Sprawdzenie warunków I i II stanu granicznego dla
belki stropowej
Algorytm obliczeń:
I stan graniczny
●
określenie sił wewnętrznych od obciąŜeń uwzględniających cięŜar
własny belki stropowej,
●
ustalenie klasy przekroju,
●
ustalenie nośności przekroju na zginanie,
●
sprawdzenie nośności elementu zginanego,
●
ustalenie nośności belki na ścinanie,
●
sprawdzenie nośności przy jednoczesnym ścinaniu i zginaniu,
II stan graniczny
●
sprawdzenie warunku określającego dopuszczalne ugięcie.
Obliczeniowa nośność przekroju przy jednokierunkowym zginaniu
●
klasa 1 i 2
M
R
=
p
W f
d
,
gdzie:
p
jest obliczeniowym współczynnikiem plastycznej rezerwy nośności,
W
=minW
c
;W
t
miarodajnym wskaźnikiem wytrzymałości,
f
d
wytrzymałością obliczeniową stali.
Obliczeniowy współczynnik plastycznej rezerwy nośności obliczamy następująco:
p
=
1
2
1
pl
,
gdzie:
pl
=
W
pl
W
=
∣S
c
∣∣S
t
∣
W
.
∣S
c
∣
i
∣S
t
∣
to momenty statyczne części ściskanej i rozciąganej przekroju
względem osi obojętnej w stanie pełnego uplastycznienia.
PołoŜenie osi obojętnej w stanie pełnego uplastycznienia przekroju przy zginaniu
wyznaczamy z równania
A
c
= A
t
,
Oś obojętna w stanie pełnego uplastycznienia przekroju przy zginaniu zajmuje
takie połoŜenie, Ŝe dzieli przekrój na dwie równe części: ściskaną i rozciąganą.
Przykład 4: Sprawdzenie nośności belki
Geometria przyjętego przekroju poprzecznego IPE 270.
h=270 [mm]
b
f
= 135 [mm]
t
f
= 10,2 [mm]
t
w
= 6,6 [mm]
r = 15,0 [mm]
masa kształtownika: m = 36,1 [kg/m]
CięŜar kształtownika: g = 0,361 [kN/m]
ObciąŜenia stałe działające na belkę stropową
z uwzględnieniem jej cięŜaru własnego:
•
charakterystyczne:
q
k
=qg
k
=7,150,361=7,511[ kN / m]
•
obliczeniowe:
q
o
=q
f
⋅g
k
=8,21,1⋅0,361=8,6[kN /m]
.
Sprawdzenie warunku dotyczącego długości obliczeniowej.
L
O
L0,5⋅h=5500,5⋅27,0=563,5[cm]
Maksymalne siły wewnętrzne:
M
xmax
=
q
o
p
o
⋅L
o
2
8
=
8,615,85⋅5,64
2
8
=97,22[kNm]=9722 [kNcm] ,
V
ymax
=
q
o
p
o
⋅L
o
2
=
8,615,85⋅5,64
2
=68,95[kN ] .
Określenie nośności przekroju przy zginaniu jednokierunkowym.
Określenie klasy przekroju
•
środnik
smukłość ścianki środnika:
b
t
=
h
2⋅t
f
r
t
w
=
270
2⋅10,215,0
6,6
=
219,6
6,6
=33,27
graniczny warunek smukłości
max
b
t
=66⋅
215
f
d
=66⋅
215
235
=63,13
b
t
=33,27max
b
t
=63,13 ⇒ klasa 1
•
półka
smukłość ścianki półki:
b
t
=
0,5
⋅b
f
t
w
r
t
f
=
0,5
⋅1356,615,0
10,2
=
49,2
10,2
=4,82
graniczny warunek smukłości
max
b
t
=9⋅
215
f
d
=9⋅
215
235
=8,61
b
t
=4,82max
b
t
=8,61⇒ klasa 1
Obliczeniowa nośność przekroju klasy 1 i 2 przy zginaniu jednokierunkowym
M
R
=
p
⋅W⋅ f
d
,
gdzie:
p
- obliczeniowy współczynnik plastycznej rezerwy nośności przy zginaniu,
W
=minW
c
;W
t
- wskaźnik wytrzymałości przekroju,
f
d
- obliczeniowa wytrzymałość stali.
W przypadku elementów obciąŜonych statycznie i zginanych względem osi
największej bezwładności przekroju moŜemy przyjąć
p
1 .
Dla IPN i IPE
p
=1,07 , IHEB, IHEA
p
=1,05 .
W omawianym przypadku:
p
=1,07 ,
W
=W
c
=W
t
=429,0 [cm
3
] ,
f
d
=235 MPa=23,5
kN
cm
2
.
Obliczeniowa nośność przekroju przy zginaniu jednokierunkowym wynosi:
M
R
=
p
⋅W⋅ f
d
=1,07⋅429,0⋅23,5=10787,0[kNcm]=107,87[kNm] .
Sprawdzenie nośności elementu (belki)
Nośność (stateczność) elementu jednokierunkowo zginanego sprawdza się ze
wzoru
M
L
⋅M
R
1 ,
gdzie:
M
- maksymalny moment zginający w elemencie od obciąŜeń obliczeniowych,
L
- współczynnik zwichrzenia, dla elementów zginanych względem osi
najmniejszej bezwładności oraz dla elementów zabezpieczonych przed
zwichrzeniem
L
=1 ,
M
R
- obliczeniowa nośność przekroju.
W naszym przypadku moŜemy załoŜyć, Ŝe Ŝelbetowa płyta ułoŜona na belkach
stropu stworzy dostatecznie sztywną tarczę, pozwalającą przyjąć konstrukcyjne
zabezpieczenie przed zwichrzeniem. Czyli
L
=1
M
L
⋅M
R
=
97,22
1,0
⋅107,87
=0,91
WNIOSEK:
Element spełnia warunki nośności przy jednokierunkowym zginaniu.
Nośność na ścinanie określona jest zaleŜnością:
V
R
=0,58⋅
pv
⋅A
v
⋅f
d
, gdzie
pv
- współczynnik niestateczności miejscowej przekroju przy ścinaniu,
A
v
- pole czynne przekroju przy ścinaniu,
f
d
- wytrzymałość obliczeniowa stali.
Określenie wraŜliwości ścianki środnika na utratę stateczności przy ścinaniu
Smukłość ścianki środnika
h
w
t
w
=
270
6,6
=40,9 ,
graniczny warunek smukłości
b
t
=70⋅=70⋅
215
f
d
=70⋅
215
235
=66,96 .
Wobec
h
w
t
w
=40,970⋅=66,96 przyjmujemy, Ŝe środnik jest niewraŜliwy na utratę
stateczności przy ścinaniu.
PowyŜsze stwierdzenie upowaŜnia nas do moŜliwości przyjęcia
pv
=1 .
Pole czynne przy ścinaniu określane zgodnie z tablicą 7 (PN-90/B-03200) w
zaleŜności od typu przekroju.
Dla dwuteownika ścinanego wzdłuŜ środnika wynosi ono
A
v
=h
w
⋅t
w
=27,0⋅0,066=17,82[cm
2
] .
Nośność na ścinanie analizowanej belki wyniesie
V
R
=0,58⋅
pv
⋅A
v
⋅f
d
=0,58⋅1,0⋅17,82⋅23,5=242,88[ kN ] .
V
ymax
=68,95 [kN ]V
R
=242,88[kN ]
WNIOSEK:
Warunek nośności przekroju na ścinanie jest spełniony.
WNIOSEK:
Belka zaprojektowana z I PE 270 odpowiada warunkom I stanu granicznego.
Sprawdzenie II stanu granicznego (uŜytkowania)
Maksymalne ugięcie belki
f
max
=
5
384
q
k
p
k
⋅L
4
EJ
=
5
384
7,51113,2⋅10
2
⋅550,0
4
20500
⋅5790
=2,1[cm]
Dopuszczalne ugięcie belki stropowej wynosi:
f
dop
=
L
250
=
550
250
=2,2 [cm]
Widzimy zatem, Ŝe
f
max
=2,1[cm ] f
dop
=2,2[cm ]
.
WNIOSEK:
Belka zaprojektowana z I 270 PE spełnia warunki II stanu granicznego.
PODSUMOWANIE:
Belka stropowa o schemacie belki wolno podpartej zaprojektowana
z I 270 PE spełnia warunki obu stanów granicznych.
Zaprojektowanie oparcia bezpośredniego na ścianie
Obliczenia, jakie naleŜy przeprowadzić:
1. Ustalenie długości oparcia belki
150
[mm]L
op
150
h
3
[mm] .
2. Sprawdzenie nośności podpory (beton) na docisk miejscowy
Schemat obliczeniowy:
A
co
=a b - pole docisku bezpośredniego,
A
c1
=a⋅2⋅ab
- pole rozdziału obciąŜenia,
Współczynnik
u
u
=
A
c1
A
co
umax
,
Średnie napręŜenie ściskające na powierzchni rozdziału
poza powierzchnią docisku
cum
=
R
max
A
c1
A
co
,
Współczynnik v
cu
v
cu
=
u
u
f
cd.
⋅
u
1 ,
Wytrzymałość betonu na docisk miejscowy
f
cud
=v
cu
⋅f
cd
,
Współczynnik korekcyjny z uwagi na nierównomierność
rozkładu napręŜeń od docisku
u
=
1
3
⋅2
u , min
u , max
,
Nośność przy docisku miejscowym
N
Rd
=
u
⋅f
cud
⋅A
co
.
Sprawdzenie warunku nośności
N
sd
=R
max
N
Rd
.
3. Sprawdzenie nośności środnika belki pod obciąŜeniem
skupionym
Określenie szerokości wpływu obciąŜenia skupionego
c
o
=c2,5⋅t
f
r ,
Współczynnik redukcyjny
c
=1,250,5⋅
c
f
d
,
Sprawdzenie warunku nośności
P
=R
max
P
R , w
=c
o
⋅t
w
⋅
c
⋅f
d
Przykład 5: Zaprojektowanie oparcia bezpośredniego na
podporze.
Przyjęto oparcie bezpośrednie na wieńcu Ŝelbetowym
wykonanym z betonu B20.
Wytrzymałość na ściskanie w konstrukcjach Ŝelbetowych
betonu B20 wynosi:
f
cd
=10,6[ MPa]
Nie przewiduje się wykonania dodatkowego zbrojenia ze
względu na docisk.
Obliczeniowa reakcja na podporze dla schematu belki
wolno podpartej
R
max
=68,95[kN ]
.
Długości oparcia bezpośredniego belki powinna być w
granicach
150
[mm]L
op
150
h
3
[mm ] .
W odniesieniu do I PE 270 otrzymamy:
150
[mm]L
op
150
h
3
=150
270
3
=240[mm]
Przyjęto ostatecznie L
op
=240[mm]=24,0[cm] .
Sprawdzenie nośności podpory na docisk (element
niezbrojony na docisk). Belka bezpośrednio oparta na
wieńcu Ŝelbetowym o szerokości 24,0cm.
Do sprawdzenia przyjęto schemat obciąŜenia elementu na
docisk wg. Rys. 29e (PN-B-03264:1999).
Pole powierzchni docisku wynosi:
A
co
=b
f
⋅L
op
=13,5⋅24,0=324,0[ cm
2
]
Pole powierzchni rozdziału obciąŜenia:
A
c1
= L
op
⋅ 2⋅L
op
b
f
=24,0⋅2⋅24,013,5=1476,0 [ cm
2
] .
Współczynnik
u
u
=
A
c1
A
co
=
1476,0
324,0
=2,13
umax
=2,0
Średnie napręŜenie ściskające na powierzchni rozdziału
poza powierzchnią docisku
cum
=
R
max
A
c1
A
co
=
68,95
1476,0
324,0
=0,06[
kN
cm
2
]=0,6[ MPa ] .
Współczynnik v
cu
v
cu
=
u
u
f
cd
⋅
u
1=2,0
0,6
10,6
⋅2,01=1,94
Wytrzymałość betonu B20 na docisk miejscowy wyniesie:
f
cud
=v
cu
⋅f
cd
=1,94⋅10,6=20,5[ MPa]
.
Przyjmujemy równomierny rozkład napręŜeń na powierzchni
docisku, czyli
u , max
=
u , min
=
u
. W związku z tym
załoŜeniem współczynnik
u
będzie równy
u
=
1
3
⋅2
u
u
=
1
3
⋅21=1,0
.
Sprawdzenie warunku nośności na docisk w elemencie
niezbrojonym na docisk
N
sd
=R
max
=68,95[ kN ] N
Rd
=
u
⋅f
cud
⋅A
co
=1,0⋅2,05⋅324,0=664,2
WNIOSEK:
Oparcie bezpośrednie na ścianie zostało
zaprojektowane prawidłowo.
Sprawdzenie stateczności środnika I PE 270 pod obciąŜeniem skupionym.
W omawianym przykładzie został przyjęty następujący schemat obliczeniowy
Określenie szerokości wpływu obciąŜenia skupionego
c
o
=c2,5⋅t
f
r =240,02,5⋅10,215,0=303,0[mm]=30,3[cm]
.
Występujący w zaleŜności na nośność środnika pod obciąŜeniem skupionym
współczynnik
c
w przypadku, gdy w środniku na wysokości jego połączenia z
pasem występują napręŜenia ściskające nieprzekraczające 0,5⋅ f
d
, przyjmuje
wartość 1,0. W przypadku, gdy takowe napręŜenia przyjmują wartości w
granicach 0,5⋅ f
d
c
f
d
wartość współczynnika redukcji określa się na
podstawie wzoru
c
=1,250,5⋅
c
f
d
.
W omawianym przypadku napręŜenia ściskające normalne przy braku sił
podłuŜnych (normalnych) mogą powstać jedynie od momentu zginającego, który
na podporze skrajnej przyjmuje wartości zerowe. Zatem u nas
c
=1,0 .
P
=68,95[kN ] P
R , w
=c
o
⋅t
w
⋅
c
⋅f
d
=30,3⋅0,66⋅1,0⋅23,5=469,9[kN ]