Sprawozdanie z laboratorium technik optymalizacji

Optymalizacja nieliniowa bez ograniczeń

Celem ćwiczenia jest minimalizacja następujących funkcji:

a)

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

5

.

0

)

,

(

x

x

x

x

x

x

x

x

f











Najpierw obliczamy pochodne cząstkowe naszej funkcji:

1

2

2

1

1











x

x

x

f

1

2

1

2











x

x

x

f

2

2

1

2







x

f

1

2

2

2









x

f

1

2

1

2







x

x

f

1

1

2

2







x

x

f

Hesjan ma postać:

















1

1

1

2

H

ze względu na to, iż

1

2

2

2









x

f

czyli <0 to nasza funkcja nie jest funkcją

wypukłą, może mieć kilka minimów.

Natomiast skoro det H <0 to funkcja ta nie posiada minimów lokalnych.


Posługując się programem komputerowym gen2 dobieramy obszar przeszukiwań:

)

10

,

10

(

)

10

,

10

(

2

1









x

x

Znaleziony optymalny punkt wynosi (-4,513284 , 10)

Leży on na granicy kostki więc rozszerzamy obszar przeszukiwań w kierunku x2:

)

15

,

10

(

)

10

,

10

(

2

1









x

x

Kolejny znaleziony punkt optymalny wynosi: (-7,003414 , 15)

Znów znajduje się on na granicy kostki, więc po raz kolejny rozszerzamy obszar
przeszukiwań:

)

20

,

10

(

)

10

,

10

(

2

1









x

x

i po raz kolejny otrzymujemy punkt optymalny : (-9,51004 ; 20 ).

Punkt ten również znajduje się na granicy kostki.

Na podstawie analizy komputerowej oraz badania funkcji zadanie to okazuje się zadaniem
nieograniczony. Funkcja ucieka do nieskończoności.










b)

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

5

.

0

)

,

(

x

x

x

x

x

x

x

x

f











Najpierw obliczamy pochodne cząstkowe naszej funkcji:

1

2

2

1

1











x

x

x

f

1

2

1

2











x

x

x

f

2

2

1

2







x

f

1

2

2

2







x

f

1

2

1

2







x

x

f

1

1

2

2







x

x

f

Hesjan ma postać:















1

1

1

2

H

ze względu na to, iż

1

2

2

2







x

f

czyli >0 to nasza funkcja jest funkcją wypukłą.

Natomiast skoro det H >0 to funkcja ta posiada minimów, minimów jej

0

)

(



 x

f

.





























































5

.

0

)

(

0

0

0

1

0

1

2

0

)

1

;

1

2

(

)

,

(

)

(

^

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

Znając punkt optymalny przystępujemy do symulacji komputerowej, dobieramy tak kostkę,
aby punkt ten się w niej znajdował:

)

10

,

10

(

)

10

,

10

(

2

1









x

x

Znalezione optimum (-2,17956*10

-2

; 1,000467), a wartość funkcji w tym, punkcie wynosi

-0,4993847.

c)

2

2

2

1

4

2

4

1

2

1

62

.

0

62

.

0

)

,

(

x

x

x

x

x

x

f









Znowu zaczynamy od obliczenia pochodnych cząstkowych:

1

3

1

1

24

.

1

4

x

x

x

f









2

3

2

2

24

.

1

4

x

x

x

f









24

.

1

12

2

1

2

1

2









x

x

f

24

.

1

12

2

2

2

2

2









x

x

f

0

2

1

2







x

x

f

0

1

2

2







x

x

f

Hesjan ma postać:



















24

.

1

12

0

0

24

.

1

12

2

2

2

1

x

x

H

, czyli nasza funkcja jest funkcją wypukłą tylko w

przypadku, gdy

0

24

.

1

12

0

2

2

2

2

2













x

x

f

czyli gdy

)

;

321

.

0

(

)

321

.

0

;

(

2











x

Ze względu na to, że szukamy minimum lokalnego również

0

2

1

2







x

f

, czyli

)

;

321

.

0

(

)

321

.

0

;

(

1











x

Aby znaleźć punkt optymalny przyrównujemy gradient funkcji do zera:

0

)

(



 x

f

557

.

0

557

.

0

557

.

0

557

.

0

0

0

0

24

.

1

4

0

24

.

1

4

2

1

2

1

2

1

2

3

2

1

3

1





































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Punkty x1=0 i x2=0 odrzucamy, bo nie należą do obliczonych wyżej przedziałów.


Otrzymujemy cztery rozwiązania:

(0.557 ; 0.557) v (0.557 ; -0.557) v (-0.557 ; 0.557 ) v (-0.557 ; -0.557).




Przechodzimy do symulacji komputerowej:

1) ustalamy kostkę:

)

1

,

0

(

)

1

,

0

(

2

1





x

x

otrzymujemy punkt optymalny : (0.5566968 ; 0.5567175), wartość funkcji w tym punkcie
wynosi: -0.1922 jest to rozwiązanie zgodne z rzeczywistym minimum.


2) ustalamy kostkę:

)

1

,

0

(

)

0

,

1

(

2

1







x

x

otrzymujemy punkt optymalny : (-0.5555202 ; 0.5568593), wartość funkcji w tym punkcie
wynosi: -0.192198 jest to rozwiązanie zgodne z rzeczywistym minimum.

3) ustalamy kostkę:

)

0

,

1

(

)

0

,

1

(

2

1









x

x

otrzymujemy punkt optymalny : (-0.5566024 ; -0.5566248), wartość funkcji w tym punkcie
wynosi: -0.1921999 jest to rozwiązanie zgodne z rzeczywistym minimum.

4) ustalamy kostkę:

)

0

,

1

(

)

1

,

0

(

2

1







x

x

otrzymujemy punkt optymalny : (0.5562384 ; -0.555672), wartość funkcji w tym punkcie
wynosi: -0.1921981 jest to rozwiązanie zgodne z rzeczywistym minimum.