ROZWI
ZANIA ZADAC
Z KOLOKWIUM 2
Kolokwium 2 A
1. Kula o masie m1 porusza się z szybkością v1 naprzeciw kuli o masie m2=2m1 poruszającej się z szybkością v2.
Znalez
d prędkości w1 i w2 obu kul po centralnym i sprężystym zderzeniu.
Rozwiązanie: stosujemy zasadę zachowania pędu: , jeśli zderzenie centralne, to
kule poruszają się wzdłuż prostej: (1) (znaki przy są nieistotne, bo z
obliczeo dostaniemy wyrażenia, z których wywnioskujemy, jaki zwrot będą miały te prędkości!). Zderzenie
sprężyste, więc energia kinetyczna zachowana: (2). Przekształcamy
równania (1) i (2) do postaci: (1 ) i (2 ).
Dzielimy stronami (2 ) i (1 ) dostając: (3). Rozwiązujemy układ równao liniowych (1 ) i (3):
.
2. Proton ( ładunek +e) zbliża się do nieruchomego jądra atomowego o dużej
v0
p
masie i Å‚adunku +Ze (e  Å‚adunek elementarny, Z  liczba atomowa). Gdyby
cząstka nie podlegała oddziaływaniom, to minęłaby jądro w odległości b. Siły
R=?
odpychania elektrostatycznego odpowiedzialne sÄ… jednak za zakrzywienie toru
jÄ…dro
czÄ…stki. Znajdz
odległośd największego zbliżenia dla rzeczywistej orbity R, jeśli
b tor
znana jest szybkośd cząstki v0 w nieskooczenie wielkiej odległości od jądra.
(Przyjmij, że masa jądra jest tak duża, że można pominąć jego energię odrzutu i
jÄ…dro pozostaje nieruchome.) Polecenia: napisz, z jakich zasad zachowania korzystasz i uzasadnij dlaczego.
Rozwiązanie: Ruch protonu w polu siły kulombowskiej: , która jest siłą centralną więc
zachowawczą i energia mechaniczne jest zachowana: . (Wyprowadzenie wyrażenia
na energię potencjalną jak na wykładzie dla siły grawitacji). Dla siły centralnej
(dlaczego?) i moment pędu jest zachowany: , skąd (dlaczego pojawiło się  b ?).
Rozwiązujemy układ równao i dostajemy:
.
3. Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch, wzajemnie prostopadłych drganiach harmonicznych
opisanych równaniami i . Wyznacz równanie toru tego punktu i naszkicuj go.
Rozwiązanie: Należy z równao wyeliminowad czas t. Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
, aby w wyrażeniu na y zmienid argument funkcji, następnie podnosimy wyrażenie na x
do kwadratu i eliminujemy czas z y. Dostajemy równanie paraboli: . Z warunków podanych w
temacie łatwo wywnioskowad w jakich granicach x i y będzie odbywał się ruch punktu (-2>x>+2 i -1>y>+1) i
naszkicowad jego tor.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Kolokwium 2 B
1. W przestrzeni kosmicznej doszło do niesprężystego zderzenia meteorytu o masie m1=20,0kg z satelitą o masie
rð
m2=500kg . Znajdz
wektor prędkości satelity , jeśli wartośd prędkości
v2
rð
meteorytu wynosiła 1000m/s, a po zderzeniu (meteoryt ugrzązł w
v1 w
y
m1+m2
m1
satelicie) wrak satelity poruszał się z szybkością 66,6m/s pod kątem 30o do
w
kierunku poczÄ…tkowego ruchu meteorytu. x
v
2y
Rozwiązanie: zderzenie jest niesprężyste, więc tylko korzystamy z zasady
y
m2
zachowania pędu:
v
2x
. Obieramy układ współrzędnych kart. i
x
przechodzimy do skalarnych równao dla każdego z kierunków:
, (1)
. (2)
Z (2) : m/s,
z(1) : m/s, , .
2. Dziewczyna o masie m stoi na brzegu karuzeli (promieniu R i momencie bezwładności ), która się nie porusza.
Dziewczyna rzuca kamieo o masie M w kierunku poziomym, stycznie do zewnętrznego promienia karuzeli z
szybkością względem podłoża. Jaka jest szybkośd kątowa karuzeli po wyrzuceniu kamienia? A szybkośd liniowa
dziewczyny?
Rozwiązanie: Dla układu dziewczyna-kamieo-karuzela początkowy moment pędu . Wypadkowy moment
siły dla układu , więc mom. pędu . Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu: ,
traktujemy dziewczynę jak punkt materialny o momencie bezwładności :
, (suma momentów pędu karuzeli+dziewczyny +kamienia, nie korzystamy z
tw.Steinera!).
Skalarnie: , a stÄ…d: oraz .
3. CzÄ™stoÅ›d koÅ‚owa drgao kulki stalowej o promieniu r i gÄ™stoÅ›ci rð, zawieszonej na sprężynie, wynosi w powietrzu
wð0ð, a w cieczy wð. Zapisz równanie ruchu kulki w cieczy. (Wskazówka: wartoÅ›d siÅ‚y lepkoÅ›ci dana jest wzorem
.) Jaką postad ma jego rozwiązanie ?Wyznacz współczynnik lepkości cieczy .
Rozwiązanie: Równanie drgao tłumionych i postad jego rozwiązania były podane na wykładzie! Więc nie piszę, ale
za tę częśd rozwiązania były 3 punkty!
Częstośd kołowa oscylatora tłumionego: , gdzie , stąd:
.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Kolokwium 2 C
1. Pocisk lecący poziomo z prędkością v =100m/s rozrywa się na dwie równe części na wysokości h = 40,0 m.
Jedna częśd spada na ziemię po upływie czasu t = 1,0 s dokładnie pod punktem wybuchu. Obliczyd wielkośd i
kierunek prędkości drugiej części pocisku zaraz po rozerwaniu. (Wskazówka: potraktuj pocisk, a następnie jego
części jako układ odosobniony i zastosuj zasadę zachowania pędu. Wykorzystaj wzór na drogę w spadku
swobodnym.)
Rozwiązanie: Z zasady zachowania pędu: .
Wzdłuż osi (1) i (2), przy i warunku dla
spadającej części , dostajemy z (2): /t =35m/s = .
Z (1) i (2): = 0,175, m/s i m/s.
2. Jaś stoi na stoliku, który może się obracad wokół pionowej osi. W swoich rękach trzyma koło rowerowe. Koło
obraca się dokoła pionowej osi z szybkością kątową . Jaś będąc sam w spoczynku stara się zmienid kierunek
obrotu koła odchylając jego oś obrotu o kąt 1800. Wytłumacz jak i dlaczego zmieni się ruch tego układu.
Rozwiązanie: Moment pędu układu Jaś-stolik-koło jest zachowany. Początkowo obraca się tylko koło i jego
moment pędu . Po obróceniu koła o 1800 jego moment pędu wynosi (tę samą wartośd i kierunek lecz
przeciwny zwrot), zatem stolik z Jasiem musiały zyskad moment pędu , aby moment pędu układu był
zachowany: . Jeśli początkowo koło obracało się przeciwnie do wskazówek zegara, to po jego
obróceniu o 1800 stolik z Jasiem zaczną się obracad również przeciwnie do wskazówek zegara. Znalezienie
prędkości kątowej stolika wymaga znajomości momentów bezwładności Jasia i stolika. Ogólnie:
i stÄ…d .
3. Klocek o masie M przymocowany jest do jednego kooca sprężyny jak na rys. Napisz
równanie ruchu tego klocka po wychyleniu go z położenia równowagi o (opory ruchu
zaniedbujemy). Znajdz
zależnośd wychylenia od czasu . Oblicz energię kinetyczną i
potencjalną klocka i udowodnij, że jego energia mechaniczna jest zachowana.
Rozwiązanie: Polecam zapoznad się z przykładem na str. 13 z wykładu 5!
Kolokwium 2 D
1. Dwa satelity, każdy o masie m, mają byd wysłane na kołowe orbity dokoła środka Ziemi. Satelita A ma krążyd na
wysokości R, a satelita B na wysokości 3R nad powierzchnią Ziemi. a. Jaki jest stosunek energii potencjalnych
satelitów A i B na orbitach (wyprowadz
wzór na energię potencjalną!)? b. Jaki jest stosunek ich energii
kinetycznych? c. Który z nich ma większą energię całkowitą? Czy energia mechaniczna satelity na orbicie jest
zachowana i dlaczego? R  promieo Ziemi, M- masa Ziemi dane.
RozwiÄ…zanie: a. Obliczamy energiÄ™ potencjalnÄ… (str.5 w.5!)
.
Odpowiednio dla satelity A i B: , i .
b. Można pokazad, że energia kinetyczna satelity . Wystarczy zapisad wyrażenie na siłę
dośrodkową: i stąd dostajemy . Podobnie obliczmy, że .
Całkowitą energię dostaniemy sumując energie: kinetyczną i potencjalną: ,
porównując pamiętajmy, że energia jest ujemna! Ponieważ siła grawitacji jest siłą centralną, więc zachowawczą i
energia mechaniczna (całkowita) każdego satelity na orbicie jest stała.
2. Kulkę przywiązano do linki, która przechodzi przez pustą rurkę i wprawiono w ruch. Kulka obracała się w
płaszczyz
nie poziomej po okręgu o promieniu z szybkością . Pociągając za linkę w dół skrócono promieo do
wartości . Znalez
d wartośd prędkości liniowej oraz kątowej . Z jakiego prawa korzystamy? Uzasadnid, że
jest ono spełnione w tych warunkach.
Rozwiązanie: Siła, która działa na kulkę jest siłą centralną, naciągu linki. Moment siły i
. Stąd Jeśli moment bezwładności kulki , to z zasady zachowania pędu:
wynika, że .
3. Klocek o masie M przyczepiony za pośrednictwem dwu nieważkich sprężyn do
sztywnych ścianek, ślizga się po poziomej powierzchni. Każda ze sprężyn ma
współczynnik sprężystości k i długośd swobodną l0, a w położeniu równowagi (jak
na rysunku) osiąga długośd l. Napisz równanie ruchu klocka, znajdz
jego
rozwiązanie (pamiętaj o warunkach początkowych) oraz okres drgao.
RozwiÄ…zanie: Polecam zapoznad siÄ™ z rozwiÄ…zaniem tego zadania zrobionym na dwiczeniach. Wszystkie grupy go
przerobiły! Ewentualnie zaglądnąd do podanych podręczników.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Kolokwium 2 E
1. Ze środka wirującej z prędkością kątową tarczy o masie M i promieniu R wyrusza żółw i kieruje się ku
brzegowi tarczy. Kiedy żółw znajduje się na skraju tarczy, prędkośd kątowa wynosi . Oblicz moment
bezwładności żółwia względem osi przechodzącej przez jego środek masy, I0. Masa żółwia  m.
Rozwiązanie: Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu: . Moment bezwładności tarczy
, a moment bezwł. żółwia na brzegu tarczy obliczamy z tw. Steinera .
. StÄ…d obliczamy
2. Sprężyna o współczynniku sprężystości k, której masę pomijamy, umocowana jest
poziomo. Ze sprężyną tą zderza się ciało o masie m powodując jej ściśnięcie o , licząc
od położenia równowagi. Obliczyd prędkośd ciała w chwili zderzenia, jeśli współczynnik
tarcia kinetycznego między ciałem a poziomą powierzchnią, równy jest f.
Rozwiązanie: Energia mechaniczna nie jest zachowana, bo występuje siła tarcia, siła niezachowawcza. Obliczamy
pracę tej siły: . Częśd energii kinetycznej ciała zostanie
rozproszona i , , stÄ…d obliczamy .
3. a. Zbadad ruch kulki materialnej (napisad równanie ruchu) poruszającej się wzdłuż prostoliniowego tunelu
przechodzącego przez środek Ziemi, jeśli siła grawitacji działającej w nim na kulkę wynosi , M, R
 odpowiedni masa i promieo Ziemi, r- jest odległością od środka Ziemi. Prędkośd początkowa kulki na
powierzchni wynosi zero. b. Znalez
d zależnośd położenia kulki względem środka Ziemi od czasu, r(t). c. Obliczyd
czas, po którym kulka znajdzie się w środku Ziemi i prędkośd, z jaką go minie.
Rozwiązanie: a. zauważmy, że siła wewnątrz tunelu jest proporcjonalna do r i jest to siła analogicznej postaci jak
siła sprężysta. Równanie ruchu ma postad: , czyli . Dostajemy równanie
oscylatora harmonicznego: , gdzie .
b. Ogólnym rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja . Z warunków początkowych: i
, znajdujemy .
c. Kulka znajdzie się w środku tunelu po upływie t=T/4 i jej szybkośd .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Kolokwium 2 F
1. Nieważka sprężyna może byd ściśnięta o pod wpływem siły . Ta sama sprężyna została umieszczona przy
podstawie doskonale gÅ‚adkiej równi pochyÅ‚ej, o kÄ…cie nachylenia bð. CiaÅ‚o o masie M, pozostajÄ…ce poczÄ…tkowo w
spoczynku na szczycie równi, zaczyna ześlizgiwad się w dół. Ciało to zatrzymuje się natychmiast po ściśnięciu
sprężyny o . (a) Jaką odległośd przebywa ciało do chwili zatrzymania się? (b) Jaką prędkośd ma to ciało
bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną?
Rozwiązanie: Z warunku równowagi siły sprężystej i obliczamy k: , . Z tematu zadania
wynika, że nie występuje siła tarcia, więc energia mechaniczna jest zachowana (w polu grawitacyjnym).
i poczÄ…tkowa energia potencjalna zamienia siÄ™ na kinetycznÄ…, a ta z kolei na energie potencjalna
sprężystości.
a. , . Obliczamy s: .
b. , .
2. Dziewczyna o masie m stoi na brzegu karuzeli (promieniu R i momencie bezwładności ), która się nie porusza.
Dziewczyna rzuca kamieo o masie M w kierunku poziomym, stycznie do zewnętrznego promienia karuzeli z
szybkością względem podłoża. Jaka jest szybkośd kątowa karuzeli po wyrzuceniu kamienia? A szybkośd liniowa
dziewczyny?
Patrz zadanie 2 z tematów B.
3. Okres drgao tÅ‚umionych T=4,0s, logarytmiczny dekrement tÅ‚umienia drgao dð=1,6, a faza poczÄ…tkowa jest równa
zeru. Wychylenie punktu w chwili t=T/4 jest równe 4,5cm. Napisz równanie ruchu drgao i znajdz
jego rozwiÄ…zanie.
Rozwiązanie: Równanie ruchu drgao tłumionych i postad jego rozwiązania były podane na wykładzie! Zadanie było
przerabiane na dwiczeniach!
Logarytmiczny dekrement tłumienia drgao: , stąd obliczmy współczynnik tłumienia .
CzÄ™stoÅ›d koÅ‚owa oscylatora tÅ‚umionego , gdzie rad×ðs-1.
 rad×ðs-1 , A=6,7cm. RozwiÄ…zanie równania ruchu:
.