Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Krawędź przecięcia się dwóch płaszczyzn opisanych śladami

Każde dwie płaszczyzny



i



nierównoległe względem siebie przecinają się

wzdłuż krawędzi k. Jest to prosta, należąca jednocześnie do obu płaszczyzn. Do jej
wyznaczenia potrzeba zatem określić alternatywnie:



Dwa punkty należące jednocześnie do obu płaszczyzn,



Jeden punkt wspólny dla obu płaszczyzn oraz prostą równoległą do obu
płaszczyzn.

Zadanie 1

Należy wyznaczyć krawędź przecięcia płaszczyzn



i



, które opisane są śladami

(rys.1).

x

v



h



h



v



X



X



Rys.1

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Ślady pionowe płaszczyzn v



i v



to proste leżące na rzutni pionowej



2

i

przecinające się w punkcie V

k

. Punkt ten zatem jest pierwszym punktem

wspólnym, leżącym na rzutni pionowej, reprezentowanym przez dwa swoje
rzuty: pionowy V

k

=V’’

k

oraz poziomy V’

k

(rys.2).

x

v



h



h



v



X



X



V

k

=V''

k

V'

k

Rys.2

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Ślady poziome h



i h



płaszczyzn



i



, to proste leżące na rzutni poziomej



1

.

Przecinają się one w punkcie H

k

, dając drugi wspólny punkt obu płaszczyzn. Leży on

na rzutni poziomej i jest reprezentowany przez dwa swoje rzuty: : poziomy H

k

=H’

k

oraz pionowy H’’

k

(rys.3).

x

v



h



h



v



X



X



V

k

=V''

k

V'

k

H

k

=H'

k

H''

k

Rys.3

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Przez tak znalezione dwa punkty należące jednocześnie do obu płaszczyzn można
poprowadzić prostą k, która stanowi krawędź przecięcia płaszczyzn. Rzut poziomy k’
krawędzi k uzyska się łącząc rzuty poziome punktów: H

k

=H’

k

oraz V’

k

, zaś rzut

pionowy k’’ krawędzi k uzyska się łącząc rzuty pionowe punktów: H’’

k

oraz V

k

=V’’

k

(rys.4).

x

v



h



h



v



X



X



V

k

=V''

k

V'

k

H

k

=H'

k

H''

k

k'

k''

Rys.4

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Podana wyżej reguła może być zastosowana z powodzeniem dla przypadków, w
których jedna lub obie płaszczyzny są rzutujące.


Zadanie 2

Wyznaczyć krawędź przecięcia płaszczyzn



i



, które opisane są śladami (rys.5).

Płaszczyzna



jest dowolna, zaś płaszczyzna



to płaszczyzna poziomo-rzutująca.

x

v



h



h



v



X



X



V

k

=V''

k

V'

k

H

k

=H'

k

H''

k

k'

k''

Rys.5

Realizując konstrukcję, jak w poprzednim przypadku, wyznacza się punkty

przecięcia śladów poziomych i pionowych płaszczyzn, otrzymując kolejno punkty H

k

oraz V

k

i ich rzu

ty. Prowadząc rzut poziomy krawędzi k’ przez rzuty poziome obu

punktów uzyskuje się jednoczenie k’ oraz śladu h



płaszczyzny



.

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 3

Na rys.6 przedstawiono krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn rzutujących



-

poziomo-

rzutującej oraz



- pionowo-rzu

tującej. Zastosowano analogiczny jakw

poprzednich przypadkach tok postępowania

x

v



h



h



v



X



X



V

k

=V''

k

V'

k

H

k

=H'

k

H''

k

k'

k''

Rys. 6

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Warto przypatrzyć się konstrukcji krawędzi przecięcia płaszczyzn, z których jedna
jest płaszczyzną poziomą (rys.7).

Zadanie 4

x

v



h



v



''

X



V

k

=V''

k

V'

k

k'

k''

Rys.7

Płaszczyzna pozioma



reprezentowana jest przez swój rzut pionowy



’’

jednoczący się ze swoim śladem v



, brak jest śladu poziomego h



. Otrzymuje się

zatem tylko jeden wspólny punkt V

k

obu płaszczyzn. Krawędź musi przechodzić

przez ten punkt, a ponieważ należy także do płaszczyzny poziomej, więc sama jest
także prostą poziomą. Prosta pozioma (krawędź) z racji przynależności także do
płaszczyzny dowolnej musi spełniać odpowiednie warunki:
Rzut pionowy k’’ krawędzi przecięcia



z dowolną płaszczyzną



musi jednoczyć się

zatem z



’’, zaś rzut poziomy przechodzi przez V’

k

i jest równoległy do h



.

Analogiczne postępowanie dotyczy poszukiwania krawędzi przecięcia

płaszczyzny dowolnej i czołowej.

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Krawędź przecięcia się dwóch płaszczyzn opisanych śladami
zastosowanie konstrukcji krawędzi pomocniczych

Dla niektórych położeń płaszczyzn, dla określenia ich krawędzi przecięcia,

wymagane jest wprowadzenie konstrukcji płaszczyzn pomocniczych.

Zadanie 5

Na rys.8 przedstawiono dwie

płaszczyzny



i



równoległe do osi rzutów x. Należy

wyznaczyć krawędź przecięcia tych płaszczyzn.

x

v



h



v



h



Rys.8

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Ślady płaszczyzn nie przecinają się, zatem nie można zastosować dotychczas
poznanego sposobu postępowania. Przyjąć należy jedynie, że krawędź przecięcia k
będzie mieć oba rzuty k’ i k’’ równoległe do osi x. Należy jednak wyznaczyć jeden
wspólny punkt, przez który krawędź ta (oba rzuty) będzie przechodzić. Do tego celu
wprowadzona zostanie pomocnicza płaszczyzna pionowo-rzutująca



(rys.9).

x

v



h



v



h



h



v



X



Rys.9

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Płaszczyzna pomocnicza



pozwala na wyznaczenie krawędzi przecięcia k

1

z

płaszczyzną



. W tym celu wyznacza się dwa punkty wspólne płaszczyzn



oraz



.

Są to: punkt V

k1

przecięcia śladów pionowych v



i v



tych płaszczyzn oraz H

k1

–

punkt przecięcia śladów poziomych h



i h



tych płaszczyzn (rys.10).

x

v



h



v



h



h



v



X



V

k1

=V''

k1

H

k1

=H'

k1

V'

k1

k1'

k1''

Rys.10

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Płaszczyzna pomocnicza



pozwala również na wyznaczenie krawędzi przecięcia k

2

z płaszczyzną



. W tym

celu wyznacza się dwa punkty wspólne płaszczyzn



oraz



.

Są to: punkt V

k2

przecięcia śladów pionowych v



i v



tych płaszczyzn oraz H

k2

– punkt

przecięcia śladów poziomych h



i h



tych płaszczyzn (rys.11).

x

v



h



v



h



h



v



X



V

k1

=V''

k1

H

k1

=H'

k1

V'

k1

k

1

'

k

1

''

V

k2

=V''

k2

H

k2

=H'

k2

k

2

'

=k

2

''

Rys.11

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Wyz

naczone krawędzie k1 i k2 przecinają się w punkcie P, którego dokładne

położenie widoczne jest w rzucie poziomym jako P’. Drugi rzut tego punktu znajduje
się na prostej odnoszącej w miejscu przecięcia z rzutami pionowymi k1’’ oraz k2’’.
Punkt P jest jedyny

m wspólnym punktem wszystkich rozpatrywanych płaszczyzn, a

więc płaszczyzny



,



i pomocniczej



. Prze punkt ten zatem przechodzi krawędź k

w dwóch swoich rzutach: k’ oraz k’’. (rys.12).

x

v



h



v



h



h



v



X



V

k1

=V''

k1

H

k1

=H'

k1

V'

k1

k

1

'

k

1

''

V

k2

=V''

k2

H

k2

=H'

k2

k

2

'

=k

2

''

P'

P''

k'

k''

Rys.12