RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZ
DU
Definicja
Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci:
ó�
F(�x, y, y )�=� 0 (1)
Definicja
Funkcję y =� y(�x)� nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (1) na przedziale (�a,b)�,
jeżeli na tym przedziale jest różniczkowalna i zamienia równanie w tożsamość:
ó�
F(�x, y(�x)�, y (�x)�)�� 0
Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.
Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w postaci uwikłanej y =� F�(�x,C)� nazywamy
rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) tego równania. Rozwiązanie szczególne (całkę
szczególną) otrzymujemy nadając parametrowi C pewną stałą wartość (należącą do jego
dziedziny).
Definicja
Równanie różniczkowe (1) oraz warunek
y(�x0)�=� y0 (2)
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego.
Warunek (2) nazywamy warunkiem początkowym.
Definicja
Funkcję y(�x)� nazywamy rozwiązaniem zagadnienia początkowego (1-2), jeżeli jest
rozwiązaniem równania (1) na pewnym przedziale zawierającym punkt x0 i spełnia warunek
(2).
Definicja
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci
p(�y)�dy =� q(�x)�dx (3)
nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.
CAA
KA RÓWNANIA O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
Jeżeli funkcje p(�y)� i q(�x)� są ciągłe, to całka równania różniczkowego o zmiennych
rozdzielonych (3) dana jest wzorem:
p(�y)�dy =�
�� ��q(�x)�dx +� C
gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.
 SCHEMAT ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
Na wykładzie!!!
Definicja
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci
y
ć� ��
ó�
y =� f (4)
�� ��
x
Ł� ł�
nazywamy równaniem jednorodnym.
ZAMIANA ZMIENNYCH W RÓWNANIU JEDNORODNYM
Równanie jednorodne (4) przez zamianę zmiennych
y
=� u
x
sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych
ó�
xu =� f (�u)�-� u
SCHEMAT ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
JEDNORODNYCH
Na wykładzie!!!
Definicja
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci
ó�
y +� p(�x)�y =� q(�x)� (5)
nazywamy równaniem liniowym pierwszego rzędu. Jeżeli q(�x)�ą� 0 , to równanie nazywamy
liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym
jednorodnym.
WYBRANE METODY ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
LINIOWYCH NIEJEDNORODNYCH
ż� metoda uzmienniania stałej
ż� metoda przewidywania
ż� metoda czynnika całkującego
SCHEMAT ROZWI
ZYWANIA RÓWNAC
LINIOWYCH
Na wykładzie!!!
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II