1

)

(

,

0

x

f

y

t

=

=

t)

f(x

y

t

v

−

=

,

W czasie t impuls falowy (fala) poruszaj

ą

cy si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v przesuwa si

ę

w prawo wzdłu

ż

sznura o odcinek równy vt, bez zmiany kształtu

Fala biegn

ą

c

ą

w kierunku ujemnym osi

x

(w lewo) ma posta

ć

:

t)

f(x

y

v

+

=

Rozchodzenie si

ę

fali w przestrzeni – równanie kinematyczne fali

Je

ś

li na ko

ń

cu sznura (spr

ęż

yny) przyło

ż

ymy

drgania harmoniczne (sinusoidalne), to powstanie
fala sinusoidalna.

fala podłużna

∆

x

fala poprzeczna

∆

y

Dla dowolnej chwili czasu mo

ż

emy zrobi

ć

fotografi

ę

fali i opisa

ć

j

ą

równaniem:

fala poprzeczna:













+

=













+

=

∆

=

π

λϕ

λ

π

ϕ

λ

π

2

2

sin

2

sin

0

0

x

A

x

A

y

y

Umówmy si

ę

,

ż

e zaczynamy mierzy

ć

czas w

chwili t

0

=0 i

ż

e

ϕ

0

odpowiada fazie

pocz

ą

tkowej.

dla t=0

fala podłu

ż

na:













+

=

∆

0

2

sin

ϕ

λ

π

x

A

x

dla t=0

2

(

)









+

−

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

t

x

A

y

v

A - amplituda fali

λ

- długo

ść

fali

faza fali

0

2

ϕ

λ

π

+

−

t)

(x

v

0

ϕ

faza pocz

ą

tkowa

... a jak b

ę

dzie wygl

ą

dała fala po czasie t ?













+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

x

A

y

dla t=0

Czas, w którym fala przebiega odległo

ść

równ

ą

λ

nazywamy okresem

T.

v

λ

T

=

w danej chwili t takie samo wychylenie jest w
punktach

x, x +

λ

, x + 2

λ

, itd.,

w danym miejscu x takie samo wychylenie
powtarza si

ę

w chwilach

t, t + T, t + 2T

, itd.













+













−

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

T

t

x

A

y

....a tak wygl

ą

da ruch punktu o

ustalonej współrz

ę

dnej w zale

ż

no

ś

ci

od czasu

t

.

- pr

ę

dko

ść

fazowa fali

v

f

T

k

π

π

ω

λ

π

2

2

2

=

=

=

)

sin(

0

ϕ

ω

+

−

=

t

x

k

A

y

k

ω

λf

T

λ

=

=

=

v

liczba falowa

cz

ę

sto

ść

k

ą

towa

Napiszmy równanie kinematyczne fali w nieco innej, prostszej
postaci :













+













−

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

T

t

x

A

y

3

Powierzchni

ę

ł

ą

cz

ą

c

ą

punkty, o takiej samej fazie nazywamy powierzchni

ą

falow

ą

. Powierzchnie falowe poruszaj

ą

si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

fazow

ą

. Ze wzgl

ę

du

na kształt powierzchni falowej wyró

ż

niamy fale płaskie i fale kuliste.

fala płaska

fala kulista

Kształt fali

θ

θ

θ

Fd

F

F

F

y

wyp

≅

−

=

1

2

)

(

sin

sin

Wypadkowa siła działaj

ą

ca na kawałek

sznura o długo

ś

ci

dx

:

Równanie falowe dla napr

ęż

onego sznura lub struny

ma

F

y

wyp

=

)

(

Z drugiej strony:

(druga zasada dynamiki)

(*)

2

2

)

(

dt

y

d

dx

F

y

wyp

µ

=

- g

ę

sto

ść

liniowa

dla elementu struny o długo

ś

ci

dx

:

µ

(**)

2

2

dt

y

d

dx

Fd

µ

θ

=

2

2

dt

y

d

F

dx

d

µ

θ

=

Ze wzorów (*) i (**) mamy:

i dalej

dx

dy

≅

θ

Dla małych katów

2

2

2

2

dt

y

d

F

dx

y

d

µ

=

, czyli ostatecznie:

równanie falowe

K

ą

kol 188

4

)

sin(

0

ϕ

ω

+

−

=

t

kx

A

y

Sprawd

ź

my czy równanie kinematyczne fali spełnia równanie falowe

dla struny:

µ

F

=

v

Pr

ę

dko

ść

v

rozchodzenia si

ę

fali jest niezale

ż

na od amplitudy i

cz

ę

stotliwo

ś

ci, dla fal mechanicznych zale

ż

y od spr

ęż

ysto

ś

ci

o

ś

rodka i jego bezwładno

ś

ci.

2

2

2

2

dt

y

d

F

dx

y

d

µ

=

2

2

2

1

v

=

=

ω

µ

k

F

)

sin(

2

2

2

t

kx

Ak

dx

y

d

ω

−

−

=

Wyliczmy pochodne:

)

sin(

2

2

2

t

kx

A

dt

y

d

ω

ω

−

−

=

F

t

kx

A

t

kx

Ak

µ

ω

ω

ω

)

sin(

)

sin(

2

2

−

−

=

−

−

ogólne równanie falowe

Równanie ruchu falowego stosuje si

ę

do wszystkich rodzajów fal spr

ęż

ystych.

2

2

2

2

2

1

dt

y

d

dx

y

d

v

=

µ

F

=

v

Pr

ę

dko

ś

ci fal w ró

ż

nych o

ś

rodkach

1. napr

ęż

ony sznur lub struna

(poprzeczna)

ρ

E

=

v

2. pr

ę

t

(podłu

ż

na)

gdzie:

l

l

E

S

F

∆

=

(E- moduł Younga)

3. fala akustyczna

(podłu

ż

na)

ρ

K

=

v

gdzie:

V

V

K

p

∆

−

=

∆

(K- moduł sci

ś

liwo

ś

ci obj

ę

to

ś

ciowej)

(

)

0

sin

ϕ

ω

+

−

∆

=

∆

t

kx

p

p

m

Fala akustyczna opisuje rozchodzenie si

ę

lokalnej zmiany ci

ś

nienia

gdzie

∆

p

m

jest amplitud

ą

zmian ci

ś

nienia

5

)

sin(

1

t

kx

A

y

ω

+

=

)

sin(

2

t

kx

A

y

ω

−

=

interferencja dwu fal rozchodz

ą

cych si

ę

w przeciwnych kierunkach na przykład

+x

i

-x

Fale stoj

ą

ce

INTERFERENCJA FAL

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

t

x

k

A

y

y

y

ω

cos

sin

2

2

1

=

+

=

Ruch harmoniczny z

amplitud

ą

kx

A

A

sin

2

'

=

t

A

y

ω

cos

'

=

Punkty, które maj

ą

maksymaln

ą

amplitud

ę

nazywamy strzałkami, a te które maj

ą

zerow

ą

amplitud

ę

i nazywane s

ą

w

ę

złami.

Cz

ą

stki o

ś

rodka drgaj

ą

ruchem harmonicznym prostym ale w przeciwie

ń

stwie do fali

biegn

ą

cej, ró

ż

ne punkty o

ś

rodka maj

ą

ró

ż

ne amplitudy drga

ń

zale

ż

ne od ich poło

ż

enia

x

.

Fale stoj

ą

ca dla struny

(pr

ę

ta) zamocowanej na obu ko

ń

cach.

2

n

n

L

λλλλ

=

f

λ

T

λ

=

=

v

µ

F

=

v

µ

F

L

n

L

n

f

n

n

2

2

=

=

=

v

v

λ

Najni

ż

sza cz

ę

sto

ść

cz

ę

sto

ść

podstawowa,

pozostałe

wy

ż

sze harmoniczne (alikwoty)

....)

3

,

2

,

1

(

=

n

pr

ę

t zamocowany

na jednym ko

ń

cu

....)

5

,

3

,

1

(

4

=

=

n

n

L

n

λλλλ

pr

ę

t swobodny

na ko

ń

cach

....)

3

,

2

,

1

(

2

=

=

n

n

L

n

λλλλ

v

L

n

f

n

4

=

v

L

n

f

n

2

=

6

Fale stoj

ą

ce w piszczałce

Barwa dzwi

ę

ku

zale

ż

y od amplitud dla harmonicznych

wy

ż

szego rz

ę

du o cz

ę

stotliwo

ś

ciach

f

n

.

v

L

n

f

n

2

=

v

L

n

f

n

4

=

....)

5

,

3

,

1

(

4

=

=

n

n

L

n

λλλλ

....)

3

,

2

,

1

(

2

=

=

n

n

L

n

λλλλ

drganie wypadkowe

n = 7

n = 5

n = 3

n = 1

t

Wypadkowe drganie (chocia

ż

okresowe)

nie musi by

ć

harmoniczne (nie daje si

ę

opisa

ć

funkcj

ą

sinus lub cosinus).

Dowolne drganie okresowe o okresie T mo

ż

emy przedstawi

ć

jako

kombinacj

ę

liniow

ą

(sum

ę

) drga

ń

harmonicznych o okresach danych

wzorem T

n

= T/n, gdzie n jest liczb

ą

naturaln

ą

.

Analiza Fouriera

Analiza fal zło

ż

onych

7

Fale stoj

ą

ce

fale o tej samej cz

ę

stotliwo

ś

ci, interferencja „w przestrzeni”.

Dudnienia

fale o nieco ró

ż

ni

ą

cej si

ę

cz

ę

stotliwo

ś

ci, interferencja „w czasie”.

t

f

A

t

A

y

1

1

1

2

π

ω

sin

sin

=

=

t

f

A

t

A

y

2

2

2

2

π

ω

sin

sin

=

=













+

























−

=

+

=

t

f

f

t

f

f

A

y

y

y

2

2

sin

2

2

cos

2

2

1

2

1

2

1

π

π

Dudnienia

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

)

2

sin(

'

)

sin(

'

t

f

A

t

A

y

π

ω

=

=

2

2

1

f

f

f

+

=

Drgania wypadkowe

o cz

ę

stotliwo

ś

ci

i amplitudzie zmieniaj

ą

cej si

ę

w czasie z cz

ę

stotliwo

ś

ci

ą

:

2

2

1

f

f

f

amp

−

=

























−

=

t

f

f

A

A

2

2

cos

2

'

2

1

π

http://fizycznyserwis0.republika.pl/dswmedia/fale/dudnienia.htm

Je

ż

eli cz

ę

stotliwo

ś

ci

f

1

i f

2

s

ą

bliskie

siebie to amplituda zmienia si

ę

powoli

(

f

amp

jest mała).

Mamy do czynienia z modulacj

ą

amplitudy (AM – amplitude modulation).

2

2

1

f

f

f

amp

−

=

y

y

t

t

Zastosowanie modulacji ma na celu „wprowadzenie” do fali potrzebnej informacji,
która ma by

ć

przesłana.

Modulacja amplitudy jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym (obok
modulacji cz

ę

stotliwo

ś

ci FM) sposobem przesyłania informacji za pomoc

ą

fal

radiowych

8

Zjawisko Dopplera wyst

ę

puje dla wszystkich fal.

ZJAWISKO DOPPLERA

Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie cz

ę

stotliwo

ś

ci fali z powodu

ruchu obserwatora lub

ź

ródła fali.

Przykład: Fale d

ź

wi

ę

kowe - ruch

ź

ródła i obserwatora wzdłu

ż

ł

ą

cz

ą

cej ich prostej.

Porusza si

ę

tylko obserwator:

• dla nieruchomego obserwatora okres (czas miedzy

odebraniem kolejnych powierzchni falowych):

gdzie v to pr

ę

dko

ść

d

ź

wi

ę

ku.

v

/

λ

T

=

• je

ż

eli obserwator porusza si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v

0

w

kierunku

ź

ródła (wychodzi falom na przeciw) to odbiera

on powierzchnie falowe w odst

ę

pie czasu:

o

T

T'

v

v

v

+

=

v

v

v

o

f

f'

+

=

)

/(

'

0

v

v

+

=

λ

T

czyli:

W sytuacji kiedy porusza si

ę

zarówno

ź

ródło jak i obserwator













±

=

z

o

f

f'

v

v

v

v

m

Znaki "górne" odpowiadaj

ą

zbli

ż

aniu si

ę

ź

ródła

i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu si

ę

.

•Zmiany cz

ę

stotliwo

ś

ci zale

żą

od tego czy porusza si

ę

ź

ródło czy obserwator.

•Powy

ż

sze wzory s

ą

słuszne gdy pr

ę

dko

ś

ci

ź

ródła i obserwatora s

ą

mniejsze od pr

ę

dko

ś

ci d

ź

wi

ę

ku.

f

f

f

T

z

z

z

v

v

v

v

−

=

−

=

−

=

′

λ

λ

λ

•rejestrowana przez obserwatora O cz

ę

stotliwo

ść

:

(

)

z

f

f

f

z

v

v

v

v

v

v

v

−

=

=

′

=

′

−

λ

•skróceniu ulega długo

ść

fali emitowanej ze

ź

ródła Z:

Dla pr

ę

dko

ś

ci

ź

ródła wi

ę

kszej

od pr

ę

dko

ś

ci d

ź

wi

ę

ku

powstaje sto

ż

ek Macha

Porusza si

ę

tylko

ź

ródło:

9

NAT

ĘŻ

ENIE FALI (na przykładzie fali d

ź

wi

ę

kowej)

Nat

ęż

enie

biegn

ą

cej fali płaskiej

(czyli moc na jednostk

ę

powierzchni)

wynosi:

S

t

E

S

P

I

∆

∆

∆

=

=

r

Dal fali kulistej mamy:

2

4 r

P

S

P

I

r

π

=

=

2

1

r

I

∝

>

∆

<

2

~

p

I