Zadanie 1.10
W celu wyznaczenia zasobu objętości Vr rurociągu połączono go ze zbiornikiem o zasobie
objętości Vz=5[m3]. Zbiornik przed połączeniem z rurociągiem zawierał powietrze o
parametrach stanu pz1=0,6[MPa], tz1=20[0C], w rurociągu zaś parametry stanu powietrza były
odpowiednio równe pr1=0,1[MPa], tr1=15[0C]. Po połączeniu i wyrównaniu temperatur oraz
ciśnień w układzie zbiornik-rurociąg zmierzono wartości ciśnienia pr2=0,22[MPa] i
tr2=16[0C]. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość zasobu objętości rurociągu Vr.
Rozwiązanie:
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość:
Vz=5[m3] Vr
pz1=0,6[MPa]
tz1=20[0C]
pr1=0,1[MPa]
tr1=15[0C]
pr2=0,22[MPa]
tr2=16[0C].
1. Ilustracja układu zbiornik-rurociąg przed i po ich połączeniu.
V=Vz +Vr
pz1, tz1, Vz
pr1, tr1, Vr Vr
pr2= pz2
tr2= tz2
2. Wyznaczenie zasobu masy gazu w zbiorniku przed połączeniem go z rurociągiem.
Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona
pz1Vz=mz1RTz1
wyznaczono zasób masy gazu w zbiorniku
Pz1Vz
mz1=
RT
z1
3. Wyznaczenie zasobu masy gazu w zbiorniku po połączeniu go z rurociągiem.
Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona po wyrównaniu się temperatur i
ciśnień w zbiorniku i rurociągu.
pr2Vz=mz2RTr2
wyznaczono zasób masy gazu w zbiorniku.
pr 2Vz
mz2=
RTr 2
4. Wyznaczenie przyrostu zasobu masy gazu w zbiorniku.
Odejmując zasoby mas powietrza wzbiorniku przed i po połączeniu z rurociągiem
wyznaczono przyrost zasobu masy powietrza w zbiorniku.
ć� ��
Vz �� pz1 pr 2 ��
" mz=mz1-mz2= -�
�� ��
R T T
Ł� z1 r 2 ł�
5. Wyznaczenie zasobu masy gazu w rurociągu przed dopływem gazu ze zbiornika.
Dzieląc stronami równanie stanu gazu doskonałego Clapeyrona dla rurociągu przed
dopływem gazu ze zbiornika.
pr1Vr=mr1RTr1
i po dopływie gazu ze zbiornika.
pr2Vr=(mr1+"mz)RTr2
otrzymano związek
pr1 mr1T
r1
=�
pr 2 (mr1 +� D�mz )Tr 2
z którego wyznaczono zasób masy gazu w rurociągu przed dopływem gazu ze
zbiornika .
ć� pz1T ��
�� ��
pr1�� r 2 -� pr 2 ��
z1 ł�
mr1= Ł� T Vz
R(�Tr1 pr 2 -� Tr 2 pr1)�
6. Wyznaczanie zasobu objętości rurociągu.
Zasób objętości rurociągu wyznaczono z równania stanu gazu doskonałego
Clapeyrona przed dopływem powietrza ze zbiornika.
ć� pz1T ��
�� ��
VzTr1�� r 2 -� pr 2 ��
T
mr1RTr1
Ł� z1 ł�
Vr= =�
pr1 (�Tr1 pr 2 -� Tr 2 pr1)�
7. Rachunek mian dla zasobu objętości rurociągu.
m3K(Pa -� Pa)
[Vr]= =� m3
(KPa -� KPa)
8. Obliczenie wartości zasobu objętości rurociągu.
ć� pz1Tr 2 ��
VzT �� -� pr ��
r1
��
Tz1 2 ��
mr1RTr1
Ł� ł�
Vr= =� =�
pr1 (�Tr1 pr 2 -� Tr 2 pr1)�
ć� 16 +� 273,15 ��
5 �� (15 +� 273,15) ����0,6 �� -� 0,22�� ��106
20 +� 273,15
Ł� ł�
=� =� 15,452 [m3]
((15 +� 273,15) �� 0,22 -� (16 +� 273,15) �� 0,1) ��106
Zadanie 1.11
Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość promienia cząsteczki tlenu O2 przy założeniu, że
ma ona kształt kulisty i wiedząc że wartość molowej współobjętości
(objętości wyłączonej molowej) w równaniu stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa jest
cm3 1
równa b=25[ ], zaś liczba Avogadra NA=6,023"1023 [ ].
mol mol
 Rozwiązanie:
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość:
cm3 d
b = 25 [ ] r =
mol 2
NA = 6,023"1023 [mol-1]
1. Wyznaczanie objętości cząsteczki tlenu w kształcie kuli o średnicy d:
d
Ilustracja objętości cząsteczki tlenu O2
w kształcie kuli o średnicy d.
3
4 d
Vcz = p� ć� ��
�� ��
3 2
Ł� ł�
2. Wyznaczanie objętości wyłączonej dla cząsteczki tlenu.
d
Vw = =
d d
Ilustracja objętości wyłączonej dla
cząsteczki tlenu O2
Objętość wyłączona jest objętością w której środki cząsteczek nie mogą się poruszać ze
względu na swoją wzajemną obecność i równa jest połowie objętości kuli
o promieniu równym średnicy cząsteczki.
Objętość wyłączona zasobu ilości materii n=1[mol] cząsteczek (współobjętość
molowa) równa jest iloczynowi liczby Avogadra NA i objętości wyłączonej
cząsteczek Vw
m3
b = NAVw[ ]
mol
3. Wyznaczenie równania stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa odniesionego do
molowych gęstości zasobu energii.
Równanie stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa odniesione do masowych gęstości
zasobu energii określone jest związkiem:
a
(p+ )(J�-a�) = RT
2
J�
gdzie:
a  współczynnik kohezyjności masowej
a�  współobjętość masowa (kowolumen)
Współczynnik kohezyjności masowej określony jest zależnością:
an
a =
2
M
gdzie:
an  współczynnik kohezyjności molowej
M  masa cząsteczkowa
Ciśnienie kohezyjne określone jest wyrażeniem
a
2
J�
natomiast współobjętość masowa jest równa:
b
a� =
M
gdzie:
b  współobjętość molowa (objętość wyłączona molowa).
zatem równanie van der Waalsa przekształcono do postaci:
an
b
[p + ](J�- ) = RT
2
M J�2 M
Relacja między masową a molową gęstością zasobu objętości określona jest zależnością:
J�n
J�=
M
stąd równanie stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa przyjmie postać:
J�n b
an
(p+ )( - ) = RT
M M
J�n 2
Uwzględniając, iż iloczyn indywidualnej stałej gazowej i masy cząsteczkowej równy jest
uniwersalnej stałej gazowej:
MR = B
oraz mnożąc obustronnie równanie van der Waalsa przez masę cząsteczkową M otrzymamy
równanie stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa odniesione do molowych gęstości zasobu
energii
an
(p+ )( J�n -b) = BT
J�n 2
4. Wyznaczanie promienia cząsteczki tlenu.
Dzieląc objętość wyłączoną molową cząsteczek b przez liczbę Avogarda NA
otrzymano objętość wyłączną cząsteczki O2 tlenu.
b
Vw =
N
A
Z drugiej strony objętość wyłączoną cząsteczki telu O2 określoną związkiem:
4 d
Vw = 4[ p� ( )3]
3 2
Porónując prawe strony powyższych dwóch zależności
b 16 d
= p� ( )3
N 3 2
A
otrzymano promień cząsteczki telnu O2, przy założeniu, że ma ona kształt kulisty
d 3b
r = = 3
2 16p�NA
5. Rachunek mian:
m3mol
3
[r] = = m
mol
6. Obliczenie wartości promienia cząsteczki tlenu.
d 3b 3�� 25��10-�6
3
r = = 3 = = 0,135316��10-�9 = 1,35316[ś
]
2 16p�N 16p� 6,022��1023
A
d = 2r = 2 ��1,35316 = 2,70632 [ś
] = 0,270632 [nm]
Zadanie 1.15
Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość pracy bezwzględnej objętościowej "L wykonanej
przez układ nad otoczeniem w przemianie izotermicznej odwracalnej rozgęszczenia gazu
rzeczywistego o zasobie ilości materii n=1[kmol] od początkowego zasobu objętości
V1=10[dm3] do końcowego zasobu objętości V2=2V1 w temperaturze T=293,15[K] dla gazu
rzeczywistego van der Waalsa spełniającego poniższe równanie.

. .
( )
+ - . = . .

Gazem rozgęszczanym jest azot dla którego stałe w równaniu stanu van der Waalsa mają
wartości

an=0,1408[ ] b=3.91[ ]=3,91 10-3[ ]

Uniwersalna stała gazowa B=8314,3[ ]
Rozwiązanie:
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość pracy
V1=10[dm3] bezwzględnej objętościowej:
V2=2 V1 "L
T=293,15[K]=const
n=1[kmol]

B=8314[ ]

an=0.1408[ ]

b=3.91[ ]=3.91 10-3[ ]
1. Wykresy pracy i ciepła w przemianie izotermicznej w układzie współrzędnych pV i
TS
p(V,T=const)
p
p1
"L1-2
p2
V1 V2
V
Ilustracja pracy bezwzględnej objętościowej przemiany izotermicznej gazu rzeczywistego van
der Waalsa we współrzędnych p, V.
T
T(S)
"Q1-2
2
1
T1-2
S2 S1
S
Ilustracja ciepła przemiany izotermicznej gazu rzeczywistego van der Waalsa we
współrzędnych T,S.
2. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej.
Z definicji pracy bezwzględnej objętościowej
�L=pdV
oraz z równania stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa

p=  a
( )
otrzymano

�L=nBT  n2a

Całkując powyższe równanie w granicach



= -
-

i przyjmując oznaczenie
x=V-nb
obliczono jej różniczkę
dx=v
oraz ustalono nowe granice całkowania
x1=V1-nb
x2=V2-nb
Całkowane równanie przekształcono do postaci
x2
dx 1
��V
2
D�L =� nBT -� n2anć� -�
�� ��
��
V1
x V
Ł� ł�
x1
Po dokonaniu całkowania

"L=nBTln +n2an( - )

oraz uwzględnieniu nowych granic całkowania otrzymano wyrażenie określające
pracę bezwzględną objętościową wykonaną w przemianie izotermicznej przez gaz
rzeczywisty van der Waalsa .
ć� �� ć� ��
1 1
2
��V2 -� nb �� ��
"L=nBTln
�� ��+n an ��V -� ��
V1 -� nb V1 ��
Ł� ł� Ł� 2 ł�
3.Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej
ć� �� ć� ��
1 1
2
��V2 -� nb �� ��
"L= nBTln��
��+n an ��V -� �� =
V1 -� nb V1 ��
Ł� ł� Ł� 2 ł�
3
ć� �� ć� ��
20 ��10-�3 -�1�� 3,91��10-�3
�� �� ��10 103 ��
=1��8314,3�� 293,15ln�� +�12 �� 0,1408�� -� =
��
10��10-�3 -�1�� 3,91��10-�3 �� 20 10
Ł� ł� Ł� ł�
1 3,91
ć� ��
-�
�� ��
= 1��8314,3 �� 293,15ln�� 50 1000 �� +� 0,1408(50 -�100) =� 2,368 ��106[J ]
1 3,91
�� ��
-�
�� ��
Ł� 100 1000 ł�
Zadanie 1.7
Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości zasobów ilości materii [n]=kmol oraz objętości
normalnej obliczeniowej [Vno]=m3 odniesionej do normalnych warunków obliczeniowych

(p =1[bar], t =0[0C], Ń =22,71[ ]) zasobu masy m=100[kg] tlenu (O2), azotu (N2) i
dwutlenku węgla (CO2). Masy cząsteczkowe poszczególnych gazów są następujące:

M =31,999 [ ], M =28,013 [ ], M =44,01 [ ].
Rozwiązanie:
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości:
m = m = m = 100 [kg] n , n , n

Ń =22,71 [ ] V , V , V

M =31,999 [ ]

M =28,013 [ ]

M =44,01 [ ]
1.Wyznaczenie zasobu ilości materii tlenu, azotu i dwutlenku węgla:
Z definicji masy cząsteczkowej
M =

otrzymano dla tlenu

M =

zatem zasób ilości materii tlenu cząsteczkowego jest równy

n =

Analogicznie dla azotu

n =

oraz dwutlenku węgla

n =
2.Wyznaczenie zasobu objętości normalnej obliczeniowej tlenu, azotu i dwutlenku węgla:
Z definicji molowej gęstości zasobu objętości gazu w normalnych warunkach obliczeniowych
Ń =

określono objętość normalną obliczeniową tlenu
V = Ń " n
następnie azotu
V = Ń " n
oraz dwutlenku węgla
V = Ń " n
3. Rachunek mian dla zasobu ilości materii tlenu, azotu i dwutlenku węgla:

n = n = n = = kmol


4. Rachunek mian dla zasobu objętości normalnej obliczeniowej tlenu, azotu i dwutlenku
węgla:

V = V = V = kmol " = m

5. Obliczenie wartości zasobu ilości moli tlenu:

n = = = 3,1251 [kmol]
,
6. Obliczenie wartości zasobu ilości moli azotu:

n = = = 3,5698 [kmol]
,
7. Obliczenie wartości zasobu ilości moli dwutlenku węgla:

n = = = 2,2722 [kmol]
,
8. Obliczenie wartości zasobu objętości normalnej obliczeniowej tlenu:
V = Ń " n = 22,71 " 3,1251 = 70,971 [m ]
9. Obliczenie wartości zasobu objętości normalnej obliczeniowej azotu:
[ ]
V = Ń " n = 22,71 " 3,5698 = 81,07 m
10. Obliczenie wartości zasobu objętości normalnej obliczeniowej dwutlenku węgla:
V = Ń " n = 22,71 " 2,2722 = 51,602 [m ]
Zadanie 1.18
Ciśnienie statyczne przepływającej rurociągiem strugi wody równe jest ps =� 0 [MPa ].
Ciśnienie otoczenia wynosi p0 =� 1000[hPa] , zaś ciśnienie całkowite absolutne pca
przepływającej wody wyrażone w milimetrach słupa rtęci jest równe hca =790 [mmHg].
Obliczyć prędkość substancjalną u przepływającej wody wiedząc , że objętościowa gęstość
kg kg
zasobu masy rtęci r� =� 13546[ ] zaś wody r� =� 1000[ ] .
Hg H 0
2
m3 m3
Rozwiązanie
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość:
ps =� 0[hPa] u
p0 =� 1000[hPa]
hca =� 790[mmHg]
kg
r�Hg =� 13546�� ł�
3
ę�m ś�
�� ��
kg
r�H 0 =� 1000�� ł�
2 ę� ś�
m3
�� ��
1. Ilustracja pomiaru ciśnień w przepływie strugi płynu, płynącego z prędkością
substancjalną:
u
pca pca
psa
psa
psa po
pca po
pd
pc
ps
u -� prędkość substancjalna wody
r� -� objętościowa gęstość zasobu masy wody
H2 0
pc -� ciśnienie całkowite
po -� ciśnienie otoczenia
psa -� ciśnienie statyczne absolutne
pca -� ciśnienie całkowite absolutne
pd -� ciśnienie dynamiczne
Zgodnie z ilustracją modelu pomiaru ciśnień w przepływie strugi płynu z prędkością
substancjalną możemy zapisać zależności:
pca =� pc +� po
psa =� ps +� po
pd =� pca -� psa =� pc -� ps
Gdzie ciśnienie dynamiczne jest objętościową gęstością zasobu substancjalnej energii
kinetycznej płynu
r�u2
pd =�
2
2. Wyznaczenie ciśnienia całkowitego absolutnego pca wyrażonego w jednostkach układu SI.
Odwzorowanie wartości ciśnienia całkowitego absolutnego wyrażonego w milimetrach słupa
rtęci na wartość ciśnienia pca wyrażonego w jednostkach układu SI dokonano przy użyciu
poniższej funkcji
pca =� hca r� g
Hg
3. Wyznaczenie ciśnienia dynamicznego pd przepływającej wody:
Ciśnienie dynamiczne równe jest różnicy ciśnień absolutnych, całkowitego i statycznego
przepływającej wody:
pd =� pca -� psa
Ciśnienie statyczne absolutne równe jest sumie ciśnień statycznego i otoczenia
psa =� ps +� po
Stąd:
pd =� pca -� ps -� po
Uwzględniając iż:
ps =� 0
otrzymano:
pd =� pca -� po =� hca r�Hg g -� po
4. Wyznaczenie prędkości substancjalnej przepływającej strugi wody.
Uwzględniając definicję ciśnienia dynamicznego w przepływającej strudze wody:
2
r�H Ou
2
pd =�
2
otrzymano:
2pd (hca r� Hg g -� po )
u =� =� 2
r�H O r�H O
2 2
5. Rachunek mian prędkości substancjalnej przepływającej strugi wody:
Pa N m3 m 1 m3 m2
[u]2 =� =� =� kg =�
kg m2 kg s2 m2 kg s2
m
[u] =�
s
6.Obliczanie wartości prędkości substancjalnej przepływającej strugi wody:
(hca r�Hg g -� po )
(0,79 ��13546 �� 9,81 -�100000) m
u =� 2 = 2 =� 3,156[ ]
r�H O 1000 s
2
Zadanie 2.6
Mieszaninę gazów, której skład określony jest udziałami masowymi gN =� 0,5 ; gO =� 0,4;
2 2
gH O =� 0,1 przepuszczono przez warstwę absorbującą wodę. Osuszony roztwór wprowadzono
2
do pustego zbiornika w którym po napełnieniu panuje ciśnienie p=0,4[MPa]. Masy
kg kg
cząsteczkowe azotu i tlenu są następujące MN2=28,016[ ] MO2=31,999[ ] .
kmol kmol
Obliczyć udziały masowe i molowe, masę cząsteczkową oraz ciśnienia składnikowe gazów w
zbiorniku.
Rozwiązanie
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości:
gN2=0,5 gSO2
gO2=0,4 gSN2
gH2O= 0,1 xSO2
kg
�� ł�
M =28,016 xSN2
N2
ę�kmolś�
�� ��
kg
�� ł�
MO =31,999 po2
2 ę�kmolś�
�� ��
p=0,4[MPa]. pN2
M
1. Wyznaczenie udziałów masowych składników mieszaniny gazów osuszonych.
Z definicji zasobu masy składników mieszaniny dla gazu przed jego osuszeniem
otrzymano poniższy bilans
3
m =� =� mN +� mO +� mH O
��mi
2 2 2
i=�1
Udziały masowe mieszaniny gazów przed osuszeniem zgodnie z definicją udziału masowego
mi
gi =�
m
są następujące
mN mO mH O
2 2 2
gN =� ; gO =� ;
gH O =�
2 2 2
m m m
Zasób masy mieszaniny gazów po osuszeniu opisany jest poniższym bilansem
2
ms =� =� mN +� mO
��msi
2 2
i=�1
Zatem udziały masowe mieszaniny gazów po osuszeniu są odpowiednio równe:
dla tlenu
mO
2
mO m gO gO
2 2 2
gSO =� =� =� =�
2
ms ms mN mO gN +� gO
2 2
2 2
+�
m
m m
oraz dla azotu
mN
2
mN m gN gN
2 2 2
gSN =� =� =� =�
2
ms ms mN mO gN +� gO
2 2
2 2
+�
m
m m
2. Wyznaczenie masy cząsteczkowej mieszaniny gazów osuszonych:
Uwzględniając zależność określającą masę cząsteczkową mieszaniny:
1
M =�
2
gi
��
M
i=�1
i
otrzymano dla mieszaniny gazów po ich osuszeniu poniższy związek
1
M =�
gSO gSN
2 2
+�
M M
O2 N2
3. Wyznaczenie udziałów molowych mieszaniny gazów osuszonych:
Uwzględniając zależności określające udziały molowe składnika mieszaniny
M
xi =� gi
M
i
otrzymano odpowiednio:
dla tlenu
M
xSO =� gSO ;
2 2
MO
2
dla azotu
M
xSN =� gSN
2 2
M
N2
4. Wyznaczenie ciśnień składników mieszaniny gazów osuszonych:
Uwzględniając zależności określające ciśnienie składników mieszaniny
pi =� xi p
otrzymano:
dla tlenu
M
pO =� xSO p =� gSO p
2 2 2
M
O2
dla azotu
M
pN =� xSN p =� gSN p
2 2 2
M
N2
5. Obliczanie wartości udziałów masowych składnika mieszaniny gazów osuszonych:
gO 4 gN 5
2 2
gSO =� =� =� 0,444 gSN =� =� =� 0,555
2 2
gN +� gO 9 gN +� gO 9
2 2 2 2
6. Obliczanie wartości masy cząsteczkowej mieszaniny gazów osuszonych:
1 1 kg
M =� =� =� 29,675[ ]
gSO gSN 4 5
kmol
2 2
+�
+�
9��31,999 9�� 28,016
M M
O2 N2
7. Obliczanie wartości udziałów molowych składników mieszaniny gazów osuszonych:
M 29,675 M 29,675
xSO =� gSO =� ��0,444 =� 0,412 xSN =� gSN =� ��0,555 =� 0,588
2 2 2 2
M 31,999 M 28,016
O2 N2
8.Obliczanie wartości ciśnień składników mieszaniny gazów osuszonych:
pO =� xSO p =� 0,412��0,4 =� 0,1648[MPa] pN =� xSN p =� 0,588��0,4 =� 0,2352[MPa]
2 2 2 2
Zadanie 2.8
Wyrażenie Pfaffa ma postać
DX = xdy + 2ydx
Znalez
ć czynnik całkujący wyrażenie Pfaffa.
Rozwiązanie
1. Wyznaczenie czynnika całkującego wyrażenia Pfaffa.
Funkcja pierwsza jest równa
X1(x1,x2) = 2y
i odpowiednio zmienna niezależna pierwsza i jej przyrost
x1 = x dx1 = dx
Funkcja druga jest równa
X2(x1,x2) = x
i odpowiednio zmienna niezależna druga i jej przyrost
x2 = y dx2 = dy
Założono, że czynnik całkujący jest funkcją tylko zmiennej niezależnej pierwszej
l� �=� � �l� �(x1) = l� �(x)
Mamy zatem

dlnl� �(x1) = ( - ) dx1

stąd

dlnl� �(x) = ( - ) dx

wykonując różniczkowanie

= 2 oraz = 1

otrzymano

dlnl� �(x) = ( - )dx
zatem

dlnl� �(x) = dx
lub
dlnl� �(x) = dlnx
Całkując powyższe równanie ze stałą całkowania
+"dln ( x )=+"dlnx + lnc
otrzymano
lnl�(x) = lnx + lnc
lub
lnl�(x) = ln(xc)
Zatem czynnik całkujący równy jest
l�(x) = xc
2. Sprawdzenie poprawności rozwiązania.
Mnożąc wyrażenie Pfaffa przez wyznaczony czynnik całkujący otrzymano
różniczkę zupełną.
l�(x)DX = cx2 dy + 2cyxdx
dla której pochodne mieszane muszą być sobie równe.
Pochodne mieszane mają postać
( ) ( )
=

Po obliczeniu ich wartości
2cx = 2cx
stwierdzono ich równość, co dowodzi, że czynnik całkujący został obliczony
prawidłowo.
Zadanie 3.10
Powietrze traktowane tak jak gaz doskonały o zasobie masy m = 3[kg] rozgęszczono w
przemianie izotermicznej odwracalnej zwiększając jego zasób objętości trzykrotnie. Ciśnienie
i temperatura początkowa powietrza są równe p1 = 10[at] i t1 = 300[��C]. Indywidualna stała
J
gazowa powietrza ma wartość R = 287,04 [ ]. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość
kgK
przyrostu ilości ciepła doprowadzonego do układu oraz pracę bezwzględną objętościową i
techniczną rozgęszczania gazu.
Rozwiązanie
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości:
m = 3[kg] "Q
T = const. L
p1 = 10[at] Lt
t1 = 300[o C]
�� ł�
J
R = 287,04
ę�kgK ś�
�� ��
1. Ilustracja układu oraz wykresy przemiany izotermicznej we współrzędnych p, V oraz T, S.
p0
Fs2
V2
p2= ps2+ p0
Fs1 T=const
A
p1= ps1+ p0 V1, T=const
Ilustracja układu cylinder-tłok.
p
p(V, T=const)
p1
Lt
"Q
L
p2
V1 V2 V
L
Ilustracja prac bezwzględnej objętościowej L oraz technicznej Lt przemiany izotermicznej
rozgęszczania powietrza we współrzędnych p, V.
T(S)= const
T
"Q
S1
S2 V
Ilustracja przyrostu ilości ciepła przemiany izotermicznej rozgęszczania powietrza we
współrzędnych
T, S.
1.1 Wyznaczenie ciśnienia statycznego absolutnego.
Ciśnienie statyczne powietrza w układzie pomierzone manometrem:
FS
pS =�
A
Ciśnienie statyczne absolutne powietrza w układzie:
p =� psa =� ps +� p0
gdzie p0 jest ciśnieniem otoczenia.
2. Bilans zasobu energii wewnętrznej dla przemiany odwracalnej.
Pierwsza postać pierwszej zasady termodynamiki określona jest zależnością:
dE1 =� d�Q -�d�L
gdzie praca bezwzględna objętościowa jest równa:
d�L =� pdV
3. Bilans zasobu entalpii dla przemiany odwracalnej.
Druga postać pierwszej zasady termodynamiki określona jest zależnością:
dH =� d�Q -�d�Lt
gdzie praca techniczna jest równa:
d�Lt =� -�Vdp
4. Bilans zasobu energii wewnętrznej dla przemiany izotermicznej.
Zasób energii wewnętrznej gazu doskonałego w układzie substancjalnym określony jest
związkiem:
E1 =� cJ�mT
gdzie:
Dla gazu doskonałego
cJ� =� const.
Dla układu substancjalnego
m =� const.
Dla przemiany izotermicznej
T =� const.
Zatem elementarny przyrost zasobu energii wewnętrznej będzie równy:
dE1 =� 0
i bilans zasobu energii wewnętrznej dla przemiany odwracalnej zredukuje się do postaci:
d�Q =� d�L
5. Bilans zasobu entalpii dla przemiany izotermicznej.
Zasób entalpii gazu doskonałego w układzie substancjalnym określony jest zależnością:
H =� c mT
p
Dla gazu doskonałego
cp =� const.
Dla układu substancjalnego
m =� const.
Dla przemiany izotermicznej
T =� const.
Zatem elementarny przyrost zasobu entalpii będzie równy
dH =� 0
i druga postać pierwszej zasady termodynamiki zredukuje się do postaci:
 dQ =� d�Lt
6. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej w przemianie izotermicznej.
Uwzględniając definicję pracy bezwzględnej objętościowej
d�L =� pdV
oraz równanie izotermy
pV =� p1V1 =� const.
z którego wyznaczono ciśnienie gazu w funkcji zasobu jego objętości
1
p =� p1V1
V
otrzymano:
dV
d�L =� p1V1
V
Całkując powyższe równanie w granicach
V1
L
dV
=� p1V1
��d�L ��
V
0 V2
wyznaczono pracę bezwzględną objętościową:
V1
V2 V2
L =� p1V1 lnV =� p1V1 ln =� mRT1 ln =� mRT1 ln 3
V1 V1
V2
Z powyższych równań wynika, że dla przemiany izotermicznej przyrost ilości ciepła
przemiany równy jest ilości pracy bezwzględnej objętościowej i pracy technicznej
przemiany
D�Q =� L =� Lt
7. Wyznaczenie pracy technicznej i przyrostu ilości ciepła w przemianie izotermicznej
odwracalnej:
V2
D�Q =� Lt =� L =� mRT1 ln =� mRT1 ln 3
V1
8. Rachunek mian dla pracy bezwzględnej objętościowej, technicznej i przyrostu ilości ciepła.
J
[L] =� [Lt ] =� [D�Q] =� kg K =� J
kgK
9. Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej, technicznej i przyrostu ilości ciepła
rozgęszczonego powietrza w przemianie izotermicznej odwracalnej.
D�Q =� L =� Lt =� mRT1 ln3 =� 3�� 287,04��573,15��1,0986 =� 54223[J]
Zadanie 3.12
Powietrze traktowane tak jak gaz doskonały o zasobie masy m=1,5[kg] zostało zgęszczone w
przemianie politropowej od wartości początkowych parametrów stanu pp=0,09[MPa] i
tp=18[oC] do wartości końcowych pk=1[MPa] i tk=125[oC].
Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość wykładnika politropy n, pracę bezwzględną
objętościową L oraz przyrost ilości ciepła przemiany "Q, wiedząc iż indywidualna stała
gazowa powietrza R=287,04

[ ] zaś wykładnik izentropy k=1,4.
Rozwiązanie
Dane: Wyznaczyć a następnie obliczyć
m=1,5[kg] wartości:
pp=0,09[MPa] n
tp=18[oC] L
pk=1[MPa] "Q
Tk=125[oC]
R=287,04[ ]
k=1,4
1. Wykresy przemiany politropowej zgęszczenia powietrza we współrzędnych p,V oraz
T,S.
T
p
p(V, Tk=const) p(V, Tp=const)
pk
Tk
"Q
"Q
pp
Tp
Sk
Vp Sp S
V
Vk
L
Ilustracja pracy bezwzględnej objętościowej
Ilustracja przyrostu ilości ciepła przemiany
przemiany politropow we współrzędnych p, V.
politropowej we współrzędnych T, S.
2. Podstawowe związki określające politropę.
Z definicji ciepło właściwe politropy jest równe

=

Ciepło właściwe politropy w funkcji ciepła właściwego przy stałej objętości, wykładnika
izentropy oraz wykładnika politropy określone jest zależnością:

=

gdzie wykładnik politropy jest równy
c -� cp
n =�
c -� cJ�
zaś równanie politropy opisane jest związkiem
=
3. Wyznaczanie zasobu objętości powietrza przed i po jego zgęszczeniu.
Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona wyznaczono:
początkowy zasób objętości powietrza

=

oraz końcowy zasób objętości powietrza

=

4. Wyznaczanie wykładnika politropy.
Z równania politropy dla stanu początkowego i końcowego, uzyskano związek

" = "
Podstawiając za Vp oraz Vk wielkości określone w punkcie 3

" ( ) = " ( )

otrzymano

( ) = ( )

Logarytmując powyższe wyrażenie

( )
1 - ln = ( )


a następnie przekształcając je do postaci


+ =

wyznaczono wykładnik politropy

=

( )



( )

5. Wyznaczanie przyrostu ilości ciepła przemiany politropowej.
Z definicji ciepła właściwego przemiany politropowej

=

po rozdzieleniu zmiennych i pomnożeniu obustronnie przez zasób masy powietrza
znajdującego się w układzie, otrzymano
=
Ponieważ elementarny przyrost ilości ciepła jest równy
=
zatem
 =
Uwzględniając ciepło właściwe politropy określone związkiem

= "

równanie Meyera
= -
oraz definicję wykładnika izentropy

=

otrzymano w pierwszej kolejności zależność określającą ciepło właściwe przy stałej objętości

=

a następnie ciepło właściwe politropy
( )
= "
( ) ( )
Zatem przyrost ilości ciepła w przemianie politropowej określony jest związkiem
( - )
= " "
( - 1) ( - 1)
Całkując powyższe równanie w granicach
" ( )
= " "
+" +"
( )( )
otrzymano przyrost ilości ciepła w przemianie politropowej.

" = " " " ( - )

6. Wyznaczanie pracy bezwzględnej objętościowej przemiany politropowej.
Z równania politropy
= =
określono ciśnienie w funkcji zasobu objętości

= "
Uwzględniając definicję pracy bezwzględnej objętościowej i ostatni związek, otrzymano
=

Całkując powyższe równanie w granicach

+" =
+"

uzyskano wyrażenie określające pracę bezwzględną objętościową przemiany politropowej


= " [ ( )] = ( ) - ( ) = 1 - ( )( )



7. Obliczenie wartości zasobu objętości powietrza przed zgęszczeniem.
mRTp 1,5�� 287,04(18 +� 273,15)
Vp =� =� =� 1,39291
pp 0,09 ��106
8. Obliczenie wartość zasobów objętości powietrza po zgęszczeniu.
mRTk 1,5 �� 287,04(125 +� 273,15)
Vk =� =� =� 0,171432 [�m3]�
pk 0,09 ��106
9. Obliczenie wartości wykładnika politropy.
1 1
n =� =� =� 1,1494
ln(�125 +� 273,15)�
ć� ��
Tk
ln�� �� 1+�
6,09
�� ��
Tp
lnć� ��
Ł� ł� �� ��
1+�
1
Ł� ł�
pp
ć� ��
�� ��
ln�� ��
pk
Ł� ł�
10. Obliczenie wartość przyrostu ilości ciepła w przemianie politropowej.
R n -� k 287,04(1,194 -�1,4)
D�Q =� �� �� m �� (Tk -� Tp ) =� ��1,5(398,15 -� 291,15) =� 193,191[�kJ]�
k -�1 n -�1 (1,4 -�1)(1,1494 -�1)
11. Obliczenie wartość pracy bezwzględnej objętościowej, przemiany politropowej.
,
0,09 " 10 + 1,39291 1,39291
= 1 - = 1 -
( - 1) 1,1494 - 1 0,171432
= -308,37[ ]