Statystyka w naukach społecznych IPSiR UW materiały dydaktyczne (2)

Wersja robocza

Charakterystyki rozkładu liczebności

1. Miary tendencji centralnej (MTC)

2. Miary dyspersji, zróżnicowania (MD)

3. Miary asymetrii (MA)

1. Miary tendencji centralnej (MTC)

0. Średnia arytmetyczna

1. Dominanta (wartość modalna, moda)

2. Mediana (wartość środkowa)

1. Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna  jest to wartość cechy, którą otrzymujemy dzieląc sumę wartości cechy wszystkich jednostek zbiorowości przez liczebność zbiorowości.

Dla danych indywidualnych, zakładając, że X jest cechą zbiorowości, która liczy n jednostek statystycznych:

(1)

Dla danych pogrupowanych - obliczamy średnią ważoną. Zakładając, że X jest cechą zbiorowości, która liczy n jednostek statystycznych pogrupowanych w k klas (przedziałów). Stosujemy następujący wzór:

, (2)

zauważmy, że ,

dla danych pogrupowanych w przedziały, w miejsce należy wstawić (środek przedziału)

Przykład 1.

Dane o wzroście studentów (n=10) są następujące:

Xi

160

171

161

190

171

155

180

183

189

157

Ile wynosi średni wzrost?

Stosujemy wzór (1) - dla danych indywidualnych.

Suma wartości Xi wynosi 1717, podzielona przez 10 liczebność zbiorowości) wynosi 171,7. Zatem: .

Przykład 2.

Dane o wzroście n = 300 studentów są następujące:

xi	ni	xini
160	50	8000
165	90	14850
168	100	16800
170	50	8500
189	10	1890
suma	300	50040

Ile wynosi średni wzrost?

Należy obliczyć średnią ważoną (dane są pogrupowane), czyli zastosować wzór (2).

Przykład 3.

Dane o wieku mieszkańców pewnego „wieżowca” (n = 300) są następujące:

xi	ni		ni
0-10	20	5	100
10-20	40	15	600
20-30	80	25	2000
30-40	60	35	2100
40-50	40	45	1800
50-60	30	55	1650
60-70	20	65	1300
70-90	10	80	800
suma	300	X	10350

Ile wynosi średni wzrost?

Należy obliczyć średnią ważoną (dane są pogrupowane), czyli zastosować wzór (2).

Własności średniej arytmetycznej:

- może przyjąć każdą wartość z przedziału Xmin i Xmax

- jest wartością abstrakcyjną, wypadkową

- jest wartością mianowaną

- suma odchyleń od średniej

- suma kwadratów odchyleń

3. Dominanta (wartość modalna, moda)

Dominanta (d) jest to wartość cechy, która występuje w analizowanej zbiorowości najczęściej.

Dla danych indywidualnych wyznaczanie dominanty polega na ustaleniu jaka wartość cechy występuje najczęściej czyli pojawia się u największej liczby jednostek statystycznych.

Przykład 3

Analizą jest objęta grupa 10 studentów, X - wzrost w cm.

Dane są następujące:

X

160

170

170

168

169

162

180

168

168

169

Podaj ile wynosi dominanta. Odpowiedź: d = 168 cm

Dla danych pogrupowanych dominantę wyznacza się z szeregu rozdzielczego.

Jeżeli pogrupowanie jest punktowe dominantą jest ta wartość cechy, która odpowiada największej liczebności.

Przykład 4.

Dane o wzroście (X) studentów pewnego wydziału uniwersyteckiego (n=150) są następujące:

X	ni
160	20
165	30
170	35
172	50
178	15
suma	150

Obliczyć dominantę.

Rozwiązanie:

Wśród liczebności grupowych (n_i) odnajdujemy wartość największą (czyli: 50). Dominantą jest wartość X odpowiadająca liczebności największej.

Odpowiedź: d = 172 cm

Jeżeli dane pogrupowane są w przedziały możemy:

a) wyznaczyć przedział dominanty, a następnie przyjąć jako przybliżoną wartość dominanty środek przedziału

b) określić przybliżoną wartość dominanty za pomocą wzoru interpolacyjnego:

n _d - n _d-1

d = x _d +  i _d

(n _d - n _d-1) + (n _d - n _d+1)

gdzie:

x _d - dolna granica przedziału, w którym znajduje się dominanta,

n _d - liczebność przedziału dominanty,

n _d-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty,

n _d+1 - liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty,

i _d - szerokość (rozpiętość) przedziału dominanty.

Przykład 5:

Wyniki testu pamięciowego przeprowadzonego wśród 100 studentów są następujące:

X	ni
0 - 5	5
5 - 10	20
10 - 15	30
15 - 20	25
20 - 25	20
Suma	100

Obliczyć dominantę wykorzystując wzór interpolacyjny.

Rozwiązanie:

d = 10 + (30 - 20) / [(30 - 20) + (30 -25)] * 5 = 10 + 10 / 15 * 5 = 10 + 3,33 = 13,33

• Interpretacja

• Własności

Rozkłady unimodalne (jednomodalne)

Rozkłady bimodalne (dwumodalne)

Rozkłady multimodalne (wielomodalne)

Graficzne

Dominantę z szeregu rozdzielczego można w przybliżeniu wyznaczyć także w sposób graficzny (np. na podstawie histogramu).

5. Mediana (wartość środkowa)

Mediana jest to wartość zmiennej, która dzieli zbiorowość statystyczną na dwie części - tak, że 50% jednostek zbiorowości posiada wartość zmiennej mniejszą lub równą medianie i 50% jednostek zbiorowości posiada wartość zmiennej większą lub równą medianie.

Obliczanie mediany polega na wskazaniu jednostki środkowej i odczytaniu wartości zmiennej przez nią posiadaną (zakładamy, że jednostki zbiorowości uporządkowane są według rosnących wartości zmiennej)

Dla wskazania, która jednostka "zajmuje środkową pozycję" zaleca się skumulowanie liczebności (sumowanie narastające).

Należy zauważyć, że przy nieparzystej liczbie jednostek zbiorowości "osoba" środkowa będzie miała indeks (n+1)/2. Przy parzystej liczbie jednostek zbiorowości wskazuje się dwie jednostki środkowe o indeksach n/2 i n/2 +1.

Dla danych indywidualnych (uporządkowanych) lub pogrupowanych punktowo medianę oblicza się następująco:

Me = x _(n+1)/2 dla n nieparzystych

Me = (1/2) (x _n/2 + x _n/2+1) dla n parzystych

Jeżeli dane pogrupowane są w przedziały możemy:

a) wyznaczyć przedział mediany, a następnie przyjąć jako przybliżoną wartość mediany środek przedziału

b) określić przybliżoną wartość mediany za pomocą wzoru interpolacyjnego:

n/2 -

Me = x _Me +  i _Me

n _Me

gdzie:

x _Me - dolna granica przedziału mediany,

n _Me - liczebność przedziału mediany,

i _Me - szerokość (rozpiętość) przedziału mediany

- suma liczebności skumulowanych w przedziale poprzedzającym przedział

mediany,

Przykład 6

200 losowo wybranych kierowców samochodów osobowych zapytano ile wykroczeń drogowych popełnili w ciągu ostatnich 6 miesięcy. Uzyskano następujące odpowiedzi. Obliczyć medianę wykorzystując wzór interpolacyjny:

X	ni	nsk
0 - 5	50	1………50 50
5 - 10	60	51 …110 110
10 - 15	40	150
15 - 20	40	190
20 - 25	10	200
Suma	200	X

Rozwiązanie

(a) z szeregu liczebności skumulowanych wynika, że wartość mediany znajduje się w przedziale drugim czyli między 5 i 10 (przedział drugi jest przedziałem mediany).

(b) korzystamy z wzoru interpolacyjnego:

Me = 5 + [(200/2 - 50)/60] * 5 = 5+ 50/60 * 5 = 5+ 4,16 = 9,16

Wyznaczania mediany dla szeregu prostego (dane indywidualne)

1. uporządkować dane w sposób rosnący,

2. zauważyć (przeliczyć) czy liczba obserwacji jest parzysta czy nieparzysta

Jeżeli szereg jest nieparzysty wartość mediany stanowi wartość cechy wyrazu środkowego

168, 178, 171, 185, 180, 171, 179, 183, 180, 175, 186

1 68, 171, 171, 175, 178, 179, 180, 180, 183, 185, 186

Me = 179

Jeżeli szereg jest parzysty są dwa wyrazy środkowe a medianę stanowi średnia arytmetyczna wartości badanej cechy wyznaczona z obu wyrazów środkowych

159, 168, 171, 171, 175, 178, 179, 180, 180, 183, 185, 186

Me = (178+179)  2 = 178,5  179

10