Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

1

Wersja robocza

Charakterystyki rozkładu liczebności

1. Miary tendencji centralnej (MTC)

2. Miary dyspersji, zróżnicowania (MD)
3. Miary asymetrii (MA)

1. Miary tendencji centralnej (MTC)

• Średnia arytmetyczna

• Dominanta (wartość modalna, moda)

• Mediana (wartość środkowa)

•

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna

x

jest to wartość cechy, którą

otrzymujemy dzieląc sumę wartości cechy wszystkich
jednostek zbiorowości przez liczebność zbiorowości.

Dla danych indywidualnych, zakładając, że X jest cechą
zbiorowości, która liczy n jednostek statystycznych:

x

x

n

x

x

x

n

i

i

n

n

=

=

+ + +

=

∑

1

1

2

...

(1)

Dla danych pogrupowanych - obliczamy średnią ważoną.
Zakładając, że X jest cechą zbiorowości, która liczy n jednostek
statystycznych pogrupowanych w k klas (przedziałów).
Stosujemy następujący wzór:

n

n

x

n

x

n

x

n

n

x

x

k

k

k

i

i

i

+

+

+

=

=

∑

=

...

2

2

1

1

1

, (2)

zauważmy, że n

n

i

i

k

=

=

∑

1

,

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

2

dla danych pogrupowanych w przedziały, w miejsce

x

i

należy

wstawić

x

i

0

(środek przedziału)

Przykład 1.
Dane o wzroście studentów (n=10) są następujące:

Ile wynosi średni wzrost?

Stosujemy wzór (1) - dla danych indywidualnych.
Suma wartości Xi wynosi 1717, podzielona przez 10 liczebność
zbiorowości) wynosi 171,7. Zatem:

x

= 171 7

,

.

Przykład 2.
Dane o wzroście n = 300 studentów są następujące:

Ile wynosi średni wzrost?
Należy obliczyć średnią ważoną (dane są pogrupowane), czyli
zastosować wzór (2).

x

=

=

50040

300

166 8

,

Przykład 3.
Dane o wieku mieszkańców pewnego „wieżowca” (n = 300) są
następujące:

Xi 160 171 161 190 171 155 180 183 189 157

xi n

i

x

i

n

i

160

50

8000

165

90

14850

168

100

16800

170

50

8500

189

10

1890

suma

300

50040

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

3

Ile wynosi średni wzrost?
Należy obliczyć średnią ważoną (dane są pogrupowane), czyli
zastosować wzór (2).

5

,

34

300

10350 =

=

x

Własności średniej arytmetycznej:

- może przyjąć każdą wartość z przedziału

Xmin i Xmax

- jest wartością abstrakcyjną, wypadkową
- jest wartością mianowaną
- suma odchyleń od średniej jest równa zero
- suma kwadratów odchyleń jest najmniejsza (metoda
najmniejszych kwadratów)

xi n

i

x

i

0

x

i

0

n

i

0-10 20

5

100

10-20 40

15

600

20-30 80

25

2000

30-40 60

35

2100

40-50 40

45

1800

50-60 30

55

1650

60-70 20

65

1300

70-90 10

80

800

suma 300

X

10350

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

4

•

Dominanta (wartość modalna, moda)

Dominanta (d) jest to wartość cechy, która występuje w
analizowanej zbiorowości najczęściej.

Dla danych indywidualnych wyznaczanie dominanty polega
na ustaleniu jaka wartość cechy występuje najczęściej czyli
pojawia się u największej liczby jednostek statystycznych.

Przykład 3
Analizą jest objęta grupa 10 studentów, X - wzrost w cm.
Dane są następujące:

X 160 170 170 168 169 162 180 168 168 169

Podaj ile wynosi dominanta. Odpowiedź: d = 168 cm

Dla danych pogrupowanych dominantę wyznacza się z
szeregu rozdzielczego.

Jeżeli pogrupowanie jest punktowe dominantą jest ta wartość
cechy, która odpowiada największej liczebności.

Przykład 4.
Dane o wzroście (X) studentów pewnego wydziału
uniwersyteckiego (n=150) są następujące:

X ni nsk

160 20 20
165 30 50
170 35 85
172

50 135

178 15 150

Suma 150 X

Obliczyć dominantę.

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

5

Rozwiązanie:
Wśród liczebności grupowych (ni) odnajdujemy wartość

największą (czyli: 50). Dominantą jest wartość X
odpowiadająca liczebności największej.
Odpowiedź:

d = 172 cm

Me = 170

Jeżeli dane pogrupowane są w przedziały możemy:
a) wyznaczyć przedział dominanty, a następnie przyjąć jako

przybliżoną wartość dominanty środek przedziału

b) określić przybliżoną wartość dominanty za pomocą wzoru

interpolacyjnego:

n

d

-

n

d-1

d

=

x

d

+

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

i

d

(n

d

- n

d-1

)

+

(n

d

-

n

d+1

)

gdzie:
x

d

- dolna granica przedziału, w którym znajduje się

dominanta,
n

d

- liczebność przedziału dominanty,

n

d-1

- liczebność przedziału poprzedzającego przedział

dominanty,
n

d+1

- liczebność przedziału następującego po przedziale

dominanty,
i

d

- szerokość (rozpiętość) przedziału dominanty.

Przykład 5:
Wyniki testu pamięciowego przeprowadzonego wśród 100
studentów są następujące:

X

ni

nsk Xi0 Xi0ni

0 - 5

5

5

11,5

5 - 10

20

25

150,0

10 - 15

30

55

375,0

15 - 20

25

80

435,5

20 - 25

20 100

450,0

Suma 100 X

X

1423,5

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

6

Obliczyć dominantę wykorzystując wzór interpolacyjny.
Rozwiązanie:
d = 10 + (30 - 20) / [(30 - 20) + (30 -25)] * 5 = 10 + 10 / 15 * 5 = 10
+ 3,33 ≈ 13,3
Me ≈ 12,5

x

= 14,2

• Interpretacja

• Własności

Rozkłady unimodalne (jednomodalne)
Rozkłady bimodalne (dwumodalne)
Rozkłady multimodalne (wielomodalne)

Graficzne

Dominantę z szeregu rozdzielczego można w przybliżeniu
wyznaczyć także w sposób graficzny (np. na podstawie
histogramu).

Dominanta x

n

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

7

•

Mediana (wartość środkowa)

Mediana jest to wartość zmiennej, która „dzieli” zbiorowość
statystyczną na dwie części - tak, że 50% jednostek
zbiorowości posiada wartość zmiennej mniejszą lub równą
medianie i 50% jednostek zbiorowości posiada wartość
zmiennej większą lub równą medianie.

Obliczanie mediany polega na wskazaniu jednostki środkowej i
odczytaniu wartości zmiennej przez nią posiadaną (zakładamy,
że jednostki zbiorowości uporządkowane są według rosnących
wartości zmiennej)

Dla wskazania, która jednostka "zajmuje środkową pozycję"
zaleca się skumulowanie liczebności (sumowanie narastające).
Należy zauważyć, że przy nieparzystej liczbie jednostek
zbiorowości "osoba" środkowa będzie miała indeks (n+1)/2.
Przy parzystej liczbie jednostek zbiorowości wskazuje się dwie
jednostki środkowe o indeksach n/2 i n/2 +1.

Dla danych indywidualnych (uporządkowanych) lub
pogrupowanych punktowo medianę oblicza się następująco:

Me =

x

(n+1)/2 dla n nieparzystych

Me = (1/2) (

x

n/2 +

x

n/2+1)

dla n parzystych

Jeżeli dane pogrupowane są w przedziały możemy:
a) wyznaczyć przedział mediany, a następnie przyjąć jako

przybliżoną wartość mediany środek przedziału

b) określić przybliżoną wartość mediany za pomocą wzoru

interpolacyjnego:

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

8

n/2 -

n

i

i

k

=

−

∑

1

1

Me =

x

Me + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ i Me

n Me

gdzie:
x Me - dolna granica przedziału mediany,
n Me - liczebność przedziału mediany,

i Me - szerokość (rozpiętość) przedziału mediany

n

i

i

k

=

−

∑

1

1

- suma liczebności skumulowanych w przedziale

poprzedzającym przedział

mediany,

Przykład 6
200 losowo wybranych kierowców samochodów osobowych
zapytano ile wykroczeń drogowych popełnili w ciągu ostatnich
6 miesięcy. Uzyskano następujące odpowiedzi. Obliczyć
medianę wykorzystując wzór interpolacyjny:

X

ni

nsk

0 - 5

50

1……50

50

5 - 10

60

51 …110

110

10 - 15

40

150

15 - 20

40

190

20 - 25

10

200

Suma 200

X

Rozwiązanie
(a) z szeregu liczebności skumulowanych wynika, że wartość
mediany znajduje się w przedziale drugim czyli między 5 i 10
(przedział drugi jest przedziałem mediany).
(b) korzystamy z wzoru interpolacyjnego:

Me = 5 + [(200/2 - 50)/60] * 5 = 5+ 50/60 * 5 = 5+ 4,16 = 9,16

Statystyka w naukach społecznych IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

9

Wyznaczania mediany dla szeregu prostego (dane
indywidualne)

1. uporządkować dane w sposób rosnący,
2. zauważyć (przeliczyć) czy liczba obserwacji jest parzysta

czy nieparzysta

Jeżeli szereg jest nieparzysty wartość mediany stanowi
wartość cechy wyrazu środkowego
168, 178, 171, 185, 180, 171, 179, 183, 180, 175, 186
168, 171, 171, 175, 178,

179

, 180, 180, 183, 185, 186

Me = 179

Jeżeli szereg jest parzysty są dwa wyrazy środkowe a medianę
stanowi średnia arytmetyczna wartości badanej cechy
wyznaczona z obu wyrazów środkowych

159, 168, 171, 171, 175,

178, 179

, 180, 180, 183, 185, 186

Me = (178+179)

÷ 2 = 178,5 ≈ 179

Średnia geometryczna

jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.
Jeśli tymi liczbami są wskaźniki dynamiki (łańcuchowe) w
okresie od 0 do n, średnia geometryczna oznacza średnie
roczne tempo zmian (wzrost lub spadek) w %.

1

/

1

−

=

Π

=

xt

xt

G

n

n

t

(

Π

-

oznacza iloczyn)

Dane czasowe: X liczba zabójstw dokonanych w latach
2000-2007

lata 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Xt 809 751 690 638 616 544 480 512

n

X

2001

/X

2000 *

X

2002

/X

2001 *

X

2003

/X

2002 *

X

2004

/X

2003 *

X

2005

/X

2004 *

X

2006

/X

2005 *

X

2007

/X

2006 =

n

X

2007

/X

2000 (pierwiastek 7-mego stopnia)

Interpretacja: średnie roczne tempo wynosi X%