Wykład 16
Różniczkowa postać prawa Gaussa. Dywergencja pola
Związek między natężeniem pola elektrostatycznego i gęstością ładunku w pewnym
punkcie przestrzeni określa różniczkowa postać prawa Gaussa.
Dla tego, żeby wyprowadzić wzór na różniczkową postać prawa Gaussa rozważmy
V1
skończony obszar dowolnego kształtu o objętości V . Podzielimy ten obszar na dwie części
V2 V1 +V2 = V S1 S2
i ( ). Oznaczmy przez i powierzchnie ograniczajÄ…ce odpowiednio
V1 V2 S1 S2
obszary i . Strumienie pola elektrycznego przez powierzchni i są równe
rð rð
Åši = E Å" dSi ,
+"
Si
i = 1,2
gdzie .
S1 S2
Powierzchnie i zawierajÄ… tÄ… samÄ… powierzchnie przekroju D . A zatem, biorÄ…c
rð rð
pod uwagę iż na powierzchni przekroju dS1 = -dS2 dla strumieni pola elektrycznego przez
powierzchnie D otrzymujemy
rð rð rð rð
E Å" dS1 = - E Å" dS2 . (16.1)
+" +"
D D
198
Uwzględniając (16.1), całkowity strumień pola elektrycznego przez powierzchnie S możemy
zapisać w postaci
rð rð rð rð rð rð
E Å" dS a" E Å" dS1 + E Å" dS2 . (16.2)
+" +" +"
S S1 S2
Powtarzając podział obszaru V wielokrotnie otrzymujemy dużą liczbę małych
V1,V2,Kð,Vn S1, S2 ,Kð, Sn
obszarów ograniczonych powierzchniami . Całkowity strumień
przez powierzchnie S możemy wtedy zapisać jako sumę strumieni pola elektrycznego przez
poszczególne małe obszary:
n
rð rð rð rð
Åš = E Å" dS = E Å" dSi . (16.3)
"
+" +"
i=1
S Si
Wprowadz
my teraz wielkość
rð rð
E Å" dSi
+"
Si
. (16.4)
Vi
Vi 0
W granicy ze wzoru (16.4) otrzymujemy skalarną funkcję, która nazywa się
rð
dywergencjÄ… pola
E
rð rð rð
1
divE = lim E Å" dSi . (16.5)
+"
Vi 0
Vi Si
rð
We współrzędnych kartezjańskich dywergencja pola ma postać
E
rð
"Ex "Ey "Ez rð rð
divE = + + a" " Å" E
. (16.6)
"x "y "z
rð
Przez symbol  nabla - w równaniu (16.6) oznaczyliśmy operator wektorowy
"
rð
" rð " rð " rð
" = ex + ey + ez , (16.7)
"x "y "z
rð rð rð
x, y, z
ex ,ey ,ez są jednostkowymi wektorami wzdłuż osi .
gdzie
199
Udowodnimy wzór (16.6), rozważając strumień pola elektrycznego przez szczane
x, y, z
małego sześcianu otaczającego punkt ( ). Załóżmy, że pole elektryczne w środku
P
x, y, z
Ex , Ey , Ez . Jeżeli sześcian jest mały, to dla
sześcianu czyli w punkcie P ( ) ma składowe
x Ä… "x, y, z
składowych pola elektrycznego w punktach ( ) możemy w dobrym przybliżeniu
zapisać
"Ex
Ex Ä… Å" "x, Ey , Ez . (16.18)
"x
(x, y Ä… "y, z)
W podobny sposób dla składowych pola elektrycznego w punktach oraz (
x, y, z Ä… "z
) możemy zapisać
"Ey
"Ez
Ex , Ey Ä… Å" "y, Ez
, Ex , Ey , Ez Ä… Å" "z . (16.19)
"y "z
rð
Uwzględniając zwroty wektorów dla pola powierzchni (na zewnątrz !), dla
dS
x
strumienia pola elektrycznego przez szczane prostopadłe do osi otrzymujemy
rð rð
"Ex "Ex
Åš = E Å" dS = (Ex + Å" "x) Å" ("l)2 - (Ex - Å" "x) Å" ("l)2
x
+"
"x "x
, (16.20)
"Ex "Ex
= Å" 2"x Å" ("l)2 = Å" "V
"x "x
200
"l = 2"x = 2"y = 2"z
gdzie jest strona sześcianu, a "V jest objętość sześcianu.
W podobny sposób dla strumienia pola elektrycznego przez szczane prostopadłe do osi
y
z
i do osi znajdujemy
rð rð
"Ey "Ey
Åš = E Å" dS = (Ey + Å" "y) Å" ("l)2 - (Ey - Å" "y) Å" ("l)2
y
+"
"y "y
, (16.21)
"Ey "Ey
= Å" 2"y Å" ("l)2 = Å" "V
"y "y
rð rð
"Ez "Ez
Åš = E Å" dS = (Ez + Å" "z) Å" ("l)2 - (Ez - Å" "z) Å" ("l)2
z
+"
"z "z
. (16.22)
"Ez "Ez
= Å" 2"z Å" ("l)2 = Å" "V
"z "z
Sumując wzory (16.20) - (16.22), dla całkowitego strumienia pola elektrycznego przez
szczane małego sześcianu mamy
rð rð
"Ex "Ey "Ez
Åš = Åš + Åš + Åš = E Å" dS = ( + + ) Å" "V
. (16.23)
x y z
+"
"x "y "z
S
W granicy "V 0 ze wzoru (16.23) otrzymujemy wzór (16.6)
rð rð rð
1
"Ex "Ey "Ez .
divE = lim0 E Å" dS =
+ +
+"
"V
"V
"x "y "z
S
Powróćmy teraz do równania (16.3) i zapiszmy to równanie w postaci
rð rð
ëÅ‚
E Å" dSi öÅ‚
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
n n
rð rð rð rð
ìÅ‚ ÷Å‚
Åš = E Å" dS = E Å" dSi =
. (16.24)
" "Vi
+" +"
ìÅ‚ Vi ÷Å‚
i=1 i=1
S Si
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Vi 0 n " Vi
W granice i nieskończenie mała objętość przechodzi w dV , wyraz w
rð
nawiasach staje się dywergencją pola , suma zaś przechodzi a całkę objętościową
E
201
rð rð
ëÅ‚
E Å" dSi öÅ‚
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
n
rð
÷Å‚
Åš = lim0 ìÅ‚ = divE Å" dV
. (16.25)
"Vi
+"
ni ",Vi
ìÅ‚ Vi ÷Å‚
i=1
V
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymaliśmy więc wzór
rð rð rð
E Å" dS = divE Å" dV
+" +"
, (16.26)
S V
który nosi nazwę twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. To twierdzenia jest słuszne dla
dowolnego pola wektorowego, dla którego istnieje dywergencja.
Zgodnie z prawem Gaussa lewa część równania (16.26) jest równa
rð rð
Q 1
E Å" dS = = Á Å" dV
+" +"
µ0 µ0 V , (16.27)
S
Á
gdzie jest gęstość objętościowa ładunku.
Po podstawieniu (16.27) do wzoru (16.26) otrzymujemy
rð
Á
divE =
µ0 . (16.28)
Równanie (16.28) jest różniczkową postacią prawa Gaussa i wyraża lokalny związek między
(x, y, z)
polem elektrycznym i gęstością ładunku w punkcie . Dla punktów nie zawierających
rð
ładunków .
divE = 0
Potencjał pola elektrostatycznego. Krążenie
Udowodnimy, że siła Coulomba jest siłą zachowawczą oraz potencjalną. Praca którą
wykonuje siła Coulomba przy przemieszczeniu ładunku q/ z punktu 1 do punktu 2 w polu sił
q
ładunku jest równa
rð
rð
2 2
rð rð
(r Å" dl )
A = q/ Å" ( Å" dl ) = kqq/
. (16.29)
+"E +"
r3
1 1
202
rð
rð rð/ , otrzymujemy
OznaczajÄ…c
r + dl = r
rð
rð/ rð/ / 2 rð
(r Å" r ) = (r )2 = r + 2 Å" (r Å" dl ) + (dl)2
rð .
rð
2
H" r + 2 Å" (r Å" dl )
SkÄ…d
rð
rð 1
/ 2
(r Å" dl ) = [(r )2 - r ]
2
.
1 1
/ /
= (r + r) Å" (r - r) H" Å" 2r Å" dr = r Å" dr
2 2
Po podstawieniu ostatniego wzoru do wzoru (16.29) znajdujemy
rð
rð
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
(r Å" dl ) dr 1 1 1
A = kqq/ = kqq/ = -kqq/ dëÅ‚ öÅ‚ = kqq/ ìÅ‚ - ÷Å‚
+" +"2 +"ìÅ‚ r ÷Å‚ ìÅ‚ r1 r2 Å‚Å‚ , (16.30)
÷Å‚
r3 r
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚
1 1 1
q
r1 r2
gdzie i - odległości punktów 1 i 2 od ładunku .
q/
Ze wzoru (16.30) wynika, że praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku w
q
polu elektrycznym ładunku nie zależy od kształtu toru, wzdłuż którego następuje
przemieszczenie; zależy ona jedynie od początkowego i końcowego położenia ładunku q/
q
względem ładunku . Innymi słowy, udowodniliśmy, że siła Coulomba jest siła zachowawczą,
203
a zatem jeżeli tor wzdłuż którego zachodzi przemieszczenie ładunku jest torem zamkniętym,
to:
rð rð
“ a" E Å" dl = 0
+" . (16.31)
L
Całka okrężna we wzorze (16.31) nazywa się krążeniem lub cyrkulacją natężenia pola
elektrycznego. A zatem dla pola elektrostatycznego krążenie jest równa zeru. Pole wektorowe
dla którego cyrkulacja jest równa zeru nazywa się polem potencjalnym. Dla takiego pola
zawsze możemy wprowadzić funkcję skalarną, która nazywa się potencjalną funkcją albo
potencjałem.
Ze wzoru (16.30) widać, że funkcja potencjalna pola elektrostatycznego wytwarzanego
q
przez ładunek jest równa
q
Õ(x, y, z) = k Å"
. (16.32)
r
Należy pamiętać, że podstawowym pojęciem jest różnica potencjałów, a nie sam potencjał.
Istotnie, łatwo sprawdzić, że funkcja potencjalna
q
/
Õ (x, y, z) = k Å" + C
. (16.33)
r
gdzie C jest dowolna stała, również spełnia równanie (16.30)
2 2 2
/
A = -q/ d = -q/ d + C) = -q/ d
+"Õ +"(Õ +"Õ . (16.34)
1 1 1
A zatem piszÄ…c potencjalnÄ… funkcjÄ™ pola elektrycznego Å‚adunku punktowego w postaci (16.32)
Õ(") = C = 0
zakładamy, że . Oczywiście, że stałą C w (16.33) możemy wybrać w sposób
dowolny. W praktyce często za powierzchnie z zerowym potencjałem wybieramy powierzchnie
Ziemi.
W układzie jednostek SI za jednostkę różnicy potencjałów przyjmuje się wolt (V).
Różnica potencjałów między dwoma punktami jest równa 1 woltowi , jeżeli do
przemieszczenia między nimi 1 kulomba elektryczności niezbędne jest wykonanie pracy równej
1 dżulowi
204
1 J
1 V =
.
1 C
Zbiór punktów, w których potencjał elektryczny jest taki sam nazywamy powierzchnią
ekwipotencjalną. Z równania (16.32) wynika, że ekwipotencjalne powierzchnie ładunku
elektrycznego są kulami, w środku których znajduje się ładunek.
Potencjalna funkcja pola całkowicie określa pole wektorowe. Związek między
składowymi natężenia pola elektrycznego i potencjałem znajdziemy korzystając ze wzorów
(16.29) i (16.34)
rð rð
dÕ(x, y, z) = -E Å" dl = -(Exdx + Eydy + Ezdz)
. (16.35)
dÕ
Zmiana potencjału (różniczka zupełna) przy przejściu z jednego punktu do drugiego jest
równa
"Õ "Õ "Õ
dÕ(x, y, z) = dx + dy + dz
. (16.36)
"x "y "z
Z porównania wzorów (16.35) i (16.36) otrzymujemy
"Õ
"Õ "Õ
Ey = -
Ex = - , , - . (16.37)
Ez =
"y
"x "z
rð rð rð
ex ,ey ,ez o kierunkach osi
Mnożąc koleinie równania (16.37) przez wektory jednostkowe
x, y, z
i dodając następnie je stronami otrzymujemy
rð rð
ëÅ‚
rð rð rð "Õ rð "Õ rð "Õ rð öÅ‚
÷Å‚
E = Exex + Eyey + Ezez = -ìÅ‚ ex + ey + ez ÷Å‚
. (16.38)
ìÅ‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
gradÕ
Wyrażenie w nawiasie nazywa siÄ™ gradientem funkcji Õ i oznacza siÄ™ symbolem . Przez
operator wektorowy nabla (16.7) równanie (16.38) możemy zapisać w postaci
rð rð
"Õ rð "Õ rð "Õ rð
E = -" Å"Õ = -( ex + ey + ez ) = -gradÕ
. (16.39)
"x "y "z
205
Potencjał dowolnego rozkładu ładunków. Dipol elektryczny
Korzystając z zasady superpozycji pól elektrycznych, potencjał dowolnego
punktowego rozkładu ładunków możemy zapisać w postaci
n n
qi
Õ(x, y, z) = = k Å"
, (16.40)
"Õ "
i
ri
i=1 i=1
x, y, z
ri qi
gdzie jest odległością punktu o współrzędnych ( ) od ładunku .
W przypadku ciągłego rozkładu ładunku potencjał pola elektrycznego w dowolnym
rð
punkcie określonym wektorem wodzącym liczymy korzystając ze wzoru
R
rð
Á
Õ(R) = k Å"
rð
rð
+"R - r Å" dV , (16.41)
V
rð
gdzie - wektor określający położenie elementu objętości dV obszaru naładowanego od
r
Á
początku układu współrzędnych; - gęstość objętościowa ładunku elektrycznego.
Jako przykład zastosowania wzoru (16.40) znajdziemy potencjał dipolu elektrycznego.
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków o przeciwnych znaków oddalonych od siebie o
(+q)
L . Jeżeli r >> L to punkt P jest odległy od ładunku o:
rð L rð
2
r - ex = r - r Å" L Å" cos¸ + (L / 2)2
2
.
1
E" r Å" 1- L cos¸ / r H" r - L cos¸
2
P
y
r
¸
-q
+q
x
L
206
(-q)
W podobny sposób odległość punktu P od ładunku wynosi
rð L rð
2
r + ex = r + r Å" L Å" cos¸ + (L / 2)2
2
.
1
E" r Å" 1+ L cos¸ / r H" r + L cos¸
2
Po podstawieniu tych równań do wzoru (16.40) dla całkowitego potencjału
otrzymujemy
q (-q) qL cos¸
V = k + k = k
1 1
L2 .
2
r - L cos¸ r + L cos¸
r - cos2 ¸
2 2
4
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
(qL) Å" cos¸ r cos¸ x
V H" k = kp Å" = kp
. (16.42)
2
r r3 r3
rð rð
p
p = qL p = qL Å" ex
Tu przez oznaczyliśmy . Wektor nazywa się momentem dipolowym.
Korzystając z równania (16.42) i wzorów (16.37) dla składowych natężenia pola
elektrycznego otrzymujemy
207
"V kp
Ex = - = (3cos2 ¸ -1)
,
" x r3
"V kp
Ey = - = 3cos¸ sin¸
.
" y r3
Linii pola dipolu elektrycznego sÄ… przedstawione na rysunku.
Jako przykład zastosowania równania (16.41) rozważmy potencjał pola elektrycznego
dowolnego ciągłego rozkładu ładunków w punkcie położonym w odległości dużej od
P
naładowanego ciała. W celu wyliczenia całki we wzorze (16.41) wprowadz
my oznaczenie
rð
rð
(r Å" R)
¾ = cos¸ = .
r Å" R
Wtedy możemy zapisać
1 1 1
= =
rð
rð
rð .
2 2
rð
R - r
R2 - 2Rr Å"¾ + r
(R - r)
W matematyce udowodniono, że
l
"
1 1 r
a"
ìÅ‚ ÷Å‚
, (16.43)
"ëÅ‚ öÅ‚ Å" Pl (¾ )
2
R R
íÅ‚ Å‚Å‚
l=0
R2 - 2Rr Å"¾ + r
Pl (¾ )
gdzie sÄ… wielomianami zwanymi w matematyce wielomianami Legendre'a
208
3
ëÅ‚
2
P0 (¾ ) = 1 P1(¾ ) = ¾ P2 (¾ ) = ¾ -1öÅ‚
, , ìÅ‚ ÷Å‚ itd (16.44)
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu (16.44) do wzoru (16.41) znajdujemy
"
rð
k Ql
Õ(R) = Å"
, (16.45)
"
R Rl
l=0
gdzie
Ql = Á(r)rl Pl (¾ ) Å" dV
+"
. (16.46)
V
Korzystając ze wzorów (16.44) otrzymujemy, że
Q0 = Á(r) Å" dV = Q
+"
(16.47)
V
jest całkowitym ładunkiem obszaru naładowanego,
rð rð rð rð
Q1 = Á Å" cos ¸ Å" dV = nR Å" r Å" dq = nR Å" p
+"(r)r +"
(16.48)
V V
rð rð rð
rð
p = r Å"Á(r)dV a" r Å" dq
+" +"
jest rzutem momentu dipolowego
układu na kierunek wektora (
R
V V
rð
rð
nR = R / R ) .
Wielkość
3
ëÅ‚
2
Q2 = Á(r)r cos2 ¸ -1öÅ‚ Å" dV
ìÅ‚ ÷Å‚
(16.49)
+"
2
íÅ‚ Å‚Å‚
V
nazywa się momentem kwadrupolowym układu.
Z równania (16.45) wynika, że potencjał pola elektrycznego ciała naładowanego
Õ0
możemy rozważać jako sumę potencjału wypadkowego ładunku układu, umieszczonego w
Õ1
początku układu; potencjału wypadkowego dipola elektrycznego, umieszczonego też w
Õ2
początku współrzędnych; potencjału kwadrupola itd.:
Õ = Õ0 + Õ1 + Õ2 + Lð
, (16.50)
gdzie
209
rð
rð
Q Q2
Q1 p Å" R
Õ0 = k
, Õ1 = k = k , Õ2 = k itd.
R
R3
R2 R3
Równanie Poissona
Wyżej udowodniliśmy, że pole elektrostatyczne jest polem potencjalnym. Korzystając
ze wzorów (16.37) oraz różniczkowej postaci prawa Gaussa
rð
"Ex "Ey "Ez Á
divE = + + =
, (16.51)
"x "y "z µ0
łatwo otrzymać równanie wyrażające lokalny związek między potencjałem pola i gęstością
Å‚adunku
"Ex "Ey "Ez ëÅ‚ öÅ‚
"2Õ "2Õ "2 ÷Å‚ Á
+ + = -ìÅ‚
+ + =
. (16.52)
ìÅ‚
"x "y "z "x2 "y2 "z2 ց⠵
íÅ‚ Å‚Å‚ 0
Wprowadzając różniczkowy operator Laplace'a delta "
"2 "2 "2
" = + +
, (16.53)
"x2 "y2 "z2
otrzymujemy tak zwane równanie Poissona
Á
"Õ = -
µ0 . (16.54)
Á = 0
Dla punktów gdy czyli dla obszarów gdy nie występują ładunki elektryczne ze wzoru
(16.54) wynika równanie
"Õ = 0
, (16.55)
które nazywa się równaniem Laplace'a.
210