122
122
ROZDZIAŁ 10
Wyznaczniki
10.1. Wyznaczniki
Wyznacznikiem stopnia n (n ∈ N) nazywamy formę
F
n
× · · · × F
n
|
{z
}
n
−→ F
(1) n-liniową
(2) skośniesymetryczną
(3) na bazie kanonicznej przyjmującą wartość 1
Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej A ∈ M (n) - |A| - nazywamy
formę
(1) n-liniową ze względu na kolumny macierzy A,
(2) skośnie symetryczną,
(3) dla macierzy jednostkowej przyjmującą wartość 1.
A = [A
1
. . . A
n
],
dla i = 1, . . . , n A
i
∈ F
n
|e
1
, . . . , e
n
| = |I
n
| = 1
Własności
A = [A
1
, . . . , A
n
] ∈ M (n),
(1) A
1
, . . . , A
n
- liniowo zależne, to |A| = 0.
(2) B = [A
i
1
..A
i
n
], (i
1
..i
n
) ∈ S
n
,
|B| = sgn(i
1
. . . i
n
) |A|
(3) |A
1
, .., A
j
+ bA
k
, .., A
k
, .., A
n
| =
= |A
1
, .., A
j
, .., A
k
, .., A
n
| = |A|
(4) |A
1
, .., bA
i
, .., A
n
| = b |A
1
, .., A
i
, .., A
n
|
(5) |A
1
, . . . , A
i
+ B
i
, . . . , A
n
| =
|A
1
, .., A
i
, .., A
n
| + |A
1
, .., B
i
, .., A
n
|
(6) A, B ∈ M (n)
|AB| = |A|
X
(i
1
..i
n
)∈S
n
sgn(i
1
..i
n
)b
i
1
1
..b
i
n
n
operacje elementarne -operacje wykonywane na kolumnach macie-
rzy A zgodnie z punktami 3,4,5
123
TWIERDZENIE 10.1.1. Istnieje dokładnie jedna forma spełnia-
jąca warunki 1,2,3 z definicji wyznacznika.
|A| =
X
(i
1
...i
n
)∈S
n
sgn(i
1
. . . i
n
)a
i
1
1
· · · a
i
n
n
A ∈ M (2)
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
21
a
12
A ∈ M (3)
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
a
22
a
33
+ a
21
a
32
a
13
+ a
31
a
12
a
23
−a
31
a
22
a
13
− a
21
a
12
a
33
− a
11
a
32
a
23
−
−
−
&
&
&
%
%
%
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
%
%
%
&
&
&
+
+
+
TWIERDZENIE 10.1.2. Cauchy’ego
A, B ∈ M (n)
|AB| = |A| |B|
TWIERDZENIE 10.1.3. A ∈ M (n)
|A| = |A
∗
|
WNIOSEK 10.1.1.
(1) Możemy sumować po wierszach i po kolumnach.
|A| =
X
(i
1
...i
n
)∈S
n
sgn(i
1
. . . i
n
)a
1i
1
· · · a
ni
n
(2) Wszystkie własności spełnione dla kolumn zachodzą też dla
wierszy macierzy A
A ∈ M (m, n), k ¬ min{m, n}
p
1
, .., p
k
-podciąg rosnący wybrany z ciągu 1, .., m,
q
1
, .., q
k
-podciąg rosnący wybrany z ciągu 1, .., n,
Z macierzy A wykreślamy wszystkie wiersze o numerach różnych od
p
i
i kolumny o numerach różnych od q
i
dla i = 1, . . . , k. Wyznacznik z
otrzymanej macierzy nazywamy minorem stopnia k
M (p
1
, . . . , p
k
; q
1
, . . . , q
k
)
a
p
1
q
1
. . . a
p
1
q
k
..
.
..
.
a
p
k
q
1
. . . a
p
k
q
k
M (p
1
, .., p
k
; q
1
, .., q
k
) =
=
X
(i
1
..i
k
)∈S
n
sgn(i
1
..i
k
)a
p
i1
q
1
..a
p
ik
q
k
A ∈ M (n), z macierzy A wykreślamy i-ty wiersz i j-tą kolumnę.
Otrzymana macierz jest macierzą kwadratową stopnia n − 1.
Wyznacznik z otrzymanej macierzy - M
ij
- jest minorem stopnia n−1.
Dla i, j = 1, . . . , n
A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
dopełnienie algebraiczne elementu a
ij
.
TWIERDZENIE 10.1.4. Wzór Laplace’a
A ∈ M (n), n > 1
Dla i = 1, . . . , n
|A| =
n
X
j=1
a
ij
A
ij
= a
i1
A
i1
+ · · · + a
in
A
in
Dla j = 1, . . . , n
|A| =
n
X
i=1
a
ij
A
ij
= a
1j
A
1j
+ · · · + a
nj
A
nj
A ∈ M (n), A = [A
1
. . . A
k
. . . A
n
],
G(A) =
n
X
j=1
a
ij
A
ij
(1) G - n-liniowe?
(a) dla k = 1, . . . , n,
A, B ∈ M (n),
A =
h
A
1
. . . A
k
. . . A
n
i
,
B =
h
A
1
. . . A
k
+ A
k
. . . A
n
i
G(B) = G(A) + G(A)
dla i = 1, . . . , n, j 6= k
B
ij
= (−1)
i+j
M
B
ij
=
(−1)
i+j
(M
A
ij
+ M
A
ij
) = A
ij
+ A
ij
B
ik
= A
ik
A =
a
11
.. a
1k
.. a
1n
..
.
..
.
..
.
a
i1
..
a
ik
..
a
in
..
.
..
.
..
.
a
n1
.. a
nk
.. a
nn
A =
a
11
.. a
1k
.. a
1n
..
.
..
.
..
.
a
i1
..
a
ik
..
a
in
..
.
..
.
..
.
a
n1
.. a
nk
.. a
nn
B =
a
11
. . .
a
1k
+
a
1k
. . . a
1n
..
.
..
.
..
.
a
i1
. . .
a
ik
+ a
ik
. . .
a
in
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . . a
nk
+ a
nk
. . . a
nn
(b) B = [A
1
. . . bA
k
. . . A
n
]
G(B) = b · G(A)
dla j 6= k
B
ij
= (−1)
i+j
M
B
ij
= (−1)
i+j
(bM
A
ij
) = bA
ij
B
ik
= A
ik
A =
a
11
. . . a
1k
. . . a
1n
..
.
..
.
..
.
a
i1
. . .
a
ik
. . .
a
in
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . . a
nk
. . . a
nn
B =
a
11
. . . ba
1k
. . . a
1n
..
.
..
.
..
.
a
i1
. . .
ba
ik
. . .
a
in
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . . ba
nk
. . . a
nn
(2) G - skośnie symetryczna?
B = [A
k
1
. . . A
k
n
],
(k
1
. . . k
n
) ∈ S
n
G(B) = sgn(k
1
. . . k
n
)G(A)
A =
a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
..
.
..
.
..
.
a
i1
. . .
a
ij
. . .
a
in
..
.
..
.
..
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn
B =
a
1k
1
. . . a
1k
j
. . . a
1k
n
..
.
..
.
..
.
a
ik
1
. . .
a
ik
j
. . .
a
i
kn
..
.
..
.
..
.
a
nk
1
. . . a
nk
j
. . . a
nk
n
gdzie s = k
j
B
ij
= (−1)
i+j
M
B
ij
= (−1)
i+j
(−1)
I
0
M
A
ik
j
I
0
- ilość < 0 czynników w ilocz. P (k
1
. . . k
j−1
k
j+1
. . . k
n
),
I - ilość < 0 czynników w iloczynie P (k
1
. . . k
n
)
(−1)
I
= (−1)
j+s
(−1)
I
0
(3) G(I
n
) =
P
n
j=1
δ
ij
I
ij
= I
ii
= (−1)
2i
|I
n−1
| = 1
A ∈ M (n). Przekątna macierzy A - a
11
, . . . , a
nn
A - macierz diagonalna, jeśli
∀i, j = 1, . . . , n
i 6= j ⇒ a
ij
= 0
a
11
0
. ..
0
a
nn
A - macierz trójkątna, jeśli
∀i, j = 1, . . . , n
i < j ⇒ a
ij
= 0
a
11
0
..
.
. ..
a
n1
. . . a
nn
lub
∀i, j = 1, . . . , n
i > j ⇒ a
ij
= 0
a
11
. . . a
1n
. ..
..
.
0
a
nn
Każda macierz diagonalna jest macierzą trójkątną.
Jeśli A jest macierzą trójkątną, to
|A| = a
11
· · · · · a
nn
Dowolną macierz A ∈ M (n) można przekształcić do macierzy trój-
kątnej B ∈ M (n) o tym samym wyznaczniku (|A| = |B|) wykonując
operacje elementarne.
Algorytm konstrukcji macierzy B
A = [A
1
, . . . , A
n
] ∈ M (n),
(1) a
11
6= 0
B
1
=
h
A
1
, A
2
−
a
12
a
11
· A
1,
. . . , A
n
−
a
1n
a
11
· A
1
i
B
1
= [B
1
1
, . . . , B
1
n
], B
1
= (b
1
ij
)
(2) b
1
22
6= 0
B
2
=
"
B
1
1
, B
1
2
, B
1
3
−
b
1
23
b
1
22
· B
1
2
, .., B
n
n
−
b
1
2n
b
1
22
· B
1
2
#
B
2
= [B
2
1
, . . . , B
2
n
], B
2
= (b
2
ij
)
..
.
..
.
..
.
(3) B
k
=
h
B
k
1
, . . . , B
k
n
i
, B
k
= (b
k
ij
)
(4) Dla k = 2, . . . , n − 2
b
k
k+1k+1
6= 0
B
k+1
=
B
k
1
, .., B
k
k+1
, B
k
k+2
−
b
k
k+1k+2
b
k
k+1k+1
· B
k
k+1
, ..
.., B
k
n
−
b
k
k+1n
b
k
k+1k+1
· B
k
k+1
Operacje elementarne na kolumnach i wierszach macierzy można za-
stąpić mnożeniem przez odpowiednie macierze:
A = [A
1
. . . A
n
] ∈ M (n),
i 6= j E
ij
∈ M (n) e
kk
= 1, dla k = 1, . . . , n; e
ij
= d , wszystkie
pozostałe elementy są równe zeru.
E
ij
=
1
0
. .. . . . d . . .
. ..
. ..
0
1
A · E
ij
= [A
1
, . . . A
j
+ dA
i
, . . . A
n
]
E
ij
· A
wykonanie analogicznych operacji na wierszach.
Macierz blokowa
C =
"
A
0
0
B
#
∈ M (m + k)
gdzie A ∈ M (m), B ∈ M (k)
|C| = |A| · |B|
Macierz A ∈ M (n) nazywamy nieosobliwą, jeśli |A| 6= 0.
W przeciwnym wypadku (|A| = 0) osobliwą.
TWIERDZENIE 10.1.5. A ∈ M (n).
A nieosobliwa ⇐⇒ A odwracalna
oraz
A
−1
= |A|
−1
B = A
−1
to b
ij
=
A
ji
|A|
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej
Macierz A przekształcamy do macierzy jednostkowej przy pomocy
opercji elementarnych, wykonując równocześnie te same operacje na
macierzy I. Macierz I zostanie w ten sposób przekształcona w macierz
A
−1
.
Macierz kwadratowa A ∈ M (n) wyznacza przekształcenie prze-
strzeni R
n
w siebie. Jeśli macierz A jest odwracalna, to A
−1
wyznacza
przekształcenie odwrotne.
Przykład
(1) Obrót o kąt ϕ - O
ϕ
=
"
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
#
.
Niezależnie od wyboru kąta
|O
ϕ
| = 1
O
−1
ϕ
=
"
cos ϕ
sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
#
=
"
cos(−ϕ) − sin(−ϕ)
sin(−ϕ)
cos(−ϕ)
#
Macierz odwrotna jest macierzą obrotu o kąt −ϕ.
(2) Podobieństwo - S
k
=
"
k
0
0 k
#
, k 6= 0 , |S
k
| = k
2
S
−1
k
=
"
1
k
0
0
1
k
#
(3) Przekształcenie nożycowe -
N
a
=
"
1 0
a 1
#
, a ∈ R , |N
a
| = 1.
N
−1
a
=
"
1
0
−a 1
#
(4) Symetria względem osi x -
H =
"
1
0
0 −1
#
, |H| = −1
H
−1
=
"
1
0
0 −1
#
= H
(5) Symetria względem osi y -
V =
"
−1 0
0
1
#
, |V | = −1
V
−1
=
"
−1 0
0
1
#
= V
(6) Symetria względem prostej
y = x,
D
1
=
"
0 1
1 0
#
, |D
1
| = −1
D
−1
1
=
"
0 1
1 0
#
= D
1
(7) Symetria względem prostej
y = −x,
D
2
=
"
0
−1
−1
0
#
, |D
2
| = −1
D
−1
2
=
"
0
−1
−1
0
#
= D
2
10.2. Układ Cramera
AX = B - układ Cramera (A ∈ M
o
(n)).
∃! rozwiazanie X = A
−1
B,
dla j = 1, . . . , n
x
j
=
|A
j
|
|A|
gdzie
A
j
= [A
1
. . . A
j−1
BA
j+1
. . . A
n
]
TWIERDZENIE 10.2.1. A ∈ M (m, n).
rzA = k ⇐⇒ istnieje minor M stopnia k różny od zera oraz każdy
minor stopnia wiekszego od k jest równy zeru.
WNIOSEK 10.2.1. A ∈ M (n)
rzA = n ⇐⇒ |A| 6= 0
A = [A
1
...A
n
], A
1
, ..., A
n
∈ R
n
A
1
, ..., A
n
liniowo niezależne ⇔ |A| 6= 0.
Kolumny (wiersze) wchodzące w skład minora różnego od zera są
wektorami liniowo niezależnymi.
Macierze podobne mają równe wyznaczniki
∀A, B ∈ M (n)
A ∼ B =⇒ |A| = |B|
Wyznacznikiem z endomorfizmu T
A
∈ E(V) nazywamy wy-
znacznik z macierzy A reprezentującej endomorfizm T
A
w dowolnej
bazie.
|T
A
| = |A| .
10.3. Wielomian charakterystyczny
A ∈ M (n),
|A − cI
n
| nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
a
11
− c
a
12
a
21
a
22
− c
= c
2
− c(a
11
+ a
22
) + (a
11
a
22
− a
12
a
21
)
a
11
− c · · ·
a
1n
. ..
a
n1
· · ·
a
nn
− c
= (−1)
n
c
n
+ A
1
c
n−1
+ · · · + A
n−1
c + |A|
TWIERDZENIE 10.3.1. A ∈ M (n).
c ∈ F jest wartością własną macierzy A wtw gdy c jest pierwiast-
kiem wielomianu charakterystycznego macierzy A.
(A − cI
n
jest macierzą osobliwą.)
A jest macierzą nieosobliwą (odwracalną) wtw gdy wszystkie war-
tości własne A są różne od zera.