Pojęcie naprężenia

Wykonał: Jan Grzybowski

Czym jest naprężenie?

Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)

Gustav Kirchhoff

Gabrio Piola

George Green

Jean Baptiste Biot

George Green

Paul M. Naghdi

Jean Mandel

Wektory i tensory naprężenia

df = tds = TdS

t = t(x, t, n),

T = T(X, t, N)

t – wektor napręże-

nia Cauchy'ego

T – pierwszy wektor

naprężenia

Pioli-Kirchhoffa

Wektory i tensory naprężenia

Postulat Cauchy'ego

t = t(x, t, n), T = T(X, t, N)

- wektor t (lub T) pozostaje
niezmieniony dla wszystkich
wektorów przechodzących przez
punkt x (lub X) posiadających ten sam
wektor normalny n (lub N)

Twierdzenie naprężeń Cauchy'ego

Istnieją tensory 2 – walencji takie, że:
t(x, t, n) = σ(x, t)n

lub

t

a

= σ

ab

n

b

T(X, t, N) = P(X, t)N

lub

T

a

= P

aA

N

A

σ

– symetryczny tensor naprężeń Cauchy'ego

P – pierwszy tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa

{

Jeśli wektory t lub T
zależą od n lub N, to

muszą one być liniowe

odpowiednio w n lub N.

Wektory i tensory naprężenia

[σ ]=

[

σ

11

σ

12

σ

13

σ

21

σ

22

σ

23

σ

31

σ

32

σ

33

]

[t ]=

[

t

1

t

2

t

3

]

[n]=

[

n

1

n

2

n

3

]

[t ]=[ σ ][n]

Wektory i tensory naprężenia

Trzecie prawo Newtona (zasada akcji i reakcji) –

fundamentalny lemat Cauchy'ego

Wektory i tensory naprężenia

Zależność pomiędzy tensorami σ i P

do równania:

df = tds = TdS

podstawiamy
t = t(x, t, n), T = T(X, t, N)

i

t(x, t, n) = σ(x, t)n
T(X, t, N) = P(X, t)N

σ

(x, t)nds = P(X, t)NdS

Formuła Nansona

nds = J

F-

T

dS

gdzie

dx = FdX
dv = JdV
J = detF
F – gradient deformacji
J – jakobian

P= J σ F

-T

lub P

aA

= J σ

ab

F

Ab

1

σ= J

1

P F

T

= σ

T

lub σ

ab

= J

1

P

aA

F

bA

= σ

ba

PF

T

= FP

T

P niesymetryczny tensor o dziewięciu niezależnych składnikach P

aA

Transformacja Pioli

Przykład

[σ ]=

[

0 0 0
0 50 0
0 0 0

]

=50 kN

cm

2

Dana jest deforamacja ciała opisana przez

x

1

= 6X

2

, x

2

=

1
2

X

1

, x

3

=

1
3

X

3

.

Tensor naprężeń Cauchy'ego w danym punkcie jest dany przez macierz

Wyznaczyć wektor naprężenia Cauchy'ego t i pierwszy wektor Pioli-Kirchhoffa T
wiedząc, że wektor normalny dla stanu aktualnego wynosi n= e

2

.

[F ]=

[

0

6 0

1

2

0 0

0 0

1

3

]

[P ]=J [σ ][ F

T

]

det F

=(1)(6)⋅1

2

⋅1

3

=1

[C]=

[

0

1

6

0

2 0 0
0 0 3

]

[F

1

]= [C

T

]

detF

[C

T

]=[ F

1

]=

[

0 2 0
1

6

0 0

0 0 3

]

Przykład c.d.

[P ]=J [σ ][ F

T

]

det F= J =1

[F

-T

]=[C]=

[

0

1

6

0

2 0 0
0 0 3

]

[P ]=J [σ ][ F

T

]= 1⋅

[

0 0 0
0 50 0
0 0 0

]

⋅

[

0

1

6

0

2 0 0
0 0 3

]

=

[

0 0 0
100 0 0
0 0 0

]

kN

cm

2

W celu znalezienia wektora normalnegoN używamy formuły Nansona

N d S = J

-1

F

T

n d s. Wiedząc, że n=e

2

:

N d S = J

-1

F

T

n d s= 1

1

⋅

[

0

1
2

0

6 0 0

0 0

1
3

]

⋅

[

0

1
0

]

⋅d s=

1

2

e

1

d s , więc, N= e

1

Przykład c.d.

Korzystając z twierdzenia Cauchy'ego,

[t ]=[ σ ][n]=

[

0 0 0
0 50 0
0 0 0

]

⋅

[

0
1
0

]

=

[

0

50

0

]

kN
cm

2

t =50 e

2

i T= 100 e

2

[T]=[ P][ N]=

[

0 0 0
100 0 0
0 0 0

]

⋅

[

1
0
0

]

=

[

0

100

0

]

kN
cm

2

Alternatywne tensory naprężenia

Tensor naprężeń Kirchhoffa τ

τ=

J σ lub τ

ab

=

J σ

ab

Drugi tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa S

Uzyskujemy go poprzez przeprowadzenie transformacji do tyłu na tensorzeτ

S

=χ

*

1

(τ

#

)=F

1

τ

F

T

lub S

AB

=F

Aa

1

F

Bb

1

τ

ab

Dlatego tensor naprężeń Kirchhoffa jest transformacją w przód na tensorzeS

τ

=χ

*

(S

#

)=FSF

T

lub

τ

ab

=F

aA

F

bB

S

BA

Przy użyciu powyższych równań otrzymujemy transformację Pioli, która uzależnia
pola tensorowe S i σ

S

=J F

1

σ

F

T

=F

1

P

=S

T

lub S

AB

= JF

Aa

1

F

Bb

1

σ

ab

=F

Aa

1

P

aB

=S

BA

oraz zależność odwrotna,

σ

=J

1

FSF

T

lub

σ

ab

=J

1

F

aA

F

bB

S

AB

W ten sposób uzyskujemy zależność między pierwszym i drugim tensorem naprężeń
Pioli-Kirchhoffa, odpowiednio P i symetrycznym tensorem S.

P = ES lub P

aA

=F

aB

S

BA

Alternatywne tensory naprężenia

Tensor naprężeń Biota T

B

Jest to materiałowy tensor zdefiniowany jako

T

B

= R

T

P lub T

B AB

=R

aA

P

aB

używając polarnej dekompozycji F = RU ,

otrzymujemy T

B

=R

T

(FS) =US , gdzie

R - tensor rotacji (det R

=1),

U - symetryczny prawy tensor rozciągnięcia

F - gradient deformacji

po przemnożeniu z lewej strony przez R równania T

B

=R

T

P otrzymujemy:

P=RT

B

lub P

aA

=R

aB

T

B BA

Innym tensorem naprężenia jest tensor korotacji naprężenia Cauchy'ego σ

u

powstały przez wstawienie do tensora naprężeń Cauchy'ego σ

=J

1

FSF

T

,

U zamiast F i wykorzystaniu dekompozycji polarnej F = RU :

σ

u

=J

1

USU

T

=(UF

1

) σ (F

T

U

) =R

T

σ

R

Tensor naprężenia Mandela Σ

Σ=

CS , gdzie C

= U

2

i jest to tensor deformacji Cauchy'ego-Greena

Wnioski

Naprężenie jest pojęciem bardziej złożonym, niż to przedstawione w ramach
Wytrzymałości Materiałów.
Istnieje wiele alternatywnych tensorów opisujących zależności pomiędzy
odkształceniami i naprężeniami, ponieważ w zależności od zagadnienia różne
tensory są przydatne do opisu danego zjawiska.

Literatura

1.G. A. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering,
2.http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_%28mechanics%29,