Cz stki ró ne
¨(x1, x2, x3)
xj
jest zespołem współrz dnych dla cz stki j (ł cznie ze  spinowymi ).
Cz stki s ró ne, wi c zale no funkcji
od współrz dnych ka dej z nich jest inna.
Cz stki nierozró nialne
1 2
3 3
2 1
¨(x1, x2, x3) ¨(x2, x1, x3)
Fizyczna sytuacja nie zmienia si
2
na skutek zamiany miejsc
1
cz stek identycznych.
3
Jak mo e zmienia si funkcja?
¨(x2, x3, x1)
Cz stki nierozró nialne
Jak mo e zmienia si funkcja przy przestawianiu cz stek?
¨(x1, x2, x3) ¨(x2, x1, x3)
¨(x1, x2, x3) = ¨(x2, x1, x3)
¨(x2, x1, x3) = Ä…¨(x1, x2, x3)
Ä… =1
Cz stki nierozró nialne
Jak mo e zmienia si funkcja przy przestawianiu cz stek?
¨(x2, x1,...) = Ä…¨(x1, x2,...)
T12¨(x1, x2,...) a" ¨(x2, x1,...)
2
T12T12¨(x1, x2,...) = Ä…T12¨(x1, x2,...) = Ä… ¨(x1, x2,...)
T12T12¨(x1, x2,...) = T12¨(x2, x1,...) = ¨(x1, x2,...)
Ä… = Ä…1
T12¨(x1, x2,...) = Ä…¨(x1, x2,...)
Cz stki nierozró nialne
Jak mo e zmienia si funkcja przy przestawianiu cz stek?
Odpowied :
Tkl¨(x1,..., xk ,..., xl,...) = Ä…¨(x1,..., xk ,..., xl,...)
Mamy dwa rodzaje funkcji:
symetryczne  nie zmieniaj ce znaku przy transpozycji cz stek,
antysymetryczne  zmieniaj ce znak przy transpozycji cz stek.
Dwa rodzaje cz stek nierozró nialnych
Bozony Fermiony
Tkl¨ = ¨ Tkl¨ = -¨
fotony elektrony
cz stki alfa neutrony
protony
Cz stki o spinie całkowitym. Cz stki o spinie połówkowym.
Funkcje symetryczne. Funkcje antysymetryczne.
Funkcje dla układu dwóch cz stek nierozró nialnych
We my dowoln funkcj dla dwóch cz stek .
È (x1, x2)
Jak j przystosowa ?
Jaka jest w stosunku do
È (x1, x2)  nie wiemy.
T12È (x1, x2) =È (x2, x1)
Wła ciwa funkcja, to taka, która odpowiednio zachowuje si przy przestawianiu cz stek.
Mo na utworzy kombinacje o okre lonej symetrii:
symetryczn
¨S (x1, x2) =È (x1, x2) +T12È (x1, x2)
 dla bozonów,
i antysymetryczn
¨A(x1, x2) =È (x1, x2) -T12È (x1, x2)
 dla fermionów.
Funkcje dla układu dwóch cz stek nierozró nialnych
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych
{Õi(x)}
Mamy baz przestrzeni funkcji jednocz stkowych
i"I
Jak z niej skonstruowa funkcje dwucz stkowe?
{Õi(x1)} {Õ (x2)}
T baz mo na stosowa zarówno dla jednej, , jak i drugiej cz stki .
j
i"I
j"I
Õi(x1)Õ (x2)
j
Funkcjami opisuj cymi dwie cz stki s iloczyny
Wszystkie takie iloczyny stanowi baz w przestrzeni funkcji dwucz stkowych.
i `" j, Õi(x1)Õ (x2)
Dla nie ma okre lonej symetrii permutacyjnej.
j
Õi(x1)Õ (x2) +Õ (x1)Õi(x2)
j j
jest symetryczna  wła ciwa dla bozonów.
Õi(x1)Õ (x2) -Õ (x1)Õi(x2)
j j
jest antysymetryczna  dobra dla fermionów.
Funkcje dla układu dwóch cz stek nierozró nialnych
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (normowanie)
{Õi(x)}
(Õi,Õ ) = ´ij
Niech baza funkcji jednocz stkowych, , b dzie ortonormalna .
i"I j
(ÕiÕ Ä…Õ Õi,ÕiÕ Ä…Õ Õi)=
j j j j
= (Õi,Õi)(Õ ,Õ ) Ä… (Õi,Õ )(Õ ,Õi) Ä… (Õ ,Õi)(Õi,Õ ) + (Õ ,Õ )(Õi,Õi) =
j j j j j j j j
=1Ä… 0 Ä… 0 +1 = 2
1
¨S (x1, x2) = (Õi(x1)Õ (x2) +Õ (x1)Õi(x2))
j j
2
unormowana funkcja symetryczna (dwa bozony).
1
¨A(x1, x2) = (Õi(x1)Õ (x2) -Õ (x1)Õi(x2))
j j
2
unormowana funkcja antysymetryczna (dwa fermiony).
Funkcje dla układu dwóch cz stek nierozró nialnych
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (zakaz Pauliego)
Õi(x1)Õi(x2)
Rozpatrzmy iloczyn identycznych funkcji
Jest on funkcj symetryczn ze wzgl du na przestawianie cz stek.
T12Õi(x1)Õi(x2) = Õi(x2)Õi(x1) = Õi(x1)Õi(x2)
Nadaje si dla bozonów.
Co z przypadkiem fermionów?
Próba antysymetryzowania prowadzi do absurdu
Õi(x1)Õi(x2) -T12Õi(x1)Õi(x2) = Õi(x1)Õi(x2) -Õi(x2)Õi(x1) = 0
Dwa nierozró nialne fermiony (np.elektrony)
Oznacza to, e
wyst puj ce w jednym układzie nie mog by
w jednakowych stanach jednocz stkowych.
(1925r)
Zakaz Pauliego
Funkcje dla układu N cz stek nierozró nialnych
Dowoln funkcj , o nieokre lonej symetrii permutacyjnej,
¨(x1, x2, , xN )
mo na symetryzowa lub antysymetryzowa . Symetryczna (antysymetryczna)
funkcja powinna zawiera  z odpowiednim znakiem  wyrazy dla wszystkich
mo liwych permutacji cz stek (zmiennych w funkcji) . Wtedy przy przestawieniu
Ć
Tkl
dowolnych dwóch cz stek, , dowolny wybrany wyraz przechodzi w jeden
Ć
Tkl
z pozostałych  ten ró ni cy si od danego tylko transpozycj i wyst puj cy
ze znakiem przeciwnym ( f. antysymetryczna) lub takim samym (f. symetryczna)
jak wybrany wyraz.
Ć Ć Ć Ć
P
Ka da permutacja składa si z pewnej liczby transpozycji: = TijTkl Tst .
Ć
Je li liczba transpozycji, p, składaj cych si na jest parzysta, to permutacja
P
jest parzysta. Je li liczba p jest nieparzysta, to permutacja jest nieparzysta.
Wyrazy odpowiadaj ce poszczególnym permutacjom cz stek otrzymujemy działaj c
Ć
¨(x1, x2, , xN )
na wła ciwym dla tej permutacji operatorem :
P
Ć
P¨(x1, x2, , xN )
Funkcje dla układu N cz stek nierozró nialnych c.d.
Funkcja antysymetryczna dla N fermionów
p
Ć
¨A(x1, x2, , xN ) =
"(-1) P¨(x1, x2, , xN )
Ć
P"SN
N! wyrazów w sumie  jeden dla ka dej mo liwej permutacji.
Permutacje parzyste uwzgl dnione ze znakiem  + a nieparzyste z    .
Funkcja symetryczna dla N bozonów
Ć
¨S(x1, x2, , xN ) =
"P¨(x , x2, , xN )
1
Ć
P"SN
N! wyrazów w sumie  jeden dla ka dej mo liwej permutacji.
Wszystkie permutacje uwzgl dnione z jednakowym znakiem.
Funkcje dla układu N nierozró nialnych fermionów
zbudowane z funkcji jednocz stkowych  wyznacznik Slatera.
Je li funkcj prymitywn (nie maj c okre lonej symetrii) jest iloczyn funkcji
jednocz stkowych ¨(x1, x2, , xN ) = Õi (x1)Õi (x2) Õi (xN ) ,
1 2 N
to utworzon z niej funkcj antysymetryczn
p
Ć
¨A(x1, x2, , xN ) =
"(-1) PÕi (x1)Õi (x2) Õi (xN )
1 2 N
Ć
P"SN
mo na zapisa za pomoc wyznacznika:
Õi (x1) Õi (x2) Õi (xN )
1 1 1
Õi (x1) Õi (x2) Õi (xN )
2 2 2
¨A(x1, x2, , xN ) =
Õi (x1) Õi (x2) Õi (xN )
N N N
wyznacznik Slatera
Zakaz Pauliego - jednakowe wiersze - wyznacznik =0.
Antysymetria  zamiana dwóch kolumn, to zmiana znaku na przeciwny.
1
(Õi,Õ ) = ´ij , to czynnikiem normalizacyjnym jest .
Normowanie  je li N!
j
Funkcje dla układu wielu elektronów
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych.
 Funkcje jednoelektronowe składaj si z cz ci przestrzennej i spinowej
Õi(x) = Ća (r )Çk (Ã )
i i
Przestrze spinowa jest dwuwymiarowa; z baz
ëÅ‚1öÅ‚ ëÅ‚0öÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
Ç1(Ã ) = Ä… a" Ç2(Ã ) = ² a"
ìÅ‚0÷Å‚, ìÅ‚1÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Z ka dej funkcji przestrzennej , zwanej orbitalem, mo na utworzy
Ća(r)
dwie niezale ne funkcje przestrzenno-spinowe, zwane spinorbitalami,
Ća(r )Ä… Ća(r )²
Dwa elektrony wyst puj ce w jednym układzie
Zakaz Pauliego
nie mog być opisane tym samym spinorbitalem.
Jeden orbital może być użyty najwyżej dla dwóch elektronów.
Funkcje dla układu dwóch elektronów
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (jeden orbital).
Skonstruujemy funkcję dwuelektronową używając jednego orbitala .
Ća(r)
Mamy dwa spinorbitale: i .
Ća(r )Ä… Ća(r )²
Mo na z nich zło y cztery niezale ne funkcje dwucz stkowe
Ća(r1)ą(1)Ća(r2)ą(2)
Ća(r1)Ä…(1)Ća(r2)² (2)
Ća(r1)² (1)Ća(r2)Ä…(2)
Ća(r1)² (1)Ća(r2)² (2)
Funkcje dla układu dwóch elektronów
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (jeden orbital).
Skonstruujemy funkcj dwuelektronow u ywaj c jednego orbitala .
Ća(r)
Mamy dwa spinorbitale: i .
Ća(r )Ä… Ća(r )²
Mo na z nich zło y cztery niezale ne funkcje dwucz stkowe
Ća(r1)ą(1)Ća(r2)ą(2)
Dwie pozostałe
Pierwsz i ostatni
Ća(r1)Ä…(1)Ća(r2)² (2)
po antysymetryzacji
odrzucamy z powodu
i unormowaniu
Ća(r1)² (1)Ća(r2)Ä…(2)
zakazu Pauliego.
daj jedn (!) funkcj .
Ća(r1)² (1)Ća(r2)² (2)
1
Ća(r1)Ća(r2){Ä…(1)² (2) - ² (1)Ä…(2)}
2
Jest to funkcja singletowa  funkcja własna kwadratu całkowitego spinu do warto ci s=0
oraz rzutu całkowitego spinu na o z do warto ci ms=0.
Funkcje dla układu dwóch elektronów
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (dwa orbitale).
U yjmy teraz dwóch ró nych orbitali i .
Ća(r ) Ćb(r )
Daj one cztery spinorbitale: i .
Ća(r )Ä…, Ća(r )², Ćb(r )Ä… Ćb(r )²
Mo na z nich zło y osiem niezale nych funkcji dwucz stkowych (u ywamy dwóch
ró nych orbitali)
Ća(r1)ą(1)Ćb(r2)ą(2)
Nie maj one okre lonej
Ća(r1)Ä…(1)Ćb(r2)² (2)
symetrii permutacyjnej  tzn.
Ća(r1)² (1)Ćb(r2)Ä…(2)
e nie s ani symetryczne ani
antysymetryczne.
Ća(r1)² (1)Ćb(r2)² (2)
Mo na utworzy z nich osiem
Ćb(r1)ą(1)Ća(r2)ą(2)
Zakaz Pauliego
niezale nych kombinacji
nie wyklucza
Ćb(r1)Ä…(1)Ća(r2)² (2)
o okre lonej symetrii:
bezpo rednio
Ćb(r1)² (1)Ća(r2)Ä…(2)
cztery symetryczne
adnej spo ród
Ćb(r1)² (1)Ća(r2)² (2)
tych funkcji. i cztery antysymetryczne.
Ale! Tylko te antysymetryczne cztery funkcje nadaj dla elektronów.
Funkcje dla układu dwóch elektronów
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (dwa orbitale) c.d..
Jak otrzymujemy te antysymetryczne kombinacje? I dlaczego tylko cztery?
ÂĆÄ…Ć)Ä…Ä…1=ĆĆ(Ä…ĆÄ…(2)ĆbÄ…ĆaÄ… = (ĆaĆb -ĆbĆa)Ä…Ä…
Ä… -
Ća r1 b
Ća(ąĆą( ) r2)
a b a b
b
Ća ar1 b b
Ća(Ä…Ć²( = r2)b ( -
ÂĆÄ…Ć)Ä…²1)ĆĆ(Ä…Ć²²2)Ćb²ĆaÄ…
b a
Ća ar1 b b
Ća(²Ć²Ä… )
ÂĆ²Ć)Ä…(1=ĆĆ(r )b ( -
²ĆÄ…Ä…2)ĆbÄ…Ća²
b 2
a
Ća r1
Ća(²Ć²(
b
ÂĆ²Ć)b²²1)ĆĆ(r2)²²2)Ćb²Ća² = (ĆaĆb -ĆbĆa)²²
= ²Ćb ( -
a b a
Ćb(r1 ą
ĆbąĆ)aą(1)Ća(r2)ą(2)
ÂĆbÄ…ĆaÄ… = ĆbÄ…Ć Ä… -ĆaÄ…ĆbÄ… = -(ĆaĆb -ĆbĆa)Ä…Ä…
Ćb(r1 ² ²
ĆbąĆ)aą(1)Ća(r2)a (2)
ÂĆ²Ć)²²1)ĆĆbÄ…ĆÄ…²2)Ća²ĆbÄ…
-
Ćb br1 aa = a(r2)a (
Ćb(ąĆą(
ÂĆ²Ć)a²Ä…1)ĆĆb²Ć² -
= Ä…(2)ĆaÄ…Ćb²
Ćb r1
Ćb(²Ć²( (r2)
b a a
a
ÂĆb²Ća² = Ćb²Ća² -Ća²Ćb² = -(ĆaĆb -ĆbĆa)²²
Funkcje dla układu dwóch elektronów
- konstrukcja z funkcji jednocz stkowych (dwa orbitale) c.d..
Antysymetryczne funkcje własne wypadkowego kwadratu i rzutu spinu.
ms =1
(ĆaĆb -ĆbĆa)ąą
(ĆaĆb -ĆbĆa)ąą
(ĆaĆb -ĆbĆa)²²
(ĆaĆb -ĆbĆa)²²
ms = -1
ĆaÄ…Ćb² -Ćb²ĆaÄ…
+
-{ }
Ća²ĆbÄ… -ĆbÄ…Ća²
ms = 0
(ĆaĆb -ĆbĆa)(Ä…² + ²Ä… )
(ĆaĆb +ĆbĆa)(Ä…² - ²Ä… )
Singlet  Jedna funkcja własna operatora Tryplet  Trzy funkcje własne operatora
kwadratu wypadkowego spinu do warto ci kwadratu wypadkowego spinu do warto ci
własnej okre lonej przez S=0. własnej okre lonej przez S=1.