Sprawdzenie warunków I i II stanu granicznego dla

belki stropowej

Algorytm obliczeń:

I stan graniczny

●

określenie sił wewnętrznych od obciążeń uwzględniających ciężar

własny belki stropowej,

●

ustalenie klasy przekroju,

●

ustalenie nośności przekroju na zginanie,

●

sprawdzenie nośności elementu zginanego,

●

ustalenie nośności belki na ścinanie,

●

sprawdzenie nośności przy jednoczesnym ścinaniu i zginaniu,

II stan graniczny

●

sprawdzenie warunku określającego dopuszczalne ugięcie.

Obliczeniowa nośność przekroju przy jednokierunkowym zginaniu

●

klasa 1 i 2

M

R

=

p

W f

d

,

gdzie:



p

jest obliczeniowym współczynnikiem plastycznej rezerwy nośności,

W

=minW

c

;W

t



miarodajnym wskaźnikiem wytrzymałości,

f

d

wytrzymałością obliczeniową stali.

Obliczeniowy współczynnik plastycznej rezerwy nośności obliczamy następująco:



p

=

1
2

1

pl



,

gdzie:



pl

=

W

pl

W

=

∣S

c

∣∣S

t

∣

W

.

∣S

c

∣

i

∣S

t

∣

to momenty statyczne części ściskanej i rozciąganej przekroju

względem osi obojętnej w stanie pełnego uplastycznienia.

Położenie osi obojętnej w stanie pełnego uplastycznienia przekroju przy zginaniu

wyznaczamy z równania

A

c

= A

t

,

Oś obojętna w stanie pełnego uplastycznienia przekroju przy zginaniu zajmuje

takie położenie, że dzieli przekrój na dwie równe części: ściskaną i rozciąganą.

Przykład 4: Sprawdzenie nośności belki

Geometria przyjętego przekroju poprzecznego IPE 270.

h=270 [mm]

b

f

= 135 [mm]

t

f

= 10,2 [mm]

t

w

= 6,6 [mm]

r = 15,0 [mm]

masa kształtownika: m = 36,1 [kg/m]

Ciężar kształtownika: g = 0,361 [kN/m]

Obciążenia stałe działające na belkę stropową

z uwzględnieniem jej ciężaru własnego:

•

charakterystyczne:

q

k

=qg

k

=7,150,361=7,511[ kN / m]

•

obliczeniowe:

q

o

=q

f

⋅g

k

=8,21,1⋅0,361=8,6[kN /m]

.

Sprawdzenie warunku dotyczącego długości obliczeniowej.

L

O

L0,5⋅h=5500,5⋅27,0=563,5[cm]

Maksymalne siły wewnętrzne:

M

xmax

=

 q

o

 p

o

⋅L

o

2

8

=

8,615,85⋅5,64

2

8

=97,22[kNm]=9722 [kNcm] ,

V

ymax

=

q

o

 p

o

⋅L

o

2

=

8,615,85⋅5,64

2

=68,95[kN ] .

Określenie nośności przekroju przy zginaniu jednokierunkowym.

Określenie klasy przekroju

•

środnik

smukłość ścianki środnika:

b

t

=

h

2⋅t

f

r

t

w

=

270

2⋅10,215,0

6,6

=

219,6

6,6

=33,27

graniczny warunek smukłości

max



b

t

=66⋅



215

f

d

=66⋅



215
235

=63,13

b

t

=33,27max 

b

t

=63,13 ⇒ klasa 1

•

półka

smukłość ścianki półki:

b

t

=

0,5

⋅b

f

t

w

r

t

f

=

0,5

⋅1356,615,0

10,2

=

49,2

10,2

=4,82

graniczny warunek smukłości

max



b

t

=9⋅



215

f

d

=9⋅



215
235

=8,61

b

t

=4,82max 

b

t

=8,61⇒ klasa 1

Obliczeniowa nośność przekroju klasy 1 i 2 przy zginaniu jednokierunkowym

M

R

=

p

⋅W⋅ f

d

,

gdzie:



p

- obliczeniowy współczynnik plastycznej rezerwy nośności przy zginaniu,

W

=minW

c

;W

t

 - wskaźnik wytrzymałości przekroju,

f

d

- obliczeniowa wytrzymałość stali.

W przypadku elementów obciążonych statycznie i zginanych względem osi

największej bezwładności przekroju możemy przyjąć 

p

1 .

Dla IPN i IPE 

p

=1,07 , IHEB, IHEA 

p

=1,05 .

W omawianym przypadku:



p

=1,07 ,

W

=W

c

=W

t

=429,0 [cm

3

] ,

f

d

=235 MPa=23,5

kN

cm

2

.

Obliczeniowa nośność przekroju przy zginaniu jednokierunkowym wynosi:

M

R

=

p

⋅W⋅ f

d

=1,07⋅429,0⋅23,5=10787,0[kNcm]=107,87[kNm] .

Sprawdzenie nośności elementu (belki)

Nośność (stateczność) elementu jednokierunkowo zginanego sprawdza się ze

wzoru

M



L

⋅M

R

1 ,

gdzie:

M

- maksymalny moment zginający w elemencie od obciążeń obliczeniowych,



L

- współczynnik zwichrzenia, dla elementów zginanych względem osi

najmniejszej bezwładności oraz dla elementów zabezpieczonych przed

zwichrzeniem 

L

=1 ,

M

R

- obliczeniowa nośność przekroju.

W naszym przypadku możemy założyć, że żelbetowa płyta ułożona na belkach

stropu stworzy dostatecznie sztywną tarczę, pozwalającą przyjąć konstrukcyjne

zabezpieczenie przed zwichrzeniem. Czyli 

L

=1

M



L

⋅M

R

=

97,22

1,0

⋅107,87

=0,91

WNIOSEK:

Element spełnia warunki nośności przy jednokierunkowym zginaniu.

Nośność na ścinanie określona jest zależnością:

V

R

=0,58⋅

pv

⋅A

v

⋅f

d

, gdzie



pv

- współczynnik niestateczności miejscowej przekroju przy ścinaniu,

A

v

- pole czynne przekroju przy ścinaniu,

f

d

- wytrzymałość obliczeniowa stali.

Określenie wrażliwości ścianki środnika na utratę stateczności przy ścinaniu

Smukłość ścianki środnika

h

w

t

w

=

270

6,6

=40,9 ,

graniczny warunek smukłości

b

t

=70⋅=70⋅



215

f

d

=70⋅



215
235

=66,96 .

Wobec

h

w

t

w

=40,970⋅=66,96 przyjmujemy, że środnik jest niewrażliwy na utratę

stateczności przy ścinaniu.

Powyższe stwierdzenie upoważnia nas do możliwości przyjęcia 

pv

=1 .

Pole czynne przy ścinaniu określane zgodnie z tablicą 7 (PN-90/B-03200) w

zależności od typu przekroju.

Dla dwuteownika ścinanego wzdłuż środnika wynosi ono

A

v

=h

w

⋅t

w

=27,0⋅0,066=17,82[cm

2

] .

Nośność na ścinanie analizowanej belki wyniesie

V

R

=0,58⋅

pv

⋅A

v

⋅f

d

=0,58⋅1,0⋅17,82⋅23,5=242,88[ kN ] .

V

ymax

=68,95 [kN ]V

R

=242,88[kN ]

WNIOSEK:

Warunek nośności przekroju na ścinanie jest spełniony.

WNIOSEK:

Belka zaprojektowana z I PE 270 odpowiada warunkom I stanu granicznego.

Sprawdzenie II stanu granicznego (użytkowania)

Maksymalne ugięcie belki

f

max

=

5

384

q

k

 p

k

⋅L

4

EJ

=

5

384

7,51113,2⋅10

2

⋅550,0

4

20500

⋅5790

=2,1[cm]

Dopuszczalne ugięcie belki stropowej wynosi:

f

dop

=

L

250

=

550

250

=2,2 [cm]

Widzimy zatem, że

f

max

=2,1[cm ] f

dop

=2,2[cm ]

.

WNIOSEK:

Belka zaprojektowana z I 270 PE spełnia warunki II stanu granicznego.

PODSUMOWANIE:

Belka stropowa o schemacie belki wolno podpartej zaprojektowana

z I 270 PE spełnia warunki obu stanów granicznych.

Zaprojektowanie oparcia bezpośredniego na ścianie

Obliczenia, jakie należy przeprowadzić:

1. Ustalenie długości oparcia belki

150

[mm]L

op

150

h
3

[mm] .

2. Sprawdzenie nośności podpory (beton) na docisk miejscowy

Schemat obliczeniowy:

A

co

=a b - pole docisku bezpośredniego,

A

c1

=a⋅2⋅ab

- pole rozdziału obciążenia,

Współczynnik



u



u

=



A

c1

A

co



umax

,

Średnie naprężenie ściskające na powierzchni rozdziału

poza powierzchnią docisku



cum

=

R

max

A

c1

A

co

,

Współczynnik v

cu

v

cu

=

u



u

f

cd.

⋅

u

1 ,

Wytrzymałość betonu na docisk miejscowy

f

cud

=v

cu

⋅f

cd

,

Współczynnik korekcyjny z uwagi na nierównomierność

rozkładu naprężeń od docisku



u

=

1
3

⋅2



u , min



u , max



,

Nośność przy docisku miejscowym

N

Rd

=

u

⋅f

cud

⋅A

co

.

Sprawdzenie warunku nośności

N

sd

=R

max

N

Rd

.

3. Sprawdzenie nośności środnika belki pod obciążeniem

skupionym

Określenie szerokości wpływu obciążenia skupionego

c

o

=c2,5⋅t

f

r  ,

Współczynnik redukcyjny



c

=1,250,5⋅



c

f

d

,

Sprawdzenie warunku nośności

P

=R

max

P

R , w

=c

o

⋅t

w

⋅

c

⋅f

d

Przykład 5: Zaprojektowanie oparcia bezpośredniego na

podporze.

Przyjęto oparcie bezpośrednie na wieńcu żelbetowym

wykonanym z betonu B20.

Wytrzymałość na ściskanie w konstrukcjach żelbetowych

betonu B20 wynosi:

f

cd

=10,6[ MPa]

Nie przewiduje się wykonania dodatkowego zbrojenia ze

względu na docisk.

Obliczeniowa reakcja na podporze dla schematu belki

wolno podpartej

R

max

=68,95[kN ]

.

Długości oparcia bezpośredniego belki powinna być w

granicach

150

[mm]L

op

150

h
3

[mm ] .

W odniesieniu do I PE 270 otrzymamy:

150

[mm]L

op

150

h
3

=150

270

3

=240[mm]

Przyjęto ostatecznie L

op

=240[mm]=24,0[cm] .

Sprawdzenie nośności podpory na docisk (element

niezbrojony na docisk). Belka bezpośrednio oparta na

wieńcu żelbetowym o szerokości 24,0cm.

Do sprawdzenia przyjęto schemat obciążenia elementu na

docisk wg. Rys. 29e (PN-B-03264:1999).

Pole powierzchni docisku wynosi:

A

co

=b

f

⋅L

op

=13,5⋅24,0=324,0[ cm

2

]

Pole powierzchni rozdziału obciążenia:

A

c1

= L

op

⋅ 2⋅L

op

b

f

=24,0⋅2⋅24,013,5=1476,0 [ cm

2

] .

Współczynnik



u



u

=



A

c1

A

co

=



1476,0

324,0

=2,13

umax

=2,0

Średnie naprężenie ściskające na powierzchni rozdziału

poza powierzchnią docisku



cum

=

R

max

A

c1

A

co

=

68,95

1476,0

324,0

=0,06[

kN

cm

2

]=0,6[ MPa ] .

Współczynnik v

cu

v

cu

=

u



u

f

cd

⋅

u

1=2,0

0,6

10,6

⋅2,01=1,94

Wytrzymałość betonu B20 na docisk miejscowy wyniesie:

f

cud

=v

cu

⋅f

cd

=1,94⋅10,6=20,5[ MPa]

.

Przyjmujemy równomierny rozkład naprężeń na powierzchni

docisku, czyli 

u , max

=

u , min

=

u

. W związku z tym

założeniem współczynnik 

u

będzie równy



u

=

1
3

⋅2



u



u

=

1
3

⋅21=1,0

.

Sprawdzenie warunku nośności na docisk w elemencie

niezbrojonym na docisk

N

sd

=R

max

=68,95[ kN ] N

Rd

=

u

⋅f

cud

⋅A

co

=1,0⋅2,05⋅324,0=664,2

WNIOSEK:

Oparcie bezpośrednie na ścianie zostało

zaprojektowane prawidłowo.

Sprawdzenie stateczności środnika I PE 270 pod obciążeniem skupionym.

W omawianym przykładzie został przyjęty następujący schemat obliczeniowy

Określenie szerokości wpływu obciążenia skupionego

c

o

=c2,5⋅t

f

r =240,02,5⋅10,215,0=303,0[mm]=30,3[cm]

.

Występujący w zależności na nośność środnika pod obciążeniem skupionym

współczynnik 

c

w przypadku, gdy w środniku na wysokości jego połączenia z

pasem występują naprężenia ściskające nieprzekraczające 0,5⋅ f

d

, przyjmuje

wartość 1,0. W przypadku, gdy takowe naprężenia przyjmują wartości w

granicach 0,5⋅ f

d



c

 f

d

wartość współczynnika redukcji określa się na

podstawie wzoru



c

=1,250,5⋅



c

f

d

.

W omawianym przypadku naprężenia ściskające normalne przy braku sił

podłużnych (normalnych) mogą powstać jedynie od momentu zginającego, który

na podporze skrajnej przyjmuje wartości zerowe. Zatem u nas 

c

=1,0 .

P

=68,95[kN ] P

R , w

=c

o

⋅t

w

⋅

c

⋅f

d

=30,3⋅0,66⋅1,0⋅23,5=469,9[kN ]