(3) Przestrzeń i wektory
Patrz C. Kittel i inni, Mechanika
Przestrzeń euklidesowa
(bez zakrzywienia, ą + � + ł =180
, )
" jednorodna: niezmiennicza względem
przesunięcia
" izotropowa: niezmiennicza względem obrotu
(kierunku)
" promień krzywizny nie mniejszy niż 1026 m
(nie mówimy tu zakrzywieniu biegu promieni
w pobliżu dużych mas)
Wielkość wektorowa
" Wielkość, która posiada:
 długość (miarę)
 kierunek
 zwrot
" punkt zaczepienia może być różny dla całej
klasy wektorów związanych. Klasę tę nazywamy
wektorem swobodnym. Czyli wszystkie wektory
o tej samej długości, kierunku i zwrocie są tym
samym wektorem (swobodnym)
Suma wektorów
B
(równoległobok)
A+B
A + B = B + A
A + (B + C)= (A + B)+ C
A
�
Długość i wersor
(wektor jednostkowy)
A a" 5
A = A� A a" A � a"1
2B
A = 5�
Mnożenie przez skalar
2(A+B)
B
(liczbę)
A+B
k(A + B)= kB + kA
A
2A
prędkość  styczna do toru
dr(t)

v(t)= v(t)=
dt
przyspieszenie styczne i normalne
(dośrodkowe)

dv(t) d(vv(t)) d(v)v(t)+ v d(v(t))
a(t)= = =
Ć
dt dt dt

d(v)v(t) an(t)= v d(v(t))dt
as(t)=
Ć
dt dt
d(v) v2
as(t)= an(t)= = �2r
dt r

Rzut ukośny
r0 a" ro = [0,0, h]

v0 a" v0 = [vo cosą,0,vo siną]
" Określamy układ odniesienia
2 2 2 2 2
v0 a" v0 = vx + vy + vz = v0 cos2 ą + v0 sin2 ą
" ustalamy parametry i warunki

v0
początkowe
v0 a" = [cosą,0,siną]
Ć
vo
v0 = cos2 ą + sin2 ą =1
Ć

a = a = [0,0,-g]
z
v0
v0
ą
g
v0 cos ą
a
h
x
0
v
sin

v0 a"v0 =[vo cosą,0,vo siną]

Rzut ukośny
a =a =[0,0,-g]
40
" Równanie prędkości
30
Vx(t)=40 m/s
20

10
v(t)= v(t)= v0 + at
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
30
v(t)=[vo cosą,0,vo siną]+[0,0,- g]t 20
vz(t)=30 m/s-10 m/s2*t
10
v(t)=[vo cosą,0,vo siną - gt]
0
-10
-20
z
-30
-40
-50
-60
-70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v0
czas (s)
100
90
80
v(t)=(vx2(t)+vz2(t))1/2
70
60
v0=50 m/s
ą=36.87
50
40 ------------ Vx(t)=30 m/s
v0 cos ą
30
vz(t) = 0 = voz- gtmax
20
a tmax= v0z/g = v0siną/g = 3 s
h 10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas (s)
x
x
prędkość
pozioma, v (m/s)
z
predkość
pionowa, v (m/s)
2
z
0
v
sin
wartość
-------------
v (t)=0 --------------------------
g
=10 m/s
prędkości,
v
(m/s)
s
/
m
0
5
=
v
0
r0 =[0,0,h]
v0 =[vo cosą,0, vo siną]
Rzut ukośny

a =a =[0,0,-g]
300
" Równanie drogi
200
100 x(t) = 40 m/s * t
1

0
r(t)= r(t)= r0 + v0t + at2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
2
150
100
1
Ą#v
50
r(t)= t cosą, 0, h +vot siną - gt2ń#
o
ó# Ą#
z
0
2
Ł# Ś#
z(t)=30 m/s * t -10 m/s2*t2/2)
-50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
v0
500
400
300
ą=36.87
t
200
v0 cos ą
s(t) =
+"v(t)dt =
t
0
100
2 2 2
a
2 2 2 2
= vx (t )+ vy(t )+ vz (t )dt
h
+"
h=100 m
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas (s)
x
x(t)
(m)
odlegość pozioma,
wysokość,
z
(t)
(m)
2
0
v
sin
droga
l(t)
(m)
g
=10 m/s
s
/
m
0
5
=
v
0
1
Ą#v
r(t)= t cosą, 0, h +vot siną - gt2ń#
Rzut ukośny
o
ó# Ą#
2
Ł# Ś#
" Tor, z(x)
300
200
1
100
x(t) = 40 m/s * t
x
�#
z(t)= h+vot siną - gt2�#t
0
(x)=
Ź#
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
vo cosą
�# 150
x(t)= vot cosą
�#
2
100
�# ś#
x 1 x
ś# ź#
z(x)= h+vo siną - gś#
50
ź#
vo cosą 2 vo cosą
�# #
0
z(t)=30 m/s * t -10 m/s2*t2/2)
-50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
100
gx2
z(x)= h+ xtgą -
2
2v0 cos2ą
0
z(x)=100 m+t*(30 m/s)/(40 m/s)+
-(10 m/s2)*t2/[2*(40 m/s)2]
-100
0 50 100 150 200 250 300 350 400
odlegość pozioma, x (m)
x(t)
(m)
odlegość pozioma,
wys okość,
z
(t) (m)
wysokość,
z
(m)
Rzut ukośny
" przyspieszenie
styczne i normalne,
" kierunek ruchu.
100
ą<0
v(t)=[vo cosą0,0,vo siną0 - gt]
ą
vx(t)= vo cosą0
cosą(t)=
2
2
v(t)
v0 cos2 ą0 +(vo siną0 - gt)
v2(t)= an(t)= g cosą(t)
r(t)
0
" krzywizna toru
a=g=[0,0,g]
v3(t)
r(t)=
gvo cosą0
-100
0 50 100 150 200 250 300 350 400
odlegość pozioma, x (m)
wysokość,
z
(m)
)
ą
(
s
o
c
g
=
a
a
n
s
=
g
s
i
n
(
ą
)

r0 a" ro = [0,0,h] h =100m

Rzut poziomy
v0 a" v0 = [vo,0,0] v0 = 20 m s

30
a = a = [0,0,-g] g =10m s2
20
Vx(t)=
150
10
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50
czas (s)
x(t) =
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vz(t)=
czas (s)
-20
100
-40
0
-60
-100
-80
-200
-100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-300
czas (s)
z(t)=
100
-400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
100
80
0
60
-100
40
v0=20 m/s
-200
v(t)=(vx2(t)+vz2(t))1/2=
20
z(x)=
-300
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -400
Czas (s)
0 50 100 150 200
odlegość pozioma, x (m)
v(t)=[vx(t),vy(t),vz(t)]=
2 2 2
r(t)= [x(t), y(t), z(t)]=
v(t)= vx + vy + vz =
z(x)=
tg(ą(t))= vz(t) vx(t)=
x
prędkość
pozioma, v (m/s)
x(t)
(m)
odlegość pozioma,
z
predkość
pionowa, v (m/s)
wysokość,
z
(t)
(m)
wa rtość
prędkości,
v
(m/s)
wysokość,
z
(m)

r0 a" ro = [0,0,h] h =100m

Rzut poziomy
v0 a" v0 = [vo,0,0] v0 = 20 m s

30
a = a = [0,0,-g] g =10m s2
20
Vx(t)=20 m/s
10 150
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50
czas (s)
x(t) = 20 m/s * t
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vz(t)=-10 m/s2*t
czas (s)
-20
100
-40
0
-60
-100
-80
-200
-100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-300
czas (s)
z(t)= 100 m-10 m/s2*t2/2
100
-400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
czas (s)
100
80
0
60
-100
40
v0=20 m/s
-200
v(t)=(vx2(t)+vz2(t))1/2=
20
=(400 m2/s2+100 m2/s4*t2)1/2 z(x)=100 (m)m-*t2/80 (m/s2)
-300
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-400
Czas (s)
0 50 100 150 200
odlegość pozioma, x (m)
v(t)=[vx(t),vy(t),vz(t)]=
2 2 2
r(t)= [x(t), y(t), z(t)]=
v(t)= vx + vy + vz =
z(x)=
tg(ą(t))= vz(t) vx(t)=
x
prędkość
pozioma, v (m/s)
x(t)
(m)
odlegość pozioma,
z
predkość
pionowa, v (m/s)
wys okość,
z
(t)
(m)
wartość
prędkości,
v
(m/s)
wysokość,
z
(m)
r(t)=[r cos(�t), rsin(�t), 0]
Ruch po okręgu
dr(t)=[-�rsin(�t), �r cos(�t), 0]
v(t)=
dt
l dą dl
ą a" � a" v =
dv(t)=[-�2r cos(�t), -�2rsin(�t), 0]
a(t)=
r dt dt
dt
� = const r = const 1.0
v
0.5
ą = �t � =
vy
r 0.0
v
-0.5
-1.0
0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
ką4 (faza) ą=�t
t
1.0
v0=�r
vx
0.5
0.0
r
r
-0.5
ą
-1.0
0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
ką4 (faza) ą=�t
t
x=r cos ą
1.0
an=�2r=v02/r
0.5
0.0
-0.5
-1.0
02468 10
kąt (faza) ą=�t
x(t)/r
y(y)/r
y(t)
= r sin(
�
t)
x(t)
= r cos(
�
t)
x
0
y
0
v (t)/v
v (y)/v
y=r
sin
ą
x
n
y
n
v (t)/a
v (y)/a
r(t)=[r cos(�t), rsin(�t), 0]
Ruch po okręgu
dr(t)=[-�rsin(�t), �r cos(�t), 0]
v(t)=
dt
a(t)= -�2r(t)
dv(t)=[-�2r cos(�t), -�2rsin(�t), 0]
a(t)=
a = -�2r
dt
1.0
d2r(t)= -�2r(t)
0.5
vy
0.0
v
dt2
-0.5
-1.0
0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
ką4 (faza) ą=�t
t
1.0
v0=�r
vx
0.5
0.0
r
r
-0.5
ą
-1.0
0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
ką4 (faza) ą=�t
t
x=r cos ą
1.0
an=�2r=v02/r
0.5
0.0
-0.5
-1.0
02468 10
kąt (faza) ą=�t
x(t)/r
y(y)/r
y(t)
= r sin(
�
t)
x(t)
= r cos(
�
t)
x
0
y
0
v (t)/v
v (y)/v
x=r
sin
ą
x
n
y
n
v (t)/a
v (y)/a
Ruch drgający
- ruch rzutu punktu biegnącego po kole na oś, np. x.
- ruch opisany równaniem:
x(t)= r cos�t
d2x(t)= -�2x(t)
- ruch x(t) spełniający równanie:
ax(t)=
dt2
- ruch ciał sprężystych
Fx(t)= ax(t)= -�2x(t)
m
1.0
-kx(t)= Fx(t)= -m�2x(t)
0.5
x(t) = r cos(�t)
0.0
-0.5
-1.0
0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
ką4 ą=�t
t (faza )
r
1.0
r
v(t) = -�r sin(�t)
0.5
ą
0.0
-0.5
x=r cos�t
-1.0
0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
ką4 ą=�t
t (faza)
1.0
a(t) = -�2r cos(�t)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0 2 4 6 8 10
kąt (faza) ą=�t
x(t)/r
x
0
v (t)/v
x
n
v (t)/a

r0 a" ro = [0,0,0] h = 0m

v0 a" v0 = [0,0,0] v0 = 0 m s
Swobodny spadek

a = a = [0,0,-g] g =10m s2
Ą# ń#
gt2
r(t)=
ó#0,0,- Ą#
2
Ł# Ś#
" stała ruchu
v(t)= [0,0,-gt]
" zasada zacchowania
a(t)= [0,0,-g]
gt2 v2
h = - = -
2 2g
mv2
" praca wkładana (przez siłe
mgh + = const
2
grawitacji) powoduje wzrost energii
kinetycznej.
" wprowadzimy pojęcie energii
potencjalnej (pola grawitacyjnego)
Iloczyn skalarny wektorów
A �"B = AB cos(A,B)= AxBx + AyBy + AzBz
B
A
B cos(A,B) rzut wektora B na wektor A
Warunek ortogonalności
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy
A �"B = 0
Współrzędne kartezjanskie
Ax = A �" x Ay = A �" w
Ax = A �" ę
Ć
A �" x
Ć
A = [Ax, Ay, Az]= x(A �" x)+ w
(A �" w
)+ w
(A �" ę)
Ć Ć
Kosinusy kierunkowe
Ay
Ax Az
cos(A �" x )= cos(A �" w
)= cos(A �" ę)=
Ć
A A A
1 = cos2(A �" x)+ cos2(A �" w
)+ cos2(A �" ę)
Ć
Praca i moc
Praca wykonana przez silę F na odcinku drogi
W = F �" "r
Moc dostarczana do układu F
poruszającego się z prędkością v
dW dr
P = = F �" = F �" v
dt dt
Praca w polu grawitacyjnym
swobodny spadek powolne unoszenie
h h
F=P=mg h
P=mg
P=mg
Siła grawitacji wykonuje Siła zewnętrzna
pracę nad kulą wykonuje pracę nad
kulą
W=mgh
W=mgh
unoszenie
wkładamy pracę
pracy
obniżanie
kula ma potencjalną
zdolność wykonania
Energia potencjalna
siła zewnętrzna, F, wykonuje pracę nad układem kula+Ziemia
F=P=mg=[0,0,-mg]
"r=["r sin�, 0, "r cos�]
"r sin�
"W = F �" "r = mg "h
P=mg
wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!
"
r
cos
Energia potencjalna
hB
F=P=mg
hA
B
WAB =
+"F �" dr = mg (hB - hA)
A
wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!
Praca i energia potencjalna
" Praca, WAB, w polu grawitacyjnym nie zależy od
toru, zależy jedynie od miejsca rozpoczęcia,rA, i
zakończenia, rB.
" Każdemu punktowi w przestrzeni można tak
przypisać energię potencjalną, Ep(r), żeby: WAB
= Ep(rB)- Ep(rA).
" Jedynie różnica energii potencjalnej ma sens
fizyczny. Energia potencjalna określona jest z
 dokładnością do stałej addytywnej .
Pole grawitacyjne
" Siła, natężenie pola, potencjał
Ep(r)= mgz
"Ep = F �" "r
dEp dEp dEp dEp
Ą# ń#
F = a" grad Ep(r)a" " Ep(r)a" , ,
ó# Ą#
dr dx dy dz
Ł# Ś#
Pole grawitacyjne
"Ep = F �" "r
F = -mg %

Ep(r)= mgz
Mm
Mm
F(r)= - G r
Ep(r)= -G Ć
r2
r
iloczyn wektorowy
C = A�B = 
ABsin(A, B))

Ą" A 
Ą" B C = ABsin(A, B))
zwrot C: reguła śruby
C=AxB
x w
ę
Ć
B
C = Ax Ay Az =
A
Bx By Bz
=[AyBz - AzBy, AzBx - AxBz , AxBy - AyBx]