Studia doktoranckie

Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

KONSPEKT WYKŁADU

nt.

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

TEORIA I ZASTOSOWANIA

Piotr Konderla

maj 2007

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: maj 2007)
________________________________________________________________________________________

2

SPIS TREŚCI

Ważniejsze oznaczenia stosowane w konspekcie ................................. ..................................... 6

I. Wprowadzenie ............................................................................................................................ 8

1. Czym są metody komputerowe mechaniki ..................................................................... 8

2. Proces rozwiązywania zagadnień mechaniki metodami komputerowymi ..................... 8

3. Sformułowania zagadnień mechaniki ośrodków ciągłych ............................................... 9

4. Klasyfikacja metod numerycznych ................................................................................. 9

II. Podstawowe równania mechaniki w ujęciu nieliniowym ....................................................... 11

1. Opis ruchu ciała materialnego ...................................................................................... 11

2. Opis stanu deformacji i odkształcenia .......................................................................... 12

3. Stacjonarny i uaktualniony opis Lagrange’a ................................................................ 13

4. Przyrosty tensora odkształcenia .................................................................................... 14

5. Opis stanu naprężenia ................................................................................................... 14

6. Równanie ruchu - zasada zachowania pędu ................................................................. 17

7. Równanie konstytutywne .............................................................................................. 18

8. Sformułowanie zadania nieliniowej mechaniki ............................................................ 19

9. Sformułowanie zadania liniowego dynamiki ............................................................... 19

10. Zapis macierzowy równań liniowej teorii sprężystości .............................................. 20

III. Przybliżone metody rozwiązywania zagadnień brzegowych ............................................... 22

1. Sformułowanie lokalne ................................................................................................. 22

2. Metody ważonych residuów ......................................................................................... 23

3. Metoda Galerkina (Bubnowa-Galerkina) ..................................................................... 24

4. Metoda najmniejszych kwadratów ............................................................................... 24

5. Słabe sformułowania ważonych metod residualnych ................................................... 25

6. Metody wariacyjne ....................................................................................................... 25

7. Metoda Ritza ................................................................................................................. 25

8. Metoda Galerkina w sformułowaniu wariacyjnym ...................................................... 26

9. Poszerzona metoda Ritza .............................................................................................. 27

IV. Wprowadzenie do MES ........................................................................................................ 28

1. Sformułowanie algorytmu MES dla przestrzennego/płaskiego/liniowego zagadnienia

teorii sprężystości ......................................................................................................... 28

2. Sformułowanie algorytmu MES dla zagadnienia linowej dynamiki ............................ 33

V. Wprowadzenie do przestrzeni funkcyjnych ....................................................................... 35

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania

________________________________________________________________________________________

3

1. Zbiór (np. liczb rzeczywistych) .................................................................................... 35

2. Funkcja F ...................................................................................................................... 35

3. Grupa G ......................................................................................................................... 35

4. Przestrzeń liniowa (wektorowa) V ................................................................................ 35

5. Norma przestrzeni ......................................................................................................... 36

6. Przestrzeń Banacha ....................................................................................................... 36

7. Przestrzeń z iloczynem skalarnym ................................................................................ 36

8. Przestrzeń Hilberta ........................................................................................................ 37

9.

Przestrzeń funkcji całkowalnych w kwadracie L

2

........................................................ 37

10. Przestrzenie skończenie wymiarowe .......................................................................... 37

11. Przykład modelu MES dla zagadnienia jednowymiarowego ..................................... 38

12. Pochodna dystrybucyjna ............................................................................................. 39

13. Przestrzeń Sobolewa rzędu H

1

(

Ω) .............................................................................. 39

VI. Matematyczne podstawy MES ............................................................................................. 41

1. Problem abstrakcyjny ................................................................................................... 41

2. Abstrakcyjny problem w MES ..................................................................................... 41

3. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania. Lemat Laxa – Milgrama .............................. 42

4. Regularność rozwiązania rzędu l .................................................................................. 42

5. Matematyczne pojęcie elementu skończonego ............................................................. 43

6. Skończenie - wymiarowy model obszaru ..................................................................... 44

7. Aproksymacyjna przestrzeń kinetycznie dopuszczalna ................................................ 44

8. Regularna rodzina afiniczna siatek elementów skończonych ....................................... 44

9. Teoria interpolacji w przestrzeniach Sobolewa ............................................................ 45

10. Twierdzenie o interpolacji w przestrzeniach Sobolewa ............................................. 46

11. Analiza zbieżności dla elementów dostosowanych .................................................... 46

12. Całkowanie numeryczne ............................................................................................. 47

VII. Zagadnienia dynamiki ....................................................................................................... 48

1. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego .......................................................... 48

2. Podział zagadnień dynamicznych ................................................................................. 49

3. Zagadnienie własne - problem matematyczny .............................................................. 49

4. Zagadnienie własne liniowego układu dynamicznego bez tłumienia ........................... 50

5. Normowanie wektora własnego q

0

.............................................................................. 51

6. Do czego służy analiza zagadnienia własnego? ........................................................... 52

7. Zagadnienie własne układów dynamicznych tłumionych ............................................ 52

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: maj 2007)
________________________________________________________________________________________

4

8. Zagadnienia dynamiczne nieustalone ........................................................................... 53

9. Całkowanie numeryczne „krok po kroku” .................................................................... 53

10. Całkowanie metodą różnic skończonych .................................................................... 53

11. Metoda Newmarka ...................................................................................................... 55

12. Metoda modalna ......................................................................................................... 56

VIII. Nieliniowe zagadnienia mechaniki ................................................................................... 58

1. Rodzaje nieliniowości..................................................................................................... 58

2. Struktura nieliniowości. Macierz styczna ..................................................................... 58

3. Obciążenie konstrukcji ................................................................................................. 60

4. Metody rozwiązywania nieliniowych równań .............................................................. 60

5. Metody przyrostowo-iteracyjne przy sterowaniu obciążeniem .................................... 61

6. Metoda Newtona – Raphsona ....................................................................................... 61

7. Modyfikacja metody Newtona – Raphsona .................................................................. 62

8. Metody quasi newtonowskie ........................................................................................ 63

9. Metody przyrostowo – iteracyjne przy sterowaniu parametrem ścieżki ...................... 64

IX. Zagadnienia teorii plastyczności .......................................................................................... 68

1. Zagadnienie jednowymiarowe ...................................................................................... 68

2. Zagadnienie trójwymiarowe – założenia ...................................................................... 69

3. Powierzchnia plastyczności .......................................................................................... 70

4. Równanie konstytutywne .............................................................................................. 71

5. Teoria plastyczności Prandtla – Reuss’a ...................................................................... 72

6. Powierzchnie plastyczności wyrażone przez niezmienniki tensora naprężenia ........... 73

7. Gradient funkcji plastyczności ...................................................................................... 76

8. Materiał sprężysto – plastyczny. Uogólniona teoria ..................................................... 76

9. Algorytmy obliczeń komputerowych ............................................................................ 78

X. Nieliniowość geometryczna. Zagadnienia stateczności ......................................................... 80

1. Sformułowanie zagadnienia nieliniowo - geometrycznego w MES ............................. 80

2. Zagadnienie stateczności początkowej ......................................................................... 82

3. Nieliniowa stateczność ................................................................................................. 83

4.

Wiodące stopnie swobody ............................................................................................ 84

5. Układy idealne i imperfekcyjne .................................................................................... 85

6. Analiza stateczności poprzez zagadnienie własne ........................................................ 86

7. Zagadnienie dużych przemieszczeń w płytach cienkich .............................................. 88

XI. Ustalone i nieustalone zagadnienia pola .......................................................................... 92

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania

________________________________________________________________________________________

5

1. Zagadnienia przewodnictwa ciepła ............................................................................... 92

2. Sformułowanie wariacyjne zagadnienia przewodnictwa ciepła ................................... 93

3. Algorytm MES – metoda Ritza .................................................................................... 94

4. Algorytm MES – metoda ważonych residuów ............................................................. 95

5. Zagadnienie dynamiczne – nieustalone zagadnienia przewodnictwa ciepła ................ 96

Literatura ................................................................................................................................... 100

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: maj 2007)
________________________________________________________________________________________

6

WAŻNIEJSZE OZNACZENIA STOSOWANE W KONSPEKCIE

Oznaczenia stosowane w związkach MOC (rozdz. II i III)
C

0

konfiguracja odniesienia,

C,

t

C

t+

Δt

konfiguracja aktualna w chwili t oraz w chwili t+

Δt,

}

{

i

z

kartezjański układ współrzędnych materialnych w E

3

,

}

{

i

x

kartezjański układ współrzędnych przestrzennych,

e

i

wektory bazy układu kartezjańskiego,

z, x

punkt materialny, położenie punktu materialnego,

B

ciało materialne,

t czas,

Ω

∂

Ω,

obszar

ciała materialnego, brzeg obszaru,

n

jednostkowy

wektor

normalny do powierzchni

i

i

u e

u

=

wektor

przemieszczenia

ij

δ

delta

Diraca,

3

E

przestrzeń Euklidesa,

i

i

v e

v

=

. wektor

prędkości,

i

i

a e

a

=

, wektor

przyśpieszenia,

ij

F

,

F

gradient deformacji,

ij

C

,

C

,

tensor deformacji Greena,

B

t

tensor deformacji Cauchy’ego,

ij

ε

ε,

, tensor

odkształcenia Greena,

ε

t

tensor

odkształcenia Almasiego-Hamela.

t

t

~

,

wektory naprężenia

ij

σ

tensor

naprężenia Cauchy’ego,

ij

ij

σ

σ ~

,

tensory

naprężenia Pioli-Kirchhoffa, I-szego i II-go rodzaju,

( )

t

t

,

ˆ

ˆ

z

t

t

=

gęstość sił powierzchniowych,

( )

t

t

,

ˆ

ˆ

z

f

f

=

gęstość sił masowych,

Δ(...)

przyrosty w opisie stacjonarnym,

Δ

t

(...)

przyrosty w opisie uaktualnionym,

ρ

0

,

ρ

gęstość masy w konfiguracji odniesienia i konfiguracji aktualnej,

C

ijkl

tensor

stałych materiałowych ciała sprężystego,

Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania

________________________________________________________________________________________

7

Oznaczenia stosowane w równaniach MES (rozdz. IV i dalszych)
Ω, Ω

e

analizowany obszar, obszar elementu skończonego,

a

i

i=1,2,...,N

punkty węzłowe obszaru,

)

(e

a

α

α

=1,2,...,N

e

punkty węzłowe elementu skończonego,

q

i

,

)

(e

α

q

wektor parametrów węzłowych obszaru / elementu e – tego,

ϕ

α

(x)

(e)

funkcja bazowe parametru

α elementu e – tego,

u, u

(e)

wektor przemieszczenia obszaru / elementu e – tego,

ε, ε

(e)

wektor odkształcenie obszaru / elementu e – tego,

σ, σ

(e)

wektor naprężenia obszaru / elementu e – tego,

B, B

i

,

)

(e

α

B

macierz geometryczna obszaru / elementu e – tego,

K, K

ij

macierz

sztywności dla obszaru,

M, M

ij

macierz mas dla obszaru,

C macierz

tłumienia dla obszaru,

Q,

i

Q wektor

równoważników statycznych obciążenia na obszarze,

)

(e

α

Q

wektor równoważników statycznych obciążenia na elemencie,

)

(e

αβ

k

macierz sztywności elementu,

m

(e)

macierz mas elementu e – tego,

Λ

(e)

,

)

(e

i

α

Λ

macierz incydencji,

Π

p

energia

potencjalna,

K energia

kinetyczna,

K

T

macierz

styczna,

λ parametr

obciążenia,

(

)

κ

;

σ

F

powierzchnia

plastyczności,

κ parametr

wzmocnienia,