Rown rozn zwycz

Aleksander Brzeziński
a.brzezinski@gik.pw.edu.pl, tel. 0607/211-589
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE O STAAYCH WSPÓACZYNNIKACH
Wykład: Zaawansowane metody opracowywania obserwacji
Kierunek: Geodezja i Kartografia, semestr II 2014/2015
notatki do wykładu w dniu 28.10.2014 r.
Zalecana lektura:
Arnold V. I., 1973, Ordinary Differential Equations, (translated from Russian and edited by R. A. Silverman), The M.I.T. Press,
Cambridge, Mass., and London, England (Polish translation was published by PWN in 1975)
Brzeziński A., 1987, Polar motion and excitation functions, Mitteilungen der geod�tischen Institute der Technischen Universit�t
Graz, Folge 58, Graz, Austria
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Rozpatrzmy liniowe równanie różniczkowe zwyczajne rzędu 1 (wektorowe, lub równoważnie,
układ równań skalarnych)
�
� - A� = f, (1)
� x
w którym
� wektor niewiadomych (wymiaru n),
x(t)
�
f(t) znana funkcja wektorowa (wymiaru n),
A macierz kwadratowa o stałych współczynnikach (wymiaru n � n).
Wszystkie wielkości występujące w równaniu (1) mogą być albo jednocześnie rzeczywiste, albo
jednocześnie zespolone; mówimy wtedy odpowiednio o równaniu w dziedzinie liczb rzeczywistych
lub w dziedzinie liczb zespolonych.
Uwagi
1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu wyższego niż 1 można zawsze sprowadzić do postaci
(1) wprowadzając zmienne pomocnicze;
2. Każde rozwiązanie równania (1) z warunkiem początkowym � x0
x(t0)=� jest sumą rozwiązania
�
ogólnego � o(t) odpowiadającego równania jednorodnego (tzn. równania (1) przy f(t) =�
x 0)
z warunkiem początkowym � = � oraz rozwiązania szczególnego � s(t) równania (1) z
x(t0) x0 x
zerowym warunkiem początkowym � 0.
x(t0)=�
W fizyce, rozwiązania � o(t) i � s(t) nazywa się często odpowiednio rozwiązaniem swobodnym i
x x
�
wymuszonym, a f(t) funkcją wymuszającą lub pobudzającą.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Rozwiązanie ogólne (swobodne)
Rozważmy najpierw wersję jednorodną równania (1)
�
� - A� = 0, (2)
� x
z warunkiem początkowym � x0.
x(t0)=� Rozwiązanie równania (2) przyjmuje postać
� o(t) = Ś(t - t0)� (3)
x x0,
gdzie Ś jest tzw. macierzą fundamentalną bądz macierzą przejścia równania (układu równań)
(1), i wyraża się wzorem
Ś(�) = eA�, (4)
w którym funkcja wykładnicza macierzy jest zgodna z definicją podaną w poprzednim wykładzie.
Własności macierzy przejścia: Macierz przejścia jest zawsze nieosobliwa i spełnia następujące
równania
Ś(0) = I , (5)
Ś(�1 + �2) = Ś(�1)Ś(�2) , (6)
Ś(-�) = Ś-1(�) , (7)
det[Ś(�)] = etr(A)�� , (8)
gdzie I oznacza macierz jednostkową, det oznacza wyznacznik, a tr ślad macierzy.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Rozwiązanie z wykorzystaniem wartości własnych
Niech 1, 2, . . . , n będą wartościami własnymi macierzy A. Przyjmijmy dodatkowo, ze warto-
ści własne są parami różne. Przy tym założeniu istnieje n odpowiadających wektorów własnych
� � �
�1, �2, . . . , �n, które są liniowo niezależne. Oznaczmy przez S macierz wymiaru n � n, której
[ ]
� � �
kolumny są współrzędnymi wektorów własnych, tzn. S = . Zgodnie z równaniem
�1 �2 . . . �n
(15) z poprzedniego wykładu, macierz przejścia wyraża się wzorem
�ł �ł
e1� 0 � � � 0
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
0 e2� � � � 0
�ł �ł
�ł �ł
Ś(�) = eA� = Se��S-1 = S S-1 . (9)
�ł �ł
. . .
.
�ł �ł
. . . .
.
�ł . . . �ł
�ł �ł
�ł łł
0 0 � � � en�
Zauważmy, że wszystkie własności macierzy przejścia, wyrażone przez równania (5) do (8),
można łatwo wydedukować z równania (9).
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego, wyrażone przez równanie (3) z macie-
rzą przejścia opisaną równaniem (9), może być także przedstawione jako jawna funkcja wartości
i wektorów własnych
n
"
�
� o(t) = ak�kek(t-t0), (10)
x
k=1
gdzie stałe współczynniki a1, a2, . . . , an są zdefiniowane przez warunek początkowy
n
"
�
� x0 (11)
x(t0) = � = ak�k.
k=1
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Rozwiązanie ogólne może być również sformułowane bez jawnego odwoływania się do wektorów
własnych. Zamiast równania (10), przyjmujemy następującą postać rozwiązania
n
"
� o(t) = � (12)
x akek(t-t0),
k=1
a następnie wyznaczamy stałe współczynniki wektorowe � poprzez podstawienie wyrażenia (12)
ak
do równania (2), a następnie uwzględnienie warunku początkowego � x0.
x(t0)=�
Zauważmy, że macierz przejścia Ś(�) nie pojawia się w postaci jawnej w rozwiązaniu zadanym
równaniami (10) bądz (12). Niemniej z dalszych rozważań wynika, że macierz przejścia jest
ważnym elementem rozwiązania szczególnego (wymuszonego). W praktyce możemy postąpić
na dwa sposoby:
1. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy A, a następnie wrazić macierz Ś(�)
przy pomocy wzoru (9). W następnym kroku macierz przejścia może być wykorzystana do
wyznaczenia zarówno rozwiązania ogólnego, r-nie (3), jak i rozwiązania szczególnego.
2. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne korzystając ze wzoru (10) bądz (12), a następnie wyznaczyć
macierz przejścia porównując otrzymane rozwiązanie z równaniem (3). W kolejności, otrzy-
mana macierz przejścia może być wykorzystana do wyznaczenia rozwiązania szczególnego.
Przypadek szczególny: równanie rzeczywiste z zespolonymi wartościami własnymi
Zajmiemy się teraz przypadkiem równania różniczkowego o wpółczynnikach rzeczywistych, któ-
rego niektóre wartości własne są zespolone.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Równanie (1) jest rzeczywiste, a jego wartości własne są rzeczywiste k dla k 1, . . . , n1, lub
"=
zespolone, wzajemnie sprzężone ! = ą! ą i�! dla ! = 1, . . . , n2, gdzie i = -1, ą!, �! " R
oraz n1 + 2n2 = n. Jak było powiedziane w poprzednim wykładzie, odpowiadające wektory
� � �
własne są rzeczywiste �k dla k = 1, . . . , n1, i zespolone, wzajemnie sprzężone �! i (�!)" dla
! = 1, . . . , n2.
Rozwiązanie równania jednorodnego jest sumą funkcji wykładniczych oraz sinusoid ze zmienia-
jącymi się wykładniczo amplitudami
[ ]
n1 n2
" "
� � �
� o(t) = ak�kek(t-t0) + eą!(t-t0) b!�!ei�!(t-t0) + b"(�!)"e-i�!(t-t0)
x
!
k=1 !=1
n1 n2
" "
�
= ak�kek(t-t0) + eą!(t-t0) [� c cos �!(t - t0) + � s sin �!(t - t0)] . (13)
a! a!
k=1 !=1
Stałe wektory � c i � s mogą być wyrażone przez stałe zespolone b! oraz współrzędne zespolonych
a! a!
�
wektorów własnych �!, czym się tutaj nie będziemy zajmować. Czytelnik może także postąpić
w podobny sposób, jak w przypadku równania (12), tzn. podstawić rozwiązanie (13) do wzoru
(2), a następnie skorzystać z warunku początkowego.
Przypadek wielokrotnych wartości własnych
W przypadku wielokrotnych wartości własnych rozwiązanie ma postać podobną do równania (12)
z jedną tylko różnicą polegającą na tym, że człon wykładniczy ek(t-t0) odpowiadający wartości
własnej k o krotności �k jest zastąpiony przez quasi-wielomian, tzn. wyrażenie p(t)ek(t-t0), w
którym p(t) jest wielomianem stopnia niższego niż �k.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Rozwiązanie równania niejednorodnego
�
Rozwiązanie szczególne r-nia (1) z zerowym warunkiem początkowym �
x(t0) = 0 wyraża się
poprzez tzw. splot (ang. convolution) macierzy fundamentalnej równania, Ś(�), z funkcją wy-
�
muszającą f:
t
+"
�
� s(t) = Ś(t - �)f(�)d�. (14)
x
t0
Rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązania ogólnego (3) oraz rozwiązania szczególnego (14)
t
+"
�
� = � o(t) + � s(t) = Ś(t - t0)� + Ś(t - �)f(�)d�. (15)
x(t) x x x0
t0
Stabilność liniowych systemów dynamicznych
Przyjmijmy, że równanie (1) opisuje zmiany czasowe pewnego układu fizycznego reprezento-
wanego przez wektor � nazywany wektorem stanu; ten układ będzie nazywany liniowym
x(t)
układem dynamicznym. Z naszych wcześniejszych rozważań jest jasne, że dla pewnych wartości
parametrów równania (1) jego rozwiązanie zmienia się stabilnie w czasie, a dla innych wartości
parametrów następuje szybka eksplozja rozwiązania.
Ściśle rzecz ujmując, liniowy układ dynamiczny nazwiemy stabilnym jeśli rozwiązania swobod-
ne, tzn. przy braku siły wymuszającej, zanikają z czasem. Jeśli nie zanikają, ale są ograniczone,
wówczas układ nazwiemy neutralnie stabilnym. W pozostałych przypadkach będziemy mówić o
układzie niestabilnym.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
Oznaczmy wartości własne układu (1) przez k = ąk+i�k, dla k = 1, 2, . . . , n oraz ąk, �k " R.
Bez straty ogólności można potraktować wartości własne rzeczywiste jako szczególny przypadek
wartości zespolonych przy �k = 0. Ponieważ zachodzi

ek(t-t0) = e(ąk+i�k)(t-t0) = eąk(t-t0) ei�k(t-t0) = eąk(t-t0),

więc wszystkie składniki rozwiązania ogólnego zanikają przy t " wtedy i tylko wtedy, gdy
ąk < 0 dla k = 1, 2, . . . , n.
Jeśli ąk = 0 dla pewnych k, tzn. wartości własne są liczbami czysto urojonymi bądz zerem,
wówczas odpowiadające człony rozwiązania nie zanikają, ale mają ograniczoną wielkość.
W przypadku, gdy ąk > 0 dla co najmniej jednej wartości własnej k układu rozwiązanie jest
rozbieżne.
Reasumując powyższe rozważania możemy stwierdzić co następuje:
Liniowy układ dynamiczny jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego warto-
ści własne mają ujemne części rzeczywiste, neutralnie stabilny gdy wartości własne mają
ujemne a w niektórych przypadkach zerowe części rzeczywiste, i niestabilny w pozostałych
przypadkach.
Nietrudno zauważyć, że twierdzenie to jest prawdziwe bez względu na to, czy mamy do czynienia
z liniowym równaniem różniczkowym w dziedzinie liczb rzeczywistych, czy zespolonych.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
ńł
�ł
�ł
� = 5x + 4y
Przykład 1: Znalezć rozwiązanie ogólne i wyznaczyć macierz przejścia układu równań
�ł
ół
Ź = 4x + 5y
�ł łł �ł �ł
x 5 4
�ł �ł �ł łł
Postać wektorowo-macierzowa układu: � = A� z � = oraz A = .
� x x
y 4 5

- 4

5

Wielomian charakterystyczny: PA() = det(A - I) = = (5 - )2 - 16 = 2 - 10 + 9;

4 5 -
Wartości własne: 1 = 1, 2 = 9;
Sprawdzenie: 1 + 2 = 10 = 5 + 5 = trA, 1 � 2 = 9 = 25 - 16 = detA;
�ł łł �ł łł �ł " łł �ł " łł
1 1 1/ 1/
� �
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Wektory własne (ortogonalne): �1 = , �2 = , i po normalizacji � = q2 �ł "2 ;
q1 �ł "2 , � =
-1 1 -1/ 2 1/ 2
�ł łł �ł łł
x(t) x0
�ł �ł �ł �ł
Rozwiązanie ogólne (dla prostoty zapisu odniesione do t0 = 0): = Ś(t) .
y(t) y0
Opcja 1 rozwiązania: liczymy Ś(t) z r-nia (9)
�ł �ł �ł " " �ł �ł " " �ł
et 0 1/ 2 1/ 1/ -1/ 2
�ł łł �ł łł �ł łł
" "2 "2 "
e�t = , Q = , QT = ,
0 e9t -1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
�ł " " �ł �ł �ł �ł " " �ł �ł �ł
1/ 2 1/ -et + e9t
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
" "2 et 0 1/"2 -1/ 2 1 et + e9t
"
Ś(t) = eAt = Se�tS-1 = Qe�tQT = = .
2
-1/ 2 1/ 2 0 e9t 1/ 2 1/ 2 -et + e9t et + e9t
�ł łł �ł łł
1 1
� 1 � 2
Opcja 2 rozwiązania: liczymy rozwiązanie ogólne z równania (10) � = a1�1e t + a2�2e t = a1 �ł �ł et + a2 �ł �ł e9t.
x(t)
-1 1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 a1 + a2 x0
1 1
� �
�ł �ł �ł �ł
Warunek początkowy: � = a1�1 + a2�2 = a1 �ł �ł + a2 �ł �ł = = =�! a1 = (x0 - y0), a2 = (x0 + y0).
x(0)
2 2
-1 1 -a1 + a2 y0
�ł łł �ł łł �ł �ł �ł łł �ł łł
1 1 et + e9t -et + e9t x0 x0
1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł łł �ł �ł �ł �ł
Podstawienie: � = (x0 - y0) et + (x0 + y0) e9t = = Ś(t) ,
x(t)
2 2 2
-1 1 -et + e9t et + e9t y0 y0
i porównanie daje to samo wyrażenie na macierz Ś(t), jak w przypadku Opcji 1.
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
ńł
�ł
�ł
� = 2x - y
Przykład 2: Znalezć rozwiązanie ogólne i wyznaczyć macierz przejścia układu równań
�ł
ół
Ź = x + 2y
�ł łł �ł �ł
x 2 -1
�ł �ł �ł łł
Postać wektorowo-macierzowa układu: � = A� with � = and A = .
� x x
y 1 2

- -1

2

Wielomian charakterystyczny: PA() = det(A - I) = = (2 - )2 + 1 = 2 - 4 + 5;

1 2 -
Wartości własne: 1 = 2 - i, 2 = 2 + i;
Sprawdzenie: 1 + 2 = 4 = 2 + 2 = trA, 1 � 2 = 5 = 22 + 1 = detA;
�ł łł �ł łł
-i i
� �
�ł �ł �ł �ł
Wektory własne: �1 = , �2 = .
1 1
�ł łł �ł łł
x(t) x0
�ł �ł �ł �ł
Rozwiązanie ogólne (dla prostoty zapisu odniesione do t0 = 0): = Ś(t)
y(t) y0
Opcja 1 rozwiązania: liczymy Ś(t) z r-nia (9)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
e(2-i)t 0 e2te-it 0 e-it 0 -i i i/2 1/2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
e�t = = = e2t , S = , S-1 = , (sprawdz SS-1 =I)
0 e(2+i)t 0 e2teit 0 eit 1 1 -i/2 1/2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
-i i e-it 0 i/2 1/2 -i i ie-it/2 e-it/2
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
Ś(t) = eAt = Se�tS-1 = e2t = e2t =
1 1 0 eit -i/2 1/2 1 1 -ieit/2 eit/2
�ł [ ] [ ] �ł �ł �ł
e-it + eit /2 -i e-it - eit /2 cos t - sin t
�ł [ ] [ ] łł �ł łł
= e2t = e2t .
i e-it - eit /2 e-it + eit /2 sin t cos t
Zadania
1. Rozwiąż Przykład 2 korzystając z Opcji 2 rozwiązania (por. Przykład 1).
2. Rozwiąż równanie wahadła z tarciem (Arnold, 1973)
ć = -x - k�.
Przeprowadz dyskusję rozwiązań w zależności od wartości współczynnika tarcia k.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
7 uklady rown rozn , teoria
5 rown rozn rz 2, teoria
6 rown rozn rz n, teoria
4 rown rozn rz 1, teoria
4 rown rozn rz 1, zadania
7 uklady rown rozn , zadania
063 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady, nowa wersja
calkowanie rown rozn prostokatow trapezow simpsona eulera
rown rozn
062 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady
Row Rozn Fizyki Mat 06 Derezinski p49
Inf przestrz wekt uklady rown

więcej podobnych podstron