Przestrzenie wektorowe n-wymiarowe
Liniowa zależność wektorów w Rn
1. Wektory (1, -2), (1, 1) przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów:
(a) (1, 0) , (0, 1) .
(b) (-1, 2) , (1, 0) .
2. Wektory (3, -2, 5), (0, 1, 0) przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów:
(a) (3, -2, 5) , (0, -1, -1) .
(b) (3, -2, 5) , (1, 1, 1) , (0, -5, 2) .
(c) (1, -2, 3) , (1, 0, 1) , (-1, -2, 1) .
3. Zbadać liniową zależność następującego układu wektorów przestrzeni R2 :
(a) (3, 2) , (-6, -4).
(b) (1, -4) , (2, 1).
4. Zbadać liniową zależność następującego układu wektorów przestrzeni R3 :
(a) (1, 0, 2) , (1, 3, 0), (1, 1, 1).
(b) (5, -1, 1) , (-1, 2, 6).
(c) (4, -2, 0) , (-2, 1, 0).
(d) (2, 3, 1) , (3, 2, 0) , (7, 8, 2) .
(e) (1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0) .
5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a " R takie, że układ wektorów
(1, 2, 2a) , (3, 2, 1) , (2, 0, a)
jest liniowo niezależny w R3.
1
6. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m dla których układ wektorów
(1, 2, 0) , (2, -1, -1) , (0, m, 2)
jest liniowo zależny R3.
Baza przestrzeni wektorowej
7. Sprawdzić czy następujący układ wektorów stanowi bazę przestrzeni wektorowej
V :
(a) ((0, -1) , (1, -1)); V = R2.
(b) ((2, -3) , (-4, 6)).
(c) ((1, 0) , (1, -1), (0, 1)); V = R2.
(d) ((1, 0, -1) , (1, -1, 0), (0, 1, -1)); V = R3.
(e) ((1, 2, -1) , (3, -1, 0), (5, 3, -2), (1, -1, 1)); V = R3.
(f) ((1, 2, -1) , (3, -1, 0)); V = R3.
(g) ((1, 2, -1) , (3, -1, 0), (5, 3, -2)); V = R3.
(h) ((3, 2, -1) , (-9, -6, 3), (5, 3, 0)); V = R3.
8. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m dla których układ wektorów
(3, -2, 0) , (m, 1, -1) , (m, 1, -2)
stanowi bazę przestrzeni R3.
2