1

00507 Praca i energia D

TEORIA

00507

Praca i energia D

Praca i moc mechaniczna.

Energia mechaniczna i jej składniki.

Zasada zachowania energii mechanicznej.

Zderzenia doskonale sprężyste.

Instrukcja dla zdającego

1.

Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 14
stron. Ewentualny brak należy zgłosić.

2.

Do arkusza może być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, należy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.

3.

Proszę uważnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.

4.

Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.

5.

Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.

6.

W trakcie obliczeń można korzystać z kalkulatora.

7.

Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.

8.

Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.

9.

Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.

ś

yczymy powodzenia!

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

Aktualizacja

Maj

ROK 2008

Dane osobowe właściciela arkusza

2

00507 Praca i energia D

TEORIA

Temat: 31

Praca i moc mechaniczna.

1.

Energia stała się przedmiotem troski każdego człowieka. Ilość energii osiągalnej na Ziemi
jest ograniczona i nieomal osiągnęliśmy tę granicę. Dobrobyt osobisty jest związany ze
zużyciem energii. Na przykład dochody narodowe brutto są prawie proporcjonalne do zu-
ż

ycia energii. Produkcja i dystrybucja dobra wytwarzanego w ograniczonej ilości staje się

wobec tak wysokiego zapotrzebowania, pierwszorzędnym problemem ekonomicznym i
społecznym przy wszelkich rozważaniach technologicznych. Trudno jest podejmować
mądre i słuszne decyzje nie mając zasadniczego pojęcia czym jest energia, ani nie znając
technologii przekształcania i dystrybucji energii. Rozważać teraz będziemy różne formy
energii i jej konwersje z jednej formy w drugą. Będziemy studiować zagadnienia związa-
ne z pracą, mocą, energią kinetyczną, energią potencjalną. Najważniejsza chyba zasada w
całej fizyce - zasada zachowania energii - będzie omówiona w tym dziale. Nakłada ona
sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystywanie. Zasada zachowania
energii będzie centralnym tematem większości poruszanych problemów, czy to dotyczą-
cych mechaniki, grawitacji, termodynamiki, elektromagnetyzmu, fizyki atomowej czy fi-
zyki współczesnej. W mechanice zasada zachowania energii dostarczy nam potężnego na-
rzędzia do obliczania ruchu ciała będącego pod działaniem różnego rodzaju sił. W wielu
przypadkach będziemy mogli dzięki niej ominąć zasady dynamiki Newtona i w łatwy
sposób analizować ruch ciała.

2.

Praca pod działaniem stałej siły (

r

F = const.).

Miarą pracy mechanicznej jest iloczyn skalarny dwóch wektorów: siły

r

F i przesunięcia

∆

r

r

spowodowanego tą siłą. Zatem praca jest wielkością skalarną. Poniższe rysunki ilu-

strują konieczność definiowania pracy za pomocą iloczynu skalarnego:

Rys. 1

y

r

F

y

r

F

α

r

F

x

∆

r

r

x

Rys. 2

y

r

r

F

F

x

=

∆

r

r

x

Rys. 3

y

∆

r

r

r

F

Widać, że o przesunięciu ciała decyduje rzut siły

r

F

(czyli siła

r

F

x

) na kierunek przesunię-

cia

∆

r

r

, a nie cała siła

r

F

, stąd konieczność definiowania pracy za pomocą iloczynu ska-

larnego, który przecież mówi o mnożeniu długości jednego wektora przez rzut drugiego
wektora na kierunek pierwszego wektora. Ostatecznie mamy
(1) W

F

r

F

r

F

r

x

=

⋅

= ⋅

= ⋅

∆

∆

∆

cos

α

r

r

W ruchu prostoliniowym wartość wektora przesunięcia

∆

r

r

jest równa przebytej drodze s,

wtedy mamy:

(2) W

F s

= ⋅

cos

α

.

3

00507 Praca i energia D

TEORIA

Wnioski:
⇒

maksymalną pracę wykonuje siła równoległa do przesunięcia (rys. 2), wówczas

W

F s

F s

= ⋅

= ⋅

cos0

0

,

⇒

praca siły prostopadłej do przesunięcia jest równa zeru (rys. 3), bowiem

W

F s

= ⋅

=

cos90

0

0

,

⇒

praca siły jest dodatnia, gdy kąt

α

(rys. 1) jest ostry, ujemna, gdy kat

α

jest rozwarty,

wartość pracy można wyrazić graficznie jako pole prostokąta (rys. 4):

F Rys. 4

W = Fs

s
0

∆

r

r

3.

Praca siły sprężystości ( F

k x

= ⋅

).

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłuże-
nia, które sama powoduje (lub które powoduje
siła zewnętrzna przy jej pokonywaniu.

(3)

F = kx,

x - wydłużenie,
k - współczynnik proporcjonalności.
Z rysunku 5 widać, że:

(4)

W

F x

k x

E

p

s

=

⋅ =

⋅

=

1

2

1

2

2

Zatem praca określona wzorem (4) jest miarą energii potencjalnej sprężystości. Pamiętaj-
my, że siła

r

F (siła sprężystości) jest siłą zachowawczą !

*Jeśli znasz rachunek całkowy:

(5) W

Fdx

kxdx

k xdx

k x

=

=

=

=

⋅

∫

∫

∫

1

2

2

F Rys. 5

W

F x

=

⋅

1

2

4

00507 Praca i energia D

TEORIA

4.

*Praca pod działaniem sił zmiennych (

r

F

≠≠≠≠

const.).

Gdy siła

r

F w różnych przedziałach

czasu przyjmuje różne wartości, wtedy
wykonywana praca jest sumą prac
elementarnych przy tak małych prze-
sunięciach, przy których siła była stała:
graficznie oznacza to sumę pól prosto-
kątów przedstawionych na rysunku 6.
A zatem:

(6) W

W

F

r

F s

i

i

i

i

i

i

i

i

=

=

⋅

=

⋅

=

=

=

∑

∑

∑

r

r

∆

1

3

1

3

1

3

dla ruchu prostoliniowego, w którym

siła działa równolegle do przesunięcia ciała.

Gdy siła zmienia się „w sposób cią-
gły”, wtedy praca jest równa sumie
prac elementarnych przy tak małych
przemieszczeniach, że możemy przyjąć
iż

r

F

= const. na tej elementarnej dro-

dze (rys. 7). Teraz pracę określimy
jako:

(7) W

F s

Fds

s

i

i

s

s

i

n

a

b

=

=

→

=

∫

∑

∆

∆

0

1

lim

dla siły równoległej do przesunięcia po torze prostoliniowym.

Ogólnie, dla wszystkich przypadków powyżej omówionych, możemy zapisać:

(8)

W

Fdr

r

r

a

b

=

∫

r r

5.

Jednostka pracy. W układzie SI jednostkę pracy określamy jako:

(9) 1

1

1

1

1

2

kg m

s

m

N

m

J

⋅

⋅

=

⋅

=

Zatem siła jednostkowa (1N) przesuwając ciało na drodze również jednostkowej (1m)
wykonuje pracę jednego dżula (1J).

Rys. 6
F

F

1

F

3

F

2

W

1

W

2

W

3

0 s

1

s

2

s

3

s

F Rys. 7






0 s

a

ds s

b

s

Gdy

∆

s

→

0, wtedy

∆

s = ds.

5

00507 Praca i energia D

TEORIA

6.

Moc mechaniczna. Jeżeli jest wykonywana praca w pewnym przedziale czasu, wówczas
tempo przekazywania energii (wykonywania pracy) określamy:

⇒

gdy praca jest wykonywana równomiernie: (10) P

W

t

=

∆

∆

(definicja mocy mecha-

nicznej),

⇒

jeżeli praca jest wykonywana nierównomiernie: (11) P

W

t

dW

dt

ch

t

=

=

→

lim

∆

∆

∆

0

(moc

chwilowa),

⇒

(12) P

W

t

ś

r

c

=

, gdzie W

c

oznacza całkowitą pracę wykonaną w czasie t (moc średnia).

7.

Jednostka mocy. Ponownie interesuje nas jednostka wyrażona w układzie SI.

(13)

1

1

1

1

1

2

2

3

J

s

N m

s

kg m

s

m

s

kg m

s

W

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

Zatem moc jest jednostkowa (1W = 1 wat), jeżeli w ciągu jednostkowego czasu (1s) siła
wykona jednostkową pracę (1J).
Różne, najczęściej spotykane, określenia mocy:
⇒

moc określa szybkość wykonywania pracy,

⇒

moc informuje o wartości pracy wykonywanej w jednostce czasu,

⇒

moc jest równoważna wartości energii przekazanej w jednostce czasu,

⇒

silnik ma moc jednego wata, jeżeli w ciągu jednej sekundy wykonuje pracę jednego
dżula.

8.

Analizując pracę i moc mechaniczną często spotykamy się z pojęciem sprawności. Obie
poniższe definicje, jak łatwo się przekonać, są równoważne:

(14)

η

=

W

W

użyteczna

ca kowita

ł

lub (15)

η

=

P

P

użyteczna

ca kowita

ł

Widać, że sprawność przyjmuje wartości od 0 do 1, jeżeli pomnożymy wzory (14) i (15)
przez 100 % otrzymamy sprawność procentową zawartą w przedziale od 0 do 100 %.

6

00507 Praca i energia D

TEORIA

Temat: 32

Energia mechaniczna, jej podział i opis.

1.

Pojęcie pracy ściśle wiąże się z pojęciem energii, które jest podstawowe dla całego przyrodoznaw-
stwa i techniki. Miarą energii jest zasób pracy zmagazynowany w danym ciele lub układzie
ciał, który może być zmniejszany (energia maleje) lub zwiększany (energia rośnie). Innymi
słowy, wartość energii nie jest stała, charakterystyczna dla danego ciała (układu ciał), lecz zależy
od jego stanu.

2.

Energia może występować w dwóch podstawowych stanach: jako energia związana z ruchem,
czyli tzw. energia kinetyczna, oraz jako energia związana ze specjalnym położeniem elementów
danego ciała (lub elementów wchodzących w skład układu ciał) względem siebie, czyli tzw. ener-
gia potencjalna. W zależności od rozpatrywanych zjawisk można rozróżnić energię mechaniczną,
elektryczną, jądrową itp. W tym dziale interesować nas będzie energia mechaniczna , którą rów-
nież podzielić można na kinetyczną i potencjalną.

3.

Mówimy, że ciało ma mechaniczną energię kinetyczną, gdy dzięki prędkości swego ruchu jest
zdolne do wykonania pracy. Taki warunek spełnia np. wagon kolejowy poruszający się po szy-
nach. Uderzając o jakąś przeszkodę może on ją przesunąć lub zgnieść, a więc wykonać pracę.

4.

Od rozważań ogólnych związanych z pojęciem energii przejdziemy teraz do rozważań związanych
z energią kinetyczną. Na ciało o masie m i prędkości początkowej v

0

zaczyna działać siła F =

const., skierowana zgodnie z kierunkiem osiąganej w konsekwencji prędkości. Siłę F traktujemy
jako jedyną siłę działającą na poruszające się ciało. Może to być rzeczywiście jedyna siła (np. siła
ciężkości działająca na ciało spadające w próżni)) albo siła wypadkowa wszystkich sił działają-
cych na ciało. Siła F działając na pewnej drodze s w czasie t wywołuje ruch jednostajnie przy-
spieszony ( II zasada dynamiki) i wykonuje pracę W:

(1)

W

F s

F v t

at

Fv t

F t

m

= ⋅ =

+











=

+

=

0

2

0

2 2

2

2

(

)

(

)

mv

mv v

mv

mv

m

−

+

−

=

0

0

0

2

2

=

−

+

−

+

mvv

mv

mv

mvv

mv

0

0

2

2

0

0

2

2

2

=

−

mv

mv

2

0

2

2

2

Zastosujemy teraz twierdzenie o pracy i energii:

Praca wykonana przez siłę wypadkową na drodze od
punktu A do punktu B, jest równa energii kinetycznej w
punkcie B minus energia kinetyczna w punkcie A.

Porównując wyprowadzenie wzoru (1) ze wzorem (2),

otrzymujemy:

Określiliśmy za pomocą wzorów (3) matematyczną
postać początkowej i końcowej energii kinetycznej
ciała.
5.

Zatem ostatecznie energię kinetyczną ciała o

masie m poruszającego się z prędkością v możemy
zapisać jako:

(4)

E

mv

k

=

2

2

.

(2)

W

E

E

k

B

k

A

=

−

(3)

E

mv

E

mv

k

A

k

B

=

=

0

2

2

2

2

,

.

7

00507 Praca i energia D

TEORIA

Temat: 33

Analiza zderzeń doskonale sprężystych.

1.

Gdy zderzają się dwa ciała stałe, w punkcie zetknięcia narasta bardzo szybko duża siła kon-
taktowa. Zwykle ta siła jest tak wielka, że ciała podlegają chwilowej kompresji w punkcie ze-
tknięcia. Wielka, lecz chwilowa siła kontaktowa wywołuje zmiany kierunku i wartości bez-
względnej prędkości obu ciał

2.

Wartość siły kontaktowej występującej w czasie zderzenia można oszacować za pomocą
wprowadzonego wcześniej popędu (impulsu) siły.

Gdyby w zderzeniu opisanym w dwóch powyższych przykładach pasażer nie miał przypiętego
pasa bezpieczeństwa, to jego głowa zderzyłaby się z przednią szybą. Czas zderzenia głowa-szyba,

∆

t byłby pewnie sto razy krótszy niż czas, w którym zatrzymał się samochód. Ponieważ F rośnie

jak

1

∆

t

, to głowa roztrzaskałaby się.

*Ramka z rachunkiem całkowym

Gdy siła nie spełnia warunku stałości, wtedy również dojdziemy do finału wyprowadzenia (1),

a tym samym udowodnimy twierdzenie o pracy i energii:

( )

( )

( )

( )

( )

5

6

7

8

2

2

2

9

2

2

2

W

Fds

W

m

dv

dt

vdt

W

m v

dv

dt

dt

m vdv

W

m

v

mv

mv

W

E

E

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

B

A

k

B

k

A

=

=

=

=

=













=

−

=

−

∫

∫

∫

∫

Przykład: 2
W zderzeniu opisanym w przykładzie 1
pasażer o masie m

1

= 80 kg jest przypięty

pasem bezpieczeństwa o szerokości równej
d = 5 cm i grubości s = 2 mm. Czy pas ze-
rwie się, jeżeli wytrzymałość na zerwanie
materiału, z którego jest zrobiony wynosi p
=

5 10

8

⋅

Pa ?

(Odp. Pas bezpieczeństwa wytrzyma.)

Przykład: 1
Samochód o masie m = 1,5 t jadąc z prędko-

ś

cią v = 20

m

s

zderza się z drzewem i za-

trzymuje się w ciągu t = 0,03 s. Wywołana
wypadkiem deformacja wynosi l = 30 cm.
Jaka jest średnia siła działająca na samochód
w ciągu tego czasu ?
(Odp. F = 10

6

N, czyli jest około 70 razy

większa od ciężaru samochodu.)

8

00507 Praca i energia D

TEORIA

3.

Gdy dwa ciała (w dalszych przykładach będą to kule) zderzają się, może to być, jak pamięta-
my, zderzenie sprężyste (elastyczne) lub niesprężyste (nieelastyczne). Drugi rodzaj zderzeń
był omówiony wcześniej, teraz przyszedł czas na omówienie zderzenia sprężystego. W zde-
rzeniu sprężystym całkowita energia kinetyczna po zderzeniu jest taka sama jak przed
zderzeniem. Omówimy dwa pospolite typy zderzeń sprężystych, tzn. proste i skośne.

Rozwiązanie przykładu 3 nie przerasta
możliwości matematycznych przeciętne-
go ucznia szkoły średniej, dlatego ogra-
niczymy się tylko do krótkiego omówie-
nia. Jednakże koniecznie należy prze-
prowadzić niezbędne przeliczenia !

Skoro mamy dwie niewiadome u

1

i u

2

,

należy skorzystać z układu dwóch równań, które możemy stosować przy tego typu zderzeniach, a
wynikających ze znanych praw:
(1)

m v

m v

m u

m v

1 1

2 2

1 1

2 2

+

=

+

(zasada zachowania pędu)

(2)

m v

m v

m u

m u

1 1

2

2 2

2

1 1

2

2 2

2

2

2

2

2

+

=

+

(zachowanie całkowitej energii kinetycznej układu kul)

Rozwiązując układ równań (1) i (2) otrzymujemy szukane prędkości kul:

(3)

u

m v

m

m v

m

m

1

2 2

1

2

1

1

2

2

=

+

−

+

(

)

(4)

u

m v

m

m v

m

m

2

1 1

2

1

2

1

2

2

=

+

−

+

(

)

Niekiedy wygodniej jest stosować wzory (3a) i (4a) równoważne powyższym, a mianowicie:

(3a) u

1

= 2v - v

1

oraz (4a) u

2

= 2v - v

2

Prędkość v oznacza tu znany już związek:

(5)

v

m v

m v

m

m

=

+

+

1 1

2 2

1

2

,

czyli

prędkość wspólną kul po zderzeniu niesprężystym lub chwilową prędkość wspólną po zderzeniu
sprężystym

Przykład: 3
Dwie doskonale sprężyste kule poruszają się w jed-
nym kierunku. Pierwsza kula o masie m

1

ma pręd-

kość v

1

, druga o masie m

2

ma prędkość v

2

. Obliczyć

prędkości tych kul u

1

i u

2

po zderzeniu sprężystym.

9

00507 Praca i energia D

TEORIA

Przykład: 4*
Kula bilardowa uderza drugą o tej samej masie i wielkości, ale będącą w spoczynku, z prędkością

v = 8

cm

s

w ten sposób, że kąt jaki tworzy kierunek jej ruchu z płaszczyzną styczności tych kul w

chwili zderzenia jest

α

= 60

0

. Oblicz prędkości u

1

i u

2

tych kul po zderzeniu sprężystym.

Rozwiązanie:

Dane:

v = 8

cm

s

x

r

v y

α

= 60

0

r

v

s

α

r

v

cz

u

1

= ? 2

u

2

= ?

1

Rys. 1

(6)

v

m v

m v

m

m

=

+

+

1 1

2 2

1

2

=

2

1

1

1

m

m

v

m

+

=

=

⋅

mv

m

v

1

2

2

sin

α

, (rys. 1)

Obliczamy teraz parametry kuli drugiej po zderzeniu rozkładając prędkość

r

v na styczną

r

v

s

oraz

czołową

r

v

cz

względem prostej łączącej środki obu kul:

(7)

u

v

v

v

cz

cz

2

2

2

2

0

=

−

=

(

)

(8)

u

v

v

cz

2

2

=

= ⋅

sin

α

(według wzoru [6]]

(9)

u

s

2

0

=

Dla kuli pierwszej mamy:
(10) u

v

v

v

v

v

v

cz

cz

cz

1

1

1

2

0

=

−

= ⋅

−

= ⋅

− ⋅

=

sin

sin

sin

α

α

α

(11) u

v

s

1

= ⋅

cos

α

Cały czas pamiętamy, że w zderzeniu udział biorą tylko składowe czołowe prędkości kuli pierw-
szej i drugiej (przy czym dla drugiej kuli jest ona równa zeru). Mając wszystkie składowe prędko-
ś

ci obu kul, ostatecznie otrzymujemy:

(12) u

v

v

v

v

m

s

s

cz

1

1

2

1

2

2

2

0 04

=

+

=

⋅

= ⋅

=

cos

cos

,

α

α

(13) u

v

v

v

v

m

s

s

cz

2

2

2

2

2

2

2

0 69

=

+

=

⋅

= ⋅

=

sin

sin

,

α

α

Wnioski:

Kula pierwsza uzyska prędkość 0,04

m

s

w kierunku zgodnym z osią OX (rys. 1), natomiast kula

druga - prędkość 0,69

m

s

wzdłuż osi OY. Dowiedliśmy, że przy zderzeniu sprężystym dwóch kul

o jednakowych masach, kule rozbiegają się w kierunkach wzajemnie prostopadłych.

10

00507 Praca i energia D

TEORIA

Temat: 34

Zachowawczy charakter siły ciężkości.

Energia potencjalna ciężkości.

1.

Jak już było powiedziane, energia mechaniczna może być zmagazynowana w ciele (lub
układzie ciał) nie tylko pod postacią energii kinetycznej, lecz także pod postacią energii
potencjalnej.

2.

Podnosząc ciało w próżni ruchem jednostajnym na wysokość h nie wywołujemy przyrostu
energii kinetycznej, gdyż wypadkowa siła naszych mięśni i siły ciężkości równa jest zeru.
Całkowita praca obu tych sił (jednej dodatniej, drugiej ujemnej) równa się zeru. Dodatnia
praca naszych mięśni nie jest jednak „marnowana” - jest ona magazynowana w ciele pod-
niesionym na wysokość h nad powierzchnię Ziemi i może być zwrócona przy spadku ciała
na Ziemię. Podobnie może być odzyskana praca włożona na ściśnięcie lub rozciągnięcie
sprężyny. Przesunięcie na drodze poziomej ruchem jednostajnym wymaga zastosowania
siły napędowej, równej sile tarcia. Podobnie jak w pierwszym przypadku całkowita praca
obu tych sił równa się zeru. Tym razem jednak praca dodatnia siły napędowej nie zostaje
zmagazynowana w ciele: powrót ciała do stanu początkowego znów wymaga zastosowa-
nia siły napędowej, bowiem siła tarcia znowu przeszkadza ruchowi. Praca siły napędowej
zostaje rozproszona w otoczeniu pod postacią energii cieplnej.

3.

W omówionych przykładach siła napędowa pokonywała kolejno: siłę ciężkości, siłę sprę-
ż

ystą i siłę tarcia. Pierwsze dwie siły zaliczamy do tzw.

sił potencjalnych (zachowaw-

czych), trzecią do sił rozpraszających (niezachowawczych).

Praca pokonania sił zachowawczych zostaje zmagazynowana w ciele (układzie ciał) pod
postacią energii potencjalnej, natomiast praca pokonania sił rozpraszających zamienia
się na energię cieplną i rozprasza w otoczeniu.
4.

Załóżmy, że ciało o masie m znajduje się na pewnym poziomie początkowym, któremu
przypisujemy umownie zerową wartość energii potencjalnej. Energia potencjalna E

p

związana z podniesieniem ruchem jednostajnym tego ciała na wysokość h ponad poziom
zerowy, powstaje kosztem pracy pokonania siły ciężkości (opór powietrza zaniedbujemy).
A zatem:

(1) E

W

F s

m g h

p

=

= ⋅ = ⋅ ⋅

Bliższe zbadanie energii potencjalnej grawitacji prowadzi do wniosku, że jej wartość dla
ciała wzniesionego na wysokość h ponad poziom zerowy nie zależy od drogi, wzdłuż któ-
rej zostało ono podniesione, przy założeniu braku siły tarcia (rys.1).

h

S

I

S

II

S

III

S

IV

0

Rys. 1

11

00507 Praca i energia D

TEORIA

5.

Z różnych dróg przedstawionych na rysunku 1 wybieramy teraz drogę pierwszą - piono-
wą, oraz drugą - ukośną (np. po równi pochyłej bez tarcia). Pokażemy je na rys. 2 i dla
nich przedstawimy dowód:

y


C

r

F

s

r

Q

x

h

α

α

α

r

Q

y

A B
x

r

Q

Rys. 2


Praca wzniesienia ciała o masie m na wysokość h wzdłuż drogi BC (rys. 2), jak pamiętamy
wynosi:
(2)

W

m g h

BC

= ⋅ ⋅

Wciąganie ciała po równi pochyłej ruchem jednostajnym wymaga zastosowania siły

r

F rów-

noważącej składową

r

Q

x

siły ciężkości

r

Q styczną do powierzchni równi, ale:

(3)

Q

mg

x

=

⋅

sin

α

.

Praca siły wciągającej ciało na drodze AC, gdzie AC = s
wynosi:
(4)

W

mgs

mgh

mg

Q

s

h

AC

=

⋅

=

=

⋅

=

sin

(

,

sin

)

α

α

Widać, że praca W

AC

wciągania ciała po równi pod kątem

α

jest taka sama jak praca W

BC

pionowego wznoszenia ciała na wysokość h ( nie zależy od kąta

α

nachylenia równi do po-

ziomu).
Analiza dróg S

III

i S

IV

również dałaby podobny wynik (W = mgh) i nie ma konieczności do-

wodzenia tego (przypadek S

IV

wymaga rachunku całkowego).

Wnioski:

⇒

Zatem praca pokonywania siły ciężkości (a więc i praca siły ciężkości) nie zależy od
kształtu drogi, lecz tylko od położenia początkowego i końcowego badanego ciała. Jest to
słuszne dla wszystkich sił zachowawczych,

⇒

Praca siły zachowawczej na drodze zamkniętej równa się zeru (rys. 3a i 3b).

12

00507 Praca i energia D

TEORIA

Dla rys. 3a mamy:
(5)

W = W

1

+ W

2

+ W

3

+ W

4

= mgh + 0 - mgh + 0 = 0.

W

2

W

1

W

3

W

4

Rys. 3a

*Dla rys. 3b mamy zapis z elementów matematyki wyższej ale o sensie fizycznym tożsamym
z wnioskiem wynikającym z rysunku 3a:

(6)

W

Fdr

=

=

∫

r r

0

W przypadku rys. 3b dzielimy tor na nieskończenie wiele małych prostoliniowych odcinków
dr i rozważamy na nich pracę siły ciężkości.










dr
Rys. 3b

13

00507 Praca i energia D

TEORIA

Temat: 35

Zasada zachowania energii mechanicznej.

1.

Poprzednio omawiane były takie układy ciał, w których działały wyłącznie siły zacho-
wawcze. Takie układy nazywamy

układami zachowawczymi. Układy te, w ścisłym sło-

wa znaczeniu, nie istnieją w przyrodzie. Układ zachowawczy stanowiłaby np. idealnie
sprężysta sprężyna, idealnie sprężysta kula odbijająca się w próżni od idealnie sprężystej
podstawy. W przybliżeniu układem zachowawczym byłoby wahadło odbywające ruch w
próżni z minimalnym tarciem w punkcie zawieszenia. Prawie zachowawczy jest Układ
Słoneczny.

2.

W układach zachowawczych odosobnionych (tzn. nie poddanych działaniom sił ze-
wnętrznych) obowiązuje

zasada zachowania energii mechanicznej, która brzmi:

•

W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna E,, równa
sumie energii potencjalnej E

p

i energii kinetycznej E

k

, jest wielkością stałą, tzn. nie-

zmienną w czasie:

E = E

p

+ E

k

= const.

3.

Układy, z jakimi mamy do czynienia na Ziemi, to

układy rozpraszające, gdyż występuje

w nich zwykle tarcie, a więc i siły rozpraszające. A zatem w przypadku przemiany pracy
na energię w warunkach ziemskich, kosztem pracy siły napędowej zmienia się zasób
energii mechanicznej kinetycznej i potencjalnej oraz dodatkowo pojawiają się nowe ro-
dzaje energii.

4.

Mimo, że przedmiotem naszych ana-

liz była energia mechaniczna, należy
wspomnieć o jednej z najważniejszych
zasad całego przyrodo znawstwa, a mia-
nowicie

zasadzie zachowania energii.

Dotyczy ona wszystkich możliwych
odmian energii. Według tej zasady:
W układzie odosobnionym od zewnętrz-
nego otoczenia w ten sposób, że energia
w żadnej postaci nie przenika do niego z

zewnątrz ani nie uchodzi z niego na zewnątrz, całkowita wartość energii pozostaje nie-
zmienna: mogą zachodzić jedynie przemiany energetyczne jednej postaci energii w inną.
Energia nie może być ani stwarzana ani niszczona.

5.

Wnioskiem z zasady zachowania energii jest niemożność zbudowania urządzenia zwane-
go perpetuum mobile, które pracowałoby bez zasilania energią z zewnątrz i bez zmniej-
szania energii własnej (na dalszych stronach niniejszego kursu znajdzie się dokładniejsze
omówienie perpetuum mobile I i II rodzaju).

Koniec

Przykład:
Samochód wjeżdża ruchem przyspieszonym
na górę po nawierzchni drogi o pewnym tar-
ciu. Kosztem pracy siły napędowej rośnie
energia kinetyczna (wzrost prędkości), rośnie
też energia potencjalna grawitacji (wzrost
wysokości wzniesienia) oraz pojawia się
energia cieplna związana z pokonywaniem sił
tarcia.

14

00507 Praca i energia D

TEORIA

Notatki: