G. 2. Krzywa opisana równaniami parametrycznymi

Łuk krzywej

Definicje

Załóżmy, że funkcja f dana wzorem y = f(x) jest ciągła w przedziale (c, d) = D

f

.

a) Łukiem o końcach A = (a, f(a)), B = (b, f(b)) nazywamy krzywą określoną w [a, b]

⊂

D

f

.

b) Łukiem zwykłym nazywamy łuk, gdy funkcja f ma ciągłą pochodną w przedziale [a, b].

Łuk zwykły nie może przecinać siebie.

Definicje

Załóżmy, że łuk zwykły jest określony równaniem y = f(x), gdzie x

∈

[a, b].

Punkt A = ( a, f(a) ) nazywamy początkiem łuku, zaś punkt B = ( b, f(b) ) nazywamy

końcem łuku.

Podczas wzrastania pierwszej współrzędnej od x = a do x = b punkt K = (x, f(x)) przebiega

łuk AB krzywej w kierunku od punktu A do punktu B.

Mówimy, że łuk AB jest skierowany (zorientowany) od A do B; kierunek łuku jest zgodny z

uporządkowaniem argumentów.

Krzywa opisana równaniami parametrycznymi

Krzywą płaską można określić układem dwóch równań parametrycznych postaci

x = x(t), y = y(t), gdzie t

∈

(a, b) oraz funkcje x, y są ciągłe.

Analogicznie można określić krzywą w przestrzeni; wtedy rozważamy układ trzech równań

x = x(t), y = y(t), z = z(t), gdzie t

∈

(a, b) oraz funkcje x, y, z są ciągłe.

B

b

a

x

A

y =f(x)

y

K

Twierdzenie

Załóżmy, że krzywą K zadano w postaci parametrycznej y = y(t) i x = x(t),

gdzie t

∈

(a, b), oraz funkcje x, y są ciągłe. Niech t

0

∈

(a, b).

a) Styczna do krzywej K w punkcie odpowiadającym parametrowi t

0

ma równanie:

y’(t

0

)(x – x(t

0

) ) - x’(t

0

) (y – y(t

0

) ) = 0.

b) Normalna do krzywej K w punkcie odpowiadającym parametrowi t

0

ma równanie:

x’(t

0

)(x – x(t

0

) ) + y’(t

0

) (y – y(t

0

) ) = 0.

Przejście od opisu jawnego krzywej (typu y = f(x) ) do jej opisu parametrycznego jest

zawsze możliwe. Wystarczy w tym celu przyjąć zmienną x = t jako parametr. Wtedy

otrzymujemy układ parametryczny równań: x = t, y = f(t).

Przykład 1.

Daną parabolę opisano równaniem postaci y = 3x

2

+ 2x -7 (tzw. równaniem jawnym).

Jej równania parametryczne otrzymujemy następująco:

Przyjmijmy x(t) = t, wtedy y(t) = 3t

2

+ 2t -7 dla t

∈

(-

∞

,

∞

). Zauważmy, że dla t = -2

otrzymujemy punkt P = (-2, 1).

Niech t

∈

[- 1, 4]. Wtedy równania x(t) = t, y(t) = 3t

2

+ 2t -7 są równaniami łuku.

Jego początkiem jest punkt A = ( x(-1), y(-1) ) = (-1, -6), zaś końcem B = (4, 49).

Jest to łuk zwykły, ponieważ funkcja f(x) = 3x

2

+ 2x -7 jest ciągła i ma ciągłą pochodną

równą f ’(x) = 6x +2.

Przejście od opisu parametrycznego do opisu jawnego nie zawsze jest wykonalne.

Wystarczy jednak, aby funkcja x = x(t) miała funkcję odwrotną a wówczas to będzie

możliwe.

Przykład 2.

Krzywa o równaniach parametrycznych x = r cos t, y = r sin t, gdzie 0

≤

t

≤

2

π

, r > 0 jest

okręgiem, którego środkiem jest punkt O = (0,0), a jego promień ma długość r.

Aby się o tym przekonać wystarczy zauważyć, że

x

2

+ y

2

= (r cos t)

2

+ (r sin t)

2

= r

2

(sin

2

t + cos

2

t) = r

2

.

Zatem x

2

+ y

2

= r

2

; otrzymujemy równanie okręgu o środku (0,0) i promieniu r.

Przykład 3.

Krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi x =

t

t

−

−

4

3

2

, y = t

2

+ 1, t

≠

4.

Jej równanie jawne otrzymamy w następujący sposób:

a) Rozwiązujemy równanie x =

t

t

−

−

4

3

2

, traktując t jako niewiadomą: wtedy t =

2

3

4

+

+

x

x

dla

x

≠

-2.

Funkcja dana wzorem t =

2

3

4

+

+

x

x

dla x

≠

-2 jest funkcją odwrotną do funkcji

x =

t

t

−

−

4

3

2

, t

≠

4.

b) Podstawiamy otrzymane wyrażenie w miejsce t w równaniu y = t

2

+ 1:

y = 1+

2

2

3

4













+

+

x

x

dla x

≠

-2.

Zatem krzywa k dana jest równaniem y = 1+

2

2

3

4













+

+

x

x

dla x

≠

-2.

Definicja

Punktem osobliwym krzywej określonej równaniami parametrycznymi x = x(t), y = y(t),

gdzie t

∈

(a, b) nazywamy taki punkt (x

0

, y

0

) odpowiadający wartości t

0

parametru t , w

którym jednocześnie obie pochodne x’ = x’(t), y’ = y’(t) są równe zeru,

czyli 0 = x’(t

0

), 0 = y’(t

0

).

Dla punktu osobliwego nie można napisać równania stycznej, ani równania normalnej,

bo w tym punkcie styczna i normalna nie istnieją.

Jeśli łuk zwykły jest określony równaniami parametrycznymi x = x(t), y = y(t), gdzie

t

∈

[

α

,

β

], wówczas punkt A = ( x(

α

), y(

α

) ), którego współrzędne są wartościami funkcji

x = x(t), y = y(t) obliczonymi w początku przedziału [

α

,

β

] nazywamy początkiem łuku, zaś

punkt B = ( x(

β

), y(

β

) ), którego współrzędne są wartościami funkcji x = x(t), y = y(t)

obliczonymi w końcu przedziału [

α

,

β

] nazywamy końcem łuku.

Definicja

Łukiem regularnym (płaskim) nazywamy krzywą określoną równaniami x = x(t), y = y(t),

gdzie t

∈

[a, b], gdy:

•

dla różnych t otrzymujemy różne punkty łuku,

•

pochodne x’ = x’(t), y’ = y’(t) są funkcjami ciągłymi,

•

pochodne x’ = x’(t), y’ = y’(t) w żadnym punkcie nie są jednocześnie równe zeru.

Przykład 4.

Rozważmy łuk hiperboli o równaniu y =

x

2

łączący punkt A = (1, 2) z punktem B = (4, ½ ).

Łuk ten można określić równaniami parametrycznymi x = t, y =

t

2

, t

∈

[1, 4].

Jest to łuk regularny, ponieważ:

a) dla różnych t otrzymujemy różne punkty łuku,

b) pochodne

dt

dx

= 1,

dt

dy

=

2

2

t

−

w przedziale [1, 4] są funkcjami ciągłymi różnymi od zera.

Definicja

Łuk o końcach A i B nazywamy łukiem prostowanym, gdy ma długość, krzywą zaś

nazywamy prostowaną, gdy długość ma każdy jej łuk.

Przykład 5.

Wyznacz początek, koniec oraz równanie jawne łuku zdefiniowanego parametrycznie:

x =

4

2

2

−

t

, y =

2

2

−

t

+ 3, 3

2

≤

t

≤

83

.

Rozwiązanie

1

o

Początek łuku:

A = ( x(3

2

), y(3

2

) = (

4

2

2

)

2

3

(

−

,

2

)

2

3

(

2

−

+3) = (

4

16

,

16

+3) = (2, 7).

Koniec łuku

B = ( x(

83

), y(

83

) = (

4

2

2

)

83

(

−

,

2

)

83

(

2

−

+3) = (

4

81

,

81

+3) = (3, 12).

2

o

Aby wyznaczyć jawne równanie opisujące ten łuk postępujemy następująco:

Skoro x =

4

2

2

−

t

, to x

4

= t

2

- 2 ; stąd t

2

= x

4

+ 2.

Podstawiając tę wartość do równania y =

2

2

−

t

+ 3,

otrzymujemy y =

4

x

+ 3, y = x

2

+ 3.

Wiemy, że 3

2

≤

t

≤

83

.

Zatem 18

≤

t

2

≤

83, 16

≤

t

2

– 2

≤

81.

Czyli 16

≤

x

4

≤

81. Stąd 4

≤

x

2

≤

9.

Nierówność jest równoważna alternatywie warunków -3

≤

x

≤

-2 lub 2

≤

x

≤

3.

Wartości x muszą być dodatnie, bo x =

4

2

2

−

t

, czyli 2

≤

x

≤

3.

Równanie łuku jest następujące: y = x

2

i 2

≤

x

≤

3. Jest to łuk paraboli.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Napisz równanie stycznej i normalnej do krzywej K danej poniższym równaniem w jej

punkcie A odpowiadającym parametrowi t

0

.

a) x = sin t, y = cos t; t

0

=

4

π

; b) x = 3t

2

, y = 3t – t

3

; t

0

=

3

1

.

Zadanie 2.

Krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi. Napisz jej równanie w formie jawnej.

a) x =

t

t

−

5

2

, y = t

2

+ 2t - 1, t

≠

5, b) x =

t

t

5

4

3

−

−

, y =

t

t

2

3

1

2

−

−

, t

≠

0,8 i t

≠

1,5

Zadanie 3.

Napisz jej równania parametryczne krzywej zadanej równaniem postaci:

a) y = 3 ln x

2

+ 2x , b) 3x – 2y

2

+ 5 = 0.

Zadanie 4

Wyznacz punkt A początkowy i punkt B końcowy łuku określonego równaniem:

a) 3x – 5y + 4 = 0 i x

∈

[- 1, 4], b) x + y

2

- 5 = 0 i y

∈

[- 3, -2],

c) x = 3t

2

, y = 3t – t

3

i t

∈

[- 1, 2], d) x =

t

t

−

−

4

3

2

, y = t

2

+ 1 i t

∈

[- 1, 0].

Odpowiedzi

Zad. 1. a) A = (

2

2

,

2

2

); x + y –

2

= 0 ; y = x,

b) A = (1,

9

3

8

); x – y

3

+

3

5

= 0 ; 3x + y

3

–

3

17

= 0.

Zad. 2. a) y =

2

2

)

2

(

4

16

34

+

−

+

x

x

x

, b) y =

3

7

5

3

−

+

x

x

.

Zad. 3. a) x = t , y = 3ln t

2

+ t, t

≠

0 , b) y = t, x =

3

1

(2t

2

– 5).

Zad.4. a) A = ( -1; 0,8), B = (4; 3,2) , b) A = (-4,-3), B =(-2,-1),
c) A = (3,-2), B =(12,-2), d) A = (1,2), B =(- 0,75; 1).