PRZESTRZEC
WEKTOROWA (LINIOWA)
Def. 1
(X, K, �", ") X `" ", K - ciało
�" : X � X X (�" to działanie wewnętrzne w zbiorze X)
" : K � X X (" to działanie zewnętrzne w zbiorze X)
Strukturę (X, K, �", ") nazywamy przestrzenią wektorową :�!
1) Struktura (X, �") jest grupą abelową
2) "x,y " X "ą " K: ą " (x �" y) = (ą " x) �" (ą " y)
"ą,� " K "x " X : ( ą �"�) " x = ą " (� " x)
3)
'" (ą + �) " x = (ą " x) �" (� " x)
4) "x " X 1 " x = x
Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K  skalarami.
Przyjmujemy umowę:
x - wektor
X - przestrzeń wektorowa
Przykład 1
3
( R , R , �", ")
Definiujemy działania:
3
" (x1, y1, z1) �" (x2, y2, z2) := (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
R
R " ą" (x, y, z) := (ą x, ą y, ą z)
3
Sprawdzamy czy ( R , R , �", ") jest przestrzenią wektorową.
3
Czy ( R , �") jest grupą abelową?
[(x1, y1, z1) �" (x2, y2, z2)] �" (x3, y3, z3) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) �"
(x3, y3, z3) =(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2+y3), z1 + (z2 +z3)) = (x1, y1, z1) �"
[(x2, y2, z2) �" (x3, y3, z3)]
wniosek: działanie �" jest łączne
Z przemienności dodawania wynika przemienność działania �".
Elementem neutralnym działania �" jest 0 =(0, 0, 0)
Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z)
bo (x, y, z) �" (-x, -y, -z) = (0, 0, 0) '" (-x, -y, -z) �" (x, y, z) = (0, 0, 0)
3
Więc struktura ( R ,�") jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo
sprawdzić.
3
Wniosek: ( R , R , �", ")  jest przestrzenią wektorową.
Przyjmujemy umowę:
Zamiast �" piszemy +, a zamiast " piszemy  �" i przestrzeń wektorową
zapisujemy: (X, K, +, �")
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Def. 2
Element neutralny działania + nazywamy wektorem zerowym i
oznaczamy: 0
Przykład 2
X `" " F(X, R ) = {f: f: X R } -- zb. odwzorowań
(F(X, R ), R , +, �")
Definiujemy działania:
+ : F(X, R ) � F(X, R ) F(X, R )
f, g " F(X, R )
f + g = h :�! "x " X : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = h(x)
ą �" f = g :�! "x"X (ą �" f)(x) = ą �" f(x)
W tym przypadku wektorami są odwzorowania.
F(X, R ) " 0 : "x " X 0(x) = 0 (Wektorem zerowym jest odwzorowanie!)
A
atwo zauważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura
(F(X, R ), R , +, �") jest przestrzenią wektorową.
Def. 3
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
U `" ", U �" X
Strukturę (U, K, +, �") nazywamy podprzestrzenią wektorową przestrzeni X
:�!
1) "x, y" U : (x + y)" U
2) "ą " K "x " U : (ą �" x)" U
Przykład 3
(R3, R, +, �")  przestrzeń wektorowa (patrz: Przykład 1)
3
a). U := {(x, y, z)" R : x + y + z = 0}
3
Sprawdzamy, czy (U, R , +, �") jest podprzestrzenią przestrzeni R .
U `" " ponieważ np. (1, 0, 1) " U
U " x = (x1, y1, z1) �! x1 + y1 + z1 = 0
U " y = (x2, y2, z2) �! x2 + y2 + z2 = 0
Pytamy, czy x + y "U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
x1 + x2 + y1 + y2 + z1 +z2 = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0
Teraz pytamy, czy ą �" x " U (drugi warunek podprzestrzeni)
ą �" x = ą�"(x, y, z) = (ąx, ąy, ąz)
ąx + ąy + ąz = ą(x + y +z) = ą�"0 = 0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Wniosek: ponieważ spełnione są obydwa powyższe warunki to (U, R ,+, �")
3
jest podprzestrzenią przestrzeni R
3
b). V := {(x, y, z)" R : x + y + z = 1}
Sprawdzamy, czy struktura (V, R, +, �") jest podprzestrzenią przestrzeni
3
R .
V `" " ponieważ np. (1, -1, 1) " V
V " x = (x1, y1, z1) �! x1 + y1 + z1 = 1
V " y = (x2, y2, z2) �! x2 + y2 + z2 = 1
Pytamy, czy x + y "U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
x1+x2 + y1+y2 + z1+z2 = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 1 + 1 = 2 `" 1
Wniosek: Ponieważ powyższy warunek nie jest spełniony to (V, R, +, ) nie
3
jest podprzestrzenią przestrzeni R .
Twierdzenie 1
Każda podprzestrzeń przestrzeni wektorowej jest przestrzenią wektorową.
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa,
U `" " '" U �" X
(U, K, +, �")  podprzestrzeń wektorowa przestrzeni X
T: (U, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
Własności działań w przestrzeni wektorowej.
1) "x " X : x �"0 = 0
2) "ą " K : ą �" 0 = 0
3) "ą " K "x " X : - (ą �" x) = (-ą) �" x = ą �"(-x)
4) "ą " K "x " X : ą �" x = 0 �! ą = 0 (" x = 0
5) "ą `" 0"x, y " X : ą �" x = ą �" y �! x = y
6) "ą,� " K"x `" 0 : ą �" x = � �" x �! ą = �
Twierdzenie 2 (Warunek konieczny i wystarczający na podprzestrzeń).
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
U `" " '" U �" X
T: (U, K, +, �") jest podprzestrzenią przestrzeni X �!
"ą,� " K"x, y " U : (ą �" x + � �" y) " U
Twierdzenie 3
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
U `" " '" U �" X
T: (U, K, +, �") jest podprzestrzenią przestrzeni X
�!"ą1,ą2,...,ąn " K"x1, x2,..., xn " U : (ą1�" x1 + ą2 �" x2 +...+ ąn �" xn)" U
Def. 4
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
x1,x2,...,xn " X '" ą1,ą2,...,ąn " K
x = ą1�" x1 + ą2 �" x2 + ... + ąn �" xn
Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x1, x2,..., xn
ą1,ą2,...,ąn - nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.
Def. 5
(X, K, +,�")  przestrzeń wektorowa
x1,x2,...,xn " X - wektory z przestrzeni X
n
2
Wektory x1,x2,...,xn są liniowo zależne :�! "ą1�" x1 + ą2 �" x2 + ...+ ąn �" xn = 0 '" Ł ąi > 0
i=1
Def. 6
(X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
x1,x2,...,xn " X
Wektory x1,x2,...,xn są liniowo niezależne :�! nie są liniowo zależne
(:�! ą1�" x1 + ą2 �" x2 +...+ ąn �" xn = 0 �! ą1,ą2,...,ąn = 0 )
Przykład 4
3
( R , R , +, �")  przestrzeń wektorowa
a). u = (0,1,1) v = (1,0,0) w = (1,1,1)
Sprawdzamy, czy wektory u, v, w są liniowo zależne/niezależne
Pytamy kiedy ą �" u + � �" v + ł �" w = 0
ą(0,1,1) + �(1,0,0) + ł(1,1,1) = (0,0,0)
(0,ą,ą) + (�,0,0) + (ł,ł,ł) = (0,0,0)
(�+ł, ą+ł, ą+ł) = (0,0,0)
Otrzymujemy układ równań:
� + ł = 0
ńł
�ł
�łą + ł = 0
�łą + ł = 0
ół
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
ńłą = -t
�ł
t" R
�ł� = - t
�łł = t
ół
Czyli "ą,�,ł : ą`"0 v �`"0 v ł`"0 : ą �" u + � �" v + ł �" w = 0
Np. dla t=2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
ńłą = -2
�ł
�ł� = - 2
�łł = 2
ół
Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo zależne.
b). u = (3,2,-1) v = (1,-2,1) w = (1,1,1)
Pytamy kiedy ą �" u + � �" v + ł �" w = 0
ą(3,2,-1) + �(1,-2,1) + ł(1,1,1) = (0,0,0)
(3ą+�+ł, 2ą-2�+ł, -ą+�+ł) = (0,0,0)
Otrzymujemy układ równań:
ńł- ą + � + ł = 0
�ł2ą - 2� + ł = 0
�ł
�ł3ą + � + ł = 0
ół
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
ńłą = 0
�ł
�ł� = 0
�łł = 0
ół
Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4
Z: (X, K, + ,�")  przestrzeń wektorowa
x1,x2,...,xn " X - liniowo niezależne
T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x1,x2,...,xn to współczynniki tej
kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do
kolejności)
Czyli
Jeżeli:
x = ą1�" x1 + ą2 �" x2 + ... + ąn �" xn '" x = �1�" x1 + �2 �" x2 + ... + �n �" xn
to:
ą1=�1'"ą2=�2'"...'"ąn=�n
Twierdzenie 5
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
x1,x2,...,xn " X
T: Wektory x1,x2,...,xn są liniowo zależne �! przynajmniej jeden z nich jest
kombinacją liniową pozostałych (�! "i : xi = ą1x1 + ...+ ąi-1xi-1 + ąi+1xi+1 + ...+ ąnxn ).
Wnioski:
1) Jeżeli wektory są liniowo niezależne to żaden z nich nie jest
kombinacją liniową pozostałych,
2) Zespół wektorów: x1,x2,...,0,...,xn jest liniowo zależny.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Def. 7
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
A �" X '" A `" "
Liniową powłoką zbioru A nazywamy zbiór:
LinA : = {x " X: "ą1,ą2,...,ąn " K:"x1,x2,...,xn " A: x = ą1�" x1 + ą2�" x2 + ...+ ąn �" xn
Czyli:
LinA to zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A.
Twierdzenie 6
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
A `" " '" A �" X
T: ( LinA , K, +, �") jest podprzestrzenią przestrzeni X (czyli dla siebie
przestrzenią)
Def. 8
Z: (X, K, +, �")
A `" " '" A �" X
T: ( LinA , K, +, �")  nazywamy przestrzenią generowaną przez zbiór A
Def. 9
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa, A `" "
Zbiór A nazywamy bazą przestrzeni wektorowej jeżeli:
1) LinA = X (każdy wektor z X daje się przedstawić jako kombinacja liniowa
wektorów z A)
2) "x1,x2,...,xn " A wektory x1,x2,..,xn są liniowo niezależne
Przykład 5
3
Z: ( R , R , +, �")
A = {u = (3,2,-1), v = (1,-2,1), w = (1,1,1)}
3
Sprawdzamy, czy A jest bazą przestrzeni R .
3
Pytamy, czy LinA = R
3
R " (x, y, z) = ą(3, 2, -1) + �(1, -2, 1) + ł(1, 1, 1)
(3ą+�+ł, 2ą-2�+ł, -ą+�+ł) = (x, y, z)
Otrzymujemy układ równań:
ńł- ą + � + ł = z
�ł
�ł2ą - 2� + ł = y
�ł3ą + � + ł = x
ół
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
1 1
ńłą = x - z
4 4
�ł� = 1 x - 1 y + 1 z
�ł
4 3 12
�łł = 1 y + 2 z
ół 3 3
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
1 1 1 1 1
Czyli: (x, y, z) = ( x - z )�"(3, 2, -1) + ( x - y + z )�"(1, -2, 1) +
4 4 4 3 12
1 2
( y + z )�"(1, 1, 1)
3 3
3
Wniosek: LinA = R
Liniową niezależność wektorów u, v, w sprawdziliśmy w przykładzie 4 b).
3
Wniosek: A jest bazą przestrzeni R .
Uwaga
Każdy podzespół zespołu wektorów liniowo niezależnych jest zespołem
wektorów liniowo niezależnych (ale NIE NA ODWRÓT).
Twierdzenie 7
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
T: Każda niezerowa (nie złożona tylko z 0 ) przestrzeń wektorowa posiada
bazę.
Ponadto:
Jeżeli istnieje baza skończona i x1, x2 ,..., x " X stanowią bazę X oraz
n
y1, y2,..., yn też stanowią bazę to n = k.
Def. 10
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
Jeżeli przestrzeń posiada bazę złożoną ze skończonej liczby wektorów to
mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa i ilość wektorów w
bazie nazywamy wymiarem przestrzeni dim X = n
Jeżeli przestrzeń posiada bazę z nieskończoną ilością wektorów to jest
nieskończenie wiele wymiarowa (dim X = +").
Jeżeli przestrzeń składa się tylko z wektora zerowego to przyjmujemy z
definicji: dim{0}:=0
Def. 11
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
Reperem bazowym (krótko: bazą) nazywamy bazę, w której ustaliliśmy
kolejność wektorów.
Def. 12
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
B = {e1,e2,...,en}  reper bazowy i wektor x " X przedstawiamy jako
x = ą1e1 + ą2e2 + ...+ ąnen to
ą1,ą2,...,ąn nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B (względem
bazy B) i stosujemy zapis x=[ą1,ą2,...,ąn ]B
Przykład 6
3
Z: ( R , R , +, �")
3
A = (u = (3,2,-1), v = (1,-2,1), w = (1,1,1)) - baza R
Znalez
ć współrzędne wektora (4, 4, 8) w bazie A.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
(4, 4, 8) = ą(3, 2, -1) + �(1, -2, 1) + ł(1, 1, 1)
Korzystając z przykładu 5 mamy:
1 1
ńłą = x - z
4 4
�ł� = 1 x - 1 y + 1 z
�ł
4 3 12
�łł = 1 y + 2 z
ół 3 3
Czyli:
20 1 20
(4,4,8) = -(3,2,-1) + 1 (1,-2,1) + (1,1,1) = [-1, , ]B
3 3 3 3
Przykład 7
Przy założeniach z poprzedniego przykładu: znalez
ć wektor, którego
współrzędne w bazie A wynoszą [1,-1,2]A.
(x, y, z) = [1,-1,2]A = 1(3,2,-1) + (-1)(1,-2,1) + 2(1,1,1) = (4,6,0)
Czyli: (x, y, z) = (4,6,0)
Przykład 8
3
( R , R , +, �")
B = (e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1))
3
Sprawdzamy, czy B jest bazą przestrzeni R .
3
Pytamy, czy wektory bazowe generują całą przestrzeń R .
(x, y, z) = ą(1,0,0) + �(0,1,0) + ł(0,0,1) = (ą, �, ł)
x =
ńł ą
�ły = �
3
Wniosek: wektory z B generują całą przestrzeń R .
�ł
�łz = ł
ół
Pytamy, czy wektory e1,e2,e3 są liniowo niezależne.
ą(1,0,0) + �(0,1,0) + ł(0,0,1) = (0,0,0)
(ą, �, ł) = (0,0,0)
ńłą = 0
�ł
Wniosek: wektory z B są liniowo niezależne.
�ł� = 0
�łł = 0
ół
3
Czyli: B jest bazą przestrzeni R .
Współrzędne wektora w bazie B:
(x, y, z) = [x, y, z]B  bazę taką nazywamy bazą kanoniczną.
n
Baza kanoniczna przestrzeni ( R , R , +, �") ma postać:
B = (e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0),..., en = (0,0,...,1))
Wnioski:
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa dim X = n
a) każdy zespół n+1 wektorów jest liniowo zależny
b) każdy zespół n wektorów które generują przestrzeń jest
liniowo niezależny
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 8 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
c) każdy zespół n wektorów liniowo niezależnych generuje
przestrzeń
Uwaga
1) Jeśli znamy wymiar przestrzeni n to aby sprawdzić czy n
wektorów jest bazą przestrzeni wystarczy sprawdzić jeden z dwóch
warunków na bazę (albo liniową niezależność, albo czy generują całą
przestrzeń).
2) Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa , dim X = n
U �" X , U  podprzestrzeń przestrzeni X
To: n e" dim U
dim U = n �! U = X
Def. 13
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
(X1, K, +, �"), (X2, K, +, �")  podprzestrzenie przestrzeni X
Sumą dwóch podprzestrzeni nazywamy zbiór
X1 + X2 := {x " X : "x1 " X1 '" "x2 " X2 : x = x1 + x2}
Twierdzenie 8
Jeżeli: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
(X1, K, +, �"), (X2, K, +, �")  podprzestrzenie przestrzeni X
To:
1) (X1+X2, K, +, �")  jest podprzestrzenią przestrzeni X.
2) (X1)"X2, K, +, �")  jest podprzestrzenią przestrzeni X
Uwaga
Unia dwóch podprzestrzeni (X1*"X2) na ogół nie jest podprzestrzenią.
Przykład 9
2
( R , R , +, �")
2
X1={(0, y): y" R } (X1, R , +, �")  podprzestrzeń R
2
X2={(x, 0): x" R } (X2, R , +, �")  podprzestrzeń R
e1 " X1 e1 = (0,1) �! e1 " (X1 *" X2 )
e2 " X2 e2 = (1,0) �! e2 " (X1 *" X2)
e1 + e2 = (1,1) "(X1 *" X2)
Def. 14
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
(X1, K, +, �"), (X2, K, +, �")  podprzestrzenie przestrzeni X
Sumą prostą podprzestrzeni X1�"X2 nazywamy zbiór:
X1 �" X2 := {x " X : "!x1 " X1 '" "!x2 " X2 : x = x1 + x2}
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Twierdzenie 9
Suma dwóch podprzestrzeni jest sumą prostą �! częścią wspólną
podprzestrzeni jest wektor zerowy.
X1 �" X2 = X1 + X2 �! X1 )" X2 = {0}
Def. 15
Z: (X, K, +, �")  przestrzeń wektorowa
X1  podprzestrzeń przestrzeni X oraz
X2 taka podprzestrzeń przestrzeni X, że: X2: X=X1�"X2 to
X2 nazywamy przestrzenią uzupełniającą przestrzeni X1
Twierdzenie 10
Każda podprzestrzeń posiada przestrzeń uzupełniającą.
Twierdzenie 11
1) dim (X1+X2) = dim X1 + dim X2  dim (X1)"X2)
2) dim (X1�"X2) = dim X1 + dim X2
Wniosek:
X = X1 �" X2 �! dim X = dim X1 + dim X2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa