Kolokwium 1 A
1. Traktor ciągnie pod górę przyczepę o masie M=800 kg siłą o wartości F=2,78 kN. Nachylenie drogi wynosi =100,
różnica poziomów H=20,0m, a współczynnik tarcia kinetycznego f=0,05. Oblicz (a) pracę W1 jaką wykona traktor oraz
(b) pracęW2 jaką wykona siła tarcia. Wskazówka: narysuj wektory sił działających na przyczepę, napisz wyrażenie na
pracę elementarną, narysuj wykres Fs(s), oblicz całkowitą pracę.
g=10m/s2 , sin =0,174; cos =0,985
RozwiÄ…zanie: Dane: M,F, , H, f. Szukane:W1, W2
Z def. praca elementarna: , =
- kÄ…t
F
między wektorem siły i elementarnego przemieszczenia (tu oznaczony inaczej niż
kÄ…t nachylenia drogi w temacie zadania!). Praca na skooczonej drodze s:
W1
.
Traktor ciągnie stałą siłą o wartości F, =0, stąd wzór na pracę ma postad: s s
W2
kJ.
Ft
Siła tarcia ma również stałą wartośd, daną wzorem: .
Praca przez niÄ… wykonana: kJ.
2. Ruch ciała o masie M odbywa się pod wpływem stałej siły (skierowanej wzdłuż osi x), a w chwili t=0 prędkośd ciała
,
wynosiła , jego położenie . (a) Napisz równanie ruchu ciała i warunki początkowe przy
zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie wektorowe skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku
każdej osi. (b) Znajdz
wektory: prędkości i położenia .
RozwiÄ…zanie: Dane: M, , itd&
Warunki początkowe: t=0, , -widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy w pł. xy.
Równanie ruchu z II zasady Newtona: .Zastępujemy równaniami skalarnymi: , . Widzimy,
że: const, czyli ruch w kierunku osi x jednostajnie przyspieszony, - ruch w kierunku osi y jednostajny
prostol. Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.:
, , . Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy
.
3. Ciało porusza się po torze danym równaniem : . Wiadomo, że współrzędna .
(a) Znajdz
zależnośd ). Zapisz wektor położenia. Znajdz
(b) wektor prędkości chwilowej i (c) przyspieszenia
chwilowego.
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie. Zwracam tylko uwagę, że ma ono dwa rozwiązania:
oraz ! To ostatnie związane z ruchem w przeciwnym kierunku. Ale ponieważ w rozwiązaniach zadao przed
kolokwium nie podałam tej możliwości, więc nie egzekwowałam jej na kolokwium.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Kolokwium 1 B
1. Koo ciągnie wóz o masie M=250kg za dyszel nachylony pod kątem 300, siłą o wartości Fk=3,00kN . Jaką pracę na
drodze s =4,5 km wykona siła tarcia, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego f =0,25? Wskazówka: narysuj wektory sił
działających na wóz. Zapisz pracę elementarną i oblicz następnie W na skooczonej drodze.
RozwiÄ…zanie: Dane: M,& & Szukane:& ..
Z def. praca elementarna: ,
= - kąt między wektorem siły i elementarnego przemieszczenia.
Praca na skooczonej drodze s: .
Koo ciągnie stałą siłą o wartości Fk , =300, stąd siła tarcia ma również
stałą wartośd, daną wzorem: , bo N=Fs
(patrz:rys.) .
Praca przez niÄ… wykonana: kJ.
2. Cząstka o masie m i ładunku +q wpada w stałe, jednorodne pole elektryczne o natężeniu (skierowane wzdłuż osi x) z
prędkością , w punkcie P . Siła ciężkości skierowana jest wzdłuż osi z. (a) Napisz równanie
ruchu cząstki i warunki początkowe przy zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie wektorowe
skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku każdej osi. (b) Znajdz
wektory: prędkości i położenia .
RozwiÄ…zanie: Dane: m, , itd&
Warunki początkowe: t=0, , - widad, że mamy przypadek 3D.
Równanie ruchu z II zasady Newtona: . Zastępujemy równaniami skalarnymi: , .
const, czyli ruch w kierunku osi x jednostajnie przyspieszony, - ruch w
Widzimy, że:
kierunku osi y jednostajny prostol. , - ruch w kierunku osi z jednostajnie przyspieszony.
Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.:
, , , .
Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy
.
5,0m/s
vy [m/s]
?
3. Przyjrzyj się wektorom na rysunku. (a) Rozłóż je na wektory
składowe, znajdz
ich współrzędne. Zapisz te wektory posługując się
wersorami , . (b) Znajdz
prędkośd ciała 2 względem 1, oblicz
wartośd , zaznacz ten wektor na rysunku.
1
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie, więc nie podaję
rozwiÄ…zania.
1
vx [m/s]
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Kolokwium 1 C
1. Worek wypada z samolotu lecącego z prędkością v0 na wysokości H. Jego położenie w czasie spadku określone jest
przez współrzędne: , (  stałe dodatnie).
(a) Znajdz
równanie toru worka i naszkicuj go (znajdz
równanie znanej ci krzywej). (b) Znajdz
wektory: prędkości i
przyspieszenia . (c) Oblicz czas spadku worka (wskazówka: po tym czasie worek dotknie ziemi  zastanów się, jaka
będzie wówczas wartośd współrzędnej y).
Z nielicznymi wyjątkami wszyscy zrobili to zadanie, więc nie podaję rozwiązania.
2. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi rA =6,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 210o. (a) Znajdz
jego
współrzędne. Zapisz ten wektor stosując wersory. Narysuj ten wektor.
Położenie ciała B dane jest wektorem . (b) Narysuj ten wektor. Znajdz
wektor
przemieszczenia ciała A względem ciała B i narysuj go na wykresie.
Rozwiązanie: Na pierwszych dwicz. podałam  Współrzędną wektora na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego
wektora i wersora tej osi. , (wzór 2) itd. Należało zatem z tego wzoru skorzystad:
cm, cm.
.
Rysunek był przeważnie poprawny.
3. Jaś rozciąga sprężynę o współczynniku sprężystości k=20,0N/m najpierw zwiększając jej długośd o d1= 10,0cm, potem
po krótkim odpoczynku jeszcze o d2= 15, 0cm. a. Jaką pracę wykona Jaś podczas drugiego rozciągania? Oblicz pracę
stosując metodę graficzną. b. Jaka praca będzie wykonana przez siłę sprężystości, jeśli Jaś puści koniec sprężyny i
powróci on w położenie równowagi?
RozwiÄ…zanie:
Z def. praca elementarna: , = - kąt między wektorem siły i elementarnego
przemieszczenia. Praca na skooczonej drodze s: .
Siła sprężysta: nie jest siłą stałą! Pracę możemy obliczyd z całki lub metodą graficzną (dokładnie
przestudiowad przykłady z wykładu 4!).
Praca wykonana przez Jasia: , (patrz
wykład!). Metodą graficzną należy policzyd pole powierzchni zaznaczonego trapezu:
FJ , Fs
+kx
.
k(d1+d2)
Praca wykonana przez siłę sprężystą podczas kurczenia się sprężyny będzie dodatnia!
kd1
Siła ma ten sam zwrot co przemieszczenie! W1
x
d1
d1+d2
W2
-k(d1+d2)
Lub liczymy pole powierzchni zaznaczonego trójkąta.
-kx
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Kolokwium 1 D
1. Ruch satelity odbywa się po torze danym równaniem: ( stałe dodatnie). (a) Po
jakiej krzywej poruszała się satelita (równanie tej krzywej)? (b) Znajdz
wektory: prędkości chwilowej i
przyspieszenia . (c) Oblicz kąty między: wektorami i oraz i . Naszkicuj tor sondy i zaznacz wymienione
wektory.
Rozwiązanie: Torem satelity jest elipsa (przykład z wykładu 1!). , . Równania podnosimy
obustronnie do kwadratu: , i dodajemy stronami. Dostajemy równanie elipsy: .
Pozostałe podpunkty raczej nie sprawiły trudności.
2. Przez nieruchomy blok przerzucona jest nieważka nierozciągliwa lina, której kooców uczepiły się dwie
małpki o masach m1= 0,60kg i m2 =0,50kg . (a) Znajdz
siły działające na małpki i zapisz dla każdej z nich
równanie ruchu. (b) Oblicz przyspieszenie pierwszej małpki i jej prędkośd względem ziemi, jeśli wiadomo,
że wspina się w górę liny ze stałą prędkością m/s. (c) Po jakim czasie prędkośd pierwszej
małpki względem ziemi wyniesie 0?
To zadanie również większośd zrobiła, zastrzeżenie mam do oznaczeo wektorów przyspieszenia i
sprężystości lin - należy wektory rozróżnid indeksami, chociaż ich wartości są sobie równe. W równaniach
skalarnych można z tego skorzystad.
3. W położeniu równowagi koniec sprężyny znajduje się w punkcie x=0. Jaką prace wykona siła sprężystości podczas
kurczenia się sprężyny od x=10,0cm do x=2,0cm, jeśli k=4,0N/cm? Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wychylenia
x i oblicz graficznie wykonanÄ… przez niÄ… pracÄ™.
Wskazówka: Patrz przykład z wykładu 4 i rozwiązanie zad.3C.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Kolokwium 1 E
1. Wartośd wektora położenia ciała A wynosi rA =6,0cm, a kąt jaki tworzy z osią x jest równy 210o. (a) Znajdz
jego
współrzędne. Zapisz ten wektor stosując wersory. Narysuj ten wektor. Położenie ciała B dane jest wektorem
. (b) Narysuj ten wektor. Znajdz
kąt pomiędzy wektorami.
Uwagi: Patrz rozwiązanie zadania 2C odnośnie obliczania współrzędnych  w tym punkcie(a) było najwięcej dziwnych
metod.
2. Jabłko zostaje rzucone z prędkością m/s w kierunku poziomym z wiaduktu o wysokości H=30,0m. (a) Napisz
równanie ruchu jabłka i warunki początkowe przy zaniedbaniu oporów ruchu(zapis wektorowy!). Zastąp równanie
wektorowe skalarnymi i przeanalizuj ruch w kierunku osi x (pozioma) i osi y (pionowa). (b) Znajdz
wektory: prędkości
i położenia . (c) Znajdz
równanie toru jabłka i czas, po którym upadnie na ziemię.
RozwiÄ…zanie: Dane: H, .. itd&
Warunki początkowe: t=0, , - widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy, brak ruchu w
kierunku osi z.
Równanie ruchu z II zasady Newtona: . Zastępujemy równaniami skalarnymi:, .
Widzimy, że: , czyli ruch w kierunku osi x jednostajny prostol. ,
- ruch w kierunku osi y jednostajnie
przyspieszony.
Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie korzystając z warunków pocz.:
, , .
Analogicznie obliczamy współrzędne i dostajemy
.
Torem jest parabola: o wierzchołku (0,H). Czas spadku .
3. Jaką pracę wykona murarz, wyciągając dziurawe wiadro ze stałą prędkością v0 na balkon o wysokości h, jeśli piasku
ubywa ze stałą szybkością kg/s, a początkowa masa wiadra wraz z piaskiem wynosiła m0 (opory ruchu zaniedbujemy)?
Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wysokości i oblicz graficznie wykonaną przez niego pracę.
Uwaga: Zadanie było przerobione na dwiczeniach ze wszystkimi grupami  proszę zapoznad się z jego rozwiązaniem.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Kolokwium 1 F
1. Po powierzchni stołu porusza się klocek o masie m (traktowany jako punkt materialny), na który działa siła
rð
v0 (v0 ,0)
skierowana pod kątem do poziomu. Jeśli w chwili początkowej prędkośd klocka wynosiła i znajdował się
on a punkcie P (x0, y0)) i uwzględnimy siłę tarcia (współczynnik tarcia f), to jak będzie wyglądało równanie ruchu klocka i
warunki poczÄ…tkowe? Znajdz
prędkośd klocka i jego wektor położenia. Oblicz czas, po którym się zatrzyma.
Warunki początkowe: t=0, , - widad, że mamy przypadek dwuwymiarowy, brak ruchu w
kierunku osi z.
Równanie ruchu z II zasady Newtona: . Zastępujemy równaniami skalarnymi:
, . Widzimy, że ruch w kierunku osi x
jest jednostajnie przyspieszony lub jednostajny prostoliniowy, zależnie od
wartości sił,  brak ruchu w kierunku osi y wynika z tematu zadania.
Siła tarcia ma wartośd, daną wzorem: , bo N=Fs
(patrz: rys.) .
Stosujemy poznane wzory na prędkośd i położenie jak w poprzednich zadaniach
2B i 2E.
2. Ruch ciała opisany jest układem równao: , , . (a) Znajdz
wektor prędkości i
(b) wektor przyspieszenia ciała. (c) Oblicz kąt między wektorem przyspieszenia i prędkości.
3. W położeniu równowagi koniec sprężyny znajduje się w punkcie x=0. Jaką prace wykona siła sprężystości podczas
rozciągania sprężyny od x=1,0cm do x=8,0cm, jeśli k=1,0N/cm? Wskazówka: narysuj wykres siły w funkcji wychylenia x i
oblicz graficznie wykonanÄ… przez niÄ… pracÄ™.
Wskazówka: Patrz przykład z wykładu 4 i rozwiązanie zad.3C.