RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE WYŻSZYCH RZ
DÓW
Definicja
Równanie, które można zapisać w postaci:
óð
y(ðn)ð +ð p1(ðx)ðy(ðn-ð1)ð +ð p2(ðx)ðy(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1(ðx)ðy +ð pn(ðx)ðy =ð h(ðx)ð (1)
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzÄ™du n. Funkcje p1(ðx)ð, p2(ðx)ð,..., pn(ðx)ð
nazywamy współczynnikami, a funkcjÄ™ h(ðx)ð wyrazem wolnym tego równania.
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n
óð
y(ðn)ð +ð p1(ðx)ðy(ðn-ð1)ð +ð p2(ðx)ðy(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1(ðx)ðy +ð pn(ðx)ðy =ð 0 (2)
Definicja
CiÄ…g (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð rozwiÄ…zaÅ„ równania liniowego jednorodnego (1), okreÅ›lonych na
przedziale (ða,b)ð, nazywamy ukÅ‚adem fundamentalnym tego równania na tym przedziale,
jeżeli dla każdego x Îð(ða,b)ð speÅ‚niony jest warunek
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
óð óð óð
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð
Å›ð
detÄ™ð Ä…ð 0
Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð
Ä™ðy(ðn-ð1)ð y2n-ð1)ð(ðx)ð Kð ynn-ð1)ð(ðx)ðÅ›ð
(ð (ð
(ðx)ð
ëð 1 ûð
Niech (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð bÄ™dzie ukÅ‚adem fundamentalnym równania jednorodnego (2).
Wtedy dla każdego rozwiÄ…zania y(ðx)ð tego równania istniejÄ… jednoznacznie okreÅ›lone staÅ‚e
rzeczywiste C1, C2,...,Cn takie, że
y(ðx)ð=ð C1y1(ðx)ð+ð C2y2(ðx)ð+ð ... +ð Cn yn(ðx)ð
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym jednorodnym (2) jego współczynniki są liczbami,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n o stałych
współczynnikach
óð
y(ðn)ð +ð p1y(ðn-ð1)ð +ð p2 y(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1y +ð pn y =ð 0 (3)
gdzie p1, p2,..., pn Îð R .
Definicja
Równanie postaci
rn +ð p1rn-ð1 +ð p2rn-ð2 +ð ... +ð pn-ð1r +ð pn =ð 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych
współczynnikach (3). Natomiast wielomian
w(ðr)ð=ð rn +ð p1rn-ð1 +ð p2rn-ð2 +ð ... +ð pn-ð1r +ð pn
nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.
UKA
AD FUNDAMENTALNY RÓWNANIA (3)
Niech r będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania różniczkowego
liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach (3). Wówczas:
1) jeżeli r jest pierwiastkiem rzeczywistym i jednokrotnym, to funkcja
erx
jest rozwiązaniem równania (3)
2) jeżeli r jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji
erx, xerx,..., xkerx
jest rozwiązaniem równania (3)
3) jeżeli r =ð að +ð bði i r =ð að -ð bði , gdzie bð >ð 0 sÄ… jednokrotnymi pierwiastkami
zespolonymi, to każda z funkcji
eaðx cos bðx, eaðx sin bðx
jest rozwiązaniem równania (3)
4) jeżeli r =ð að +ð bði i r =ð að -ð bði , gdzie bð >ð 0 sÄ… k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,
to każda z 2k funkcji
eaðx cos bðx,eaðx sin bðx, xeaðx cos bðx, xeaðx sin bðx,..., xk -ð1eaðx cos bðx, xk -ð1eaðx sin bðx
jest rozwiązaniem równania (3)
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu n
óð
y(ðn)ð +ð p1(ðx)ðy(ðn-ð1)ð +ð p2(ðx)ðy(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1(ðx)ðy +ð pn(ðx)ðy =ð h(ðx)ð (4)
Niech jð x bÄ™dzie dowolnym rozwiÄ…zaniem równania niejednorodnego (4) i niech
(ð )ð
(ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð bÄ™dzie ukÅ‚adem fundamentalnym równania jednorodnego (2). Wtedy
dla każdego rozwiązania y x równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone
(ð )ð
stałe rzeczywiste C1, C2,...,Cn takie, że
y(ðx)ð=ð C1y1(ðx)ð+ð C2y2(ðx)ð+ð ... +ð Cn yn(ðx)ð
METODA UZMIENNIANIA STAA
YCH
Jeżeli (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð jest ukÅ‚adem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego
(2), to funkcja
jð(ðx)ð=ð C1(ðx)ðy1(ðx)ð+ð C2(ðx)ðy2(ðx)ð+ð ... +ð Cn(ðx)ðyn(ðx)ð
gdzie (ðC1(ðx)ð, C2(ðx)ð,...,Cn(ðx)ð)ð jest dowolnym rozwiÄ…zaniem ukÅ‚adu równaÅ„
óð
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð C1(ðx)ð 0
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ðÄ™ðCóð Å›ð
óð óð óð
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð (ðx)ðÅ›ð Ä™ð 0
2
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð Mð Mð
Ä™ðy(ðn-ð1)ð y2n-ð1)ð(ðx)ð Kð ynn-ð1)ð(ðx)ðÅ›ðÄ™ðCn(ðx)ðÅ›ð Ä™ðh
(ð (ð
óð
(ðx)ð (ðx)ðÅ›ð
ëð 1 ûðëð ûð ëð ûð
jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (4).
SCHEMAT ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
LINIOWYCH RZ
DU N O STAA
YCH WSPÓA
CZYNNIKACH
Na wykładzie!!!
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II