IMIR materiały fale

background image

1

)

(

,

0

x

f

y

t

=

=

t)

f(x

y

t

v

=

,

W czasie t impuls falowy (fala) poruszaj

ą

cy si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v przesuwa si

ę

w prawo wzdłu

ż

sznura o odcinek równy vt, bez zmiany kształtu

Fala biegn

ą

c

ą

w kierunku ujemnym osi

x

(w lewo) ma posta

ć

:

t)

f(x

y

v

+

=

Rozchodzenie si

ę

fali w przestrzeni – równanie kinematyczne fali

Je

ś

li na ko

ń

cu sznura (spr

ęż

yny) przyło

ż

ymy

drgania harmoniczne (sinusoidalne), to powstanie
fala sinusoidalna.

fala podłużna

x

fala poprzeczna

y

Dla dowolnej chwili czasu mo

ż

emy zrobi

ć

fotografi

ę

fali i opisa

ć

j

ą

równaniem:

fala poprzeczna:

+

=

+

=

=

π

λϕ

λ

π

ϕ

λ

π

2

2

sin

2

sin

0

0

x

A

x

A

y

y

Umówmy si

ę

,

ż

e zaczynamy mierzy

ć

czas w

chwili t

0

=0 i

ż

e

ϕ

0

odpowiada fazie

pocz

ą

tkowej.

dla t=0

fala podłu

ż

na:

+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

x

A

x

dla t=0

background image

2

(

)





+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

t

x

A

y

v

A - amplituda fali

λ

- długo

ść

fali

faza fali

0

2

ϕ

λ

π

+

t)

(x

v

0

ϕ

faza pocz

ą

tkowa

... a jak b

ę

dzie wygl

ą

dała fala po czasie t ?

+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

x

A

y

dla t=0

Czas, w którym fala przebiega odległo

ść

równ

ą

λ

nazywamy okresem

T.

v

λ

T

=

w danej chwili t takie samo wychylenie jest w
punktach

x, x +

λ

, x + 2

λ

, itd.,

w danym miejscu x takie samo wychylenie
powtarza si

ę

w chwilach

t, t + T, t + 2T

, itd.

+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

T

t

x

A

y

....a tak wygl

ą

da ruch punktu o

ustalonej współrz

ę

dnej w zale

ż

no

ś

ci

od czasu

t

.

- pr

ę

dko

ść

fazowa fali

v

f

T

k

π

π

ω

λ

π

2

2

2

=

=

=

)

sin(

0

ϕ

ω

+

=

t

x

k

A

y

k

ω

λf

T

λ

=

=

=

v

liczba falowa

cz

ę

sto

ść

k

ą

towa

Napiszmy równanie kinematyczne fali w nieco innej, prostszej
postaci :

+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

T

t

x

A

y

background image

3

Powierzchni

ę

ł

ą

cz

ą

c

ą

punkty, o takiej samej fazie nazywamy powierzchni

ą

falow

ą

. Powierzchnie falowe poruszaj

ą

si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

fazow

ą

. Ze wzgl

ę

du

na kształt powierzchni falowej wyró

ż

niamy fale płaskie i fale kuliste.

fala płaska

fala kulista

Kształt fali

θ

θ

θ

Fd

F

F

F

y

wyp

=

1

2

)

(

sin

sin

Wypadkowa siła działaj

ą

ca na kawałek

sznura o długo

ś

ci

dx

:

Równanie falowe dla napr

ęż

onego sznura lub struny

ma

F

y

wyp

=

)

(

Z drugiej strony:

(druga zasada dynamiki)

(*)

2

2

)

(

dt

y

d

dx

F

y

wyp

µ

=

- g

ę

sto

ść

liniowa

dla elementu struny o długo

ś

ci

dx

:

µ

(**)

2

2

dt

y

d

dx

Fd

µ

θ

=

2

2

dt

y

d

F

dx

d

µ

θ

=

Ze wzorów (*) i (**) mamy:

i dalej

dx

dy

θ

Dla małych katów

2

2

2

2

dt

y

d

F

dx

y

d

µ

=

, czyli ostatecznie:

równanie falowe

background image

4

)

sin(

0

ϕ

ω

+

=

t

kx

A

y

Sprawd

ź

my czy równanie kinematyczne fali spełnia równanie falowe

dla struny:

µ

F

=

v

Pr

ę

dko

ść

v

rozchodzenia si

ę

fali jest niezale

ż

na od amplitudy i

cz

ę

stotliwo

ś

ci, dla fal mechanicznych zale

ż

y od spr

ęż

ysto

ś

ci

o

ś

rodka i jego bezwładno

ś

ci.

2

2

2

2

dt

y

d

F

dx

y

d

µ

=

2

2

2

1

v

=

=

ω

µ

k

F

)

sin(

2

2

2

t

kx

Ak

dx

y

d

ω

=

Wyliczmy pochodne:

)

sin(

2

2

2

t

kx

A

dt

y

d

ω

ω

=

F

t

kx

A

t

kx

Ak

µ

ω

ω

ω

)

sin(

)

sin(

2

2

=

ogólne równanie falowe

Równanie ruchu falowego stosuje si

ę

do wszystkich rodzajów fal spr

ęż

ystych.

2

2

2

2

2

1

dt

y

d

dx

y

d

v

=

µ

F

=

v

Pr

ę

dko

ś

ci fal w ró

ż

nych o

ś

rodkach

1. napr

ęż

ony sznur lub struna

(poprzeczna)

ρ

E

=

v

2. pr

ę

t

(podłu

ż

na)

gdzie:

l

l

E

S

F

=

(E- moduł Younga)

3. fala akustyczna

(podłu

ż

na)

ρ

K

=

v

gdzie:

V

V

K

p

=

(K- moduł sci

ś

liwo

ś

ci obj

ę

to

ś

ciowej)

(

)

0

sin

ϕ

ω

+

=

t

kx

p

p

m

Fala akustyczna opisuje rozchodzenie si

ę

lokalnej zmiany ci

ś

nienia

gdzie

p

m

jest amplitud

ą

zmian ci

ś

nienia

background image

5

)

sin(

1

t

kx

A

y

ω

+

=

)

sin(

2

t

kx

A

y

ω

=

interferencja dwu fal rozchodz

ą

cych si

ę

w przeciwnych kierunkach na przykład

+x

i

-x

Fale stoj

ą

ce

INTERFERENCJA FAL

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

+

=

+

t

x

k

A

y

y

y

ω

cos

sin

2

2

1

=

+

=

Ruch harmoniczny z

amplitud

ą

kx

A

A

sin

2

'

=

t

A

y

ω

cos

'

=

Punkty, które maj

ą

maksymaln

ą

amplitud

ę

nazywamy strzałkami, a te które maj

ą

zerow

ą

amplitud

ę

i nazywane s

ą

w

ę

złami.

Cz

ą

stki o

ś

rodka drgaj

ą

ruchem harmonicznym prostym ale w przeciwie

ń

stwie do fali

biegn

ą

cej, ró

ż

ne punkty o

ś

rodka maj

ą

ż

ne amplitudy drga

ń

zale

ż

ne od ich poło

ż

enia

x

.

Fale stoj

ą

ca dla struny

(pr

ę

ta) zamocowanej na obu ko

ń

cach.

2

n

n

L

λλλλ

=

f

λ

T

λ

=

=

v

µ

F

=

v

µ

F

L

n

L

n

f

n

n

2

2

=

=

=

v

v

λ

Najni

ż

sza cz

ę

sto

ść

cz

ę

sto

ść

podstawowa,

pozostałe

wy

ż

sze harmoniczne (alikwoty)

....)

3

,

2

,

1

(

=

n

pr

ę

t zamocowany

na jednym ko

ń

cu

....)

5

,

3

,

1

(

4

=

=

n

n

L

n

λλλλ

pr

ę

t swobodny

na ko

ń

cach

....)

3

,

2

,

1

(

2

=

=

n

n

L

n

λλλλ

v

L

n

f

n

4

=

v

L

n

f

n

2

=

background image

6

Fale stoj

ą

ce w piszczałce

Barwa dzwi

ę

ku

zale

ż

y od amplitud dla harmonicznych

wy

ż

szego rz

ę

du o cz

ę

stotliwo

ś

ciach

f

n

.

v

L

n

f

n

2

=

v

L

n

f

n

4

=

....)

5

,

3

,

1

(

4

=

=

n

n

L

n

λλλλ

....)

3

,

2

,

1

(

2

=

=

n

n

L

n

λλλλ

drganie wypadkowe

n = 7

n = 5

n = 3

n = 1

t

Wypadkowe drganie (chocia

ż

okresowe)

nie musi by

ć

harmoniczne (nie daje si

ę

opisa

ć

funkcj

ą

sinus lub cosinus).

Dowolne drganie okresowe o okresie T mo

ż

emy przedstawi

ć

jako

kombinacj

ę

liniow

ą

(sum

ę

) drga

ń

harmonicznych o okresach danych

wzorem T

n

= T/n, gdzie n jest liczb

ą

naturaln

ą

.

Analiza Fouriera

Analiza fal zło

ż

onych

background image

7

Fale stoj

ą

ce

fale o tej samej cz

ę

stotliwo

ś

ci, interferencja „w przestrzeni”.

Dudnienia

fale o nieco ró

ż

ni

ą

cej si

ę

cz

ę

stotliwo

ś

ci, interferencja „w czasie”.

t

f

A

t

A

y

1

1

1

2

π

ω

sin

sin

=

=

t

f

A

t

A

y

2

2

2

2

π

ω

sin

sin

=

=

+

=

+

=

t

f

f

t

f

f

A

y

y

y

2

2

sin

2

2

cos

2

2

1

2

1

2

1

π

π

Dudnienia

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

+

=

+

)

2

sin(

'

)

sin(

'

t

f

A

t

A

y

π

ω

=

=

2

2

1

f

f

f

+

=

Drgania wypadkowe

o cz

ę

stotliwo

ś

ci

i amplitudzie zmieniaj

ą

cej si

ę

w czasie z cz

ę

stotliwo

ś

ci

ą

:

2

2

1

f

f

f

amp

=

=

t

f

f

A

A

2

2

cos

2

'

2

1

π

http://fizycznyserwis0.republika.pl/dswmedia/fale/dudnienia.htm

Je

ż

eli cz

ę

stotliwo

ś

ci

f

1

i f

2

s

ą

bliskie

siebie to amplituda zmienia si

ę

powoli

(

f

amp

jest mała).

Mamy do czynienia z modulacj

ą

amplitudy (AM – amplitude modulation).

2

2

1

f

f

f

amp

=

y

y

t

t

Zastosowanie modulacji ma na celu „wprowadzenie” do fali potrzebnej informacji,
która ma by

ć

przesłana.

Modulacja amplitudy jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym (obok
modulacji cz

ę

stotliwo

ś

ci FM) sposobem przesyłania informacji za pomoc

ą

fal

radiowych

background image

8

Zjawisko Dopplera wyst

ę

puje dla wszystkich fal.

ZJAWISKO DOPPLERA

Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie cz

ę

stotliwo

ś

ci fali z powodu

ruchu obserwatora lub

ź

ródła fali.

Przykład: Fale d

ź

wi

ę

kowe - ruch

ź

ródła i obserwatora wzdłu

ż

ł

ą

cz

ą

cej ich prostej.

Porusza si

ę

tylko obserwator:

• dla nieruchomego obserwatora okres (czas miedzy

odebraniem kolejnych powierzchni falowych):

gdzie v to pr

ę

dko

ść

d

ź

wi

ę

ku.

v

/

λ

T

=

• je

ż

eli obserwator porusza si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v

0

w

kierunku

ź

ródła (wychodzi falom na przeciw) to odbiera

on powierzchnie falowe w odst

ę

pie czasu:

o

T

T'

v

v

v

+

=

v

v

v

o

f

f'

+

=

)

/(

'

0

v

v

+

=

λ

T

czyli:

W sytuacji kiedy porusza si

ę

zarówno

ź

ródło jak i obserwator





±

=

z

o

f

f'

v

v

v

v

m

Znaki "górne" odpowiadaj

ą

zbli

ż

aniu si

ę

ź

ródła

i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu si

ę

.

•Zmiany cz

ę

stotliwo

ś

ci zale

żą

od tego czy porusza si

ę

ź

ródło czy obserwator.

•Powy

ż

sze wzory s

ą

słuszne gdy pr

ę

dko

ś

ci

ź

ródła i obserwatora s

ą

mniejsze od pr

ę

dko

ś

ci d

ź

wi

ę

ku.

f

f

f

T

z

z

z

v

v

v

v

=

=

=

λ

λ

λ

•rejestrowana przez obserwatora O cz

ę

stotliwo

ść

:

(

)

z

f

f

f

z

v

v

v

v

v

v

v

=

=

=

λ

•skróceniu ulega długo

ść

fali emitowanej ze

ź

ródła Z:

Dla pr

ę

dko

ś

ci

ź

ródła wi

ę

kszej

od pr

ę

dko

ś

ci d

ź

wi

ę

ku

powstaje sto

ż

ek Macha

Porusza si

ę

tylko

ź

ródło:

background image

9

NAT

ĘŻ

ENIE FALI (na przykładzie fali d

ź

wi

ę

kowej)

Nat

ęż

enie

biegn

ą

cej fali płaskiej

(czyli moc na jednostk

ę

powierzchni)

wynosi:

S

t

E

S

P

I

=

=

r

Dal fali kulistej mamy:

2

4 r

P

S

P

I

r

π

=

=

2

1

r

I

>

<

2

~

p

I


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IMIR materiały fale
IMIR materiały fale
IMIR materiały fale
IMIR materiały fale
Zad 25 10 11, AGH Imir materiały mix, Studia
IMIR materiały grawitacja
termo 1, AGH Imir materiały mix, Studia
matmascigi, AGH Imir materiały mix, Studia
sprawko M4, AGH Imir materiały mix, Studia
pnom sprawko, AGH Imir materiały mix, Studia
laborka-cw3 (1), AGH Imir materiały mix, Studia
Tob zagadnienia opracowane, AGH Imir materiały mix, Studia
sprawko M4 (1), AGH Imir materiały mix, Studia
IMIR materialy grawitacja
ankietaONR, AGH Imir materiały mix, Studia
IMIR materialy prad id 211874 Nieznany

więcej podobnych podstron