Przykłady na sprowadzanie równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej
uxx + 4 cos 2x uxy - 4 sin2 2x uyy - 4 sin 2x uy = 0
Auxx + Buxy + Cuyy + . . . = 0
A = 1, B = 4 cos 2x, C = -4 sin2 2x, " = 16 cos2 2x+16 sin2 2x = 16 > 0, równanie jest wszędzie typu hiperbolicznego.
2
dy
Równanie charakterystyczne: A dy2 - B dy dx + C dx2 = 0, tzn. dy2 - 4 cos 2x dy dx - 4 sin2 2x dx2 = 0, czyli -
dx
dy
4 sin2 2x - 4 sin2 2x = 0.
dx
"
dy B " " 4 cos 2x " 4
= = = 2 cos 2x " 2, stÄ…d y = sin 2x " 2x + C" lub y - sin 2x Ä… 2x = C".
dx 2A 2
Wprowadzamy nowe zmienne ¾ = y - sin 2x + 2x, · = y - sin 2x - 2x, wtedy otrzymamy postać kanonicznÄ… typu
u¾· + skÅ‚adniki niższych rzÄ™dów = 0, w szczególnych przypadkach gdy tych skÅ‚adników niższego rzÄ™du nie bÄ™dzie można
łatwo otrzymać wszystkie rozwiązania (choć w przypadku równań różniczkowych cząstkowych zwykle zależy nam nie na
tym aby otrzymać wszystkie rozwiązania, ale takie rozwiązanie które spełnia zadane warunki początkowe i brzegowe).
Ewentualnie, jeżeli okaże się że ułatwia (upraszcza) to dalsze rachunki, możemy wziąć sumę i różnicę lub połowę sumy
i różnicy tych zmiennych, wtedy postaciÄ… kanonicznÄ… bÄ™dzie u¾¾ - u·· + skÅ‚adniki niższych rzÄ™dów = 0. (W przypadku
hiperbolicznym są możliwe dwie postaci kanoniczne.)
Idąc za tą pierwszą ze wspomnianych możliwości, dostajemy na podstawie wyprowadzonych już wzorów na pochodne
pierwszego i drugiego rzędu przy takim przekształceniu (a mianowicie:
ux = u¾¾x + u··x, uy = u¾¾y + u··y
uxx = u¾¾(¾x)2 + 2u¾·¾x·x + u··(·x)2 + u¾¾xx + u··xx
uxy = u¾¾¾x¾y + u¾·(¾x·y + ¾y·x) + u···x·y + u¾¾xy + u··xy, uyy = u¾¾(¾y)2 + 2u¾·¾y·y + u··(·y)2 + u¾¾yy + u··yy,
lub, w postaci jeszcze dogodniejszej do zastosowania:
ux = ¾xu¾ + ·xu·, uy = ¾yu¾ + ·yu·,
uxx = (¾x)2u¾¾ + 2¾x·xu¾· + (·x)2u·· + ¾xxu¾ + ·xxu·,
uxy = ¾x¾yu¾¾ + (¾x·y + ¾y·x)u¾· + ·x·yu·· + ¾xyu¾ + ·xyu·,
uyy = (¾y)2u¾¾ + 2¾y·yu¾· + (·y)2u·· + ¾yyu¾ + ·yyu·.
Tak więc w naszym przypadku
¾x = 2 - 2 cos 2x, ¾y = 1, ·x = -2 - 2 cos 2x, ·y = 1,
¾xx = 4 sin 2x, ¾xy = 0, ¾yy = 0, ·xx = 4 sin 2x, ·xy = 0, ·yy = 0
i otrzymujemy
ux = (2 - 2 cos 2x)u¾ + (-2 - 2 cos 2x)u·,
uy = u¾ + u·,
uxx = (2 - 2 cos 2x)2u¾¾ + 2(4 cos2 2x - 4)u¾· + (2 + 2 cos 2x)2u·· + 4 sin 2x u¾ + 4 sin 2x u·,
uxy = (2 - 2 cos 2x)u¾¾ - 4 cos 2xu¾· + (-2 - 2 cos 2x)u··,
uyy = u¾¾ + 2u¾· + u··,
czyli
ux = (2 - 2 cos 2x)u¾+(-2 - 2 cos 2x)u· ·0
uy = u¾+ u· ·(-4 sin 2x)
uxx=(2 - 2 cos 2x)2u¾¾+2(4 cos2 2x - 4)u¾·+ (2 + 2 cos 2x)2u··+ 4 sin 2x u¾+ 4 sin 2x u· ·1
uxy=(2 - 2 cos 2x) u¾¾- 4 cos 2x u¾·+(-2 - 2 cos 2x) u·· ·4 cos 2x
uyy = 1 u¾¾+ 2 u¾·+ 1 u·· ·(-4 sin2 2x)
Po podstawieniu do równania,
przy u¾¾ dostajemy współczynnik
4 - 8 cos 2x + 4 cos2 2x + 8 cos 2x - 8 cos2 2x - 4 sin2 2x = 4 - 4 cos2 2x - 4 sin2 2x, czyli 0;
przy u¾· współczynnik
8 cos2 2x - 8 - 16 cos2 2x - 8 sin2 2x = -8 - 8 cos2 2x - 8 sin2 2x, czyli - 16;
przy u·· współczynnik
4 + 8 cos 2x + 4 cos2 2x - 8 cos 2x - 8 cos2 2x - 4 sin2 2x = 4 - 4 cos2 2x - 4 sin2 2x, czyli 0;
przy u¾ współczynnik 4 sin 2x - 4 sin 2x, czyli 0;
przy u· współczynnik 4 sin 2x - 4 sin 2x, czyli 0.
Tak wiÄ™c w nowych zmiennych równanie przybiera postać -16u¾· = 0, czyli u¾· = 0.
1
Jeżeli natomiast przyjąć ¾ = y - sin 2x, · = 2x, to mamy
¾x = -2 cos 2x, ¾y = 1, ·x = 2, ·y = 0
¾xx = 4 sin 2x, ¾xy = 0, ¾yy = 0, ·xx = 2, ·xy = 0, ·yy = 0.
Wtedy
ux = -2 cos 2xu¾ + 2u·
uy = u¾
uxx = 4 cos2 2xu¾¾ - 8 cos 2xu¾· + 4u·· + 4 sin 2xu¾
uxy = -2 cos 2xu¾¾ + 2u¾·
uyy = u¾¾.
Po podstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy
przy u¾¾ współczynnik 4 cos2 2x - 8 cos2 2x - 4 sin2 2x = -4 cos2 2x - 4 sin2 2x = -4;
przy u¾· współczynnik -8 cos 2x + 8 cos 2x = 0;
przy u·· współczynnik 4;
przy u¾ współczynnik 4 sin 2x - 4 sin 2x = 0;
przy u· współczynnik 0.
A więc przy tym wyborze przejścia do nowych zmiennych, jako postać kanoniczną dostajemy
-4u¾¾ + 4u·· = 0 lub równoważnie, u¾¾ - u·· = 0.
9y4uxx - 6y2uxy + 2uyy - 6uy = 0, y = 0

A = 9y4, B = -6y2, C = 2
" = 36y4 - 72y4 = -36y4 < 0, a więc dla y = 0 równanie jest typu eliptycznego.

"
" = Ä…6iy2
Równanie charakterystyczne 9y4dy2 + 6y2 dy dx + 2dx2 = 0
dy -6y2 " 6iy2 -1 " i
= =
dx 18y4 3y2
3y2dy = (-1 " i)dx
y3 = (-1 " i)x + C"
y3 + (1 Ä… i)x + C"
¾ = y3 + x, · = x
¾x = 1, ¾y = 3y2, ·x = 1, ·y = 0
¾xx = 0, ¾xy = 0, ¾yy = 6y, ·xx = 0, ·xy = 0, ·yy = 0
Wtedy
ux = u¾ + u·,
uy = 3y2u¾,
uxx = u¾¾ + 2u¾· + u··,
uxy = 3y2u¾¾ + 3y2u¾·
uyy = 9y4u¾¾ + 6yu¾.
Równanie przybiera postać (9y4 - 18y4 + 18y4)u¾¾ + (18y4 - 18y4)u¾· + 9y4u·· + (12y - 18y2)u¾ = 0, czyli 9y4u¾¾ +
"
3
9y4u·· +(12y-18y2)u¾ = 0. Po podzieleniu przez 3y: 3y3(u¾¾ +u··)+2(2-3y)u¾ = 0. Ale u3 = ¾-·, 2-3y = 2-3 ¾ - ·,
wiÄ™c po podzieleniu" 3(¾ - ·) dostajemy
przez
3
2 2 - 3 ¾ - ·
u¾¾ + u·· + = 0.
3 ¾ - ·
2
y4uxx + 2xy2uxy + x2uyy - y2uy = 0
" = 4x2y4 - 4x2y4 = 0, równanie jest typu parabolicznego wszędzie z wyjątkiem początku układu, gdzie A i B
jednocześnie się zerują.
2
dy dy dy x
Równanie charakterystyczne: y4dy2 - 2xy2 dy dx + x2dx2 = 0, czyli y4 - 2xy2 + x2 = 0, = .
dx dx dx y2
1 1
y2dy = x dx, y3 = x2 + C, 2y3 - 3x2 = C, ¾ = 2y3 - 3x2, · = x (Å‚atwo sprawdzić że jakobian jest różny od zera).
3 2
¾x = -6x, ¾y = 6y2, ·x = 1, ·y = 0
¾xx = -6, ¾xy = 0, ¾yy = 12y, ·xx = 0, ·xy = 0, ·yy = 0
ux = -6xu¾ + u·,
uy = 6y2u¾,
uxx = 36x2u¾¾ - 12xu¾· + u·· - 6u¾,
uxy = -36xy2u¾¾ + 6y2u¾·;
uyy = 36y4u¾¾.
Po podstawieniu do równania otrzymujemy (36x2y4 -72x2y4 +36x2y4)u¾¾ +(-12xy4 +12xy4)u¾· +y4u·· -6y4u¾ = 0,
czyli u·· - 6u¾ = 0.
e2xuxx + 2ex+yuxy + e2yuyy - x u = 0
A = e2x, B = 2ex+y, C = e2y
" = 4e2x+2y - 4e2x+2y = 0, równanie paraboliczne wszędzie.
dy ey
=
dx ex
dy
dx
=
ey ex
-e-ydy = -e-xdx
e-y = e-x + C
¾ = e-x - e-y, · = x
¾x = -e-x, ¾y = e-y, ·x = 1, ·y = 0,
¾xx = e-x, ¾xy = 0, ¾yy = -e-y, ·xx = ·xy = ·yy = 0
uxx = e-2xu¾¾ - 2e-xu¾· + u·· + e-xu¾, ·e2x
uxy = -e-xe-yu¾¾ + e-yu¾·, ·2exey
uyy = e-2yu¾¾ - e-yu¾, ·e2y u = u, ·(-x)
(1 - 2 + 1)u¾¾ + (-2ex + 2ex)u¾· + u·· + (ex - ey)u¾ - x u = 0
u·· + (ex - ey)u¾ - x u = 0
ex = e·, e-y = e-x - ¾ = e-· - ¾
1 e·
ey = =
e-· - ¾ 1 - ¾e·
e· e· - ¾e2· - e· ¾e2·
ex - ey = e· - = = -
1 - ¾e· 1 - ¾e· 1 - ¾e·
Postać kanoniczna:
¾e2·
u·· - u¾ - · u = 0.
1 - ¾e·
3