Wartość bezwzględna Wrocławski Portal Matematyczny Matematyka jest ciekawa

Szukaj

Twoja wyszukiwarka

W tej chwili stronę przegląda

26 użytkowników online.

Logowanie dla redaktorów

Nazwa użytkownika:

Hasło:

Zaloguj

Poproś o nowe hasło

STATYSTYKA MIESIĄCA

SIERPIEŃ

Nowych artykułów - 31

Liczba wizyt - 181 667

Wyświetlone strony - 712 154

LIPIEC

Nowych artykułów - 39

Liczba wizyt - 202 155

Wyświetlone strony - 755 648

CZERWIEC

Nowych artykułów - 26

Liczba wizyt - 201 327

Wyświetlone strony - 798 930

MAJ

Nowych artykułów - 18

Liczba wizyt - 233 468

Wyświetlone strony - 975 603

KWIECIEŃ

Nowych artykułów - 43

Liczba wizyt - 164 307

Wyświetlone strony

- 1 316 057

MARZEC

Nowych artykułów - 23

Liczba wizyt - 235 227

Wyświetlone strony

- 1 042 789

LUTY

Nowych artykułów - 53

Liczba wizyt - 203 442

Wyświetlone strony

- 1 217 610

STYCZEŃ

Nowych artykułów - 67

Liczba wizyt - 233 385

Wyświetlone strony - 982 829

‹ Czytanie wyrażeń

górę

Wzory skróconego mnożenia ›

›

›

Wyrażenia algebraiczne

Wartość bezwzględna

Data ostatniej modyfikacji:

2018-09-14

Oznaczenie

Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy symbolem |a|.

W kalkulatorach i komputerach stosuje się oznaczenie abs (a), co jest skrótem od angielskiej
nazwy absolute value, oznaczającym właśnie wartość bezwzględną.

O tym, dlaczego w kalkulatorach i komputerach nie można stosować zapisu z kreskami,
przeczytasz w tekście

Kłopoty z wartością bezwzględną

Co to jest?

O wartości bezwzględnej można myśleć jako o pewnymdziałaniu na liczbach. Jest ono
jednak nietypowe, bo wykonywane na jednej liczbie, a nie na dwóch jak np. dodawanie. Działanie
to polega na "zapominaniu" znaku liczby.

przykłady

|5| = 5 |-5| = 5

|2,5| = 2,5 |-2,5|=2,5

Ogólnie mówiąc:

Interpretacja geometryczna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej.

Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb, to ich odległość na osi liczbowej.

Własności

wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujemna (czyli dodania lub równa zero), tzn.

|a|≥ 0

wartość bezwzględna jest zerem tylko dla zera, tzn.

|a|=0 ≡ a=0

wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, np. |7|=|-7|=7, a ogólnie

|a|=|-a| oraz |a - b| = |b - a|

każda liczba jest nie większa od swojej wartości bezwzględnej i nie mniejsza od liczby przeciwnej
do swojej wartości bezwzględnej, tzn.

-|a| ≤ a ≤ |a|

wartość bezwzględna iloczynu / ilorazu dwóch liczb jest równa iloczynowi / ilorazowi ich wartości
bezwzględnych, tzn.

|a · b|=|a| · |b| oraz

(dla b≠0)

czyli wartość bezwzględną możemy rozdzielić na oba czynniki w mnożeniu oraz na licznik i
mianownik w ułamku

wartość bezwzględna sumy / różnicy dwóch liczb nie jest równa sumie / różnicy ich wartości
bezwzględnych, tzn.

|a + b| ≠ |a| + |b| oraz |a - b| ≠ |a| - |b|

czyli wartości bezwzględnej nie możemy rozdzielić na składniki w dodawaniu ani na odjemną i
odjemnik w odejmowaniu

przykłady

|5 + (-2)|

≠

|5| + |-2|

|5 - (-2)|

≠

|5| - |-2|

równość |a + b| = |a| + |b| zachodzi tylko wtedy, gdy liczby a i b są tego samego znaku

przykłady

|5 + 3| = |5| + |3|

|(-5) + (-3)| = |(-5)| + |(-3)|

zawsze zachodzą nierówności |a + b| ≥ |a| + |b| oraz |a - b| ≤ |a| + |b|.

przykłady

8 = |8| = |5 + 3| ≥ |5| + |3| = 5 + 3 = 8, czyli 8 ≥ 8

8 = |-8| = |(-5) + (-3)| ≥ |(-5)| + |(-3)| = 5 + 3 = 8, czyli -8 ≥ 8

8 = |8| = |11 - 3| ≤ |11| + |3| = 11 + 3 = 14, czyli 8 ≤ 14

8 = |-8| = |(-5) - 3| ≤ |(-5)| + |3| = 5 + 3 = 8, czyli 8 ≤ 8

Proste równania z wartością bezwzględną

1. |x| = a

dla a>0 rozwiązaniem równania jest a lub -a
dla a=0 rozwiązaniem równania jest liczba 0
dla a<0 rozwiązaniem równania jest zbiór pusty

przykłady

|x| = 17 rozwiązaniem jest x = 17 lub x = -17
|x| = -17 rozwiązaniem jest zbiór pusty
|x| = 0 rozwiązaniem jest liczba 0

Proste nierówności z wartością bezwzględną

1. |x| > a

dla a ≥ 0 rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -a) (a, ∞)
dla a < 0 rozwiązaniem jest zbiór R

2. |x| ≥ a

dla a > 0 rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -a] [a, ∞)
dla a ≤ 0 rozwiązaniem jest zbiór R

3. |x| < a

dla a > 0 rozwiązaniem jest przedział (-a, a)
dla a ≤ 0 rozwiązaniem jest zbiór pusty

4. |x| ≤ a

dla a > 0 rozwiązaniem jest przedział [-a, a]
dla a = 0 rozwiązaniem jest liczba 0
dla a < 0 rozwiązaniem jest zbiór pusty

przykłady

|x| ≤ 17 rozwiązaniem jest przedział [-17, 17]
|x| ≥ 17 rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -17] [17, ∞)
|x| ≤ -17 rozwiązaniem jest zbiór pusty
|x| ≥ - 17 rozwiązaniem jest zbiór R
|x| ≤ 0 rozwiązaniem jest liczba 0

Dodaj komentarz

-8 ≥ 8

Anonimowy (niezweryfikowany), poniedziałek, 03/02/2014 - 17:01

Mamy: 8 = |-8| = |(-5) + (-3)| ≥ |(-5)| + |(-3)| = 5 + 3 = 8, czyli -8 ≥ 8. Od kiedy -8 jest
większe lub równe 8?

Odpowiedz

Nie ściemniaj!

Qba (niezweryfikowany), wtorek, 04/02/2014 - 15:39

Nie ściemniaj! Pokazałeś przecież, że 8≥8, a to jest prawdą od zawsze.

Odpowiedz

Powrót na górę strony

Arcydzieło miesiąca

Nakładem IM UWr
ukazał się kalendarz na
bieżący rok szkolny.
Prezentuje on sylwetki
najbardziej do dziś
rozpoznawalnych na
świecie uczonych
związanych z Uniwersytetem
Wrocławskim w latach 1945-2018.

Impreza miesiąca

W dniach 20-26 IX we
Wrocławiu po raz 21.
odbywa się Festiwal
Nauki. Jego hasło
przewodnie to "1918-
2018". Ponad 20 ośrodków
badawczych i edukacyjnych
przygotowało ponad 1500 imprez
popularyzujących naukę.

Czytaj dalej

Bohater miesiąca

W tegorocznym
rankingu BBC History
Magazine Maria
Skłodowska-Curie
uznana została za
najbardziej wpływową
kobietą wszech
czasów! Była niespełnioną miłością
krakowskiego matematyka Kazimierza
Żorawskiego (rektora UJ w latach
1917-1918). Pisała list polecający
Einsteinowi, gdy ten ubiegał się o
posadę uniwersytecką.

Czytaj dalej

Odkrycie miesiąca

Maria Skłodowska-Curie znana jest
głównie jako fizyk i chemik, jednak z
podstawowego wykształcenia była też
matematykiem. Już po roku studiów
na paryskiej Sorbonie zdobyła
licencjat z fizyki z pierwszą lokatą, a
rok później - licencjat z matematyki z
drugą lokatą.

Czytaj dalej

Cytat miesiąca

"Urodziłam się w
Warszawie" - od tych
słów zaczynała swoje
publiczne wystąpienia
jedyna w historii kobieta
- podwójna noblistka.
Taki tytuł nosi
poświęcony jej warszawski mural
umieszczony na Bibliotece dla Dzieci i
Młodzieży przy ul. Lipowej 3.

Lektura miesiąca

Nie tylko najmłodszym
czytelnikom na kolejny
rok szkolny polecamy
zadania i problemy z
mądrej i ciekawej
książki Kamili Łyczek
"Rodzinna
matematyka" wznowionej właśnie
nakładem PWN.

Czytaj dalej

Trudne słowo

Liczba doskonała to taka liczba
naturalna, która jest równa sumie
wszystkich swoich dzielników
właściwych (tzn. mniejszych od niej).
Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6 =
1 + 2 + 3, następną 28 = 1+2+4+7+14,
a kolejne to 496 i 8128.

Pytanie miesiąca

Jak znaleźć liczbę doskonałą?
Euklides w III w. p.n.e. podał taki
sposób: obliczaj sumy kolejnych potęg
dwójki (1+2+4+8+...); jeżeli któraś z
nich będzie liczbą pierwszą, pomnóż
ją przez ostatni składnik; otrzymasz
liczbę doskonałą. W XVIII w Euler
pokazał, że w ten sposób można
otrzymać wszystkie parzyste liczby
doskonałe.

Problem miesiąca

Dotychczas znaleziono 50 liczb
doskonałych - wszystkie parzyste. Nie
ma jednak dowodu, że liczby
doskonałe nieparzyste nie istnieją.
Jeśli tak, to muszą być większe od
10^1500, bo mniejsze liczby zostały
sprawdzone. Nie wiadomo też, czy
liczb doskonałych jest skończenie, czy
nieskończenie wiele.

WYKRESownik

Edytor wzorów TeXa

redakcja

webmaster

Drupal

|a| = {

−a,

gdy
gdy

a ≥ 0
a < 0

∣∣

|a|

|b|

∪