 30°4 = cos 180° ∙ cos 30° + &$)180° ∙ &$)30°
cos 150 ° = 31 ∙ √
3
2 + 0 ∙
1
2
cos 150 ° = 3 √
3
2
E o cosseno tinha que ser negativo. Isto porque 150º é uma arco do segundo quadrante (já
que está entre 90º e 180º) e os cossenos dos arcos do segundo quadrante são negativos.
Basta olhar o quadro de sinais.
COSSENO
ii)
150° = 90° + 60°.
Neste caso vamos utilizar a fórmula
cos2 + 4. Lembre-se que a fórmula do cosseno é COM troca
de sinal. Deve haver um sinal de menos na fórmula.
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cos2 + 4 = cos ∙ cos 3 &$) ∙ &$)
cos290° + 60°4 = cos 90° ∙ cos 60° 3 &$)90° ∙ &$)60°
cos 150° = 0 ∙
1
2 3 1 ∙
√3
2
cos 150 ° = 3 √
3
2
Exemplo 5.
Encontre uma expressão para
&$)2.
Para encontrar uma expressão para
&$)2, basta notar que 2 = + . Desta forma, utilizando a
fórmula de
&$)2 + 4, trocaremos a letra b pela letra a.
&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos
Fazendo
= ,
&$)2 + 4 = &$) ∙ cos + &$) ∙ cos
&$)2 = 2 ∙ &$) ∙ cos
09.
(CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que
2
2
arccos
=
x
e que
2
1
arcsin
=
y
então o valor da
expressão
)
cos(
y
x −
é igual a:
a)
4
2
6
+
b)
4
2
6
−
c)
2
2
d)
2
2
3
+
e)
2
Resolução
Quando afirmamos que
2
2
arccos
=
x
, isto quer dizer que x é o arco cujo cosseno vale
2
/
2
.
Analogamente, quando afirmamos que
2
1
arcsin
=
y
, isto quer dizer que y é o arco cujo seno vale
1/2.
Assim, concluímos que:
45
=
x
º;
30
=
y
º
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26
Portanto, a questão quer que a gente calcule
cos245° 3 30°4.
Para isso, vamos utilizar a fórmula de
cos2 3 4.
cos2 3 4 = cos ∙ cos + &$) ∙ &$)
cos245° 3 30°4 = cos 45° ∙ cos 30° + &$)45° ∙ &$)30°
"&15° = √
2
2 ∙
√3
2 +
√2
2 ∙
1
2 =
√6
4 +
√2
4 =
√6 + √2
4
Letra A
Observe que poderíamos marcar a resposta sem efetuar as contas.
Sabemos que:
1
)
(
cos
)
(
2
2
=
+
α
α
sen
Disto, podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são, no máximo, iguais a 1.
Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo 2, aí quando elevamos ao quadrado já
obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um valor maior que 4. Logo,
a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não seria igual a 1, o que é absurdo.
Da mesma forma, também podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são no mínimo -
1.
Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo
32, aí quando elevamos ao quadrado já
obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um valor maior que 4. Logo,
a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não seria igual a 1, o que é absurdo.
→
O seno e o cosseno variam entre
– ; e ;.
31 ≤ &$) ≤ 1
31 ≤ "& ≤ 1
Sabendo que tanto o seno quanto o cosseno são sempre menores ou iguais a 1, já podemos
descartar as alternativas D e E.
Lembrando a tabela do cosseno:
Ângulo
cosseno
0º
1
30º
2
/
3
45º
2
/
2
60º
½
90º
0
O ângulo de 15º está entre 0 e 30º. Logo, seu cosseno deve estar entre 1 e
2
/
3
.
Já podemos, portanto, descartar a letra C. A letra C traz
2
/
2
, que é o cosseno de 45.
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A letra B traz um número que é menor que
2
/
3
. Também deve ser descartada.
Por exclusão, ficamos com a letra A.
010.
(MPOG 2003/ESAF) Sabendo que
é o ângulo correspondente a um arco do segundo
quadrante, e que seno de
é igual a 12/13, então a tangente de é igual a:
a) -12/5
b) -10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5
Resolução
O enunciado informou que o arco é do segundo quadrante.
Função
Sinal
SENO
COSSENO
TANGENTE
De acordo com esta tabela, no segundo quadrante o seno é positivo, o cosseno é negativo e a
tangente é negativa. Com isso ficamos com as alternativas A e B. Quem sabe o tempo da prova
está acabando e você precise dar um “chute”. Você já aumenta a sua chance de acerto para 50%.
Bom, mas se Deus quiser você não vai precisar disso.
Então como proceder?
Vejamos a Relação Fundamental da Trigonometria.
&$)
+ "&
= 1
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28
J
12
13K
+ "&
= 1
"&
= 1 3
144
169 =
169 3 144
169
"&
=
25
169
Temos duas possibilidades:
"& =
5
13 "+"& = 3
5
13
Ora, mas o arco é do segundo quadrante e seu cosseno é negativo.
Concluímos que:
"& = 3
5
13
Para calcular a tangente de
usamos o fato que a tangente é o quociente do seno pelo cosseno.
#. =
&$)
cos =
12/13
35/13 =
12
13 ∙ J3
13
5 K = 3
12
5
Letra A
011.
(STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus elementos
LM
dados
por:
LM
= &$) F
2 1G &$1 = ($
LM
= cos2(4 &$1 ≠ (.
O determinante da matriz
= 10
OP
∙ é igual a:
a)
10
OQR
b)
10
OP
c)
10
O
d) 1
e) 10
Resolução
Lembre-se desta tabela:
Arco
Seno
Cosseno
Tangente
0
0
1
0
90º
1
0
Não existe
180º
0
-1
0
270º
-1
0
Não existe
360º
0
1
0
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Vamos construir a matriz de segunda ordem.
= S
Q
Q
T
Quando
1 = (, temos que
LM
= &$) F
1G.
Portanto:
= &$) F
2 ∙ 1G = &$) F
2G = &$)90° = 1
= &$) F
2 ∙ 2G = &$)24 = &$)180° = 0
Quando
1 ≠ (, temo que
LM
= cos2(4.
Portanto:
Q
= cos2 ∙ 24 = "&2 = "&360° = 1
Q
= cos2 ∙ 14 = "& = "&180° = 31
A matriz ficará assim:
= S 1 1
31 0T
$# = 1 ∙ 0 3 1 ∙ 2314 = 1
$# = 1
Nosso objetivo é calcular o determinante da matriz B tal que
= 10
OP
∙ .
Quando multiplicamos uma fila de uma matriz por uma constante k, seu determinante será
multiplicado por k. Ora, multiplicar a matriz A por
10
OP
significa multiplicar as suas duas linhas (ou
as duas colunas) por
10
OP
. Portanto:
$# = 10
OP
∙ 10
OP
∙ $# = 10
OQR
∙ 1
$# = 10
OQR
Letra A
012.
(STN 2000/ESAF) A expressão dada por
> = 3&$) + 4 é definida para todo número real.
Assim, o intervalo de variação de
> é:
a)
31 ≤ > ≤ 7
b)
37 < > ≤ 1
c)
37 < > ≤ 31
d)
1 ≤ > < 7
e)
1 ≤ > ≤ 7
Resolução
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30
Vimos que o menor valor possível para o seno de um arco é
31. Desta forma, o menor valor
assumido pela expressão y é quando
&$) = 31.
>
VíX
= 3 ∙ 2314 + 4 = 1
O maior valor possível para o seno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor assumido pela
expressão
> é quando &$) = 1.
>
VáZ
= 3 ∙ 1 + 4 = 7
Portanto, o menor valor possível para a expressão é 1 e o maior valor possível para a expressão é
7. Conclusão:
1 ≤ > ≤ 7
Letra E
013.
(SFC 2002/ESAF) A expressão dada por
> = 4 ∙ 2"&&$)"4 + 4 é definida para todo
número
real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a)
34 ≤ > ≤ 8
b)
0 < > ≤ 8
c)
3∞ ≤ > ≤ ∞
d)
0 ≤ > ≤ 4
e)
0 ≤ > ≤ 8
Resolução
Vimos que o menor valor possível para o cosseno de um arco é
31. Desta forma, o menor valor
assumido pela expressão y é quando
"& = 31.
>
VíX
= 4 ∙ 2314 + 4 = 0
O maior valor possível para o cosseno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor assumido pela
expressão
> é quando "& = 1.
>
VáZ
= 4 ∙ 1 + 4 = 8
Portanto, o menor valor possível para a expressão é 0 e o maior valor possível para a expressão é
8. Conclusão:
0 ≤ > ≤ 8.
Letra E
014.
(MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (3
1/2
)/2, e que co-seno de 60º é
igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo
α é igual ao dobro do produto do
seno de
α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60
0
é:
a)
- ½
b)
- (3
1/2
)
c)
3
1/2
d)
(3
1/2
)/2
e)
- (3
1/2
)/2
Resolução
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31
O ângulo suplementar de 60º é 120º, pois
60° + 120° = 180°.
Desta forma, nosso objetivo é calcular a tangente de 120º.
Vamos utilizar a fórmula fornecida pelo enunciado e que nós demonstramos no EP 5.
&$)2 = 2 ∙ &$) ∙ cos
&$)22 ∙ 60°4 = 2 ∙ &$)60° ∙ "&60°
&$)120° = 2 ∙
3
Q/
2 ∙
1
2
&$)120° =
3
Q/
2
Podemos calcular
"&120° com o auxílio da Relação Fundamental da Trigonometria.
&$)
+ "&
= 1
&$)
120° + "&
120° = 1
\
√3
2 ]
+ "&
120° = 1
3
4 + "&
120° = 1
"&
120° = 1 3
3
4 =
4 3 3
4 =
1
4
"&
120° =
1
4
Temos duas possibilidades:
"&120° =
1
2 "+"&120° = 3
1
2
Ora, 120º é um arco maior que 90º e menor que 180º e, portanto, pertence ao segundo quadrante.
O cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo.
COSSENO
Desta forma,
cos 120° = 31/2.
Para calcular a tangente de 120º vamos utilizar o fato de que a tangente é igual ao
quociente do seno pelo cosseno.
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32
#.120° =
&$)120°
"&120° =
3
Q/
2
F3 12G
= 3
3
Q/
2
∙
2
1
= 3
^3
Q/
_
Letra B
4. Questões da ESAF com assuntos “esporádicos”
015.
(STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede
2
e o outro mede
2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a:
a)
3
/
1
3
−
b)
2
/
1
2
c)
2
/
1
2
−
d)
2
3
e) 1
Resolução
A área de um triângulo pode ser calculada por meio da seguinte fórmula:
2
)
(
α
sen
b
a
×
×
onde a e b são dois lados quaisquer e
α
é o ângulo entre eles.
Podemos agora aplicar a fórmula da área do triângulo:
Área:
2
)
(
α
sen
b
a
×
×
=
2
)
45
(
2
2
sen
×
×
=
)
45
(
2
sen
×
=
1
2
2
2
=
×
Letra E
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33
→
Fórmulas para cálculo da área de um triângulo de lados a, b, c:
2
)
(
α
sen
b
a
×
×
(onde
α
é o ângulo entre a e b)
2
h
b
×
(onde h é a altura relativa ao lado b)
016.
(MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que
x é seu maior ângulo interno, então o valor de
)
(
1
2
x
sen
−
é igual a:
a) -1
b)
2
c) 1
d) 0
e)
3
2
Resolução
Creio que a idéia da banca era que o candidato analisasse as alternativas para marcar a resposta
correta.
Sabemos que, para qualquer ângulo, vale:
1
)
(
cos
)
(
2
2
=
+
x
x
sen
Logo:
=
)
(
cos
2
x
)
(
1
2
x
sen
−
Assim, o que o exercício pediu pra gente calcular, no fundo, é o valor de
)
(
cos
2
x
.
Qualquer número elevado ao quadrado é sempre não negativo. Com isso já descartamos a letra
A.
Além disso, sabemos que o cosseno é sempre menor ou igual a 1. Isto significa que
)
(
cos
2
x
também será sempre menor ou igual a 1. Já descartamos a letra B.
Na letra C, temos a indicação de que o cosseno vale 1. Neste caso, o ângulo x seria igual a zero
grau. Mas isto é impossível. Num triângulo, os ângulos são sempre diferentes de zero. Já
descartamos a letra C.
Na letra D temos a indicação de que o cosseno vale 0. Neste caso, o ângulo x seria igual a 90º.
Ou seja, teríamos um triângulo retângulo.
A figura abaixo representa um triângulo retângulo com lados a, b, c, e altura h, relativa à
hipotenusa a.
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34
Num triângulo retângulo, os catetos são duas das alturas. As duas maiores alturas seriam os dois
catetos do triângulo. Logo:
15
=
b
20
=
c
Por exclusão, a menor altura seria h.
12
=
h
Num triângulo retângulo, vale a seguinte relação:
ah
bc =
O produto dos catetos é igual ao produto entre a hipotenusa e a altura correspondente.
ah
bc =
25
12
20
15
=
⇒
×
=
×
a
a
Vamos testar se o triângulo de fato é retângulo. Para tanto, vamos aplicar o teorema de Pitágoras.
Se a soma dos quadrados dos catetos for igual ao quadrado da hipotenusa, então o triângulo é
retângulo.
625
20
15
2
2
=
+
625
25
2
=
De fato, o triângulo obedece ao teorema de Pitágoras. Então ele realmente é triângulo.
Com isso, achamos a resposta. O ângulo x procurado é 90º.
Gabarito: D
→
O triângulo retângulo apresenta relações importantes entre suas medidas,
chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Algumas delas são:
1)
ah
bc =
(onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa e h é a altura relativa à
hipotenusa)
2)
2
2
2
c
b
a
+
=
(onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa). Também conhecida
como teorema de Pitágoras
A resolução da questão sem a análise das alternativas envolve o conhecimento da chamada lei
dos cossenos.
Sejam a, b, c os lados do triângulo. Seja 20 a altura relativa ao lado a. Seja 15 a altura relativa ao
lado b. Seja 12 a altura relativa ao lado c.
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A área do triângulo é calculada multiplicando-se um dos lados pela altura relativa a este lado,
dividida por 2. Assim, a área do triângulo fica:
Área =
2
12
2
15
2
20
c
b
a
=
=
Multiplicando todos os termos por 2:
c
b
a
12
15
20
=
=
Das igualdades acima, concluímos que c é o maior lado do triângulo. Com isso, o ângulo a ele
oposto será o maior ângulo do triângulo. Isto porque, num triângulo, o maior ângulo sempre está
oposto ao maior lado. Observem a figura abaixo para melhor entendimento:
Observem que o maior ângulo do triângulo é xº. E ele está oposto justamente ao maior lado.
Vamos, na igualdade acima, achar a e b em função de c.
5
3c
a =
;
5
4c
b =
Ok, agora vamos para o tal da lei dos cossenos. Num triângulo qualquer, de lados a, b, c, onde z,
y, x são os ângulos opostos, respectivamente, aos lados a, b, c, temos:
)
cos(
2
2
2
2
z
bc
c
b
a
×
−
+
=
)
cos(
2
2
2
2
y
ac
c
a
b
×
−
+
=
)
cos(
2
2
2
2
x
ba
a
b
c
×
−
+
=
Esta é a lei dos cossenos. Vamos pegar a última equação, que é a que traz o cosseno de x, que é
o maior ângulo do triângulo.
)
cos(
2
2
2
2
x
ba
a
b
c
×
−
+
=
Substituindo os valores de a e b:
)
cos(
5
4
5
3
2
25
9
25
16
2
2
2
x
c
c
c
c
c
×
×
×
−
+
=
)
cos(
25
24
25
9
25
16
2
2
2
2
x
c
c
c
c
×
−
+
=
Dividindo os dois lados da igualdade por c
2
.
)
cos(
25
24
25
9
25
16
1
x
×
−
+
=
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25
)
cos(
24
25
1
x
−
=
)
cos(
24
25
25
x
−
=
0
)
cos(
24
=
−
x
0
)
cos(
=
x
0
)
(
cos
2
=
x
E conseguimos achar o valor do quadrado do cosseno de x.
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5. Relação das questões comentadas
01.
(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja
o triângulo retângulo representado na figura abaixo:
Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,71.
d) 0,75.
e) 0,8
02.
(Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação
2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o
comprimento do muro para que providencie a compra do material necessário. Na figura
abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:
Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta
medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.
a)
1 2√3
b)
2 2√3
c)
1 √3
d)
2 √3
e)
3 √3
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03.
(AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano
horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que
sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao
ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
04.
(STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,
e
(> − 2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a
1, então o perímetro do triângulo é igual a:
a)
2>( 1)
b)
>(2 2√2)
c)
(2 √2)
d)
2( >)
e)
>
05.
(AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que
3"& &$) = −1, então um dos possíveis valores
para a tangente de x é igual a:
a) -4/3
b) 4/3
c) 5/3
d) -5/3
e) 1/7
06.
(AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações
=
+
−
=
−
)
2
(
)
(
)
cos(
)
2
cos(
)
cos(
)
(
a
sen
a
ysen
a
x
a
a
y
a
xsen
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados das
raízes é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d)
π
sen
e)
π
cos
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07.
(AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠
90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz
resultante?
a) α cos y.
b) α
2
tg y.
c) α sen y.
d) 0.
e) -α sen y.
08.
(TFC 2000/ESAF) Se
= 3&$)@ e > = 4 cos @, então, para qualquer ângulo @, tem-se que:
a)
16
− 9>
= −144
b)
16
9>
= 144
c)
16
− 9>
= 144
d)
−
16
9>
= 144
e)
16
9>
= −144
09.
(CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que
2
2
arccos
=
x
e que
2
1
arcsin
=
y
então o valor da
expressão
)
cos(
y
x −
é igual a:
a)
4
2
6
+
b)
4
2
6
−
2
c)
2
d)
2
2
3
+
e)
2
010.
(MPOG 2003/ESAF) Sabendo que
é o ângulo correspondente a um arco do segundo
quadrante, e que seno de
é igual a 12/13, então a tangente de é igual a:
a) -12/5
b) -10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5
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011.
(STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus elementos
LM
dados
por:
LM
= &$) F
2 1G &$1 = ($
LM
= cos(() &$1 ≠ (.
O determinante da matriz
= 10
OP
∙ é igual a:
a)
10
OQR
b)
10
OP
c)
10
O
d) 1
e) 10
012.
(STN 2000/ESAF) A expressão dada por
> = 3&$) 4 é definida para todo número real.
Assim, o intervalo de variação de
> é:
a)
−1 ≤ > ≤ 7
b)
−7 < > ≤ 1
c)
−7 < > ≤ −1
d)
1 ≤ > < 7
e)
1 ≤ > ≤ 7
013.
(SFC 2002/ESAF) A expressão dada por
> = 4 ∙ ("&&$)") 4 é definida para todo
número
real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a)
−4 ≤ > ≤ 8
b)
0 < > ≤ 8
c)
−∞ ≤ > ≤ ∞
d)
0 ≤ > ≤ 4
e)
0 ≤ > ≤ 8
014.
(MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (3
1/2
)/2, e que co-seno de 60º é
igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo
α é igual ao dobro do produto do
seno de
α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60
0
é:
a)
- ½
b)
- (3
1/2
)
c)
3
1/2
d)
(3
1/2
)/2
e)
- (3
1/2
)/2
015.
(STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede
2
e o outro mede
2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a:
a)
3
/
1
3
−
b)
2
/
1
2
c)
2
/
1
2
−
d)
2
3
e) 1
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016.
(MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que
x é seu maior ângulo interno, então o valor de
)
(
1
2
x
sen
−
é igual a:
a) -1
b)
2
c) 1
d) 0
e)
3
2
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6. Gabaritos
01.
B
02.
E
03.
B
04.
C
05.
A
06.
A
07.
D
08.
B
09.
A
10.
A
11.
A
12.
E
13.
E
14.
B
15.
E
16.
D
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