G. 2. Krzywa opisana równaniami parametrycznymi
Łuk krzywej
Definicje
ZałóŜmy, Ŝe funkcja f dana wzorem y = f(x) jest ciągła w przedziale (c, d) = D
f
.
a) Łukiem o końcach A = (a, f(a)), B = (b, f(b)) nazywamy krzywą określoną w [a, b]
⊂
D
f
.
b) Łukiem zwykłym nazywamy łuk, gdy funkcja f ma ciągłą pochodną w przedziale [a, b].
Łuk zwykły nie moŜe przecinać siebie.
Definicje
ZałóŜmy, Ŝe łuk zwykły jest określony równaniem y = f(x), gdzie x
∈
[a, b].
Punkt A = ( a, f(a) ) nazywamy początkiem łuku, zaś punkt B = ( b, f(b) ) nazywamy
końcem łuku.
Podczas wzrastania pierwszej współrzędnej od x = a do x = b punkt K = (x, f(x)) przebiega
łuk AB krzywej w kierunku od punktu A do punktu B.
Mówimy, Ŝe łuk AB jest skierowany (zorientowany) od A do B; kierunek łuku jest zgodny z
uporządkowaniem argumentów.
Krzywa opisana równaniami parametrycznymi
Krzywą płaską moŜna określić układem dwóch równań parametrycznych postaci
x = x(t), y = y(t), gdzie t
∈
(a, b) oraz funkcje x, y są ciągłe.
Analogicznie moŜna określić krzywą w przestrzeni; wtedy rozwaŜamy układ trzech równań
x = x(t), y = y(t), z = z(t), gdzie t
∈
(a, b) oraz funkcje x, y, z są ciągłe.
B
b
a
x
A
y =f(x)
y
K
Twierdzenie
ZałóŜmy, Ŝe krzywą K zadano w postaci parametrycznej y = y(t) i x = x(t),
gdzie t
∈
(a, b), oraz funkcje x, y są ciągłe. Niech t
0
∈
(a, b).
a) Styczna do krzywej K w punkcie odpowiadającym parametrowi t
0
ma równanie:
y’(t
0
)(x – x(t
0
) ) - x’(t
0
) (y – y(t
0
) ) = 0.
b) Normalna do krzywej K w punkcie odpowiadającym parametrowi t
0
ma równanie:
x’(t
0
)(x – x(t
0
) ) + y’(t
0
) (y – y(t
0
) ) = 0.
Przejście od opisu jawnego krzywej (typu y = f(x) ) do jej opisu parametrycznego jest
zawsze moŜliwe. Wystarczy w tym celu przyjąć zmienną x = t jako parametr. Wtedy
otrzymujemy układ parametryczny równań: x = t, y = f(t).
Przykład 1.
Daną parabolę opisano równaniem postaci y = 3x
2
+ 2x -7 (tzw. równaniem jawnym).
Jej równania parametryczne otrzymujemy następująco:
Przyjmijmy x(t) = t, wtedy y(t) = 3t
2
+ 2t -7 dla t
∈
(-
∞
,
∞
). ZauwaŜmy, Ŝe dla t = -2
otrzymujemy punkt P = (-2, 1).
Niech t
∈
[- 1, 4]. Wtedy równania x(t) = t, y(t) = 3t
2
+ 2t -7 są równaniami łuku.
Jego początkiem jest punkt A = ( x(-1), y(-1) ) = (-1, -6), zaś końcem B = (4, 49).
Jest to łuk zwykły, poniewaŜ funkcja f(x) = 3x
2
+ 2x -7 jest ciągła i ma ciągłą pochodną
równą f ’(x) = 6x +2.
Przejście od opisu parametrycznego do opisu jawnego nie zawsze jest wykonalne.
Wystarczy jednak, aby funkcja x = x(t) miała funkcję odwrotną a wówczas to będzie
moŜliwe.
Przykład 2.
Krzywa o równaniach parametrycznych x = r cos t, y = r sin t, gdzie 0
≤
t
≤
2
π
, r > 0 jest
okręgiem, którego środkiem jest punkt O = (0,0), a jego promień ma długość r.
Aby się o tym przekonać wystarczy zauwaŜyć, Ŝe
x
2
+ y
2
= (r cos t)
2
+ (r sin t)
2
= r
2
(sin
2
t + cos
2
t) = r
2
.
Zatem x
2
+ y
2
= r
2
; otrzymujemy równanie okręgu o środku (0,0) i promieniu r.
Przykład 3.
Krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi x =
t
t
−
−
4
3
2
, y = t
2
+ 1, t
≠
4.
Jej równanie jawne otrzymamy w następujący sposób:
a) Rozwiązujemy równanie x =
t
t
−
−
4
3
2
, traktując t jako niewiadomą: wtedy t =
2
3
4
+
+
x
x
dla
x
≠
-2.
Funkcja dana wzorem t =
2
3
4
+
+
x
x
dla x
≠
-2 jest funkcją odwrotną do funkcji
x =
t
t
−
−
4
3
2
, t
≠
4.
b) Podstawiamy otrzymane wyraŜenie w miejsce t w równaniu y = t
2
+ 1:
y = 1+
2
2
3
4
+
+
x
x
dla x
≠
-2.
Zatem krzywa k dana jest równaniem y = 1+
2
2
3
4
+
+
x
x
dla x
≠
-2.
Definicja
Punktem osobliwym krzywej określonej równaniami parametrycznymi x = x(t), y = y(t),
gdzie t
∈
(a, b) nazywamy taki punkt (x
0
, y
0
) odpowiadający wartości t
0
parametru t , w
którym jednocześnie obie pochodne x’ = x’(t), y’ = y’(t) są równe zeru,
czyli 0 = x’(t
0
), 0 = y’(t
0
).
Dla punktu osobliwego nie moŜna napisać równania stycznej, ani równania normalnej,
bo w tym punkcie styczna i normalna nie istnieją.
Jeśli łuk zwykły jest określony równaniami parametrycznymi x = x(t), y = y(t), gdzie
t
∈
[
α
,
β
], wówczas punkt A = ( x(
α
), y(
α
) ), którego współrzędne są wartościami funkcji
x = x(t), y = y(t) obliczonymi w początku przedziału [
α
,
β
] nazywamy początkiem łuku, zaś
punkt B = ( x(
β
), y(
β
) ), którego współrzędne są wartościami funkcji x = x(t), y = y(t)
obliczonymi w końcu przedziału [
α
,
β
] nazywamy końcem łuku.
Definicja
Łukiem regularnym (płaskim) nazywamy krzywą określoną równaniami x = x(t), y = y(t),
gdzie t
∈
[a, b], gdy:
•
dla róŜnych t otrzymujemy róŜne punkty łuku,
•
pochodne x’ = x’(t), y’ = y’(t) są funkcjami ciągłymi,
•
pochodne x’ = x’(t), y’ = y’(t) w Ŝadnym punkcie nie są jednocześnie równe zeru.
Przykład 4.
RozwaŜmy łuk hiperboli o równaniu y =
x
2
łączący punkt A = (1, 2) z punktem B = (4, ½ ).
Łuk ten moŜna określić równaniami parametrycznymi x = t, y =
t
2
, t
∈
[1, 4].
Jest to łuk regularny, poniewaŜ:
a) dla róŜnych t otrzymujemy róŜne punkty łuku,
b) pochodne
dt
dx
= 1,
dt
dy
=
2
2
t
−
w przedziale [1, 4] są funkcjami ciągłymi róŜnymi od zera.
Definicja
Łuk o końcach A i B nazywamy łukiem prostowanym, gdy ma długość, krzywą zaś
nazywamy prostowaną, gdy długość ma kaŜdy jej łuk.
Przykład 5.
Wyznacz początek, koniec oraz równanie jawne łuku zdefiniowanego parametrycznie:
x =
4
2
2
−
t
, y =
2
2
−
t
+ 3, 3
2
≤
t
≤
83
.
Rozwiązanie
1
o
Początek łuku:
A = ( x(3
2
), y(3
2
) = (
4
2
2
)
2
3
(
−
,
2
)
2
3
(
2
−
+3) = (
4
16
,
16
+3) = (2, 7).
Koniec łuku
B = ( x(
83
), y(
83
) = (
4
2
2
)
83
(
−
,
2
)
83
(
2
−
+3) = (
4
81
,
81
+3) = (3, 12).
2
o
Aby wyznaczyć jawne równanie opisujące ten łuk postępujemy następująco:
Skoro x =
4
2
2
−
t
, to x
4
= t
2
- 2 ; stąd t
2
= x
4
+ 2.
Podstawiając tę wartość do równania y =
2
2
−
t
+ 3,
otrzymujemy y =
4
x
+ 3, y = x
2
+ 3.
Wiemy, Ŝe 3
2
≤
t
≤
83
.
Zatem 18
≤
t
2
≤
83, 16
≤
t
2
– 2
≤
81.
Czyli 16
≤
x
4
≤
81. Stąd 4
≤
x
2
≤
9.
Nierówność jest równowaŜna alternatywie warunków -3
≤
x
≤
-2 lub 2
≤
x
≤
3.
Wartości x muszą być dodatnie, bo x =
4
2
2
−
t
, czyli 2
≤
x
≤
3.
Równanie łuku jest następujące: y = x
2
i 2
≤
x
≤
3. Jest to łuk paraboli.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Napisz równanie stycznej i normalnej do krzywej K danej poniŜszym równaniem w jej
punkcie A odpowiadającym parametrowi t
0
.
a) x = sin t, y = cos t; t
0
=
4
π
; b) x = 3t
2
, y = 3t – t
3
; t
0
=
3
1
.
Zadanie 2.
Krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi. Napisz jej równanie w formie jawnej.
a) x =
t
t
−
5
2
, y = t
2
+ 2t - 1, t
≠
5, b) x =
t
t
5
4
3
−
−
, y =
t
t
2
3
1
2
−
−
, t
≠
0,8 i t
≠
1,5
Zadanie 3.
Napisz jej równania parametryczne krzywej zadanej równaniem postaci:
a) y = 3 ln x
2
+ 2x , b) 3x – 2y
2
+ 5 = 0.
Zadanie 4
Wyznacz punkt A początkowy i punkt B końcowy łuku określonego równaniem:
a) 3x – 5y + 4 = 0 i x
∈
[- 1, 4], b) x + y
2
- 5 = 0 i y
∈
[- 3, -2],
c) x = 3t
2
, y = 3t – t
3
i t
∈
[- 1, 2], d) x =
t
t
−
−
4
3
2
, y = t
2
+ 1 i t
∈
[- 1, 0].
Odpowiedzi
Zad. 1. a) A = (
2
2
,
2
2
); x + y –
2
= 0 ; y = x,
b) A = (1,
9
3
8
); x – y
3
+
3
5
= 0 ; 3x + y
3
–
3
17
= 0.
Zad. 2. a) y =
2
2
)
2
(
4
16
34
+
−
+
x
x
x
, b) y =
3
7
5
3
−
+
x
x
.
Zad. 3. a) x = t , y = 3ln t
2
+ t, t
≠
0 , b) y = t, x =
3
1
(2t
2
– 5).
Zad.4. a) A = ( -1; 0,8), B = (4; 3,2) , b) A = (-4,-3), B =(-2,-1),
c) A = (3,-2), B =(12,-2), d) A = (1,2), B =(- 0,75; 1).