RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZDU DRUGIEGO
Definicja
Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci:
óð óðóð
F(ðx, y, y , y )ð=ð 0 (1)
Definicja
FunkcjÄ™ y =ð y(ðx)ð nazywamy rozwiÄ…zaniem równania różniczkowego (1) na przedziale (ða,b)ð,
jeżeli na tym przedziale jest ona dwukrotnie różniczkowalna i zamienia to równanie
w tożsamość:
óð óðóð
F(ðx, y(ðx)ð, y (ðx)ð, y (ðx)ð)ðºð 0
Definicja
Równanie różniczkowe (1) oraz warunki
óð
y(ðx0)ð=ð y0, y (ðx0)ð=ð y1 (2)
nazywamy zagadnieniem poczÄ…tkowym lub zagadnieniem Cauchy ego.
Definicja
Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci
óðóð óð
y +ð p(ðx)ðy +ð q(ðx)ðy =ð h(ðx)ð (3)
nazywamy równaniem liniowym. Funkcje p(ðx)ð, q(ðx)ð nazywamy współczynnikami, a funkcjÄ™
h(ðx)ð wyrazem wolnym tego równania.
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (3) wyraz wolny jest tożsamościowo równy zeru,
to równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym
óðóð óð
y +ð p x y +ð q x y =ð 0 (4)
(ð )ð (ð )ð
Jeżeli funkcje jð(ðx)ð,yð(ðx)ð sÄ… rozwiÄ…zaniami równania liniowego jednorodnego (4) to dla
dowolnych liczb rzeczywistych að, bð funkcja
y(ðx)ð=ð aðjð(ðx)ð+ð bðyð(ðx)ð
jest także rozwiązaniem tego równania.
Definicja
ParÄ™ rozwiÄ…zaÅ„ (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð)ð równania liniowego jednorodnego (4), okreÅ›lonÄ… na przedziale
(ða,b)ð, nazywamy ukÅ‚adem fundamentalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla
każdego x Îð(ða,b)ð speÅ‚niony jest warunek
y1(ðx)ð y2(ðx)ð
éð Å‚ð
óð óð
detÄ™ð
óð óð
(ðx)ð y2(ðx)ðÅ›ð =ð y1(ðx)ðy2(ðx)ð-ð y2(ðx)ðy1(ðx)ðÄ…ð 0
ëðy1 ûð
Powyższy wyznacznik nazywamy wroÅ„skianem pary funkcji (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð)ð.
Niech (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð)ð bÄ™dzie ukÅ‚adem fundamentalnym równania jednorodnego (4). Wtedy dla
każdego rozwiÄ…zania y(ðx)ð tego równania istniejÄ… jednoznacznie okreÅ›lone staÅ‚e rzeczywiste
C1, C2 takie, że
y x =ð C1y1 x +ð C2 y2 x
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
Liniową kombinację funkcji układu fundamentalnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym
równania jednorodnego.
Definicja
Jeżeli współczynniki równania różniczkowego liniowego jednorodnego (4) są liczbami, to
równanie takie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym o stałych współczynnikach
óðóð óð
y +ð by +ð cy =ð 0 (5)
gdzie b, c Îð R .
Definicja
Równanie postaci
r2 +ð br +ð c =ð 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych
współczynnikach (5). Natomiast wielomian
w(ðr)ð=ð r2 +ð br +ð c
nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania.
UKAAD FUNDAMENTALNY RZECZYWISTE RÓŻNE PIERWIASTKI
Jeżeli r1, r2 są rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego
równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:
1 2
y1(ðx)ð=ð er x, y2(ðx)ð=ð er x
a rozwiązanie ogólne ma postać
1 2
y x =ð C1er x +ð C2er x
(ð )ð
gdzie C1, C2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.
UKAAD FUNDAMENTALNY RZECZYWISTY PIERWIASTEK PODWÓJNY
Jeżeli r0 jest rzeczywistym podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego
równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje:
0 0
y1(ðx)ð=ð er x, y2(ðx)ð=ð xer x
a rozwiązanie ogólne ma postać
00
y x =ð C1er x +ð C2xer x
(ð )ð
gdzie C1, C2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.
UKAAD FUNDAMENTALNY PIERWIASTKI ZESPOLONE
Jeżeli r1 =ð að +ð bði, r2 =ð að -ð bði , gdzie bð >ð 0 , sÄ… pierwiastkami zespolonymi wielomianu
charakterystycznego równania różniczkowego (5), to układ fundamentalny tego równania
tworzÄ… funkcje:
y1(ðx)ð=ð eaðx cos bðx, y2(ðx)ð=ð eaðx sin bðx
a rozwiązanie ogólne ma postać
y x =ð C1eað x cos bð x +ðC2eaðx sin bð x
(ð )ð
gdzie C1, C2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.
Definicja
Jeżeli w równaniu różniczkowym liniowym (3) wyraz wolny nie jest funkcją tożsamościowo
równą zeru, to równanie takie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym
óðóð óð
y +ð p(ðx)ðy +ð q(ðx)ðy =ð h(ðx)ð (6)
Jeżeli funkcje jð x , yð x sÄ… rozwiÄ…zaniami równania różniczkowego liniowego
(ð )ð (ð )ð
niejednorodnego (6), to ich różnica
jð x -ðyð x
(ð )ð (ð )ð
jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego (4).
Niech jð x bÄ™dzie dowolnym rozwiÄ…zaniem równania niejednorodnego (6) oraz niech
(ð )ð
(ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð)ð bÄ™dzie ukÅ‚adem fundamentalnym równania jednorodnego (4). Wtedy dla
każdego rozwiązania y x równania niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone stałe
(ð )ð
rzeczywiste C1, C2 takie, że
y x =ð C1y1 x +ðC2 y2 x +ðjð x
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
Sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania równania
niejednorodnego nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego.
METODA UZMIENNIANIA STAAYCH
Jeżeli para (ðy1(ðx)ð, y2(ðx)ð)ð jest ukÅ‚adem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego
(4), to funkcja
jð x =ð C1 x y1 x +ð C2 x y2 x
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
gdzie C1 x , C2 x jest dowolnym rozwiązaniem układu równań
(ð (ð )ð (ð )ð
)ð
óð 0
éð y1 x y2 x Å‚ð éðC1 x Å‚ð éð Å‚ð
(ð )ð (ð )ð (ð )ð
=ð
Ä™ð
óð óð x
y1 x y2 x x (ð )ðÅ›ð
(ð )ð (ð )ðÅ›ð Ä™ðCóð (ð )ðÅ›ð Ä™ðh ûð
2
ëð ûð ëð ûð ëð
jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (6).
SCHEMAT ROZWIZYWANIA RÓWNAC LINIOWYCH O STAAYCH WSPÓACZYNNIKACH
Na wykładzie!!!
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania
2. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6 rown rozn rz n, teoria4 rown rozn rz 1, teoria4 rown rozn rz 1, zadania7 uklady rown rozn , teoria6 row rozn rz n, zadania5 row rozn rz 2, zadania7 uklady rown rozn , zadania063 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykłady, nowa wersjacalkowanie rown rozn prostokatow trapezow simpsona eulerarown roznRown rozn zwycz062 Sprowadzanie równ różn cząstk do postaci kanonicznej przykładypawlikowski, fizyka, szczególna teoria względnościTeoria i metodologia nauki o informacjiteoria produkcjiCuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)więcej podobnych podstron