Grupa A Zadanie 1
Stała c=0.1 bo prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki.
Rozkłady brzegowe pokazano w poniższej tabelce.
xi
p·ð j
-6 8 10
yj
1 0.2 0 0.3 0.5
2 0 0.1 0 0.1
3 0.2 0 0.2 0.4
pi·ð 0.4 0.1 0.5 1
Obliczenia:
3
Momenty
m10 =ð E( X ) =ð pi·ð =ð -ð6 ×ð 0.4 +ð 8 ×ð 0.1 +ð 10 ×ð 0.5 =ð 3.4
åðxi
i=ð1
3
m01 =ð E(Y ) =ð y p·ð j =ð 1×ð 0.5 +ð 2 ×ð 0.1+ð 3×ð 0.4 =ð 1.9
åð j
j=ð1
3 3
m11 =ð xi y pij =ð 5.8
åðåð j
i=ð1 j=ð1
Cov(X ,Y ) =ð m11 -ð m10m01 =ð 5.8 -ð 1.9 ×ð 3.4 =ð -ð0.66
3
2 2
m20 =ð E( X ) =ð pi·ð =ð 36 ×ð 0.4 +ð 64 ×ð 0.1 +ð 100 ×ð 0.5 =ð 70.8
åðx
i=ð1
3
m02 =ð E(Y ) =ð y2 p·ð j =ð 1×ð 0.5 +ð 4 ×ð 0.1 +ð 9 ×ð 0.4 =ð 4.5
åð j
j=ð1
2 2
sð =ð m20 -ð m10 =ð 70.8 -ð 3.42 =ð 59.24
X
2 2
sðY =ð m02 -ð m01 =ð 4.5 -ð 1.92 =ð 0.89
Cov(X ,Y ) -ð 0.66
rð =ð =ð =ð -ð0.0909
2 2
59.24 ×ð 0.89
sð sð
X Y
Zadanie 2
Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar , ogniwa o średniej długości mają
k =ð 20.05+ð0.03
-ð0.04
wymiar a ogniwa długie wymiar . Montujemy łańcuch z 25 ogniw krótkich, 20 ogniw
s =ð 25.05+ð0.03 d =ð 27.05+ð0.02
-ð0.02 -ð0.03
średnich i 20 długich.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha mm (przewidzianą normą).
L =ð 1543+ð0.2
-ð0.1
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na podstawie
znajomości pola tolerancji korzystając z prawa a następnie wykorzystać CTG LF (centralne twierdzenie
3sð
graniczne Lindeberga-Fellera).
RozwiÄ…zanie: (zobacz programy w MATLAB-ie)
Wartości średnie i odchylenia standardowe (w mm):
20.05 +ð 0.03 +ð 20.05 -ð 0.04 0.03 +ð 0.04
,
mð1 =ð =ð 20.045 sð1 =ð =ð 0.0117
2 6
25.05 +ð 0.03 +ð 25.05 -ð 0.02 0.03 +ð 0.02
,
mð2 =ð =ð 25.055 sð =ð =ð 0.0083
2
2 6
27.05 +ð 0.02 +ð 27.05 -ð 0.03 0.02 +ð 0.03
,
mð3 =ð =ð 27.045 sð =ð =ð 0.0083
3
2 6
Wartości do standaryzacji zmiennej:
,
mð =ð 25×ð 20.045 +ð 20 ×ð 25.055 +ð 20 ×ð 27.045 =ð 1543.125 sð =ð 25 ×ð 0.01172 +ð 20 ×ð 0.00832 +ð 20 ×ð 0.00832 =ð 0.0786
oraz
1542.9 -ð 1543.125 1543.2 -ð 1543.125
P(1542.9 <ð X <ð1543.2) =ð P( <ð X <ð ) =ð
åð i åð i
0.0786 0.0786
=ð P(-ð2.86 <ð Y <ð 0.95) =ð Fð(0.95) -ð (1-ð Fð(2.86)) =ð 0,8289 -ð1+ð 0,9978 =ð 0,8267
Dokonano odczytu z tablic rozkładu normalnego.
Zadanie 3
Odczytać wartość kwantyla rzędu 0.95 z tablic rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody r=10 i wartość tego
kwantyla z tablic rozkładu N(0.1). Obliczyć względną różnicę procentową.
Rozkład Normalny: kwantyl rzędu 0.95wynosi 1,6448
Rozkład Studenta:
t(0,05;10) =ð 2,2281
Dð 2,2281-ð1,6448 0,5833 Dð 2,2281-ð1,6448 0,5833
lub
=ð =ð =ð 35,46% =ð =ð =ð 26,18%
tN 1,6448 1,6448 tS 2,2281 2,2281
Zadanie 4
Są równe.