Matematyka A, egzamin, 9 wrze´snia 2008

12:05 — 15:05

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozruszni-

k´ow serca.

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

1. Znale´z´c promie´

n i ´srodek okre

,

gu, kt´ory zawiera zbi´or A z lo˙zony ze wszystkich tych liczb

zespolonych z , dla kt´orych

i

z

+

1
z

−

i

2

∈ R . Znale´z´c punkty opisanego okre

,

gu, kt´ore nie sa

,

elementami zbioru A , o ile takie istnieja

,

.

2. Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A =







1 0

1 −1

0 1 −1

0

0 1

1

0

1 1

0

1





 w tym zespolone.

3. Znale´z´c wszystkie takie niesko´

nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalne funkcje f : R −→ R , ˙ze dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej x styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x, f (x)) przechodzi

przez punkt

x

2

, 0

.

4. Rozwia

,

za´c r´ownanie r´o˙zniczkowe tx

0

+ (1 − 2t)x = 3t

2

e

2t

.

Znale´z´c rozwia

,

zanie tego r´ownania spe lniaja

,

ce warunek x(1) = 0 .

5. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + 2x

0

(t) + 5x(t) = 8e

t

− 17 cos(2t) − e

−t

sin(2t) .

6. Niech f (x, y) = 2x

2

y + xy

2

− 12xy . Znale´z´c najmniejsza

,

i najwie

,

ksza

,

warto´s´c funkcji f

w prostoka

,

cie Q = {(x, y):

−1 ≤ x ≤ 6 i

− 1 ≤ y ≤ 12} .