WYKŁAD 9

14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska

Definicja: Szereg Taylora
Załóżmy, że funkcja

f

ma w punkcie

x

0

pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

∑

n=0

∞

f



n



x

0



n!

⋅

x−x

0



n

=

f  x

0



f '  x

0



1 !



x−x

0



f ' '  x

0



2!



x− x

0



2



...

nazywamy szeregiem Taylora funkcji

f

o środku w punkcie

x

0

Jeżeli

x

0

=

0

to szereg ten

nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji

f

Definicja: Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora
Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu

U  x

0,

=

x

0

−

; x

0



punktu

x

0

oraz

∀

x ∈U  xo ,

lim

n ∞

f



n 



c

n !



x−x

0



n

=

0

gdzie

c=x

0



x−x

0



dla

0 1

to:

f  x =

∑

n=0

∞

f



n 



x

0



n !

⋅

x−x

0



n

dla każdego

x ∈U  x

0,



i mówimy, że funkcja jest rozwinięta w szereg Taylora w otoczeniu

U  x

0,



DOWÓD:

f  x = f  x

0



f '  x

0



1 !



x −x

0



...

f



n−1



x

0





n−1!



x−x

0



n−1



R

n−1



x 

R

n −1



x=

f



n



c

n !



x−x

0



n

f  x =T

n−1



x R

n −1



x

dla

x ∈U  x

0,



oraz

T

n−1

=

S

n−1

lim

n  ∞

S

n −1



x=lim

n ∞

[

f  x− R

n−1



x ]= f  x −lim

n ∞

R

n −1



x= f  x −0 = f  x

Definicja: Warunek wystarczający rozwijalności funkcji w szereg Taylora
Jeżeli

f

ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu

U  x

0,

=

x

0

−

; x

0



punktu

x

0

oraz

∃

M 0

∀

xinU xo ,

∀

n =0,1,2 ,3..

∣

f



n



x∣≤M

to

lim

n ∞

f



n 



c

n !



x−x

0



n

=

0 dla

x ∈U  x

0,



c=x

0



x−x

0



0 1

1

WYKŁAD 9. 14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska