W9 14 12

background image

WYKŁAD 9

14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska

Definicja: Szereg Taylora
Załóżmy, że funkcja

f

ma w punkcie

x

0

pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

n=0

f

n

x

0

n!

⋅

xx

0

n

=

f x

0



f ' x

0

1 !

xx

0



f ' ' x

0

2!

xx

0

2

...

nazywamy szeregiem Taylora funkcji

f

o środku w punkcie

x

0

Jeżeli

x

0

=

0

to szereg ten

nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji

f

Definicja: Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora
Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu

U x

0,

=

x

0

−

; x

0



punktu

x

0

oraz

x U xo ,

lim

n ∞

f

n

c

n !

xx

0

n

=

0

gdzie

c=x

0



xx

0

dla

0 1

to:

f x =

n=0

f

n

x

0

n !

⋅

xx

0

n

dla każdego

x U x

0,



i mówimy, że funkcja jest rozwinięta w szereg Taylora w otoczeniu

U x

0,



DOWÓD:

f x = f x

0



f ' x

0

1 !

x x

0



...

f

n−1

x

0

n−1!

xx

0

n−1

R

n−1

x

R

n −1

x=

f

n

c

n !

xx

0

n

f x =T

n−1

x R

n −1

x

dla

x U x

0,



oraz

T

n−1

=

S

n−1

lim

n  ∞

S

n −1

x=lim

n ∞

[

f x− R

n−1

x ]= f x −lim

n ∞

R

n −1

x= f x −0 = f x

Definicja: Warunek wystarczający rozwijalności funkcji w szereg Taylora
Jeżeli

f

ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu

U x

0,

=

x

0

−

; x

0



punktu

x

0

oraz

M 0

xinU xo ,

n =0,1,2 ,3..

f

n

x∣≤M

to

lim

n ∞

f

n

c

n !

xx

0

n

=

0 dla

x U x

0,



c=x

0



xx

0

0 1

1

WYKŁAD 9. 14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W9 14 12 121 rynek
MPLP 360;361 02.12.;14.12. 2012
14 12 08
14 12 2012
Finanse publiczne 14 12 13
14 12 2006
DERMATOLOGIA 14.12, dermatologia
Podstawy turystyki 14.12.2008, Turystyka I Rekrecja, podstawy turystyki
11. 14-12-2010 Kontury i kolory
14 2 12
14 12 86
14 12 2012r Stal wykład
14 12 2015 W 9 harmonogram konsult zima 2015 16 popraw
Wykład 11 [14.12.05], Biologia UWr, II rok, Zoologia Kręgowców
Hormony (14 12)
9 Uskoki (14 12 2010)
2015 08 20 08 14 12 01
10 - 14. 12. 2010, Filozofia, Notatki FO, III Semestr, Semantyka logiczna

więcej podobnych podstron