Fraktale
PDF wygenerowany przy użyciu narzędzi open source mwlib. Zobacz http://code.pediapress.com/ aby uzyskać więcej informacji.
PDF generated at: Thu, 08 Apr 2010 11:17:12 UTC
Treść
Artykuły
Paproć Barnsleya 1
Trójkąt Sierpińskiego 4
Przypisy
y
ródła i autorzy artykułu 7
y
ródła, licencje i autorzy grafik 8
Licencje artykułu
Licencja 9
Paproć Barnsleya
1
Paproć Barnsleya
Paproć Barnsleya (paprotka Barnsleya, fraktal liść paproci) - fraktal znany
ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w
naturze, spopularyzowany przez Michaela F. Barnsleya. Jest to przykład
złożonego obiektu, który może być opisany za pomocą zaledwie czterech
przekształceń afinicznych (zob. Barnsley (1993), str. 86) jako atraktor
następującego systemu funkcji zwężających (IFS - system funkcji
iterowanych):
Paproć Barnsley'a
Paproć Barnsley'a
Paproć Barnsleya
2
Przekształcenia IFS
Aby wygenerować fraktal, należy użyć powyższych przekształceń w sposób losowy w następujących proporcjach:
85:7:7:1.
Algorytm
Algorytm generowania tego fraktala polega na procesie iteracji (wielokrotnego przekształcania) współrzędnych
rysowanego punktu. Początkowo losowo wybieramy współrzędne punktu, a następnie również losowo wybieramy
jedno z przekształceń afinicznych z odpowiednim prawdopodobieństwem. Po obliczeniu nowych współrzędnych
punktu, proces powtarzamy określoną ilość razy.
Przykładowy program
Paproć Barnsleya
3
Program napisany w Matlabie generujący
paproć widoczną na animacji obok:
for max_step=[1000 10000 50000 100000 500000];
x=zeros(1,max_step);
y=zeros(1,max_step);
for n=1:max_step
r=rand();
if r<=0.01
x(n+1)=0;
y(n+1)=0.16*y(n);
elseif r<=0.08
x(n+1)=0.2*x(n)-0.26*y(n);
y(n+1)=0.23*x(n)+0.22*y(n)+1.6;
Animacja przedstawiająca paproć Barnsley'a dla różnej liczby powtórzeń
elseif r<=0.15
algorytmu IFS.
x(n+1)=-0.15*x(n)+0.28*y(n);
y(n+1)=0.26*x(n)+0.24*y(n)+0.44;
else
x(n+1)=0.85*x(n)+0.04*y(n);
y(n+1)=-0.04*x(n)+ 0.85*y(n)+1.6;
end
end
plot(x,y,'.','Color','g','MarkerSize',1)
title(['N = ' num2str(max_step)])
drawnow
pause(0.5)
end
Literatura
" Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993.
ISBN 0-12-079061-0
Linki zewnętrzne
" Paproć Barnsleya [1] (ang.) w encyklopedii MathWorld
Zobacz też
" fraktal
" grafika fraktalna
" przekształcenie afiniczne
" odwzorowanie Hutchinsona
" odwzorowania zwężające
Paproć Barnsleya
4
Przypisy
[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ BarnsleysFern. html
Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest
jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem
tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była
podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.[1]
Trójkat Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
Trójkąt Sierpińskiego jest samopodobny
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.
Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby[2] .
Definicja formalna
Niech będzie trójkątem ABC.
" Dzieląc na cztery mniejsze trójkąty i , gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta ,
traktując jako zbiór otwarty, a trójkąty za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: i
. Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np zawiera dokładnie jeden punkt
 środek odpowiedniej krawędzi).
" Każdy trójkąt dzieli się na cztery mniejsze trójkąty i w podobny sposób.
" Każdy trójkąt dzieli się na cztery mniejsze trójkąty i , i tak dalej.
Trójkąt Sierpińskiego
5
Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te
punkty trójkąta ABC, które nie są
elementami zbioru
Trójkąt Sierpińskiego
Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1.585...
Trójkąt Sierpińskiego
6
Reprezentacja cyfrowa
Każdy ciąg (gdzie ) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt
w zbiorze . Odwrotnie, dla każdego punktu można znalez
ć taki ciąg określający ten
punkt, tzw reprezentację cyfrową punktu . Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt
trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju ma
reprezentację i jednocześnie reprezentację .
Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos
Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt
równoboczny ABC, i definiujmy D0 := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację:
losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między Dn i wybranym
punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1. Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta
Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D0, D1,...}.
Jeśli wybieramy D0 nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy
(prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D0 należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden
punkt Dn do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów
skupienia ciągu (D0, D1, ...).
Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony
trójkąt Sierpińskiego, tzn obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.
Zobacz też
" przegląd zagadnień z zakresu matematyki
" zbiór Cantora
" dywan Sierpińskiego
" piramida Sierpińskiego
" kostka Mengera
" gra w chaos
" fraktal
Linki zewnętrzne
" Trójkąt Sierpińskiego [3] (ang.) w encyklopedii MathWorld
Przypisy
[1] W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, "C. R. Acad. Sci. Paris" 160 (1915): 302-305
[2] Math Forum: Pascal's Triangle (http:/ / mathforum. org/ workshops/ usi/ pascal/ pascal_sierpinski. html)
[3] http:/ / mathworld. wolfram. com/ SierpinskiSieve. html
y
ródła i autorzy artykułu
7
y
ródła i autorzy artykułu
Paproć Barnsleya y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20257192 Autorzy: Beaumont, Gknor, Kuszi, Pbnan, Stepa, Stotr, 2 anonimowych edycji
Trójkąt Sierpińskiego y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20989156 Autorzy: 4C, Akramm, Al matach, Alef, Byczek1, Chymatioq, Googl, Jersz, Joi, Kirq, Kuszi, Olaf,
Pernambuko, Petryk, Piotr Gasiorowski, Rjt, Rosomak, Sblive, Skotos, Stanmar, Stepa, Stotr, Taw, Trang Oul, TreeBeen, Triskaidekafil, Turkusowy smok, Urzyfka, Youandme, Z, conversion
script, Żbiczek, 21 anonimowych edycji
y
ródła, licencje i autorzy grafik
8
y
ródła, licencje i autorzy grafik
Plik:Bransleys fern.png y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Bransleys_fern.png Licencja: GNU Free Documentation License Autorzy: User:Kimbar
Plik:Fractal fern1.png y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal_fern1.png Licencja: Public Domain Autorzy: Adam Mih�lyi
Plik:Fractal fern explained.png y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal_fern_explained.png Licencja: Public Domain Autorzy: António Miguel de Campos -
Plik:Fractal fern-Barnsley animation.gif y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal_fern-Barnsley_animation.gif Licencja: Public Domain Autorzy: Original uploader was
Gknor at pl.wikipedia
Plik:Sierpinski-zoom4-ani.gif y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Sierpinski-zoom4-ani.gif Licencja: Public Domain Autorzy: self Georg-Johann Lay
Plik:Animated construction of Sierpinski Triangle.gif y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif Licencja: GNU Free
Documentation License Autorzy: Original uploader was Dino at en.wikipedia (Original text : dino (talk))
Plik:Sierpinski triangle evolution.svg y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Sierpinski_triangle_evolution.svg Licencja: Public Domain Autorzy: AnonMoos, D-Kuru, Juiced
lemon, Wereon
Plik:SierpinskiTriangle.PNG y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:SierpinskiTriangle.PNG Licencja: Public Domain Autorzy: AVRS, D-Kuru, Nol Aders,
PiAndWhippedCream, Saperaud, 9 anonimowych edycji
Licencja
9
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/