Przestrzeń wektorowa
1. Pojęcia podstawowe
Wektor
Przyjmujemy, \
e Vk jest zbiorem ciągów k wyrazowych [x1 , x2 , & , xk]; ciągi te

nazywamy wektorami i oznaczamy symbolicznie u , v & ..
Wektory równe
Przyjmujemy, \
e wektory są równe, gdy mają te same współrzędne, czyli

u = v wtedy i tylko wtedy, gdy u1 = v1 , u2 = v2 , , & , uk = vk.
Suma wektorów. Iloczyn wektora przez liczbę
W zbiorze wektorów (ciągów ) definiujemy dodawanie i mno\
enie wektora przez
liczbę następująco:

a) je\
eli u = [u1 , u2 , & , uk] oraz v = [v1 , v2 , & , vk] ,

to u + v = [u1 + v1, u2 + v2, & , uk + vk];

b) Ä… u = [Ä… u1 , Ä… u2 , & , Ä… uk], dla Ä… " R.
Składowe wektora

Je\
eli u = [u1 , u2 , & , uk] jest wektorem przestrzeni Vk, to liczby u1 , u2 , & , uk

nazywamy składowymi wektora u .
Wektor zerowy. Wektory przeciwne

a) Wektor [ 0, 0, & , 0] = 0 o zerowych składowych nazywamy wektorem zerowym.

b) Wektor -1 u = - u = [- u1 , - u2 , & , - uk] nazywamy wektorem przeciwnym do

wektora u .
Wektorowa interpretacja ró\
nych sytuacji
Zestaw zakupów: 4 bułki, 1 piwo, 0,3kg cytryn, 3 czekolady, 5 lodów mo\
na opisać
wykorzystując pojęcie wektora jako [ 4; 1; 0,3; 3; 5 ].
Podobnie kurs walut (kupno):
USD/PLN 2.8905 , EUR/PLN 4.2150 , CHF/PLN 2.7909 , EUR/USD 1.4570 opisuje wek-
tor [2.8905 , 4.2150 , 2.7909 , 1.4570].
Geometrycznie: wektor [2, 6] przestrzeni V2 w układzie współrzędnych na płasz-
czyz
nie reprezentuje strzałka (rys., kolor czerwony).
Kombinacja liniowa wektorów
Kombinacją liniową n - wektorów x1 , x2 , & , xn przestrzeni Vk (ka\
dy z
wektorów ma więc k składowych) o współczynnikach ą1, ą2 , & , ąn nazywamy
wektor
n
x = Ä…1 x1 + Ä…2 x2 + & + Ä…n xn , inaczej x = xi .
"Ä…i
i = 1
Zale\
ność, niezale\
ność układu wektorów
Wektory x1 , x2 , & , xn sÄ… liniowo niezale\
ne, gdy dla dowolnych
współczynników ą1, ą2 , & , ąn zachodzi warunek:
Ä…1 x1 + Ä…2 x2 + & + Ä…n xn = 0
c
c
c
c
Ä…1= Ä…2 = & = Ä…n = 0
W przeciwnym przypadku mówimy, \
e wektory te sÄ… liniowo zale\
ne.
Twierdzenie
Wektory x1 , x2 , & , xn sÄ… liniowo zale\
ne, gdy istniejÄ… liczby Ä…1, Ä…2 , & , Ä…n nie
wszystkie równe 0 oraz takie, \
e Ä…1 x1 + Ä…2 x2 + & + Ä…n xn = 0 .
2. Przykłady
Przykład 1.
Poka\
, \
e ka\
dy wektor [p, q] jest kombinacją liniową wektorów [1, -2], [2, 3].
Udowodnimy ten fakt, gdy wska\
emy takie liczby Ä…1, Ä…2 , aby Ä…1 [1, -2] + Ä…2 [2, 3] = [p, q].
To równanie prowadzi do układu równań
Å„Å‚ Ä…1 + 2Ä…2 = p
òÅ‚- 2Ä…1 + 3Ä…2 = q
ół
Ten układ ma zawsze rozwiązanie. Jest nim para liczb
3p - 2q 2 p + q
(Ä…1, Ä…2 ) = ( , ).
7 7
Zatem ka\
dy wektor [p, q] jest kombinacją liniową wektorów [1, -2], [2, 3].
Przykład 2.
Poka\
, \
e wektory x1 = [1, -2], x2 = [ 2, 3] sÄ… liniowo niezale\
ne.
Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi i takimi, \
e a x1 + b x2 = 0 .
Czyli a [1, -2] + b [ 2, 3] = [0, 0]
Z definicji iloczynu wektora przez liczbÄ™ mamy
[1a, -2a] + [ 2b, 3b] = [0, 0]
Z definicji sumy wektorów
[1a + 2b, -2a+ 3b] = [0, 0]
Z definicji równości wektorów otrzymujemy układ równań
a + 2b = 0 i -2a+ 3b = 0
Jedynym rozwiązaniem tego układu jest para liczb (a, b) = (0, 0).
Pokazaliśmy, \
e a [1, -2] + b [ 2, 3] = [0, 0] Ô! a = 0 i b = 0. Zgodnie z podanym twierdze-
niem układ wektorów [1, -2], [ 2, 3] jest układem liniowo niezale\
nym.
3. Baza przestrzeni wektorowej
Definicja
Wymiarem liniowej przestrzeni wektorowej nazywamy największą liczbę liniowo
niezale\
nych wektorów tej przestrzeni.
Oznaczamy tÄ™ liczbÄ™ symbolem dimV.
Twierdzenie
dim Rn = n, czyli wymiar przestrzeni wektorów o n składowych wynosi n.
Definicja

0
dim { } = 0, czyli wymiar przestrzeni utworzonej z jednego wektora zerowego jest 0.
Definicja
Ka\
dy układ n liniowo niezale\
nych wektorów przestrzeni n - wymiarowej nazywamy
bazÄ… tej przestrzeni.
Przykład 3.

u1 u2 u3
Poka\
, \
e układ wektorów = [1, 0, 0], = [2,1,0], = [3,2,1] jest bazą
przestrzeni R3.

u1 u2 u3
Wystarczy sprawdzić, \
e wektory , , tworzą układ liniowo niezale\
ny,
czyli pokazać, \
e jedynym rozwiązaniem równania:
ą1[1, 0, 0] +ą2 [2, 1, 0] +ą3[3, 2, 1] = [0, 0, 0] jest trójka liczb (ą1, ą2 , ą3, ) = (0, 0, 0).
Rzeczywiście tak jest, zatem układ wektorów:
[1, 0, 0], [2, 1, 0], [3, 2, 1] jest bazÄ… przestrzeni R3.
Twierdzenie
Ka\
dy wektor przestrzeni wektorowej n - wymiarowej jest kombinacjÄ… liniowÄ…
wektorów bazy tej przestrzeni.
Inaczej:


b1 b2 bn
x
Je\
eli , , & , jest bazÄ… przestrzeni Vn oraz jest dowolnym

x
wektorem "Vn to istniejÄ… takie liczby x1, x2, & , xn, \
e


b1 b2 bn
x
= x1 + x2 + & + xn .

x
Taki rozkład wektora jest jednoznaczny. Liczby x1, x2, & , xn nazywamy


b1 b2 bn
x
współrzędnymi wektora w bazie , , & , .
Definicja

b1 b2 bn
BazÄ™ = [1, 0, 0 & 0], = [0, 1, & 0] , = [ 0, 0, & , 1] przestrzeni Rn
nazywamy bazÄ… standardowÄ… (podstawowÄ…) przestrzeni Rn .
Przykład 4.

x
Wyznacz współrzędne wektora = [1,4] w bazie
a) [1,-1], [2, 3],
b) standardowej.

x
a) Współrzędnymi wektora = [1,4] w bazie
[1,-1], [2, 3], są takie liczby c1, c2, które spełniają równanie:
c1 [1,-1] + c2[2, 3] = [1,4], czyli [ c1 + 2c2, - c1 + 3 c2] = [1, 4].
Skoro wektory są równe, więc ich odpowiednie składowe są równe, zatem mamy
układ równań:
 c1+ 2c2 = 1
i - c1 +3c2 = 4
Jego rozwiÄ…zaniem jest para liczb (c1, c2) = (-1, 1).

x
Zatem = [-1,1] w bazie [1,-1], [2, 3].

x
b) W bazie standardowej współrzędnymi wektora są liczby: 1 (pierwsza), 4 (druga);

x
zatem = [1,4] .
Ćwiczenia
1. a) Dobierz tak liczby x, y, by ka\
dy z wektorów:
[ 2x , -3y], [2x  y, 4x  2y], [ -4x + 3y -2, x  y +5] był równy wektorowi [-3, 4].
b) Przedstaw te wektory w układzie współrzędnych.
2. W banku Och-Ach ulokowały swoje oszczędności osoby A: 230 zł, B: 85 zł; C: 100 zł. Za-
rząd banku postanowił zwiększyć ich wkłady o 20%. Jednak urzędnik zmniejszył o 20%.
zamiast je zwiększyć. Gdy pomyłka wyszła na jaw, postanowił ka\
dÄ… z otrzymanych po
zmniejszeniu kwot zwiększyć o 20%. Jak sądzisz, czy klienci banku dostrzegli skutki tych
operacji bankowych. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
3. W ciÄ…gu jednego dnia kurs walut USD/PLN: 2.89 , EUR/PLN: 4.21 , CHF/PLN: 2.79 ,
EUR/USD: 1.45 zmienił się następująco: USD/PLN: 0,01ę!, EUR/PLN: 0,02 ,
CHF/PLN: 0,03 , EUR/USD: 0,02ę!. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
4. Stan wód w zbiornikach A, B, C, D, E opisuje wektor [ 4, -3, 0, 5, 1]. Po ostatnich opadach
stan wód w tych zbiornikach opisuje wektor [ 3, 3, 5, 4, -2]. Scharakteryzuj zaszłe zmia-
ny. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
5. Paragon zakupów przedstawia ile produktów kupiono, ceny jednostkowe tych produktów,
kwotę płaconą za dany produkt oraz pobierany podatek VAT w procentach. Wybierz kilka
produktów i ułó\
paragon zakupów. Opisz tę sytuację w języku wektorów.
 6. Przedstaw wektor [ -3, 2, 0] jako kombinację liniową wektorów:
a) [ -2, 1, 0], [ 0, 2, -1], [ 0, 1, 1] , b) [ -2, 0, 0], [ 0, 0, -1], [ 0, 3, 0] .
7. Zinterpretuj geometrycznie w układzie współrzędnych:
a) sumę wektorów [ -2, 1], [ 2, 6],
b) iloczyn wektora [ -2, 1] przez liczbÄ™ 3; wektora [ 2, 6] przez liczbÄ™ -2; wektora [ -2, 1]
przez liczbÄ™ 0; wektora [ 2, 6] przez liczbÄ™ -1.
8. Poka\
, \
e układ wektorów [ -2, 1, 3], [ -4, 2, 6], [ 6, -3, -9] jest układem liniowo zale\
-
nym.
9. Poka\
, \
e układ wektorów [ -2, 1], [ 2, 6] jest układem liniowo niezale\
nym. Zinterpretuj
ten fakt geometrycznie w układzie współrzędnych.
10. Wska\
kilka baz przestrzeni: a) R2 , b) R4.