1
00507 Praca i energia D
TEORIA
00507
Praca i energia D
Praca i moc mechaniczna.
Energia mechaniczna i jej składniki.
Zasada zachowania energii mechanicznej.
Zderzenia doskonale spręŜyste.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 14
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 31
Praca i moc mechaniczna.
1.
Energia stała się przedmiotem troski kaŜdego człowieka. Ilość energii osiągalnej na Ziemi
jest ograniczona i nieomal osiągnęliśmy tę granicę. Dobrobyt osobisty jest związany ze
zuŜyciem energii. Na przykład dochody narodowe brutto są prawie proporcjonalne do zu-
Ŝ
ycia energii. Produkcja i dystrybucja dobra wytwarzanego w ograniczonej ilości staje się
wobec tak wysokiego zapotrzebowania, pierwszorzędnym problemem ekonomicznym i
społecznym przy wszelkich rozwaŜaniach technologicznych. Trudno jest podejmować
mądre i słuszne decyzje nie mając zasadniczego pojęcia czym jest energia, ani nie znając
technologii przekształcania i dystrybucji energii. RozwaŜać teraz będziemy róŜne formy
energii i jej konwersje z jednej formy w drugą. Będziemy studiować zagadnienia związa-
ne z pracą, mocą, energią kinetyczną, energią potencjalną. NajwaŜniejsza chyba zasada w
całej fizyce - zasada zachowania energii - będzie omówiona w tym dziale. Nakłada ona
sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystywanie. Zasada zachowania
energii będzie centralnym tematem większości poruszanych problemów, czy to dotyczą-
cych mechaniki, grawitacji, termodynamiki, elektromagnetyzmu, fizyki atomowej czy fi-
zyki współczesnej. W mechanice zasada zachowania energii dostarczy nam potęŜnego na-
rzędzia do obliczania ruchu ciała będącego pod działaniem róŜnego rodzaju sił. W wielu
przypadkach będziemy mogli dzięki niej ominąć zasady dynamiki Newtona i w łatwy
sposób analizować ruch ciała.
2.
Praca pod działaniem stałej siły (
r
F = const.).
Miarą pracy mechanicznej jest iloczyn skalarny dwóch wektorów: siły
r
F i przesunięcia
∆
r
r
spowodowanego tą siłą. Zatem praca jest wielkością skalarną. PoniŜsze rysunki ilu-
strują konieczność definiowania pracy za pomocą iloczynu skalarnego:
Rys. 1
y
r
F
y
r
F
α
r
F
x
∆
r
r
x
Rys. 2
y
r
r
F
F
x
=
∆
r
r
x
Rys. 3
y
∆
r
r
r
F
Widać, Ŝe o przesunięciu ciała decyduje rzut siły
r
F
(czyli siła
r
F
x
) na kierunek przesunię-
cia
∆
r
r
, a nie cała siła
r
F
, stąd konieczność definiowania pracy za pomocą iloczynu ska-
larnego, który przecieŜ mówi o mnoŜeniu długości jednego wektora przez rzut drugiego
wektora na kierunek pierwszego wektora. Ostatecznie mamy
(1) W
F
r
F
r
F
r
x
=
⋅
= ⋅
= ⋅
∆
∆
∆
cos
α
r
r
W ruchu prostoliniowym wartość wektora przesunięcia
∆
r
r
jest równa przebytej drodze s,
wtedy mamy:
(2) W
F s
= ⋅
cos
α
.
3
00507 Praca i energia D
TEORIA
Wnioski:
⇒
maksymalną pracę wykonuje siła równoległa do przesunięcia (rys. 2), wówczas
W
F s
F s
= ⋅
= ⋅
cos0
0
,
⇒
praca siły prostopadłej do przesunięcia jest równa zeru (rys. 3), bowiem
W
F s
= ⋅
=
cos90
0
0
,
⇒
praca siły jest dodatnia, gdy kąt
α
(rys. 1) jest ostry, ujemna, gdy kat
α
jest rozwarty,
wartość pracy moŜna wyrazić graficznie jako pole prostokąta (rys. 4):
F Rys. 4
W = Fs
s
0
∆
r
r
3.
Praca siły spręŜystości ( F
k x
= ⋅
).
Siła spręŜystości jest proporcjonalna do wydłuŜe-
nia, które sama powoduje (lub które powoduje
siła zewnętrzna przy jej pokonywaniu.
(3)
F = kx,
x - wydłuŜenie,
k - współczynnik proporcjonalności.
Z rysunku 5 widać, Ŝe:
(4)
W
F x
k x
E
p
s
=
⋅ =
⋅
=
1
2
1
2
2
Zatem praca określona wzorem (4) jest miarą energii potencjalnej spręŜystości. Pamiętaj-
my, Ŝe siła
r
F (siła spręŜystości) jest siłą zachowawczą !
*Jeśli znasz rachunek całkowy:
(5) W
Fdx
kxdx
k xdx
k x
=
=
=
=
⋅
∫
∫
∫
1
2
2
F Rys. 5
W
F x
=
⋅
1
2
4
00507 Praca i energia D
TEORIA
4.
*Praca pod działaniem sił zmiennych (
r
F
≠≠≠≠
const.).
Gdy siła
r
F w róŜnych przedziałach
czasu przyjmuje róŜne wartości, wtedy
wykonywana praca jest sumą prac
elementarnych przy tak małych prze-
sunięciach, przy których siła była stała:
graficznie oznacza to sumę pól prosto-
kątów przedstawionych na rysunku 6.
A zatem:
(6) W
W
F
r
F s
i
i
i
i
i
i
i
i
=
=
⋅
=
⋅
=
=
=
∑
∑
∑
r
r
∆
1
3
1
3
1
3
dla ruchu prostoliniowego, w którym
siła działa równolegle do przesunięcia ciała.
Gdy siła zmienia się „w sposób cią-
gły”, wtedy praca jest równa sumie
prac elementarnych przy tak małych
przemieszczeniach, Ŝe moŜemy przyjąć
iŜ
r
F
= const. na tej elementarnej dro-
dze (rys. 7). Teraz pracę określimy
jako:
(7) W
F s
Fds
s
i
i
s
s
i
n
a
b
=
=
→
=
∫
∑
∆
∆
0
1
lim
dla siły równoległej do przesunięcia po torze prostoliniowym.
Ogólnie, dla wszystkich przypadków powyŜej omówionych, moŜemy zapisać:
(8)
W
Fdr
r
r
a
b
=
∫
r r
5.
Jednostka pracy. W układzie SI jednostkę pracy określamy jako:
(9) 1
1
1
1
1
2
kg m
s
m
N
m
J
⋅
⋅
=
⋅
=
Zatem siła jednostkowa (1N) przesuwając ciało na drodze równieŜ jednostkowej (1m)
wykonuje pracę jednego dŜula (1J).
Rys. 6
F
F
1
F
3
F
2
W
1
W
2
W
3
0 s
1
s
2
s
3
s
F Rys. 7
0 s
a
ds s
b
s
Gdy
∆
s
→
0, wtedy
∆
s = ds.
5
00507 Praca i energia D
TEORIA
6.
Moc mechaniczna. JeŜeli jest wykonywana praca w pewnym przedziale czasu, wówczas
tempo przekazywania energii (wykonywania pracy) określamy:
⇒
gdy praca jest wykonywana równomiernie: (10) P
W
t
=
∆
∆
(definicja mocy mecha-
nicznej),
⇒
jeŜeli praca jest wykonywana nierównomiernie: (11) P
W
t
dW
dt
ch
t
=
=
→
lim
∆
∆
∆
0
(moc
chwilowa),
⇒
(12) P
W
t
ś
r
c
=
, gdzie W
c
oznacza całkowitą pracę wykonaną w czasie t (moc średnia).
7.
Jednostka mocy. Ponownie interesuje nas jednostka wyraŜona w układzie SI.
(13)
1
1
1
1
1
2
2
3
J
s
N m
s
kg m
s
m
s
kg m
s
W
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
Zatem moc jest jednostkowa (1W = 1 wat), jeŜeli w ciągu jednostkowego czasu (1s) siła
wykona jednostkową pracę (1J).
RóŜne, najczęściej spotykane, określenia mocy:
⇒
moc określa szybkość wykonywania pracy,
⇒
moc informuje o wartości pracy wykonywanej w jednostce czasu,
⇒
moc jest równowaŜna wartości energii przekazanej w jednostce czasu,
⇒
silnik ma moc jednego wata, jeŜeli w ciągu jednej sekundy wykonuje pracę jednego
dŜula.
8.
Analizując pracę i moc mechaniczną często spotykamy się z pojęciem sprawności. Obie
poniŜsze definicje, jak łatwo się przekonać, są równowaŜne:
(14)
η
=
W
W
uŜyteczna
ca kowita
ł
lub (15)
η
=
P
P
uŜyteczna
ca kowita
ł
Widać, Ŝe sprawność przyjmuje wartości od 0 do 1, jeŜeli pomnoŜymy wzory (14) i (15)
przez 100 % otrzymamy sprawność procentową zawartą w przedziale od 0 do 100 %.
6
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 32
Energia mechaniczna, jej podział i opis.
1.
Pojęcie pracy ściśle wiąŜe się z pojęciem energii, które jest podstawowe dla całego przyrodoznaw-
stwa i techniki. Miarą energii jest zasób pracy zmagazynowany w danym ciele lub układzie
ciał, który moŜe być zmniejszany (energia maleje) lub zwiększany (energia rośnie). Innymi
słowy, wartość energii nie jest stała, charakterystyczna dla danego ciała (układu ciał), lecz zaleŜy
od jego stanu.
2.
Energia moŜe występować w dwóch podstawowych stanach: jako energia związana z ruchem,
czyli tzw. energia kinetyczna, oraz jako energia związana ze specjalnym połoŜeniem elementów
danego ciała (lub elementów wchodzących w skład układu ciał) względem siebie, czyli tzw. ener-
gia potencjalna. W zaleŜności od rozpatrywanych zjawisk moŜna rozróŜnić energię mechaniczną,
elektryczną, jądrową itp. W tym dziale interesować nas będzie energia mechaniczna , którą rów-
nieŜ podzielić moŜna na kinetyczną i potencjalną.
3.
Mówimy, Ŝe ciało ma mechaniczną energię kinetyczną, gdy dzięki prędkości swego ruchu jest
zdolne do wykonania pracy. Taki warunek spełnia np. wagon kolejowy poruszający się po szy-
nach. Uderzając o jakąś przeszkodę moŜe on ją przesunąć lub zgnieść, a więc wykonać pracę.
4.
Od rozwaŜań ogólnych związanych z pojęciem energii przejdziemy teraz do rozwaŜań związanych
z energią kinetyczną. Na ciało o masie m i prędkości początkowej v
0
zaczyna działać siła F =
const., skierowana zgodnie z kierunkiem osiąganej w konsekwencji prędkości. Siłę F traktujemy
jako jedyną siłę działającą na poruszające się ciało. MoŜe to być rzeczywiście jedyna siła (np. siła
cięŜkości działająca na ciało spadające w próŜni)) albo siła wypadkowa wszystkich sił działają-
cych na ciało. Siła F działając na pewnej drodze s w czasie t wywołuje ruch jednostajnie przy-
spieszony ( II zasada dynamiki) i wykonuje pracę W:
(1)
W
F s
F v t
at
Fv t
F t
m
= ⋅ =
+
=
+
=
0
2
0
2 2
2
2
(
)
(
)
mv
mv v
mv
mv
m
−
+
−
=
0
0
0
2
2
=
−
+
−
+
mvv
mv
mv
mvv
mv
0
0
2
2
0
0
2
2
2
=
−
mv
mv
2
0
2
2
2
Zastosujemy teraz twierdzenie o pracy i energii:
Praca wykonana przez siłę wypadkową na drodze od
punktu A do punktu B, jest równa energii kinetycznej w
punkcie B minus energia kinetyczna w punkcie A.
Porównując wyprowadzenie wzoru (1) ze wzorem (2),
otrzymujemy:
Określiliśmy za pomocą wzorów (3) matematyczną
postać początkowej i końcowej energii kinetycznej
ciała.
5.
Zatem ostatecznie energię kinetyczną ciała o
masie m poruszającego się z prędkością v moŜemy
zapisać jako:
(4)
E
mv
k
=
2
2
.
(2)
W
E
E
k
B
k
A
=
−
(3)
E
mv
E
mv
k
A
k
B
=
=
0
2
2
2
2
,
.
7
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 33
Analiza zderzeń doskonale spręŜystych.
1.
Gdy zderzają się dwa ciała stałe, w punkcie zetknięcia narasta bardzo szybko duŜa siła kon-
taktowa. Zwykle ta siła jest tak wielka, Ŝe ciała podlegają chwilowej kompresji w punkcie ze-
tknięcia. Wielka, lecz chwilowa siła kontaktowa wywołuje zmiany kierunku i wartości bez-
względnej prędkości obu ciał
2.
Wartość siły kontaktowej występującej w czasie zderzenia moŜna oszacować za pomocą
wprowadzonego wcześniej popędu (impulsu) siły.
Gdyby w zderzeniu opisanym w dwóch powyŜszych przykładach pasaŜer nie miał przypiętego
pasa bezpieczeństwa, to jego głowa zderzyłaby się z przednią szybą. Czas zderzenia głowa-szyba,
∆
t byłby pewnie sto razy krótszy niŜ czas, w którym zatrzymał się samochód. PoniewaŜ F rośnie
jak
1
∆
t
, to głowa roztrzaskałaby się.
*Ramka z rachunkiem całkowym
Gdy siła nie spełnia warunku stałości, wtedy równieŜ dojdziemy do finału wyprowadzenia (1),
a tym samym udowodnimy twierdzenie o pracy i energii:
( )
( )
( )
( )
( )
5
6
7
8
2
2
2
9
2
2
2
W
Fds
W
m
dv
dt
vdt
W
m v
dv
dt
dt
m vdv
W
m
v
mv
mv
W
E
E
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
k
B
k
A
=
=
=
=
=
=
−
=
−
∫
∫
∫
∫
Przykład: 2
W zderzeniu opisanym w przykładzie 1
pasaŜer o masie m
1
= 80 kg jest przypięty
pasem bezpieczeństwa o szerokości równej
d = 5 cm i grubości s = 2 mm. Czy pas ze-
rwie się, jeŜeli wytrzymałość na zerwanie
materiału, z którego jest zrobiony wynosi p
=
5 10
8
⋅
Pa ?
(Odp. Pas bezpieczeństwa wytrzyma.)
Przykład: 1
Samochód o masie m = 1,5 t jadąc z prędko-
ś
cią v = 20
m
s
zderza się z drzewem i za-
trzymuje się w ciągu t = 0,03 s. Wywołana
wypadkiem deformacja wynosi l = 30 cm.
Jaka jest średnia siła działająca na samochód
w ciągu tego czasu ?
(Odp. F = 10
6
N, czyli jest około 70 razy
większa od cięŜaru samochodu.)
8
00507 Praca i energia D
TEORIA
3.
Gdy dwa ciała (w dalszych przykładach będą to kule) zderzają się, moŜe to być, jak pamięta-
my, zderzenie spręŜyste (elastyczne) lub niespręŜyste (nieelastyczne). Drugi rodzaj zderzeń
był omówiony wcześniej, teraz przyszedł czas na omówienie zderzenia spręŜystego. W zde-
rzeniu spręŜystym całkowita energia kinetyczna po zderzeniu jest taka sama jak przed
zderzeniem. Omówimy dwa pospolite typy zderzeń spręŜystych, tzn. proste i skośne.
Rozwiązanie przykładu 3 nie przerasta
moŜliwości matematycznych przeciętne-
go ucznia szkoły średniej, dlatego ogra-
niczymy się tylko do krótkiego omówie-
nia. JednakŜe koniecznie naleŜy prze-
prowadzić niezbędne przeliczenia !
Skoro mamy dwie niewiadome u
1
i u
2
,
naleŜy skorzystać z układu dwóch równań, które moŜemy stosować przy tego typu zderzeniach, a
wynikających ze znanych praw:
(1)
m v
m v
m u
m v
1 1
2 2
1 1
2 2
+
=
+
(zasada zachowania pędu)
(2)
m v
m v
m u
m u
1 1
2
2 2
2
1 1
2
2 2
2
2
2
2
2
+
=
+
(zachowanie całkowitej energii kinetycznej układu kul)
Rozwiązując układ równań (1) i (2) otrzymujemy szukane prędkości kul:
(3)
u
m v
m
m v
m
m
1
2 2
1
2
1
1
2
2
=
+
−
+
(
)
(4)
u
m v
m
m v
m
m
2
1 1
2
1
2
1
2
2
=
+
−
+
(
)
Niekiedy wygodniej jest stosować wzory (3a) i (4a) równowaŜne powyŜszym, a mianowicie:
(3a) u
1
= 2v - v
1
oraz (4a) u
2
= 2v - v
2
Prędkość v oznacza tu znany juŜ związek:
(5)
v
m v
m v
m
m
=
+
+
1 1
2 2
1
2
,
czyli
prędkość wspólną kul po zderzeniu niespręŜystym lub chwilową prędkość wspólną po zderzeniu
spręŜystym
Przykład: 3
Dwie doskonale spręŜyste kule poruszają się w jed-
nym kierunku. Pierwsza kula o masie m
1
ma pręd-
kość v
1
, druga o masie m
2
ma prędkość v
2
. Obliczyć
prędkości tych kul u
1
i u
2
po zderzeniu spręŜystym.
9
00507 Praca i energia D
TEORIA
Przykład: 4*
Kula bilardowa uderza drugą o tej samej masie i wielkości, ale będącą w spoczynku, z prędkością
v = 8
cm
s
w ten sposób, Ŝe kąt jaki tworzy kierunek jej ruchu z płaszczyzną styczności tych kul w
chwili zderzenia jest
α
= 60
0
. Oblicz prędkości u
1
i u
2
tych kul po zderzeniu spręŜystym.
Rozwiązanie:
Dane:
v = 8
cm
s
x
r
v y
α
= 60
0
r
v
s
α
r
v
cz
u
1
= ? 2
u
2
= ?
1
Rys. 1
(6)
v
m v
m v
m
m
=
+
+
1 1
2 2
1
2
=
2
1
1
1
m
m
v
m
+
=
=
⋅
mv
m
v
1
2
2
sin
α
, (rys. 1)
Obliczamy teraz parametry kuli drugiej po zderzeniu rozkładając prędkość
r
v na styczną
r
v
s
oraz
czołową
r
v
cz
względem prostej łączącej środki obu kul:
(7)
u
v
v
v
cz
cz
2
2
2
2
0
=
−
=
(
)
(8)
u
v
v
cz
2
2
=
= ⋅
sin
α
(według wzoru [6]]
(9)
u
s
2
0
=
Dla kuli pierwszej mamy:
(10) u
v
v
v
v
v
v
cz
cz
cz
1
1
1
2
0
=
−
= ⋅
−
= ⋅
− ⋅
=
sin
sin
sin
α
α
α
(11) u
v
s
1
= ⋅
cos
α
Cały czas pamiętamy, Ŝe w zderzeniu udział biorą tylko składowe czołowe prędkości kuli pierw-
szej i drugiej (przy czym dla drugiej kuli jest ona równa zeru). Mając wszystkie składowe prędko-
ś
ci obu kul, ostatecznie otrzymujemy:
(12) u
v
v
v
v
m
s
s
cz
1
1
2
1
2
2
2
0 04
=
+
=
⋅
= ⋅
=
cos
cos
,
α
α
(13) u
v
v
v
v
m
s
s
cz
2
2
2
2
2
2
2
0 69
=
+
=
⋅
= ⋅
=
sin
sin
,
α
α
Wnioski:
Kula pierwsza uzyska prędkość 0,04
m
s
w kierunku zgodnym z osią OX (rys. 1), natomiast kula
druga - prędkość 0,69
m
s
wzdłuŜ osi OY. Dowiedliśmy, Ŝe przy zderzeniu spręŜystym dwóch kul
o jednakowych masach, kule rozbiegają się w kierunkach wzajemnie prostopadłych.
10
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 34
Zachowawczy charakter siły cięŜkości.
Energia potencjalna cięŜkości.
1.
Jak juŜ było powiedziane, energia mechaniczna moŜe być zmagazynowana w ciele (lub
układzie ciał) nie tylko pod postacią energii kinetycznej, lecz takŜe pod postacią energii
potencjalnej.
2.
Podnosząc ciało w próŜni ruchem jednostajnym na wysokość h nie wywołujemy przyrostu
energii kinetycznej, gdyŜ wypadkowa siła naszych mięśni i siły cięŜkości równa jest zeru.
Całkowita praca obu tych sił (jednej dodatniej, drugiej ujemnej) równa się zeru. Dodatnia
praca naszych mięśni nie jest jednak „marnowana” - jest ona magazynowana w ciele pod-
niesionym na wysokość h nad powierzchnię Ziemi i moŜe być zwrócona przy spadku ciała
na Ziemię. Podobnie moŜe być odzyskana praca włoŜona na ściśnięcie lub rozciągnięcie
spręŜyny. Przesunięcie na drodze poziomej ruchem jednostajnym wymaga zastosowania
siły napędowej, równej sile tarcia. Podobnie jak w pierwszym przypadku całkowita praca
obu tych sił równa się zeru. Tym razem jednak praca dodatnia siły napędowej nie zostaje
zmagazynowana w ciele: powrót ciała do stanu początkowego znów wymaga zastosowa-
nia siły napędowej, bowiem siła tarcia znowu przeszkadza ruchowi. Praca siły napędowej
zostaje rozproszona w otoczeniu pod postacią energii cieplnej.
3.
W omówionych przykładach siła napędowa pokonywała kolejno: siłę cięŜkości, siłę sprę-
Ŝ
ystą i siłę tarcia. Pierwsze dwie siły zaliczamy do tzw.
sił potencjalnych (zachowaw-
czych), trzecią do sił rozpraszających (niezachowawczych).
Praca pokonania sił zachowawczych zostaje zmagazynowana w ciele (układzie ciał) pod
postacią energii potencjalnej, natomiast praca pokonania sił rozpraszających zamienia
się na energię cieplną i rozprasza w otoczeniu.
4.
ZałóŜmy, Ŝe ciało o masie m znajduje się na pewnym poziomie początkowym, któremu
przypisujemy umownie zerową wartość energii potencjalnej. Energia potencjalna E
p
związana z podniesieniem ruchem jednostajnym tego ciała na wysokość h ponad poziom
zerowy, powstaje kosztem pracy pokonania siły cięŜkości (opór powietrza zaniedbujemy).
A zatem:
(1) E
W
F s
m g h
p
=
= ⋅ = ⋅ ⋅
BliŜsze zbadanie energii potencjalnej grawitacji prowadzi do wniosku, Ŝe jej wartość dla
ciała wzniesionego na wysokość h ponad poziom zerowy nie zaleŜy od drogi, wzdłuŜ któ-
rej zostało ono podniesione, przy załoŜeniu braku siły tarcia (rys.1).
h
S
I
S
II
S
III
S
IV
0
Rys. 1
11
00507 Praca i energia D
TEORIA
5.
Z róŜnych dróg przedstawionych na rysunku 1 wybieramy teraz drogę pierwszą - piono-
wą, oraz drugą - ukośną (np. po równi pochyłej bez tarcia). PokaŜemy je na rys. 2 i dla
nich przedstawimy dowód:
y
C
r
F
s
r
Q
x
h
α
α
α
r
Q
y
A B
x
r
Q
Rys. 2
Praca wzniesienia ciała o masie m na wysokość h wzdłuŜ drogi BC (rys. 2), jak pamiętamy
wynosi:
(2)
W
m g h
BC
= ⋅ ⋅
Wciąganie ciała po równi pochyłej ruchem jednostajnym wymaga zastosowania siły
r
F rów-
nowaŜącej składową
r
Q
x
siły cięŜkości
r
Q styczną do powierzchni równi, ale:
(3)
Q
mg
x
=
⋅
sin
α
.
Praca siły wciągającej ciało na drodze AC, gdzie AC = s
wynosi:
(4)
W
mgs
mgh
mg
Q
s
h
AC
=
⋅
=
=
⋅
=
sin
(
,
sin
)
α
α
Widać, Ŝe praca W
AC
wciągania ciała po równi pod kątem
α
jest taka sama jak praca W
BC
pionowego wznoszenia ciała na wysokość h ( nie zaleŜy od kąta
α
nachylenia równi do po-
ziomu).
Analiza dróg S
III
i S
IV
równieŜ dałaby podobny wynik (W = mgh) i nie ma konieczności do-
wodzenia tego (przypadek S
IV
wymaga rachunku całkowego).
Wnioski:
⇒
Zatem praca pokonywania siły cięŜkości (a więc i praca siły cięŜkości) nie zaleŜy od
kształtu drogi, lecz tylko od połoŜenia początkowego i końcowego badanego ciała. Jest to
słuszne dla wszystkich sił zachowawczych,
⇒
Praca siły zachowawczej na drodze zamkniętej równa się zeru (rys. 3a i 3b).
12
00507 Praca i energia D
TEORIA
Dla rys. 3a mamy:
(5)
W = W
1
+ W
2
+ W
3
+ W
4
= mgh + 0 - mgh + 0 = 0.
W
2
W
1
W
3
W
4
Rys. 3a
*Dla rys. 3b mamy zapis z elementów matematyki wyŜszej ale o sensie fizycznym toŜsamym
z wnioskiem wynikającym z rysunku 3a:
(6)
W
Fdr
=
=
∫
r r
0
W przypadku rys. 3b dzielimy tor na nieskończenie wiele małych prostoliniowych odcinków
dr i rozwaŜamy na nich pracę siły cięŜkości.
dr
Rys. 3b
13
00507 Praca i energia D
TEORIA
Temat: 35
Zasada zachowania energii mechanicznej.
1.
Poprzednio omawiane były takie układy ciał, w których działały wyłącznie siły zacho-
wawcze. Takie układy nazywamy
układami zachowawczymi. Układy te, w ścisłym sło-
wa znaczeniu, nie istnieją w przyrodzie. Układ zachowawczy stanowiłaby np. idealnie
spręŜysta spręŜyna, idealnie spręŜysta kula odbijająca się w próŜni od idealnie spręŜystej
podstawy. W przybliŜeniu układem zachowawczym byłoby wahadło odbywające ruch w
próŜni z minimalnym tarciem w punkcie zawieszenia. Prawie zachowawczy jest Układ
Słoneczny.
2.
W układach zachowawczych odosobnionych (tzn. nie poddanych działaniom sił ze-
wnętrznych) obowiązuje
zasada zachowania energii mechanicznej, która brzmi:
•
W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna E,, równa
sumie energii potencjalnej E
p
i energii kinetycznej E
k
, jest wielkością stałą, tzn. nie-
zmienną w czasie:
E = E
p
+ E
k
= const.
3.
Układy, z jakimi mamy do czynienia na Ziemi, to
układy rozpraszające, gdyŜ występuje
w nich zwykle tarcie, a więc i siły rozpraszające. A zatem w przypadku przemiany pracy
na energię w warunkach ziemskich, kosztem pracy siły napędowej zmienia się zasób
energii mechanicznej kinetycznej i potencjalnej oraz dodatkowo pojawiają się nowe ro-
dzaje energii.
4.
Mimo, Ŝe przedmiotem naszych ana-
liz była energia mechaniczna, naleŜy
wspomnieć o jednej z najwaŜniejszych
zasad całego przyrodo znawstwa, a mia-
nowicie
zasadzie zachowania energii.
Dotyczy ona wszystkich moŜliwych
odmian energii. Według tej zasady:
W układzie odosobnionym od zewnętrz-
nego otoczenia w ten sposób, Ŝe energia
w Ŝadnej postaci nie przenika do niego z
zewnątrz ani nie uchodzi z niego na zewnątrz, całkowita wartość energii pozostaje nie-
zmienna: mogą zachodzić jedynie przemiany energetyczne jednej postaci energii w inną.
Energia nie moŜe być ani stwarzana ani niszczona.
5.
Wnioskiem z zasady zachowania energii jest niemoŜność zbudowania urządzenia zwane-
go perpetuum mobile, które pracowałoby bez zasilania energią z zewnątrz i bez zmniej-
szania energii własnej (na dalszych stronach niniejszego kursu znajdzie się dokładniejsze
omówienie perpetuum mobile I i II rodzaju).
Koniec
Przykład:
Samochód wjeŜdŜa ruchem przyspieszonym
na górę po nawierzchni drogi o pewnym tar-
ciu. Kosztem pracy siły napędowej rośnie
energia kinetyczna (wzrost prędkości), rośnie
teŜ energia potencjalna grawitacji (wzrost
wysokości wzniesienia) oraz pojawia się
energia cieplna związana z pokonywaniem sił
tarcia.
14
00507 Praca i energia D
TEORIA
Notatki: