Studia doktoranckie
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
KONSPEKT WYKŁADU
nt.
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
TEORIA I ZASTOSOWANIA
Piotr Konderla
maj 2007
Studia doktoranckie
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
KONSPEKT WYKŁADU
nt.
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
TEORIA I ZASTOSOWANIA
Piotr Konderla
maj 2007
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: maj 2007)
________________________________________________________________________________________
2
SPIS TREŚCI
Ważniejsze oznaczenia stosowane w konspekcie ................................. ..................................... 6
I. Wprowadzenie ............................................................................................................................ 8
1. Czym są metody komputerowe mechaniki ..................................................................... 8
2. Proces rozwiązywania zagadnień mechaniki metodami komputerowymi ..................... 8
3. Sformułowania zagadnień mechaniki ośrodków ciągłych ............................................... 9
4. Klasyfikacja metod numerycznych ................................................................................. 9
II. Podstawowe równania mechaniki w ujęciu nieliniowym ....................................................... 11
1. Opis ruchu ciała materialnego ...................................................................................... 11
2. Opis stanu deformacji i odkształcenia .......................................................................... 12
3. Stacjonarny i uaktualniony opis Lagrange’a ................................................................ 13
4. Przyrosty tensora odkształcenia .................................................................................... 14
5. Opis stanu naprężenia ................................................................................................... 14
6. Równanie ruchu - zasada zachowania pędu ................................................................. 17
7. Równanie konstytutywne .............................................................................................. 18
8. Sformułowanie zadania nieliniowej mechaniki ............................................................ 19
9. Sformułowanie zadania liniowego dynamiki ............................................................... 19
10. Zapis macierzowy równań liniowej teorii sprężystości .............................................. 20
III. Przybliżone metody rozwiązywania zagadnień brzegowych ............................................... 22
1. Sformułowanie lokalne ................................................................................................. 22
2. Metody ważonych residuów ......................................................................................... 23
3. Metoda Galerkina (Bubnowa-Galerkina) ..................................................................... 24
4. Metoda najmniejszych kwadratów ............................................................................... 24
5. Słabe sformułowania ważonych metod residualnych ................................................... 25
6. Metody wariacyjne ....................................................................................................... 25
7. Metoda Ritza ................................................................................................................. 25
8. Metoda Galerkina w sformułowaniu wariacyjnym ...................................................... 26
9. Poszerzona metoda Ritza .............................................................................................. 27
IV. Wprowadzenie do MES ........................................................................................................ 28
1. Sformułowanie algorytmu MES dla przestrzennego/płaskiego/liniowego zagadnienia
teorii sprężystości ......................................................................................................... 28
2. Sformułowanie algorytmu MES dla zagadnienia linowej dynamiki ............................ 33
V. Wprowadzenie do przestrzeni funkcyjnych ....................................................................... 35
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
3
1. Zbiór (np. liczb rzeczywistych) .................................................................................... 35
2. Funkcja F ...................................................................................................................... 35
3. Grupa G ......................................................................................................................... 35
4. Przestrzeń liniowa (wektorowa) V ................................................................................ 35
5. Norma przestrzeni ......................................................................................................... 36
6. Przestrzeń Banacha ....................................................................................................... 36
7. Przestrzeń z iloczynem skalarnym ................................................................................ 36
8. Przestrzeń Hilberta ........................................................................................................ 37
9.
Przestrzeń funkcji całkowalnych w kwadracie L
2
........................................................ 37
10. Przestrzenie skończenie wymiarowe .......................................................................... 37
11. Przykład modelu MES dla zagadnienia jednowymiarowego ..................................... 38
12. Pochodna dystrybucyjna ............................................................................................. 39
13. Przestrzeń Sobolewa rzędu H
1
(
Ω) .............................................................................. 39
VI. Matematyczne podstawy MES ............................................................................................. 41
1. Problem abstrakcyjny ................................................................................................... 41
2. Abstrakcyjny problem w MES ..................................................................................... 41
3. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania. Lemat Laxa – Milgrama .............................. 42
4. Regularność rozwiązania rzędu l .................................................................................. 42
5. Matematyczne pojęcie elementu skończonego ............................................................. 43
6. Skończenie - wymiarowy model obszaru ..................................................................... 44
7. Aproksymacyjna przestrzeń kinetycznie dopuszczalna ................................................ 44
8. Regularna rodzina afiniczna siatek elementów skończonych ....................................... 44
9. Teoria interpolacji w przestrzeniach Sobolewa ............................................................ 45
10. Twierdzenie o interpolacji w przestrzeniach Sobolewa ............................................. 46
11. Analiza zbieżności dla elementów dostosowanych .................................................... 46
12. Całkowanie numeryczne ............................................................................................. 47
VII. Zagadnienia dynamiki ....................................................................................................... 48
1. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego .......................................................... 48
2. Podział zagadnień dynamicznych ................................................................................. 49
3. Zagadnienie własne - problem matematyczny .............................................................. 49
4. Zagadnienie własne liniowego układu dynamicznego bez tłumienia ........................... 50
5. Normowanie wektora własnego q
0
.............................................................................. 51
6. Do czego służy analiza zagadnienia własnego? ........................................................... 52
7. Zagadnienie własne układów dynamicznych tłumionych ............................................ 52
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: maj 2007)
________________________________________________________________________________________
4
8. Zagadnienia dynamiczne nieustalone ........................................................................... 53
9. Całkowanie numeryczne „krok po kroku” .................................................................... 53
10. Całkowanie metodą różnic skończonych .................................................................... 53
11. Metoda Newmarka ...................................................................................................... 55
12. Metoda modalna ......................................................................................................... 56
VIII. Nieliniowe zagadnienia mechaniki ................................................................................... 58
1. Rodzaje nieliniowości..................................................................................................... 58
2. Struktura nieliniowości. Macierz styczna ..................................................................... 58
3. Obciążenie konstrukcji ................................................................................................. 60
4. Metody rozwiązywania nieliniowych równań .............................................................. 60
5. Metody przyrostowo-iteracyjne przy sterowaniu obciążeniem .................................... 61
6. Metoda Newtona – Raphsona ....................................................................................... 61
7. Modyfikacja metody Newtona – Raphsona .................................................................. 62
8. Metody quasi newtonowskie ........................................................................................ 63
9. Metody przyrostowo – iteracyjne przy sterowaniu parametrem ścieżki ...................... 64
IX. Zagadnienia teorii plastyczności .......................................................................................... 68
1. Zagadnienie jednowymiarowe ...................................................................................... 68
2. Zagadnienie trójwymiarowe – założenia ...................................................................... 69
3. Powierzchnia plastyczności .......................................................................................... 70
4. Równanie konstytutywne .............................................................................................. 71
5. Teoria plastyczności Prandtla – Reuss’a ...................................................................... 72
6. Powierzchnie plastyczności wyrażone przez niezmienniki tensora naprężenia ........... 73
7. Gradient funkcji plastyczności ...................................................................................... 76
8. Materiał sprężysto – plastyczny. Uogólniona teoria ..................................................... 76
9. Algorytmy obliczeń komputerowych ............................................................................ 78
X. Nieliniowość geometryczna. Zagadnienia stateczności ......................................................... 80
1. Sformułowanie zagadnienia nieliniowo - geometrycznego w MES ............................. 80
2. Zagadnienie stateczności początkowej ......................................................................... 82
3. Nieliniowa stateczność ................................................................................................. 83
4.
Wiodące stopnie swobody ............................................................................................ 84
5. Układy idealne i imperfekcyjne .................................................................................... 85
6. Analiza stateczności poprzez zagadnienie własne ........................................................ 86
7. Zagadnienie dużych przemieszczeń w płytach cienkich .............................................. 88
XI. Ustalone i nieustalone zagadnienia pola .......................................................................... 92
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
5
1. Zagadnienia przewodnictwa ciepła ............................................................................... 92
2. Sformułowanie wariacyjne zagadnienia przewodnictwa ciepła ................................... 93
3. Algorytm MES – metoda Ritza .................................................................................... 94
4. Algorytm MES – metoda ważonych residuów ............................................................. 95
5. Zagadnienie dynamiczne – nieustalone zagadnienia przewodnictwa ciepła ................ 96
Literatura ................................................................................................................................... 100
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: maj 2007)
________________________________________________________________________________________
6
WAŻNIEJSZE OZNACZENIA STOSOWANE W KONSPEKCIE
Oznaczenia stosowane w związkach MOC (rozdz. II i III)
C
0
konfiguracja odniesienia,
C,
t
C
t+
Δt
konfiguracja aktualna w chwili t oraz w chwili t+
Δt,
}
{
i
z
kartezjański układ współrzędnych materialnych w E
3
,
}
{
i
x
kartezjański układ współrzędnych przestrzennych,
e
i
wektory bazy układu kartezjańskiego,
z, x
punkt materialny, położenie punktu materialnego,
B
ciało materialne,
t czas,
Ω
∂
Ω,
obszar
ciała materialnego, brzeg obszaru,
n
jednostkowy
wektor
normalny do powierzchni
i
i
u e
u
=
wektor
przemieszczenia
ij
δ
delta
Diraca,
3
E
przestrzeń Euklidesa,
i
i
v e
v
=
. wektor
prędkości,
i
i
a e
a
=
, wektor
przyśpieszenia,
ij
F
,
F
gradient deformacji,
ij
C
,
C
,
tensor deformacji Greena,
B
t
tensor deformacji Cauchy’ego,
ij
ε
ε,
, tensor
odkształcenia Greena,
ε
t
tensor
odkształcenia Almasiego-Hamela.
t
t
~
,
wektory naprężenia
ij
σ
tensor
naprężenia Cauchy’ego,
ij
ij
σ
σ ~
,
tensory
naprężenia Pioli-Kirchhoffa, I-szego i II-go rodzaju,
( )
t
t
,
ˆ
ˆ
z
t
t
=
gęstość sił powierzchniowych,
( )
t
t
,
ˆ
ˆ
z
f
f
=
gęstość sił masowych,
Δ(...)
przyrosty w opisie stacjonarnym,
Δ
t
(...)
przyrosty w opisie uaktualnionym,
ρ
0
,
ρ
gęstość masy w konfiguracji odniesienia i konfiguracji aktualnej,
C
ijkl
tensor
stałych materiałowych ciała sprężystego,
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
7
Oznaczenia stosowane w równaniach MES (rozdz. IV i dalszych)
Ω, Ω
e
analizowany obszar, obszar elementu skończonego,
a
i
i=1,2,...,N
punkty węzłowe obszaru,
)
(e
a
α
α
=1,2,...,N
e
punkty węzłowe elementu skończonego,
q
i
,
)
(e
α
q
wektor parametrów węzłowych obszaru / elementu e – tego,
ϕ
α
(x)
(e)
funkcja bazowe parametru
α elementu e – tego,
u, u
(e)
wektor przemieszczenia obszaru / elementu e – tego,
ε, ε
(e)
wektor odkształcenie obszaru / elementu e – tego,
σ, σ
(e)
wektor naprężenia obszaru / elementu e – tego,
B, B
i
,
)
(e
α
B
macierz geometryczna obszaru / elementu e – tego,
K, K
ij
macierz
sztywności dla obszaru,
M, M
ij
macierz mas dla obszaru,
C macierz
tłumienia dla obszaru,
Q,
i
Q wektor
równoważników statycznych obciążenia na obszarze,
)
(e
α
Q
wektor równoważników statycznych obciążenia na elemencie,
)
(e
αβ
k
macierz sztywności elementu,
m
(e)
macierz mas elementu e – tego,
Λ
(e)
,
)
(e
i
α
Λ
macierz incydencji,
Π
p
energia
potencjalna,
K energia
kinetyczna,
K
T
macierz
styczna,
λ parametr
obciążenia,
(
)
κ
;
σ
F
powierzchnia
plastyczności,
κ parametr
wzmocnienia,