Grupa A Zadanie 1
Stała c=0.1 bo prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki.
Rozkłady brzegowe pokazano w poniższej tabelce.
xi
p" j
-6 8 10
yj
1 0.2 0 0.3 0.5
2 0 0.1 0 0.1
3 0.2 0 0.2 0.4
pi" 0.4 0.1 0.5 1
Obliczenia:
3
Momenty
m10 = E(X ) = pi" = -6 Å" 0.4 + 8 Å" 0.1 + 10 Å" 0.5 = 3.4
"xi
i=1
3
m01 = E(Y ) = y p" j = 1Å" 0.5 + 2 Å" 0.1+ 3Å" 0.4 = 1.9
" j
j=1
3 3
m11 = xi y pij = 5.8
"" j
i=1 j=1
Cov(X ,Y ) = m11 - m10m01 = 5.8 - 1.9 Å" 3.4 = -0.66
3
2 2
m20 = E(X ) = pi" = 36 Å" 0.4 + 64 Å" 0.1 + 100 Å" 0.5 = 70.8
"x
i=1
3
m02 = E(Y ) = y2 p" j = 1Å" 0.5 + 4 Å" 0.1 + 9 Å" 0.4 = 4.5
" j
j=1
2 2
à = m20 - m10 = 70.8 - 3.42 = 59.24
X
2 2
ÃY = m02 - m01 = 4.5 - 1.92 = 0.89
Cov(X ,Y ) - 0.66
Á = = = -0.0909
2 2
59.24 Å" 0.89
à Ã
X Y
Zadanie 2
Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar
k = 20.05+0.03 , ogniwa o średniej długości mają
-0.04
wymiar
s = 25.05+0.03 a ogniwa długie wymiar d = 27.05+0.02 . Montujemy łańcuch z 25 ogniw krótkich, 20 ogniw
-0.02 -0.03
średnich i 20 długich.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha
L = 1543+0.2 mm (przewidzianÄ… normÄ…).
-0.1
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na podstawie
znajomości pola tolerancji korzystając z prawa a następnie wykorzystać CTG LF (centralne twierdzenie
3Ã
graniczne Lindeberga-Fellera).
RozwiÄ…zanie: (zobacz programy w MATLAB-ie)
Wartości średnie i odchylenia standardowe (w mm):
20.05 + 0.03 + 20.05 - 0.04 0.03 + 0.04
,
µ1 = = 20.045 Ã1 = = 0.0117
2 6
25.05 + 0.03 + 25.05 - 0.02 0.03 + 0.02
µ2 = = 25.055 , Ã = = 0.0083
2
2 6
27.05 + 0.02 + 27.05 - 0.03 0.02 + 0.03
,
µ3 = = 27.045 Ã = = 0.0083
3
2 6
Wartości do standaryzacji zmiennej:
,
µ = 25Å" 20.045 + 20 Å" 25.055 + 20 Å" 27.045 = 1543.125 Ã = 25 Å" 0.01172 + 20 Å" 0.00832 + 20 Å" 0.00832 = 0.0786
oraz
1542.9 - 1543.125 1543.2 - 1543.125
P(1542.9 < X <1543.2) = P( < X < ) =
" i " i
0.0786 0.0786
= P(-2.86 < Y < 0.95) = Åš(0.95) - (1- Åš(2.86)) = 0,8289 -1+ 0,9978 = 0,8267
Dokonano odczytu z tablic rozkładu normalnego.
Zadanie 3
Odczytać wartość kwantyla rzędu 0.95 z tablic rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody r=10 i wartość tego
kwantyla z tablic rozkładu N(0.1). Obliczyć względną różnicę procentową.
Rozkład Normalny: kwantyl rzędu 0.95 wynosi 1,6448
Rozkład Studenta:
t(0,1;10) = 1,8125
" 1,8125 -1,6448 0,1677 " 1.8125 -1,6448 0.1677
lub
= = = 10.2% = = = 9.25%
tN 1,6448 1,6448 tS 1.8125 1.8125
Zadanie 4
Są równe.