RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE WYŻSZYCH RZDÓW
Definicja
Równanie, które można zapisać w postaci:
óð
y(ðn)ð +ð p1(ðx)ðy(ðn-ð1)ð +ð p2(ðx)ðy(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1(ðx)ðy +ð pn(ðx)ðy =ð h(ðx)ð (1)
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzÄ™du n. Funkcje p1(ðx)ð, p2(ðx)ð,..., pn(ðx)ð
nazywamy współczynnikami, a funkcjÄ™ h(ðx)ð wyrazem wolnym tego równania.
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n
óð
y(ðn)ð +ð p1(ðx)ðy(ðn-ð1)ð +ð p2(ðx)ðy(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1(ðx)ðy +ð pn(ðx)ðy =ð 0 (2)
Definicja
CiÄ…g (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð rozwiÄ…zaÅ„ równania liniowego jednorodnego (1), okreÅ›lonych na
przedziale (ða,b)ð, nazywamy ukÅ‚adem fundamentalnym tego równania na tym przedziale,
jeżeli dla każdego x Îð(ða,b)ð speÅ‚niony jest warunek
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
óð óð óð
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð
Å›ð
detÄ™ð Ä…ð 0
Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð
Ä™ðy(ðn-ð1)ð y2n-ð1)ð(ðx)ð Kð ynn-ð1)ð(ðx)ðÅ›ð
(ð (ð
(ðx)ð
ëð 1 ûð
Niech (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð bÄ™dzie ukÅ‚adem fundamentalnym równania jednorodnego (2).
Wtedy dla każdego rozwiÄ…zania y(ðx)ð tego równania istniejÄ… jednoznacznie okreÅ›lone staÅ‚e
rzeczywiste C1, C2,...,Cn takie, że
y(ðx)ð=ð C1y1(ðx)ð+ð C2y2(ðx)ð+ð ... +ð Cn yn(ðx)ð
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym jednorodnym (2) jego współczynniki są liczbami,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzędu n o stałych
współczynnikach
óð
y(ðn)ð +ð p1y(ðn-ð1)ð +ð p2 y(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1y +ð pn y =ð 0 (3)
gdzie p1, p2,..., pn Îð R .
Definicja
Równanie postaci
rn +ð p1rn-ð1 +ð p2rn-ð2 +ð ... +ð pn-ð1r +ð pn =ð 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych
współczynnikach (3). Natomiast wielomian
w(ðr)ð=ð rn +ð p1rn-ð1 +ð p2rn-ð2 +ð ... +ð pn-ð1r +ð pn
nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.
UKAAD FUNDAMENTALNY RÓWNANIA (3)
Niech r będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania różniczkowego
liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach (3). Wówczas:
1) jeżeli r jest pierwiastkiem rzeczywistym i jednokrotnym, to funkcja
erx
jest rozwiązaniem równania (3)
2) jeżeli r jest k-krotnym pierwiastkiem rzeczywistym, to każda z funkcji
erx, xerx,..., xkerx
jest rozwiązaniem równania (3)
3) jeżeli r =ð að +ð bði i r =ð að -ð bði , gdzie bð >ð 0 sÄ… jednokrotnymi pierwiastkami
zespolonymi, to każda z funkcji
eaðx cos bðx, eaðx sin bðx
jest rozwiązaniem równania (3)
4) jeżeli r =ð að +ð bði i r =ð að -ð bði , gdzie bð >ð 0 sÄ… k-krotnymi pierwiastkami zespolonymi,
to każda z 2k funkcji
eaðx cos bðx,eaðx sin bðx, xeaðx cos bðx, xeaðx sin bðx,..., xk -ð1eaðx cos bðx, xk -ð1eaðx sin bðx
jest rozwiązaniem równania (3)
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (1) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym rzędu n
óð
y(ðn)ð +ð p1(ðx)ðy(ðn-ð1)ð +ð p2(ðx)ðy(ðn-ð2)ð +ð ... +ð pn-ð1(ðx)ðy +ð pn(ðx)ðy =ð h(ðx)ð (4)
Niech jð x bÄ™dzie dowolnym rozwiÄ…zaniem równania niejednorodnego (4) i niech
(ð )ð
(ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð bÄ™dzie ukÅ‚adem fundamentalnym równania jednorodnego (2). Wtedy
dla każdego rozwiązania y x równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone
(ð )ð
stałe rzeczywiste C1, C2,...,Cn takie, że
y(ðx)ð=ð C1y1(ðx)ð+ð C2y2(ðx)ð+ð ... +ð Cn yn(ðx)ð
METODA UZMIENNIANIA STAAYCH
Jeżeli (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð,..., yn(ðx)ð)ð jest ukÅ‚adem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego
(2), to funkcja
jð(ðx)ð=ð C1(ðx)ðy1(ðx)ð+ð C2(ðx)ðy2(ðx)ð+ð ... +ð Cn(ðx)ðyn(ðx)ð
gdzie (ðC1(ðx)ð, C2(ðx)ð,...,Cn(ðx)ð)ð jest dowolnym rozwiÄ…zaniem ukÅ‚adu równaÅ„
óð
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð C1(ðx)ð 0
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ðÄ™ðCóð Å›ð
óð óð óð
y1(ðx)ð y2(ðx)ð Kð yn(ðx)ð (ðx)ðÅ›ð Ä™ð 0
2
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
=ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð Mð Mð
Ä™ðy(ðn-ð1)ð y2n-ð1)ð(ðx)ð Kð ynn-ð1)ð(ðx)ðÅ›ðÄ™ðCn(ðx)ðÅ›ð Ä™ðh
(ð (ð
óð
(ðx)ð (ðx)ðÅ›ð
ëð 1 ûðëð ûð ëð ûð
jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (4).
SCHEMAT ROZWIZYWANIA RÓWNAC LINIOWYCH RZDU N O STAAYCH WSPÓACZYNNIKACH
Na wykładzie!!!
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
5 rown rozn rz 2, teoria4 rown rozn rz 1, teoria4 rown rozn rz 1, zadania7 uklady rown rozn , teoria6 row rozn rz n, zadania5 row rozn rz 2, zadania7 uklady rown rozn , zadania063 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady, nowa wersjacalkowanie rown rozn prostokatow trapezow simpsona eulerarown roznRown rozn zwycz062 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykładypawlikowski, fizyka, szczególna teoria względnościTeoria i metodologia nauki o informacjiteoria produkcjiCuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)więcej podobnych podstron